期中考前满分冲刺之优质压轴题-2025-2026学年苏科版九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练

期中考前满分冲刺之优质压轴题 【专题过关】 类型一、圆的阴影部分面积 1．如图，是半圆O的直径，且，C为半圆上的一点，将此半圆沿所在直线折叠，若恰好过圆心O，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作于点，延长交于点，连接，，由折叠的性质可知，的对应点为，则，，推出，为等边三角形，再结合圆周角定理，推出，最后利用扇形面积公式求解，即可解题． 【详解】解：过点作于点，延长交于点，连接，， 则， 由折叠的性质可知，的对应点为，则，， ， 是半圆O的直径，且， ， ， 为等边三角形， ， ， ， 图中阴影部分的面积为， 故选：C． 【点睛】本题考查了垂径定理，折叠的性质，等边三角形性质和判定，圆周角定理，扇形面积公式，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 2．如图，正三角形的边长为，点D、E、F分别为、、的中点，以A、B、C三点为圆心，长为半径作圆． 则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等边三角形的性质，扇形的面积公式及勾股定理，把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解题的关键． 连接，根据等边三角形的性质可得，，根据勾股定理求得，再利用求解即可． 【详解】解：连接， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴在中，， ∴， ∵三个圆的半径都为， ∴， ∴． 故选：C． 3．如图，正六边形边长为，分别以为圆心，长为半径画弧，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形和圆，等边三角形的判定和性质，扇形的面积等，取正六边形边长中心，连接，过点作于，由正六边的性质可得，，即得是等边三角形，求出的面积可得正六边形的面积，最后根据解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图所示，取正六边形边长中心，连接，过点作于，， ∵是正六边形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 故选：． 4．如图，为半圆的直径，且，半圆绕点B顺时针旋转，点A旋转到的位置，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了扇形的面积的计算，根据“阴影部分的面积扇形的面积以为直径的半圆的面积 以为直径的半圆的面积扇形的面积”即可求解． 【详解】解： ． 故答案为． 5．如图，在矩形中，，取的中点，以为圆心，为半径画半圆，再以为圆心，为半径画扇形，两条弧交于点，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，扇形面积的计算，解决本题的关键是熟知扇形面积公式．连接，过点作交于，证明三角形为等边三角形，再利用面积之差即可解答． 【详解】解：如图，连接，过点作交于， 根据题意可得， 三角形为等边三角形， ，， ，， ， 则阴影部分的面积为， 故答案为：． 6．如图，矩形中，，扇形的半径，扇形的半径，则阴影部分的面积为 （π取3） 【答案】 【分析】本题考查了矩形的特点和扇形的面积公式，根据题意可得扇形和扇形都为个圆，再根据阴影部分的面积扇形阴影部分面积扇形阴影部分面积，根据图形可知阴影部分的面积扇形面积矩形面积右下空白部分面积扇形面积右下空白部分面积，即可得到阴影部分的面积扇形面积扇形面积矩形面积，代入数据计算即可． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， 由图可知：阴影部分的面积扇形面积矩形面积右下空白部分面积扇形面积右下空白部分面积， ∴阴影部分的面积扇形面积扇形面积矩形面积 ， ， ， ． 故答案为：． 类型二、正确的个数(结论) 1．对于一元二次方程（，，为常数，且，下列说法：①若，则方程必有一根为；②当时，方程至少有一个根为；③若方程的两根为和，则必有成立；④若，则方程一定有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数关系、根的判别式、方程根的定义等知识． ①与②根据方程的根的定义和解方程即可作出判断；根据根与系数关系即可判断③；根据一元二次方程根的判别式即可判断④． 【详解】解：①∵， ∴， ∴方程必有一根为； ∴①正确； ②当时，则一元二次方程变为， 则， ∴或， 解得或， ∴方程至少有一个根为； 故②正确； ③若方程的两根为和， ∴， ∴， 故③正确； ④若，则． ∴方程的判别式为, ∵，， ∴， ∴方程一定有两个不相等的实数根； 故④正确； 综上可知，①②③④正确； 故选：D． 2．如图，为的直径，，为的中点，连接，点在射线上，连接，取的中点，过作交于，连接．下列结论：①；②；③；④为定值．其中正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据题意可得是的垂直平分线，是的垂直平分线，可得点、、以为圆心的圆上，根据圆周角定理可得，进而可判断①；连接，根据圆周角定理的推论并结合①的结论可得点和点在以点为圆心的同一个圆上，于是可判断②；连接，由①知点、、以为圆心的圆上，然后根据圆周角定理即可判断③；在直角中，利用锐角三角函数和③的结论可得，然后将进行整理变形即得结论，进而可判断④，于是可得答案． 【详解】解：连接 ∵是中点，， ∴垂直平分， ∴． ∵是半径，为的中点， ∴， ∵， ∴，是等腰直角三角形，， ∴，点、、以为圆心的圆上， ∴， ∴，①正确． 连接， ∵是半的直径， ∴ ∴点和点在以点为圆心的同一个圆上 ∴，故②正确． 连接， ∴①知点、、以为圆心的圆上， ∴，故③正确． 在直角中， ， ∴，，故④错误． 【点睛】本题考查了圆周角定理及其推论、垂径定理的推论、等腰直角三角形的性质、四点共圆以及锐角三角函数等知识，涉及的知识点多，综合性强，熟练掌握上述知识、灵活应用圆周角定理和解直角三角形的知识是解题关键． ． 3．如图，已知在中，，是的角平分线，E是上一点，且，连接，作于F，连接．则下面的结论：①；②；③若，则．其中正确结论的个数是（  ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据等边对等角及三角形内角和定理得，再根据角平分线定义及直角三角形的性质得，然后代入可判断①；再延长交于点H，连接，根据“边角边”证明，可得再根据线段垂直平分线的性质得，接下来说明点D，F，H，C四点共圆，根据同弧所对的圆周角相等判断②；作，根据角平分线性质定理得，再根据面积公式计算判断③． 【详解】∵， ∴． ∵， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 故①正确； 延长交于点H，连接． ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴． ∵， ∴点D，F，H，C四点共圆， ∴， ∴． 所以②正确； 作于点M． ∵平分，， ∴． ∵， ∴． 所以③正确． 所以正确的结论有3个． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，角平分线的定义及性质，三角形内角和定理，四点共圆，全等三角形的性质和判定，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 4．若关于x的一元二次方程各项系数满足，则此方程的根的情况：①必有两个不相等的实数根；②当时，有两个相等的实数根；③当a，c同号时，方程有两个正的实数根；④当a，b同号时，方程有两个异号实数根．其中结论正确的个数是 个． 【答案】 【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△＝b2﹣4ac的符号，及根与系数的关系即可． 【详解】解：因为a+b+c＝0，所以b＝﹣a﹣c， △＝b2﹣4ac＝（﹣a﹣c）2-4ac=（a﹣c）2≥0，方程一定有实数根， 当a＝c时，△＝0，有两个相等的实数根，故①错误，②正确； 当a、c同号时，根据一元二次方程根与系数的关系，两根的积是＞0，则方程有两个同号的实数根，又∵b＝﹣a﹣c，显然a、b异号，两根之和为﹣＞0．则两根一定都是正数，故③正确． 当a，b同号时，∵b＝﹣a﹣c，显然a与a+c异号，故a、c异号，两根的积是＜0，方程有两个异号实数根．故④正确． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的情况和根与系数关系，解题关键是明确根的判别式和根与系数关系，熟练运用它们进行推理计算． 5．如图，为的直径，点、为圆上两点，且，交于点，交于点，给出下面四个结论：①；②；③；④当时，，上述结论中，正确结论的序号有 ． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了圆与几何综合，圆的相关性质定理，等腰三角形的判定，平行四边形的判定与性质，垂径定理的推论；熟练掌握相关知识点并灵活运用是解题的关键；利用圆周角定理推论可得结论①不正确；利用题中条件推出，可得故结论②正确；设与相交于点G，证明四边形是平行四边形，可得，再利用圆周角定理推论和等腰三角形的判定可得，故结论③正确；利用垂径定理的推论可得结论④正确． 【详解】解：为的直径，点C在圆上， ，而的度数无法确定，故结论①不正确； ， ， ， ，故结论②正确； 如图，设与相交于点G， ，， 四边形是平行四边形， ， 又在中，，， ， ，故结论③正确； 当时， 由，可得， 垂直平分， 经过圆心O， 又∵， ∴， ∴ ∴， ∴，即， ∴， 又∵ ∴，故结论④正确； 结论正确的是：②③④． 故答案为：②③④． 6．如图，在中，是直径，点D是上一点，点C是的中点，于点，过点的切线交的延长线于点，连接，分别交于点，连接，关于下列结论：①；②；③；④点P是的外心，其中结论正确的是 （只需填写序号）． 【答案】②③④ 【分析】①利用圆周角定理的推论和弧之间的关系即可判断；②连接，利用等腰三角形的性质得出，再根据即可得出，由此可判断②的正误；③首先利用垂径定理证明，则有，④进而利用圆周角定理的推论和等量代换得出，则，P点为斜边中点，则可判断④的正误． 【详解】解：①∵点是的中点， ， ． ∵与不一定相等， ∴与不一定相等，故①错误； ②如图， 连接，则 ， ． ， ， ，故②正确； ③于点， ∴F为中点， ∴ ． ∵点是的中点， ， ， ， ，故③正确； ∵为圆的直径， ， ， ， ， ， ∴P点为斜边中点， ∴点是的外心，故④正确； 故答案为：②③④． 【点睛】本题是圆的综合题，其中涉及切线的性质，圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系，三角形外接圆等，熟练掌握性质及定理是解题的关键． 类型三、取值范围问题 1．如图，已知的直径为26，弦，动点P、Q在上，弦，若点M、N分别是弦、的中点，则线段的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，连接、、、，由垂径定理可得，，，，再由勾股定理计算得出，，再分两种情况计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接、、、， ， ∵的直径为26， ∴， ∵点M、N分别是弦、的中点，，， ∴，，，， ∴，， 当时，、、三点共线， 当、位于的同侧时，线段的长最短为， 当、位于的异侧时，线段的长最长为， ∴线段的取值范围是， 故选：A． 2．如图，已知是以数轴原点O为圆心，半径为1的圆，，点P在数轴上运动，若过点P且与平行的直线与有公共点，设，则x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，平行线的性质，勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质，解题关键是求出相切时的x值，即可分析出x的取值范围．根据题意，由直线和圆有公共点得相切或相交，相切时，设切点为C，连接，根据等腰直角三角形的直角边是圆的半径1，求得斜边是，所以x的取值范围是． 【详解】解：设切点为，连接，则： 圆的半径，， ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 同理，原点左侧的距离也是，且线段是正数， 所以x的取值范围是， 故选：B． 3．如图，已知是线段上的两点，，以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使两点重合成一点C，构成，设，若以点B为圆心，为半径作，使点M和点N都在外，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的三边关系、点与圆的位置关系、不等式组，比较基础．利用三角形的三边关系、点到圆心的距离与半径的关系分别列不等式，再求解即可． 【详解】解：在中， ， ， 解得：； ∵以点为圆心，为半径作圆，使点和点都在外， 且， ， ∴的取值范围是， 故选：B． 4．如图，，点是射线上一点，，以点为圆心，为半径作，若与射线只有个公共点，则半径的取值范围是 ．    【答案】或 【分析】此题重点考查直线与圆的位置关系，正确地作出辅助线是解题的关键．作于点D，由，得，由勾股定理求出，若与射线只有个公共点，则或，即可得半径r的取值范围． 【详解】解：作于点D，则，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵当时，与射线相切，此时与射线只有一个公共点； 当时，与射线有两个公共点， ∴若与射线只有个公共点，则或， ∴半径r的取值范围是或， 故答案为：或． 5．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为平面内不在轴上的一点，且，外接圆圆心的坐标为． （1）点恰在轴的正半轴上，则点的坐标为 ； （2）的取值范围是 ． 【答案】 或 【分析】本题考查的是坐标与图形、勾股定理、圆周角定理应用及三角形外心的性质， （1）先求出，得出为外接圆直径，则点C为线段中点，进而求出结论； （2）分别作的垂直平分线交于点C，连接，分两种情况：当点C在y轴右侧时或点C在y轴左侧时，分别求出即可． 【详解】解：（1）点恰在轴的正半轴上，如下图： ，， ， ， ， 在中，， ∴为外接圆直径， 则点C为线段中点， ， 故答案为：； （2）分别作的垂直平分线交于点C，连接，如图，当点C在y轴右侧时， ∴， 由垂线段最短得：， 在中，， 即， ； 同理，当点C在y轴左侧时，； 综上所述，的取值范围是或． 6．如图， 在平面直角坐标系中， 已知点，，，点在以为圆心， 为半径的上运动， 且始终满足， 则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，两点间的距离，连接，分别交于点，由，，，则为中点，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出，从而转化为转化为以为圆心，为半径的圆与有公共点时求的取值范围，即与重合时有最小值，与重合时有最大值，即有，再求出，代入即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，分别交于点， ∵，，， ∴为中点， ∵， ∴， ∴转化为以为圆心，为半径的圆与有公共点时求的取值范围，即与重合时有最小值，与重合时有最大值， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的取值范围是， 故答案为：． 类型四、外心、内心、重心问题 1．如图，点O是的外心，点I是的内心，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理、三角形的外心与内心、等边对等角、三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．连接，根据三角形内心的定义可得，则，再由等边对等角以及三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵点O是的外心， ∴， ∵点I是的内心，， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， 故选：B． 2．如图，G是的重心，若，则图中阴影部分的面积是（   ） A．15 B．25 C．20 D．10 【答案】A 【分析】本题考查三角形重心定理，三角形的中线平分面积，三角形的重心到中点的距离等于到顶点距离的一半，据此求解即可． 【详解】∵G是的重心， ∴，， ∵， ∴，． 故选：A． 3．如图，经过的重心，点E是的中点，过点E作交于点G，若，则线段的长为（   ） A．6 B．4 C．5 D．3 【答案】B 【分析】本题考查的是重心的概念和性质、相似三角形的判定和性质，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点是解题的关键． 根据重心的概念得到点D为中点，求出的长，再根据平行证明，结合点E是中点，得到，从而求出． 【详解】解：∵经过的重心， ∴点D是中点， ∵ ∴ ∵， ∴ ∵点E是中点， ∴，即， 解得： 故选：B． 4．如图，已知中，，，点I是的内心，点 O为的外心，则的内心I与外心O的距离 ． 【答案】 【分析】本题考查外心内心定义性质，勾股定理，等腰三角形性质等．根据题意可知内心为三角形角平分线交点，外心为三角形三边垂直平分线交点，作出图形，后连接，利用等腰三角形性质得到，再利用勾股定理求出外接圆半径，再利用等面积法计算的长，继而求出本题答案． 【详解】解：∵外心是三边垂直平分线交点，内心是三角形三个内角角平分线交点，作图如下，再依次连接， ∵是等腰三角形，点I是的内心，点 O为的外心， ∴在同一条直线上，且，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，，，， ∴，解得：， ∴， ∴， ∵点I是的内心， ∴， ∵， ∴， ∴，解得：， ∴， ∴内心I与外心O的距离：， 故答案为：． 5．如图，在中，，点为的外心，，，是的内切圆．则的长为 ． 【答案】 【分析】如图：过点P作于D、于E、于F，根据三角形的内心性质得到，根据切线长定理可得、、，得到四边形是正方形，根据勾股定理求出，得到，设，，，求得， ，进而得到，最后根据勾股定理求解即可． 本题主要考查了直角三角形的内心与外心、三角形内心性质、三角形外心性质、勾股定理，切线长定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图：过点P作于D、于E、于F。 ∵点P是内切圆的圆心， ∴，、、， ∴四边形是正方形， ∵中，， ，， ∴， 设，，， 则，解得：， ∴，。 ∵点O为的外心， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 6．如图，G是的重心，连接并延长交于点D，连接并延长交于点E，P，Q分别是和的重心，长为12，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了三角形的重心，三角形的中位线，相似三角形的判定与性质．三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为．连接，延长交于F点，连接，由G是的重心，可证是的中位线，从而可得．利用三角形重心的定义和性质得到，，得到，再证明得即可． 【详解】解：连接，延长交于F点，连接，如图， ∵G是的重心， ∴、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴． ∵P，Q分别是和的重心， ∴点为的中点，， ∴点在中线上，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 类型五、最值问题 1．如图，已知在中，，，将绕点逆时针旋转．得到．点是边的中点，点为边上的动点，在绕点逆时针旋转的过程中，点的对应点是点，则线段长度的最大值与最小值的差是（    ）． A． B． C． D．18 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的三线合一性质，垂线段最短，圆的基本性质，熟练掌握勾股定理，等腰三角形的三线合一性质，垂线段最短，圆的基本性质是解题的关键．如图，连接，作于，于．求出的最小值以及最大值即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，作于，于， ∵绕点逆时针旋转得到，，， ∴点的对应点是点，， ，， 又∵点是边的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在旋转过程中，当点与重合时，的值最小，最小值为：， 当点与重合时，的值最大，最大值为：， ∴线段长度的最大值与最小值的差是：． 故选：C． 2．如图，点，半径为2，，，点是上的动点，点是的中点，则的最小值为（    ） A．1 B．1.5 C．2.5 D．3.5 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形、三角形中位线定理、勾股定理，连接交于，连接，由题意得出是的中位线，则，从而得到当最小时，最小，即当运动到时，最小，此时也为最小，求出的长即可得出答案． 【详解】解：如图，连接交于，连接， ， ∵，， ∴，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴当最小时，最小， ∴当运动到时，最小，此时也为最小， ∵， ∴的最小值为， 故选：B． 3．如图，是⊙的直径，是上半圆上一点，且满足是下半圆上一个动点，过点作的垂线，垂足为，则点从点运动到点的过程中，线段的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取中点M，连接，由圆周角定理得到，由含30度角的直角三角形的性质求出，得到，由直角三角形斜边中线的性质推出，由勾股定理求出，由三角形三边关系定理得到，于是线段的最小值是． 【详解】解：取中点M，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵M是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴线段的最小值是． 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理，三角形三边关系，直角三角形斜边的中线，圆周角定理，关键是由三角形三边关系定理得到． 4．如图，已知中，，点E是边上的动点，以为直径作，连接交于点D，则的最小值 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，圆周角定理，三角形三边关系，根据题意找出，当点在一直线上时，的值最小是解题的关键． 连接，利用直径定理得出直角，确定，得出当点在同一条直线上时，的值最小，然后利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴动点在以中点为圆心，2为半径的圆上运动， ∵， 当点在同一条直线上时，的值最小， ∵，， ∴由勾股定理得，， ∴， 即的最小值为， 故答案为：． 5．如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则周长的最小值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了圆的性质、点的对称性、平行四边形的性质等，由正方形的性质知点C是点A关于的对称点，过点C作，且使，连接交于点N，取，连接、，进而求解． 【详解】解析：如图，连接，以为边作，连接， ∵的面积为， ∴， ∴． ∵四边形为正方形， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， 当A，N，E三点共线时，最小，即为的最小值， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴周长的最小值为 故答案为：4． 6．如图，边长为的正方形中，以为直径在正方形内作半圆，点是半圆上动点，连接，把线段绕点逆时针旋转得线段，连接，则线段长度的最小值是 ． 【答案】 【分析】延长到，使，连接，取的中点，连接，证明，即可证明，从而，得在以为圆心，为半径的半圆上运动，故当共线时，最小，此时，即可得最小为． 本题考查旋转的性质，正方形性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是求出的轨迹． 【详解】解：延长到，使，连接，取的中点，连接，如图： 四边形是正方形， ， 由旋转可得：， ， ， ， ， ，即， ， ， ， 在以为圆心，为半径的半圆上运动， 当共线时，最小， 如图： ， ， 最小为； 故答案为：． 类型六、相似中的比值问题(选考) 1．如图，在正方形中，、分别为边、延长线上两点，连接、，，交于点，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，正方形的性质，连接，设，则，；证明，得到；再证明，得到，则，即可得到． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴可设， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2．如图，某亭子的平面图是由正方形和正八边形复合而成，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题重点考查正方形的性质、正八边形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，由正方形和正八边形的性质得到，，得到． 【详解】解：如图，设， 由正方形和正八边形的性质得到，， ∴，， ∴． 故选：B． 3．如图，矩形的四个顶点分别在直线上．若直线且间距相等，交直线于点G，，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线分线段成比例，矩形的性质，根据平行线分线段成比例定理，可得．再由矩形的性质得出，即可求解． 【详解】解：如图，作于点F，交于点E． 由已知可得，，， ， ， ∵， ∴． ∵四边形是矩形，， ∴， ∴． 故选A． 4．如图，在矩形中，E是边的中点，于点H，交边于点F，，则的值为 ． 【答案】7 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，矩形的性质，根据题意及矩形的性质证明，得到比例式，设，表示出，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， ∵E是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴, ∴， 故答案为：7． 5．如图，已知中，，，将绕点旋转至，如果直线，垂足记为点，那么的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，正弦函数，相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 设，则，，分两种情况讨论，画出图形，利用相似三角形的判定和性质，列式计算即可求解． 【详解】解： 设，则， ∴中，， ∵将绕点旋转至， ∴，则，，，， 如图，当将绕点顺时针旋转至时，在上，则，，， ∴， ∴，则， ∴， ∴， ∴； 如图，当将绕点逆时针旋转至时，在上，则，，， ∴， ∴，则， ∴， ∴， ∴； 故答案为：或． 6．如图，D为中上一点，E为上一点，连接，交于点M，满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，作交的延长线于点，证明，求出的值，证明，得到，即可． 【详解】解：作交的延长线于点， 则：，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 类型七、动点问题 1．如图，在直角三角形中，直角边，．设，Q分别为、上的动点，在点自点沿方向向作匀速移动的同时，点自点沿方向向点作匀速移动，它们移动的速度均为每秒，当点到达点时，点就停止移动．设移动的时间秒．    (1)AB=___________cm，BP=___________cm（BP用含t的代数式表示）． (2)当为何值时，与相似？并说明理由． (3)当为何值时，是等腰三角形？并说明理由． 【答案】(1)5， (2)当或秒时，与相似． (3)当或或时，是等腰三角形． 【分析】此题考查了相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质． （1）利用勾股定理求出，根据速度乘以时间得到，利用即可求出； （2）分与两种情况进行讨论，分别根据相似三角形对应比成比例列出方程求解即可． （3）根据是等腰三角形，分三种情况：，分别利用相似三角形对应边成比例列出方程即可求出t的值； 【详解】（1）∵直角边，， ∴由勾股定理可得，（）， （）， 故答案为：5，； （2）能． 理由：当时， ，即，解得：秒； 当时，，即，解得：秒， ∴当或秒时，与相似． （3）由题意知，，，， 当时，，解得； 当时，如图，作于点E，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即, 解得； 当时，作于点F，    ∵， ∴， ∵， ∴ ∴，即，解得 ∴当或或时，是等腰三角形． 2．如图，在中，，动点P从点B出发，沿线段以每秒的速度向终点A运动，同时动点Q从点A出发，沿线段以每秒的速度向点C运动．当一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设运动的时间为t秒． (1) ； (2)若以点A、P、Q为顶点的三角形与相似，求t的值； (3)当t为何值时，的面积为？ 【答案】(1) (2)当或时，以点A、P、Q为顶点的三角形与相似． (3)， 【分析】本题考查了勾股定理，动点问题，相似三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键． （1）根据勾股定理直接求解； （2）根据题意列出代数式，分当和时两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，解方程即可求解； （3）如图，过作于，证明，可得，，再利用面积公式建立方程即可求解． 【详解】（1）解：在中，由勾股定理，得， ∴． （2）解：由题意，得，， ①当时，， ∴， ∴， 解得， ②当时，， ∴， ∴， 解得， 综上所述，当或时，以点A、P、Q为顶点的三角形与相似． （3）解：如图，过作于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， 解得：，． 3．如图，在中，，，．点为中点，动点从点出发，沿边以每秒个单位长度的速度向终点运动，连接，将线段绕点逆时针旋转得线段，连接．设点运动的时间为秒． (1)的长为___________； (2)当点落在边上时，求t的值； (3)当与的一边平行时，求线段PE的长度； (4)当经过点与的一个顶点的直线平分面积时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)当点落在边上时，的值为； (3)当与的一边平行时，线段的长度为或； (4)当经过点与的一个顶点的直线平分面积时，的值为或或． 【分析】（1）根据勾股定理计算即可； （2）当点在上时，，可证明，可得，可得，从而可得的值； （3）可分为两种情况，，，根据题意画出图形，根据相似三角形的性质即可求解； （4）分为三种情况，分别是经过三条中线，分别画出图形，结合图形，根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴， ∴的长为． 故答案为：． （2）解：∵的长为，点为中点， ∴， 当点在上时，如图所示， 此时，，即， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴当点落在边上时，的值为． （3）解：分两种情况： 当时，过点，分别作垂线，，如图所示， 此时四边形是矩形， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴, 当时，过点D作，，如图所示， ∴， ∵是的中点， ∴是的中点， ∴， ∴当与的一边平行时，线段的长度为或． （4）解：当经过点与的一个顶点的直线平分面积时，此时点在的中线上，可分为三种情况： 当点在上时，如图所示： 此时, ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 设，即， ∴， ∴，解得， ∴， ∴， 即， 当点在中线上时，如图所示，连接，则， 过点D作于点，过点作于点，交于点， 在和中， ， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， 如图所示，当点在中线上时， 同理可得， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴当经过点与的一个顶点的直线平分面积时，的值为或或． 【点睛】本题考查勾股定理，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，三角形中线的性质． 4．在矩形中，，，点P从点A出发沿边以的速度向点B移动，同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C移动，其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为t秒 (1)如图1，________秒后，面积等于？ (2)在运动过程中，若以P为圆心、为半径的与相切（如图1），求t值； (3)若以Q为圆心，为半径作． ①如图2，以Q为圆心，为半径作．在运动过程中，是否存在这样的t值，使正好与四边形的一边（或边所在的直线）相切？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由； ②如图3，若与四边形的边有三个公共点，则t的取值范围为________（直接写出结果，不需说理） 【答案】(1)1或5 (2) (3)①或或；② 【分析】1）由题意可知、，则，，然后根据的面积为列方程求解即可； （2）如图1所示：连接．依据勾股定理可求得的长，然后依据切线长定理可知，从而可求得的长，由圆的半径相等可知，然后在中依据勾股定理列方程求解即可； （3）①若与相切，知，由利用勾股定理列方程求解可得；当正好与四边形的边相切时，由圆的性质可知，然后依据勾股定理列方程求解即可； ②先求得与四边形有两个公共点时t的值，然后可确定出t的取值范围． 【详解】（1）解：由题意知，、，则，， 由可得， 解得：或， 即1秒或5秒后，面积等于， 故答案为：1或5； （2）解：如图1所示：连接． ∵在矩形中，，， ∴，， ∵， ∴与相切， ∵分别与、相切， ∴， ∵与相切， ∴， 在中，依据勾股定理可知， ∴， ∵， ∴，， 在中，依据勾股定理可知：， 解得：； （3）解：①分以下三种情况讨论： （Ⅰ）由题意可知圆Q与、不相切； （Ⅱ）如图2所示：若与相切时， 设切点为E，则，，则，，， 在中，由勾股定理可知：， 得方程：， 解得或； （Ⅲ）当正好与四边形的边相切时，如图3所示． 由题意可知：，，， 在中，由勾股定理可知：， 即， 解得：，（舍去）． 综上所述，当或或时，与四边形的一边相切． ②分以下两种情况讨论： （Ⅰ）当时，如图4所示： 与四边形有两个公共点； （Ⅱ）如图5所示： 当圆Q经过点D时，与四边形有两个公共点，则， 根据勾股定理得，，， 得方程， 解得：（舍）或， ∴当时，与四边形有三个公共点． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了三角形的面积公式、切线长定理、勾股定理、圆的性质，依据题意列出关于t的方程是解题的关键． 5．如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C移动，设运动时间为t秒． (1)当时，的面积为______； (2)是否存在一个时刻，使得点Q在的垂直平分线上，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由； (3)运动过程中，当A、P、Q、D四点恰好在同一个圆上时，求t的值． 【答案】(1)28； (2)存在，； (3)当或时A、P、Q、D四点恰好在同一个圆上 【分析】（1）由矩形的性质得出，，，由题意得出，，，，由矩形的面积减去三个直角三角形的面积，即可得出答案； （2）由得出，解方程可得出答案； （3）证出A、P、D三点在以为直径的圆上，由圆周角定理得出，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ，，， 由题意得：，， ，， 当时，，，，， 的面积， 故答案为：28； （2）解：存在； 当时，Q在DP的垂直平分线上， ， 解得，舍去，； （3）解：， 、P、D三点在以DP为直径的圆上， 若点Q也在圆上，则， ，，，， ； 解得，， 当或时，A、P、Q、D四点恰好在同一个圆上． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，矩形的性质、三角形面积、勾股定理等知识；熟练掌握勾股定理是解题的关键． 6．如图，在矩形中，，，点E从点A出发以每秒1个单位长度向点B运动，同时点F从点C出发以每秒1个单位长度向点D运动，当点E、F运动到终点时停止运动．设运动的时间为t秒．    (1)当点E、F的距离是点E、A距离的两倍时，求t的值； (2)当以为直径的圆与相切时，求t的值； (3)在运动的过程中，点B到的最远距离为______． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定性质，勾股定理，直线和圆的位置关系，解方程等知识点，灵活运用性质解题及方程思想的运用是解题的关键． （1）过点作于点，由题意可知，由矩形的性质及勾股定理可得出答案； （2）连接，与交于点，过点作于点，证明，得出，即的中点为矩形的中心，由勾股定理可得出答案； （3）由勾股定理可得出答案． 【详解】（1）过点作于点，由题意可知， ∵四边形是矩形， 是矩形，    （2）连接，与交于点，过点作于点， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即的中点为矩形的中心， 以为直径的圆与相切， ∴圆的半径， 则， 在中，由（1）得 由勾股定理可得：， 解之得． 综上：或；    （3）由（2）可知，经过矩形的中心， 当时，点到的距离有最大值， ∵， ∴， ∴点到的最远距离为． 故答案为：．    类型八、新定义问题——几何与函数 1．我们定义：有一组对角相等的四边形叫做“等对角四边形”． (1)如图1，“等对角四边形”内接于，，则 ， ； (2)如图2，“等对角四边形”内接于，且，，点E在的延长线上，连接，，，，请证明：四边形是“等对角四边形”； (3)如图3，“等对角四边形”内接于，且其一个内角为，，，若，求的长． 【答案】(1)90，120 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补，并结合“等对角四边形”的定义计算即可得解； （2）由“等对角四边形”的定义可得，，，再由等腰三角形的性质并结合圆周角定理得出，即可得证； （3）连接，分四种情况：当时，则；当时；当时；当时；分别结合“等对角四边形”的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵“等对角四边形”内接于，， ∴，，， ∴， 故答案为：90，120； （2）证明：∵“等对角四边形”内接于， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是“等对角四边形”； （3）解：如图1，连接，当时，则， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是“等对角四边形”，是直径， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图2，当时，此时，， ∴， ∴， ∴四边形是“等对角四边形”， 作，交于E， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，则，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，则，，， ∴四边形不是“等对角四边形”， 当时，则， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形不是“等对角四边形”， 综上所述：或． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、勾股定理、“等对角四边形”的定义， 掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 2．定义：能完全覆盖平面图形的最小的圆称为该平面图形的最小覆盖圆． (1)如图①，线段，则线段AB的最小覆盖圆的半径为　　　　； (2)如图②，中，，，，请用尺规作图，作出的最小覆盖圆（保留作图痕迹，不写作法）． (3)如图③，矩形中，，，若用两个等圆完全覆盖该矩形，那么这两个等圆的最小半径为　　　　． 【答案】(1) (2)作图见解析 (3) 【分析】（1）根据最小覆盖圆的定义可知，当为圆的直径时，此圆即为最小覆盖圆； （2）根据最小覆盖圆的定义可知，直角三角形的最小覆盖圆即为该直角三角形的外接圆，据此求解即可； （3）根据最小覆盖圆的定义可知；分别取的中点G，H，连接交于E，连接交于F，连接，则四边形，四边形都是矩形，同理可得圆E和圆F分别是四边形，四边形的最小覆盖圆，同理求出即可． 【详解】（1）解：如图所示，∵， ∴（O为AB中点，）， ∴当为圆的直径时，此圆即为最小覆盖圆， ∴线段的最小覆盖圆的半径为， 故答案为：； （2）解：由题意可知的最小覆盖圆即为的外接圆， 作线段的垂直平分线交于D，点D即为最小覆盖圆圆心， （3）解：如图所示，分别取的中点G，H，连接交于E，连接交于F，连接，则四边形，四边形都是矩形， 同理可得圆E和圆F分别是四边形，四边形的最小覆盖圆， 在中，， ∴， ∴， ∴这两个等圆的最小半径为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形外接圆以及四边形的外接圆的相关知识，矩形的性质，勾股定理，正确理解最小覆盖圆的定义是解题的关键． 3．在平面直角坐标系中，的半径为2，A为任意一点，B为上任意一点，给出如下定义：记A，B两点间的距离的最小值为p（规定：点A在上时，），最大值为q，那么把的值称为点A与的“美好距离”，记作． (1)如图1，已知点． ①________； ②若点M在线段上，直接写出的取值范围是_______． (2)若点N在直线上，求的取值范围； (3)正方形的边长为m，若点P在该正方形的边上运动时，满足的最小值为2，最大值为6，直接写出m的最小值和最大值． 【答案】(1)①  ② (2) (3)的最小值为，最大值为 【分析】（1）①运用新定义“美好距离”，即可求得答案；②根据新定义“美好距离”，分别求出，即可得出答案； （2）设可得，运用新定义“美好距离”，可 得 ，再利用，即可求得答案； （3）如图，找出特殊位置，分别画出图形，即可得出答案． 【详解】（1）解：①∵到的距离的最小值，最大值， ， 故答案为:； ②当在点处, 到的距离的最小值，最大值， ， 当在点处, 到的距离的最小值，最大值， ， ； （2）解：设， ， ∴， ∵点N在直线上, 设直线交轴于点，交轴于点，如图， 则时, 时, ， ， ， 当 时, 最小, ，即， ， ∵无最大值, ； （3）如图， ∵的最小值为, 最大值为6， ∴两个同心圆中，小圆的半径为2，大圆的半径为， ， ∴的最小值是 ， 在中， ， 解得： (舍去)或 ， ∴的最小值为，最大值为． 【点睛】此题考查考查了圆的性质和新定义等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题． 4．定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． (1)将斜边相等的两块三角板按如图1放置，其中含角的三角板的斜边与含角的三角板的斜边重合，B、D位于的两侧，其中，连接，若，则的长为________，的长为________，的长为________． (2)如图2，在邻等对补四边形中，，，若，，求的长； (3)如图3，在中，，，，分别在边上取点M，N，使四边形是邻等对补四边形．请直接写出的长． 【答案】(1)，， (2) (3)或或 【分析】本题主要考查了新定义下的四边形，等腰直角三角形的性质，含角的直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活构造辅助线． （1）利用等腰直角三角形的性质和勾股定理即可求出线段的长度；利用含角的直角三角形的性质和勾股定理可求的长度；将绕点顺时针旋转，得到，得出为等腰直角三角形，再结合勾股定理即可求出线段的长度； （2）延长至点，使，连接，过作于，证明，得出对应边相等，然后根据等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质和勾股定理即可求解； （3）根据题意，画出图形，分三种情况进行讨论，借助于（1）（2）的思路即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，∵ 由题意，四边形是邻等对补四边形 ∴将绕点顺时针旋转，得到， 根据邻等对补四边形的定义， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵为等腰直角三角形， ∴, ∵， ∴， 由勾股定理得， ∴， 由勾股定理得， 即， 故答案为：，，； （2）解：延长至点，使，连接， ∵四边形是邻等对补四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 过作于， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， 由勾股定理得，，即， 解得； （3）解：①如图所示，，，连接， 在和中， ， ∴， ∴垂直平分线段， 由勾股定理得，， ∴， 假设，则， 由勾股定理得，， 即， 解得，， 由勾股定理得， 由等面积法可得，； ②如图所示，，， 将绕点逆时针旋转，得到， 同（1）得为等腰直角三角形， 此时，， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， 同理可得， ∴， ∴， 由勾股定理得，， 解得； ③如图所示，，， 将绕点顺时针旋转，得到， 同（1）得为等腰直角三角形，且 假设，则， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， 由勾股定理得， ∴， , 由勾股定理得，， 解得； 综上，的长为或或． 5．【定义】若平行四边形的一条内角平分线平分它的一条边，则该平行四边形称为“角分平行四边形”，该角平分线称为“角分线”．例如：如图1，在中，的角平分线交于点，若为边的中点，则称是“角分平行四边形”，是“角分线”． 【性质】（1）如图，从定义上我们可以得到“角分平行四边形”具有“平行四边形，平分，”的基本性质，除此之外，还有其它性质吗？请写出其中一条性质，并说明理由． 【判定】（2）如图，在中，．求证：四边形是“角分平行四边形”． 【应用】（3）现计划在如图所示的“角分平行四边形”绿地上进行景观美化，其中小路是它的“角分线”，另一条小路与边交于点，且，在和区域种植同品种的花卉，若区域的花卉种植费用为元，求区域的花卉种植费用（用含有的式子表示）． 【答案】（1），见解析，（2）见解析，（3）元 【分析】本题考查了新定义，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据“角分平行四边形”定义及角平分线定义，平行四边形的性质即可求解； （）作的平分线交于点，由，得，，最后通过“角分平行四边形”即可求证； （）延长交延长线于点，连接，由角分平行四边形，是角分线，得，，，证明，故有，又，证明，则，设，则，然后代入求解即可． 【详解】解：（）：由“角分平行四边形”定义推导出来的性质， 例如：； ， ， ， 平分， ， ；（或）； ， ， ， 平分， ， ； （或）， ， ，， ， 平分， ， ， ， ； 连接DE，则， ， ，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ； （）作的平分线交于点， 则， ， ，， ， ， ， ，即， 四边形是“角分平行四边形”； （）延长交延长线于点，连接， 角分平行四边形，是角分线， ，，， ， ， ， 又， ， ， ， ， 设，则， ， ，即， ∵区域的花卉种植费用为元， ∴区域的花卉种植费用元． 6．在平面直角坐标系中，对于，，给出如下定义：记，，若，则称A，B互为“单位距离点”． (1)已知． ①在，，三个点中，能与点A互为“单位距离点”的是：______； ②若点P在第一象限的角平分线上，且与点A互为“单位距离点”，求点P的坐标； (2)已知，，若线段上存在点B的“单位距离点”，则的取值范围为______； (3)已知正方形和正方形的各边均与坐标轴平行，且正方形的边长为1，若对于正方形边上的任意一个点，都能在正方形的边上找到它的“单位距离点”，则符合上述条件的正方形的面积最大为______． 【答案】(1)①，；②点的坐标为或 (2)或或 (3)4 【分析】（1）根据“单位距离点”的定义，逐点验证即可得到答案； （2）设，关键 “单位距离点”的定义可得，，，然后分三种情况：当时，当时，当时分别计算，再取符合情况的值即可． （3）根据，可设线段上存在点的“单位距离点”，，则，，， 然后分时，和两种情况讨论，分别列不等式组求出n的范围即可． （3）若对于正方形边上的任意一个点，都能在正方形的边上找到它的“单位距离点”，意味着正方形的边长不能超过2，即最大边长为2，由此即可求出最大面积为4． 【详解】（1）解：①对于，，，，则， ∴，互为“单位距离点”； 对于，，，，则， ∴，不是互为“单位距离点”； 对于，，，，则， ∴，互为“单位距离点”； 故答案为：，； ②若点在第一象限的角平分线上，设， ∵与点A互为“单位距离点”， ∴，，则， 当时，，，则， 当时，，，则，即，解得或，此时点的坐标为或； 当时，，，则， 综上所述，点的坐标为或； （2）解：∵， ∴设线段上存在点的“单位距离点”，， ∴，，则， 当时，，，则，解得， ∵或， 解得或； 当时，，，则，解得， ∵或， 解得； 综上所述，或或； （3）解：∵正方形边上的任意一个点，都能在正方形的边上找到它的“单位距离点” ∴正方形的边长不能超过2， ∴正方形的最大边长为2， ∴,正方形的面积最大为4． 【点睛】本题考查新定义与坐标问题，读懂题意，根据新定义结合学过的知识，综合运用是解决问题的关键． 类型九、二次函数的新定义(选考) 1．定义：在平面直角坐标系中，图形上的点的横坐标和纵坐标的和称为点的“横纵和”，而图形上所有点的“横纵和”中最小的值称为图形的“极小和”，并将“极小和”记为S． (1)抛物线的图像上点的“横纵和”是_______；该抛物线的“极小和”是_______． (2)抛物线，若，求的取值范围． (3)已知二次函数的图像上的点和点的“横纵和”相等，求该二次函数的“极小和”．这个“极小和”是否有最大值？如果有，请求出这个最大值；如果没有，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)这个“极小和”有最大值，最大值为． 【分析】本题主要考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据题目中的规定得点的“横纵和”为；根据定义求出x+y是关于x的二次函数，然后利用二次函数的性质求出结论； （2）根据定义求出，即可得出，即可求解； （3）先求出“极小和”，即可根据二次函数的性质求得最大值． 【详解】（1）解：∵点， ∴“横纵和”是， ∵， ∴抛物线的“极小和”是； （2）， ∵记抛物线的“极小和”为S， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）这个“极小和”有最大值； ∵点和点的“横纵和”相等， ∴ 即：， ∴， 将代入得，， ∵，化简可得：，即：， ∴， 令的“极小和”为， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为． 2．定义为函数的“特征数”．如：函数的“特征数”是，函数的“特征数”是，函数的“特征数”是． (1)将“特征数”是的函数图象向下平移个单位，得到一个新函数，这个新函数的解析式是 ； (2)在（1）中，平移前后的两个函数分别与轴交于、两点，与直线分别交于、两点，在给出的平面直角坐标系中画出图形，判断以、、、四点为顶点的四边形形状，并说明理由； (3)若（2）中的四边形与“特征数”是的函数图象有交点，试求出实数 的取值范围． 【答案】(1) (2)作图见解析；以A、B、C、D四点为顶点的四边形为菱形；理由见解析 (3) 【分析】本题考查二次函数的综合、新定义，函数的平移，理解定义，能将定义与所学函数知识结合是解题的关键． （1）由已知可知函数为，平移后函数为； （2）先求出函数与轴交点求出，，令，求出，，则，又由，可判断四边形是菱形； （3）由已知可得，则函数与边无交点，只能与边有交点，将A 、D两点坐标代入函数，求出值，结合图象即可得出实数 的取值范围． 【详解】（1）解：解：∵函数的特征数是 ， ∴函数为， 将函数向下平移 个单位得到， 故答案为：． （2）解：函数为与轴交点为， 函数为与轴交点为， ∴， 令时，则，， 如图： ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． （3）解：∵函数的“特征数”是 ∴， 如图： 当时， ∴函数与边无交点， 若四边形与函数图象有交点，则函数与边有交点， 将代入函数得：，解得：， 将代入函数得：，解得：，， ∴由图象可知：实数 的取值范围为：． 3．“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，更多的考查阅读理解能力、应变能力和创新能力． 【学习研究】定义：若关于的一元二次方程的两个实数根为，以为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点． 【初步思考】 （1）若一元二次方程为，请直接写出该方程的衍生点的坐标为___________． 【尝试应用】 （2）若关于的一元二次方程为 ①求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根；并求出该方程的衍生点的坐标； ②由①得到的所有衍生点都在同一条直线上，则直接写出直线解析式为． ③利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式最大值、最小值问题． 观察下列式子：解： ∵ ∴ ∴的最小值是4 请用上述例题方法解题：在②的条件下，若已知另一个函数，请求出的最大值； 【拓展提高】 （3）是否存在，使得不论为何值，关于的方程的衍生点始终在直线的图象上，若有，请直接写出的值；若没有，请说明理由． 【答案】（1）；（2）①证明见解析，；②；③7；（3）存在，， 【分析】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程根的判别式、一次函数、二次函数等知识，正确理解一元二次方程的衍生点的定义是解题关键． （1）利用因式分解法求出方程的解，再根据一元二次方程的衍生点的定义即可得； （2）①利用一元二次方程根的判别式即可得证；再利用因式分解法求出方程的解，由此即可得； ②根据这个一元二次方程的衍生点的坐标即可得； ③先求出，再根据可得，由此即可得； （3）先求出直线的图象经过定点，则可得关于的方程的两个根为，再代入计算即可得． 【详解】解：（1）， 因式分解，得， 解得（满足）， 则这个方程的衍生点的坐标为， 故答案为：． （2）①∵这个方程根的判别式为， ∴不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； ， 因式分解，得， 解得（满足）， ∴该方程的衍生点的坐标为． ②∵该方程的衍生点的坐标为， ∴所有衍生点都在同一条直线上，这条直线的解析式为， 故答案为：． ③∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为7． （3）将代入直线得：， ∴直线的图象经过定点， 要使得不论为何值，关于的方程的衍生点始终在直线的图象上， 则关于的方程的两个根为， ∴， ∴，， 故存在，使得不论为何值，关于的方程的衍生点始终在直线的图象上，此时，． 4．定义：如图1，点既在函数的图象上，又在函数的图象上，我们称点是函数的“分界点”． (1)如图2，函数的“分界点”的横坐标是1，求的值． (2)如图3是函数的图象． ①当时，求的值； ②当此函数的“分界点”是该函数图象唯一最低点时，求的取值范围； ③点是该函数图象上的两个点，点的横坐标是，点的横坐标是，如果当变化时，该函数图象在点之间的部分对应的函数值的最大值和最小值都是定值，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)①，或；②；③ 【分析】（1）根据函数“分界点”的概念，先将代入求出纵坐标，再将所得坐标代入求出； （2）①分情况讨论，当时，将代入求解，当时，将代入求解； ②先求出时，对应的值，根据函数“分界点”是函数图象唯一最低点，确定的取值范围； ③根据满足条件时点在部分，点在部分，列出关于的不等式组求解． 【详解】（1）解：将代入， 得， 将代入， 得， ； （2）解：①，解得或； ，解得， 的值为，或； ②当时，， 解得或， 当此函数的“分界点”是该函数图象唯一最低点时，的取值范围是； ③如图，满足条件，则点在部分，点在部分， 且， 即且， ． 【点睛】本题主要考查函数“分界点”的概念，二次函数与一元二次方程，二次函数图象的性质，待定系数法求函数解析式，一元一次不等组的解法，解题的关键是会用数形结合的思想分析二次函数图象的性质． 5．定义：若一次函数与反比例函数满足，称为一次函数与反比例函数的“创新函数”． (1)一次函数与反比例函数是否存在“创新函数”？如果存在，写出其“创新函数”；如果不存在，请说明理由； (2)若一次函数与反比例函数存在“创新函数”，且该“创新函数”的图象与直线有唯一交点，求，的值； (3)若一次函数与反比例函数的“创新函数”的图象与轴有两个交点分别是，，其中，点，求的面积的变化范围． 【答案】(1)一次函数与反比例函数存在“创新函数”，“创新函数”为； (2)，； (3) 【分析】（1）根据定义新运算的规则即可求解； （2）根据题意，确定“创新函数”的解析式，根据有交点，由根的判别式即可计算出，的值； （3）根据题意，确定“创新函数”的解析式，根据与轴有两个交点，由求根公式，三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：一次函数与反比例函数存在“创新函数”， 一次函数与反比例函数中，，，， ∵，即满足， ∴一次函数与反比例函数存在“创新函数”，“创新函数”为， 答：一次函数与反比例函数存在“创新函数”，“创新函数”为． （2）解：根据题意可得，，， ∴， ∴一次函数与反比例函数的“创新函数”为， ∵该“创新函数”的图象与直线有唯一交点， ∴，即有两个相等的实数根， ∴， ∴ ∴， ∴， 答：，． （3）解：根据题意可得，， ∴， ∴一次函数与反比例函数的“创新函数”为， ∵“创新函数”的图象与轴有两个交点分别是，， ∴，， ∴， ∵，，， ∴点到的距离为， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴当时，取最小值，当时，取最大值， ∵当时，，当时，， ∴， 答：的面积的变化范围是． 【点睛】本题主要考查定义新运算，一次函数，反比例函数，一元二次方程的综合，掌握一元二次方程中根与系数的关系，求根公式等知识是解题的关键． 6．已知关于是一元二次方程（为常数且）的两个实数根，若满足，则此类方程叫做邻根方程．根据“邻根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“邻根方程”的是 ；（填写序号） ①；② (2)①关于的方程是“邻根方程”（为常数）；②（为常数）；③从三个选项中选择一个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明； (3)若关于的方程（是常数，且）是“邻根方程”，令，试求的最大值． 【答案】(1)① (2)如果②，则① (3)最大值 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，正确的理解“邻根方程”的定义是解题的关键． （1）根据“邻根方程”定义判断即可． （2）根据“邻根方程”定义选择②为条件，①为结论； （3）根据关于的方程（是常数，且）是“邻根方程”得，，由得，得，整理得，代入，运用二次函数性质可求解． 【详解】（1）解：①， 解得，， 差：，符合“邻根方程”定义，故①是“邻根方程”； ② 解得：，,， 差：，不符合， 故答案为：①； （2）解：选择②为条件，①为结论； 根据题意得：， 所以，方程变形为：， ∴ ∴ 或， 所以，②为条件，①为结论的命题是真命题；； （3）解：∵关于的方程（是常数，且）是“邻根方程”， ∴，，， 而， ∴ 整理得：， ∵， ∴ ∵ ∴有最大值为25． 类型十、圆的无刻度尺作图 1．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．其中点A 为格点，经过点A，点 B，D 为与横格线的交点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图任务．      (1)如图1，先将点D 绕点O旋转得到点F， 再将线段绕点O 旋转得到线段； (2)如图2，在上画点 C （ 点 C 异于点A）， 使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了使用无刻度直尺作图，涉及旋转的性质，中心对称的性质，轴对称的性质等知识点，正确找出格点是解题的关键． （1）因为将点绕点旋转得到点，所以连接，并延长交于一点，即为点，同理得点E，连接，根据中心对称的性质即可作答； （2）取格点K，连接并延长与交点即为点，则可得垂直平分，则点关于对称，则． 【详解】（1）解：线段如图所示：    （2）解：如图，点即为所求：    2．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图． (1)如图①，点、、都在格点上． ①作出三角形外接圆的圆心； ②作出的平分线，交于点； (2)如图②，点和点是与网格线的交点，在上找一点，连接，使． 【答案】(1)①图见解析；②图见解析 (2)图见解析 【分析】本题考查无刻度直尺作图，勾股定理与网格问题，圆周角定理，三角形的外心的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键； （1）①先根据网格特征得出是直角三角形，根据圆周角定理确定圆心在上，利用网格结合矩形性质即可找出圆心； ②利用网格找出中点，利用垂径定理及圆周角定理即可作出； （2）根据网格的特点作出直径，连接，则,可知点即为所求． 【详解】（1）解：①如图，取格点、，连接，交于， 由网格特征可知：，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴圆心在上， 由网格可知四边形是矩形， ∴， ∴点即为所求． ②如①图中，由网格可知点为中点，连接并延长，交于，连接， ∵点为中点， ∴平分， ∴， ∴是的角平分线，即为所求． （2）如图，根据网格的特点作出直径，连接，则,可知点即为所求 3．如图，是由边长为的小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，圆过格点，，，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题． (1)在图1中画圆心，并过点作圆的切线； (2)在图2中作的角平分线，与圆交于点； (3)在图2中，作弦，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了圆的对称性，圆的切线的判定等知识，解决问题的关键是利用一些特殊的格线． （1）根据 的圆周角所对的弦是直径，两条直径的交点是圆心；根据边长矩形和的矩形的对角线垂直画图； （2），根据正方形的对角线平分对角，画出图形； （3）根据和的角平分线的对称性画出图形． 【详解】（1）解：如图1， ①连接格点，及格点，，则交点是圆心， ②连接格点，则是的切线； （2）如图2， 连接格点，，交于点，则是的平分线； （3）①连接格点，，交于点， ②连接，则． 4．如图，中为的直径． (1)请仅用无刻度直尺在图1中作出边上高． (2)请仅用无刻度直尺在图2中作出边上高． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作三角形的高，直径所对的圆周角是直角，掌握直径所对的圆周角是直角是解题的关键． （1）根据直径所对圆周角为，设与交点为D，连接即可； （2）根据直径所对的圆周角是直角，以及三角形的三条高线交于同一点P，延长，交于点M，连接，设与交点为N，延长交延长线于点P，连接，交延长线于E，则，即为所求． 【详解】（1）解：如图1所示，为所求； （2）解：如图2所示，为所求； 5．如图，在每个小正方形的边长均为1的网格中，的顶点均落在格点上，以为直径的半圆的圆心为O，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，保留作图痕迹． (1)在图①中作出的边上的高；作出的角平分线交圆O于M； (2)在图②中作出的切线； (3)在图③中的半圆上找到一点E，连接并延长交于点M，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）延长交于点，连接即为的边上的高；延长交圆上于点，连接，取的中点，连接交圆上于，连接，则为的角平分线； （2）根据网格特点找格点，作射线即可； （3）根据网格特点找的角，然后作出平行线即可． 【详解】（1）解：∵为直径， ∴， ∴延长交于点，连接即为的边上的高，作图如下： ； ∵延长交圆上于点，连接，取的中点，连接交圆于， ∴根据垂径定理和圆周角定理，连接，则为的角平分线，作图如下： ； （2）解：取格点， ∵，， ∴， ∴即为的切线，作图如下： ； （3）解：取格点，作直线，交于，交于， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴作图如下： ． 【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，切线判定，全等三角形性质，平行线性质等，根据相关性质，正确作出图形是解答的关键． 6．请用无刻度直尺按下列要求作图． 如图，已知是的直径，四边形是平行四边形． ①如图1，当点D在圆上时，作的角平分线； ②如图2，当点D不在圆上时，作的角平分线． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了圆得基本性质，平行四边形的性质、菱形的判定与性质，熟练运用圆得基本性质，菱形的判定与性质是解题关键． ①由四边形是平行四边形，结合圆的半径相等，可知四边形是菱形，利用菱形的性质即可做出的平分线；②延长交于圆一点，连接，同理①，即可获得答案． 【详解】解：①如下图，即为所求．    理由如下： ∵四边形是平行四边形，点在圆上， ∴， ∴四边形是菱形， ∴平分； ②如下图，延长交于圆一点，连接，即为所求． 理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， 过点作，则四边形为平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形， ∴平分． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中考前满分冲刺之优质压轴题 【专题过关】 类型一、圆的阴影部分面积 1．如图，是半圆O的直径，且，C为半圆上的一点，将此半圆沿所在直线折叠，若恰好过圆心O，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 2．如图，正三角形的边长为，点D、E、F分别为、、的中点，以A、B、C三点为圆心，长为半径作圆． 则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 3．如图，正六边形边长为，分别以为圆心，长为半径画弧，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 4．如图，为半圆的直径，且，半圆绕点B顺时针旋转，点A旋转到的位置，则图中阴影部分的面积为 ． 5．如图，在矩形中，，取的中点，以为圆心，为半径画半圆，再以为圆心，为半径画扇形，两条弧交于点，则阴影部分的面积为 ． 6．如图，矩形中，，扇形的半径，扇形的半径，则阴影部分的面积为 （π取3） 类型二、正确的个数(结论) 1．对于一元二次方程（，，为常数，且，下列说法：①若，则方程必有一根为；②当时，方程至少有一个根为；③若方程的两根为和，则必有成立；④若，则方程一定有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，为的直径，，为的中点，连接，点在射线上，连接，取的中点，过作交于，连接．下列结论：①；②；③；④为定值．其中正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，已知在中，，是的角平分线，E是上一点，且，连接，作于F，连接．则下面的结论：①；②；③若，则．其中正确结论的个数是（  ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．若关于x的一元二次方程各项系数满足，则此方程的根的情况：①必有两个不相等的实数根；②当时，有两个相等的实数根；③当a，c同号时，方程有两个正的实数根；④当a，b同号时，方程有两个异号实数根．其中结论正确的个数是 个． 5．如图，为的直径，点、为圆上两点，且，交于点，交于点，给出下面四个结论：①；②；③；④当时，，上述结论中，正确结论的序号有 ． 6．如图，在中，是直径，点D是上一点，点C是的中点，于点，过点的切线交的延长线于点，连接，分别交于点，连接，关于下列结论：①；②；③；④点P是的外心，其中结论正确的是 （只需填写序号）． 类型三、取值范围问题 1．如图，已知的直径为26，弦，动点P、Q在上，弦，若点M、N分别是弦、的中点，则线段的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知是以数轴原点O为圆心，半径为1的圆，，点P在数轴上运动，若过点P且与平行的直线与有公共点，设，则x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．如图，已知是线段上的两点，，以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使两点重合成一点C，构成，设，若以点B为圆心，为半径作，使点M和点N都在外，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．如图，，点是射线上一点，，以点为圆心，为半径作，若与射线只有个公共点，则半径的取值范围是 ．    5．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为平面内不在轴上的一点，且，外接圆圆心的坐标为． （1）点恰在轴的正半轴上，则点的坐标为 ； （2）的取值范围是 ． 6．如图， 在平面直角坐标系中， 已知点，，，点在以为圆心， 为半径的上运动， 且始终满足， 则的取值范围是 ． 类型四、外心、内心、重心问题 1．如图，点O是的外心，点I是的内心，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，G是的重心，若，则图中阴影部分的面积是（   ） A．15 B．25 C．20 D．10 3．如图，经过的重心，点E是的中点，过点E作交于点G，若，则线段的长为（   ） A．6 B．4 C．5 D．3 4．如图，已知中，，，点I是的内心，点 O为的外心，则的内心I与外心O的距离 ． 5．如图，在中，，点为的外心，，，是的内切圆．则的长为 ． 6．如图，G是的重心，连接并延长交于点D，连接并延长交于点E，P，Q分别是和的重心，长为12，则的长为 ． 类型五、最值问题 1．如图，已知在中，，，将绕点逆时针旋转．得到．点是边的中点，点为边上的动点，在绕点逆时针旋转的过程中，点的对应点是点，则线段长度的最大值与最小值的差是（    ）． A． B． C． D．18 2．如图，点，半径为2，，，点是上的动点，点是的中点，则的最小值为（    ） A．1 B．1.5 C．2.5 D．3.5 3．如图，是⊙的直径，是上半圆上一点，且满足是下半圆上一个动点，过点作的垂线，垂足为，则点从点运动到点的过程中，线段的最小值是（    ） A． B． C． D． 4．如图，已知中，，点E是边上的动点，以为直径作，连接交于点D，则的最小值 5．如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则周长的最小值是 ． 6．如图，边长为的正方形中，以为直径在正方形内作半圆，点是半圆上动点，连接，把线段绕点逆时针旋转得线段，连接，则线段长度的最小值是 ． 类型六、相似中的比值问题(选考) 1．如图，在正方形中，、分别为边、延长线上两点，连接、，，交于点，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．如图，某亭子的平面图是由正方形和正八边形复合而成，则等于（   ） A． B． C． D． 3．如图，矩形的四个顶点分别在直线上．若直线且间距相等，交直线于点G，，，则的值为（　　） A． B． C． D． 4．如图，在矩形中，E是边的中点，于点H，交边于点F，，则的值为 ． 5．如图，已知中，，，将绕点旋转至，如果直线，垂足记为点，那么的值为 ． 6．如图，D为中上一点，E为上一点，连接，交于点M，满足，则 ． 类型七、动点问题 1．如图，在直角三角形中，直角边，．设，Q分别为、上的动点，在点自点沿方向向作匀速移动的同时，点自点沿方向向点作匀速移动，它们移动的速度均为每秒，当点到达点时，点就停止移动．设移动的时间秒．    (1)AB=___________cm，BP=___________cm（BP用含t的代数式表示）． (2)当为何值时，与相似？并说明理由． (3)当为何值时，是等腰三角形？并说明理由． 2．如图，在中，，动点P从点B出发，沿线段以每秒的速度向终点A运动，同时动点Q从点A出发，沿线段以每秒的速度向点C运动．当一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设运动的时间为t秒． (1) ； (2)若以点A、P、Q为顶点的三角形与相似，求t的值； (3)当t为何值时，的面积为？ 3．如图，在中，，，．点为中点，动点从点出发，沿边以每秒个单位长度的速度向终点运动，连接，将线段绕点逆时针旋转得线段，连接．设点运动的时间为秒． (1)的长为___________； (2)当点落在边上时，求t的值； (3)当与的一边平行时，求线段PE的长度； (4)当经过点与的一个顶点的直线平分面积时，直接写出的值． 4．在矩形中，，，点P从点A出发沿边以的速度向点B移动，同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C移动，其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为t秒 (1)如图1，________秒后，面积等于？ (2)在运动过程中，若以P为圆心、为半径的与相切（如图1），求t值； (3)若以Q为圆心，为半径作． ①如图2，以Q为圆心，为半径作．在运动过程中，是否存在这样的t值，使正好与四边形的一边（或边所在的直线）相切？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由； ②如图3，若与四边形的边有三个公共点，则t的取值范围为________（直接写出结果，不需说理） 5．如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C移动，设运动时间为t秒． (1)当时，的面积为______； (2)是否存在一个时刻，使得点Q在的垂直平分线上，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由； (3)运动过程中，当A、P、Q、D四点恰好在同一个圆上时，求t的值． 6．如图，在矩形中，，，点E从点A出发以每秒1个单位长度向点B运动，同时点F从点C出发以每秒1个单位长度向点D运动，当点E、F运动到终点时停止运动．设运动的时间为t秒．    (1)当点E、F的距离是点E、A距离的两倍时，求t的值； (2)当以为直径的圆与相切时，求t的值； (3)在运动的过程中，点B到的最远距离为______． 类型八、新定义问题——几何与函数 1．我们定义：有一组对角相等的四边形叫做“等对角四边形”． (1)如图1，“等对角四边形”内接于，，则 ， ； (2)如图2，“等对角四边形”内接于，且，，点E在的延长线上，连接，，，，请证明：四边形是“等对角四边形”； (3)如图3，“等对角四边形”内接于，且其一个内角为，，，若，求的长． 2．定义：能完全覆盖平面图形的最小的圆称为该平面图形的最小覆盖圆． (1)如图①，线段，则线段AB的最小覆盖圆的半径为　　　　； (2)如图②，中，，，，请用尺规作图，作出的最小覆盖圆（保留作图痕迹，不写作法）． (3)如图③，矩形中，，，若用两个等圆完全覆盖该矩形，那么这两个等圆的最小半径为　　　　． 3．在平面直角坐标系中，的半径为2，A为任意一点，B为上任意一点，给出如下定义：记A，B两点间的距离的最小值为p（规定：点A在上时，），最大值为q，那么把的值称为点A与的“美好距离”，记作． (1)如图1，已知点． ①________； ②若点M在线段上，直接写出的取值范围是_______． (2)若点N在直线上，求的取值范围； (3)正方形的边长为m，若点P在该正方形的边上运动时，满足的最小值为2，最大值为6，直接写出m的最小值和最大值． 4．定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． (1)将斜边相等的两块三角板按如图1放置，其中含角的三角板的斜边与含角的三角板的斜边重合，B、D位于的两侧，其中，连接，若，则的长为________，的长为________，的长为________． (2)如图2，在邻等对补四边形中，，，若，，求的长； (3)如图3，在中，，，，分别在边上取点M，N，使四边形是邻等对补四边形．请直接写出的长． 5．【定义】若平行四边形的一条内角平分线平分它的一条边，则该平行四边形称为“角分平行四边形”，该角平分线称为“角分线”．例如：如图1，在中，的角平分线交于点，若为边的中点，则称是“角分平行四边形”，是“角分线”． 【性质】（1）如图，从定义上我们可以得到“角分平行四边形”具有“平行四边形，平分，”的基本性质，除此之外，还有其它性质吗？请写出其中一条性质，并说明理由． 【判定】（2）如图，在中，．求证：四边形是“角分平行四边形”． 【应用】（3）现计划在如图所示的“角分平行四边形”绿地上进行景观美化，其中小路是它的“角分线”，另一条小路与边交于点，且，在和区域种植同品种的花卉，若区域的花卉种植费用为元，求区域的花卉种植费用（用含有的式子表示）． 6．在平面直角坐标系中，对于，，给出如下定义：记，，若，则称A，B互为“单位距离点”． (1)已知． ①在，，三个点中，能与点A互为“单位距离点”的是：______； ②若点P在第一象限的角平分线上，且与点A互为“单位距离点”，求点P的坐标； (2)已知，，若线段上存在点B的“单位距离点”，则的取值范围为______； (3)已知正方形和正方形的各边均与坐标轴平行，且正方形的边长为1，若对于正方形边上的任意一个点，都能在正方形的边上找到它的“单位距离点”，则符合上述条件的正方形的面积最大为______． 类型九、二次函数的新定义(选考) 1．定义：在平面直角坐标系中，图形上的点的横坐标和纵坐标的和称为点的“横纵和”，而图形上所有点的“横纵和”中最小的值称为图形的“极小和”，并将“极小和”记为S． (1)抛物线的图像上点的“横纵和”是_______；该抛物线的“极小和”是_______． (2)抛物线，若，求的取值范围． (3)已知二次函数的图像上的点和点的“横纵和”相等，求该二次函数的“极小和”．这个“极小和”是否有最大值？如果有，请求出这个最大值；如果没有，请说明理由． 2．定义为函数的“特征数”．如：函数的“特征数”是，函数的“特征数”是，函数的“特征数”是． (1)将“特征数”是的函数图象向下平移个单位，得到一个新函数，这个新函数的解析式是 ； (2)在（1）中，平移前后的两个函数分别与轴交于、两点，与直线分别交于、两点，在给出的平面直角坐标系中画出图形，判断以、、、四点为顶点的四边形形状，并说明理由； (3)若（2）中的四边形与“特征数”是的函数图象有交点，试求出实数 的取值范围． 3．“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，更多的考查阅读理解能力、应变能力和创新能力． 【学习研究】定义：若关于的一元二次方程的两个实数根为，以为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点． 【初步思考】 （1）若一元二次方程为，请直接写出该方程的衍生点的坐标为___________． 【尝试应用】 （2）若关于的一元二次方程为 ①求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根；并求出该方程的衍生点的坐标； ②由①得到的所有衍生点都在同一条直线上，则直接写出直线解析式为． ③利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式最大值、最小值问题． 观察下列式子：解： ∵ ∴ ∴的最小值是4 请用上述例题方法解题：在②的条件下，若已知另一个函数，请求出的最大值； 【拓展提高】 （3）是否存在，使得不论为何值，关于的方程的衍生点始终在直线的图象上，若有，请直接写出的值；若没有，请说明理由． 4．定义：如图1，点既在函数的图象上，又在函数的图象上，我们称点是函数的“分界点”． (1)如图2，函数的“分界点”的横坐标是1，求的值． (2)如图3是函数的图象． ①当时，求的值； ②当此函数的“分界点”是该函数图象唯一最低点时，求的取值范围； ③点是该函数图象上的两个点，点的横坐标是，点的横坐标是，如果当变化时，该函数图象在点之间的部分对应的函数值的最大值和最小值都是定值，请直接写出的取值范围． 5．定义：若一次函数与反比例函数满足，称为一次函数与反比例函数的“创新函数”． (1)一次函数与反比例函数是否存在“创新函数”？如果存在，写出其“创新函数”；如果不存在，请说明理由； (2)若一次函数与反比例函数存在“创新函数”，且该“创新函数”的图象与直线有唯一交点，求，的值； (3)若一次函数与反比例函数的“创新函数”的图象与轴有两个交点分别是，，其中，点，求的面积的变化范围． 6．已知关于是一元二次方程（为常数且）的两个实数根，若满足，则此类方程叫做邻根方程．根据“邻根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“邻根方程”的是 ；（填写序号） ①；② (2)①关于的方程是“邻根方程”（为常数）；②（为常数）；③从三个选项中选择一个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明； (3)若关于的方程（是常数，且）是“邻根方程”，令，试求的最大值． 类型十、圆的无刻度尺作图 1．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．其中点A 为格点，经过点A，点 B，D 为与横格线的交点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图任务．      (1)如图1，先将点D 绕点O旋转得到点F， 再将线段绕点O 旋转得到线段； (2)如图2，在上画点 C （ 点 C 异于点A）， 使． 2．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图． (1)如图①，点、、都在格点上． ①作出三角形外接圆的圆心； ②作出的平分线，交于点； (2)如图②，点和点是与网格线的交点，在上找一点，连接，使． 3．如图，是由边长为的小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，圆过格点，，，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题． (1)在图1中画圆心，并过点作圆的切线； (2)在图2中作的角平分线，与圆交于点； (3)在图2中，作弦，使． 4．如图，中为的直径． (1)请仅用无刻度直尺在图1中作出边上高． (2)请仅用无刻度直尺在图2中作出边上高． 5．如图，在每个小正方形的边长均为1的网格中，的顶点均落在格点上，以为直径的半圆的圆心为O，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，保留作图痕迹． (1)在图①中作出的边上的高；作出的角平分线交圆O于M； (2)在图②中作出的切线； (3)在图③中的半圆上找到一点E，连接并延长交于点M，使． 6．请用无刻度直尺按下列要求作图． 如图，已知是的直径，四边形是平行四边形． ①如图1，当点D在圆上时，作的角平分线； ②如图2，当点D不在圆上时，作的角平分线． 1 学科网（北京）股份有限公司 $