第2章 专项训练2 一元二次不等式的恒成立与能成立问题-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册作业与测评全书Word（人教A版）

数学 必修·第一册[人教A版]作业与测评 专项训练2　一元二次不等式的恒成立与能成立问题 一、单项选择题 1．对于任意的x，y∈R，定义运算：x⊙y＝x(y＋1)．若不等式x⊙(x＋a)＋1>0对任意实数x恒成立，则(　　) A．－1<a<3 B．0<a<2 C．－3<a<1 D．－2<a<2 答案：C 解析：由已知，得x⊙(x＋a)＋1＝x(x＋a＋1)＋1＝x2＋(a＋1)x＋1>0对任意实数x恒成立，所以Δ＝(a＋1)2－4<0，解得－3<a<1.故选C. 2．若对任意的x∈R，kx2＋4k＋3≠0恒成立，则实数k的取值范围是(　　) A．{k|k>0} B．{k|k≤0} C. D. 答案：C 解析：因为对任意的x∈R，kx2＋4kx＋3≠0恒成立．①当k＝0时，则有3≠0，符合题意；②当k≠0时，由题意可得Δ＝16k2－12k<0，解得0<k<.综上所述，实数k的取值范围是.故选C. 3．若存在x∈R，使得≥2成立，则实数m的取值范围为(　　) A．{m|m≤0} B．{m|m>0} C．{m|m≥－2} D．{m|m<－2} 答案：C 解析：因为x2－2x＋3＝(x－1)2＋2>0恒成立，所以原不等式等价于4x＋m≥2(x2－2x＋3)有解，即2x2－8x＋6－m≤0有解，所以Δ＝64－8(6－m)≥0，解得m≥－2，即实数m的取值范围为{m|m≥－2}．故选C. 4．若命题“∃a∈{a|－1≤a≤3}，ax2－(2a－1)x＋3－a<0”为假命题，则实数x的取值范围为(　　) A．{x|－1≤x≤4} B. C. D. 答案：C 解析：由题意，得命题“∀a∈{a|－1≤a≤3}，ax2－(2a－1)x＋3－a≥0”为真命题，即ax2－(2a－1)x＋3－a＝(x2－2x－1)a＋x＋3≥0对任意－1≤a≤3恒成立，则 解得－1≤x≤0或≤x≤4，即实数x的取值范围为.故选C. 5．若关于x的不等式x2－(m＋1)x＋9≤0在{x|1<x<4}上有解，则实数m的最小值为(　　) A．9 B．6 C. D．5 答案：D 解析：关于x的不等式x2－(m＋1)x＋9≤0在{x|1<x<4}上有解，等价于(m＋1)x≥x2＋9在{x|1<x<4}上有解，即m＋1≥x＋在{x|1<x<4}上有解，又x＋≥6，当且仅当x＝3时，x＋取得最小值6.故m＋1≥6，可得m≥5，则实数m的最小值为5.故选D. 6．设正数a，b满足＋＝1，若不等式a＋2b≥－x2＋4x＋9－m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是(　　) A．{m|m≤4} B．{m|m≥4} C．{m|m≤6} D．{m|m≥2} 答案：B 解析：因为＋＝1，故a＋2b＝(a＋2b)＝5＋＋≥9，当且仅当a＝b＝3时，等号成立，故a＋2b的最小值为9，故－x2＋4x＋9－m≤9在R上恒成立，故x2－4x＋m≥0在R上恒成立，故Δ＝16－4m≤0，即m≥4.故选B. 7．若不等式mx2＋2mx－4<2x2＋4x的解集为R，则实数m的取值范围是(　　) A．{m|－2<m<2} B．{m|－2<m≤2} C．{m|m<－2，或m≥2} D．{m|m<2} 答案：B 解析：原不等式整理为(m－2)x2＋(2m－4)x－4<0.当m＝2时，(m－2)x2＋(2m－4)x－4＝－4<0，不等式恒成立；设y＝(m－2)x2＋(2m－4)x－4，当m≠2时，函数y＝(m－2)x2＋(2m－4)x－4为二次函数，y要恒小于0，则抛物线开口向下且与x轴没有交点，即解得－2<m<2.综上，实数m的取值范围为{m|－2<m≤2}．故选B. 8．若∃x∈R，mx2＋2(m－3)x＋4≤0，则实数m的取值范围为(　　) A．{m|1<m<9} B．{m|m<0} C．{m|m<1，或m>9} D．{m|m≤1，或m≥9} 答案：D 解析：当m＝0时，不等式为－3x＋2≤0，即x≥，显然－3x＋2≤0在x∈R上有解，符合题意；当m<0时，抛物线y＝mx2＋2(m－3)x＋4开口向下，显然mx2＋2(m－3)x＋4≤0在x∈R上有解，符合题意；当m>0时，抛物线y＝mx2＋2(m－3)x＋4开口向上，要使不等式mx2＋2(m－3)x＋4≤0在R上有解，只需Δ＝[2(m－3)]2－4×4×m≥0，解得m≤1或m≥9，又m>0，所以0<m≤1或m≥9.综上，实数m的取值范围是{m|m≤1，或m≥9}．故选D. 二、多项选择题 9．若命题“∃x∈R，(a2－1)x2＋2(a－1)x－1>0”是假命题，则a的值可能为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案：AB 解析：由题意，知∀x∈R，(a2－1)x2＋2(a－1)x－1≤0是真命题，若a2－1＝0，则a＝±1，当a＝1时，－1<0恒成立，当a＝－1时，－4x－1≤0不恒成立；若a2－1<0，则Δ＝4(a－1)2＋4(a2－1)≤0，解得0≤a<1.综上，得0≤a≤1.故选AB. 10．若不等式x2＋bx＋c≥2x＋b对任意的x∈R恒成立，则(　　) A．b2－4c＋4≤0 B．b≤0 C．c≥1 D．b＋c≥0 答案：ACD 解析：x2＋bx＋c≥2x＋b可整理为x2＋(b－2)x＋c－b≥0，根据二次函数的性质有Δ＝(b－2)2－4(c－b)＝b2－4c＋4≤0，故A正确；当b＝1，c＝2时，满足Δ≤0，即原不等式成立，故B错误；由Δ≤0，得c≥＋1，所以c≥1，故C正确；b＋c≥＋b＋1＝≥0，故D正确．故选ACD. 11．已知y＝kx2＋(2k－1)x－2，下列说法正确的是(　　) A．若k＝－，则不等式y>0的解集为∅ B．若k>0，则不等式y<0的解集为 C．若∀x∈R，y<－x恒成立，则整数k的取值集合为{－1} D．若恰有两个整数x使得不等式y<0成立，则实数k的取值范围是{k|k≥1} 答案：ABD 解析：对于A，若k＝－，则y＝(x＋2)＝－(x＋2)2≤0恒成立，所以不等式y>0的解集为∅，故A正确．对于B，若k>0，则>－2，不等式y<0的解集为，故B正确．对于C，y<－x恒成立，即kx2＋2kx－2<0恒成立，当k≠0时，等价于即解不等式组得－2<k<0，所以整数k的取值集合为{－1}；当k＝0时，kx2＋2kx－2<0恒成立，满足题意．综上所述，整数k的取值集合为{－1，0}，故C错误．对于D，当<－2时，y＝(kx－1)(x＋2)<0的解集为，易知该解集中不止两个整数解，不符合题意，舍去；当＝－2时，y＝(kx－1)(x＋2)＜0的解集为{x|x≠－2}，不符合题意，舍去；当>－2时，若要使y＝(kx－1)(x＋2)<0的解集中恰有两个整数解，则0<≤1，即k≥1.综上，实数k的取值范围是{k|k≥1}，故D正确．故选ABD. 三、填空题 12．若关于x的不等式(1＋m)x2＋mx＋m<x2＋1对x∈R恒成立，则实数m的取值范围为________． 答案：{m|m≤0} 解析：原不等式等价于mx2＋mx＋m－1<0对x∈R恒成立．当m＝0时，－1<0对x∈R恒成立；当m≠0时，由题意得 解得m<0.综上所述，实数m的取值范围为{m|m≤0}． 13.已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{1，2，4，5，6}，B＝{1，2，3，4，7}，C＝{2，3，5，6，7}，图中阴影部分的集合为M，若∃x∈M，使得x2－mx＋4m－3<0，则m的取值范围是________． 答案： 解析：因为A＝{1，2，4，5，6}，B＝{1，2，3，4，7}，C＝{2，3，5，6，7}，所以B∩C＝{2，3，7}，图中阴影部分表示的集合为(B∩C)∩(∁UA)＝{3，7}，即M＝{3，7}，由题意，知32－3m＋4m－3<0或72－7m＋4m－3<0，解得m<－6或m>，所以m的取值范围是. 14．若关于x的不等式x2－2x－3a－6≥2a2在x∈{x|3≤x≤5}内有解，则实数a的取值范围为________． 答案： 解析：因为x2－2x－3a－6≥2a2在x∈{x|3≤x≤5}内有解，所以2a2＋3a＋6≤(x2－2x)max，其中x∈{x|3≤x≤5}．设y＝x2－2x(3≤x≤5)，则该二次函数的图象开口向上，对称轴方程为x＝1，则当x＝5时，ymax＝15，所以2a2＋3a＋6≤15，解得－3≤a≤，所以实数a的取值范围为. 15．已知a>0，b∈R，若关于x的不等式(ax－2)(x2＋bx－6)≥0在{x|x>0}上恒成立，则4a－b的最小值是(　　) A．2 B．2 C．3 D．3 答案：B 解析：∵a>0，∴当0<x<时，ax－2<0，当x>时，ax－2>0，令y＝x2＋bx－6，要想关于x的不等式(ax－2)(x2＋bx－6)≥0在{x|x>0}上恒成立，则当0<x<时，y<0，当x>时，y>0，∴当x＝时，y＝＋－6＝0，则3a2－ba－2＝0，即b＝3a－，∴4a－b＝a＋≥2，当且仅当a＝，即a＝时，等号成立．故选B. 16．[多选]下列说法中正确的是(　　) A．不等式>1的解集为 B．已知x>y>z，且x＋y＋z＝0，则xy>xz C．若∃x>0，使得λx2－λx＋2<0成立，则实数λ的取值范围为{λ|λ<0，或λ>8} D．正数a，b满足＋＝1，若不等式a＋b≥－x2＋4x＋18－m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是{m|m≤6} 答案：ABC 解析：对于A，由>1，得>0，即<0，则不等式的解集为，故A正确；对于B，因为x>y>z，且x＋y＋z＝0，所以x>0，z<0，由y>z，两边同时乘以x得xy>xz，故B正确；对于C，当λ＝0时，2>0，不符合题意，当λ>0时，y＝λx2－λx＋2图象的对称轴为直线x＝，因为∃x>0，使得λx2－λx＋2<0成立，所以只需Δ＝λ2－8λ>0，解得λ>8，当λ<0时，显然满足题意，综上，实数λ的取值范围为{λ|λ<0，或λ>8}，故C正确；对于D，正数a，b满足＋＝1，若不等式a＋b≥－x2＋4x＋18－m对任意实数x恒成立，等价于(a＋b)min≥－x2＋4x＋18－m，因为a＋b＝(a＋b)＝＋＋10≥2＋10＝16，当且仅当a＝4，b＝12时，等号成立，所以16≥－x2＋4x＋18－m，则x2－4x－2≥－m，即(x2－4x－2)min≥－m，而y＝x2－4x－2＝(x－2)2－6≥－6，所以－m≤－6，所以m≥6，故D错误．故选ABC. 17．已知对一切2≤x≤3，3≤y≤6，不等式mx2－xy＋y2≥0恒成立，则实数m的最小值为________． 答案：0 解析：因为2≤x≤3，3≤y≤6，所以≤≤，所以1≤≤3，由不等式mx2－xy＋y2≥0恒成立，且2≤x≤3，可得m≥－，令t＝∈{t|1≤t≤3}，则原题意等价于对一切t∈{t|1≤t≤3}，m≥t－t2恒成立，当t＝1时，(t－t2)max＝1－12＝0，故实数m的最小值为0. 18．已知函数y＝2kx2＋kx－(k∈R)． (1)若y<0对一切实数x都成立，求k的取值范围； (2)若y＝0在{x|－4≤x≤0}上有两个不相等的根，求k的取值范围． 解：(1)当k＝0时，－<0显然成立； 当k≠0时， 解得－3<k<0. 综上，k的取值范围为{k|－3<k≤0}． (2)由题意，知k≠0，函数图象的对称轴为直线x＝－＝－， 当k>0时，函数的图象开口向上， 所以无解，不符合题意； 当k<0时，函数的图象开口向下， 所以 解得k<－3. 综上，k的取值范围为{k|k<－3}． 19．已知函数y＝ax2－(2a＋3)x＋6(a∈R)． (1)若y>0的解集是{x|x<2，或x>3}，求实数a的值； (2)若y＋2>0恒成立，求实数a的取值范围； (3)当a＝1时，若－2≤x≤2，函数y≤－(m＋5)x＋3＋m有解，求m2＋3的取值范围． 解：(1)因为y＝ax2－(2a＋3)x＋6>0的解集是{x|x<2，或x>3}， 所以解得a＝1. (2)若y＋2>0恒成立， 则ax2－(2a＋3)x＋8>0恒成立． 当a＝0时，ax2－(2a＋3)x＋8＝－3x＋8>0不恒成立； 当a≠0时， 解得<a<. 综上，实数a的取值范围为. (3)当a＝1时，y≤－(m＋5)x＋3＋m在－2≤x≤2时有解， 即x2＋mx＋3－m≤0在－2≤x≤2时有解， 因为y＝x2＋mx＋3－m的图象开口向上， 对称轴为直线x＝－. ①当－≤－2，即m≥4时，当x＝－2时，函数取得最小值4－2m＋3－m≤0，即m≥，所以m≥4； ②当－2<－<2，即－4<m<4时， 当x＝－时，函数取得最小值， 此时－＋3－m≤0， 解得2≤m<4； ③当－≥2，即m≤－4时，当x＝2时，函数取得最小值，此时4＋2m＋3－m≤0， 解得m≤－7. 综上，m≥2或m≤－7. 所以m2＋3≥7. 1 学科网（北京）股份有限公司 $