期中考前满分冲刺之填空题覆盖训练（58题）（二十五种覆盖训练）-2025-2026学年苏科版九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练

期中考前满分冲刺之填空题覆盖训练 思维导图 覆盖训练01:一元二次方程的解 1．已知关于的一元二次方程的一个根是3，则m的值为 ． 2．已知a是方程的一个根，则代数式的值为 ． 覆盖训练02:正多边形与圆 3．如图，正六边形内接于，，则正六边形的周长为 ，面积为 ． 4．俗话说“瑞雪兆丰年”，2023年冬季湖南境内出现多次降雪，预示着2024年是一个丰收之年．如图是一个正六边形雪花状饰品，正六边形的中心角的度数是 ． 覆盖训练03:数据分析 5．随着移动互联网的快速发展，基于互联网的共享单车应运而生．为了解某小区居民使用共享单车的情况，某学校课外活动小组随机采访了该小区的10位居民，将采访数据绘制成如下箱线图，则这组数的中位数为 ． 6．为全面深化“义务教育均衡发展”，某市抽查了某校八年级8个班的班级人数，抽查数据统计如下：42，49，46，44，42，41，45，44．这组数据的众数是 ． 覆盖训练04:一元二次方程根与系数关系 7．已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为 ． 8．已知方程的一个根为2，则另一个根为 ． 覆盖训练05:(降低)增长率问题 9．深度求索（）是一家专注人工智能领域的中国科技公司，致力于开发先进的大语言模型和生成式技术．据统计，该软件首日在某平台的下载量为50万次，第二天、第三天下载量连续增长，第三天下载量达到150万次．设下载量的日平均增长率为x，则根据题意可列方程为 ． 10．某果农原计划以每千克元的单价销售某种水果，为了加快销售，减少损失，经过两次下调价格后，以每千克元的单价销售，则平均每次下调价格的百分率为 ． 覆盖训练06:比例尺问题与黄金分割(选考) 11．在比例尺为的地图上量得两地的距离是，那么这两地的实际距离是 ． 12．已知线段，P是的黄金分割点，且，那么的长是 ． 覆盖训练07:点(直线)与圆的位置关系 13．已知的半径长为，若点P在内，则线段的长度可能是 ．（写一个正确的值即可） 14．已知的半径为2，点O到直线l的距离为3，则l与的位置关系是 ． 覆盖训练08:统计 15．参加某次数学竞赛的女生和男生人数比是，这次竞赛的平均分是82分，其中男生平均分是80分，女生平均 分． 16．学校举行篮球技能大赛，评委认为控球技能比投球技能更重要．某选手控球技能得80分，投球技能得90分，现分别赋予控球技能6的权，投球技能4的权．则该选手的综合成绩为 分． 覆盖训练09:圆的计算问题 17．一个扇形的半径为，弧长为，则该扇形的圆心角为 °． 18．圆锥的底面圆直径为，母线为，则圆锥的侧面积为 ． 覆盖训练10:概率 19．一个不透明的袋子中仅有2个红球、2个黄球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率是 ． 20．有7张卡片，上面分别写着数1，2，3，4，5，6，7．从中随机抽取1张，该卡片上的数是3的整数倍的概率是 ． 覆盖训练11:垂径定理的求解 21．如图①是小明帮妈妈做的一个锅盖架，图②是它的截面图，垂直放置的锅盖与架子左右两竖杆的交点为，，锅盖直径为，则锅盖最低点到的距离是 ． 22．如图，在中，圆心到的距离为，的半径为，则弦的长为 ． 覆盖训练12:切线的性质 23．如图，是的内接三角形，，过点C的切线交于点P，则的度数为 ． 24．如图，是的直径，是上的两点，过点作的切线交的延长线于点，连接，若，则的度数是 ． 覆盖训练13:圆的内接四边形对角互补 25．如图，在的内接四边形中，，，点E在上，则 ． 26．如图，在的内接五边形中，，则 °． 覆盖训练14:折叠问题 27．如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点的直线折叠，点恰好落在上的点处，折痕交于点，则的长为 ． 28．如图，为半径为8的的弦，沿弦折叠经过圆心，点P为上一动点，连接，过点F作的垂线，垂足为H，连接，则最小值为 ． 覆盖训练15:二次函数的增减性与最值(选考) 29．若二次函数（为常数）的图象过，，三点，则，，的大小关系是 ．（用“”连接） 30．已知函数在上有最大值8，则常数m的值为 ． 覆盖训练16:二次函数的平移(选考) 31．将抛物线向右平移2个单位，再向上平移4个单位，得到抛物线，则的值是 32．将抛物线向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是 ． 覆盖训练17:二次函数的解决应用(选考) 33．图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2，已知其底部宽度为，高度为，则离地面处的水平宽度（即的长）为 ． 34．如图，某拱桥的主桥拱近似的看作抛物线，桥拱在水面的跨度约为20米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为，则主桥拱最高点P与其在水中倒影点之间的距离为 米． 覆盖训练18:新定义问题(选考) 35．定义：若一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的整数倍，则称该方程是“一元二次倍根方程”．例如：方程的两个根为，因为是的3倍，所以方程是“一元二次三倍根方程”．若关于的一元二次方程是“一元二次三倍根方程”，则的值为 ． 36．定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程，写出这个一元二次方程为 ． 37．在直角坐标系中，对于直线，给出如下定义：若直线与某个圆相交，则两个交点之间的距离称为直线关于该圆的“圆截距”． 如图，点的坐标为，若的半径为2，当的取值在实数范围内变化时，直线关于的“圆截距”的最小值为，则的值为 ． 覆盖训练19:外心与内心结合 38．如图，在中，，，的内心、外心分别为点I、点O，且有，则的长度为 ． 39．如图，在中，若点O为外心，，若点I为的内心，求 ． 40．如图，点O是内心，也是的外心．若，则的度数 ． 覆盖训练20:重心问题(选考) 41．如图，G为的重心，，，则 ． 42．在中，，点G是的重心，，垂足为 点E，那么线段的长是 43．三角形三条中线相交于一点，这个点称为三角形的重心．如图，，分别是边，的中线，点是的重心，则 ．    覆盖训练21:阴影部分的面积 44．如图，在中，，以点为圆心、为半径画弧交． 于点，连接，若，则图中弧的长为 ，阴影部分的面积是 ． 45．如图，在中，，，，以为对称轴，作的轴对称图形，点A的对称点恰好与的内切圆圆心O重合，则，与圆周围成的阴影部分的面积为 ． 46．如图，在中，，以点为圆心，的长为半径画弧交边于点，以点为圆心，的长为半径画弧交边于点，则阴影部分图形的周长为 （结果保留） 覆盖训练22:最值问题 47．如图，在中，，，，D是上一个动点，以为直径的圆O交于E，则线段的最小值是 ． 48．已知半圆O的直径长为4，点A为中点，P为上任意一点，与相交于点D． （1） （度）； （2）的最小值为 ． 49．如图，是圆O的直径，，点B为弧的中点，点P是直径上的一个动点，则的最小值为 ． 覆盖训练23:一元二次方程的估算 50．观察表格，一元二次方程的最精确的一个近似根是 ． 51．由下表估算一元二次方程的一个根的范围 ． 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 13 14.41 15.84 17.29 18.76 52．根据下列表格的对应值： x 1 1.1 1.2 0.84 由此可判断方程必有一个解x的取值范围是 ． 覆盖训练24:取值范围问题 53．如图，中，，，．点E是边的中点，点D在边上运动，连接，将沿所在直线翻折得到，连接，则的取值范围是 ．    54．如图，在中，是上一点点与点不重合若在的直角边上有且仅有个不同的点分别和点、成为直角三角形的三个顶点，则长的取值范围是 ． 55．如图，圆心恰好为正六边形的中心，已知的半径为，现将在正六边形内部沿某一方向平移，当它与正六边形的某条边相切时停止平移，设此时平移的距离为，则的取值范围是 ． 覆盖训练25:相似中的比值(选考) 56．如图，点是四边形对角线、的交点，与互补，，，，，则的长为 ． 57．如图，在中，是边上的中线，点G是的重心，过点G作交于点F，那么 ． 58．如图，是半的直径，点是弧的中点．点是弧的中点，连接、交于点．则 ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中考前满分冲刺之填空题覆盖训练 思维导图 覆盖训练01:一元二次方程的解 1．已知关于的一元二次方程的一个根是3，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是将方程的根代入方程求解未知参数． 将已知根代入方程，得到关于的一元一次方程，进而求解的值． 【详解】解：因为是方程的一个根， 所以把代入方程中，可得： ，即．解得． 故答案为：． 2．已知a是方程的一个根，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的根，代数式求值． 把代入，可得，代入计算即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ， ∴代数式的值是． 故答案为：． 覆盖训练02:正多边形与圆 3．如图，正六边形内接于，，则正六边形的周长为 ，面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形与圆． 连接，，根据正六边形的性质可得，进而可得是等边三角形，则得，即可求出正六边形的周长，再求出等边的面积，进而可求解． 【详解】解：连接，，过F点作于点H，如图： 六边形是正六边形， ， ，且， 是等边三角形，且边长， ∴正六边形的周长，， ∴， 等边的面积为：， 正六边形的面积为：， 故答案为：，． 4．俗话说“瑞雪兆丰年”，2023年冬季湖南境内出现多次降雪，预示着2024年是一个丰收之年．如图是一个正六边形雪花状饰品，正六边形的中心角的度数是 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是牢记中心角的定义及求法．根据正多边形中心角公式是即可解题． 【详解】解：正六边形的中心角等于； 故答案为：． 覆盖训练03:数据分析 5．随着移动互联网的快速发展，基于互联网的共享单车应运而生．为了解某小区居民使用共享单车的情况，某学校课外活动小组随机采访了该小区的10位居民，将采访数据绘制成如下箱线图，则这组数的中位数为 ． 【答案】 【分析】本题考查箱线图的认识，掌握箱线图中间的线表示中位数，可直接从图中读取中位数是解题的关键． 根据箱线图的特征，箱线图中间的线代表中位数，直接从图中获取中位数即可． 【详解】解：从给出的箱线图中可以看到，中间的线对应的数值是，所以这组数据的中位数为． 故答案为：． 6．为全面深化“义务教育均衡发展”，某市抽查了某校八年级8个班的班级人数，抽查数据统计如下：42，49，46，44，42，41，45，44．这组数据的众数是 ． 【答案】和 【分析】本题考查众数，掌握众数是一组数据中出现次数最多的数据是解题的关键； 要找出这组数据的众数，需统计每个数据出现的次数，出现次数最多的数据即为众数． 【详解】解：在数据中，出现了次，也出现了次，其他数据都只出现了次； 这组数据的众数是和． 故答案为：和． 覆盖训练04:一元二次方程根与系数关系 7．已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了一元二次方程的根以及根与系数的关系，利用一元二次方程的根及根与系数的关系可得出，，再将其代入中即可求出结论． 【详解】解：∵α，β是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴， 所以 ． 故答案为：7． 8．已知方程的一个根为2，则另一个根为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了根与系数的关系．利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 【详解】解：设方程的另一根为， ， ∴， 解得 故答案为：． 覆盖训练05:(降低)增长率问题 9．深度求索（）是一家专注人工智能领域的中国科技公司，致力于开发先进的大语言模型和生成式技术．据统计，该软件首日在某平台的下载量为50万次，第二天、第三天下载量连续增长，第三天下载量达到150万次．设下载量的日平均增长率为x，则根据题意可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系是解决此题的关键． 设下载量的日平均增长率为x，则第二天下载量为，则第三天下载量为，即可建立方程． 【详解】解：设下载量的日平均增长率为x，则根据题意可列方程为， 故答案为：． 10．某果农原计划以每千克元的单价销售某种水果，为了加快销售，减少损失，经过两次下调价格后，以每千克元的单价销售，则平均每次下调价格的百分率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设平均每次下调价格的百分率为，根据题意得，然后解方程并检验即可，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设平均每次下调价格的百分率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴平均每次下调价格的百分率为， 故答案为：． 覆盖训练06:比例尺问题与黄金分割(选考) 11．在比例尺为的地图上量得两地的距离是，那么这两地的实际距离是 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例尺的应用，设这两地的实际距离是，根据题意得，然后求出的值，再进行单位换算即可，掌握比例尺的应用是解题的关键． 【详解】解：设这两地的实际距离是， 根据题意得：， 解得：， ∵， ∴这两地的实际距离是， 故答案为：． 12．已知线段，P是的黄金分割点，且，那么的长是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了黄金分割的定义，理解黄金分割点的概念．牢记黄金分割比是解题关键． 根据黄金分割点的定义， 是较长线段得到，代入数据得出的长，即可求解． 【详解】解：∵是的黄金分割点，且，， ∴． ∴． 故答案为：． 覆盖训练07:点(直线)与圆的位置关系 13．已知的半径长为，若点P在内，则线段的长度可能是 ．（写一个正确的值即可） 【答案】1（答案不唯一） 【分析】本题考查了点与圆的位置关系．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内． 要确定点与圆的位置关系，确定点与圆心的距离与半径的大小关系即可求解． 【详解】解：∵的半径长为，点P在内， ∴线段， ∴线段的长度可能是． 故答案为：1（答案不唯一）． 14．已知的半径为2，点O到直线l的距离为3，则l与的位置关系是 ． 【答案】相离 【分析】本题考查直线与圆位置关系．根据题意比较点O到直线l的距离和半径长度，即可得到本题答案． 【详解】解：∵的半径为2，点O到直线l的距离为3， ∴， ∴l与的位置关系是相离， 故答案为：相离． 覆盖训练08:统计 15．参加某次数学竞赛的女生和男生人数比是，这次竞赛的平均分是82分，其中男生平均分是80分，女生平均 分． 【答案】88 【分析】本题考查了加权平均数，进行假设，进而根据平均成绩、人数和总成绩的关系进行解答即可．把女生人数看作1组，则男生人数为3组，根据“平均成绩人数全班成绩”先计算出全班成绩和男生总成绩，进而用“全班总成绩男生总成绩”求出女生总成绩；继而根据“女生总成绩女生人数女生平均成绩”解答得出结论． 【详解】解： （分）， 答：女生平均88分． 故答案为：88． 16．学校举行篮球技能大赛，评委认为控球技能比投球技能更重要．某选手控球技能得80分，投球技能得90分，现分别赋予控球技能6的权，投球技能4的权．则该选手的综合成绩为 分． 【答案】 【分析】本题考查了加权平均数的计算，掌握加权平均数的计算方法是解题的关键．根据题意，运用加权平均数的计算方法计算即可． 【详解】解：依题意 ∴该选手的综合成绩为分， 故答案为：． 覆盖训练09:圆的计算问题 17．一个扇形的半径为，弧长为，则该扇形的圆心角为 °． 【答案】 【分析】本题主要考查了扇形的弧长公式，熟练掌握扇形的弧长公式是解题的关键．利用扇形的弧长公式计算圆心角的度数即可． 【详解】扇形的弧长为， 扇形的圆心角为：， 故答案为：． 18．圆锥的底面圆直径为，母线为，则圆锥的侧面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查圆锥的计算，掌握圆锥的侧面积计算公式是解题的关键． 根据圆锥的侧面积公式计算即可． 【详解】解：， ∴圆锥的侧面积为． 故答案为：． 覆盖训练10:概率 19．一个不透明的袋子中仅有2个红球、2个黄球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了简单的概率的求法，掌握概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键；直接利用概率公式计算即可． 【详解】解：由题意可知，共有5种等可能的情况，其中摸出的球是白球的情况有1种， 摸出的球是白球的概率是， 故答案为：． 20．有7张卡片，上面分别写着数1，2，3，4，5，6，7．从中随机抽取1张，该卡片上的数是3的整数倍的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据概率公式求概率，正确理解题意是关键； 根据题意可得从7张卡片中随机抽取1张，该卡片上的数是3的整数倍的结果有：3，6两种可能，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：因为共有7张卡片，从中随机抽取1张，该卡片上的数是3的整数倍的结果有：3，6两种可能； 所以从中随机抽取1张，该卡片上的数是3的整数倍的概率是． 故答案为：． 覆盖训练11:垂径定理的求解 21．如图①是小明帮妈妈做的一个锅盖架，图②是它的截面图，垂直放置的锅盖与架子左右两竖杆的交点为，，锅盖直径为，则锅盖最低点到的距离是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．设圆的圆心为O，连接，与交于点D，根据垂径定理可推出，结合锅盖直径为，利用勾股定理求得，进而求得，即为点到的距离． 【详解】解：如图，设圆的圆心为O，连接，与交于点D， ∵锅盖直径为， ∴， ∵垂直放置的锅盖与架子左右两竖杆的交点为，即，且， ∴， 在中，， ∴， 即锅盖最低点到的距离为． 故答案为：2． 22．如图，在中，圆心到的距离为，的半径为，则弦的长为 ． 【答案】24 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上定理． 根据垂径定理得出，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 由勾股定理得，， ∴， 故答案为：24． 覆盖训练12:切线的性质 23．如图，是的内接三角形，，过点C的切线交于点P，则的度数为 ． 【答案】 【分析】连接、，由切线的性质可得，，再由圆内接四边形的性质求得，根据等边对等角和三角形内角和定理求得，再根据直角三角形的性质求解即可． 【详解】如图所示：连接、， ∵是的切线， ∴， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查切线的性质、圆内接四边形的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键． 24．如图，是的直径，是上的两点，过点作的切线交的延长线于点，连接，若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，切线的性质等知识点，连接，利用切线的性质和角之间的关系解答即可． 【详解】解：连接， ∵是的切线，是的半径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 覆盖训练13:圆的内接四边形对角互补 25．如图，在的内接四边形中，，，点E在上，则 ． 【答案】125 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．等腰三角形的性质和三角形内角和定理．先根据圆内接四边形的性质计算出，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出，然后再根据圆内接四边形的性质可得的度数． 【详解】解：连接， 在的内接四边形中，， ， ， ， ， ， ∵四边形为圆的内接四边形， ， ． 故答案为：125． 26．如图，在的内接五边形中，，则 °． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，三角形内角和定理，根据圆内接四边形对角互补可得，，据此结合已知条件可求出，再由三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：∵四边形和四边形都是的内接四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 覆盖训练14:折叠问题 27．如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点的直线折叠，点恰好落在上的点处，折痕交于点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了弧长的计算，翻折变换（折叠问题）．如图，连接．根据折叠的性质、圆的性质推知是等边三角形，则易求；然后根据弧长公式弧长的公式计算求解． 【详解】解：如图，连接，    根据折叠的性质知，， 又， ，即是等边三角形． ． ， ． ∴的长为． 故答案为：． 28．如图，为半径为8的的弦，沿弦折叠经过圆心，点P为上一动点，连接，过点F作的垂线，垂足为H，连接，则最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了圆周角定理，折叠的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理．取的中点，连接，，当点共线时，有最小值，最小值为的长，，是等腰直角三角形，据此求解即可． 【详解】解：取的中点，连接，， ∵为的弦， ∴， ∵沿弦折叠经过圆心， ∴是半径的一半， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点在以为直径的上， ∴当点共线时，有最小值，最小值为的长， 此时，是等腰直角三角形， ∴， ∴最小值为， 故答案为：． 覆盖训练15:二次函数的增减性与最值(选考) 29．若二次函数（为常数）的图象过，，三点，则，，的大小关系是 ．（用“”连接） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，先确定二次函数的开口方向和对称轴，计算各点到对称轴的距离，再根据二次函数的增减性判断即可． 【详解】解：二次函数的开口方向向下，对称轴是， 当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小， 点距离对称轴的距离为：， 点距离对称轴的距离为：， 点距离对称轴的距离为：， 到对称轴的距离大于到对称轴的距离大于对称轴的距离， 二次函数的开口方向向下， 点到对称轴的距离越远，函数值越小， ． 故答案为：． 30．已知函数在上有最大值8，则常数m的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数求最值等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键．根据二次函数的性质对m进行分类讨论即可解答． 【详解】解：（1）当时，函数为， 在上，其最大值为，不符合题意； （2）当时，， ∴对称轴为：， ①当时，对称轴， ∴在上，y随x的增大而增大， ∴当时，函数有最大值8， ∴，解得； ②当时，对称轴， a．当对称轴时，， ∴在上，y随x的增大而减小， ∴当时，函数有最大值8， ∴，解得（不符合题意）； b．当对称轴时，， ∴当，函数有最大值8， ∴，即， 解得（不符合题意）； c．当对称轴时，， ∴在上，y随x的增大而增大， ∴当时，函数有最大值8， ∴，解得（符合题意）； 综上，m的值为． 故答案为：． 覆盖训练16:二次函数的平移(选考) 31．将抛物线向右平移2个单位，再向上平移4个单位，得到抛物线，则的值是 【答案】 【分析】本题考查抛物线的平移规律，掌握抛物线平移规律“左加右减，上加下减”是解题的关键． 根据题意，抛物线反向平移得到，据此确定的值即可． 【详解】解：由题可知， 抛物线向下平移4个单位，再向左平移2个单位得到， 抛物线向下平移4个单位后的解析式为， 再向左平移2个单位后的解析式为， 则， 故答案为：． 32．将抛物线向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：将抛物线向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是， 故答案为：． 覆盖训练17:二次函数的解决应用(选考) 33．图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2，已知其底部宽度为，高度为，则离地面处的水平宽度（即的长）为 ． 【答案】40 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，正确地求出函数解析式是解题的关键．先建立直角坐标系，再根据题意设抛物线的解析式，然后根据点在抛物线上，可求出抛物线的解析式，最后将代入求出x的值，即可得的长． 【详解】解：以底部所在的直线为x轴，以线段的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系， ， 设抛物线的解析式为， 将代入， 得， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得：， ， 故答案为：40． 34．如图，某拱桥的主桥拱近似的看作抛物线，桥拱在水面的跨度约为20米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为，则主桥拱最高点P与其在水中倒影点之间的距离为 米． 【答案】20 【分析】本题考查二次函数的实际应用，根据顶点坐标公式求出点的坐标，进而求出的坐标，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴点的坐标为， 由题意，点和点关于轴对称， ∴点的坐标为， ∴主桥拱最高点P与其在水中倒影点之间的距离为（米）； 故答案为：20． 覆盖训练18:新定义问题(选考) 35．定义：若一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的整数倍，则称该方程是“一元二次倍根方程”．例如：方程的两个根为，因为是的3倍，所以方程是“一元二次三倍根方程”．若关于的一元二次方程是“一元二次三倍根方程”，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程，用因式分解法求解方程得出，，再根据 “倍根方程”的定义，即可求解． 【详解】解：， ， 或， 解得：，， 方程是“一元二次三倍根方程” 当时，则， 当时，则（舍去）， 综上，． 故答案为：． 36．定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程，写出这个一元二次方程为 ． 【答案】（答案唯一）． 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解三元一次方程，理解“和谐”方程和“美好”方程的定义是解题关键．根据题意得到关于一元二次方程系数的方程组，求出系数之间的关系，再写出满足条件的方程即可． 【详解】解：由题意，一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程， ， ， 一元二次方程为， ， 可取， 这个一元二次方程为（答案唯一）． 故答案为：（答案唯一）． 37．在直角坐标系中，对于直线，给出如下定义：若直线与某个圆相交，则两个交点之间的距离称为直线关于该圆的“圆截距”． 如图，点的坐标为，若的半径为2，当的取值在实数范围内变化时，直线关于的“圆截距”的最小值为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，一次函数与几何综合，如图所示，设直线l与交于B、C，与y轴交于D，过点M作于E，连接，先证明当点E与点D重合时，最大，即此时最小，再由，求出，可得，解得． 【详解】如图所示，设直线l与交于B、C，与y轴交于D，过点M作于E，连接， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴当最大时，最小，即此时最小， ∵， ∴当点E与点D重合时，最大，即此时最小， ∵直线l关于的“圆截距”的最小值为，即， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 覆盖训练19:外心与内心结合 38．如图，在中，，，的内心、外心分别为点I、点O，且有，则的长度为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心，延长交外接圆于点D，连接，作于点G，根据三角形的内切圆和圆周角定理求出，利用证明，可得，根据点I是的内心，，进而可得的长度． 【详解】解：如图，延长交外接圆于点D，连接，作于点G， ∵， ∴， ∵点I是的内心， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，是半径， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点I是的内心， ∴， ∵， ∴． 故答案为：8． 39．如图，在中，若点O为外心，，若点I为的内心，求 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形的内心和外接圆的应用，注意：同弧或等弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半．根据圆周角定理得到，由点I为的内心得到，由三角形内角和等于可知，，即可求出答案． 【详解】解：如图， ∵与分别是所对的圆周角与圆心角， ∴， ∵点I为的内心， ∴，分别是与的角平分线， ∴，， ∴， 由三角形内角和等于可知， ，， ∴， 代入得． 故答案为： 40．如图，点O是内心，也是的外心．若，则的度数 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，三角形内心的定义，三角形内角和定理，连接，先由三角形内角和定理可得，再由三角形内心的定义可得，则可求出，再由圆周角定理可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵点O是内心， ∴分别平分， ∴， ∴， ∴， ∵点O是的外心， ∴， 故答案为：． 覆盖训练20:重心问题(选考) 41．如图，G为的重心，，，则 ． 【答案】 【分析】题目主要考查重心的性质，相似三角形的判定和性质，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 延长交于点H，根据重心的性质得到，根据相似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】解：延长交于点H，如图所示： ∵G为的重心， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 42．在中，，点G是的重心，，垂足为 点E，那么线段的长是 【答案】 【分析】本题考查重心的性质，相似三角形的性质和判定，掌握相关知识是解决问题的关键．连接并延长交于，则为中点，且，可证明，利用相似三角形对应边成比例即可求解题目． 【详解】解：∵在中，， ∴， 连接并延长交于， ∵点G是的重心， ∴为中点，且， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ， 即， ． 故答案为：． 43．三角形三条中线相交于一点，这个点称为三角形的重心．如图，，分别是边，的中线，点是的重心，则 ．    【答案】 【分析】本题考查了三角形的重心含义，三角形相似的判定与性质．连接，则是的中位线，从而可得且，即可得，即可求得． 【详解】解：如图，连接，    ∵是的中线， ∴是的中位线， ∴且， ∴， ∴ ， 故答案为：． 覆盖训练21:阴影部分的面积 44．如图，在中，，以点为圆心、为半径画弧交． 于点，连接，若，则图中弧的长为 ，阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰直角三角形、平行四边形的性质、扇形的面积公式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 过点D作于点F，根据弧长公式可求出弧的长；根据等腰直角三角形的性质求得，从而求得，最后由结合扇形面积公式、平行四边形面积公式、三角形面积公式解题即可． 【详解】解：如图，过点D作于点F， ∵，， ∴是等腰直角三角形，， ∴弧的长为，，， ∴ ． 故答案为：； 45．如图，在中，，，，以为对称轴，作的轴对称图形，点A的对称点恰好与的内切圆圆心O重合，则，与圆周围成的阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内切圆与内心，含30度角的直角三角形，扇形面积的计算，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．设的内切圆与三边相切于点F，G，H，连接，，，得四边形为正方形，设正方形的边长为r，然后利用含30度角的直角三角形和切线长定理可以求出，再利用扇形面积公式即可解决问题． 【详解】解：如图，设的内切圆与三边相切于点F，G，H，连接，，， 可得四边形为正方形， 设正方形的边长为r， 在中，， ∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 解得， 由翻折可知：， ∴，与圆周围成的阴影部分的面积为． 故答案为：． 46．如图，在中，，以点为圆心，的长为半径画弧交边于点，以点为圆心，的长为半径画弧交边于点，则阴影部分图形的周长为 （结果保留） 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质以及弧长的计算，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 根据平行四边形的性质得出，连接，由作图得，证明是等边三角形，得出，根据弧长公式求出弧，弧的长即可解决问题． 【详解】解：连接，如图， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， 由作图得， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴弧的长=；弧的长， ∴阴影部分图形的周长为， 故答案为：． 覆盖训练22:最值问题 47．如图，在中，，，，D是上一个动点，以为直径的圆O交于E，则线段的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了圆周角定理和勾股定理的综合应用，解决本题的关键是确定E点运动的轨迹，从而把问题转化为圆外一点到圆上一点的最短距离问题．连接，取的中点，以为直径作，由直径可得，进而可得点在以为直径的上运动，当点、、三点共线时，有最小值，此时，利用勾股定理求出，即可得解． 【详解】解：如图，连接，取的中点，以为直径作， 是直径， ， ， 点在以为直径的上运动， ， ， ， 当点、、三点共线时，有最小值，此时， ， ， ， 线段的最小值是 故答案为：． 48．已知半圆O的直径长为4，点A为中点，P为上任意一点，与相交于点D． （1） （度）； （2）的最小值为 ． 【答案】 【分析】（1）由点A为中点，得到，再由圆周角定理及其推论可得是等腰直角三角形，从而确定，最后，根据四边形是圆的内接四边形求解即可得到答案； （2）由（1）中结论，结合已知条件得到是等腰直角三角形，即，由瓜豆原理，利用全等三角形的判定与性质确定点D在以为圆心，为半径的圆上运动，且，如图所示，结合点到圆周上动点距离最值求法与勾股定理即可得到答案． 【详解】解：（1）点A为中点， ，则， 半圆O的直径， ， 即是等腰直角三角形， ， 四边形是圆的内接四边形， ， ； （2）由（1）知，是等腰直角三角形， 半圆O的直径， ，则， ， 是等腰直角三角形，即， ， P在上运动过程中始终保持， 连接，将绕着点A顺时针旋转到，连接，如图所示， ， ， ， 在和中， ， ， ， 半圆O的直径长为4，点A为中点， ，， 根据题意，D是动点，P在上运动，则以O为旋转中心，旋转的角度是， 点D在以为圆心，为半径的圆上运动，旋转的角度是，即，连接，如图所示， 四边形，且边长为2， ， 由点到圆周上动点距离关系可知，当、D、C三点共线时，可取到最小值， 在中，， 的最小值为， 故答案为：；． 【点睛】本题考查圆综合，涉及圆周角定理及其推论、等腰直角三角形的判定与性质、圆内接四边形性质、瓜豆原理、点到圆周上动点距离最值、勾股定理、三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握圆的性质是解题的关键． 49．如图，是圆O的直径，，点B为弧的中点，点P是直径上的一个动点，则的最小值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了圆心角与弧之间的关系，圆周角定理，轴对称最短路径问题，等边三角形的性质与判定，正确作出辅助线推出能取得最小值的情形是解题的关键． 作A关于的对称点Q，连接交于P，此时根据两点之间线段最短，的最小值为的长度． 【详解】解：作A关于的对称点Q，连接交 于P， ∵点B 为弧的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 即的最小值为2， 故答案为：2． 覆盖训练23:一元二次方程的估算 50．观察表格，一元二次方程的最精确的一个近似根是 ． 【答案】1.7 【分析】本题考查用表格法求一元二次方程的近似根，解题的关键是观察表格中函数值的变化，找到函数值由负变正的区间，从而确定近似根． 通过观察表格中对应的的值，找到函数值最接近0时对应的，即为方程的近似根． 【详解】解：我们观察表格中的数据： 当时，， 当时，， 可以看到，当时，的值更接近0， 所以一元二次方程最精确的一个近似根是1.7． 故答案为：1.7． 51．由下表估算一元二次方程的一个根的范围 ． 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 13 14.41 15.84 17.29 18.76 【答案】 【分析】本题考查估算一元二次方程的近似解，观察表格中的数据确定16所在范围是解题的关键． 观察表格的值，确定与16最接近时x的范围即可求解． 【详解】解：∵， ∴一元二次方程的一个根的范围为， 故答案为：． 52．根据下列表格的对应值： x 1 1.1 1.2 0.84 由此可判断方程必有一个解x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用表中数据得到时，，时，，则可判断有一个根满足． 【详解】解：∵时，， 时，， ∴，在内有一个解， 即方程必有一个解x满足， 故答案为：． 覆盖训练24:取值范围问题 53．如图，中，，，．点E是边的中点，点D在边上运动，连接，将沿所在直线翻折得到，连接，则的取值范围是 ．    【答案】 【分析】本题考查勾股定理及折叠问题，点与圆上一点的最值问题，解题的关键是掌握等腰直角三角形的性质，确定点的运动轨迹；过点作于，过点作于，根据勾股定理可求出，的长度，其次分析的运动轨迹，是在以点为圆心，为半径的圆上，从而可得的最大与最小值，进而求得其取值范围． 【详解】解：过点作于，过点作于，如图所示：    ∵，，． ∴由勾股定理可得：，， ∴， ∵点E是边的中点， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理可得：， ∵将沿所在直线翻折得到， ∴点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，即， ∴的最小值为：，最大值为：， 故答案为：． 54．如图，在中，是上一点点与点不重合若在的直角边上有且仅有个不同的点分别和点、成为直角三角形的三个顶点，则长的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质、直线与圆的位置关系、直角三角形的存在性等知识，找到临界状态即以为直径的圆与相切，是本题解题关键． 当以为直径的圆与相切时，由直角三角形的性质求出半径，在的直角边上有且仅有个不同的点分别和点、成为直角三角形的三个顶点时，以为直径的与相离，即以为直径的与相离时，圆与的交点和过点作垂直于的直线与的交点，即可得出结果． 【详解】解：如图，以为圆心以为直径的圆与相切于点， 设圆的半径为，即， ， ， ， 解得： 在的直角边上有且仅有个不同的点分别和点、成为直角三角形的三个顶点时，以为直径的与相离， 即以为直径的与相离时，圆与的交点和过点作垂直于的直线与的交点， 此时，， 故答案为：． 55．如图，圆心恰好为正六边形的中心，已知的半径为，现将在正六边形内部沿某一方向平移，当它与正六边形的某条边相切时停止平移，设此时平移的距离为，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先得到是等边三角形，求出，当平移到时，和相切于点M，此时平移距离最短，当平移到时，和，分别相切于点G，H时，此时平移距离最长，分别利用勾股定理求解即可． 【详解】如图所示，连接，， ∵圆心恰好为正六边形的中心， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 当平移到时，和相切于点M，此时平移距离最短， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴此时平移的距离； 当平移到时，和，分别相切于点G，H时，此时平移距离最长， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴此时平移的距离； 综上所述，的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】此题考查了切线的性质，正多边形和圆综合，勾股定理，等边三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 覆盖训练25:相似中的比值(选考) 56．如图，点是四边形对角线、的交点，与互补，，，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定；先作，即可求出，再根据相似三角形的对应边成比例得，进而得，然后说明，再结合可得答案. 【详解】解：过点O作交于点M， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴. 故答案为：. 57．如图，在中，是边上的中线，点G是的重心，过点G作交于点F，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的重心、平行线分线段成比例定理等知识点，掌握三角形的重心是三角形三边中线的交点，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为是解题的关键． 由点G是的重心，可得，即，再根据可得，再根据相似三角形的性质即可解答． 【详解】解：∵点G是的重心， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为． 58．如图，是半的直径，点是弧的中点．点是弧的中点，连接、交于点．则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，弧、弦、圆心角的关系，正确利用弧、弦、圆心角的关系是解题的关键．连接交于点H，根据点E是弧的中点，可得，从而证得，，进而得到，，设，则，，可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接交于点H， ∵点E是弧的中点， ∴， ∵是半的直径， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵点C是弧的中点， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $