2.3 第1课时 二次函数与一元二次方程、不等式-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册作业与测评全书Word（人教A版）

数学 必修·第一册[人教A版]作业与测评 第1课时　二次函数与一元二次方程、不等式 知识点一　一元二次不等式的定义及其解法 1．给出下列不等式： ①x2－5x>0；②x2<0；③ax2＋bx＋c>0；④mx2＋2≤0；⑤x3＋4x＋a≤0. 其中是一元二次不等式的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案：B 解析：根据一元二次不等式的定义知①②是一元二次不等式． 2．不等式－x2＋x＋2>0的解集为(　　) A．{x|－1<x<2} B．{x|－2<x<1} C．{x|x<－1，或x>2} D．{x|x<－2，或x>1} 答案：A 解析：不等式－x2＋x＋2>0可化为x2－x－2<0，即(x－2)(x＋1)<0，可得或解得－1<x<2，所以不等式－x2＋x＋2>0的解集为{x|－1<x<2}．故选A. 3．不等式(2x－5)(x＋3)<0的解集为________． 答案： 解析：原不等式等价于(x＋3)<0，解得－3<x<，故原不等式的解集为. 4．要使有意义，则x的取值范围为________． 答案：{x|－7<x<1} 解析：要使有意义，则7－6x－x2>0，即(x＋7)(x－1)<0，所以－7<x<1. 知识点二　含参数的一元二次不等式的解法 5．不等式x2－(2a＋1)x＋a2＋a<0的解集为(　　) A．{x|a<x<a＋1} B．{x|x<a，或x>a＋1} C．{x|a<x<a2} D．不等式的解集与a有关，要分类讨论 答案：A 解析：x2－(2a＋1)x＋a2＋a<0变形为(x－a)[x－(a＋1)]<0，显然a<a＋1，故原不等式的解集为{x|a<x<a＋1}．故选A. 6．解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(x∈R)． 解：原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0. ①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0， 解得x≤－1. ②当a>0时，原不等式化为(x＋1)≥0， 解得x≥或x≤－1. ③当a<0时，原不等式化为(x＋1)≤0. 当>－1，即a<－2时，解得－1≤x≤； 当＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1； 当<－1，即－2<a<0时，解得≤x≤－1. 综上所述，当a＝0时，原不等式的解集为{x|x≤－1}； 当a>0时，原不等式的解集为； 当－2<a<0时，原不等式的解集为； 当a＝－2时，原不等式的解集为{－1}； 当a<－2时，原不等式的解集为. 知识点三　三个“二次”之间的关系 7．已知不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－2<x<1}，则不等式2x2＋bx＋a<0的解集为(　　) A. B. C．{x|－2<x<1} D．{x|x<－2，或x>1} 答案：A 解析：由题意知x＝－2，x＝1是方程ax2＋bx＋2＝0的两个根，则解得a＝－1，b＝－1，所以2x2＋bx＋a＝2x2－x－1＝(2x＋1)(x－1)<0，结合二次函数的图象，解得－<x<1.故选A. 8．若关于x的不等式(1－a)x2－4x＋6<0的解集是{x|x<－3，或x>1}． (1)求实数a的值； (2)解关于x的不等式2x2＋(2－a)x－a>0. 解：(1)∵不等式(1－a)x2－4x＋6<0的解集为{x|x<－3，或x>1}， ∴二次函数y＝(1－a)x2－4x＋6的图象与x轴的两个交点分别为(－3，0)，(1，0)， 且二次函数y＝(1－a)x2－4x＋6的图象开口向下． ∴ 解得a＝3. (2)由(1)，得2x2＋(2－a)x－a>0可化为2x2－x－3＝(2x－3)(x＋1)>0， 结合二次函数的图象，解得x<－1或x>. ∴原不等式的解集为. 一、单项选择题 1．不等式4x2－12x＋9≤0的解集是(　　) A．∅ B．R C. D. 答案：D 解析：原不等式可化为(2x－3)2≤0，故x＝.故选D. 2．不等式(3x－2)(2－x)≥0的解集是(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：原不等式等价于(x－2)≤0，解得≤x≤2，故选A. 3．“a>b”是“关于x的不等式x2－(a＋b)x＋ab<0有解”的(　　) A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：C 解析：若关于x的不等式x2－(a＋b)x＋ab<0有解，则Δ＝(a＋b)2－4ab＝(a－b)2>0，得a≠b.由a>b可以推出a≠b，由a≠b不能推出a>b，所以“a>b”是“关于x的不等式x2－(a＋b)x＋ab<0有解”的充分不必要条件．故选C. 4．若不等式ax2＋2x＋c<0的解集是，则不等式cx2－2x＋a≤0的解集是(　　) A. B. C．{x|－2≤x≤3} D．{x|－3≤x≤2} 答案：C 解析：因为不等式ax2＋2x＋c<0的解集是，所以－和是方程ax2＋2x＋c＝0的两个实数根，由解得故不等式cx2－2x＋a≤0，即2x2－2x－12≤0，即x2－x－6≤0，解得－2≤x≤3，所以所求不等式的解集是{x|－2≤x≤3}．故选C. 5．当m>1时，关于x的不等式x2＋(m－1)x－m≥0的解集是(　　) A．{x|x≤1，或x≥－m} B．{x|1≤x≤－m} C．{x|x≤－m，或x≥1} D．{x|－m≤x≤1} 答案：C 解析：不等式x2＋(m－1)x－m≥0可化为(x－1)(x＋m)≥0，∵m>1，∴－m<－1<1，∴原不等式的解集为{x|x≤－m，或x≥1}． 6．若关于x的不等式ax2－6x＋a2<0的解集是{x|1<x<m}，则m＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 答案：A 解析：根据不等式与方程之间的关系知1为方程ax2－6x＋a2＝0的一个根，即a2＋a－6＝0，解得a＝2或a＝－3.当a＝2时，不等式ax2－6x＋a2<0的解集是{x|1＜x＜2}，符合要求；当a＝－3时，不等式ax2－6x＋a2<0的解集是{x|x<－3，或x>1}，不符合要求，舍去．故m＝2.故选A. 7．若关于x的不等式x2－(a－1)x＋4≤0的解集为{x|m≤x≤n}，且1≤m<n≤3，则a的取值范围是(　　) A．{a|4<a≤5} B．{a|3≤a≤16} C. D. 答案：C 解析：由题意，知解得5<a≤. 8．已知不等式ax2＋bx＋c<0的解集为{x|x<－1，或x>3}，则下列结论正确的是(　　) A．a>0 B．c<0 C．a＋b＋c>0 D．cx2－bx＋a<0的解集为 答案：C 解析：对于A，B，由题意知，－1和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，且a<0，则有－1＋3＝－，(－1)×3＝，故b＝－2a，c＝－3a.又a<0，所以b>0，c>0，故A，B错误；对于C，a＋b＋c＝a－2a－3a＝－4a>0，故C正确；对于D，由以上分析，不等式cx2－bx＋a<0可化为a(3x＋1)(x－1)>0，因为a<0，所以－<x<1，即cx2－bx＋a<0的解集为，故D错误．故选C. 二、多项选择题 9．对于给定的实数a，关于x的一元二次不等式a(x－a)(x＋1)>0的解集可能为(　　) A．∅ B．{x|－1<x<a} C．{x|a<x<－1} D．{x|x<a，或x>－1} 答案：ABC 解析：对于a(x－a)(x＋1)>0，当a>0时，y＝a(x－a)(x＋1)的图象开口向上，与x轴的交点的横坐标为a，－1，故不等式的解集为{x|x<－1，或x>a}；当a<0时，y＝a(x－a)(x＋1)的图象开口向下，若a＝－1，不等式的解集为∅；若－1<a<0，不等式的解集为{x|－1<x<a}；若a<－1，不等式的解集为{x|a<x<－1}．综上，A，B，C都可能成立．故选ABC. 10．若关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|x<－2，或x>4}，则下列说法正确的是(　　) A．a>0 B．a＋b＋c>0 C．不等式bx＋c>0的解集为{x|x<－4} D．不等式cx2－bx＋a<0的解集为 答案：ACD 解析：由一元二次不等式的解集结构，可得a>0且－2和4是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，故－2＋4＝－，－2×4＝，得b＝－2a，c＝－8a.对于A，由a>0可判断A正确；对于B，a＋b＋c＝a－2a－8a＝－9a<0，故B错误；对于C，由bx＋c>0，得－2ax－8a>0，得x<－4，故C正确；对于D，由cx2－bx＋a<0，得－8ax2＋2ax＋a<0，不等式两边同除以(－a)，得8x2－2x－1>0，解得x<－或x>，故D正确．故选ACD. 11．已知函数y＝x2＋mx＋n(m>0)的图象与x轴有且只有一个交点，则下列结论正确的是(　　) A．m2－n2≤4 B．0<m2＋<4 C．不等式x2＋mx＋n<0的解集为∅ D．若不等式x2＋mx＋n<4的解集为{x|x1<x<x2}，则|x1－x2|＝4 答案：ACD 解析：因为函数y＝x2＋mx＋n(m>0)的图象与x轴有且只有一个交点，所以Δ＝m2－4n＝0，即m2＝4n>0.对于A，因为m2－n2－4＝4n－n2－4＝－(n－2)2≤0，所以m2－n2≤4，故A正确；对于B，因为m2＋＝4n＋≥2＝4，当且仅当n＝，m＝时，等号成立，故B错误；对于C，因为Δ＝m2－4n＝0，所以不等式x2＋mx＋n<0的解集为∅，故C正确；对于D，因为不等式x2＋mx＋n<4的解集为{x|x1<x<x2}，所以方程x2＋mx＋n－4＝0的两根为x1，x2，且x1＋x2＝－m，x1x2＝n－4，所以|x1－x2|＝＝＝＝＝4，故D正确．故选ACD. 三、填空题 12．不等式－1＜x2＋2x－1≤2的解集是________． 答案：{x|－3≤x＜－2，或0＜x≤1} 解析：∵解得∴－3≤x＜－2或0＜x≤1. 13．已知不等式ax2＋bx＋2>0的解集为，则a＝________，b＝________． 答案：－12　－2 解析：∵不等式ax2＋bx＋2>0的解集为，∴－，为方程ax2＋bx＋2＝0的两个根，由根与系数的关系，得解得 14．若关于x的方程8x2－(m－1)x＋m－7＝0的两根均大于1，则m的取值范围是________． 答案：{m|m≥25} 解析：令y＝8x2－(m－1)x＋m－7.∵方程8x2－(m－1)x＋m－7＝0的两根均大于1，∴由二次函数的图象，得 解得 ∴m的取值范围是{m|m≥25}． 15．[多选]已知关于x的不等式(2a＋3m)x2－(b－3m)x－1>0(a>0，b>0)的解集为，则下列结论正确的是(　　) A．2a＋b＝1 B．ab的最大值为 C.＋的最小值为4 D.＋的最小值为3＋2 答案：ABD 解析：由题意，不等式(2a＋3m)x2－(b－3m)x－1>0的解集为，可得2a＋3m>0，且方程(2a＋3m)x2－(b－3m)x－1＝0的两根为－1和，所以所以2a＋3m＝2，b－3m＝－1，所以2a＋b＝1，故A正确；因为a>0，b>0，所以2a＋b＝1≥2，可得ab≤，当且仅当2a＝b＝时，等号成立，所以ab的最大值为，故B正确；＋＝(2a＋b)＝4＋＋≥4＋2＝4＋4＝8，当且仅当＝，即2a＝b＝时，等号成立，所以＋的最小值为8，故C错误；＋＝(2a＋b)＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，当且仅当＝，即a＝1－，b＝－1时，等号成立，所以＋的最小值为3＋2，故D正确．故选ABD. 16．已知关于x的不等式x2－mx＋n<0(其中m，n均为实数)的解集为{x|x1＜x＜x2}，且x1，x2满足x＋x＝x1x2＋3，则m的取值范围是________． 答案：{m|－2<m<2} 解析：由题意可知，方程x2－mx＋n＝0的两个根为x1，x2，所以x1＋x2＝m，x1x2＝n，因为x＋x＝x1x2＋3，所以(x1＋x2)2－3x1x2－3＝0，故m2－3n－3＝0，则n＝，又Δ＝m2－4n>0，所以m2－4×>0，解得－2<m<2，所以m的取值范围是{m|－2<m<2}． 17．已知a，b，c为正整数，方程ax2＋bx＋c＝0的两个实数根为x1，x2(x1≠x2)，且|x1|<1，|x2|<1，则a＋b＋c的最小值为________． 答案：11 解析：因为|x1|<1，|x2|<1，又x1x2＝，a，b，c为正整数，所以x1x2＝∈{x|0<x<1}，又x1＋x2＝－<0，故x1，x2∈{x|－1<x<0}，因为方程有两个不相等的实数根，故Δ＝b2－4ac>0，依题意，可知故又a，b，c为正整数，取c＝1，则a＋1>b，a≥b，所以a2≥b2>4ac＝4a，a>4.从而a≥5，所以b2>4ac≥20.又b<5＋1＝6，所以b＝5，因此a＋b＋c能取到最小值，为1＋5＋5＝11.当c≥2时，a≥3，从而b2>4ac≥24，所以b≥5，又a＋c>b≥5，所以a＋c≥6，所以a＋b＋c≥11.综上，a＋b＋c的最小值为11. 18．已知关于x的不等式x2－x＋1≤0. (1)当a＝时，求关于x的不等式的解集； (2)若a>0，求关于x的不等式的解集． 解：(1)当a＝时，有x2－x＋1≤0， 即2x2－5x＋2≤0，解得≤x≤2， 故不等式的解集为. (2)x2－x＋1≤0⇔(x－a)≤0， ①当0<a<1时，a<，不等式的解集为； ②当a＝1时，a＝＝1，不等式的解集为{1}； ③当a>1时，a>，不等式的解集为. 综上，当0<a<1时，不等式的解集为； 当a＝1时，不等式的解集为{1}； 当a>1时，不等式的解集为. 19．符号[x]表示不大于x(x∈R)的最大整数，例如：[1.3]＝1，[2]＝2，[－1.2]＝－2. (1)解下列两个方程[x]＝3，[2x]＝－3； (2)求方程4x2－40[x]＋51＝0的实数解． 解：(1)∵[x]＝3，∴3≤x<4. ∵[2x]＝－3， ∴－3≤2x<－2， ∴－≤x<－1. (2)∵[x]≤x<[x]＋1，又当[x]<0时，方程4x2－40[x]＋51＝0不成立， ∴[x]≥0， ∴([x])2≤x2<([x]＋1)2， ∴4([x])2≤40[x]－51<4([x]＋1)2， ∴ ∴ ∴ ∴≤[x]<或<[x]≤， ∴[x]＝2或[x]＝6或[x]＝7或[x]＝8. 当[x]＝2时，原方程化为4x2－29＝0， 解得x＝； 当[x]＝6时，原方程化为4x2－189＝0， 解得x＝； 当[x]＝7时，原方程化为4x2－229＝0， 解得x＝； 当[x]＝8时，原方程化为4x2－269＝0， 解得x＝. 经检验知，这四个值都是原方程的解． 故方程4x2－40[x]＋51＝0的实数解为x＝或x＝或x＝或x＝. 1 学科网（北京）股份有限公司 $