高一数学上学期期中模拟卷（范围：集合与常用逻辑用语+不等式+函数）2025-2026学年高一数学人教A版必修第一册

高一数学上学期期中测试卷 第一章集合与常用逻辑用语+第二章不等式+第三章函数 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，则下列式子一定成立的是（   ） A． B． C． D． 3．命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 4．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 5．已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（   ） A．-2 B．1 C．2 D． 6．中，，正方形的顶点分别在边上．的长度为，与正方形重叠部分的面积为，则下列图象中能表示与之间的函数关系的是（   ） A． B． C． D． 7．已知集合，若是的必要条件，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数是定义域为的奇函数，且，若函数在上单调递增，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．是定义在上的奇函数，下列结论中，正确的是（    ） A． B． C． D． 10．已知.则下列说法正确的是（    ） A．ab的最大值为 B．的最大值为3 C．的最小值为 D．的最小值为 11．函数对任意、总有，当时，，，则下列命题中正确的是（    ） A．是偶函数 B．是上的减函数 C．在上的最小值为 D．若，则实数的取值范围为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．函数在区间的最大值为 . 13．已知，，且，则ab的最大值为 ． 14．已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知或． (1)若是的充分条件，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 16．（15分）已知函数为一次函数，且对均满足. (1)求函数的解析式； (2)已知，，且，求的最小值. 17．（15分）设集合，． (1)若，求实数的值； (2)若集合中有两个元素，求实数的取值范围，并用含的代数式表示； (3)若，求实数的取值范围． 18．（17分）已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有 (1)求函数的解析式； (2)判断的单调性，并利用定义证明； (3)若对，都有对恒成立，求实数的取值范围． 19．（17分）若函数的定义域为，都有，则称函数为中心对称函数，其中为函数的对称中心． (1)已知定义R上的函数的图象关于点中心对称，且当时，，求，的值； (2)探究函数是否为中心对称函数．若是，请求出对称中心并用定义证明；若否，请说明理由． (3)运用第（2）问的结论，求的值，其中． 6 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学上学期期中测试卷 第一章集合与常用逻辑用语+第二章不等式+第三章函数 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，求得，结合集合交集的运算，即可求解. 【详解】由集合， 又因为，可得. 故选：B. 2．已知，则下列式子一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过特殊值排除ABD选项，利用不等式的性质证明C选项. 【详解】对于A，当时，不等式不成立，所以A错误． 对于B，当时，满足，但，所以B错误． 对于C，因为，所以，则，所以C正确． 对于D，当时，，不符合，所以D错误． 故选：C. 3．命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全称命题的否定，全称命题的否定是特称命题. 【详解】命题“”的否定是“”. 故选：C. 4．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的定义域以及分式中分母不为0和平方根式下大于0即可直接计算出结果. 【详解】因为函数的定义域为， 所以的定义域需满足： ，解得. 故选：D. 5．已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（   ） A．-2 B．1 C．2 D． 【答案】C 【分析】根据一元二次不等式和一元二次方程的关系可得，分析的取值范围，利用基本不等式可得结果. 【详解】由题意得，，方程的两根为， ∴，∴， ∵，，∴， ∴，当且仅当，即时等号成立， ∴的最小值为. 故选：C. 6．中，，正方形的顶点分别在边上．的长度为，与正方形重叠部分的面积为，则下列图象中能表示与之间的函数关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，直接求出与之间的函数关系式，根据关系式，利用基本函数图象，结合各个选项，即可求解. 【详解】易知当时，， 当时，交于，交于，如图， 因为，则，在中，， 所以为等腰直角三角形，所以，得到， 所以，故 所以， 故选：C. 7．已知集合，若是的必要条件，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由必要条件定义可得，由此可得在恒成立，结合二次函数性质列不等式可得的关系，结合不等式性质求结论. 【详解】因为是的必要条件，所以， 所以成立. 令，得在恒成立， 所以，所以， ，又， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最大值为. 故选：D. 8．已知函数是定义域为的奇函数，且，若函数在上单调递增，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先得到为偶函数，且在上单调递减，，分和两种情况，变形，结合的单调性得到不等式，，满足不等式，从而求出答案. 【详解】是定义域为的奇函数，故， 定义域为， ， 故是偶函数， 又在上单调递增，故在上单调递减， 是定义域为的奇函数，，故， 故， 当时，， 而在上单调递增，故； 其中， 当时，， 而在上单调递减，故； 当时，，满足不等式． 综上，． 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．是定义在上的奇函数，下列结论中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据函数是奇函数的定义计算判断即可. 【详解】由题可知：是定义在上的奇函数，所以， 对A，成立，故正确； 对B，成立，故正确； 对C，令，则，不成立，故错误； 对D，， 由，所以成立，故正确； 故选：ABD 10．已知.则下列说法正确的是（    ） A．ab的最大值为 B．的最大值为3 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，利用基本不等式、“1”的妙用逐项判断即可. 【详解】对于A，，当且仅当时取等号，A正确； 对于B，， 当且仅当，即时取等号，B错误； 对于C，，当且仅当时取等号，C正确； 对于D， ，当且仅当，即时取等号，D正确. 故选：ACD 11．函数对任意、总有，当时，，，则下列命题中正确的是（    ） A．是偶函数 B．是上的减函数 C．在上的最小值为 D．若，则实数的取值范围为 【答案】BD 【分析】利用函数奇偶性的定义可判断A；利用函数单调性的定义可判断B；利用函数单调性可知在上的最小值为，利用赋值法求出的值，可判断C；将所求不等式变形为，结合函数的单调性解此不等式，可判断D. 【详解】对于A．取，则，解得， 令，则，即，且函数的定义域是， 所以函数是奇函数，故A错误； 对于B．令、，且，则， 因为当时，，所以， 则，即， 函数是上的减函数，故B正确； 对于C．因为函数是上的减函数， 所以函数在上的最小值为， 又， ，故， 在上的最小值为，故C错误； 对于D．，即， 因为函数是上的减函数，所以，解得， 所以实数的取值范围为，故D正确， 故选：BD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．函数在区间的最大值为 . 【答案】/3.5 【分析】先求复合函数的单调性，再根据函数单调性求最值即可 【详解】（1）由， 所以的定义域 令，开口向下，对称轴， 根据复合函数的单调性可知， 的单调递增区间是；单调递减区间是 在区间的最大值为 故答案为： 13．已知，，且，则ab的最大值为 ． 【答案】18 【分析】设，由得，化成关于的一元二次方程，由方程有实数解得到，解不等式求得的最大值即可. 【详解】设，则，代入已知式得， 化简得， 由，解得或. 因为，，所以，故. 所以. 故答案为：18. 14．已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先根据幂函数单调性和对称性求得，然后探究函数的性质，利用单调性解不等式组即可求解. 【详解】因为幂函数在上单调递减，所以，解得， 又，所以． 又幂函数的图象关于轴对称，所以为偶数， 所以，故不等式为， 因为函数的定义域为，且在和上单调递减， 当时，，当时，， 故不等式可化为或或，解得或，即实数的取值范围为． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知或． (1)若是的充分条件，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）先求出范围，依题意是的充分条件，由集合之间的包含关系，列出不等式求解即可； （2）先写出的范围，由p是的必要不充分条件，则表示的集合是所表示集合的真子集，列出不等式求解即可. 【详解】（1）因为p：，所以p：，即， 因为p是q的充分条件，所以或， 解得或，即实数的取值范围是或； （2）依题意，：，由（1）知p：， 又p是的必要不充分条件，所以， 解得，即实数m的取值范围是． 16．（15分）已知函数为一次函数，且对均满足. (1)求函数的解析式； (2)已知，，且，求的最小值. 【答案】(1) (2)最小值为9 【分析】（1）设，根据题意列式求即可； （2）根据题意可得，法一：利用基本不等式可得，化简整理即可得结果；法二：利用乘“1”法结合基本不等式运算求解. 【详解】（1）设，则， 可得，解得，， 所以. （2）因为，所以，即； 法一：所以，化简得，当且仅当时取等， 所以， 故的最小值为9； 法二： ， 当且仅当且，即，时取等号， 故的最小值为9. 17．（15分）设集合，． (1)若，求实数的值； (2)若集合中有两个元素，求实数的取值范围，并用含的代数式表示； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2)， (3) 【分析】（1）由已知，代入后解方程并检验是否满足题意； （2）根据根与系数关系和完全差的平方公式化简求值即可； （3）由条件可得，结合集合确定集合，再根据集合情况分类求解即可． 【详解】（1）由题意得，因为，所以，， 所以即， 化简得，即，解得或， 检验：当时，，满足， 当时，，满足， 所以或． （2）因为集合中有两个元素，所以方程有两个根， 所以且，， 所以，． （3）因为，所以，又， 所以或或或， 当时，，解得，符合题意； 当时，则，无解； 当时，则，所以； 当时，则，无解， 综上，的范围为． 18．（17分）已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有 (1)求函数的解析式； (2)判断的单调性，并利用定义证明； (3)若对，都有对恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)在上为增函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据，求出，，再检验即得解； （2）函数在为单调递增函数，再利用函数的单调性定义证明； （3）分析得到对任意的恒成立，解不等式组即得解. 【详解】（1）函数是定义在上的奇函数， 则，即，解得， 又因为，即，解得， 经检验可得，符合题意． 所以当时，， 令则， 所以， 则当 综上所述，； （2）函数在上是增函数． 证明如下： 任取，且， 则 ， 因为， 所以，， 则，即， 故在上为增函数； （3）由（2）可知，函数在区间上单调递增， 所以， 由于对恒成立， 则对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 构造函数，其中， 所以，即， 解得或或， 所以实数的取值范围是. 19．（17分）若函数的定义域为，都有，则称函数为中心对称函数，其中为函数的对称中心． (1)已知定义R上的函数的图象关于点中心对称，且当时，，求，的值； (2)探究函数是否为中心对称函数．若是，请求出对称中心并用定义证明；若否，请说明理由． (3)运用第（2）问的结论，求的值，其中． 【答案】(1)，. (2)是中心对称函数，且对称中心为 (3) 【分析】（1）根据对称性，利用赋值法即可求出，的值； （2）由定义列，化简后令系数为0，求解m、n,，根据是否有解做出结论； （3）利用函数对称性的性质化简后利用基本不等式求解. 【详解】（1）由在R上的函数的图象关于点中心对称，得， 则，，， 当时，，， ， ，. （2）若为中心对称图形，则在定义域内有恒成立. ， 根据中心对称定义有， 整理得：， 为了使等式对所有 成立，系数必须分别等于零： ，解得： 是中心对称图形，且对称中心是. （3）由（2）知，；， 经检验，时，一致；时，一致， 所以. 6 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $