2.1 第1课时 不等关系与不等式-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册作业与测评全书Word（人教A版）

数学 必修·第一册[人教A版]作业与测评 第1课时　不等关系与不等式 知识点一　用不等式表示不等关系 1．用不等式表示下列关系： (1)x为非负数； (2)x为实数，且大于1不大于6； (3)x与y的平方和不小于2，且不大于10. 解：(1)x≥0. (2)x∈R且1<x≤6. (3)2≤x2＋y2≤10. 2．用不等式表示下列关系： (1)最低限速：限制行驶时速v不得低于50千米； (2)限制质量：装载总质量G不得超过10 t； (3)限制高度：装载高度h不得超过3.5米； (4)限制宽度：装载宽度a不得超过3米． 解：(1)v≥50.(2)G≤10.(3)h≤3.5.(4)a≤3. 知识点二　用不等式组表示不等关系 3．在某校新生军训考核评比中，甲班的分数大于乙班的分数，甲班和乙班的分数之和大于170，且不大于190.设甲班和乙班的分数分别为x，y，则用不等式组表示为(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：由题意，得故选D. 4．某蛋糕师制作A，B两种蛋糕，原材料中面粉、黄油、牛奶的需求量如下：制作一个A种蛋糕需要面粉150 g，黄油100 g，牛奶50 mL；制作一个B种蛋糕需要面粉200 g，黄油140 g，牛奶70 mL.现有面粉1000 g，黄油600 g，牛奶350 mL，若分别制作x个A种蛋糕，y个B种蛋糕，试列出x，y满足的不等式组． 解：①制作A，B两种蛋糕需要的面粉不超过1000 g，用不等式表示为150x＋200y≤1000； ②制作A，B两种蛋糕需要的黄油不超过600 g，用不等式表示为100x＋140y≤600； ③制作A，B两种蛋糕需要的牛奶不超过350 mL，用不等式表示为50x＋70y≤350； ④A，B两种蛋糕的制作量都应不少于0，且为整数个，故x∈N，y∈N. 所以x，y满足的不等式组为 知识点三　作差法比较大小 5．已知m＝－，n＝－，其中a≥3，则m，n的大小关系为(　　) A．m＞n B．m＝n C．m＜n D．大小不确定 答案：C 解析：∵m－n＝(－)－(－)＝－<0，∴m<n.故选C. 6．(1)比较x6＋1与x4＋x2的大小，其中x∈R； (2)设x，y，z∈R，比较5x2＋y2＋z2与2xy＋4x＋2z－2的大小． 解：(1)∵x6＋1－(x4＋x2)＝x6－x4－x2＋1 ＝x4(x2－1)－(x2－1)＝(x2－1)(x4－1) ＝(x2－1)2(x2＋1)≥0， ∴x6＋1≥x4＋x2，当且仅当x＝±1时，等号成立． (2)∵(5x2＋y2＋z2)－(2xy＋4x＋2z－2) ＝4x2－4x＋1＋x2－2xy＋y2＋z2－2z＋1 ＝(2x－1)2＋(x－y)2＋(z－1)2≥0， ∴5x2＋y2＋z2≥2xy＋4x＋2z－2， 当且仅当x＝y＝且z＝1时，等号成立． 知识点四　不等关系的实际应用 7．为打造“书香校园”，某学校计划用不超过1900本科技类书籍和1620本人文类书籍，组建中、小型两类图书角共30个．已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本，设组建中型图书角x个，用不等式组将题目中的不等关系表示出来，并指出有哪些符合题意的组建方案． 解：因为组建中型图书角x个， 所以组建小型图书角(30－x)个， 则 解得18≤x≤20，x∈N＋. 所以x的取值是18，19，20. 当x＝18时，30－x＝12； 当x＝19时，30－x＝11； 当x＝20时，30－x＝10. 故有三种组建方案： 方案一：组建中型图书角18个，小型图书角12个； 方案二：组建中型图书角19个，小型图书角11个； 方案三：组建中型图书角20个，小型图书角10个． 8．已知b克糖水中含有a克糖(b>a>0)，再添加m克糖(m>0)(假设全部溶解)，糖水变甜了．请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立． 解：b克糖水中含有a克糖(b>a>0)，则糖在糖水中所占的比例为， 再添加m克糖(m>0)(假设全部溶解)，则糖在糖水中所占的比例为， 糖水变甜了，说明加糖后，糖在糖水中所占的比例变大了，即有>. 证明如下：－＝＝>0，则>. 一、单项选择题 1．下列说法正确的是(　　) A．某人的月收入x元不高于2000元可表示为“x<2000” B．小明的身高为x，小华的身高为y，则小明比小华矮可表示为“x>y” C．变量x不小于a可表示为“x≥a” D．变量y不超过a可表示为“y≥a” 答案：C 解析：对于A，某人的月收入x元不高于2000元可表示为“x≤2000”，A错误；对于B，小明的身高为x，小华的身高为y，则小明比小华矮可表示为“x<y”，B错误；对于C，变量x不小于a可表示为“x≥a”，C正确；对于D，变量y不超过a可表示为“y≤a”，D错误．故选C. 2．按照神州十九号飞船环境控制与生命保障系统的设计指标，要求神州十九号飞船返回舱的温度在(21±4) ℃之间(包含端点)，则该返回舱中温度t(单位：℃)的取值范围是(　　) A．t≤25 B．t≥17 C．17≤t≤25 D．17<t<25 答案：C 解析：由题意知21－4≤t≤21＋4，即17≤t≤25. 3．某学生月考数学成绩x不低于100分，英语成绩y和语文成绩z的总成绩高于200分且低于240分，用不等式组表示为(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：数学成绩x不低于100分表示为x≥100，英语成绩y和语文成绩z的总成绩高于200分且低于240分表示为200<y＋z<240，即故选D. 4．若A＝a2＋3ab，B＝4ab－b2，则A与B的大小关系是(　　) A．A≤B B．A≥B C．A<B或A>B D．A>B 答案：B 解析：∵A－B＝a2＋3ab－(4ab－b2)＝＋b2≥0，∴A≥B. 5．已知a＝，b＝，则a与b之间的大小关系是(　　) A．a＝b B．a>b C．a<b D．无法比较 答案：C 解析：因为a＝＝＝2025－，b＝＝ ＝2025－，所以a－b＝－＝ <0，所以a<b.故选C. 6．已知正数a，b满足a2＋b2－ab＝4，则a2＋b2的最大值为(　　) A．8 B．6 C．4 D．2 答案：A 解析：由题意可知，a>0，b>0，a2＋b2－ab＝4，则a2＋b2＝ab＋4≥2ab，所以ab≤4，所以a2＋b2＝ab＋4≤4＋4＝8，当且仅当a＝b＝2时，等号成立，所以a2＋b2的最大值为8. 7．火车站有某公司待运的甲种货物1530吨，乙种货物1150吨．现计划用A，B两种型号的货箱共50节运送这批货物．已知35吨甲种货物和15吨乙种货物可装满一节A型货箱，25吨甲种货物和35吨乙种货物可装满一节B型货箱，据此安排A，B两种货箱的节数，下列哪个方案不满足？(　　) A．A货箱28节，B货箱22节 B．A货箱29节，B货箱21节 C．A货箱31节，B货箱19节 D．A货箱30节，B货箱20节 答案：C 解析：设A，B货箱分别有x，y节，则对于A，共50节且35×28＋25×22＝1530，15×28＋35×22＝1190>1150，满足；对于B，共50节且35×29＋25×21＝1540>1530，15×29＋35×21＝1170>1150，满足；对于C，共50节且35×31＋25×19＝1560>1530，15×31＋35×19＝1130<1150，不满足；对于D，共50节且35×30＋25×20＝1550>1530，15×30＋35×20＝1150，满足．故选C. 8．近年来受各种因素影响，国际大宗商品价格波动较大，我国某钢铁企业需要不间断地从澳大利亚采购铁矿石，为保证企业利益最大化，提出以下两种采购方案．方案一：不考虑铁矿石价格升降，每次采购铁矿石的数量一定；方案二：不考虑铁矿石价格升降，每次采购铁矿石所花的钱数一定．则下列说法正确的是(　　) A．方案一更经济 B.方案二更经济 C．两种方案一样 D.条件不足，无法确定 答案：B 解析：设第一次购买铁矿石的价格为p1>0，第二次购买铁矿石的价格为p2>0，方案一：若每次购买数量为n，则两次购买的平均价格为x1＝＝，方案二：若每次购买钱数为m，则两次购买的平均价格为x2＝＝，所以x1－x2＝－＝＝≥0，即x1≥x2，当且仅当p1＝p2时，等号成立，所以方案二更经济．故选B. 二、多项选择题 9．铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130 cm，且体积不超过72000 cm3，设携带品外部尺寸长、宽、高分别为a，b，c(单位：cm)，这个规定用数学关系式可表示为(　　) A．a＋b＋c<130 B．a＋b＋c≤130 C．abc<72000 D．abc≤72000 答案：BD 解析：由长、宽、高之和不超过130 cm，得a＋b＋c≤130，由体积不超过72000 cm3，得abc≤72000.故选BD. 10．下列不等式正确的是(　　) A．x2＋3>2x B．a3＋b3≥a2b＋ab2 C．a2＋b2≥8b－4a－20 D．a4＋b4≥2a2b2 答案：ACD 解析：对于A，∵x2＋3－2x＝(x－1)2＋2>0，∴x2＋3>2x，A正确；对于B，∵a3＋b3－a2b－ab2＝a2(a－b)＋b2(b－a)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)(a－b)(a＋b)＝(a＋b)(a－b)2，(a－b)2≥0，但a＋b的符号不能确定，B不一定正确；对于C，∵a2＋b2－(8b－4a－20)＝(a＋2)2＋(b－4)2≥0，∴a2＋b2≥8b－4a－20，C正确；对于D，∵a4＋b4－2a2b2＝(a2－b2)2≥0，∴a4＋b4≥2a2b2，D正确． 11．19世纪戴德金利用他提出的分割理论，从对有理数集的分割精确地给出了实数的定义，并且该定义作为现代数学实数理论的基础之一可以推出实数理论中的六大基本定理，那么在证明有理数的不完备性时，经常会用到以下两个式子，已知正有理数p，满足p2<2，q＝p－，则下列说法正确的是(　　) A．p<q B．p>q C．q< D．q> 答案：AC 解析：因为p－q＝p－p＋＝，而p2<2，p>0，所以<0，即p<q，故A正确，B错误；因为q＝p－＝>0，q2－()2＝＝<0，所以q2<()2，即q<，故C正确，D错误．故选AC. 三、填空题 12．雷电的温度大约是28000 ℃，比太阳表面温度的4.5倍还要高．设太阳表面温度为t ℃，那么t应满足的关系式是________． 答案：4.5t<28000 解析：因为雷电的温度大约是28000 ℃，比太阳表面温度的4.5倍还要高，所以4.5t<28000. 13．若x<y<0，设M＝(x2＋y2)(x－y)，N＝x2y－xy2，则M，N的大小关系是________． 答案：M<N 解析：M－N＝(x2＋y2)(x－y)－(x2y－xy2)＝(x－y)(x2＋y2－xy)＝(x－y)，因为x<y<0，所以x－y<0，＋>0，所以(x－y)<0，所以M<N. 14．某学校高一(3)班为该班男生分配宿舍，如果每个宿舍安排3人，就会有6名男生没有宿舍住，如果每个宿舍安排5人，有一间宿舍不到5名男生，那么该学校高一(3)班的男生宿舍可能的房间数量是________． 答案：4或5 解析：设男生宿舍的房间数量为x，由题意可得5(x－1)＋1≤3x＋6<5x，解得3<x≤5，∵x为正整数，∴x＝4或5.故该学校高一(3)班的男生宿舍可能的房间数量是4或5. 15．某校新生加入乒乓球协会的学生人数多于加入篮球协会的学生人数，加入篮球协会的学生人数多于加入足球协会的学生人数，加入足球协会学生人数的3倍多于加入乒乓球协会和加入篮球协会的学生人数之和，若该校新生每人只能加入其中一个协会，则该校新生中加入这三个协会的总人数至少为(　　) A．9 B．12 C．15 D．18 答案：C 解析：依题意，设加入乒乓球协会、篮球协会、足球协会的学生人数分别为a，b，c，则又a，b，c∈N＋，若c＝1，则a＋b≥3＋2＝5，不满足3c>a＋b；若c＝2，则a＋b≥4＋3＝7，不满足3c>a＋b；若c＝3，则a＋b≥5＋4＝9，不满足3c>a＋b；若c＝4，则a＋b≥6＋5＝11，满足3c>a＋b.则cmin＝4，amin＝6，bmin＝5，则(a＋b＋c)min＝15.故选C. 16．在西方，人们把宽与长之比为的矩形称为黄金矩形，这个比例被称为黄金分割比例．如图，名画《蒙娜丽莎的微笑》的整个画面的主体部分便很好地体现了黄金分割比例，其中矩形ABCD、矩形BCFE、矩形EBHG、矩形GEJI、矩形GKLI为黄金矩形．若画中点G与点K间的距离超过3.2 cm，点C与点F间的距离不超过14 cm，则该名画中，A与B间的距离可能为(参考数据：0.6184≈0.146，0.6185≈0.090，0.6186≈0.056，0.6187≈0.034)(　　) A．34 cm B．36 cm C．37 cm D．37.5 cm 答案：B 解析：由黄金矩形的定义，可知＝＝＝＝＝，所以····＝＝≈0.090，所以AB≈>≈35.56(cm).·＝＝≈0.38，所以AB≈≤≈36.84(cm)，所以35.56<AB<36.84，对照各选项，只有B符合．故选B. 17.矩形ABCD的一组邻边长为a，b－c，矩形EFGH的一组邻边长为b，a－c(a>b>c>0)．按如图所示的方式重叠后两阴影部分的面积分别为S1，S2，则S1________S2(填“>”“<”或“＝”)． 答案：< 解析：设空白处的面积为S，则S1＝a(b－c)－S，S2＝b(a－c)－S，因为S1－S2＝a(b－c)－S－b(a－c)＋S＝ab－ac－ab＋bc＝c(b－a)<0，所以S1<S2. 18．一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好． (1)若一所公寓的窗户面积与地板面积的总和为165平方米，则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米？ (2)若同时减少相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果是变好了还是变坏了？ 解：(1)设该公寓的窗户面积为x(x>0)平方米，则地板面积为(165－x)平方米， 依题意，得 解得15≤x<82.5， 所以这所公寓的窗户面积至少为15平方米． (2)记窗户面积为a平方米，地板面积为b平方米，同时减少的面积为c平方米， 依题意，得0<a<b，0<c<a，减少面积前后窗户面积与地板面积的比分别为，， 由－＝＝， 因为0<a<b，0<c<a， 所以a－b<0，b－c>0， 则－<0，因此<， 所以同时减少相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果变坏了． 19．现有A，B，C，D四个长方体容器，A，B的底面积均为a2，高分别为a和b，C，D的底面积均为b2，高分别为a和b(其中a≠b)．现规定一种游戏规则：甲、乙两人每人一次从四个容器中取两个且不放回，盛水多者为胜，则先取者有没有必胜的方案？若有的话，有几种？ 解：若先取A，B，后者只能取C，D， 因为(a3＋a2b)－(ab2＋b3)＝a2(a＋b)－b2(a＋b)＝(a＋b)2(a－b)， 因为(a＋b)2>0，而a，b的大小不定，所以(a＋b)2(a－b)的正负不确定，所以这种取法没有必胜的把握； 若先取A，C，后者只能取B，D，因为(a3＋ab2)－(a2b＋b3)＝a(a2＋b2)－b(a2＋b2)＝(a2＋b2)(a－b)，因为a2＋b2>0，而a，b的大小不定，所以(a2＋b2)(a－b)的正负不确定，所以这种取法没有必胜的把握； 若先取A，D，后者只能取B，C，因为(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝(a＋b)(a2－ab＋b2)－ab(a＋b)＝(a＋b)(a－b)2， 又a≠b，a>0，b>0，所以(a＋b)(a－b)2>0， 即a3＋b3>a2b＋ab2， 所以这种取法有必胜的把握． 综上，先取A，D是唯一必胜的方案． 1 学科网（北京）股份有限公司 $