24.4 弧长和扇形面积（第1课时）过关练 2025-2026学年人教版（2012）数学九年级上册

24.4 弧长和扇形面积 一、单选题 1．已知一个扇形的圆心角为，半径是，则这个扇形的弧长是（    ） A． B． C． D． 2．半径为6的圆中，一个扇形的圆心角为60°，则该扇形的面积为（    ） A．6π B．3π C．2π D．π 3．圆锥的地面半径为10cm．它的展开图扇形半径为30cm，则这个扇形圆心角的度数是（　　） A．60° B．90° C．120° D．150° 4．一个圆锥的母线长为，侧面展开图扇形的圆心角为，则这个圆锥的底面圆半径为（　　） A． B．2 C．3 D． 5．如图，切圆于点，交圆于，且，，则阴影部分的面积等于（         ） A． B． C． D．无法确定 6．如图，正方形中，分别以，为圆心，以正方形的边长为半径画弧，形成树叶形（阴影部分）图案，则树叶形图案的面积为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．如图，四边形ABCD内接于，的半径为3，，则的长为 ． 8．如图，将边长为的等边三角形沿直线向右翻动不滑动，点从开始到结束，所经过路径的长度为 ． 9．如图，以五边形的顶点为圆心，半径为2作圆，则图中阴影部分为 ． 10．如图，矩形中，，，现将此矩形绕点顺时针旋转得到新的矩形，则边扫过的面积（阴影部分）是 （结果保留） 三、解答题 11．如图所示，一把展开的扇子的圆心角是，扇面的外弧的长是94.2厘米，扇面宽的长是16厘米． 求： (1)的长度； (2)扇面的周长． 12．如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标为，，． (1)画关于y轴对称的； (2)画绕点O逆时针旋转90°后的； (3)在（2）的条件下，求点A所经过的路径长． 13．一个圆被分成三个扇形，其中一个扇形的圆心角为，另外两个扇形的圆心角度数的比为． (1)求另外两个扇形的圆心角； (2)若圆的半径是，求圆心角为的扇形的面积（结果保留）． 14．如图，已知是的直径，点在上，为外一点，且，． (1)试说明：直线为的切线； (2)若，求阴影部分的面积． 15．如图，在一个圆形零件的设计图纸中，，是过圆心O的两条支撑杆，连接边缘的金属杆垂直支撑杆于点F，为加固扇形区域，强化杆与金属杆交于点G． (1)若金属杆，，求该圆形零件的直径； (2)若调整参数使，记该圆形零件的面积为S，求的值． 16．如图，是的直径，点是上的一点，点是的中点，连接并延长至点，交于点，连接，． (1)证明：为的切线； (2)若，． ①求的长； ②求阴影部分的面积． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C A C A C B 1．C 根据弧长的公式进行计算即可． 解：根据弧长的公式：， 得到：， 故选：C． 本题考查了弧长的计算，熟记弧长公式是解题的关键． 2．A 根据扇形的面积公式（n为圆心角）进行计算即可． 解：S． 故选：A． 本题主要考查了扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积的计算方法是解决本题的关键． 3．C 根据圆锥的侧面展开图为扇形，圆锥的底面圆的周长等于扇形的弧长得到圆锥的展开图扇形的弧长＝2π•10，然后根据扇形的弧长公式l＝ 计算即可求出n． 解：设圆锥的展开图扇形的圆心角的度数为． ∵圆锥的底面圆的周长＝2π•10＝20π， ∴圆锥的展开图扇形的弧长＝20π， ∴20π＝， ∴n＝120°． 故答案选：C． 本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，圆锥的底面圆的周长等于扇形的弧长，母线长等于扇形的半径．也考查了扇形的弧长公式． 4．A 设圆锥底面半径为，则圆锥底面圆周长为，再求出侧面展开图扇形的弧长，根据两者相等，即可得到圆锥的底面圆半径． 解：设圆锥底面半径为， 那么圆锥底面圆周长为， 所以侧面展开图的弧长为， 则， 解得：， 故选：A． 此题考查了弧长公式、圆锥的侧面展开图等知识，熟练掌握弧长公式是解题关键． 5．C 如图，连接OP，延长AO交圆于C，根据切割线定理可得到PA2=PB•PC，设圆的半径为r，由此即可求出r，而阴影部分的面积=S△APO-S扇形OPB，所以利用三角形和扇形的面积公式即可求出阴影部分的面积． 解：如图，连接OP，延长AO交圆于C， ∵AP切圆O于点P， ∴PA2=PB•PC， 设圆的半径为r， 则3=1×（1+2r）， ∴r=1， ∴S阴影部分=S△APO-S扇形OPB=1×. 故选C. 解题关键是利用切割线定理先求出圆的半径，然后再利用面积的割补法求阴影部分的面积． 6．B 由图可知，树叶形图案的面积是两个圆心角为90°，且半径为a的扇形的面积与正方形的面积的差，可据此求出树叶形图案的面积． 解：树叶形图案的面积为： ． 故选：B． 本题利用了扇形的面积公式，正方形的面积公式求解，得出树叶形图案的面积等于 是解题的关键． 7． 连接，，根据圆内接四边形的性质得到，由圆周角定理得到，根据弧长公式即可得到结论． 解：连接，， ∵四边形内接于，， ∴， ∴， ∴的长=， 故答案为：． 本题考查的是弧长的计算，圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 8． 本题考查了弧长公式：弧长为，圆心角度数为，圆的半径为也考查了旋转的性质．点从开始到结束，所经过路径为两段弧，第一段是以点为圆心，为半径，圆心角为的弧，第二段是以点为圆心，为半径，圆心角为的弧，然后根据弧长公式计算． 解：为等边三角形， ， 每次旋转的度数为， 点从开始到结束，所经过路径的长度． 故答案为． 9． 本题考查了多边形的内角和，扇形的面积公式，掌握知识点是解题的关键． 首先确定5个扇形的圆心角的度数之和，然后利用扇形的面积公式计算即可． 解：∵5个扇形的圆心角的和为，， ∴． 故答案为：． 10． 本题考查了扇形的面积公式和旋转的旋转以及勾股定理，能够把不规则图形的面积转换为规则图形的面积．连接、，则阴影部分的面积为扇形的面积减去扇形的面积． 解：连接、， 根据勾股定理，得， 故可得， ， 则阴影部分的面积． 故答案为：． 11．(1) (2) 本题主要考查了弧长公式的应用，掌握弧长公式是解题的关键． （1）根据弧长公式即可求解； （2）先求出，再由弧长公式求出，最后计算周长即可． （1）解：由题意得，， 解得：； （2）解：， 则， ∴扇面的周长为：． 12．(1)见解析 (2)见解析 (3) 本题考查了作轴对称图形，旋转作图，弧长公式，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先分别找出关于y轴对称的点，再依次连接，即可作答． （2）先分别找出绕点O逆时针旋转后的点，再依次连接，即可作答． （3）先运用勾股定理算出，再结合弧长公式列式计算，即可作答． （1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，即为所求： （3）解：如图所示： 则， 在（2）的条件下，， ∴． 即点A所经过的路径长为． 13．(1)和 (2) （1）设另外两个扇形的圆心角度数分别为度与度，根据周角为，即可求得x的值，从而求得另外两个扇形圆心角度数； （2）利用扇形面积公式计算即可． （1）解：设另外两个扇形的圆心角度数分别为度与度， 由题意得：， 解得：， 另外两个扇形的圆心角分别为： 答：另外两个扇形的圆心角分别为和． （2）解：由扇形面积公式得：， 答：圆心角为的扇形的面积． 本题考查了一元一次方程的应用、求扇形面积等知识，题目较简单，是基础题，掌握这些知识是关键． 14．(1)见解析 (2) （1）证明：连接，由，，得，则，所以，即可证明直线为的切线． （2）连接，则，所以是等边三角形，则，所以，，则，，，即可由求得阴影部分的面积是． （1）解：如图，连接， ， ， ， ， ． ， ， ， 即，又是的半径， 直线为的切线． （2）如图，连接，作，垂足为，则， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ，即的半径为4， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 此题重点考查平行线的判定与性质、切线的判定、等边三角形的判定与性质、垂径定理、圆周角定理、含30度角的直角三角形的性质、扇形的面积公式等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 15．(1)20 (2) 本题考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理、扇形面积、等腰三角形的性质及三角形的内角和定理，熟练掌握垂径定理和圆周角定理是解答的关键． （1）先根据垂径定理得到，在中，利用勾股定理列方程求得r值即可求解； （2）先根据等腰三角形的性质的带，再根据圆周角定理得，然后根据三角形的内角和定理求得，进而得，则有． （1）解：设圆形零件的半径为r， ∵，为直径， ∴，， 在中，， ∴，解得， ∴， 则该圆形零件的直径为20； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 则． 16．(1)见解析 (2)①；② 本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，扇形的面积的计算，熟练掌握切线的判定和性质是解题的关键． （1）根据三角形中位线定理得到，根据垂直的定义得到，于是得到，根据切线的判定得到为的切线； （2）①设的半径为，由，得到，根据，由（1）知，根据直角三角形的性质得到，，根据勾股定理得到； ②由①知，，根据直角三角形的性质得到，，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论． （1）证明：点是的中点，点是的中点， ， ， ， ，， ， ， 为的切线； （2）解：①设的半径为， ， ， 由（1）知， ， ， ，， ， ； ②由①知，， ，， 阴影部分的面积的面积扇形的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $