期中考前满分冲刺之解答题覆盖训练（48题）（二十一种覆盖训练）-2025-2026学年苏科版九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练

期中考前满分冲刺之解答题覆盖训练 思维导图 覆盖训练01:解一元二次方程 1．用合适的方法解一元二次方程： (1)． (2) 2．解方程： (1)；（用配方法） (2)；（用公式法） (3)； (4)． 覆盖训练02:一元二次方程的根情况 3．已知关于的一元二次方程． (1)判断该方程根的情况； (2)若该方程仅有一个根大于1，求的取值范围． 4．一元二次方程： (1)若是该方程的一个根，则求的值． (2)若该方程有两个实数根，求的取值范围． 覆盖训练03:画二次函数的图象(选考) 5．利用描点法画二次函数的图象，列表如下： x … 0 1 2 3 4 … y … 3 m 0 n … (1)填空：______，______； (2)在如图所示的平面直角坐标系中，画出二次函数的图象．（至少描出5个点） 6．已知二次函数 (1)用配方法将化成的形式写出过程； (2)在坐标系中利用描点法画出此抛物线； x … ______ ______ ______ ______ ______ … y … ______ ______ ______ ______ ______ … (3)结合图象直接回答：当时，则y的取值范围是______． 覆盖训练04:尺规作图 7．（1）某城市有一条笔直的护城河，河的一边有、两个建筑物，小明在河的对岸，计划测量河的宽度．他沿着河岸走到一地点，在此观测、两点时，测出张角为，请在图1中用圆规和无刻度直尺作出点．（要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若时，，，求此时河的宽度． （3）当为时，小明发现河内部有一浮标，如图2，经测量，该浮标为内心，求证：． 8．如图，中，． (1)在图中用无刻度的直尺和圆规作的外接圆O；（保留作图痕迹） (2)若，，求的内切圆半径． 覆盖训练05:圆周角定理 9．如图，在中，弦，点在上． (1)如图①，若是的直径，求的度数； (2)如图②，在弧上取一点，若，请用含的式子表示的度数． 10．如图，是的直径，于点，连接交于点． (1)求证：． (2)若，求的长． 覆盖训练06:一元二次方程根与系数关系 11．已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个实数根，求m的范围； (2)若方程的两个实数根为，且，求m的值． 12．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值方程都有两个不相等的实数根； (2)当矩形的对角线，且两条边和的长恰好是这个方程的两个根时，求矩形的周长． 覆盖训练07:数据分析 13．数学课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动．同学们随机收集香樟树、荔枝树的树叶各10片，通过测量得到这些树叶的长y（单位：），宽x（单位：）的数据后，分别计算长宽比，整理和分析数据如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 香樟树叶的长宽比 2.5 2.2 2.6 2.3 2.4 2.4 2.4 2.4 2.3 2.2 荔枝树叶的长宽比 2.0 2.0 2.0 2.4 1.8 2.1 1.8 2.0 1.3 1.9 平均数 中位数 众数 方差 香樟树叶的长宽比 2.37 m 2.4 0.0141 荔枝树叶的长宽比 1.93 2.0 n 0.0701 根据以上信息解答下列问题： (1)________， ________． (2)从树叶的长宽比的方差来看，香樟树叶的形状差别比荔枝树叶________（填“小”或“大”）． (3)现有一片长、宽的树叶，请判断这片树叶更可能来自香樟、荔枝中的哪种树，并给出你的理由． 14．现在要从甲、乙两名学生中选择一名学生去参加比赛，因为甲、乙两人的5次测试总成绩相同，所以根据他们的成绩（单位：分）绘制了如下尚不完整的统计图表进行分析． 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲 90 70 80 100 60 乙 70 90 90 a 70 请解答下列问题： (1)________， ________． (2)请在图中完成表示乙成绩变化情况的折线． (3)求出． (4)已知，根据数据可看出________将被选中参加比赛． 覆盖训练08:相似三角形的判定(选考) 15．如图，在中，，．点D在边AB上，，，与边AC相交于点E，，与边BC相交于点G，F是BD的中点，联结BE，EF． 求证： (1)； (2)． 16．如图，在等腰三角形中，，，D是边上的一个动点，（不与B、C重合）在边上取一点E，使． (1)求证：； (2)若，求的长． 覆盖训练09:切线的判定 17．如图，是的外接圆，，且，连接交于点． (1)求证：是的切线； (2)连接，若为直径，，，求的半径． 18．如图，是的直径，是弦，是的中点，与交于点．是延长线上的一点，且． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的半径． 覆盖训练10:概率问题 19．垃圾分类可以把有用的垃圾回收再利用，减少了对环境的危害． (1)随机将一节废旧的电池（有害垃圾）投入垃圾桶，投放正确的概率为________． (2)随机将一节废旧的电池（有害垃圾）和矿泉水空瓶（可回收垃圾）分别放入不同的垃圾桶，请用画树状图法或列表法求出投放正确的概率． 20．一个不透明的袋子里装有2个白球，1个黑球，这些球除颜色不同外，其余都相同． (1)从中任意摸出1个球是白球的概率； (2)现从袋子中任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再摸出一个小球，记下颜色，请用树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求摸到的两个球中恰好有一个球是黑球的概率． 覆盖训练11:一元二次方程的应用——图形问题 21．近年来，重庆市聚焦打造乡村振兴，某农户要建一个长方形养鸡场，鸡场的边靠墙（墙长度等于），另外三边用木栏围成，木栏总长． (1)当鸡场面积为时，求边的长； (2)若农户想围成的鸡场，可以实现吗？说明理由． 22．某体育场准备利用一堵呈“L”形的围墙（粗线表示墙，墙足够高）改建室外篮球场，如图所示，已知，米，米，现计划用总长为136米的围网围建呈“日”字形的两个篮球场，并在每个篮球场开一个宽3米的门（细线表示围网，两个篮球场之间用围网隔开），为了充分利用墙体，点F必须在线段上，设的长为x米． (1)_______米；（用含x的代数式表示） (2)若围成的篮球场的面积为1200平方米，求的长；（围网及墙体所占面积忽略不计） 覆盖训练12:一元二次方程的应用——销售问题 23．项目化学习 项目主题：探究皱纱鱼腐销售利润 项目背景：皱纱鱼腐，形似圆球，色泽金黄，“鱼腐”即“愈富”，不仅鲜香滋味奇，更有美好寓意，这道地方非遗文化在悄悄走向全国，某校学习小组以“探究皱纱鱼腐销售利润问题”为主题开展项目学习． 驱动任务：按预期利润制定合理售价． 收集数据： 素材 某特产专卖店销售皱纱鱼腐，其进价为每千克50元，按每千克90元出售，平均每月可售出200千克，后经市场调查发现，单价每降低5元，平均每月的销售量可增加50千克． 解决问题： (1)若每月的销售量为400千克，则每千克皱纱鱼腐的售价为___________元． (2)若专卖店销售皱纱鱼腐想要平均每月获利8750元，求皱纱鱼腐的售价应定为每千克多少元？ (3)专卖店销售皱纱鱼腐能平均每月获得10000元的利润吗？为什么，请说明理由． 24．某品牌服装每件进价为元，销售价为元时，平均每天可售出件为了迎接“双十一”，商家决定采取适当的降价措施，增加盈利，减少库存经市场调查发现：如果每件服装降价元，那么平均每天就可多售出件． (1)每件服装定价为多少元时，商家每天能盈利元？ (2)某电商在抖音上也在销售同款服装，标价为每件元，为提高市场竞争力，促进线上销售，该电商决定对该服装实行打折销售，使其售价不超过中的售价，则该服装至少打几折销售？ 覆盖训练13:一元二次方程的应用——动点问题 25．综合与探究 如图，在矩形中，，，点从点出发，沿边向终点以的速度移动，同时点从点出发，沿边向终点以的速度移动．若其中有一个动点先到达终点，则两个动点同时停止运动，设运动时间为． (1)填空：_____，_____；（用含的代数式表示） (2)当为何值时，？ (3)在动点，运动过程中，是否存在某一时刻使得五边形的面积为矩形面积的？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 26．如图，在矩形中，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．点分别从点同时出发，当点运动到点时；两点停止运动，设运动时间为秒． (1)当为何值时，点在的垂直平分线上？ (2)连接，是否存在t的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由 (3)是否存在的值，使得的面积与五边形的面积之比等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． (4)连接将沿折叠得，是否存在某一时刻t，使点落在线段上？若存在，请求出此时t的值：若不存在，请说明理由． 覆盖训练14:位似作图(选考) 27．如图，在带有网格的平面直角坐标系中的位置． (1)以点O为位似中心，在y轴右侧作出的位似图形，使得放大后的与的位似比为，并写出点，，的坐标． (2)若点P在内部，且坐标为，写出按（1）变化后的对应点的坐标 ． 28．如图，平面直角坐标系中，各顶点坐标，，． (1)画以点为位似中心，在第一象限内将放大到原来的2倍，得到； (2)内有一点在中的对应点的坐标为___________ (3)___________ 覆盖训练15:相似的新定义(选考) 29．定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“亲子线”． (1)如图1，的三个顶点均在正方形网格中的格点上，若四边形是以为“亲子线”的四边形，请只用无刻度的直尺，确定一点，请你在图1中找出满足条件的点，并画出这个四边形．保留画图痕迹（找出1个即可）； (2)①如图2，在四边形中，，对角线平分．请问 °？此时对角线是四边形的“亲子线”吗？请说明理由； ②若，求的值． (3)如图3，在（2）的条件下，若，在边上取一点，使，过点作交于点，得到，连接、，在绕点旋转的过程中，当所在的直线垂直于时，请你直接写出的长 ． 30．定义：若一个四边形能被其中的一条对角线分割成两个不全等的相似三角形，则称这个四边形为“友好四边形”，这条对角线称为“友好线”． (1)如图1，是格点三角形，请在格点中找到点，使以点为顶点的四边形是被分割成的“友好四边形”．（要求画出点的两种不同位置） (2)如图2，四边形是被分割成的“友好四边形”，且，，．求的长． (3)如图3，圆内接三角形中，过点作交于点，与切线交于点， ①求证：四边形是“友好四边形”； ②若的面积为，，，求线段的长． 覆盖训练16:二次函数的面积问题(选考) 31．如图1，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点E是抛物线的对称轴与直线的交点，点F是抛物线的顶点，求的长； (3)设点P是（1）中抛物线上的一个动点，是否存在满足的点P？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（请在图2中探讨） 32．如图，抛物线的顶点在轴正半轴上，且过点和点 (1)求抛物线的解析式； (2)判断的形状，并说明理由； (3)在抛物线上是否存在点（不与点重合）使的面积与的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 33．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与 轴的正半轴交于点，且． (1)求抛物线的表达式； (2)在直线下方的抛物线上是否存在点M，使得的面积为6，若存在求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． (3)抛物线的顶点为，连接．抛物线上是否存在一点，使得 ？ 若存在，求点的坐标； 若不存在，说明理由； 覆盖训练17:一元二次方程的新定义 34．新定义：已知关于x的一元二次方程的两根之和与两根之积分别是另一个一元二次方程的两个根，则一元二次方程称为一元二次方程的“再生韦达方程”，一元二次方程称为“原生方程”．比如：一元二次方程的两根分别为，，则，，所以它的“再生韦达方程”为． (1)已知一元二次方程，若它的“再生韦达方程”二次项的系数为1，求它的“再生韦达方程”； (2)已知“再生韦达方程” ，若它的“原生方程”二次项的系数为1．求它的“原生方程”． 35．定义：如果关于x的一元二次方程（a，b，c均为常数，且）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”．例：方程的根为，则方程是“邻根方程”． (1)方程是“邻根方程”吗？请说明理由； (2)若是直角三角形，斜边的长为，的两边，的长是一个“邻根方程”的两个实数根，求的面积． 36．定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的衍生点． (1)若方程为，求出该方程的衍生点M的坐标； (2)若关于x的一元二次方程为的衍生点为M，且点M在直线上，求m的值； (3)是否存在b，c，使得不论为何值，关于x的方程的衍生点M始终在直线的图像上？若有，请求出b，c的值；若没有，请说明理由． 覆盖训练18:无刻度尺作图 37．如图为一个含角的直角三角形及其外接圆，点在边上且为的角平分线，请用无刻度直尺按下列要求作图，不写作法，保留作图痕迹． (1)在图1中，以点为顶点作一锐角，使之与互余； (2)在图2中，过点作线段的中点． 38．图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点，、均是格点，外接圆的圆心记为点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求作图． (1)在图①中，标出点； (2)在图②中，过点作的切线，点为格点； (3)在图②中，过点作的另一条切线，点为切点． 39．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点、、均在格点上．内接于，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图． (1)在图①中，标出的外接圆圆心； (2)在图②中，作，使得与互补，且点为格点； (3)在图③中，过点作的切线，点为切点． 覆盖训练19:动圆相切求t 40．在矩形中，，，点从点出发，沿边向点以每秒的速度移动，同时点从点出发沿边向点以每秒的速度移动、两点在分别到达、两点后就停止移动，设两点移动的时间为秒（），回答下列问题： (1)如图1，当为几秒时，的面积等于？ (2)如图2，当秒时，试判断的形状，并说明理由； (3)如图3，以为圆心，为半径作．在运动过程中，是否存在这样的值，使正好与四边形的一边（或边所在的直线）相切？若存在，求出值；若不存在，请说明理由． 41．如图①，矩形与以为直径的半圆在直线的上方，线段与点、都在直线上，且，，．点B以1个单位/秒的速度从点E处出发，沿射线方向运动，矩形随之运动，运动时间为t秒． (1)如图②，当时，求半圆O在矩形内的弧的度数； (2)在点B运动的过程中，当都与半圆O相交时，设这两个交点为G、H．连接，若为直角，求此时t的值． 42．如图，在矩形中,，点P从点A出发沿以的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C移动．设运动时间为t秒． (1)当时,的面积为 ； (2)在运动过程中的面积能否为？如果能，求出t的值，若不能，请说明理由； (3)运动过程中，当A、P、Q、D四点恰好在同一个圆上时，求t的值； 覆盖训练20:取值范围问题 43．已知：和分别是⊙上的两条劣弧，且⊙的半径为5，，，和都可以在⊙上运动，且和没有公共点，连接，，，且，交于点． (1)如图1，若经过圆心． ①求的长； ②求的度数； (2)如图2，在和运动的过程中，的度数是否发生变化？请说明理由； (3)如图3，连接，在和运动的过程中，四边形的面积也发生变化，记四边形的面积为，请直接写出的取值范围． 44．综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． 已知正方形纸片，，是边上一点，将正方形沿着直线折叠，点落在点处，把纸片展平，射线交射线于点． (1)根据以上操作，图1中与的数量关系是：________； (2)如图2，若点是的中点，延长交于点． ①猜想与的数量关系为________，请证明你的猜想； ②求线段的长度； (3)如图3，，交于点，则面积的取值范围是________． 45．借助运动的视角看图形变化是非常重要的数学眼光…… 已知，点，在上，，点在上，连接，，作的外接圆． (1)当时， （I）如图①，若是的直径，则的半径为________； （II）如图②，若，求的半径． (2)当时，如图③，若与相切于点，用直尺和圆规作出点的位置．（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (3)设，对于每一个的值，的半径随着点的位置的变化而变化，直接写出的半径的最小值及对应的的取值范围（可用含的式子表示）． 覆盖训练21:二次函数的平移问题(选考) 46．抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C． (1)如图1，若． ①求抛物线的解析式； ②点P为抛物线上一点，若点B、点C到直线距离相等，求P点横坐标； (2)如图2，将抛物线平移得到抛物线，的顶点为原点．直线（s，t为常数，）交抛物线于点P、点Q．已知点，交抛物线于点M，交抛物线于点N，连接．求证：直线过定点，并求出这个定点的坐标． 47．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，其顶点为，将抛物线平移，得到抛物线，且抛物线的顶点在线段的延长线上（点不与点重合）．设抛物线的对称轴为直线，抛物线与的交点为，点的横坐标为． (1)求点的纵坐标（用含的代数式表示）； (2)求证：； (3)过点作轴，交抛物线于另一点，交抛物线于另一点，若，求的值； (4)在（3）的条件下，抛物线与抛物线组成的图象，当时，图象的最高点的纵坐标为，最低点的纵坐标为，求的取值范围． 48．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，交轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴交于点，在轴上取一点，使得，求的最大值及此时点坐标； (3)将原抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，过点作直线垂直于交轴于点，交新抛物线于点，请直接写出点的横坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中考前满分冲刺之解答题覆盖训练 思维导图 覆盖训练01:解一元二次方程 1．用合适的方法解一元二次方程： (1)． (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法，包括配方法，公式法，因式分解法． （1）利用配方法解方程即可； （2）先移项，再用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，则 解得：，． （2）解：， ， ， ∴或， ∴，． 2．解方程： (1)；（用配方法） (2)；（用公式法） (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解答本题的关键． （1）方程移项后，配方后再运用直接开平方法解方程即可； （2）方程确定各项系数后，求出的值，再代入求根公式进行计算即可； （3）方程移项后运用因式分解法求解即可； （4）方程运用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ∴， （2）解：， 这里， ， ∴， ∴， （3）解：， ， ， ， ，， ∴，； （4）解：， ， ∴， ∴， 覆盖训练02:一元二次方程的根情况 3．已知关于的一元二次方程． (1)判断该方程根的情况； (2)若该方程仅有一个根大于1，求的取值范围． 【答案】(1)总有两个实数根 (2) 【分析】本题考查了根的判别式、偶次方的非负性以及因式分解法解一元二次方程． （1）根据根的判别式可得出，利用偶次方的非负性可得出，即可证出结论； （2）利用因式分解法解一元二次方程可得出，，结合该方程有一个根大于1可得出，解之即可得出m的取值范围． 【详解】（1）解：，，， 无论取何值，该方程总有两个实数根； （2）解：， 解得，， 若该方程仅有一个根大于1，， ， 解得． 4．一元二次方程： (1)若是该方程的一个根，则求的值． (2)若该方程有两个实数根，求的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】此题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的根，一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，熟记根的判别式是解题的关键． （1）将代入，解方程即可； （2）利用且，解出的取值范围． 【详解】（1）解：一元二次方程：，是该方程的一个根， ， ； （2）解：一元二次方程：，该方程有两个实数根， 且， 且． 覆盖训练03:画二次函数的图象(选考) 5．利用描点法画二次函数的图象，列表如下： x … 0 1 2 3 4 … y … 3 m 0 n … (1)填空：______，______； (2)在如图所示的平面直角坐标系中，画出二次函数的图象．（至少描出5个点） 【答案】(1)0，3 (2)见解析 【分析】本题考查了画二次函数图象，求二次函数的函数值，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）将，分别代入函数解析式即可求解的值； （2）描点、连线即可作图． 【详解】（1）解：当； 当， 故答案为：0，3； （2）解：描点连线，函数图象如图： 6．已知二次函数 (1)用配方法将化成的形式写出过程； (2)在坐标系中利用描点法画出此抛物线； x … ______ ______ ______ ______ ______ … y … ______ ______ ______ ______ ______ … (3)结合图象直接回答：当时，则y的取值范围是______． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用配方法将函数解析式进行转换即可； （2）根据题意用描点法画出此抛物线；先列表，然后描点、连线即可； （3）根据二次函数图象的性质即可解答． 本题考查了二次函数的图象，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，找到顶点及对称轴，根据对称轴取点是画图的关键一步． 【详解】（1）解： ， 即； （2）列表： x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0      0 3 … 描点、连线： （3）由图象知，时，函数值y随x的增大而增大，时，函数值y随x的增大而减小， 故当时，函数值y的取值范围是； 故答案为：． 覆盖训练04:尺规作图 7．（1）某城市有一条笔直的护城河，河的一边有、两个建筑物，小明在河的对岸，计划测量河的宽度．他沿着河岸走到一地点，在此观测、两点时，测出张角为，请在图1中用圆规和无刻度直尺作出点．（要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若时，，，求此时河的宽度． （3）当为时，小明发现河内部有一浮标，如图2，经测量，该浮标为内心，求证：． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析 【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角，勾股定理，三角形的内心的性质，正方形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定； （1）作线段的中点，以为直径，为圆心作，交直线与点，则； （2）设，根据勾股定理得出，建立方程，解方程，即可求解． （3）过点分别作的垂线，垂足分别为，证明四边形是正方形，得出，过点作，交的延长线于点，为内心，得出，根据，即可得证． 【详解】（1）如图所示，点即为所求； （2）如图， 设， ∵， ∴ ∵，， ∴ ∴ 解得：（负值舍去） ∴， （2）解：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为， ∴四边形是矩形， ∵为内心，设的内接圆半径为， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，即 过点作，交的延长线于点， ∵为内心， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴． 8．如图，中，． (1)在图中用无刻度的直尺和圆规作的外接圆O；（保留作图痕迹） (2)若，，求的内切圆半径． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查三角形外接圆，内切圆，勾股定理，垂径定理，掌握勾股定理及垂径定理是解题的关键． （1）用尺规作边和的垂直平分线，两线相交于点O进而作出的外接圆； （2）根据勾股定理和等面积法即可求出内切圆的半径． 【详解】（1）解：如图所示即为的外接圆， （2）解：连接、，设交于点， ∵， ， 根据垂径定理，得，， ， 设内切圆半径为， ， 内切圆半径． 覆盖训练05:圆周角定理 9．如图，在中，弦，点在上． (1)如图①，若是的直径，求的度数； (2)如图②，在弧上取一点，若，请用含的式子表示的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查圆周角定理，圆内接四边形的性质以及等腰三角形的性质，正确运用相关知识是解答本题的关键． （1）根据圆周角的性质和圆内接四边形性质即可求解； （2）连接，根据等弦对等弧，等弧对等角并结合圆内接四边形性质即可得到和的关系． 【详解】（1）∵是的直径， 又 是等腰直角三角形， ∵四边形是的内接四边形， （2）如图，连接， ∵四边形是的内接四边形， 10．如图，是的直径，于点，连接交于点． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）要证明，可以证明，是的直径，则，又知，则，则，，则； （2）可证明为等边三角形，则由可知，则利用勾股定理可求，进而可求． 【详解】（1）证明：连接， 是的直径， ， ， ， ， ． 又， ， ， ， ； （2）解：连接，交于点， ， 是等边三角形， ， ，且， ， 在Rt中，， ， ， ， ，即， （负值舍去）， ， ， ， ∴， ∴． 覆盖训练06:一元二次方程根与系数关系 11．已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个实数根，求m的范围； (2)若方程的两个实数根为，且，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的相关性质是解题关键． （1）由根的情况，根据判别式可得到关于的不等式，则可求得的取值范围； （2）由方程根与系数的关系可把化为关于的方程，则可求得的值． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有两个实数根， ，即， 解得； （2）、是方程的两个实数根， ， ， ∴， ， 即， 解得或， 又， ． 12．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值方程都有两个不相等的实数根； (2)当矩形的对角线，且两条边和的长恰好是这个方程的两个根时，求矩形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】本题考查一元二次方程根与判别式的关系、一元二次方程的根与系数的关系、勾股定理及完全平方公式，熟练掌握一元二次方程根与判别式的关系及与系数的关系是解题的关键． （1）求得一元二次方程的判别式，即可得出结论； （2）根据一元二次方程的根与系数之间的关系可得，，再利用勾股定理求得，再利用完全平方公式可得，求得或，进一步计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵矩形两条边和恰好是这个方程的两个根时， ∴，， ∴， 在中，，即， ∵， ∴， 解得或， 当时，，不符合题意；故舍去． 当时，， ∴． 覆盖训练07:数据分析 13．数学课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动．同学们随机收集香樟树、荔枝树的树叶各10片，通过测量得到这些树叶的长y（单位：），宽x（单位：）的数据后，分别计算长宽比，整理和分析数据如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 香樟树叶的长宽比 2.5 2.2 2.6 2.3 2.4 2.4 2.4 2.4 2.3 2.2 荔枝树叶的长宽比 2.0 2.0 2.0 2.4 1.8 2.1 1.8 2.0 1.3 1.9 平均数 中位数 众数 方差 香樟树叶的长宽比 2.37 m 2.4 0.0141 荔枝树叶的长宽比 1.93 2.0 n 0.0701 根据以上信息解答下列问题： (1)________， ________． (2)从树叶的长宽比的方差来看，香樟树叶的形状差别比荔枝树叶________（填“小”或“大”）． (3)现有一片长、宽的树叶，请判断这片树叶更可能来自香樟、荔枝中的哪种树，并给出你的理由． 【答案】(1)2.4   2.0 (2)小 (3)这片树叶更可能来自荔枝树．理由见解析 【分析】（1）根据数据的中位数和众数的概念解答； （2）根据方差的性质判断； （3）求出树叶的长与宽的比，根据题意判断即可． 【详解】（1）解：把片香樟树叶的长宽比从小到大排列：，，，，，，，，，， ∴香樟树叶的长宽比的中位数是，即， 荔枝树叶的长宽比的众数是，即， 故答案为：；； （2）解：香樟树叶的长宽比的方差为，荔枝树叶的长宽比的方差为， ∵， ∴从树叶的长宽比的方差来看，香樟树叶的形状差别比荔枝树叶小． 故答案为：小． （3）解：这片树叶更可能来自荔枝树．理由如下： 因为树叶的长为，宽为， 所以长宽比为，因为该值与荔枝树叶长宽比的平均数和中位数更接近， 而与香樟树叶长宽比的平均数相差较远， 所以这片树叶更可能来自荔枝树． 14．现在要从甲、乙两名学生中选择一名学生去参加比赛，因为甲、乙两人的5次测试总成绩相同，所以根据他们的成绩（单位：分）绘制了如下尚不完整的统计图表进行分析． 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲 90 70 80 100 60 乙 70 90 90 a 70 请解答下列问题： (1)________， ________． (2)请在图中完成表示乙成绩变化情况的折线． (3)求出． (4)已知，根据数据可看出________将被选中参加比赛． 【答案】(1)80  80 (2)表示乙成绩变化情况的折线如图所示． (3) (4)乙 【分析】（1）根据甲、乙两人 5 次测试总成绩相同，先算出甲的总成绩，再据此列方程求出a的值，进而求出乙的平均成绩； （2）根据乙每次的成绩，在给定的坐标系中描出对应点，然后依次连线，完成表示乙成绩变化情况的折线； （3）根据方差公式，将乙的每次成绩与平均成绩代入，计算出乙成绩的方差； （4）比较甲、乙成绩的方差，方差小的成绩更稳定，从而确定被选中参加比赛的同学． 【详解】（1）解：甲的总成绩：（分）； 甲、乙总成绩相同， 乙的总成绩也为400分，即：， 解得， 乙的平均成绩：． （2）解：乙的成绩依次为，在图中相应次序位置描点，再用线段连接这些点，即可完成折线： （3）解：， ， ． （4）解：已知，， 方差越小，成绩越稳定， 乙将被选中参加比赛． 【点睛】本题考查平均数、方差的计算与应用，掌握根据总成绩相同求未知数据，利用方差公式计算方差，根据方差判断数据稳定性是解题的关键． 覆盖训练08:相似三角形的判定(选考) 15．如图，在中，，．点D在边AB上，，，与边AC相交于点E，，与边BC相交于点G，F是BD的中点，联结BE，EF． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、平行线的性质，解题的关键是通过设参数表示线段长度，利用比例关系证明相似三角形，再结合相似三角形的对应角关系推导角度关系． （1）设，结合等腰直角三角形和平行线的性质表示各线段长度，通过计算对应边的比例及夹角相等证明； （2）利用（1）中相似三角形的对应角相等，结合和，推导三个角的和为 【详解】（1）证明：∵在中，，， ∴是等腰直角三角形， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∴， 则， ∵是BD中点， ∴． ∴，，即． ∵，，可证， ∴（两边对应成比例且夹角相等）． （2）证明：∵， ∴ 由（1）知， ∴． ∵， ∴ ∴． 16．如图，在等腰三角形中，，，D是边上的一个动点，（不与B、C重合）在边上取一点E，使． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据等腰直角三角形的性质得到，根据三角形的外角性质得到，根据相似三角形的判定定理证明结论； （2）根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算得到的长． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， 又， ； （2）解：， ， ∵，， ， 解得， 覆盖训练09:切线的判定 17．如图，是的外接圆，，且，连接交于点． (1)求证：是的切线； (2)连接，若为直径，，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】（1）连接、、，由，得到是的垂直平分线，则有，再根据平行线的性质得到，再利用切线的判定定理即可证明； （2）连接，延长交于点，得到是的中位线，求出，设，在和中，由勾股定理得，，从而得到关于的方程，求出的值即可解答． 【详解】（1）证明：如图，连接、、， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：如图，连接，延长交于点， 由（1）得，是的垂直平分线， ∴， 又∵， ∴是的中位线， ∴， 设，在和中，由勾股定理得： ，即， ，即， ∴， 解得，（舍去）， ∴的半径为5． 【点睛】本题考查了垂直平分线的判定定理、切线的判定定理、三角形中位线定理、勾股定理、一元二次方程的应用，掌握相关知识点是解题的关键． 18．如图，是的直径，是弦，是的中点，与交于点．是延长线上的一点，且． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】此题重点考查等腰三角形的性质，切线的判定与性质，圆周角定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）连接、，则，所以，由，得，由是的直径，，求得，则，即可证明为的切线； （2）由，，得，由勾股定理得，求得，则的半径为3． 【详解】（1）解：证明：连接、，则， ， ， ， 是的直径，是的中点， ， ， ， 是的半径，且， 为的切线 （2）解：，，， ， ， ， ， 解得， 的半径长为3． 覆盖训练10:概率问题 19．垃圾分类可以把有用的垃圾回收再利用，减少了对环境的危害． (1)随机将一节废旧的电池（有害垃圾）投入垃圾桶，投放正确的概率为________． (2)随机将一节废旧的电池（有害垃圾）和矿泉水空瓶（可回收垃圾）分别放入不同的垃圾桶，请用画树状图法或列表法求出投放正确的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了树状图法与列表法求概率．此题难度不大，解题的关键是根据题意画出树状图或列出表格，注意树状图法与列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果，注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）根据概率公式直接计算即可； （2）可回收垃圾、餐厨垃圾、有害垃圾和其他垃圾对应的垃圾桶分别用A，B，C，D表示，设两件不同垃圾为a、b，画出树状图，由概率公式即可得出答案． 【详解】（1）解：随机将一节废旧的电池（有害垃圾）投入垃圾桶，共有四种等可能结果，投放正确的概率为， 故答案为：； （2）可回收垃圾、餐厨垃圾、有害垃圾和其他垃圾对应的垃圾桶分别用A，B，C，D表示， 设两袋不同垃圾为a、b， 画树状图如图： 共有12个等可能的结果，两件不同垃圾随机投入进两个不同的垃圾桶，投放正确的结果有1个， ∴两件不同垃圾随机投入进两个不同的垃圾桶，投放正确的概率为． 20．一个不透明的袋子里装有2个白球，1个黑球，这些球除颜色不同外，其余都相同． (1)从中任意摸出1个球是白球的概率； (2)现从袋子中任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再摸出一个小球，记下颜色，请用树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求摸到的两个球中恰好有一个球是黑球的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，熟知概率计算公式是解题的关键． （1）用白球的个数除以球的总数即可得到答案； （2）先列表得到所有的结果数，再找到摸到的两个球中有一个球是黑球的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：∵一共有3个球，其中白球有2个，且每个球被摸出的概率相同， ∴从中任意摸出1个球是白球的概率为； （2）解：设两个白球分别用A、B表示，黑球用C表示，列表如下： 第一次第二次 由表格可知，一共有9种等可能性的结果，其中摸到的两个球中恰好有一个球是黑球的结果有4种， ∴摸到的两个球中恰好有一个球是黑球的概率为． 覆盖训练11:一元二次方程的应用——图形问题 21．近年来，重庆市聚焦打造乡村振兴，某农户要建一个长方形养鸡场，鸡场的边靠墙（墙长度等于），另外三边用木栏围成，木栏总长． (1)当鸡场面积为时，求边的长； (2)若农户想围成的鸡场，可以实现吗？说明理由． 【答案】(1) (2)不能实现，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题中的数量关系是解答本题的关键． （1）设边的长为，则边的长为，根据题意，列出方程，即可求解； （2）假设可以围成的鸡场，设边的长为，则边的长为，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：设边的长为，则边的长为，根据题意得： ， 解得：， ∵墙长度等于， ∴， ∴， ∴， 答：边的长； （2）解：不能实现，理由如下： 假设可以围成的鸡场， 设边的长为，则边的长为，根据题意得： ， 整理得：， ∵， ∴该方程无实数解， ∴不能实现． 22．某体育场准备利用一堵呈“L”形的围墙（粗线表示墙，墙足够高）改建室外篮球场，如图所示，已知，米，米，现计划用总长为136米的围网围建呈“日”字形的两个篮球场，并在每个篮球场开一个宽3米的门（细线表示围网，两个篮球场之间用围网隔开），为了充分利用墙体，点F必须在线段上，设的长为x米． (1)_______米；（用含x的代数式表示） (2)若围成的篮球场的面积为1200平方米，求的长；（围网及墙体所占面积忽略不计） 【答案】(1) (2)40米 【分析】题目主要考查列代数式及一元二次方程的应用，理解题意，列出方程是解题关键． （1）根据各边之间的关系，即可用含x的代数式表示出的长； （2）根据围成的篮球场的面积为1200平方米，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可． 【详解】（1）解：∵的长为x米， ∴， 故答案为：； （2）解：由题意可得，， 解得，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，故舍去， 答：篮球场的宽的长为40米． 覆盖训练12:一元二次方程的应用——销售问题 23．项目化学习 项目主题：探究皱纱鱼腐销售利润 项目背景：皱纱鱼腐，形似圆球，色泽金黄，“鱼腐”即“愈富”，不仅鲜香滋味奇，更有美好寓意，这道地方非遗文化在悄悄走向全国，某校学习小组以“探究皱纱鱼腐销售利润问题”为主题开展项目学习． 驱动任务：按预期利润制定合理售价． 收集数据： 素材 某特产专卖店销售皱纱鱼腐，其进价为每千克50元，按每千克90元出售，平均每月可售出200千克，后经市场调查发现，单价每降低5元，平均每月的销售量可增加50千克． 解决问题： (1)若每月的销售量为400千克，则每千克皱纱鱼腐的售价为___________元． (2)若专卖店销售皱纱鱼腐想要平均每月获利8750元，求皱纱鱼腐的售价应定为每千克多少元？ (3)专卖店销售皱纱鱼腐能平均每月获得10000元的利润吗？为什么，请说明理由． 【答案】(1)70 (2)皱纱鱼腐的售价应定为每千克75元或每千克85元 (3)专卖店销售皱纱鱼腐不能平均每月获得10000元的利润 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）设每千克皱纱鱼腐应降价x元，则每千克皱纱鱼腐的售价为元，平均每月的销售量为千克，根据每月的销售量为400千克，列出一元一次方程，解方程即可； （2）设每千克皱纱鱼腐应降价y元，则每千克皱纱鱼腐的售价为元，平均每月的销售量为千克，根据专卖店销售皱纱鱼腐想要平均每月获利8750元，列出一元二次方程，解方程即可； （3）假设能获得10000元的利润，设每千克皱纱鱼腐降价元，则每千克皱纱鱼腐的售价为元，平均每月的销售量为千克，即千克，根据专卖店销售皱纱鱼腐想要平均每月获利10000元，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设每千克皱纱鱼腐应降价x元，则每千克皱纱鱼腐的售价为元，平均每月的销售量为千克，即千克， 由题意得：， 解得：， ∴， 故答案为：70； （2）设每千克皱纱鱼腐应降价y元，则每千克皱纱鱼腐的售价为元，平均每月的销售量为千克，即千克， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 答：皱纱鱼腐的售价应定为每千克75元或每千克85元． （3）假设能获得10000元的利润，设每千克皱纱鱼腐降价 元，则每千克皱纱鱼腐的售价为元，平均每月的销售量为 千克，即千克， 根据题意，利润为：， 整理得： 由于判别式 ，方程无实数解， 因此，专卖店销售皱纱鱼腐不能平均每月获得10000元的利润， 综上，专卖店销售皱纱鱼腐不能平均每月获得10000元的利润． 24．某品牌服装每件进价为元，销售价为元时，平均每天可售出件为了迎接“双十一”，商家决定采取适当的降价措施，增加盈利，减少库存经市场调查发现：如果每件服装降价元，那么平均每天就可多售出件． (1)每件服装定价为多少元时，商家每天能盈利元？ (2)某电商在抖音上也在销售同款服装，标价为每件元，为提高市场竞争力，促进线上销售，该电商决定对该服装实行打折销售，使其售价不超过中的售价，则该服装至少打几折销售？ 【答案】(1)每件服装定价为元时，商家每天能盈利元 (2)该服装至少打折销售 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用． （1）设每件服装应降价元，则每件服装定价为元，根据商家每天能盈利元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设该服装打折销售，根据售价不超过中的售价，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设每件服装应降价元，则每件服装定价为元， 由题意得：， 整理得：， 解得：，为减少库存，不符合题意，舍去， ， 答：每件服装定价为元时，商家每天能盈利元； （2）解：设该服装打折销售， 由题意得：， 解得：， 答：该服装至少打折销售． 覆盖训练13:一元二次方程的应用——动点问题 25．综合与探究 如图，在矩形中，，，点从点出发，沿边向终点以的速度移动，同时点从点出发，沿边向终点以的速度移动．若其中有一个动点先到达终点，则两个动点同时停止运动，设运动时间为． (1)填空：_____，_____；（用含的代数式表示） (2)当为何值时，？ (3)在动点，运动过程中，是否存在某一时刻使得五边形的面积为矩形面积的？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)当时， (3)当或时，使得五边形的面积为矩形面积的． 【分析】本题主要考查矩形的性质，勾股定理，一元二次方程的运用， （1）根据点的移动速度，行程问题的数量关系可得，，由此即可求解； （2）根据矩形的性质可得，结合（1）中的信息，可得，在中，运用勾股定理得，由此求解即可； （3）根据题意，由五边形的面积为矩形面积的，求得，由此列式求解即可． 【详解】（1）解：，，点从，速度为，点从，速度为，设运动时间为， ∴点从的时间为，点从的时间为， ∴，， 故答案为：，； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， 由（1）可知，，， ∴， 在中，，且， ∴，整理得，， 解得，（舍去），， ∴当时，； （3）解：存在，理由如下， 已知，， ∴， ∵五边形的面积为矩形面积的， ∴，则， ∴， 整理得，， 解得或， ∴当或时，使得五边形的面积为矩形面积的． 26．如图，在矩形中，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．点分别从点同时出发，当点运动到点时；两点停止运动，设运动时间为秒． (1)当为何值时，点在的垂直平分线上？ (2)连接，是否存在t的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由 (3)是否存在的值，使得的面积与五边形的面积之比等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． (4)连接将沿折叠得，是否存在某一时刻t，使点落在线段上？若存在，请求出此时t的值：若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，线段垂直平分线的性质，矩形与折叠问题，勾股定理，等角对等边等等，利用方程的思想求解是解题的关键． （1）先根据题意表示出，；由线段垂直平分线的性质得到，据此建立方程求解即可； （2）求出；根据三角形面积计算公式可得方程，解方程即可得到答案； （3）求出矩形的面积，进而得到的面积，再根据三角形面积计算公式建立方程求解即可； （4）由折叠的性质可得，则可证明，得到；，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴； ∵点在的垂直平分线上， ∴， ∴， 解得； （2）解：由（1）得， ∴； 当的面积等于时，则， ∴， 解得或， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵在矩形中，， ∴； ∵的面积与五边形的面积之比等于， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）； （4）解：由折叠的性质可得， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴， 解得． 覆盖训练14:位似作图(选考) 27．如图，在带有网格的平面直角坐标系中的位置． (1)以点O为位似中心，在y轴右侧作出的位似图形，使得放大后的与的位似比为，并写出点，，的坐标． (2)若点P在内部，且坐标为，写出按（1）变化后的对应点的坐标 ． 【答案】(1)作图见解析，；； (2) 【分析】本题考查作图-位似变换，解题的关键是掌握位似变换的性质． （1）利用位似变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可； （2）利用位似变换的性质求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求 由图可得：，，； （2）解：变化后的对应点的坐标． 故答案为：． 28．如图，平面直角坐标系中，各顶点坐标，，． (1)画以点为位似中心，在第一象限内将放大到原来的2倍，得到； (2)内有一点在中的对应点的坐标为___________ (3)___________ 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了画位似图形，位似图形的性质，熟知位似图形的性质是解题的关键． （1）把点A，点B，点C的横纵坐标分别乘以可得它们的对应点的坐标，描出，并顺次连接即可； （2）把点P的横纵坐标分别乘以即可得到的坐标； （3）根据位似图形的面积之比等于位似比的平方即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：由题意得，内有一点在中的对应点的坐标为； （3）解：∵以点为位似中心，在第一象限内将放大到原来的2倍，得到， ∴． 覆盖训练15:相似的新定义(选考) 29．定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“亲子线”． (1)如图1，的三个顶点均在正方形网格中的格点上，若四边形是以为“亲子线”的四边形，请只用无刻度的直尺，确定一点，请你在图1中找出满足条件的点，并画出这个四边形．保留画图痕迹（找出1个即可）； (2)①如图2，在四边形中，，对角线平分．请问 °？此时对角线是四边形的“亲子线”吗？请说明理由； ②若，求的值． (3)如图3，在（2）的条件下，若，在边上取一点，使，过点作交于点，得到，连接、，在绕点旋转的过程中，当所在的直线垂直于时，请你直接写出的长 ． 【答案】(1)见解析 (2)①；对角线是四边形的“亲子线”，理由见解析；② (3)或/或 【分析】本题是新定义题型，考查了几何图形的旋转变换、相似三角形的判定和性质、等腰三角形三线合一的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点、会用分类讨论的思想，同时具备一定的画图能力是解题的关键． （1）在格点中先运用勾股定理求出、、，再分情况求出或，然后根据或的长作图； （2）①先判断出，再证明即可得出结论；②根据，根据相似三角形的性质列出比例式，即可求出的值； （3）先由得出，，再分两种情况，①延长交于点，易得，再求出，再根据相似三角形的性质列比例式，即可求出；②设交于点，易得，再求出，再根据相似三角形的性质列比例式，即可求出． 【详解】（1）如图1所示，、即为所求（画出1个即可）， 由题意得：、、，， 四边形是以为“亲子线”的四边形， ①当时，或， 或， 或， 或， 只用无刻度的直尺，确定一点， 的长取整数，即； ②当时，或， 或， 或， 或， 只用无刻度的直尺，确定一点， 的长取整数，即， 故如图所示，点、即为所求（画出1个即可）； （2）①是四边形的“亲子线”，理由如下： ，对角线平分， ， ， 又， ， ， 对角线是四边形的“亲子线”， 故答案为：135； ②， ， ， ， ； （3），由（2）可知为等腰直角三角形，， ， ，， ，且， ，， 第一种情况，如图所示，延长交于点， 由题意得：， ， ， ， ， ， 又，， ， ， ， ，即， ； 第二种情况，如图所示，设交于点， 由题意得：， ， ， ， ， ， 又，， ， ， ，即， ； 故答案为：或． 30．定义：若一个四边形能被其中的一条对角线分割成两个不全等的相似三角形，则称这个四边形为“友好四边形”，这条对角线称为“友好线”． (1)如图1，是格点三角形，请在格点中找到点，使以点为顶点的四边形是被分割成的“友好四边形”．（要求画出点的两种不同位置） (2)如图2，四边形是被分割成的“友好四边形”，且，，．求的长． (3)如图3，圆内接三角形中，过点作交于点，与切线交于点， ①求证：四边形是“友好四边形”； ②若的面积为，，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 (3)①见解析；② 【分析】（1）由题意可找到点D位置； （2）由题意得出，由相似三角形的性质得出，则可得出答案； （3）①连接，并延长交于点F，连接，由相似三角形的判定证明，则可得出结论； ②过点A作，交的延长线于点M，连接，由三角形的面积求出，由①知，得出，求出，证明，由相似三角形的性质得出，求出的长，则可得出答案． 【详解】（1）解：画出点D的2个位置，如图， （2）解：∵， ∴， ∵四边形是被分割成的“友好四边形”， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）①证明：连接，并延长交于点F，连接， ∵为的切线， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是“友好四边形”； ②解：过点A作，交的延长线于点M，连接， ∵， ∴， ∴， 由①知， ∴， ∴， ∴（负值已舍去）， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积计算，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、理解“友好四边形”的定义是解题的关键． 覆盖训练16:二次函数的面积问题(选考) 31．如图1，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点E是抛物线的对称轴与直线的交点，点F是抛物线的顶点，求的长； (3)设点P是（1）中抛物线上的一个动点，是否存在满足的点P？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（请在图2中探讨） 【答案】(1) (2) (3)存在，，，， 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确地求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． （1）根据，，表示成两根式，利用待定系数法求解即可； （2）首先求出直线的解析式，进而求出点坐标，根据抛物线的解析式求出顶点坐标，两点间的距离公式求出的长即可； （3）根据，求出，进而求出点坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴的两个交点分别为，， ∴． ∴所求抛物线的解析式为． （2）解：由（1）知，抛物线的解析式为，则， 又， ∴， 设直线BC的解析式为，把代入，得， 解得，则该直线的解析式为． 故当时，，即， ∴，即． （3）解：设点，由题意，得， ∴， ∴， 时，， ∴，， 当时，， ∴，， ∴当点P的坐标分别为，，，时，． 32．如图，抛物线的顶点在轴正半轴上，且过点和点 (1)求抛物线的解析式； (2)判断的形状，并说明理由； (3)在抛物线上是否存在点（不与点重合）使的面积与的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)是直角三角形，理由见详解 (3)存在，或或 【分析】（1）先设抛物线的解析式为，再把点和点分别代入列式计算，即可作答． （2）先求出顶点的坐标为，根据得出，即可得出是直角三角形，即可作答． （3）根据平行线之间距离处处相等，以及一次函数的图象性质，平移性质，列出方程组，再进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点在轴正半轴上， ∴设抛物线的解析式为， ∵抛物线经过点和点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：是直角三角形，理由如下： 由（1）得， ∵抛物线的顶点在轴正半轴上， ∴顶点的坐标为； ∵点，点， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：存在，过程如下： 当点在的上方时， ∵的面积与的面积相等， ∴点到的距离等于点到的距离相等， ∴， ∵点，点， ∴设的解析式为， ∴， 解得， ∴的解析式为， ∵， ∴设的解析式为， ∵顶点的坐标为 ∴， ∴的解析式为， 依题意得， ∴， 整理得， 解得或， ∵顶点的坐标为； ∴把代入，得， ∴点P的坐标为； 当点在的下方时， ∵的解析式为，且记与的交点为点， ∴点的坐标为， 则， ∴， 即直线向下平移个单位到，则向下平移个单位得到的直线经过原点O， 即直线的解析式为， ∵的面积与的面积相等， ∴点到的距离等于点到的距离相等， 即与二次函数的交点分别是， 联立 解得， 点的坐标为；点的坐标为； 综上：点P的坐标为或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，勾股定理以及勾股逆定理，二次函数与面积综合，二次函数的图象性质，一次函数的几何综合，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 33．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与 轴的正半轴交于点，且． (1)求抛物线的表达式； (2)在直线下方的抛物线上是否存在点M，使得的面积为6，若存在求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． (3)抛物线的顶点为，连接．抛物线上是否存在一点，使得 ？ 若存在，求点的坐标； 若不存在，说明理由； 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式； （2）根据题意得出的面积与的面积相等，先求出直线的解析式为，进而得到经过点A且与直线平行的直线解析式为，再由平行线间间距相等且和有公共边，因此当点在直线上时，满足题意，据此联立，解方程即可得到答案； （3）分两种情况①根据题意得出的坐标，进而得出是直角三角形，再过点作垂直于，连接，且，求出，进而得出直线解析式，即可得出点坐标；②先求出直线解析式，根据只要，则有，设直线为，代入点坐标，求出直线解析式为，联立：，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 把代入中得：， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：∵， ∴点在x轴上或x轴下方的抛物线上，的面积与的面积相等， 设直线的解析式为， ， ， ∴直线的解析式为， ∴设经过A点且与直线平行的直线解析式为， 则，解得：， ∴， ∴当点在直线上时，满足题意， 联立， 解得或， ∴点的坐标为或； （3）解：存在，理由如下：①连接， ∵函数的解析式为：， ∴点的坐标为， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且， 过点作垂直于，且，连接， ∵， ， 过点作轴于点，则， ∴， 在和中， ， ∴， 则， 此时与抛物线的交点就是满足条件的点， 设直线的解析式为：， 则， 解得：． ∴直线解析式为：， ， 解得：（不合题意舍去），， ， ∴点坐标为：； ②设直线解析式为，代入坐标，得， 解得：， ∴直线为， 只要，则有， 设直线为，代入点坐标： 则， 直线解析式为， 联立：， ， 解得：（舍去 ），， 把代入解析式可得，， ， 综上所述：点坐标为：或． 覆盖训练17:一元二次方程的新定义 34．新定义：已知关于x的一元二次方程的两根之和与两根之积分别是另一个一元二次方程的两个根，则一元二次方程称为一元二次方程的“再生韦达方程”，一元二次方程称为“原生方程”．比如：一元二次方程的两根分别为，，则，，所以它的“再生韦达方程”为． (1)已知一元二次方程，若它的“再生韦达方程”二次项的系数为1，求它的“再生韦达方程”； (2)已知“再生韦达方程” ，若它的“原生方程”二次项的系数为1．求它的“原生方程”． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了新定义，一元二次方程根与系数的关系及因式分解法解一元二次方程，熟练掌握根与系数的关系是解题关键． （1）根据一元二次方程根与系数的关系得出，然后根据新定义求解即可； （2）令它的“原生方程”两根分别为，根据题意得出，或，然后求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，       所以二次项的系数为1的“再生韦达方程”为， 即； （2）解得， 令它的“原生方程”两根分别为， 则，或． 当，则所求次项的系数为1的“原生方程”为；           当，则所求次项的系数为1的“原生方程”为． 综上所述，它的“原生方程”为或． 35．定义：如果关于x的一元二次方程（a，b，c均为常数，且）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”．例：方程的根为，则方程是“邻根方程”． (1)方程是“邻根方程”吗？请说明理由； (2)若是直角三角形，斜边的长为，的两边，的长是一个“邻根方程”的两个实数根，求的面积． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)1 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、勾股定理、二次根式的乘法等知识，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键． （1）先利用因式分解法解方程可得，再根据“邻根方程”的定义即可得； （2）设，，利用勾股定理建立方程，解方程可得的值，再利用三角形的面积公式求解即可得． 【详解】（1）解：方程是“邻根方程”，理由如下： ， 因式分解，得， 解得， 所以， 所以方程是“邻根方程”． （2）解：∵的两直角边，的长是一个“邻根方程”的两个实数根， ∴可设，， ∵是直角三角形，斜边的长为， ∴，即， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴直角边，， ∴的面积为． 36．定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的衍生点． (1)若方程为，求出该方程的衍生点M的坐标； (2)若关于x的一元二次方程为的衍生点为M，且点M在直线上，求m的值； (3)是否存在b，c，使得不论为何值，关于x的方程的衍生点M始终在直线的图像上？若有，请求出b，c的值；若没有，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)有，， 【分析】本题考查根与系数的关系、因式分解法解一元二次方程、一次函数图像上点的坐标特征，分类讨论思想． （1）解方程，根据 判断得解； （2）用因式分解法解方程，可得，根据做分类讨论，分别计算即可判断得解； （3）依据题意，衍生点与的取值无关，直线过定点，故方程的衍生点M为，根据，由根与系数的关系求解． 【详解】（1）解：解方程得， ， ， ， ， 该方程的衍生点M的坐标为； （2）方程为， ， ，或，， ①当，即时， 衍生点M的坐标为． ∵点M在直线上， 代入得， ∴，符合题意； ②当，即时， 衍生点M的坐标为， ∵点M在直线上， 代入得， ，与矛盾，故舍去； 综上，； （3）存在b，c满足条件，理由如下： ， 直线经过定点， ∴方程的衍生点M为， 即，， ，． 覆盖训练18:无刻度尺作图 37．如图为一个含角的直角三角形及其外接圆，点在边上且为的角平分线，请用无刻度直尺按下列要求作图，不写作法，保留作图痕迹． (1)在图1中，以点为顶点作一锐角，使之与互余； (2)在图2中，过点作线段的中点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）延长交圆于点E，连接即可求解； （2）延长，交于点F，连接交于点O即为所求． 【详解】（1）如图所示，即为与互余的角． ∵ ∴是圆的直径 ∴ ∵ ∴ ∵为的角平分线 ∴ ∴ ∴ ∴即为与互余的角； （2）如图所示，点O即为所求． ∵ ∴ ∴点D在线段的垂直平分线上 ∵ ∴是等边三角形 ∴ ∴点F在线段的垂直平分线上 ∴垂直平分 ∴，即点O是中点． 【点睛】此题考查了无刻度直尺作图，圆中所对的弦是直径，等边三角形的性质和判定，垂直平分线的判定，三角形内角和定理以及等角对等边等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 38．图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点，、均是格点，外接圆的圆心记为点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求作图． (1)在图①中，标出点； (2)在图②中，过点作的切线，点为格点； (3)在图②中，过点作的另一条切线，点为切点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】此题考查了切线的判定、圆周角定理等知识，熟练掌握网格的特点是解题的关键． （1）根据的圆周角所对的弦是直径即可解答； （2）根据切线的判定即可作图； （3）根据切线的判定即可作图． 【详解】（1）解：如图，点O即为所求， （2）如图，即为所求， 或 （3）如图，即为所求， 39．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点、、均在格点上．内接于，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图． (1)在图①中，标出的外接圆圆心； (2)在图②中，作，使得与互补，且点为格点； (3)在图③中，过点作的切线，点为切点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了格点作图，确定圆心，圆内接四边形对角互补，切线的判定，勾股定理及其逆定理的应用，数形结合是解题的关键； （1）根据网格的特点找到的垂直平分线的交点，即为所求 （2）根据，找到格点，且在的右侧，即可求解． （3）根据勾股定理分别求得，根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，即，即可得出是的切线． 【详解】（1）解：如图，点，即为所求 （2）解：如图，点即为所求（答案不唯一） （3）解：如图，即为所求 ∵，， ∴ ∴是直角三角形，且，即， 又是半径， ∴是的切线，点为切点． 覆盖训练19:动圆相切求t 40．在矩形中，，，点从点出发，沿边向点以每秒的速度移动，同时点从点出发沿边向点以每秒的速度移动、两点在分别到达、两点后就停止移动，设两点移动的时间为秒（），回答下列问题： (1)如图1，当为几秒时，的面积等于？ (2)如图2，当秒时，试判断的形状，并说明理由； (3)如图3，以为圆心，为半径作．在运动过程中，是否存在这样的值，使正好与四边形的一边（或边所在的直线）相切？若存在，求出值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2)为直角三角形，理由见详解 (3)或 【分析】本题为几何动点问题，考查了勾股定理及其逆定理，直线与圆相切等知识，综合性比较强，根据题意用含t的式子表示出各线段的长，构造方程是解题关键﹒ （1）根据题意得，，根据三角形面积公式列方程，解方程即可求解； （2）当秒时分别求出，，，，根据勾股定理求出，，，即可得到， 从而证明为直角三角形； （3）由题意可知与、不相切；当时，点P与点A重合时，点B与点Q重合，与相切；当正好与四边形的边相切，由勾股定理得方程，解方程，舍去不合题意解，问题得解﹒ 【详解】（1）解：当运动时间为t秒时，， ∴， ∵的面积等于， ∴， 解得，， 答：当t为2秒或4秒时，的面积等于； （2）解：为直角三角形，理由如下： ∵当秒时，，，，， 在中，由勾股定理得，， 同理，在和中， 由勾股定理得， ， ∵， ∴ 所以，为直角三角形； （3）解：由题意可知与、不相切； ①如图1，当时，点P与点A重合时，点B与点Q重合，与相切； ②当正好与四边形的边相切时，如图2所示， 由题意可得 在中，由勾股定理得，， 即， 解得，（舍去）﹒ 综上，当或时，与四边形的一边相切﹒ 41．如图①，矩形与以为直径的半圆在直线的上方，线段与点、都在直线上，且，，．点B以1个单位/秒的速度从点E处出发，沿射线方向运动，矩形随之运动，运动时间为t秒． (1)如图②，当时，求半圆O在矩形内的弧的度数； (2)在点B运动的过程中，当都与半圆O相交时，设这两个交点为G、H．连接，若为直角，求此时t的值． 【答案】(1) (2)8或9 【分析】本题考查了求弧长，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，解一元二次方程，熟练掌握弧长公式以及勾股定理是解题的关键． （1）设与交于点，连接，当时，，证明是等边三角形，即可求解； （2）连接，，证明，在中，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：设与交于点，连接，    当时，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在矩形中，， ∴， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴半圆O在矩形内的弧的度数为； （2）连接，，    ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：，， 即的值为8或9． 42．如图，在矩形中,，点P从点A出发沿以的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C移动．设运动时间为t秒． (1)当时,的面积为 ； (2)在运动过程中的面积能否为？如果能，求出t的值，若不能，请说明理由； (3)运动过程中，当A、P、Q、D四点恰好在同一个圆上时，求t的值； 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 (3)6或 【分析】本题考查了矩形的性质、三角形面积的计算、一元二次方程的判别式及应用、勾股定理与圆的性质（直径所对圆周角为直角），解题的关键是根据运动时间表示出各线段长度，再结合相关几何性质与代数知识建立关系式求解． （1）先根据运动速度和时间，计算出、，进而求出、；再分别计算矩形的面积，以及、、的面积；最后利用“”求出的面积． （2）先根据运动时间表示出各相关线段长度，进而列出面积为时的方程；整理方程得，计算判别式；根据判别式小于可知方程无实数根，从而判断的面积不能为． （3）由可知、、三点在以为直径的圆上，若、、、四点共圆，则；根据勾股定理分别表示出、、；利用时建立方程，求解方程得，． 【详解】（1）解：由题意得， ∴，， ∴，，， ∴（）； （2）解：在运动过程中的面积不能为，理由如下： 根据题意得， 整理得， ∵， ∴方程无实数根， ∴的面积不可能为， （3）解：∵， ∴A、P、D三点在以为直径的圆上， 若点Q也在圆上，则， ∵，，， 当， ∴， 解得，， ∴或时A、P、Q、D四点恰好在同一个圆上． 覆盖训练20:取值范围问题 43．已知：和分别是⊙上的两条劣弧，且⊙的半径为5，，，和都可以在⊙上运动，且和没有公共点，连接，，，且，交于点． (1)如图1，若经过圆心． ①求的长； ②求的度数； (2)如图2，在和运动的过程中，的度数是否发生变化？请说明理由； (3)如图3，连接，在和运动的过程中，四边形的面积也发生变化，记四边形的面积为，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)①8；② (2)不变，见解析 (3) 【分析】（1）①根据勾股定理可得答案； ②根据“弧，弦，圆心角的关系”得，然后根据得出答案； （2）连接，并延长交于点F，连接，根据勾股定理求出， 可得，进而得，，然后根据可得答案； （3）作，根据垂径定理得，再根据勾股定理得，然后根据可得部分取值范围，接下来根据当点H，O，G三点共线时最大，结合面积公式得出答案． 【详解】（1）解：①根据题意可知， ∵是的直径，且， ∴， 根据勾股定理，得； ②∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：不变，理由如下： 如图所示，连接，并延长交于点F，连接， 根据勾股定理，得， ∴， ∴， ∴， 即． ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：过点O作，交于点G，H， ∴． 根据勾股定理，得， ∴， ∴， 即． 当点H，O，G三点共线时最大， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了“弧，弦，圆心角的关系”，圆周角定理的推论，勾股定理，垂径定理，准确作出辅助线是解题的关键． 44．综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． 已知正方形纸片，，是边上一点，将正方形沿着直线折叠，点落在点处，把纸片展平，射线交射线于点． (1)根据以上操作，图1中与的数量关系是：________； (2)如图2，若点是的中点，延长交于点． ①猜想与的数量关系为________，请证明你的猜想； ②求线段的长度； (3)如图3，，交于点，则面积的取值范围是________． 【答案】(1) (2)①，见解析；② (3) 【分析】（1）可证明，从而得出，进而得出； （2）①连接，可证明，从而； ②设，则，在中，根据勾股定理可得，进一步求解即可得出结果． （3）取的中点，由对折可得：，，证明，可得在以为圆心，为直径的圆上，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：设，交于点，如图1， 由轴对称性质可得，， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， （2）解：①，理由如下： 连接，如图2， 由折叠可知，，， 点是的中点， ， ， ，， ， ， ②设，则， 在中，，，， 则由勾股定理可得， 解得， ． （3）解：取的中点， 由对折可得：，， ∴， ∴， ∴在以为圆心，为直径的圆上， 当重合时， ， 如图，当重合时，则重合， 此时的面积最小， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，正方形性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理的应用等知识，熟练掌握相关几何性质，数形结合是解决问题的关键． 45．借助运动的视角看图形变化是非常重要的数学眼光…… 已知，点，在上，，点在上，连接，，作的外接圆． (1)当时， （I）如图①，若是的直径，则的半径为________； （II）如图②，若，求的半径． (2)当时，如图③，若与相切于点，用直尺和圆规作出点的位置．（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (3)设，对于每一个的值，的半径随着点的位置的变化而变化，直接写出的半径的最小值及对应的的取值范围（可用含的式子表示）． 【答案】(1)（I）；（II） (2)见解析 (3)当，的半径最小值为5；当，的半径最小值为 【分析】本题主要考查勾股定理，切线的性质，外接圆的性质，掌握勾股定理是解答本题的关键． （1）（I）根据题意求得，由勾股定理求得，即可解答; （Ⅱ）过点O、P作的垂线，垂足分别为G、F，过点O作，垂足为H，连接，根据题意求出，设，则，由勾股定理得，求出即可解答； （2）证明是等腰直角三角形，作出顶角顶点P即可 （3）以为直径的圆与相切时，，当时，；当时，设，则，，利用勾股定理即可解答. 【详解】（1）解：（Ⅰ）∵是的直径， ∴，即， ∵， ∴， ∵， 由勾股定理得， ∵是的直径， ∴的半径， 故答案为：． （Ⅱ）如图，过点O、P作的垂线，垂足分别为G、F，过点O作，垂足为H，连接， ∵，，， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴． 设，则， 在和中，由勾股定理得，， ∴， 即， 解得， ∴， 即． （2）解：如图，作的垂直平分线交于点P，则点P即为所求； （3）解：以为直径的圆与相切时，， 1°当时，； 2°当时， 设，则，， 在中，由勾股定理得， 即， 解得． 综上，当时，；当的半径最小值为． 覆盖训练21:二次函数的平移问题(选考) 46．抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C． (1)如图1，若． ①求抛物线的解析式； ②点P为抛物线上一点，若点B、点C到直线距离相等，求P点横坐标； (2)如图2，将抛物线平移得到抛物线，的顶点为原点．直线（s，t为常数，）交抛物线于点P、点Q．已知点，交抛物线于点M，交抛物线于点N，连接．求证：直线过定点，并求出这个定点的坐标． 【答案】(1)①；②P点横坐标为6或； (2)证明见解析，定点的坐标． 【分析】（1）①用待定系数法求解即可； ②用待定系数法求出直线的解析式为，根据点B、点C到直线距离相等，则或经过线段的中点，分别用待定系数法求出直线的解析式，然后联立求点P坐标． （2）根据抛物线的平移求得抛物线的解析式为，联立，，则，所以，，设直线的解析式为，则，所以，所以；设直线的解析式为，则，所以，所以；所以，则，所以；设直线的解析式为，则，所以，，所以，则，当时，，所以直线过定点． 【详解】（1）解：①∵抛物线与x轴交于、两点， ∴设抛物线的解析式为， 把代入，得 ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； ②设直线的解析式为， 把，代入，得 ，解得：， ∴直线的解析式为， ∵点B、点C到直线距离相等， ∴或经过线段的中点， I．当时， 设直线的解析式为， 把代入，得 ，解得：， ∴直线的解析式为， 联立，，解得：，， ∴． ∴P点横坐标为6； II．当经过线段的中点时， ∵，， ∴的中点坐标为：， 设直线的解析式为，则 ， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：，， ∴P点横坐标为． 综上可得，P点横坐标为6或； （2）证明：∵将抛物线：平移得到抛物线，的顶点为原点． ∴抛物线的解析式为， 联立，，则， ∵点P、Q是直线与抛物线的交点， ∴，， ∵ ∴设直线的解析式为， 联立，，则， ∵M、P是直线与抛物线的交点， ∴， ∴， 设直线的解析式为 联立，，则， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴ 设直线的解析式为， 联立，得， ∴，， ∴ ∴， 当时， ， ∴直线过定点． 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数与二次函数解析式，抛物线平移，抛物线与一次函数交点问题，根与系数关系，综合性较强，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式、二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 47．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，其顶点为，将抛物线平移，得到抛物线，且抛物线的顶点在线段的延长线上（点不与点重合）．设抛物线的对称轴为直线，抛物线与的交点为，点的横坐标为． (1)求点的纵坐标（用含的代数式表示）； (2)求证：； (3)过点作轴，交抛物线于另一点，交抛物线于另一点，若，求的值； (4)在（3）的条件下，抛物线与抛物线组成的图象，当时，图象的最高点的纵坐标为，最低点的纵坐标为，求的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3) (4) 【分析】（1）先求出，，待定系数法求出直线的解析式，根据抛物线的顶点在直线上，对称轴为直线，得出点的横坐标为，当时，求出，即可得点的纵坐标； （2）由（1）得，根据抛物线是由抛物线平移得到的，得出．令，则，即可证明； （3）如图，根据抛物线的对称轴为直线，抛物线的对称轴为直线，过点，且轴，点的横坐标为，由抛物线的对称性得，，，根据，列出方程求解即可； （4）由（3）得，则，，求出的横坐标，当时，代入，从而得．根据当时，图象的最低点的纵坐标为，求出，根据点关于直线对称的点的坐标为，得出，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点， ∴当时，， ∴， ∵抛物线的顶点为， ∴， 设直线的解析式为，代入， ∴， ∴， ∴直线的解析式为． ∵抛物线的顶点在直线上，对称轴为直线， ∴点的横坐标为， ∴当时，， ∴点的纵坐标为； （2）解：由（1）得， ∵抛物线是由抛物线平移得到的， ∴． 令，则， 整理得，， ∵点不与点重合， ∴， ∴． 即； （3）解：如图，∵抛物线的对称轴为直线，抛物线的对称轴为直线， ∵过点，且轴，点的横坐标为， 由抛物线的对称性得，，， ∵， ∴，解得； （4）解：由（3）得， ∴， ∴， ∵的横坐标， 当时，， ∴． ∵当时，图象的最低点的纵坐标为， ∴， ∵点关于直线对称的点的坐标为，图象的最高点的纵坐标为， ∴． 综上所述，的取值范围为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，二次函数的平移，二次函数最值，抛物线的对称性，综合性强，难度大，熟悉以上内容并结合数形结合思想解答是解题关键． 48．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，交轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴交于点，在轴上取一点，使得，求的最大值及此时点坐标； (3)将原抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，过点作直线垂直于交轴于点，交新抛物线于点，请直接写出点的横坐标． 【答案】(1)； (2)最大值为：，； (3)． 【分析】本题主要考查了待定系数法解二次函数和一次函数解析式、二次函数与一次函数综合应用、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是综合运用相关知识，并运用数形结合的思想分析问题． （）由待定系数法即可求解； （）由，得到，即可求解； （）由平移的性质得到新抛物线的表达式，由直线且过点，求出直线的表达式，进而求解． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为：， 则， 则， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）解：由抛物线的表达式知，点， 设直线的表达式为， ∴，解得 ∴直线的表达式为， 设点，则， 则， ∵， ， ∴， ∵， ∴有最大值， 当时，的最大值为：，此时点； （3）解：如图， 由， 将原抛物线沿射线方向平移个单位长度相当于将抛物线向右平移个单位向下平移个单位， 则， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴， 设直线的解析式为，将点，代入得 ，解得：， ∴直线的解析式为， 联立直线的解析式与抛物线，， ∴， 解得：， 即点的横坐标为． 学科网（北京）股份有限公司 $