2025-2026学年级湖北省黄冈市九年级数学上学期期中自编模拟卷01（人教版）

2025-2026学年级湖北省黄冈市上学期期中自编模拟卷 九年级数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分 测试范围：21-23章） 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，解决本题的关键是掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】解：A、沿某条直线折叠，直线两旁部分能重合，是轴对称图形； 但绕某点旋转后，无法与自身重合，不是中心对称图形， ∴A选项不符合； B、绕某点旋转后与自身重合，是中心对称图形； 但沿任何直线折条，直线两旁部分不能重合，不是轴对称图形， ∴B选项不符合； C、沿水平、垂直等直线折叠，直线两旁部分能重合，是轴对称图形； 绕图形中心旋转后与自身重合，也是中心对称图形， ∴C选项符合； D、沿某条直线折叠，直线两旁部分能重合，是轴对称图形； 但绕某点旋转后，无法与自身重合，不是中心对称图形， ∴D选项不符合． 故选：C． 2．（本题3分）若是一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A．3 B． C． D．2 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程的解．根据方程解的定义把代入方程求解，即可得到答案． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， 解得． 故选：B． 3．（本题3分）用公式法解关于x的一元二次方程，得，则该一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的求根公式．根据一元二次方程的求根公式即可求解． 【详解】解：形如的一元二次方程， 当时， 其两根为， ∵一元二次方程的根为， ∴， 故选：C． 4．（本题3分）已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了比较二次函数的函数值的大小，根据解析式可推出对称轴和离对称轴越远函数值越小，据此求出三个点到对称轴的距离即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数图象开口向下，对称轴为直线， ∴离对称轴越远函数值越小， ∵点，，都在二次函数的图象上，且， ∴， 故选：C． 5．（本题3分）函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图象与交点问题，联立函数得，解得或，得到二次函数与一次函数相交于点和，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：联立得：， ∴， ∴， 解得：或， 当时，，当时，， ∴二次函数与一次函数相交于点和， ∴只有函数图像A符合题意； 故选：A． 6．（本题3分）已知二次函数，当自变量x满足时，y的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，先把一般式化为顶点式，得出函数图象的对称轴为直线，开口向上，算出，，对应的函数值，即可得出y的取值范围． 【详解】解：， ∴函数图象的对称轴为直线，开口向上， ∵， ∴当时，； 当时，， 当时，， ∴y的取值范围是：， 故选：B． 7．（本题3分）2025年莆田市足球联赛于9月28日圆满落幕，仙游队荣获季军．本次联赛第一轮比赛中，假设每两支足球队之间要进行一次比赛，共有15场比赛，则参加这次足球比赛的足球队共有（   ） A．10支 B．6支 C．5支 D．4支 【答案】B 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决实际问题，解题的关键是找准等量关系，列出方程． 设球队共有支，根据比赛场次，列出方程求解即可． 【详解】解：设球队共有支，根据题意得， 解得，（负值已舍去） 故选：B． 8．（本题3分）如图，将绕点顺时针旋转得到（点、的对应点分别是点、），点恰好落在的延长线上，连接，若，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，掌握图形旋转的性质及巧用勾股定理逆定理是解题的关键．根据旋转的性质得出，， ，得到，通过 ， 利用勾股定理逆定理可判断是直角三角形，且，进而得出，得出是等腰直角三角形，从而求出的长． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到（点、的对应点分别是点、）， ，， ， ， ． ，，， ， ， 是直角三角形，且， ， ， ， 是等腰直角三角形， ． 故选：A ． 9．（本题3分）如图，中，，，，将沿射线的方向平移，得到，再将绕点逆时针旋转一定角度后，点恰好与点重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了平移的性质，旋转的性质和等边三角形的判定和性质，理解相关知识是解题关键．根据题意易得是等边三角形，根据等边三角形的性质来求解. 【详解】解：，将沿射线的方向平移，得到，再将绕点逆时针旋转一定角度后，点恰好与点重合， ，， 是等边三角形， ，， ， 平移的距离和旋转角的度数分别为：， 故选：B． 10．（本题3分）如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线，与轴的交点在和之间．有以下结论：①；②抛物线与轴的另一个交点是；③；④．其中正确的结论是（   ） A．②③ B．②③④ C．①③④ D．②④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象性质，通过二次函数图象对称性和待定系数法求解析式是解题的关键． 根据，可得到与的关系，根据二次函数的对称性可得到函数图象与轴的另一个交点坐标，根据二次函数图象与轴的交点在和之间，以及与轴的两个交点坐标，利用待定系数法求解析式即可判断的值． 【详解】二次函数的对称轴为， ， ，故①不正确； 二次函数图像与轴的一个交点为，对称轴， 设与轴的另一个交点的横坐标为， ， ， 与轴的另一个交点坐标为，故②正确； 由图可知，当时，， 当时，， ， ，故③正确； 由题可得，当二次函数图像经过点，，时， ， 解得：，，； 当二次函数图像经过点，，时， ， 解得：，，， 与轴的交点在和之间， ，故④正确； 综上所述，正确的是②③④． 故选． 二、填空题（共15分） 11．（本题3分）已知是关于的一元二次方程的一个实数根，则方程的另一个根是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，利用一元二次方程根与系数的关系即可求解． 【详解】解：设方程的另一个根是t， 则， 解得， 故答案为：． 12．（本题3分）将抛物线向左平移2个单位长度，得到抛物线，抛物线与抛物线关于x轴对称，则抛物线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象的平移问题，只需看顶点坐标是如何平移得到的即可，关于轴对称的两条抛物线的顶点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，二次项系数互为相反数是解题的关键． 根据抛物线的解析式得到顶点坐标，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得抛物线的顶点坐标，而根据关于轴对称的两条抛物线的顶点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，二次项系数互为相反数可得到抛物线所对应的函数表达式． 【详解】解：抛物线， 抛物线的顶点为， 向左平移2个单位长度，得到抛物线， 抛物线的顶点坐标为， 抛物线与抛物线关于轴对称， 抛物线的开口方向与相反，顶点为， 抛物线的解析式为， 故答案为：． 13．（本题3分）二次函数的顶点在轴上，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，由题意可得二次函数的对称轴为直线，从而得出，计算即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的顶点在轴上， ∴二次函数的对称轴为直线， ∴， 解得：， 故答案为：． 14．（本题3分）如图，P是正方形内一点，将绕点B顺时针方向旋转，能与重合，若，则 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，图形的旋转问题，勾股定理．根据正方形的性质以及旋转的性质可得，再由勾股定理，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 由旋转的性质得：， ∴． 故答案为： 15．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点O逆时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点O连续旋转2025次得到正方形，如果点A的坐标为，那么点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，规律性的探索，勾股定理，坐标与图形，解题的关键在于能够掌握从特殊到一般探究规律的方法． 根据图形可知：点在以为圆心，以为半径的圆上运动，由旋转可知：将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，相当于将线段绕点逆时针旋转，可得对应点的坐标，根据规律发现是次一循环，可得结论． 【详解】解：由题知， 因为四边形是正方形，且点A坐标为， 所以点B的坐标为，且正方形的边长为1， 则正方形的对角线长为， 所以点的坐标为 依次类推，点，，，，，，，，…， 由此可见，从点开始，每经过8次旋转，点B对应点的坐标循环一次． 因为余1， 所以点的坐标为 故答案为： 三、解答题（共75分） 16．（本题8分）解下列一元二次方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）方程移项后，利用完全平方公式配方，开平方即可求出解． （2）利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， 方程移项得：， 配方得：， 即， 开方，得：，或， 解得：． （2）解：， ， 或， ． 17．（本题6分）已知关于x的一元二次方程 (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若该方程有一个根是正整数，求m的值． 【答案】(1)见详解 (2)的整数 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程的知识是解题的关键． （1）利用根的判别式进行求解即可； （2）利用因式分解法解方程得到或，再根据方程的一个根为正整数进行求解即可． 【详解】（1）证明：由题意得： ， ∴方程总有两个实数根； （2）解：∵， ， 解得或， ∵该方程有一个根是正整数， 的整 数， 的整数． 18．（本题6分）如图，点A，B的坐标分别为、，将绕点A按逆时针方向旋转，得到（其中点A和点对应，点B和点对应，点C和点对应）． (1)画出旋转后的； (2)直接写出点的坐标为______． (3)连接，直接写出的度数为______． 【答案】(1)见解析 (2) (3)45 【分析】本题考查坐标与旋转、等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的性质，是解题的关键： （1）根据旋转的性质，画出即可； （2）根据点所在的位置，写出点的坐标即可； （3）根据旋转的性质，结合等边对等角进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：由图可知：； （3）解：由旋转可知：， ∴． 故答案为：45． 19．（本题8分）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点落在上，连接． (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等，也考查了勾股定理： （1）先根据旋转的性质得到，，，则可计算出，再根据等腰三角形的性质与三角形内角和定理计算出，然后计算即可； （2）先利用勾股定理计算出，再根据旋转的性质得到，，，所以，然后在中利用勾股定理可计算出的长 【详解】（1）解：∵绕点A顺时针旋转得到使点C的对应点E落在上， ∴ ∴， ∵ ∴， ∴； （2）解：在中， ∵， ∴， ∵绕点A顺时针旋转得到使点C的对应点E落在上， ∴，，， ∴， 在中，． 20．（本题8分）如图所示，等腰中，，，点为斜边上一点（不与，重合），，连接，将线段绕点沿顺时针方向旋转至，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由旋转的性质可得，，从而得出，再利用证明即可； （2）由（1）可得，由全等三角形的性质可得，，由等腰直角三角形的性质可得，，求出，，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】（1）证明：由旋转的性质可得：，， ∴，即， 在和中， ， ∴； （2）解：由（1）可得， ∴，， ∵等腰中，，， ∴，， ∴， ∵ ∴． 21．（本题9分）新定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是_______． (2)若是一元二次方程的倒方程的一个根，求该倒方程的另一个根． 【答案】(1) (2)，． 【分析】此题考查了新定义——倒方程、一元二次方程的根的概念以及解一元二次方程． （1）根据新定义的含义可得答案； （2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入求得的值，再利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：根据新定义，方程的倒方程是：； 故答案为：； （2）解：由题知，方程的倒方程为， 将代入得，， 解得； 当时，， 因式分解得， 解得，． 22．（本题9分）某公司销售一种商品，成本为每件30元，经过市场调查发现，该商品的每天销售数量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示： 销售单价/元 … 40 60 80 … 每天销售数量/件 … 80 60 40 … (1)直接写出y与x之间的函数关系式________． (2)设该公司销售这种商品每天获利元，当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ (3)公司想要每天获利2000元，销售单价应定为多少元？ 【答案】(1) (2)当销售单价为75元时，每天获利最大，最大利润是2025元 (3)70元或80元 【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，二次函数的应用，关键是根据利润等于单件利润乘以销售量列出函数解析式． （1）设y与x之间的函数关系式为，然后用待定系数法求函数解析式，即可解答； （2）根据总利润等于单件利润乘以销售量列出函数解析式，然后由二次函数的性质求出函数最大值； （3）把代入（2）中所求的W关于x的函数解析式，解方程即可解答． 【详解】（1）解：∵商品的每天销售数量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系， ∴设， 由表可得当时，；当时，， ∴，解得， ∴y与x之间的函数关系式为； 故答案为：； （2）解：由题意得：， ∵，抛物线开口向下， ∴当时，W有最大值，为2025元， ∴当销售单价为75元时，每天获利最大，最大利润是2025元． （3）解：当时，， 解得，， ∴公司想要每天获利2000元，销售单价应定为70元或80元． 23．（本题10分）综合实践 【初步探究】如图1，在正方形中，点，分别在边，上，连接，，．若，将绕点顺时针旋转得到．易证：．      （1）根据以上信息填空： ①________； ②线段，，之间满足的数量关系为________． 【迁移探究】 （2）如图2，在正方形中，若点在的延长线上，点在的延长线，，猜想线段，，之间的数量关系，并证明． 【拓展探索】 （3）如图3，已知正方形的边长为，，分别在，上，，连接分别交，于点，，若点恰好为线段的三等分点，且，求线段的长． 【答案】（1）①45°；②；（2），见解析；（3）2.5 【分析】（1）①证明，由全等三角形的性质得出，从而可求得； ②证明，由全等三角形的性质得出； （2）将绕点A顺时针旋转到，连接，证明，由全等三角形的性质得出，，证明，由全等三角形的性质得出； （3）将绕点A顺时针旋转，得到，证明，得，再证，然后由勾股定理得出，即可解决问题． 【详解】（1）解：①如图（1），延长到点G，使，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （2）． 证明如下：如图（2），在上截取，连接． 在和中， ， ，     ，， 即， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）如图（3），将绕点顺时针旋转得到，连接． 四边形是正方形， ，，， ， ， 由旋转可得， ，，，， ， ，， ． ． ， ． 设，则． 在中，      解得：， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质综合，旋转的性质，勾股定理等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 24．（本题11分）如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)D是第二象限内抛物线上的动点，求面积S的最大值及此时D点的坐标； (3)若点P在抛物线对称轴上，点Q在平面上，以点A，C，P，Q为顶点作菱形，请直接写出符合题意的P点的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)或或或或 【分析】（1）先求得，，三点的坐标，将抛物线设为交点式，进一步求得结果； （2）作于，交于，根据点和点坐标可表示出的长，进而表示出三角形的面积，进而表示出的函数关系式，进一步求得结果； （3）根据菱形性质分别进行分类讨论，即以为对角线或以为边这两个情况，进而求得点的坐标即可． 【详解】（1）解：当时，，， 当时，由得， ， 对称轴为直线， ， 设抛物线的表达式为， ， ， 抛物线的表达式为； （2）解：如图1， 作于，交于， ，， ， ， ∵，， 当时，S取最大值，最大值为， 当时，， ； （3）解：∵点在抛物线对称轴上， ∴设， ∵以点，，，为顶点作菱形， ∴①当以，，，为顶点的四边形是以为对角线的菱形， ，即， ， ， ； ②当以，，，为顶点的四边形是以、为邻边的菱形， ，即， ， ， 或； ③当以，，，为顶点的四边形是以、为邻边的菱形， ，即， ， ， 或 综上：或或或或． 【点睛】本题考查了二次函数的面积综合，待定系数法解二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，勾股定理，三角形的面积，菱形性质等知识，解题的关键是熟练掌握知识点及分类讨论思想的运用． 试卷第4页，共4页 试卷第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年级湖北省黄冈市上学期期中自编模拟卷 九年级数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分 测试范围：21-23章） 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（本题3分）若是一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A．3 B． C． D．2 3．（本题3分）用公式法解关于x的一元二次方程，得，则该一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 4．（本题3分）已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 5．（本题3分）函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（  ） A．B．C． D． 6．（本题3分）已知二次函数，当自变量x满足时，y的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（本题3分）2025年莆田市足球联赛于9月28日圆满落幕，仙游队荣获季军．本次联赛第一轮比赛中，假设每两支足球队之间要进行一次比赛，共有15场比赛，则参加这次足球比赛的足球队共有（   ） A．10支 B．6支 C．5支 D．4支 8．（本题3分）如图，将绕点顺时针旋转得到（点、的对应点分别是点、），点恰好落在的延长线上，连接，若，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 9．（本题3分）如图，中，，，，将沿射线的方向平移，得到，再将绕点逆时针旋转一定角度后，点恰好与点重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 10．（本题3分）如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线，与轴的交点在和之间．有以下结论：①；②抛物线与轴的另一个交点是；③；④．其中正确的结论是（   ） A．②③ B．②③④ C．①③④ D．②④ 二、填空题（共15分） 11．（本题3分）已知是关于的一元二次方程的一个实数根，则方程的另一个根是 ． 12．（本题3分）将抛物线向左平移2个单位长度，得到抛物线，抛物线与抛物线关于x轴对称，则抛物线的解析式为 ． 13．（本题3分）二次函数的顶点在轴上，则 ． 14．（本题3分）如图，P是正方形内一点，将绕点B顺时针方向旋转，能与重合，若，则 ．    15．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点O逆时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点O连续旋转2025次得到正方形，如果点A的坐标为，那么点的坐标为 ． 三、解答题（共75分） 16．（本题8分）解下列一元二次方程： (1) (2) 17．（本题6分）已知关于x的一元二次方程 (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若该方程有一个根是正整数，求m的值． 18．（本题6分）如图，点A，B的坐标分别为、，将绕点A按逆时针方向旋转，得到（其中点A和点对应，点B和点对应，点C和点对应）． (1)画出旋转后的； (2)直接写出点的坐标为______． (3)连接，直接写出的度数为______． 19．（本题8分）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点落在上，连接． (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 20．（本题8分）如图所示，等腰中，，，点为斜边上一点（不与，重合），，连接，将线段绕点沿顺时针方向旋转至，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 21．（本题9分）新定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是_______． (2)若是一元二次方程的倒方程的一个根，求该倒方程的另一个根． 22．（本题9分）某公司销售一种商品，成本为每件30元，经过市场调查发现，该商品的每天销售数量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示： 销售单价/元 … 40 60 80 … 每天销售数量/件 … 80 60 40 … (1)直接写出y与x之间的函数关系式________． (2)设该公司销售这种商品每天获利元，当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ (3)公司想要每天获利2000元，销售单价应定为多少元？ 23．（本题10分）综合实践 【初步探究】如图1，在正方形中，点，分别在边，上，连接，，．若，将绕点顺时针旋转得到．易证：．      （1）根据以上信息填空： ①________； ②线段，，之间满足的数量关系为________． 【迁移探究】 （2）如图2，在正方形中，若点在的延长线上，点在的延长线，，猜想线段，，之间的数量关系，并证明． 【拓展探索】 （3）如图3，已知正方形的边长为，，分别在，上，，连接分别交，于点，，若点恰好为线段的三等分点，且，求线段的长． 24．（本题11分）如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)D是第二象限内抛物线上的动点，求面积S的最大值及此时D点的坐标； (3)若点P在抛物线对称轴上，点Q在平面上，以点A，C，P，Q为顶点作菱形，请直接写出符合题意的P点的坐标． 第2页，共7页 第1页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $