2.3 第2课时 一元二次不等式的应用-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册作业与测评全书Word（人教A版）

数学 必修·第一册[人教A版]作业与测评 第2课时　一元二次不等式的应用 知识点一　简单分式不等式的解法 1．不等式≥0的解集为(　　) A．{x|1≤x≤2} B．{x|x≤1，或x>2} C．{x|1≤x<2} D．{x|x>2，或x＝1} 答案：B 解析：≥0等价于(x－1)(x－2)≥0且x－2≠0，所以x≤1或x>2，所以原不等式的解集为{x|x≤1，或x>2}．故选B. 2．若实数a，b满足a＋b<0，则不等式<0的解集为________． 答案：{x|x>－a，或x<b} 解析：原不等式等价于(x＋a)(b－x)<0，即(x＋a)(x－b)>0，又a＋b<0，所以b<－a.所以原不等式的解集为{x|x>－a，或x<b}． 3．解不等式＞1(a∈R)． 解：移项、通分，得＞0⇒[(a－1)x－(a－2)](x－2)＞0.① 当a＝1时，①式可以转化为x＞2； 当a＞1时，①式可以转化为(x－2)＞0； 当a＜1时，①式可以转化为(x－2)＜0； 又当a≠1时，2－＝， 所以当a＞1或a＜0时，2＞； 当a＝0时，2＝； 当0＜a＜1时，2＜. 故当a＝1时，原不等式的解集是{x|x＞2}； 当a＞1时，原不等式的解集是； 当0＜a＜1时，原不等式的解集是； 当a＝0时，原不等式的解集是∅； 当a＜0时，原不等式的解集是. 知识点二　与一元二次不等式有关的恒成立问题 4．不等式ax2－ax＋a＋1>0对任意x∈R恒成立，则实数a的取值范围为(　　) A．{a|a>0} B．{a|a≥0} C. D. 答案：B 解析：①当a＝0时，1>0成立；②当a≠0时，只需解得a>0.综上可得，a≥0.故选B. 5．若当0≤x≤2时，x2－2ax＋a＋2≥0恒成立，则实数a的取值范围为________． 答案：{a|－2≤a≤2} 解析：若当0≤x≤2时，x2－2ax＋a＋2≥0恒成立，则函数y＝x2－2ax＋a＋2在0≤x≤2时的最小值恒大于等于0.二次函数y＝x2－2ax＋a＋2图象的对称轴为直线x＝a.当a≥2时，函数y＝x2－2ax＋a＋2在x＝2时取得最小值，且最小值为6－3a，故6－3a≥0，即a≤2，则a＝2；当a≤0时，函数y＝x2－2ax＋a＋2在x＝0时取得最小值，且最小值为2＋a，故2＋a≥0，则－2≤a≤0；当0<a<2时，函数y＝x2－2ax＋a＋2在x＝a时取得最小值，且最小值为－a2＋a＋2，则－a2＋a＋2≥0，则0<a<2.综上，实数a的取值范围为{a|－2≤a≤2}． 知识点三　一元二次不等式的实际应用 6．某种汽车在水泥路面上的刹车距离s(单位：m)和汽车刹车前的车速v(单位：km/h)之间有如下关系：s＝v＋v2，在一次交通事故中，测得这种车刹车距离大于40 m，则这辆汽车刹车前的车速至少为(精确到1 km/h)(　　) A．76 km/h B.77 km/h C．78 km/h D.80 km/h 答案：B 解析：根据题意，有s＝v＋v2>40，移项整理，得v2＋8v－40×160>0，又v>0，解得v>－4＋4≈76.1.所以这辆汽车刹车前的车速至少为77 km/h.故选B. 7．某礼服租赁公司共有300套礼服供租赁，若每套礼服每天的租价为200元，则所有礼服均被租出；若将每套礼服每天的租价在200元的基础上提高10x元(1≤x≤20，x∈Z)，则被租出的礼服会减少10x套．若要使该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入超过6.24万元，则该礼服租赁公司每套礼服每天的租价应定为(　　) A．220元 B．240元 C．250元 D．280元 答案：C 解析：依题意，每天有300－10x套礼服被租出，该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入为(300－10x)(200＋10x)＝－100x2＋1000x＋60000元．因为要使该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入超过6.24万元，所以－100x2＋1000x＋60000>62400，即x2－10x＋24<0，解得4<x<6.因为1≤x≤20且x∈Z，所以x＝5，即该礼服租赁公司每套礼服每天的租价应定为250元．故选C. 一、单项选择题 1．不等式≥0的解集为(　　) A．{x|－1<x≤1} B．{x|－1≤x<1} C．{x|－1≤x≤1} D．{x|－1<x<1} 答案：B 解析：原不等式⇔∴－1≤x＜1.故选B. 2．某产品的总成本为C万元，与产量x台的关系是C＝3000＋20x－0.1x2，其中0＜x＜240，若每台售价为25万元，那么生产厂家不亏本的最低产量是(　　) A．60台 B．90台 C．120台 D．150台 答案：D 解析：由题意，得25x－C≥0，即25x－3000－20x＋0.1x2≥0，所以x2＋50x－30000＝(x＋200)(x－150)≥0，解得x≥150或x≤－200(舍去)．故选D. 3．不等式mx2＋x＋4m>0在R上恒成立的一个必要不充分条件是(　　) A．m> B．0<m< C．m> D．0<m< 答案：C 解析：因为不等式mx2＋x＋4m>0在R上恒成立，显然m＝0不满足题意，所以解得m>，则不等式mx2＋x＋4m>0在R上恒成立等价于m>.对于A，m>是充要条件，故A不符合题意；对于B，因为m>推不出0<m<，故B不符合题意；对于C，因为m>⇒m>，反之不能推出，故C符合题意；对于D，因为m>推不出0<m<，故D不符合题意．故选C. 4．已知关于x的不等式(a2－4)x2＋(a－2)x－1<0对任意的x∈R恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C. D．{a|a≥2} 答案：C 解析：①当a2－4＝0，即a＝±2时，若a＝2，则－1<0恒成立，因此a＝2满足题意；若a＝－2，则不等式化为－4x－1<0，即x>－，不满足题意．②当a2－4≠0，即a≠±2时，解得－<a<2.综上可得，实数a的取值范围是.故选C. 5．某花卉店售卖一种多肉植物，若每株多肉植物的售价为30元，则每天可卖出25株；若每株多肉植物的售价每降低1元，则日销售量增加5株．为了使这种多肉植物每天的总销售额不低于1250元，则每株这种多肉植物的最低售价为(　　) A．25元 B．20元 C．15元 D．10元 答案：D 解析：设每株这种多肉植物的售价为x元，则销售量为25＋5(30－x)＝175－5x，由题意，得x(175－5x)≥1250，整理，得x2－35x＋250≤0，解得10≤x≤25，所以每株这种多肉植物的最低售价为10元．故选D. 6．若关于x的不等式2x2＋(1－2a)x－a<0的解集中整数有且只有3个，则正数a的取值范围为(　　) A．{a|2<a≤3} B．{a|2≤a<3} C．{a|2<a<3} D．{a|2≤a≤3} 答案：A 解析：原不等式可化为(2x＋1)(x－a)<0，则方程2x2＋(1－2a)x－a＝0的两个根为a和－，又a＞0，所以原不等式的解集为－<x<a，要使不等式的解集中整数有且只有3个，则2<a≤3.故选A. 7．已知满足x2－2x≤0的x使得ax2＋2x－1≤0恒成立，则a的取值范围为(　　) A．{a|a≤－1} B. C．{a|a≥0} D. 答案：A 解析：由x2－2x≤0，可得0≤x≤2，即当0≤x≤2时，ax2＋2x－1≤0恒成立，由ax2＋2x－1≤0可得，ax2≤1－2x，当x＝0时，0≤1，a∈R；当0<x≤2时，由ax2≤1－2x可得，a≤－＝－1，其中－1≥－1，当且仅当x＝1时，等号成立，故a≤－1. 8．若对任意x∈{x|1＜x≤3}，一元二次不等式x2－(m＋2)x＋m＋2≥0恒成立，则m的取值范围是(　　) A．{m|－2＜m＜2} B. C．{m|－2≤m≤2} D．{m|m≤2} 答案：D 解析：设y＝x2－(m＋2)x＋m＋2，其图象的对称轴方程为x＝.当≥3，即m≥4时，一元二次不等式x2－(m＋2)x＋m＋2≥0恒成立，只需当x＝3时，y≥0，即9－3m－6＋m＋2≥0，解得m≤，所以m不存在．当≤1，即m≤0时，一元二次不等式x2－(m＋2)x＋m＋2≥0恒成立，只需当x＝1时，y≥0，即1－m－2＋m＋2≥0，即1≥0，所以m≤0.当1<<3，即0<m<4时，一元二次不等式x2－(m＋2)x＋m＋2≥0恒成立，只需－＋m＋2≥0，解得－2≤m≤2，所以0<m≤2.综上，m≤2.故选D. 二、多项选择题 9．已知关于x的方程x2＋(m－3)x＋m＝0，则下列结论中正确的是(　　) A．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有一个正根一个负根的充要条件是m∈{m|m<0} B．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有两个正实数根的充要条件是m∈{m|0<m≤1} C．方程x2＋(m－3)x＋m＝0无实数根的充要条件是m∈{m|m>1} D．当m＝3时，方程x2＋(m－3)x＋m＝0的两个实数根之和为0 答案：AB 解析：对于A，当x＝0时，函数y＝x2＋(m－3)x＋m的值为m，由二次函数的图象知，方程有一个正根一个负根的充要条件是m∈{m|m<0}，故A正确；对于B，若方程x2＋(m－3)x＋m＝0有两个正实数根x1，x2，则解得0<m≤1，故B正确；对于C，方程x2＋(m－3)x＋m＝0无实数根，则Δ＝(m－3)2－4m<0，解得1<m<9，故C错误；对于D，当m＝3时，方程为x2＋3＝0，无实数根，故D错误．故选AB. 10．下列叙述正确的是(　　) A．若不等式x2－ax＋4≥0在R上恒成立，则－4≤a≤4 B．若不等式x2－ax＋4≥0对任意x∈{x|1≤x≤2}恒成立，则a≤4 C．若方程x2－ax＋4＝0的两根为正数，则a>4 D．若不等式x2－ax＋4≤0的解集是{x|1≤x≤4}，则a＝5 答案：ABD 解析：对于A，由x2－ax＋4≥0恒成立，得Δ＝a2－16≤0，解得－4≤a≤4，故A正确；对于B，当1≤x≤2时，x2－ax＋4≥0恒成立，则a≤x＋，又x＋≥2＝4，当且仅当x＝2时，等号成立，则a≤4，故B正确；对于C，因为方程x2－ax＋4＝0的两根为正数，则解得a≥4，故C错误；对于D，由x2－ax＋4≤0的解集是{x|1≤x≤4}，得1，4是方程x2－ax＋4＝0的两个根，则a＝5，故D正确．故选ABD. 11．若关于x的不等式(x－2)(x－3)<m的解集为{x|x1<x<x2}，则下列说法正确的是(　　) A．当m＝0时，x1＝2，x2＝3 B．若不等式的解集非空，则m>－ C．当m>0时，2<x1<x2<3 D．当m>0时，x1<2<3<x2 答案：ABD 解析：当m＝0时，原不等式为(x－2)(x－3)<0，解得2<x<3，∴x1＝2，x2＝3，故A正确；原不等式可变形为x2－5x＋6－m<0.∵原不等式的解集非空，∴Δ＝(－5)2－4×(6－m)＝4m＋1>0，∴m>－，故B正确；当m>0时，画出函数y＝(x－2)(x－3)和y＝m的图象如图所示，由(x－2)(x－3)＝m的两根为x1，x2，得函数y＝(x－2)(x－3)和y＝m图象交点的横坐标分别为x1，x2，由图可知，x1<2<3<x2，故C错误，D正确．故选ABD. 三、填空题 12．不等式≤0的解集为________． 答案：{x|3≤x<5} 解析：≤0可化为解得3≤x<5. 13．关于x的不等式组的整数解的集合为{－2}，则实数k的取值范围是________． 答案：{k|－3≤k<2} 解析：由x2－x－2＞0，得x＞2或x＜－1，又由2x2＋(2k＋5)x＋5k＜0可得，(2x＋5)(x＋k)＜0，如图所示，由已知条件可得解得－3≤k＜2. 14．某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，六月份的销售额为500万元，七月份的销售额比六月份增加x%，八月份的销售额比七月份增加x%，九、十月份的销售总额与七、八月份的销售总额相等，若一月份至十月份的销售总额至少为7000万元，则x的最小值为________，八月份的销售额至少为________万元． 答案：20　720 解析：由题意，得七月份的销售额为500(1＋x%)，八月份的销售额为500(1＋x%)2，所以一月份至十月份的销售总额为3860＋500＋2[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]≥7000，解得1＋x%≤－(舍去)或1＋x%≥，即x%≥20%，所以x的最小值为20，八月份的销售额至少为500×(1＋20%)2＝720万元． 15．[多选]若存在m，n(m<n－1)，使得0≤x2＋ax＋b≤c－x的解集为{x|m≤x≤m＋1，或x＝n}，则下列结论正确的是(　　) A．x2＋ax＋b≥0的解集为{x|x≤m＋1，或x≥n} B．x2＋ax＋b≤c－x的解集为{x|m＋1≤x≤n} C．c＝－n D．a2＋2a>4b－4c 答案：AD 解析：对于A，B，因为m<n－1，故m＋1<n，由题意，得x2＋ax＋b≤c－x的解集为{x|m≤x≤n}，x2＋ax＋b≥0的解集为{x|x≤m＋1，或x≥n}，故A正确，B错误；对于C，因为x2＋(a＋1)x＋b－c＝0的两个根为m，n，x2＋ax＋b＝0的两个根为m＋1，n，故m＋n＝－a－1，mn＝b－c，m＋1＋n＝－a，(m＋1)n＝b，由于mn＝b－c，(m＋1)n＝b，故b－c＋n＝b，所以n＝c，故C错误；对于D，因为n－m>1，n－m＝＝，故>1，两边平方，得a2＋2a>4b－4c，故D正确．故选AD. 16．已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－1<x<2}．若不存在整数x满足不等式(akx＋bk2＋2c)(2c－bx)<0，则实数k的取值范围是________． 答案：{k|1≤k≤4} 解析：不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－1<x<2}，则a<0，且－1，2为方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，由根与系数的关系，得即b＝－a，c＝－2a.将b＝－a，c＝－2a代入不等式(akx＋bk2＋2c)(2c－bx)<0，化简，得a2(kx－k2－4)(x－4)<0，即(kx－k2－4)(x－4)<0.容易判断k＝0或k<0时，均不符合题意，所以k>0.所以原不等式即为(x－4)<0，依题意应有3≤≤5且k>0，所以1≤k≤4. 17．若a>1，关于x的不等式x2－x＋9<0的解集中有且仅有四个整数，则实数a的取值范围是________． 答案： 解析：由x2－x＋9<0，可得(x－a)<0，①当a<，即1<a<3时，不等式的解集为，若解集中仅有四个整数，为2，3，4，5，则所以≤a<；若解集中仅有四个整数，为3，4，5，6，则无解，②当a＝，即a＝3时，不等式的解集为∅，不符合题意．③当a>，即a>3时，不等式的解集为，若满足解集中仅有四个整数，可能为1，2，3，4或2，3，4，5或3，4，5，6，当整数解为1，2，3，4时，0<<1，且4<a≤5，无解；当整数解为2，3，4，5时，1≤<2且5<a≤6，解得5<a≤6；当整数解为3，4，5，6时，2≤<3且6<a≤7，无解．综上，实数a的取值范围是. 18．如图是一份矩形的宣传单，其排版面积(矩形ABCD)为P，左右两边都留有宽为a cm的空白，顶部和底部都留有宽为2a cm的空白． (1)若AB＝20 cm，BC＝30 cm，且该宣传单的面积不超过1000 cm2，则a的最大值是多少？ (2)若a＝2 cm，P＝800 cm2，则当AB长多少时，宣传单的面积最小？最小的面积是多少？ 解：(1)由宣传单的面积不超过1000 cm2，可得(20＋2a)(30＋4a)≤1000， 化简，得2a2＋35a－100≤0， 即(2a－5)(a＋20)≤0， 解得－20≤a≤， 又a>0，所以0<a≤，故a的最大值为. (2)设AB＝x cm，则BC＝ cm，设宣传单的面积为S， 则S＝(x＋4)＝8x＋＋832 ≥832＋2＝1152， 当且仅当8x＝(x>0)，即x＝20时，等号成立． 所以当AB的长为20 cm时，宣传单的面积最小，最小的面积是1152 cm2. 19．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为实数)． (1)若y<0的解集为{x|1<x<2}，求不等式cx2＋bx＋a<0的解集； (2)若不等式y≥2ax＋b对任意x∈R恒成立，求的最大值； (3)若对任意x∈R，2x＋2≤y≤2x2－2x＋4恒成立，求ab的最大值． 解：(1)因为ax2＋bx＋c<0的解集为{x|1<x<2}， 所以ax2＋bx＋c＝0的两个根为1和2，且a>0， 所以1＋2＝－，1×2＝， 故b＝－3a，c＝2a， 所以cx2＋bx＋a<0，即2ax2－3ax＋a<0， 即2x2－3x＋1<0，即(2x－1)(x－1)<0， 解得<x<1， 所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集为. (2)依题意a≠0，因为y≥2ax＋b恒成立， 所以ax2＋(b－2a)x＋c－b≥0恒成立， 所以⇔b2＋4a2－4ac≤0(a>0)，所以0≤b2≤4a(c－a)， 所以≤＝， 令t＝－1， 因为4a(c－a)≥b2≥0， 所以c≥a⇒≥1，从而t≥0，所以≤＝，①当t＝0时，＝0；②当t>0时，＝≤＝2－2，当且仅当t＝，即t＝时，等号成立， 所以的最大值为2－2. (3)令x＝1，则4≤a＋b＋c≤4， 所以a＋b＋c＝4. 对任意x∈R，2x＋2≤ax2＋bx＋c恒成立， 所以ax2＋(b－2)x＋c－2≥0恒成立， 所以a>0，且Δ1＝(b－2)2－4a(c－2)＝(a＋c－2)2－4a(c－2)＝(a－c＋2)2≤0； 对任意x∈R，ax2＋bx＋c≤2x2－2x＋4恒成立， 所以(2－a)x2－(2＋b)x＋4－c≥0恒成立， 所以2－a>0，且Δ2＝(2＋b)2－4(2－a)(4－c)＝(6－a－c)2－4(2－a)(4－c)＝(a－c＋2)2≤0， 所以0<a<2，且c＝a＋2，此时b＝2－2a， 所以ab＝a(2－2a)＝2a(1－a)＝－2＋≤， 当且仅当a＝时，等号成立，此时b＝1，c＝. 故ab的最大值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $