4.3 对数 讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

§4.3 对数 目录 题型1：指数式与对数式的互化 3 题型2：对数式的化简 3 题型3：实际问题中的对数运算 4 题型4：对数方程 5 题型5：对数的综合运算 6 【强化训练】 7 1. 对数的定义 一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数． 2. 常用对数与自然对数 常用对数：以10为底的对数，记作. 自然对数：以e为底的对数，记作. (e=2.71828…) 3. 指对数的互换 当且时，. 4. 对数的基本性质 (1) 负数和0没有对数，即； (2) ，； (3) 对数恒等式：； (4) 。 5. 对数的运算性质 如果，那么： ①； ②； ③． 6. 对数运算性质的推广 ①； ②； ③； ④. 7. 对数的换底公式 . 换底公式的推论： ①； ②； ③ . 题型1：指数式与对数式的互化 方法提炼 (1) 指数式与对数式的互化技巧 与的互化规则是“底数不变,左右交换”，即遵循①两式均以a为底,②b,N两个字母在等号左右两边互换其位置。 (2) 幂值相等的指数式问题求解技巧 幂值相等的指数式问题,求解时一般设相等的指数式为同一个常数,利用取对数的方法求解。 【例1.1.】 若 (且)，则等于 【例1.2.】 若，且，则t的值为 ； 【例1.3.】 已知 则 ． 题型2：对数式的化简求值 方法提炼 对数式化简或求值的常用方法和技巧 (1) 对于同底数的对数式，化简的常用方法是： ①“收”，即逆用对数的运算性质将同底对数的和（差）“收”成积（商）的对数，即把多个对数式转化为一个对数式； ②“拆”，即正用对数的运算性质将对数式“拆”成较小真数的对数的和（差）． (2) 对常用对数的化简要创设情境，充分利用“”来解题． (3) 对含有多重对数符号的对数，应从内向外逐层化简． (4) 当真数是形如“”的式子时，常用方法是“先平方后开方”或“取倒数”． 【例2.1.】 . 【例2.2.】 计算下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)化简：． 【例2.3.】 已知，则 ． 【例2.4.】 （1）； （2）； （3）已知，求的值． 【例2.5.】 （1）已知，试用表示； （2）已知，求的值． 【例2.6.】 已知均为正实数，均为大于0且不等于1的实数，若且，求的值． 题型3：实际问题中的对数运算 方法提炼 对数运算在实际中的应用问题大致可分为两类:一类是已知对数应用模型(公式)，在此基础上进行一些实际求值，计算时要注意利用“指数、对数互化”;另一类是先建立指数函数应用模型,再进行指数求值,此时往往将等式两边取对数进行运算。 【例3.1.】 荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是，一年后是；这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍.那么当“进步”的值是“退步”的值的2倍，大约经过（    ）天. （参考数据：，， A．9 B．15 C．25 D．35 【例3.2.】 我们曾学习过碳14的半衰期约为5730年（即碳14大约每过5730年衰减为原来的一半），即经过年后，碳14的含量（为碳14的初始含量，为常数），则碳14含量由原来的衰减为大约需要经过（    ） （参考数据：） A．2292年 B．2456年 C．2674年 D．2838年 【例3.3.】 2023年，深度求索（DeepSeek）公司推出了新一代人工智能大模型，其训练算力需求为1000PetaFLOPS（千亿亿次浮点运算/秒）．根据技术规划，DeepSeek的算力每年增长．截止至2025年，其算力已提升至2250PetaFLOPS，并计划继续保持这一增长率．问：DeepSeek的算力预计在哪一年首次突破7500PetaFLOPS？（   ） （参考数据：，，） A．年 B．年 C．年 D．年 题型4：对数方程 方法提炼 对数方程的常见题型的求解思路 类型 题型 解法 基本型 将对数式转化为指数式，解出． 将对数式转化为指数式，解出，注意检验且． 同底数型 转化为求解（注意检验，且）． 需代换型 换元，令，转化为关于t的方程，得，再解方程，得到，注意检验． 【例4.1.】 解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【例4.2.】 已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【例4.3.】 乙两人同时解关于x的方程：．甲写错了常数b，得两根为及；乙写错了常数c，得两根为及64，则这个方程的真正的根为（    ） A． B． C．或 D．或 题型5：对数的综合运算 【例5.1.】 已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【例5.2.】 若，则（    ） A． B． C． D． 【例5.3.】 设函数（a，b为实数），已知，则的值为（   ） A． B．4 C．5 D．与a，b的取值有关 【例5.4.】 （多选）已知正数、、满足，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【例5.5.】 (多选)已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【例5.6.】 （1）若，求的值． （2）设都是正数，且，证明：． 【强化训练】 1. 若，则等于（   ） A． B． C． D． 2. 对于，，，，下列说法中正确的是（   ） A． B． C． D． 3. 已知均为大于1的数，且，则（    ） A． B． C． D． 4. (多选)下列运算正确的是（    ） A． B． C． D．若,则 5. （多选）已知，若，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B． C．若，则 D．若，则 6. 若，则 ． 7. 计算= ． 8. 计算： (1)； (2)． 9. 求解下列问题： (1)在①，②中任选一个求值； (2)已知，，试用a，b表示． 10. 已知. (1)求的值； (2)设，求证：. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ §4.3 对数 目录 题型1：指数式与对数式的互化 3 题型2：对数式的化简 4 题型3：实际问题中的对数运算 8 题型4：对数方程 11 题型5：对数的综合运算 13 【强化训练】 17 1. 对数的定义 一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数． 2. 常用对数与自然对数 常用对数：以10为底的对数，记作. 自然对数：以e为底的对数，记作. (e=2.71828…) 3. 指对数的互换 当且时，. 4. 对数的基本性质 (1) 负数和0没有对数，即； (2) ，； (3) 对数恒等式：； (4) 。 5. 对数的运算性质 如果，那么： ①； ②； ③． 6. 对数运算性质的推广 ①； ②； ③； ④. 7. 对数的换底公式 . 换底公式的推论： ①； ②； ③ . 题型1：指数式与对数式的互化 方法提炼 (1) 指数式与对数式的互化技巧 与的互化规则是“底数不变,左右交换”，即遵循①两式均以a为底,②b,N两个字母在等号左右两边互换其位置。 (2) 幂值相等的指数式问题求解技巧 幂值相等的指数式问题,求解时一般设相等的指数式为同一个常数,利用取对数的方法求解。 【例1.1.】 若 (且)，则等于 【答案】/0.2 【难度】0.65 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用 【分析】将题中所给的指数式换成对数式，根据对数运算法则可得. 【详解】由得 所以，所以，所以loga. 故答案为：. 【例1.2.】 若，且，则t的值为 ； 【答案】或 【难度】0.85 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】根据指数式与对数式的互化公式，结合对数的运算公式进行求解即可. 【详解】由， 当时，显然符合，此时， 当时，， 由，代入中， 得， 故答案为：或 【例1.3.】 已知 则 ． 【答案】1 【难度】0.65 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算、对数的运算性质的应用 【分析】根据指数与对数的关系，将指数式转化为对数式，再利用对数的运算性质进行计算。 【详解】由可得， 所以，. 故答案为：1. 题型2：对数式的化简求值 方法提炼 对数式化简或求值的常用方法和技巧 (1) 对于同底数的对数式，化简的常用方法是： ①“收”，即逆用对数的运算性质将同底对数的和（差）“收”成积（商）的对数，即把多个对数式转化为一个对数式； ②“拆”，即正用对数的运算性质将对数式“拆”成较小真数的对数的和（差）． (2) 对常用对数的化简要创设情境，充分利用“”来解题． (3) 对含有多重对数符号的对数，应从内向外逐层化简． (4) 当真数是形如“”的式子时，常用方法是“先平方后开方”或“取倒数”． 【例2.1.】 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】对数的运算、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】直接根据指数与对数的运算法则及基本性质进行化简求值. 【详解】原式 故答案为： 【例2.2.】 计算下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)化简：． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)17. 【难度】0.65 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】（1）（2）（3）（4）应用对数的运算性质及指对数的关系化简求值. 【详解】（1）原式； （2）原式； （3）原式； （4）. 【例2.3.】 已知，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】指数幂的化简、求值、对数的运算、对数的运算性质的应用 【分析】先应用对数运算律对化简，再求解． 【详解】依题意，， ，所以． 故答案为：. 【例2.4.】 （1）； （2）； （3）已知，求的值． 【答案】（1）3；（2）16；（3） 【难度】0.65 【知识点】指数幂的化简、求值、对数的运算、对数的运算性质的应用 【分析】（1）根据对数的运算性质，化简求值，即可求解. （2）根据指数幂的运算以及对数的运算性质，化简求值，即可求解. （3）根据对数的运算性质，化简求值，即可求解. 【详解】（1）原式 ． （2）由于，， ， 因此原式． （3）由条件． 由，得， 所以，化简得 所以， 得或（舍去），从而可得． 【例2.5.】 （1）已知，试用表示； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【难度】0.85 【知识点】对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】（1）由对数的运算性质结合换底公式计算即可； （2）先根据所给条件求得的值，再代入计算即可. 【详解】（1）； （2） 即， ，即． ，即， 或． 符合题意，舍去， ． 【例2.6.】 已知均为正实数，均为大于0且不等于1的实数，若且，求的值． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】将指数式化成对数式，结合条件和换底公式代入运算得解. 【详解】由题意得，设（且）， 则，，， 又，即，即，则， 即，即，则， 故. 题型3：实际问题中的对数运算 方法提炼 对数运算在实际中的应用问题大致可分为两类:一类是已知对数应用模型(公式)，在此基础上进行一些实际求值，计算时要注意利用“指数、对数互化”;另一类是先建立指数函数应用模型,再进行指数求值,此时往往将等式两边取对数进行运算。 【例3.1.】 荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是，一年后是；这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍.那么当“进步”的值是“退步”的值的2倍，大约经过（    ）天. （参考数据：，， A．9 B．15 C．25 D．35 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】指数式与对数式的互化、运用换底公式化简计算 【分析】设经过天“进步”的值是“退步”的值的2倍，根据题设可得，求解出，即可求解. 【详解】设经过天“进步”的值是“退步”的值的2倍，则， 所以， 故选：D. 【例3.2.】 我们曾学习过碳14的半衰期约为5730年（即碳14大约每过5730年衰减为原来的一半），即经过年后，碳14的含量（为碳14的初始含量，为常数），则碳14含量由原来的衰减为大约需要经过（    ） （参考数据：） A．2292年 B．2456年 C．2674年 D．2838年 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算、指数函数模型的应用（2） 【分析】利用半衰期的意义求出，再利用给定的模型列出方程组，结合对数运算求解即得. 【详解】依题意，当时，，即，解得， 设经过年碳14含量衰减为原来的，经过年碳14含量衰减为原来的， 则，即，所以 . 故选：B 【例3.3.】 2023年，深度求索（DeepSeek）公司推出了新一代人工智能大模型，其训练算力需求为1000PetaFLOPS（千亿亿次浮点运算/秒）．根据技术规划，DeepSeek的算力每年增长．截止至2025年，其算力已提升至2250PetaFLOPS，并计划继续保持这一增长率．问：DeepSeek的算力预计在哪一年首次突破7500PetaFLOPS？（   ） （参考数据：，，） A．年 B．年 C．年 D．年 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】运用换底公式化简计算、指数函数模型的应用（2） 【分析】利用归纳可知，从年起，到第年，DeepSeek的算力提升至PetaFLOPS，解不等式，即可得出结论. 【详解】由题意可知，截止至2025年，DeepSeek的算力已提升至2250PetaFLOPS， 到年，其算力提升至PetaFLOPS， 到年，其算力提升至PetaFLOPS，， 以此类推可知，从年起，到第年，DeepSeek的算力提升至PetaFLOPS， 由，可得， 所以，， 所以，DeepSeek的算力预计在年首次突破PetaFLOPS， 故选：C. 题型4：对数方程 方法提炼 对数方程的常见题型的求解思路 类型 题型 解法 基本型 将对数式转化为指数式，解出． 将对数式转化为指数式，解出，注意检验且． 同底数型 转化为求解（注意检验，且）． 需代换型 换元，令，转化为关于t的方程，得，再解方程，得到，注意检验． 【例4.1.】 解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【难度】0.65 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算、简单的指数方程、简单的对数方程 【分析】（1）两边取对数，结合对数运算法则计算出答案； （2）先得到，进而求出，求出答案； （3）先根据真数大于0，得到，由对数运算法则得到，得到答案； （4）由题意知且，令，得到方程，解得或，故或． 【详解】（1）由，两边取常用对数得，则， 解得． （2）由，得，得，故方程的根是． （3）由真数大于0，得解得， 由原方程得， 所以， 所以，即， 整理得，解得或（舍去），故方程的根是． （4）由题意知且，令，易知，则， 整理得，解得或，所以或， 故或． 【例4.2.】 已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】令，可得出，结合求出的值，再利用对数和指数的互化可求得的值. 【详解】因为， 由于，则，令，则，于是有， 整理可得，因为，解得，即，解得. 故选：B. 【例4.3.】 乙两人同时解关于x的方程：．甲写错了常数b，得两根为及；乙写错了常数c，得两根为及64，则这个方程的真正的根为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】对数的运算、运用换底公式化简计算 【分析】将原方程变形为，根据题意结合韦达定理求出，，进而求解方程即可. 【详解】原方程两边同时乘以，可变形为， ∵甲写错了b，得到两根为及，∴， 又∵乙写错了常数c，得到两根为及64，∴， ∴原方程为，即， ∴或，∴或8. 故选：C. 题型5：对数的综合运算 【例5.1.】 已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】指数式与对数式的互化、由幂函数的单调性比较大小 【分析】根据给定条件，利用指数式与对数式互化，结合幂函数的性质比较大小. 【详解】由，设， 则，于是， 因函数在上为增函数，由，可得， 又因函数在上为增函数，由，可得， 故. 故选：B 【例5.2.】 若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】对数的运算性质的应用 【分析】对进行变形，根据对数函数的性质结合换底公式得出. 【详解】因为，则： ， 即， 所以. 故选：D. 【例5.3.】 设函数（a，b为实数），已知，则的值为（   ） A． B．4 C．5 D．与a，b的取值有关 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】对数的运算、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】计算可得，再利用对数运算法则可得，则有，即可得解. 【详解】由，， 则 ， 又，则， 故， 则. 故选：B. 【例5.4.】 （多选）已知正数、、满足，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【难度】0.4 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算、基本不等式求和的最小值 【分析】把指数式转换成相应的对数式后，运用对数运算法则及换底公式及基本不等式即可. 【详解】令，可得，，， ，故A正确； ，故B正确； ，，所以，得， 又，所以，得，所以，，故C不正确； ，故D正确； 故选：ABD 【例5.5.】 (多选)已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】对数的运算、对数的运算性质的应用、基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值 【分析】利用基本不等式判断A、B，利用对数恒等式化简即可判断C；利用基本不等式结合对数的运算法则计算即可判断D. 【详解】因为，所以，即． 对于A，因为，所以，则，当且仅当，即时，等号成立．故A正确； 对于B，因为，所以，当且仅当，即时，等号成立．故B正确； 对于C，， 若，又， 则，又，故，矛盾， 所以，所以，即，故C错误； 对于D，由，得， 又由，得，， 所以，∴ 所以， 则， 当且仅当，故时，等号成立．故D正确. 故选：ABD. 【例5.6.】 （1）若，求的值． （2）设都是正数，且，证明：． 【答案】（1）；（2）证明见解析 【难度】0.85 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】（1）根据对数的运算性质可得，再代入计算即可. （2）令，再用对数表示，再由对数运算性质即可证明. 【详解】（1）由，得， 所以． （2）证明：令，得， 则， 则， 根据可知，． 【强化训练】 1. 若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求函数值、指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用 【分析】令，求得的值，由此求的值 【详解】令，解得，故. 故选： 2. 对于，，，，下列说法中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】对数的运算、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】根据对数的运算性质和特殊值法判断即可. 【详解】对于A，取，，， ，， 则，故A错误； 对于B，取，，， ，， 则，故B错误； 对于C，由对数的运算性质可知，，故C正确； 对于D，对数的底数不能为负数，则表示错误，故D错误； 故选：C. 3. 已知均为大于1的数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】对数的运算、运用换底公式化简计算、比较对数式的大小 【分析】将已知条件变形得到，再通过作商法比较的大小，最后利用对数函数的性质即可求解. 【详解】，， 则，故， 又，，故， ，． 故选：D. 4. (多选)下列运算正确的是（    ） A． B． C． D．若,则 【答案】ACD 【难度】0.85 【知识点】分数指数幂与根式的互化、指数幂的化简、求值、对数的运算性质的应用、运用换底公式证明恒等式 【分析】关于A,B将根式转化为分数指数幂的形式,再根据分数指数幂计算法则进行化简,即可得选项正误,关于C用对数的运算法则将幂转化为分式,化简即可,关于D,先判断出,然后两边取对数,再展开即可判断正误. 【详解】解:由题知关于选项A: , 故选项A正确; 关于选项B: , 故选项B错误; 关于选项C: , 故选项C正确; 关于选项D: ,, 对等式两边取对数有, , 即 故选项D正确. 故选:ACD 5. （多选）已知，若，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B． C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】对于A，利用换底公式得到，故；对于B，C，即可判断；对于D，，解方程即可判断. 【详解】列表解析  直观解疑惑 选项 正误 原因 A √ 时，， 故，所以， 即． B √ 同A中分析，可得， 则． 若，则． C √ D × 由B中分析知，若， 则，则或． 一题多解  多方法解题 利用换底公式的一个推论：，可得若， 则，． A（√）若，则． B（√）． C（√）若，则． D（×）若，则，则或． 故选:ABC. 6. 若，则 ． 【答案】15 【难度】0.94 【知识点】指数式与对数式的互化、简单的对数方程 【分析】利用对数的运算性质计算即可. 【详解】由题意得，则，解得． 故答案为：15. 7. 计算= ． 【答案】6 【难度】0.85 【知识点】对数的运算、运用换底公式化简计算 【分析】根据对数的运算法则即可计算． 【详解】原式， 故答案为：6． 8. 计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)11 【难度】0.85 【知识点】对数的运算、运用换底公式化简计算 【分析】（1）利用对数的运算法制与换底公式即可得答案. （2）利用对数的运算法制与换底公式即可得答案. 【详解】（1）原式 ． （2）原式 . 9. 求解下列问题： (1)在①，②中任选一个求值； (2)已知，，试用a，b表示． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】（1）根据对数的运算性质求解即可； （2）结合换底公式及对数的运算性质求解即可. 【详解】（1）选①，原式 ． 选②，原式 ． （2）因为， 所以． 10. 已知. (1)求的值； (2)设，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【难度】0.85 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算、对数的运算性质的应用、运用换底公式证明恒等式 【分析】（1）将两边取对数化简即可得解； （2）由(1)解得，代入计算即可得解. 【详解】解：（1）将两边同取对数得，，则，所以. （2）由，得，. 所以，， 则，故. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $