24.3 正多边形和圆过关练-2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册

24.3 正多边形和圆 一、单选题 1．若一个圆内接正多边形的中心角是，则这个多边形是（    ） A．正九边形 B．正八边形 C．正七边形 D．正六边形 2．若一个正多边形的边长与半径相等，则这个正多边形的中心角是（    ） A．45° B．60° C．90° D．120° 3．如图，正多边形内接于半径相等的圆，其中正多边形的周长最大的是图形（    ）    A．① B．② C．③ D．无法判定 4．如图，正六边形ABCDEF内接于，若的周长是，则正六边形的边长是（　　）    A． B．3 C．6 D． 5．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A．等边三角形 B．平行四边形 C．正五边形 D．正八边形 6．如图，、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，若，连接、，则（　　） A． B． C． D． 二、填空题 7．正十边形的中心角等于 度． 8．如图，若以AB为边长作⊙O的内接正多边形，则这个多边形是正 边形． 9．如图，有一个亭子，它的地基是边长为的正六边形，则地基的面积为 m2． 10．如图，点O为正五边形的中心，连接，，则的度数为 ． 11．如图，正五边形的边长为，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接，则的度数为 ． 三、解答题 12．如图，正六边形内接于，求的度数． 13．如图，正三角形ABC内接于⊙O，若AB=cm，求⊙O的半径． 14．如图，点A是上一点．请利用直尺和圆规完成下列作图．（不写作法，保留作图痕迹） (1)画出的内接正． (2)在上画出、两点，使得．（画一种即可） 15．如图，正六边形内接于，边长为2． (1)求的直径的长； (2)求的度数． 16．如图，多边形是正五边形，请仅用无刻度的直尺按要求完成作图（保留作图痕迹）． (1)如图1，作一个以为腰，顶角为的等腰三角形； (2)如图2，作一个底角为的等腰三角形． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D B C C D B 1．D 根据正多边形的中心角的计算公式计算即可． 解：设这个多边形的边数是n， 由题意得，， 解得，， 故选：D． 本题考查的是正多边形和圆的有关知识，掌握正多边形的中心角的计算公式是解题的关键． 2．B 根据正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，由已知边长与半径相等，可知一边所对的圆心角为，即得答案． 解：如图所示的正多边形中， ， 为等边三角形， ， 这个正多边形的中心角为． 故选B． 此题主要考查正多边形的中心角概念，正确理解题意与中心角概念相结合是解此题的关键． 3．C 根据圆内接多边形的周长小于圆周长，再利用逐步逼近法选择答案． 解：随着圆内接正多边形边数的增加，它的周长越来越接近圆周长， 故选：C． 此题主要考查了正多边形与圆，关键是知道圆内接多边形的周长小于圆周长． 4．C 如图所示，由正六边形ABCDEF内接于，可知是等边三角形，由的周长是，可得即可得出结果． 解：如图所示：    ∵正六边形ABCDEF内接于， 是等边三角形， ∵的周长是， 故选： 本题主要考查了圆内接正六边形的性质，等边三角形的判定及性质，正确运用圆与正六边形的性质是解此题的关键． 5．D 本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别； 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；据此逐项判断即可． 解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意． 故选：D． 6．B 本题考查了圆周角定理．连接、，根据圆周角定理得到，即可得出答案． 解：如图，设正多边形的外接圆为，连接、， ∵， ∴． 故选：B． 7． 根据正多边形的中心角的定义即可求解． 正十边形的中心角等于360°÷10=° 故答案为：36． 此题主要考查中心角，解题的关键是熟知正n边形的中心角等于． 8．六 根据题意可得，进而证明是等边三角形，得到，即可证明出这个多边形是正六边形． 解：如图，连接OB， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴这个多边形是正六边形． 故答案为：六． 此题考查了等边三角形的性质和判定，圆内接正多边形的性质，解题的关键是根据题意求出． 9． 本题考查了正多边形与圆的关系，根据正六边形的性质，把面积转化为6个等边三角形的面积和计算即可． 解：把正六边形分成6个全等的正三角形，易得每个正三角形的边长为，高为， ∴正六边形的面积为， 故答案为：. 10．/72度 本题考查正多边形的中心角，根据正n边形的中心角为进行求解即可． 解：∵点O为正五边形的中心， ∴． 故答案为： 11． 本题考查等边三角形的判定和性质，正多边形和圆，连接，由题意可知为等边三角形，得到，再根据五边形为正五边形，可得，进而根据角的和差关系即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 解：如图，连接， 由题意得，， ∴是等边三角形， ∴， ∵五边形是正五边形， ∴， ∴， 故答案为：． 12． 由正六边形与圆的性质可得：再求解从而可得答案. 解： 正六边形内接于， 是直径， 本题考查的是正多边形与圆的知识，掌握“正多边形的中心角的计算，直径所对的圆周角是直角”是解题的关键. 13．2cm 利用等边三角形的性质得出点O既是三角形内心也是外心，进而求出∠OBD=30°，BD=CD，再利用锐角函数关系得出BO即可． 过点O作OD⊥BC于点D，连接BO， ∵正三角形ABC内接于⊙O， ∴点O即是三角形内心也是外心， ∴∠OBD=30°，BD=CD=BC=AB=， ∴cos30°===， 解得：BO=2， 即⊙O的半径为2cm． 考查了正多边形和圆，利用正多边形内外心的特殊关系得出∠OBD=30°，BD=CD是解题关键． 14．(1)见解析 (2)见解析 本题考查了作图复杂作图，等边三角形的判定、圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系： （1）从A点开始，以为半径．依次画弧，这样把六等份，连接的三等份点得到的内接正三角形； （2）可作直径，再以点圆心，为半径画弧交于，则． 解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． （1）解：如图，为所作； （2）解：如图，作直径，再以点圆心，为半径画弧交于，则． 15．(1) (2) 本题考查正多边形和圆，圆周角定理： （1）连接，求出的度数，得到是等边三角形，得到，即可得出结果； （2）根据圆周角定理，即可得出结果． （1）解：连接． ∵正六边形内接于， ∴， 又， ∴是等边三角形． ∴． ∴． （2）解：∵， ∴． 16．(1)画图见解析 (2)画图见解析 （1）连接，，交于点，则即为所求作的三角形； （2）连接，，交于点，连接并延长交于，则或即为所求； （1）解：如图，连接，，交于点，则即为所求作的三角形； 理由：∵多边形是正五边形， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴即为所求作的三角形； （2）解：如图，连接，，交于点，连接并延长交于，则或即为所求； 理由：由（1）可得：，， ∴， ∴， 同理：， ∴，， ∴是正五边形的对称轴， 同理：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴即为所求作的等腰三角形， 同理可得：即为所求作的等腰三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $