期中考前满分冲刺之基础常考题-2025-2026学年苏科版九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练

期中考前满分冲刺之基础常考题 【专题过关】 类型一、点、直线与圆的位置关系 1．已知的半径为，点P到圆心O的距离为，则点P在（    ） A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了点与圆的位置关系．若圆的半径为r，点P到圆心的距离为d，则点P在圆外；点P在圆上；点P在圆内．根据点与圆的位置关系进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， ∴点P在外． 故选：C． 2．已知的半径为，点到圆心的距离为，那么点与的位置关系是（    ） A．点在内 B．点在外 C．点在上 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，已知圆的半径为，点到圆心的距离是，①当时，点在内，②当时，点在上，③当时，点在外． 据此即可求解． 【详解】解：∵的半径为，点到圆心的距离为，， ∴点在外， 故选：B． 3．已知的半径为，圆心O到直线l的距离为3cm，直线l与的位置关系是（      ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查直线与圆的位置关系，解题的关键是掌握当，则直线与圆相离，当，则直线与圆相切，当，则直线与圆相交．利用直线与圆的位置关系即可求解． 【详解】解：的半径r为，圆心O到直线l的距离d为， ， 直线l与的位置关系是相离， 故选：A． 4．已知的半径为8，圆心到直线的距离是5，直线与位置关系是 ． 【答案】相交 【分析】此题考查的是直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离d与半径r的大小关系解答．若，则直线与圆相交；若，则直线与圆相切；若，则直线与圆相离． 【详解】解：∵圆心O到直线l的距离是5，小于的半径为8， ∴直线l与相交． 故答案为：相交． 5．若的直径为，点到圆心的距离为，那么点与的位置关系是 ． 【答案】在圆上 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据，点在圆上即可判断求解，掌握点与圆的位置关系的判定方法是解题的关键． 【详解】解：∵的直径为， ∴的半径为， ∵点到圆心的距离为，即， ∴点在圆上， 故答案为：在圆上． 6．矩形中，，以点为圆心画，使点在内，点在外，则的半径的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，矩形的性质等知识，关键是掌握点在圆内，到圆心的距离小于半径；点在圆外，到圆心的距离大于半径． 先根据勾股定理求出，再根据点与圆的位置关系求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴． ∵点在内，点在外， ∴． 故答案为：． 类型二、一元二次方程的定义与根 1．方程中二次项系数、一次项系数、常数项分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，即．其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 根据一元二次方程的一般形式求解即可． 【详解】解：方程中二次项系数、一次项系数、常数项分别是，，． 故选B． 2．若关于x的方程的一个根为1，则a的值为（    ）． A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解． 将代入计算即可． 【详解】解：∵关于x的方程的一个根为1， ∴， 解得：． 故选：A． 3．有如下方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中一元二次方程共有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义， 根据形如是一元二次方程的一般形式解答即可 【详解】解：当时，不是一元二次方程，所以不符合题意； 因为不是整式方程，所以不符合题意； 因为是二元方程，所以不符合题意； 因为整理得是一元一次方程，所以不符合题意. 是一元二次方程，一共有2个. 故选：B 4．若m是方程的根，则的值为 ． 【答案】2025 【分析】本题考查了一元二次方程的根，求代数式的值；运用整体代入法求值是关键．由题意可得，再把所求代数式变形后整体代入即可． 【详解】解：∵m是方程的根， ∴ 即； ∴， 故答案为：2025． 5．已知关于x的一元二次方程的一个根为2，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一元二次方程的解． 将代入计算即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根为2， ∴， 解得：． 故答案为：． 6．若是一元二次方程的解，则m的值 . 【答案】4 【分析】此题考查了一元二次方程的解，解题的关键是熟记把方程的解代入原方程，等式左右两边相等． 把代入方程即可求解． 【详解】解：将代入得，， 解得， 故答案为：． 类型三、配方法变形 1．方程经过配方后，其结果正确的是（ 　  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程． 先移项，再配方即可． 【详解】， ， ， ． 故选：A． 2．用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．先将常数项移到等号右边，再在两边同时加上一次项系数一半的平方，最后根据完全平方公式即可完成配方，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， 即， 故选：D． 3．用配方法解，配方正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．解题的关键在于明确将一元二次方程配成的形式． 移项得到，方程两边同时加上一次项系数一半的平方得到，然后把方程左边写成完全平方的形式即可． 【详解】解： ∴ ∴ 故选：B． 4．将一元二次方程化成的形式，则方程可变形为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程-配方法，熟知配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 利用配方法对所给一元二次方程进行变形即可． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 5．用配方法解方程时，配方后得到，则 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法的步骤是解题的关键． 先对配方，然后与对比求得a、b的值，最后代入求值即可． 【详解】解：， ， ， ， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 6．若一元二次方程可以配方成的形式，则代数式的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，将一元二次方程配方成的形式，求出p，q的值，从而可求的值． 【详解】解： ， ∴， ∴， 故答案为：5． 类型四、比例与黄金分割(选考) 1．若x是a，b的比例中项，则下列式子中不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了比例中项的定义，根据比例中项的定义可得，据此逐一判断即可． 【详解】解：∵x是a，b的比例中项， ∴，，， ∵不知道x的符号，被开方数要为非负数， ∴不一定成立， 故选：D． 2．已知是线段的黄金分割点，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了黄金分割，解题关键在于掌握黄金分割的性质：较长线段是较短线段与原线段的比例中项．根据黄金分割的定义可得，求出即可． 【详解】解：∵点是线段的黄金分割点，， ∴，即， ∴， 故选：B． 3．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了比例的基本性质，分式的化简求值，正确理解比例的基本性质是解题的关键．根据比例的基本性质求得，代入即可求解． 【详解】解：， , ， ， 故选： ． 4．线段是线段，的比例中项，已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例线段，解题的关键是理解比例中项的含义．根据比例中项的定义可得，从而求得． 【详解】解：∵线段是线段，的比例中项，，， ∴， ∴或（舍去）， 故答案为：． 5．如图，在小提琴的设计中蕴含着数学知识，点是线段的黄金分割点，若小提琴的总长度为 ，则琴身的长为 ．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割点的定义和黄金比值是解题的关键．依据黄金分割的定义进行计算即可． 【详解】解：∵，，各部分长度的比满足，， ∴， 故答案为：． 6．定义：顶角为的等腰三角形叫做“黄金三角形”，它的一个底角的平分线与腰的交点即为这条腰的黄金分割点．如图，在中，，，，点M是边上一点，若是“黄金三角形”，则的长为 ． 【答案】1或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，直角三角形的性质，黄金分割；可求出，当为的顶角时，取的中点D，连接，则，可证明是“黄金三角形”，再证明得到，进一步证明，可得；当点M与点D重合时，也是“黄金三角形”，此时． 【详解】解：∵在中，，， ∴； 如图所示，当为的顶角时，取的中点D，连接， ∴； ∵在中，， ∴， ∴，， ∴，， ∴是“黄金三角形”； ∵， ∴点M是线段的黄金分割点， ∴， ∴， ∵， ∴； 当点M与点D重合时，也是“黄金三角形”， ∴此时； 综上所述，的长为1或， 故答案为：1或． 类型五、增长率问题 1．在年赣超联赛中，吉安队主场第二场比赛到场观赛人数为人，第四场比赛到场观赛人数为人，设吉安队主场观赛人数的平均增长率为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查增长率，解题的关键是根据“第二场比赛到场观赛人数×（1＋增长率）2＝第四场比赛到场观赛人数”列出方程即可． 【详解】解：设吉安队主场观赛人数的平均增长率为， 依题意，得：． 故选：A． 2．“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高，某市参加健身运动的人数逐年增多，从2022年的16万人增加到2024年的25万人．设该市参加健身运动的人数的年平均增长率为x，则x满足的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列方程即可． 【详解】解：设该市参加健身运动的人数的年平均增长率为x， 则x满足的方程是， 故选：B． 3．我国新能源汽车产业为应对全球气候变化、推动低碳发展做出了巨大贡献．根据中国汽车工业协会发布的数据，2024年5月新能源汽车销量约为95.5万辆，2024年7月新能源汽车销量约为99.1万辆，设新能源汽车销量的月平均增长率为，则满足的方程是 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据平均增长率的等量关系，列出方程即可． 【详解】解：设新能源汽车销量的月平均增长率为，由题意，得； 故答案为： 4．某景区六月份游客接待量为640万人次，八月份游客接待量为810万人次，设游客接待量的月平均增长率是x，根据题意可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了与增长率有关的一元二次方程的应用，理解题意，找到等量关系并正确列出方程是关键；根据等量关系：六月份游客接待量增长率八月份游客接待量，列出方程即可． 【详解】解：由题意得：； 故答案为：． 5．某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十八号”模型．今年9月份的销售量是500件，11月份的销售量是720件，若该网店9月份到11月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率． 【答案】 【分析】设月平均增长率为x，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：设月平均增长率为x，根据题意得： ， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：月平均增长率为． 6．某商场在国庆期间将单价200元的某种商品经过两次降价后，以128元的价格出售． (1)求平均每次降价的百分率； (2)售货员向经理建议：先公布降价，再下调，这样更有吸引力，请问售货员的方案对顾客是否更优惠？为什么？ 【答案】(1) (2)售货员的方案对顾客更优惠，因为按此方案降价后价格为元，低于元 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程． （1）设该种商品每次降价的百分率为x，根据该商品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论； （2）根据题意直接计算可得出答案． 【详解】（1）解：设平均每次降价的百分率是， 根据题意列方程得，， 解得：（不合题意，舍去）； 答：平均每次下调的百分率为． （2）售货员的方案对顾客更优惠； ∴售货员的方案对顾客更优惠． 类型六、统计 1．小丽同学某周每天的睡眠时间（单位：h）如下：8，9，7，9，7，8，8．小丽该周平均每天的睡眠时间为（    ） A．7h B．7.5h C．8h D．9h 【答案】C 【分析】此题考查了算术平均数，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数． 根据算术平均数的定义列式计算即可． 【详解】解：小丽该周平均每天的睡眠时间为：， 故选：C． 2．某车间准备采取每月任务定额，超产有奖的措施来提高工人的工作效率，为制定一个恰当的生产定额，从该车间200名工人中随机抽取20人统计某月产量如下： 生产零件数 260 270 280 290 300 310 350 520 人数 1 1 5 4 3 4 1 1 若你做为管理者，将每人每月合适的生产定额定为（    ） A．280件 B．290件 C．305件 D．310件 【答案】B 【分析】本题考查了求中位数和利用中位数作决策，熟练掌握中位数的意义是解题的关键． 根据当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其集中趋势，据此找出这组数据的中位数即可． 【详解】解：每人每月合适的生产定额应为这组数据的中位数， 一共20个数据，表格里从左到右即从小到大排列，中位数为第10和第11个数据的平均数， 由表格可知，第10个数据为290件，第11个数据为290件， ∴中位数为290件． 故选：B ． 3．某校在12月9日举办了以＂不忘国耻振兴中华＂为主题的合唱比赛，每支参赛队伍的最终成绩按歌曲内容占，演唱技巧占，精神面貌占进行考评．八一班参赛歌曲内容获得90分，演唱技巧获得94分，精神面貌获得95分，则八一班的最终成绩是 分． 【答案】93 【分析】本题考查加权平均数，熟练掌握是解决本题的关键． 根据加权平均数的公式求解即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：93． 4．某校规定学生学期的体育成绩由三部分组成：平时体育活动表现占成绩的，体育理论测试占，体育技能测试占．小颖的上述三项成绩依次是92分、80分、84分，则小颖的体育成绩是 分． 【答案】84.4 【分析】本题考查求加权平均数，根据加权平均数的计算方法，列式计算即可． 【详解】解：（分）； 故答案为：84.4 5．A、B、C三名大学生竞选系学生会主席，他们的笔试和口试成绩（单位：分）分别用了两种方式进行了统计，如表一和图一所示： A B C 笔试 85 90 口试 90 80 85 (1)请将表一和图一空缺部分补充完整． (2)竞选的最后由本系的300名学生进行投票，三位候选人的得票如图二（没有弃权，每名学生只能推荐一人），请计算每人的得票． (3)若每票计1分，系里将笔试、口试、得票三项测试得分按4：3：3比例确定个人最后成绩，请计算三个候选人的最后成绩，并判断谁能当选． 【答案】(1)见解析 (2)A的得票数：105；B的得票数：120；C的得票数：75； (3)A的最终成绩：；B的最终成绩：98；C的最终成绩：84；B学生成绩最高，能当选学生会主席． 【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． （1）结合表一和图一，即可解答； （2）列式计算即可； （3）分别通过加权平均数的计算方法计算A的成绩，B的成绩，C的成绩，综合三人的得分，则B应当选． 【详解】（1）解：由图及表可知B的笔试成绩为95分，C的笔试成绩为90分，补充表一和图一如下 A B C 笔试 85 95 90 口试 90 80 85 （2）A的得票数：， B的得票数：， C的得票数：； （3）A的最终成绩：， B的最终成绩：， C的最终成绩：， 故B学生成绩最高，能当选学生会主席． 6．第十届中国徽菜产业博览会暨文化旅游美食节于2023年12月18日－19日举行．徽菜是中国八大菜系之一，为宣传徽菜文化，某社区举办“徽菜烹饪大赛”（ 满分100分），将参与比赛的选手分为男子组、女子组，每组20人．将比赛得分分为“A．，B．，C．，D．”四组，并整理、绘制成如下图表：    平均数 中位数 方差 男子组 91.15 a 13.93 女子组 90.9 92.5 18.79 已知男子组在C．范围内的选手的分数分别为90，90，91，92，92，93，94，94．根据以上信息，回答下列问题： (1)男子组选手得分在平均分以上的有 人，补全频数分布直方图； (2)佳佳爸爸和淇淇妈妈都参与了比赛，且二人的成绩均为91分，则在各自所在组内，排名更靠前的是 （填“佳佳爸爸”或“淇淇妈妈”）； (3)若规定90分及以上为优秀，请你从优秀率、平均分两方面比较哪组选手总体得分情况更好． 【答案】(1)9，补全图形见解析 (2)佳佳爸爸 (3)见解析 【分析】本题考查了方差，中位数以及平均数，掌握中位数以及平均数的定义和方差的意义是解题的关键． （1）根据题意求出B组人数即可解决问题； （2）运用中位数求解即可； （3）从优秀率、平均分两方面比较可得结论． 【详解】（1）解：B组人数为：（人）； 男子组选手得分在平均分以上的有（人）， 补全频数分布直方图如下：    故答案为：9； （2）解：佳佳爸爸 根据20名选手中位数是位于10名和11名选手成绩的平均数，则（分）， ，佳佳爸爸的得分高于男子组中位数，淇淇妈妈的得分低于女子组中位数，佳佳爸爸排名更靠前． 故答案为：佳佳爸爸； （3）解：男子组选手的优秀率为， 女子组选手的优秀率为． 从优秀率来看，女子组选手得分情况更好． 从平均分来看，男子组平均分高于女子组平均分，故男子组选手得分情况更好． 类型七、数据分析 1．一名射击运动员连续射靶8次，命中的环数如下：8，9，10，9，7，8，10，8．这名运动员射击环数的众数与中位数分别是（   ） A．9环与8环 B．8环与8.5环 C．8.5环与9环 D．8环与8环 【答案】B 【分析】本题考查众数和中位数，根据众数是一组数据中出现次数最多的数据，中位数是将数据排序后位于中间的一位数据或中间两位的平均数，进行求解即可． 【详解】解：出现次数最多的数据为8，排序后处于中间的位2个数据为8和9， 故众数为8环，中位数为环； 故选B． 2．九年级甲、乙两班学生在同一次数学测试中，班级平均分和方差如下：，；，，则成绩较为稳定的班级是（   ） A．甲班 B．乙班 C．两班成绩一样稳定 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查方差的意义，方差越小，波动越小，越稳定．根据方差的意义判断． 【详解】解：∵， 故乙班成绩更稳定， 故选：B． 3．为迎接五月份全县中考体育测试，小强每天坚持引体向上锻炼，他记录了某周每天做引体向上的个数，如下表： 星期 日 一 二 三 四 五 六 个数 11 12 13 12 其中有三天的个数被墨汁覆盖了，但小强已经得出这组数据的众数是13，平均数是12，那么这组数据的方差是 ． 【答案】 【分析】本题围绕数据的统计量计算展开，掌握利用众数、平均数的定义确定数据，再用方差公式计算方差是解题的关键． 先根据众数和平均数的定义，确定被墨汁覆盖三天的数据，再利用方差公式计算方差． 【详解】解：这组数据的众数是13， 13出现的次数最多，已知现有数据中13出现1次，所以被墨汁覆盖的三天中至少有两天是13， 平均数是12，设被墨汁覆盖的三天数据为， ，即，可得， 众数是13， 中有两个13，一个10， 则这组数据为， 根据方差公式，其中， 则， ， ． 故答案为：． 4．为了了解某班七年级男生体能情况，随机抽取7名男生，进行引体向上测试，测试成绩（单位：个，且均为整数）按从小到大排序为：5，5，6，m，8，9，10，若这组数据的平均数小于这组数据的中位数，则这组数据的中位数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了中位数和平均数的概念，熟练掌握中位数的确定方法以及平均数的计算是解题的关键．先确定中位数，再根据平均数小于中位数列不等式求的范围，结合的取值确定中位数． 【详解】解：这组数据有个，按从小到大排列后，中位数是第个数，即 平均数为 因为平均数小于中位数，所以， ， ， ， 又因为数据是按从小到大排列的， 所以， 所以，此时中位数为 故答案为： 5．外线投篮是篮球队常规训练的重要项目之一，下列图表中的数据是甲、乙、丙三名运动员每人10次投篮测试的成绩．测试规则为投进篮筐一个球记为1分． 甲运动员测试成绩统计表 测试序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 成绩/分 7 6 8 7 7 5 8 7 8 7 (1)乙运动员测试成绩的众数为_______分． (2)在甲、乙、丙三位运动员中选择一位投篮成绩优秀且较为稳定的选手作为中锋，你认为选谁更合适？为什么？ 【答案】(1)7 (2)选乙运动员更合适，理由见解析 【分析】本题考查了众数的计算以及平均数和方差的计算，熟练掌握众数的定义，中位数、平均数和方差的计算方法是解题的关键； （1）根据众数的定义“ 众数是统计学中表示一组数据中出现次数最多的数值”来进行判断即可； （2）通过计算三位运动员的平均成绩和方差进行比较来选出最合适的选手即可. 【详解】（1）解：（1）根据众数的定义可以知道，乙运动员测试成绩的众数为：7. （2）（2）（分）， （分）， （分）， ． ，， ∴选乙运动员更合适． 6．某市团委举办了“我的中国梦”为主题的知识竞赛，甲、乙两所学校参赛人数相等，比赛结束后，发现学生成绩分别为70分，80分，90分，100分，并根据统计数据绘制了如下不完整的统计图表； 乙校成绩统计表 分数（分） 人数（人） 70 7 80 a 90 1 100 8 (1)在图①中，“80分”所在扇形的圆心角度数为 ； (2)请你将图②补充完整； (3)直接写出 ，乙校成绩的中位数 (4)经计算知，，请你根据这两个数据，对甲、乙两校成绩作出合理评价． 【答案】(1) (2)见解析 (3)80 (4)甲校20名同学的成绩比较整齐． 【分析】本题主要考查的是统计图和统计表的应用、中位数、方差等知识点，熟练掌握方差的意义以及从统计图上获取所需信息是解题的关键． （1）根据统计图可知甲校70分的有6人以及其所占的百分比，从而可求得总人数，然后可求得成绩为80分的同学所占的百分比，然后乘以即可求得圆心角的度数； （2）用总人数减去成绩为70分、80分、90分的人数即可求得成绩为100分的人数，然后补全统计图； （3）先求出乙校成绩为80分的人数，然后根据中位数的定义求解即可； （4）根据方差的意义即可做出评价． 【详解】（1）解：调查学生数为， “80分”所在扇形的圆心角度数为． 故答案为：． （2）解：成绩为100分的人数， 统计图补充如下： （3）解：乙校成绩为80分的人数， 则由70分有7人，80分有4人，故乙校成绩的中位数为80． 故答案为：80． （4）解：∵，， ∴， ∴甲校20名同学的成绩比较整齐． 类型八、概率 1．不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，两个小球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出的都是红球的概率是（　　）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了运用列表法与树状图法求概率，根据题意正确画出树状图是解题的关键． 先根据题意画出相应的树状图，即可确定所有等可能结果数以及满足题意的结果数，再运用概率公式求解即可． 【详解】解：树状图如下所示， 由上可得，一共有4种等可能性，其中两次摸球摸到的小球都是红球的可能性有1种， ∴两次摸出的都是红球的概率是． 故选A． 2．在一个不透明的袋子里有红球、白球共20个，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球．不断重复这一过程，小明通过多次试验发现，摸到白球的频率稳定在左右，则袋子里白球的个数估计是（     ） A．16 B．14 C．12 D．8 【答案】C 【分析】本题考查利用频率估算概率，利用概率求数量，根据摸到白球的频率稳定在左右，得到摸到白球的概率为0.6，再利用概率求数量即可． 【详解】解：由题意可知，多次试验发现，摸到白球的频率稳定在左右， 摸到白球的概率为， 袋子里白球的个数估计是个， 故选：C． 3．2025年是蛇年，现将背面完全一样，正面分别写有“巳”、“巳”、“如”、“意”的四张卡片，洗匀后背面朝上放在桌面上，同时抽取两张，则抽取的两张卡片上的文字恰好能组成“如意”的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了利用树状图或列表法求概率，根据题意，准确画出树状图或列出表格得到所有等可能结果是解题的关键． 分别记“巳”、“巳”、“如”、“意”为A，B，C，D，利用树状图的方法可得所有等可能结果；再找恰好组成“如意”字样的结果数，利用概率公式计算可得． 【详解】解：分别记“巳”、“巳”、“如”、“意”为A，B，C，D，画树状图如下： 由树状图知，共有12种等可能结果，其中恰好组成“如意”字样的结果数有2种结果， 所以抽取的两张卡片上的文字恰好组成“如意”字样的概率为：， 故答案为：． 4．2025年3月14日中国邮政发行《数学之美》特种邮票．该套邮票共4枚，面值分别为80分，1.20元，1.20元，1.50元．邮票图案名称为“圆周率”“勾股定理”“欧拉公式”“莫比乌斯带”，小华从这4枚邮票中，随机抽取2枚，恰好抽到面值相同的邮票的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查概率的应用，熟练掌握是解决本题的关键． 通过列表列举出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解． 【详解】解：设“圆周率”“勾股定理”“欧拉公式”“莫比乌斯带”分别为A、B、C、D， 列表如下： A B C D A (A,B) (A,C) (A,D) B (B,A) (B,C) (B,D) C (C,A) (C,B) (C,D) D (D,A) (D,B) (D,C) ∴共有12种可能结果，恰好抽到面值相同的邮票的有2种， ∴恰好抽到面值相同的邮票的概率为． 故答案为：． 5．在一个不透明的袋子里，装有个红球、个黑球、个白球，它们除颜色外都相同． (1)求从袋中任意摸出一个球为红球的概率． (2)现从袋中放入若干个白球，充分摇匀后，要使从袋中随机摸出一个球是白球的概率是，问应放入多少个白球？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了概率的简单应用以及分式方程： （1）从袋中任意摸出一个球有10种等可能结果，其中是红球的结果为，直接写出概率． （2）设放进去了个白球，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：从袋中任意摸出一个球有：种等可能结果， 其中是红球的结果为，所以摸出一个球为红球的概率为：． （2）解：设放进去了个白球， 根据题意：， 解得：， 所以应放入个白球． 6．为正确理解物理变化与化学变化，王老师将种生活现象分别写在表面看上去无差别的五张卡片上，并分别放入甲、乙两个口袋中（如图），甲口袋中装有，两张卡片，乙口袋中装有，，三张卡片．小明从两个口袋中分别随机取出张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽出的两张卡片均是化学变化的概率． 【答案】 【分析】本题考查了列表法求事件的概率．直接利用表格列举，根据概率公式即可求解． 【详解】解：列表如下： 乙甲 其中A衣服晾干和C冰化成水是物理变化，其余的是化学变化， 由表格知，总共有6种可能的结果，每种结果出现的可能性相同，其中抽出的两张卡片均是化学变化的结果有2种， 所以P（抽出的两张卡片均是化学变化）． 类型九、解一元二次方程 1．一元二次方程的根是(   ) A． B．， C． ， D． ， 【答案】B 【分析】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．根据已知得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可． 【详解】解：， 或， ，． 故选B． 2．判断一元二次方程的根的情况正确的是（    ） A．没有实数根 B．不确定 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】D 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据根的判别式进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：D． 3．方程的根是： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的一般方法，是解题的关键．先移项，然后直接开平方即可． 【详解】解：， 移项得：， 开平方得：． 4．已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了解一元二次方程，先把方程化为，然后通过因式分解法解方程并检验即可，掌握一元二次方程解法是解题的关键． 【详解】解：， ， 或， ∵， ∴， 故答案为：． 5．选择适当方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的一般方法是解题的关键． （1）用直接开平方法解一元二次方程即可； （2）用配方法解一元二次方程即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，． 6．解方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，灵活运用一元二次方程的解法是解题的关键． （1）运用因式分解法求解即可； （2）运用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， 或， 解得； （2）解：， ， 或， 解得 类型十、一元二次方程的根与系数 1．已知，是方程的两个实数根，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的定义，以及一元二次方程根与系数的关系，分式的求值，理解方程的根以及根与系数的关系是解答的关键．首先根据解的概念得到，变形得到，利用根与系数的关系得到，，然后代入整体求解即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，，， ∴， ∴ ∴ ． 故选：A． 2．已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（   ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】B 【分析】本题考查了根与系数的关系，熟记一元二次方程根与系数的关系是解答本题的关键． 根据一元二次方程的定义，得到，再根据根与系数的关系，得到，由此得到答案． 【详解】解：根据题意得： 是一元二次方程的实数根， ， ， 又、是一元二次方程的两个实数根， ， ， 故选：． 3．已知、是一元二次方程的两根，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的根，熟练掌握根与系数关系是解题的关键； 由根与系数的关系结合一元二次方程的根，可得出，，将其代入中，即可得出结果． 【详解】解：∵、是一元二次方程的两根， ∴，， ∴， ， ， ， 故答案为：5． 4．若、是方程的两根，则的值是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，一元二次方程的解，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 利用一元二次方程根与系数的关系得到的值，再根据一元二次方程根的定义推出，最后整体代入即可解决问题． 【详解】解：∵、是方程的两根， ∴当时， ， 将代入中， ， 同理可得，， ∵、是方程的两根， ∴， ∴ ， 故答案为：2． 5．已知关于方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若，是方程的两个根，是否存在实数使得成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)的值为1． 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，，反过来也成立．也考查了根的判别式． （1）根据判别式的意义得到，然后解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到，，利用得到，再整体代入求解即可确定的值． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得； （2）解：存在． 根据题意得，， ∵， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴的值为1． 6．阅读理解材料：已知实数m，n满足，，且． 根据材料．求的值． 解：由题知m，n是方程的两个不相等的实数根， 根据一元二次方程根与系数的关系得，， ∴． 解决以下问题： (1)方程的两个实数根为，，则_____，______． (2)已知实数m，n满足，，且，求的值． (3)已知实数p，q满足，，且，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)1 【分析】本题主要考查了根与系数的关系：二次项系数不为0，则常用以下关系：，是一元二次方程的两根时，，． （1）直接利用根与系数的关系求解； （2）先把、看作方程的两根，则利用根与系数的关系得到，，再对进行化简求值即可． （3）先把变形为，则、可看作方程的两根，根据根与系数的关系得到，，接着把化为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】（1）解：∵方程的两个实数根为， ∴，， 故答案为：，． （2）解： ，，且， 、可看作方程的两根， ，， ∴． （3）解：， ， ∴两边除以得：， ，即， 、可看作方程的两根， ，， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中考前满分冲刺之基础常考题 【专题过关】 类型一、点、直线与圆的位置关系 1．已知的半径为，点P到圆心O的距离为，则点P在（    ） A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．不能确定 2．已知的半径为，点到圆心的距离为，那么点与的位置关系是（    ） A．点在内 B．点在外 C．点在上 D．无法确定 3．已知的半径为，圆心O到直线l的距离为3cm，直线l与的位置关系是（      ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 4．已知的半径为8，圆心到直线的距离是5，直线与位置关系是 ． 5．若的直径为，点到圆心的距离为，那么点与的位置关系是 ． 6．矩形中，，以点为圆心画，使点在内，点在外，则的半径的取值范围是 ． 类型二、一元二次方程的定义与根 1．方程中二次项系数、一次项系数、常数项分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．若关于x的方程的一个根为1，则a的值为（    ）． A． B．1 C． D．2 3．有如下方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中一元二次方程共有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 4．若m是方程的根，则的值为 ． 5．已知关于x的一元二次方程的一个根为2，则 ． 6．若是一元二次方程的解，则m的值 . 类型三、配方法变形 1．方程经过配方后，其结果正确的是（ 　  ） A． B． C． D． 2．用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是(   ) A． B． C． D． 3．用配方法解，配方正确的是（   ） A． B． C． D． 4．将一元二次方程化成的形式，则方程可变形为 ． 5．用配方法解方程时，配方后得到，则 ． 6．若一元二次方程可以配方成的形式，则代数式的值为 ． 类型四、比例与黄金分割(选考) 1．若x是a，b的比例中项，则下列式子中不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．已知是线段的黄金分割点，且，若，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．线段是线段，的比例中项，已知，，则 ． 5．如图，在小提琴的设计中蕴含着数学知识，点是线段的黄金分割点，若小提琴的总长度为 ，则琴身的长为 ．（结果保留根号） 6．定义：顶角为的等腰三角形叫做“黄金三角形”，它的一个底角的平分线与腰的交点即为这条腰的黄金分割点．如图，在中，，，，点M是边上一点，若是“黄金三角形”，则的长为 ． 类型五、增长率问题 1．在年赣超联赛中，吉安队主场第二场比赛到场观赛人数为人，第四场比赛到场观赛人数为人，设吉安队主场观赛人数的平均增长率为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高，某市参加健身运动的人数逐年增多，从2022年的16万人增加到2024年的25万人．设该市参加健身运动的人数的年平均增长率为x，则x满足的方程是（   ） A． B． C． D． 3．我国新能源汽车产业为应对全球气候变化、推动低碳发展做出了巨大贡献．根据中国汽车工业协会发布的数据，2024年5月新能源汽车销量约为95.5万辆，2024年7月新能源汽车销量约为99.1万辆，设新能源汽车销量的月平均增长率为，则满足的方程是 4．某景区六月份游客接待量为640万人次，八月份游客接待量为810万人次，设游客接待量的月平均增长率是x，根据题意可列方程为 ． 5．某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十八号”模型．今年9月份的销售量是500件，11月份的销售量是720件，若该网店9月份到11月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率． 6．某商场在国庆期间将单价200元的某种商品经过两次降价后，以128元的价格出售． (1)求平均每次降价的百分率； (2)售货员向经理建议：先公布降价，再下调，这样更有吸引力，请问售货员的方案对顾客是否更优惠？为什么？ 类型六、统计 1．小丽同学某周每天的睡眠时间（单位：h）如下：8，9，7，9，7，8，8．小丽该周平均每天的睡眠时间为（    ） A．7h B．7.5h C．8h D．9h 2．某车间准备采取每月任务定额，超产有奖的措施来提高工人的工作效率，为制定一个恰当的生产定额，从该车间200名工人中随机抽取20人统计某月产量如下： 生产零件数 260 270 280 290 300 310 350 520 人数 1 1 5 4 3 4 1 1 若你做为管理者，将每人每月合适的生产定额定为（    ） A．280件 B．290件 C．305件 D．310件 3．某校在12月9日举办了以＂不忘国耻振兴中华＂为主题的合唱比赛，每支参赛队伍的最终成绩按歌曲内容占，演唱技巧占，精神面貌占进行考评．八一班参赛歌曲内容获得90分，演唱技巧获得94分，精神面貌获得95分，则八一班的最终成绩是 分． 4．某校规定学生学期的体育成绩由三部分组成：平时体育活动表现占成绩的，体育理论测试占，体育技能测试占．小颖的上述三项成绩依次是92分、80分、84分，则小颖的体育成绩是 分． 5．A、B、C三名大学生竞选系学生会主席，他们的笔试和口试成绩（单位：分）分别用了两种方式进行了统计，如表一和图一所示： A B C 笔试 85 90 口试 90 80 85 (1)请将表一和图一空缺部分补充完整． (2)竞选的最后由本系的300名学生进行投票，三位候选人的得票如图二（没有弃权，每名学生只能推荐一人），请计算每人的得票． (3)若每票计1分，系里将笔试、口试、得票三项测试得分按4：3：3比例确定个人最后成绩，请计算三个候选人的最后成绩，并判断谁能当选． 6．第十届中国徽菜产业博览会暨文化旅游美食节于2023年12月18日－19日举行．徽菜是中国八大菜系之一，为宣传徽菜文化，某社区举办“徽菜烹饪大赛”（ 满分100分），将参与比赛的选手分为男子组、女子组，每组20人．将比赛得分分为“A．，B．，C．，D．”四组，并整理、绘制成如下图表：    平均数 中位数 方差 男子组 91.15 a 13.93 女子组 90.9 92.5 18.79 已知男子组在C．范围内的选手的分数分别为90，90，91，92，92，93，94，94．根据以上信息，回答下列问题： (1)男子组选手得分在平均分以上的有 人，补全频数分布直方图； (2)佳佳爸爸和淇淇妈妈都参与了比赛，且二人的成绩均为91分，则在各自所在组内，排名更靠前的是 （填“佳佳爸爸”或“淇淇妈妈”）； (3)若规定90分及以上为优秀，请你从优秀率、平均分两方面比较哪组选手总体得分情况更好． 类型七、数据分析 1．一名射击运动员连续射靶8次，命中的环数如下：8，9，10，9，7，8，10，8．这名运动员射击环数的众数与中位数分别是（   ） A．9环与8环 B．8环与8.5环 C．8.5环与9环 D．8环与8环 2．九年级甲、乙两班学生在同一次数学测试中，班级平均分和方差如下：，；，，则成绩较为稳定的班级是（   ） A．甲班 B．乙班 C．两班成绩一样稳定 D．无法确定 3．为迎接五月份全县中考体育测试，小强每天坚持引体向上锻炼，他记录了某周每天做引体向上的个数，如下表： 星期 日 一 二 三 四 五 六 个数 11 12 13 12 其中有三天的个数被墨汁覆盖了，但小强已经得出这组数据的众数是13，平均数是12，那么这组数据的方差是 ． 4．为了了解某班七年级男生体能情况，随机抽取7名男生，进行引体向上测试，测试成绩（单位：个，且均为整数）按从小到大排序为：5，5，6，m，8，9，10，若这组数据的平均数小于这组数据的中位数，则这组数据的中位数为 ． 5．外线投篮是篮球队常规训练的重要项目之一，下列图表中的数据是甲、乙、丙三名运动员每人10次投篮测试的成绩．测试规则为投进篮筐一个球记为1分． 甲运动员测试成绩统计表 测试序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 成绩/分 7 6 8 7 7 5 8 7 8 7 (1)乙运动员测试成绩的众数为_______分． (2)在甲、乙、丙三位运动员中选择一位投篮成绩优秀且较为稳定的选手作为中锋，你认为选谁更合适？为什么？ 6．某市团委举办了“我的中国梦”为主题的知识竞赛，甲、乙两所学校参赛人数相等，比赛结束后，发现学生成绩分别为70分，80分，90分，100分，并根据统计数据绘制了如下不完整的统计图表； 乙校成绩统计表 分数（分） 人数（人） 70 7 80 a 90 1 100 8 (1)在图①中，“80分”所在扇形的圆心角度数为 ； (2)请你将图②补充完整； (3)直接写出 ，乙校成绩的中位数 (4)经计算知，，请你根据这两个数据，对甲、乙两校成绩作出合理评价． 类型八、概率 1．不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，两个小球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出的都是红球的概率是（　　）． A． B． C． D． 2．在一个不透明的袋子里有红球、白球共20个，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球．不断重复这一过程，小明通过多次试验发现，摸到白球的频率稳定在左右，则袋子里白球的个数估计是（     ） A．16 B．14 C．12 D．8 3．2025年是蛇年，现将背面完全一样，正面分别写有“巳”、“巳”、“如”、“意”的四张卡片，洗匀后背面朝上放在桌面上，同时抽取两张，则抽取的两张卡片上的文字恰好能组成“如意”的概率是 ． 4．2025年3月14日中国邮政发行《数学之美》特种邮票．该套邮票共4枚，面值分别为80分，1.20元，1.20元，1.50元．邮票图案名称为“圆周率”“勾股定理”“欧拉公式”“莫比乌斯带”，小华从这4枚邮票中，随机抽取2枚，恰好抽到面值相同的邮票的概率为 ． 5．在一个不透明的袋子里，装有个红球、个黑球、个白球，它们除颜色外都相同． (1)求从袋中任意摸出一个球为红球的概率． (2)现从袋中放入若干个白球，充分摇匀后，要使从袋中随机摸出一个球是白球的概率是，问应放入多少个白球？ 6．为正确理解物理变化与化学变化，王老师将种生活现象分别写在表面看上去无差别的五张卡片上，并分别放入甲、乙两个口袋中（如图），甲口袋中装有，两张卡片，乙口袋中装有，，三张卡片．小明从两个口袋中分别随机取出张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽出的两张卡片均是化学变化的概率． 类型九、解一元二次方程 1．一元二次方程的根是(   ) A． B．， C． ， D． ， 2．判断一元二次方程的根的情况正确的是（    ） A．没有实数根 B．不确定 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 3．方程的根是： ． 4．已知，则的值为 ． 5．选择适当方法解下列方程： (1)； (2)． 6．解方程： (1)． (2)． 类型十、一元二次方程的根与系数 1．已知，是方程的两个实数根，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 2．已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（   ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 3．已知、是一元二次方程的两根，则 ． 4．若、是方程的两根，则的值是 ． 5．已知关于方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若，是方程的两个根，是否存在实数使得成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 6．阅读理解材料：已知实数m，n满足，，且． 根据材料．求的值． 解：由题知m，n是方程的两个不相等的实数根， 根据一元二次方程根与系数的关系得，， ∴． 解决以下问题： (1)方程的两个实数根为，，则_____，______． (2)已知实数m，n满足，，且，求的值． (3)已知实数p，q满足，，且，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $