1.5.1 全称量词与存在量词-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册作业与测评全书Word（人教A版）

数学 必修·第一册[人教A版]作业与测评 1．5.1　全称量词与存在量词 知识点一　全称量词命题的识别与真假判断 1．下列命题是全称量词命题的是(　　) A．存在一个实数的平方是负数 B.每个四边形的内角和都是360° C．至少有一个整数x，使得x2＋3x是素数 D．∃x∈R，x2＝x 答案：B 解析：对于A，C，D，均为存在量词命题；B中的命题是全称量词命题．故选B. 2．判断下列全称量词命题的真假： (1)∀x∈R，x2－x＋1≥； (2)三角形两边之和大于第三边； (3)每一条线段的长度都能用正有理数来表示． 解：(1)因为x2－x＋1＝＋≥， 所以“∀x∈R，x2－x＋1≥”是真命题． (2)因为所有三角形中，任意两边之和大于第三边，所以该命题是真命题． (3)如边长为1的正方形，其对角线的长度为，是无理数，故该命题是假命题． 知识点二　存在量词命题的识别与真假判断 3．下列命题中存在量词命题的个数是(　　) ①存在一个无理数，它的立方是有理数；②有些集合无真子集；③能被5整除的整数，个位上是5. A．0 B．1 C．2 D．3 答案：C 解析：命题①②含有存在量词；命题③可以叙述为“所有能被5整除的整数，个位上都是5”，是全称量词命题．故有2个存在量词命题． 4．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题． (1)矩形有一个外接圆； (2)非负实数有两个平方根； (3)有一对实数(x，y)，使2x－y＋1<0成立． 解：(1)可以改写为“所有的矩形都有一个外接圆”，是全称量词命题． (2)可以改写为“所有的非负实数都有两个平方根”，是全称量词命题． (3)可以改写为“∃x∈R，y∈R，使2x－y＋1<0成立”，是存在量词命题． 5．判断下列存在量词命题的真假： (1)∃x∈Z，x3＜1； (2)存在一个四边形不是平行四边形； (3)∃x∈Q，x2＝3； (4)∃x，y为正实数，x2＋y2＝0. 解：(1)因为－1∈Z，且(－1)3＝－1＜1， 所以“∃x∈Z，x3＜1”为真命题． (2)真命题，如梯形． (3)由于使x2＝3成立的数只有±，而它们都不是有理数，因此没有任何一个有理数的平方能等于3，所以“∃x∈Q，x2＝3”为假命题． (4)因为x＞0，y＞0时，x2＋y2＞0，所以“∃x，y为正实数，x2＋y2＝0”为假命题． 知识点三　由全称量词命题与存在量词命题的真假求参数的范围 6．(1)若“关于x的方程mx2－2x＋1＝0有两个不同的实数解”是真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题“∀x∈{x|－1≤x≤2}，x－a≤0”为真命题，求实数a的最小值． 解：(1)因为关于x的方程mx2－2x＋1＝0有两个不同的实数解， 所以m≠0且Δ＝4－4m>0， 解得m<1且m≠0， 故实数m的取值范围是{m|m<1，且m≠0}． (2)因为命题“∀x∈{x|－1≤x≤2}，x－a≤0”为真命题， 则a≥x对任意x∈{x|－1≤x≤2}恒成立， 即a≥xmax＝2，故实数a的最小值为2. 一、单项选择题 1．给出下列命题： ①今天有人请假； ②中国所有的江河都流入太平洋； ③每一个中学生都要接受爱国主义教育； ④有人既能写小说，也能搞发明创造． 其中全称量词命题的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：B 解析：②③都含有全称量词． 2．将a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2改写成全称量词命题是(　　) A．∃a，b∈R，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2 B．∃a＜0，b＞0，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2 C．∀a＞0，b＞0，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2 D．∀a，b∈R，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2 答案：D 解析：由于所给的等式∀a，b∈R均成立，故改写为全称量词命题为“∀a，b∈R，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2”．故选D. 3．已知命题：“∃x∈R，方程x2＋4x＋a＝0有解”是真命题，则实数a的取值范围是(　　) A．{a|a<4} B．{a|a≤4} C．{a|a>4} D．{a|a≥4} 答案：B 解析：“∃x∈R，方程x2＋4x＋a＝0有解”是真命题，故Δ＝16－4a≥0，解得a≤4.故选B. 4．命题“正方形都是中心对称图形”是(　　) A．全称量词命题、真命题 B．全称量词命题、假命题 C．存在量词命题、真命题 D．存在量词命题、假命题 答案：A 解析：命题“正方形都是中心对称图形”即任意一个正方形都是中心对称图形，为全称量词命题，且为真命题．故选A. 5．已知命题p：∃x<0，x2＝－x；命题q：∀x∈R，|x＋1|≥1，则(　　) A．p和q都是真命题 B．p和q都是假命题 C．p是真命题，q是假命题 D．p是假命题，q是真命题 答案：C 解析：由x2＝－x，得x2＋x＝0，解得x＝0或x＝－1，所以命题p是真命题，又当x＝－1时，|x＋1|＝0<1，所以命题q是假命题．故选C. 6．下列命题是全称量词命题且是真命题的是(　　) A．对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2＜0 B．菱形的两条对角线相等 C．有一个实数的倒数是它本身 D．二次函数y＝x2－ax－1的图象与x轴恒有交点 答案：D 解析：A中含有全称量词“任意的”，故是全称量词命题，由于a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，故A是假命题；B，D中在叙述上没有全称量词，但实际上是指“所有的”，菱形的两条对角线不一定相等，故B是假命题，因为方程x2－ax－1＝0的Δ＝a2＋4>0恒成立，所以D是真命题；C是存在量词命题．故选D. 7．下列命题既是存在量词命题，又是真命题的是(　　) A．三角形的内角是锐角或钝角 B．至少有一个x∈R，使x2≤0 C．两个无理数的和是无理数 D．存在一个负数x，使＞2 答案：B 解析：A，C为全称量词命题；B是存在量词命题，当x＝0时，x2＝0，此命题为真命题；D显然是假命题．故选B. 8．命题p：存在实数x∈M，使得x，3，4能成为三角形的三边长．若命题p为真命题，则x的取值集合M＝(　　) A．{x|2＜x＜8} B．{x|3＜x＜9} C．{x|1＜x＜7} D．{x|5＜x＜9} 答案：C 解析：当命题p为真命题时，则存在实数x∈M，使得x，3，4能成为三角形的三边长，可得4－3<x<3＋4，即1<x<7.所以x的取值集合M＝{x|1<x<7}． 二、多项选择题 9．若“∀x∈M，|x|>x”为真命题，“∀x∈M，x≤3”也为真命题，则集合M可以是(　　) A．{x|x<－5} B．{x|－3<x<－1} C．{x|x>3} D．{x|0≤x≤3} 答案：AB 解析：由“∀x∈M，x≤3”为真命题，可得M⊆{x|x≤3}，又“∀x∈M，|x|>x”为真命题，可得M⊆{x|x<0}，所以M⊆{x|x<0}．故选AB. 10．已知二次函数y＝2x2＋4x＋3，则下列命题中为真命题的是(　　) A．∃x∈R，y≤1 B．∃x∈R，y≥1 C．∀x∈R，y≤1 D．∀x∈R，y≥1 答案：ABD 解析：由题意，知x＝－1是函数图象的对称轴方程，因为函数图象开口向上，所以y＝1为函数的最小值，即对所有的实数x，都有y≥1，因此A，B，D均为真命题，C为假命题． 11．下列命题为真命题的是(　　) A．∃a≥3，a2＝3a－2 B．∃x∈N，2x>0 C．∀n∈Z，n2＋n为偶数 D．∀x∈N＋，∉N 答案：BCD 解析：对于A，因为a2＝3a－2，所以(a－2)(a－1)＝0，则a＝2或a＝1，故A为假命题；对于B，当x＝0时，2x＝1>0，故B为真命题；对于C，n2＋n＝n(n＋1)，相邻两个整数必有一个奇数，一个偶数，乘积为偶数，故C为真命题；对于D，∀x∈N＋，则＝3－∉N，满足题意，故D为真命题．故选BCD. 三、填空题 12．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x2)>0”用“∃”符号写成存在量词命题为________． 答案：∃x＜0，(1＋x)(1－9x2)＞0 解析：命题可分两部分，条件“有些负数”写为“∃x<0”，结论“不等式(1＋x)(1－9x2)>0”写为“(1＋x)(1－9x2)>0”． 13．下列命题： ①偶数都可以被2整除；②角平分线上的任一点到这个角的两边的距离相等；③有的实数是无限不循环小数；④有的菱形是正方形；⑤存在三角形其内角和大于180°. 既是全称量词命题又是真命题的是________，既是存在量词命题又是真命题的是________．(填上所有满足要求的序号) 答案：①②　③④ 解析：①是全称量词命题，是真命题；②是全称量词命题，是真命题；③含有存在量词“有的”，是存在量词命题，是真命题；④是存在量词命题，是真命题；⑤是存在量词命题，是假命题，因为任意三角形的内角和为180°. 14．若命题“∀x∈{x|0＜2x－3＜5}，一次函数y＝3x－a的图象都在x轴的下方”为真命题，则实数a的取值范围是________． 答案：{a|a≥12} 解析：由已知，得{x|0<2x－3<5}＝，若“∀x∈{x|0<2x－3<5}，一次函数y＝3x－a的图象都在x轴的下方”为真命题，则当<x<4时，y＝3x－a<0恒成立，所以3×4－a≤0，即a≥12，所以实数a的取值范围是{a|a≥12}． 15．已知P，Q为R的两个非空真子集，若∁RQ∁RP，则下列结论正确的是(　　) A．∀x∈Q，x∈P B．∃x∈∁RP，x∈∁RQ C．∃x∉Q，x∈P D．∀x∈∁RP，x∈∁RQ 答案：B 解析：因为∁RQ∁RP，所以PQ，如图．对于A，由题意知P是Q的真子集，故∃x∈Q，x∉P，故A不正确；对于B，由∁RQ∁RP，且∁RQ，∁RP都不是空集，知∃x∈∁RP，x∈∁RQ，故B正确；对于C，由PQ，知∀x∉Q，x∉P，故C不正确；对于D，由∁RP，知∃x∈∁RP，x∉∁RQ，故D不正确．故选B. 16．[多选]取整函数：[x]＝不超过x的最大整数，如[1.2]＝1，[2]＝2，[－1.2]＝－2.取整函数在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等都是按照“取整函数”进行计费的．以下关于“取整函数”的性质是真命题的是(　　) A．∀x∈R，[2x]＝2[x] B．∃x∈R，[2x]＝2[x] C．∀x，y∈R，[x]＝[y]，则x－y<1 D．∀x∈R，[x]＋＝[2x] 答案：BCD 解析：对于A，根据新定义“取整函数”的意义知[2x]＝2[x]不一定成立，如x取1.5，[2x]＝3，2[x]＝2，故A是假命题；对于B，x取1，[2x]＝2，2[x]＝2，故B是真命题；对于C，设x＝n＋a(n∈Z，0≤a<1)，y＝m＋b(m∈Z，0≤b<1)，若[x]＝[y]，则n＝m，因此x－y＝a－b≤a<1，故C是真命题；对于D，设x＝n＋a(n∈Z，0≤a<1)，当0≤a<0.5时，[x]＋＝2n，[2x]＝2n，所以[x]＋＝[2x]，当0.5≤a<1时，[x]＋＝n＋n＋1，[2x]＝[2n＋2a]＝2n＋1，所以[x]＋＝[2x]，故D是真命题．故选BCD. 17．已知命题p：“∀x∈R，x2－3x＋2m＝0无实数根”为真命题，实数m的取值集合为B，若A＝{x|3a<x<a＋4}为非空集合，且“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________． 答案： 解析：因为关于x的方程x2－3x＋2m＝0无实数根，所以Δ＝9－8m<0，解得m>，即B＝ ，因为A＝{x|3a<x<a＋4}为非空集合，所以3a<a＋4，即a<2，因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，所以A是B的真子集，则3a≥，即a≥，所以≤a<2. 18．命题p：“∀x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≥0”，命题q：“∃x∈R，x2＋3x＋2－a＝0”，若p和q均为真命题，求实数a的取值范围． 解：若p是真命题，则a≤x2对于x∈{x|1≤x≤2}恒成立，所以a≤(x2)min＝1. 若q是真命题，则关于x的方程x2＋3x＋2－a＝0有实数根， 所以Δ＝9－4(2－a)＝1＋4a≥0，即a≥－， 若p和q均为真命题， 则所以－≤a≤1， 所以实数a的取值范围是. 19．已知集合A＝{x|－3≤x≤6}，B＝{x|m＋3≤x≤2m＋4}，且B≠∅. (1)若p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围； (2)若q：“∃x∈A，x∈B”是真命题，求m的取值范围． 解：(1)由于p：“∀x∈B，x∈A”是真命题， 所以B⊆A， 又B≠∅，所以 解得－1≤m≤1. 所以m的取值范围是{m|－1≤m≤1}． (2)由于q：“∃x∈A，x∈B”是真命题， 所以A∩B≠∅， 因为B≠∅，所以m≥－1. 所以 解得－1≤m≤3， 所以m的取值范围是{m|－1≤m≤3}． 1 学科网（北京）股份有限公司 $