精品解析：河北省唐县第一中学2025-2026学年高一上学期10月月考数学试题

2025级高一上学期10月考试 数学试题 本试卷满分：150分 考试时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意解一元二次不等式，求出集合的元素，根据交集的概念求出结果即可. 【详解】由题意得，解得，即， 则； 故选：C. 2. 已知，使成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式性质和充分条件以及必要条件的判断分析即可. 【详解】对A，若，则，则充分性成立；若，则，则必要性成立，故A错误； 对B，若，举例，此时，则充分性不成立，故B错误； 对C，若，举例，此时，则充分性不成立，故C错误； 对D，若，则，则，则充分性成立；若，当时，此时，故必要性不成立，故D正确； 故选：D. 3. 已知函数，，的零点分别为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将问题化为、、与的交点横坐标，画出大致函数图象，数形结合比较大小即可. 【详解】由题意，的零点分别为、、与的交点横坐标为， 它们的大致图象如上图示，易知，其中. 故选：A 4. 函数（其中，）的部分图象如图所示，为得到的图象，可以将函数的图象（ ） A. 向右平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】 根据图象求出函数的解析式，并将函数的解析式变形为，利用平移变换可得出结论. 【详解】由图象可知，，函数的最小正周期为，， ， ，，，得，， ， 因此，只需将函数的图象向右平移个单位可得到函数的图象. 故选：D. 【点睛】本题考查三角函数图象变换，解答的关键就是根据图象求出函数的解析式，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 5. 下列说法正确的个数为（ ） ①命题“，”的否定是“，” ②幂函数对于，都有，则 ③函数（且）的图象所过定点的坐标为 ④已知函数在上单调递增，则的取值范围是 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】对①，直接写出存在量词命题的否定，即可判断真假；对②，利用幂函数的定义得或，再结合条件，即可求解；对③，利用对数函数的性质，即可求解；对④，利用分段函数的单调性质，得，得，即可判断真假. 【详解】对于①命题“，”的否定是“，，所以①命题错误； 对于②命题，由幂函数的定义知，，解得或， 又对于，都有，所以为偶函数， 当时，，为偶函数，符合题意； 当时，，为奇函数，不符合题意，故，所以②命题正确； 对于③命题，令，得，此时，故定点坐标为，所以③命题错误； 对于④命题，因为时，由指数函数和对数函数单调性可知单调递增， 所以在上单调递增，则需满足， 即，解得， 则的取值范围是，所以④命题正确，综上，正确的命题个数为2个， 故选：B. 6. 若函数有4个零点，则正数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用零点存在性定理求出函数的零点个数，再由正弦函数的图象性质及零点个数求出范围. 【详解】函数在上单调递增，则函数在上单调递增， 而，则，使得，函数在上有1个零点， 由函数有4个零点，得函数有3个零点， 由，得，则，解得， 所以正数的取值范围是. 故选：D 7. 如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，若 则 的最小值为（ ） A. 2 B. 9 C. 10 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量共线的知识和基本不等式的性质进行求解即可. 【详解】因为是的中点，所以. 因为，所以. 由于三点共线，所以可以表示为的线性组合， 即. 所以，即. 因为，所以. 当且仅当时，即时等号成立. 由于，所以解得，此时最小值为9. 故选：B. 8. 定义域为的函数的图象关于点对称，且，当时，，则下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 函数有3个零点 C. D. 的图象关于直线对称 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知得是周期为4的奇函数，利用对称性求得时，再应用奇函数、周期性研究函数性质求函数值并判断对称性，数形结合判断零点个数. 【详解】由关于点对称，则关于原点对称，即为奇函数， 设，则，又时，， ∴，则，A错； ∵， ∴，且令可得 ∴函数是以4为周期的周期函数， ∴，C错； 由，即， 所以关于点对称，D错； 函数的零点个数就是函数图象与函数图象的交点个数， 当时，当时，当时， 且在上单调递减，在上单调递增， 又在一个周期内单调递增，值域为， 同一坐标系内作函数与的图象如下： 观察图象知与有3个交点，B对. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设向量，，下列结论正确的是（ ） A. B. C. 与夹角的余弦值为 D. 在方向上的投影向量的坐标为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用平面向量模长公式、两向量垂直条件、两向量夹角计算公式、投影向量计算公式逐项分析. 【详解】对于A，，则，A错误； 对于B，因， 则，，B正确； 对于C，因，， 则与夹角的余弦值为，C正确； 对于D， ，D正确. 故选：BCD 10. 在中，内角所对的边分别为，如下判断正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 若，则 C. 若为锐角三角形，则 D. 若满足条件的有两个，则的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据正弦定理结合二倍角的正弦公式可判断A的正误，根据正弦定理边角转化后可判断B的正误，根据诱导公式可判断C的正误，根据三角形解的个数可得，计算后可判断D的正误. 【详解】对于A，因为，由正弦定理可得， 故，因为， 故或，故或， 故为等腰三角形或直角三角形，故A错误； 对于B，设为外接圆的半径， 因为，故，故即，故B正确； 对于C，若为锐角三角形，故， 故，故即，故C正确； 对于D，因为满足条件的有两个， 所以即，故D正确. 故选：BCD. 11. “圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知圆的半径2，点是圆内的定点，且，弦均过点，则下列说法错误的是（ ） A. 为定值 B. 的取值范围是 C. 当时，为定值 D. 的最大值为12 【答案】BD 【解析】 【分析】根据圆幂定理的结论、平面向量的数量积定义、基本不等式的性质等知识对每个选项逐一判断即可. 【详解】对于A：设直线与圆相较于点，注意，， 则为定值，正确； 对于B：取的中点，连接， 则. 因为，所以的取值范围为，错误； 对于C：当时，为定值，正确； 对于D：当均为直径（与重合）时，两者乘积最大. 因为，所以，所以D错误. 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知扇形的面积为，周长为，则该扇形的面积与其所在圆的面积之比为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】通过扇形的面积和周长建立方程，求出半径和弧长，再计算扇形面积与圆面积之比. 【详解】设扇形的半径为，弧长为，则，解得，则所求面积之比为． 故答案为：. 13. “学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收.”《增广贤文》是勉励人们专心学习的.如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是，一年后“进步”的是“退步”的倍.如果每天的“进步”率和“退步”率都是20%，那么“进步”的是“退步”的1000倍需要经过的时间大约是______天（四舍五入精确）（参考数据：）. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件，推得，再结合对数公式，即可求解. 【详解】设经过天“进步”的是“退步”的1000倍， 则，即， 故. 故答案为：. 14. 如图，矩形中，， 分别为边上的点，若，则的面积的最大值为________. 【答案】 【解析】 【分析】设，可得，，从而得，利用换元法及基本不等式求解即可. 【详解】解：设， 则， 则在中，易知则， 所以； 在中，易知则， 所以； 所以 ， 令， 因为，所以， 所以 ， 因为， 当且仅当时，等号成立， 所以，时等号成立， 所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键是将三角形的面积化成关于的函数，再利用换元法及基本不等式求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在中，点是的中点，，设，． （1）用，表示，； （2）若，，，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量基本定理得到； （2）在（1）基础上，利用向量数量积运算律进行计算，求出答案. 【小问1详解】 点是的中点，， 故， ； 【小问2详解】 由（1）知， ． 16. 已知关于的不等式的解集为 （1）求的值； （2）当且满足时，有恒成立，求k的取值范围； 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据不等式解集与对应方程根的关系，利用韦达定理求解的值； （2）先根据的值确定的具体形式，再利用基本不等式求的最小值，最后根据不等式恒成立求解的取值范围； 【小问1详解】 因为不等式的解集为， 所以1和2是方程的两个根，且． 根据韦达定理得，解得． 【小问2详解】 因为，所以． 因为，且， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为8． 因为恒成立，所以， 即，解得， 所以的取值范围是． 17. 在平面直角坐标系中，已知向量，，． （1）若，求的值； （2）记，R． ①求的对称中心； ②若任意，求的值域． 【答案】（1） （2）①对称中心为 ；② 【解析】 【分析】（1）根据向量平行的坐标表示列等式，结合三角恒等变换求解即可. （2）①化简，再利用正弦函数图象的性质求解即可；②整体法求函数的值域. 【小问1详解】 由，得， 由，得，则，， 所以. 【小问2详解】 ①依题意， 由，得， 所以的对称中心为. ②由，得， 则当，即时，；当，即时，． 所以的值域为． 18. 已知函数是定义域为上的偶函数. （1）求的值； （2）解不等式； （3）若在上的最小值为，求的值. 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据偶函数定义列式求得的值，进而计算得解； （2）先根据定义法判断的单调性，结合偶函数性质，即可求解不等式的解集； （3）由，令，得，分别讨论和，即可求得的值. 【小问1详解】 因为是定义域为上的偶函数， 则，即， 所以，即， ， . 【小问2详解】 由（1）可知，设， 则 ， ， ，即， 函数在上单调递增， 则不等式化为：， 可得， 且， . 【小问3详解】 ， ， 令，由，则， ， 当时，当时，，解得； 当时，当时，，解得，不符合题意，舍去； 综上，可知. 19. 在中，内角，，所对的边分别是，，，且，. （1）求角； （2）若，求边AC上的角平分线BD长； （3）若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用和角的正弦公式展开整理，求出，结合角的范围即得； （2）先由余弦定理结合条件，求得，再由三角形面积相等列方程求解即得； （3）利用线段中点的向量表达式推得，由（2）结论代入可得，利用正弦定理和三角恒等变换化简可得，结合锐角三角形中及正弦函数的图象性质求得，即可得到的取值范围. 【小问1详解】 由可得， 因为， 所以， 由，得，又，则. 【小问2详解】 如图： 由余弦定理，，因为，， 所以，又，所以. 由，得， 整理得：. 【小问3详解】 因为是边上的中线，则， 两边取平方，， 由（2）已得，代入可得， 由正弦定理，， 则， 所以 ， 因为为锐角三角形，则有，解得， 则， 由正弦函数的图象性质，可得， 故得，从而， 故边上的中线的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025级高一上学期10月考试 数学试题 本试卷满分：150分 考试时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，使成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，，的零点分别为，则（ ） A. B. C. D. 4. 函数（其中，）的部分图象如图所示，为得到的图象，可以将函数的图象（ ） A. 向右平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 5. 下列说法正确的个数为（ ） ①命题“，”的否定是“，” ②幂函数对于，都有，则 ③函数（且）的图象所过定点的坐标为 ④已知函数在上单调递增，则的取值范围是 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 若函数有4个零点，则正数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，若 则 的最小值为（ ） A. 2 B. 9 C. 10 D. 18 8. 定义域为的函数的图象关于点对称，且，当时，，则下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 函数有3个零点 C. D. 的图象关于直线对称 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设向量，，下列结论正确的是（ ） A. B. C. 与夹角的余弦值为 D. 在方向上的投影向量的坐标为 10. 在中，内角所对的边分别为，如下判断正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 若，则 C. 若为锐角三角形，则 D. 若满足条件的有两个，则的取值范围为 11. “圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知圆的半径2，点是圆内的定点，且，弦均过点，则下列说法错误的是（ ） A. 为定值 B. 的取值范围是 C. 当时，为定值 D. 的最大值为12 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知扇形的面积为，周长为，则该扇形的面积与其所在圆的面积之比为_______． 13. “学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收.”《增广贤文》是勉励人们专心学习的.如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是，一年后“进步”的是“退步”的倍.如果每天的“进步”率和“退步”率都是20%，那么“进步”的是“退步”的1000倍需要经过的时间大约是______天（四舍五入精确）（参考数据：）. 14. 如图，矩形中，， 分别为边上的点，若，则的面积的最大值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在中，点是的中点，，设，． （1）用，表示，； （2）若，，，求． 16. 已知关于的不等式的解集为 （1）求的值； （2）当且满足时，有恒成立，求k的取值范围； 17. 在平面直角坐标系中，已知向量，，． （1）若，求的值； （2）记，R． ①求的对称中心； ②若任意，求的值域． 18. 已知函数是定义域为上的偶函数. （1）求的值； （2）解不等式； （3）若在上的最小值为，求的值. 19. 在中，内角，，所对的边分别是，，，且，. （1）求角； （2）若，求边AC上的角平分线BD长； （3）若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $