微专题01 二次函数的图像与性质（7题型22类型）（专项训练）数学苏科版九年级下册

微专题01 二次函数的图像与性质（基础） （7种题型22重难点突破） 题型一 利用待定系数法求二次函数解析式 根据已知条件确定二次函数的解析式，通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点选择适当的形式，这样才能使解题简便.一般来说，有如下几种情况: 1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式，然后列出关于a，b，c的三元一次方程组求解； 2）已知抛物线的顶点或对称轴或最大(小)值，一般选用顶点式，然后将另一点的坐标代入，解关于a的一元一次方程； 3）当已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，常用交点式求其表达式，将第三点的坐标或其它已知条件代入，求出待定系数a，最后将解析式化成一般式； 4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式或交点式. 类型一 一般式 1．（23-24九年级上·山东日照·期中）二次函数，自变量x与函数y的对应值如下表： x … 0 … y … 4 0 0 4 … 下列说法正确的是（    ） A．抛物线的开口向下 B．当时，y随x的增大而增大 C．当时， D．二次函数的最小值是 【答案】C 【分析】本题考查了待定系数求函数解析式以及二次函数的性质，选出3点的坐标，利用待定系数法求出函数的解析式，再根据二次函数的性质逐项分析四个选项即可得出结论． 【详解】解：将点，，代入到二次函数中，得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为． A、，抛物线开口向上，A不正确； B、， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而增大，B不正确； C、∵抛物线线与轴交于点，，且抛物线开口向上， ∴当时，，故C正确； D、，二次函数的最小值是，D不正确； 故选：C． 2．（23-24九年级下·江苏宿迁·期末）二次函数，自变量x与函数y的对应值如表： … 0 1 … … 5 0 0 … 则当时， y满足的范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．数形结合是解题的关键． 运用待定系数法求出二次函数解析式，判断图象开口方向，求出对应的函数值，从而可判断出y的取值范围． 【详解】解：取代入，得 解得：， ∴ ∵ ∴函数图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为 当时， ∴当时，y满足的范围是 故答案为： 类型二 顶点式 3．（23-24九年级上·广东珠海·期中）若二次函数的图象的顶点坐标为，且抛物线过，则二次函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线的顶点坐标可设二次函数的解析式为，再将已知点的坐标代入求解即可； 【详解】解：设二次函数的解析式为， 将点代入得， 解得， 所以该二次函数的解析式为． 故选：A； 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 4．（24-25八年级下·浙江金华·期末）已知二次函数图象与轴的一个交点坐标为，顶点坐标为，则该二次函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，求二次函数解析式时,要根据条件选择简单的形式求解．①已知三点时，设一般式：（）；②已知顶点和一点时，设顶点式：（），其中顶点为，a为待定系数；③已知与x轴的两交点时，设交点式：（），其中分别为两交点的横坐标，a为待定系数． 已知顶点，一般应该设抛物线解析式的顶点式，只需要求待定系数a的值即可确定解析式． 【详解】解：∵二次函数图象的顶点为， ∴， 又由二次函数图象与轴的一个交点坐标为， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 5．（24-25九年级下·江苏南京·开学考试）已知二次函数的图象经过点，顶点坐标是，求这个二次函数的表达式． 【答案】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标的特征，利用待定系数法解答即可，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 【详解】解：设这个二次函数的表达式为， ∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得：， ∴这个二次函数的表达式为． 类型三 交点式 6．（24-25九年级上·河北·期中）抛物线与轴的交点，，其形状与抛物线相同，则该二次函数的解析式为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查抛物线与x轴的交点及待定系数法法求函数解析式，抛物线的形状与抛物线相同，．抛物线与轴的交点为，，利用交点式求表达式即可． 【详解】解：∵抛物线的形状与抛物线相同， ∴， ∵抛物线与x轴的交点为，， ∴其解析式， 当时，， 当时，， 故答案为：或． 7．（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）过抛物线的解析式为 ； 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，理解点坐标的特点，设二次函数解析式为，把点代入计算即可求解，掌握待定系数法求解析式，二次函数交点式是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数图象过， ∴设二次函数解析式为， 把点代入得，， 解得，， ∴二次函数解析式为， 故答案为： ． 8．（23-24九年级上·山东东营·期中）二次函数的图象如图所示，与x轴交点坐标为，与y轴交点坐标为，对称轴为，则其解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式．根据抛物线的对称性求得与x轴另一个交点坐标，然后利用待定系数法即可求得． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴交点坐标为，对称轴为， ∴与x轴另一个交点坐标为， 设二次函数的解析式为， 把代入得，， 解得， ∴， ∴其解析式为， 故答案为：． 类型四 根据二次函数的性质求解析式 9．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知二次函数的图象经过点，且顶点坐标为，则二次函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】根据二次函数的图象的顶点坐标为设二次函数的解析式为，将代入二次函数解析式求出的值即可得到答案． 【详解】解：二次函数的图象的顶点坐标为， 设二次函数的解析式为， 二次函数的图象经过点， ， 解得：， 二次函数的解析式为：，即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，设二次函数的解析式为是解此题的关键． 10．（2023九年级下·江苏·专题练习）如图，若抛物线经过原点，则抛物线的解析式为 ． 【答案】 【分析】把原点的坐标代入，求得，即可求得抛物线的解析式． 【详解】解：把代入得，， ∴， ∵抛物线开口向下， ∴， ∴抛物线的解析式为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，熟知待定系数法是解题的关键． 11．（2023九年级下·江苏·专题练习）与抛物线的图象形状相同，但开口方向不同，顶点坐标是的抛物线解析式是 ． 【答案】 【分析】根据题意，设抛物线的关系式为，将顶点代入即可求解． 【详解】解：∵形状与抛物线的图象形状相同，但开口方向不同， ∴设抛物线的关系式为， 将顶点坐标是代入，解得：， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，根据题意设抛物线的关系式为是解题的关键． 题型二 二次函数的图像 类型一 函数图像的综合判断 12．（2024·河南·三模）直线与抛物线在同一坐标系里的大致图象正确的是（     ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象．根据题意和各个选项中的函数图象，可以得到一次函数中和的正负情况和二次函数图象中的正负情况，然后即可判断哪个选项中的图象符合题意，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：由一次函数的图象可知，， 则抛物线与轴的交点在原点上方，故排除AB选项； ∵，， ∴， ∴抛物线的对称轴直线， 即对称轴位于轴左侧，故C选项不符合题意，D选项符合题意； 故选：D． 13．（24-25九年级上·云南·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数及一次函数的图象的性质；根据二次函数的开口方向，与y轴的交点；一次函数经过的象限，再结合相关图象即可求出结果． 【详解】解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的， ∴两个函数图象交于y轴上的同一点，故B选项错误； 当时，二次函数开口向上，一次函数必经过一、三象限，故C选项错误； 当时，二次函数开口向下，一次函数必经过二、四象限，故A选项错误； 故选：D． 14．（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）反比例函数与二次函数在同一坐标轴中的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象，以及二次函数的图象，熟练掌握二次函数、反比例函数中系数与图象位置之间关系是解题的关键． 根据二次函数、反比例函数中系数与图象位置之间关系解答即可． 【详解】解：A、抛物线开口方向向下，则，对称轴， 反比例函数的图象位于第二、四象限，故本选项正确，符合题意； B、抛物线开口方向向上，则，对称轴，故本选项错误，不符合题意； C、抛物线开口方向向上，则，对称轴，与反比例函数的图象位于第二、四象限矛盾，故本选项错误，不符合题意； D、抛物线应该经过原点，故本选项错误，不符合题意； 故选：A． 15．（22-23九年级下·江苏南京·阶段练习）函数，在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的图像可能是（    ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】根据函数图像的开口大小与轴的交点位置以及对称轴的位置进行判断即可． 【详解】解：设，， 由图像知，，，，，，，， ∴， ∵函数的图像开口大于函数的图像开口， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴函数的图像是抛物线，开口向下，对称轴在轴的右侧，与轴的交点在轴的正半轴上， A．图像开口向下，对称轴在轴的左侧，与轴的交点在轴的正半轴上，故此选项符合题意； B．图像开口向上，故此选项不符合题意； C．图像对称轴在轴的左侧，故此选项符合题意； D．图像开口向上，故此选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，不等式的性质．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．注意：二次函数的越大，图像开口越小． 类型二 通过画函数图像判断其性质 16．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． (1)自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下： 其中， (2)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分． (3)观察函数图象，写出两条函数的性质． (4)进一步探究函数图象发现： ①关于x的方程方程实数根为 ； ②关于x的方程有个实数根时，的取值范围是 ． 【答案】(1)0 (2)见解析 (3)见详解 (4)①；② 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点以及二次函数的性质，根据题意画出图形，利用数形结合解决问题是解题的关键． （1）将代入函数解析式中求出值，即可得出结论； （2）根据表格数据，描点补充完图形； （3）根据函数图象，寻找出对称轴以及函数的增减性，此题得解； （4）①观察函数图象即可得出答案；②根据函数的图象即可得到的取值范围． 【详解】（1）解：依题意，把代入函数，得； 故答案为：0． （2）解：根据给定的表格中数据描点画出图形，如图所示． （3）解：观察函数图象，可得出：①函数图象关于轴对称， ②当时，随的增大而增大， （4）解：①由函数图象可得：函数图象与x轴有3个交点， ∴对应的方程有3个实数根， 运用数形结合思想，得关于x的方程方程实数根为． ②由函数图象知： 关于的方程有4个实数根，即与直线有四个交点， 运用数形结合思想，得满足题意的的取值范围是， 故答案为：． 17．（2025九年级下·江苏南京·专题练习）小明根据学习函数的经验，对函数的图象及性质进行了探究和应用．下面是小明的探究过程 x … 1 2 … y … … (1)函数的自变量x的取值范围是 ； (2)下表是y与x的几组对应值，在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象； (3)探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是，结合函数的图象，写出该函数的其它2条不同的性质：① ，② ； (4)设，，利用图象比较a和b的大小（请写出比较过程）． 【答案】(1) (2)见解析 (3)当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大； (4)，过程见详解 【分析】本题考查函数自变量取值范围，画函数图象，探究函数的图象及性质；熟练掌握探究函数性质的方法，能结合表格、图象探究函数性质是关键． （1）由可得，， （2）描点、连线画出函数图象即可； （3）根据图象即可得到函数的性质； （4）根据函数的增减性即可判断． 【详解】（1）解：由可得， 故答案为：； （2）解：所画函数图象如下图： （3）解：探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是， ①当时，y随x的增大而减小； ②当时，y随x的增大而增大； 故答案为：当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大； （4）解：由图象可知，当时，y随x的增大而减小，； ， ， ， ， ， ． 18．（22-23九年级上·河南驻马店·期中）某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．    (1)自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下： 其中，________． (2)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中，直接画出该函数的图象． (3)观察函数图象，写出一条该函数的性质_______________________________； (4)已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象．直接写出方程的解（保留一位小数，误差不超过） 【答案】(1)3 (2)见解析 (3)函数图象关于轴对称（答案不唯一） (4)， 【分析】（1）把代入解析式即可求得答案； （2）描点后、用光滑曲线顺次连接即可； （3）观察图象可得函数的性质； （4）观察图象即可获得交点横坐标，即可得解． 【详解】（1）解：当时，， 故答案为：3； （2）解：描点，连线得出函数图象如图：   ； （3）解：由图可知，该函数图象关于轴对称． 故答案为：函数图象关于轴对称； （4）解：观察图象可得与图象交点的横坐标为：、． ∴方程的解为：，． 【点睛】本题考查了函数图象上的点的特征，描点法画函数图象，函数与方程的联系．图象法解方程等知识，解题的关键在于熟练掌握函数的性质，图象的画法． 类型三 函数图像的识别 19．（2025·江苏南京·二模）函数的图像如图所示．类似的，函数的图像是（　　） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象与一次函数的图象，由一次函数的图象判断出，根据二次函数得出与y轴的交点在y轴负半轴，然后当时，，求出与x轴的交点即可判断，熟练掌握二次函数图象的性质是解题关键． 【详解】解：， 当时，， ∴与y轴的交点在y轴负半轴， 当时，， 令，则， 解得：或， ∴当时，与x轴正半轴有两个交点， 只有选项D符合题意， 故选：D 20．（22-23九年级上·江苏·期末）如图，中，，，，D是边上一动点（不与A，C两点重合），沿的路径移动，过点D作，交于点E，将沿直线折叠得到．若设，与重叠部分的面积为y，则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题考查了动点问题的函数图象、解直角三角形、图形面积等知识点．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程． 分两种情况讨论，当时，由，得到，求得y与x之间函数关系；当时，同理求得，求得y与x之间函数关系，根据二次函数图象的性质即可求解． 【详解】解：∵中，，，， ∴， 当D是边的中点时， ∴， 当时， 由题意得，则， ∴， ∴， ∵，开口向上，当时，y有最大值为； 当时， 由题意得，，， ，则， ∴， ∴， ∵，开口向下，当时，y有最大值为2； 综上，图象经过点和两点，且图象分别是开口先向上后向下的两段抛物线， 观察四个选项，选项D符合题意， 故选：D． 21．（2023·广东东莞·一模）如图菱形的边长为，，，动点P，Q同时从点A出发，都以的速度分别沿和的路经向点C运动，设运动时间为x（单位：s），四边形的面积为y（单位：），则y与x之间的函数关系可用图象表示为（　　） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据题意结合图形，分情况讨论：①时，根据，列出函数关系式，从而得到函数图象；②时，根据，列出函数关系式，从而得到函数图象，再结合四个选项即可得解，根据题意结合图形，分别求出两个时间段的函数关系式，由抛物线开口方向判断是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， 过点B作于H， ∴， ∴， 当时，由题意得，， ∴是等边三角形， 同理可得， ∴ 当时， 由菱形的性质可得， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴ ∴y与x之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有B选项图象符合． 故选：． 22．（2012·江苏泰州·二模）如图，在正方形中，，动点M自A点出发沿AB方向以每秒1cm的速度运动，同时动点N自A点出发沿折线以每秒3cm的速度运动，到达B点时运动同时停止．设的面积为y（cm2）．运动时间为x（秒），则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是（　　）   A．  B．  C．  D．   【答案】B 【分析】此题考查动点问题的函数图象问题，当点在上时，易得的关系式；当点在上时，高不变，但底边在增大，所以的面积关系式为一个一次函数；当在上时，表示出的关系式，根据开口方向判断出相应的图象即可． 【详解】解：当点在上时，即， 此时， ，为二次函数，图象为开口向上的抛物线； 点在上时，即， 此时，底边上的高为， ，为一次函数，图象为直线；随的增大而增大，所以排除、； 当在上时，即， 此时，底边上的高为， ，为二次函数，图象为开口向． 故选：B． 23．（2022·山东德州·一模）在平面直角坐标系，中，点和点在抛物线上，已知点，，在该抛物线上．若，则，，的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分类讨论b的正负情况，根据可得对称轴在与直线之间，再根据各点到对称轴的距离判断y值大小． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上且经过原点， 当时，抛物线顶点为原点，时y随x增大而增大，不满足题意， 当时，抛物线对称轴在y轴左侧，同理，不满足题意， ∴，抛物线对称轴在y轴右侧，时，时， 即抛物线和x轴的2个交点，一个为，另外一个在和之间， ∴抛物线对称轴在直线与直线之间， 即， ∴点（与对称轴距离最近，点与对称轴距离最远， ∴． 解法二：∵点和点在抛物线）上， ∴，， ∵， ∴， ∴与异号， ∵， ∴， ∴，， ∵，，在该抛物线上， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选∶B． 【点睛】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键． 题型三 比较函数值的大小 方法一 代入比较法 解题方法：若已知二次函数的解析式，可将几个点的横坐标分别代入二次函数的解析式，求出对应的函数值，再比较函数值的大小. 方法二增减性比较法 解题方法：首先要确定二次函数图像的对称轴，然后判断所给点是否在对称轴的同一侧，若在同一侧，可根据函数的性质比较函数值的大小.若不在同一侧，可根据对称性转化到同一侧，然后比较函数值的大小. 方法三 根据点到坐标轴的距离比较大小 条件：已知二次函数解析式（顶点式）及抛物线上几个点的坐标比较函数的大小. 图示： 大招结论：设，当a＞0，d越大，y越大；当a＜0，d越小，y越大. （简称：a大d大y越大，a小d小y越大） 类型一 已知自变量比较函数值的大小 24．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）已知二次函数图像的对称轴为直线，且经过点、，试比较大小： ．（填“>”“＜”或“＝”） 【答案】> 【分析】本题主要二次函数的性质、二次函数的图象、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．依据题意，由抛物线对称轴是直线, 从而抛物线上的点离对称轴越近函数值越小，又, 则, 最后可以判断得解. 【详解】解：由题意，抛物线对称轴是直线, 抛物线上的点离对称轴越近函数值越小. 又, 故答案为：>. 25．（23-24九年级上·上海·期中）已知抛物线经过点，．试比较和的大小： （填“＞”，“＜”或“＝”） 【答案】> 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，比较两个点离对称轴的远近即可得到、的大小关系． 【详解】解：∵ ∴抛物线对称轴为直线，开口向上， ∵ ∴离对称轴较近， ∴． 故答案为：>． 26．（22-23九年级上·江西赣州·期中）已知函数图象上有三点、、，试确定、、的大小 ． 【答案】 【分析】根据函数解析式可得对称轴为，开口方向向上，然后判断出各点离对称轴距离的大小关系即可得出答案． 【详解】解：二次函数的对称轴为，开口方向向上， 在图象上的三点、、， ∵，即C点离对称轴最近，A点次之，B点最远， ∴、、的大小关系为， 故答案为： 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，正确得出各点离对称轴距离的大小关系是解题的关键． 类型二 参数问题 27．（25-26九年级上·福建厦门·阶段练习）已知抛物线经过两点，若分别位于抛物线对称轴的两侧，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据题意，可得抛物线对称轴为直线，开口向下，根据已知条件得出点在对称轴的右侧，且，进而得出不等式，解不等式即可求解． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，开口向下， ∵分别位于抛物线对称轴的两侧， 假设点在对称轴的右侧，则，解得， ∴ ∴点在点的右侧，与假设矛盾，则点在对称轴的右侧， ∴ 解得： 又∵， ∴ ∴， 解得： ∴， 故答案为：． 28．（25-26九年级上·山东菏泽·阶段练习）在平面直角坐标系中，将抛物线（、为常数，且）沿轴向右平移7个单位得到抛物线，点、均在抛物线上，且位于抛物线对称轴的两侧．若，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象的平移问题，先求出抛物线的对称轴，再根据平移方式可得抛物线的对称轴，根据可得抛物线开口向下，则离对称轴越远函数值越小，据此结合列式求解即可． 【详解】解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵将抛物线（、为常数，且）沿轴向右平移7个单位得到抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线，且开口向下， ∴抛物线图象上的点离直线越远，函数值越小， ∵点、均在抛物线上，且位于抛物线对称轴的两侧，， ∴， ∴， 故答案为：． 29．（25-26九年级上·全国·阶段练习）点，，在二次函数的图象上，且，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据二次函数的性质找出关于的一元一次不等式．根据二次函数的解析式可得出二次函数的对称轴为，由题意推出二次项系数小于，再结合、点坐标的特点即可得出关于的一元一次不等式，解不等式即可得出结论． 【详解】解：二次函数的对称轴为， ∵点在二次函数的图象上，且， ∴当时，有最大值， ， ∴二次函数图象在上随的增大而增大，在上随的增大而减少， ∵点都在二次函数的图象上，且， ∴点离对称轴更近， ， 解得：， 故答案为：． 题型四 二次函数与最值问题 类型一：自变量x取全体实数 解题方法：即当a＞0时，当x=时，y有最小值，；当a＜0时，当x=时，y有最大值，. 类型二：自变量x的取值范围为给定范围， 类型一 顶点处取得最值 30．（24-25九年级下·全国·期末）已知二次函数，当时，y的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数求最值，根据二次函数的增减性进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为轴， ∴当抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴当时，有最小值为； 故答案为： 31．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）二次函数的最小值是（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数顶点式的图象与性质是解题的关键． 根据二次函数的顶点式，直接判断最小值． 【详解】解：二次函数，顶点坐标为， ∵， ∴当时，有最小值 3 ， 故选： D． 32．（2023九年级下·全国·专题练习）已知二次函数的图象如图，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（　　）      A．有最大值2，有最小值 B．有最大值2，有最小值1.5 C．有最大值1.5，有最小值 D．有最大值2，无最小值 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，准确识图是解题的关键．根据二次函数的最值问题，结合图形解答即可． 【详解】解：观察图象可得，在时，图象有最高点和最低点， ∴函数有最大值2和最小值， 故选：A 类型二 定轴定区间 33．（江苏省苏州市2024-2025学年上学期九年级数学期中模拟卷（4））已知二次函数，当时，的最小值为，则a的值为（  ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据二次函数的性质，在指定的范围内准确求出函数的最小值是解题的关键； 根据题意分两种情况讨论，当时，，解得；当时，在，，解得，即可求解； 【详解】解：的对称轴为直线， 顶点坐标为， 当时，在，函数有最小值， 的最小值为， ， ， 当时，在，当时，函数有最小值， ， 解得； 综上所述：的值为或， 故选：B 34．（陕西省商洛市洛南县城关中学2024-2025学年九年级上学期期末调研数学试题）已知二次函数在时有最小值，则（　　） A．或 B．4或 C．或 D．4或 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值，解一元一次方程等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 利用二次函数的性质求出对称轴，然后分和两种情况讨论即可求解． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数对称轴为直线， 当时， ∵在时有最小值， ∴当时，， ； 当时， ∵在时有最小值， ∴当时，， 解得：； 综上所述：或， 故选：B． 35．（2025年陕西省西安市阎良区初中学业水平考试模拟卷（一）数学）已知二次函数（a为常数，且），当时，函数的最大值与最小值之差为8，则a的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．当时，抛物线开口向上，则抛物线在顶点处取得最小值，在时取得最大值，当时，，当时，，则，即可求解． 【详解】由抛物线的表达式知，函数的对称轴为直线， 则比距离对称轴远， 当时，抛物线开口向上，则抛物线在顶点处取得最小值，在时取得最大值， 当时，， 当时，， 则，解得，， 故选：C． 36．（2024·山东·模拟预测）已知二次函数（m为常数，且），当时，该二次函数有最小值2，则m的值是（   ） A．1 B． C．1或 D．1或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，由题意可得二次函数的对称轴为直线，再分两种情况：当时，当时，分别利用二次函数的性质求解即可，熟练掌握二次函数的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵二次函数， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵当时，该二次函数有最小值2， ∴当时，当时，， ∴， 解得：； 当时，对称轴为直线， 故当时，取得最小值为， ∴， 解得：； 综上所述，的值为1或， 故选：C． 类型三 定轴动区间 37．（23-24九年级上·四川泸州·期末）已知抛物线在自变量x的值满足时，与其对应的函数值y的最小值为，求此时t的值为（    ） A．1或 B．2或 C．3或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的性质，分2种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线的上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵时，与其对应的函数值y的最小值为，分两种情况： ①当时，即：时， 当时，，解得：（舍去）或； ②当时，即：时， 当时，，解得：（舍去）或； 综上：t的值为2或； 故选B． 38．（2024·浙江·一模）已知二次函数，当时，函数的最小值是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，把解析式化为顶点式求出抛物线开口向上，顶点坐标为，再根据当时，函数的最小值是可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线开口向上，顶点坐标为， ∴y的最小值即为， ∵当时，函数的最小值是， ∴， ∴， 故选：C． 39．（2025·江苏宿迁·一模）二次函数在的范围内的最小值为6，则实数的值为（   ） A．3 B．或3 C．或1 D．或3 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及函数的最值．利用二次函数图象上点的特征找出时自变量的值是解题的关键．利用二次函数图象上点的特征找出时自变量的值，结合时，函数值的最小值为1，可得到关于的一元一次方程，解即可． 【详解】解：∵， ∴二次函数图象的顶点坐标为， ∴二次函数在实数范围内的最小值为， 令，则， 解得：，， 时，函数值的最小值为6， 或， 或． 故选：D． 类型四 动轴定区间 40．（2025·江苏无锡·一模）已知函数（为常数）的图象不经过第三象限，当时，函数的最大值与最小值之差为16，则的值是（   ） A．4或7 B．4或6 C．5或7 D．5或6 【答案】B 【分析】先根据抛物线不经过第三象限得出，求出，再求出抛物线的顶点坐标为，根据，得出当时，抛物线不经过第三象限，求出，从而得出，说明函数最小值为，把代入得，把代入得，分两种情况求出结果即可． 【详解】解：把代入得：， ∵抛物线不经过第三象限， ∴， 即， ， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵， ∴当时，抛物线不经过第三象限， 解得：， ∴， 当时，函数最小值为， 把代入得， 把代入得， 当时， 解得：或（不符合题意，舍去）； 当时， 解得：或（不符合题意，舍去）； 综上所述，的值为4或6． 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象和性质，分类讨论解题是关键． 41．（24-25九年级下·陕西宝鸡·期中）已知二次函数（h为常数），当时，y的最小值为10，则h的值为（   ） A．1或 B．1或 C．1或3 D．或5 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质， 二次函数的顶点为，开口向上，当不在范围内时，函数在范围内端点处取得最小值，分和两种情况讨论，分别代入端点求解的值． 【详解】当时： 函数在上函数值随着x的增大而增大，最小值在处取得， 当，得：， 解得， 即（舍去，因）或； 当时： 函数在上函数值随着x的增大而减小，最小值在处取得， 当，得：， 解得， 即或（舍去，因）． 当时： 顶点在范围内，此时最小值为6，与题目矛盾，故舍去． 综上，的值为或． 故选：D． 42．（2025·陕西·模拟预测）已知二次函数在范围内的最小值不小于3，则实数t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，分类讨论；确定出抛物线的对称轴，分三种情况考虑即可． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线； 当时，；当时，；当时，； 当时，在对称轴的右侧，函数值随自变量的增大而增大， 而此时，则函数在范围内的最小值不小于4，故满足题意； 当时，函数在内取得最小值， 由题意，只需满足，解得：， 即； 当时，在对称轴的左侧，函数值随自变量的增大而减小， 由题意，只需满足，解得：， 故这样的t不存在； 综上，t的取值范围为； 故选：A． 类型五 动轴动区间 43．（2025年陕西省咸阳市永寿县中考二模数学试题）已知二次函数（b、c为常数），当时，该函数的最大值与最小值的差是，则k的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握性质是解题的关键．先求出顶点坐标为 ，可得当时，该函数的最小值为，再由二次函数的性质可得当时，函数取得最大值，即可求解． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为 ， ∵，即抛物线开口向上， ∴最小值为， ∴当时，该函数的最小值为， ∵， ∴当时，函数取得最大值，为， ∵当时，该函数的最大值与最小值的差是， ∴， 解得：． 故选：C． 题型五 二次函数图像与各项系数之间的关系 1）根据抛物线的开口方向判断a的正负性； 2）根据抛物线的对称轴判断b的正负性（左同右异中间0）. 3）根据抛物线与y轴的交点位置，判断c的正负性. 4）根据抛物线与x轴有无交点，判断的正负性. 5）根据抛物线的顶点，判断的大小. 6）根据抛物线的对称轴可得与±1的大小关系，可得2a±b的正负性. 7）特殊点代入确定a，b，c的关系. 当x=±1时，；当x=±2时，；当x=±1时，. 类型一 二次函数与各项系数符号 44．（2023·山东潍坊·三模）如图，抛物线的对称轴是直线，则下列结论正确的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线开口向上，与y轴交与y轴负半轴，得到，根据抛物线对称轴为直线，得到，由此即可判断A；根据当时，，即可判断B；根据当时，，即可判断C、D． 【详解】解：∵抛物线开口向上，与y轴交与y轴负半轴， ∴， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故A结论正确，符合题意； ∵当时，， ∴，故B结论错误，不符合题意； ∵当时，， ∴， ∴， ∴，故C、D结论错误，不符合题意； 故选A． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质等等，熟知相关知识是解题的关键． 45．（23-24九年级下·全国·课后作业）已知二次函数的图象如图所示，则点在第 象限． 【答案】一 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，由抛物线开口方向得到，由抛物线的对称轴位置得到，由抛物线与y轴的交点位置得，所以，然后根据第一象限点的坐标特征判断点所在象限． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴． ∵对称轴在y轴左侧， ∴ ∴， ∴， ∵图象与y轴的交点在正半轴上， ∴， ∴， ∴点在第一象限． 故答案为：一 46．（22-23九年级上·湖北恩施·阶段练习）二次函数中，x与y的部分对应值如下表： x … 0 2 3 … y … 8 0 0 3 … 则下列说法：①图象经过原点；②图象开口向下；③图象的对称轴为直线；④当时，y随x的增大而增大；⑤图象经过点．其中正确的是 ． 【答案】①③⑤ 【分析】结合图表可以得出当x=0或2时，y=0，x=3时，y=3，根据此三点可求出二次函数解析式，从而根据抛物线的图象性质可逐个判定即可． 【详解】解：∵由图表可以得出当x=0或2时，y=0，x=3时，y=3， ∴， 解得：， ∴y=-2x， ∵c=0， ∴图象经过原点，故①正确； ∵a=1＞0， ∴抛物线开口向上，故②错误； ∵y=-2x=， ∴抛物线的对称轴为直线， 故③正确； ∵抛物线的对称轴是直线x=1，抛物线开口向上， ∴x＞1时，y随x的增大而增大，x＜1时，y随x的增大而减小，故④错误； 把x=-1代入得，y=3， ∴图象经过点（-1，3），故⑤正确； 综上，正确的有①③⑤． 故答案为：①③⑤． 【点睛】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，以及由解析式求函数与坐标轴的交点以及一元二次方程根的判别式的应用． 类型二 二次函数与各项式子符号 47．（2025·江苏宿迁·一模）如图，二次函数的图象与轴的一个交点在和之间，对称轴为直线．有下列结论：①；②；③；④．其中，正确的个数为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点，根据题意和函数图象，可以判断各个小题中的结论是否成立，得以解决． 【详解】解：二次函数的图象开口向下， ， ∵， ∴， 二次函数的图象与轴交于正半轴， ， ，故①正确， ∵， ∴，故②正确， ∵二次函数的图象与轴的一个交点在和之间，对称轴为直线， ∴二次函数的图像与轴的另一个交点在和之间， ∴当时，，即，故③正确， ∵， ∴，故④正确， 综上所述，其中正确的个数有4个， 故答案为：． 48．（2024·湖北·中考真题）抛物线的顶点为，抛物线与轴的交点位于轴上方．以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图像与系数的关系．根据二次函数的解析式结合二次函数的性质，画出草图，逐一分析即可得出结论． 【详解】解：根据题意画出函数的图像，如图所示： ∵开口向上，与轴的交点位于轴上方， ∴，， ∵抛物线与轴有两个交点， ∴， ∵抛物线的顶点为， ∴， 观察四个选项，选项C符合题意， 故选：C． 49．（2020·广东·中考真题）如图，抛物线的对称轴是．下列结论：①；②；③；④，正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】由抛物线的性质和对称轴是，分别判断a、b、c的符号，即可判断①；抛物线与x轴有两个交点，可判断②；由，得，令，求函数值，即可判断③；令时，则，令时，，即可判断④；然后得到答案． 【详解】解：根据题意，则，， ∵， ∴， ∴，故①错误； 由抛物线与x轴有两个交点，则，故②正确； ∵， 令时，， ∴，故③正确； 在中， 令时，则， 令时，， 由两式相加，得，故④正确； ∴正确的结论有：②③④，共3个； 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，熟练判断各个式子的符号． 50．（2024·湖南衡阳·二模）如图，二次函数：的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且对称轴为直线，点B坐标为，则下面的五个结论： ①；②；③当时，或；④；⑤（m为实数），其中正确的结论是（    ） A．②③④⑤ B．①③④⑤ C．①②④⑤ D．①②③⑤ 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与系数之间的关系．开口方向，对称轴，与轴的交点坐标判断①，特殊点判断②，图象法解不等式，判断③，特殊点结合对称轴，判断④，最值判断⑤；掌握二次函数的性质，是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， ∵对称轴为， ∴， ∵抛物线与轴交于正半轴， ∴， ∴，故①正确； ∵对称轴为， ∴与的函数值相等，即：，故②正确； ∵点关于的对称点为， ∴当时，或；故③正确； ∵图象过点，， ∴， ∴；故④错误； ∵抛物线的开口向下， ∴当时，函数值最大， 即：， ∴；故⑤正确； 综上，正确的结论是①②③⑤； 故选：D． 51．（23-24九年级上·山东青岛·期末）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，给出下列结论： ①； ②方程必有一个根大于2且小于3； ③若，是抛物线上的两点，那么； ④； ⑤对于任意实数m，都有， 其中正确结论的序号是 ． 【答案】②④⑤ 【分析】本题以二次函数为背景考查了二次函数图象与系数的关系，运用待定系数法，二次函数图象与轴的交点，利用图象求出的范围即可判断①，根据图象和二次函数的对称轴可以判断②，根据开口方向和离对称轴的距离判断③，利用时的函数值和的取值范围判断④根据抛物线的最值可以判断⑤是解决问题关键． 【详解】①根据图象可知：， ∵对称轴是直线， 即， ， ，故①错误； ②方程，即为二次函数与轴的交点， 根据图象已知一个交点，关于对称， ∴另一个交点，故②正确； ③∵对称轴是直线， ∴点离对称轴更近， ∴，故③错误. ④， ∴， ， 根据图象，令 ， ∴ ， ，故④正确； ⑤∵对称轴是直线， ∴当时，y值最小，即为， ∴当时，， 即， ∴，故⑤正确； 综上②④⑤正确， 故答案为：②④⑤． 题型六 二次函数与图像变化 1）平移规律：上加下减，左加右减. 2）对称规律：关于谁对称，谁不变；关于原点对称，都要改变. 类型一 平移问题 52．（2021·广东·中考真题）把抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为 ． 【答案】 【分析】直接根据“上加下减，左加右减”进行计算即可． 【详解】解：抛物线向左平移1个单位长度， 再向下平移3个单位长度， 得到的抛物线的解析式为：， 即： 故答案为：． 【点睛】本题主要考查函数图像的平移，熟记函数图像的平移方式“上加下减，左加右减”是解题的关键． 53．（2024·江苏徐州·中考真题）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了二次函数平移规律，抛物线与x轴的交点，两点间的距离公式，解题关键是熟练掌握二次函数图象的平移规律，求出抛物线的解析式．根据二次函数图象的平移规律，求出抛物线的解析式，然后令，列出关于x的方程，解方程求出x，再根据两点间的距离公式求出答案即可． 【详解】解：将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线的解析式为： ， 令，则， 或， 解得：或， ， 故答案为：1． 54．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）将抛物线向下平移5个单位长度后，经过点，则 ． 【答案】2 【分析】此题考查了二次函数的平移，根据平移规律得到函数解析式，把点的坐标代入得到，再整体代入变形后代数式即可． 【详解】解：抛物线向下平移5个单位长度后得到， 把点代入得到，， 得到， ∴， 故答案为：2 55．（2024·山东济宁·中考真题）将抛物线向下平移k个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先根据平移的规律写出抛物线向下平移k个单位长度后的抛物线的表达式，再根据平移后得到的抛物线与x轴有公共点可得，由此列不等式即可求出k的取值范围． 此题考查了二次函数图像的平移与几何变换，以及抛物线与x轴的交点问题，利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题关键． 【详解】解：将抛物线向下平移k个单位长度得， ∵与x轴有公共点， ∴， 即， 解得， 故答案为：． 类型二 对称问题 56．（24-25九年级上·福建莆田·期中）已知抛物线，点与点关于该抛物线的对称轴对称，那么的值等于 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；由题意易得该二次函数的对称轴为直线，然后根据对称性可进行求解． 【详解】解：由抛物线，可知：对称轴为直线， ∵点与点关于该抛物线的对称轴对称， ∴， ∴； 故答案为12． 57．（2024·江苏扬州·模拟预测）把二次函数的图象作关于原点的对称变化，所得到的图象函数式为，若，则最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象关于原点的对称变化规律是解题的关键． 把函数的图象作关于原点的对称变化，所得到的图象函数式为，从而可得，，再代入可得，由此即可得到答案． 【详解】解：把函数的图象作关于原点的对称变化，所得到的图象函数式为， 则，， 代入得：， ， ， 则最小值是， 故答案为：． 58．（2022九年级下·全国·专题练习）将抛物线C1：沿x轴对称后，向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到抛物线C2．若抛物线C1的顶点为A，点B是抛物线C2与y轴的交点，O为坐标原点，则△AOB的面积为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】首先求得顶点的坐标，然后求得平移后的解析式，进而求得顶点的坐标，最后根据三角形面积即可求得． 【详解】解：， 顶点为， 将抛物线沿轴对称后的抛物线的顶点为， 沿轴对称后的抛物线的解析式为， 向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到抛物线， 即， 令，则， ， ， 的面积为：， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，根据平移的性质得出平移后的抛物线的解析式以及求得、点的坐标是解题的关键． 59．（23-24九年级上·北京西城·阶段练习）已知抛物线，若抛物线关于轴对称，则 ，此时抛物线关于轴对称的图象解析式为 ． 【答案】 【分析】根据抛物线关于轴对称，得出顶点横坐标为，求解，得出的值，得抛物线解析式为，根据关于轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，则关于轴对称的图象解析式为，整理即可得出答案． 【详解】 解：∵抛物线关于轴对称，即对称轴为轴， ∴顶点在轴上，即顶点横坐标为， ∴， ∴， ∴此时抛物线解析式为， 关于轴对称的图象解析式为，即． 故答案为：，． 【点睛】 本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象与性质计算求解是解题的关键． 60．（2024九年级下·江苏·专题练习）已知抛物线C：，则该抛物线关于y轴对称后的抛物线的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】此题考查了二次函数的图象与几何变换，解题的关键是抓住关于y轴对称点的特点． 由函数关于y轴对称点的特点是∶纵坐标不变，横坐标变为相反数，故把原抛物线上的顶点变换后，化简后可得关于y轴对称的抛物线解析式． 【详解】解∶， 抛物线的顶点 与关于轴对称， 顶点坐标是， 抛物线的函数解析式为的，即． 故答案为∶． 类型三 旋转问题 61．（2025·江苏·模拟预测）将二次函数的图象绕原点O旋转，所得到的图象对应的函数表达式是 ． 【答案】 【分析】本题考查关于原点对称的点坐标特点，二次函数顶点式等．根据题意先得出二次函数顶点坐标为，再求出点关于原点对称的点坐标为，再根据二次函数图象性质即可求出本题答案． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为， ∴绕原点O旋转点坐标为， ∴， ∴所得到的图象对应的函数表达式：， 故答案为：． 62．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）在平面直角坐标系中，将抛物线先绕原点旋转，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，以及几何变换，掌握二次函数图象旋转和平移的法则是解题关键．．先将抛物线配方得到顶点式，从而得到顶点坐标，根据旋转的性质可知，抛物线开口向下，的顶点坐标为，进而得到旋转后的抛物线解析式，再根据“上加下减”的法则，即可得到答案． 【详解】解：， 抛物线开口向上，的顶点坐标为， 将抛物线先绕原点旋转，则抛物线开口向下，的顶点坐标为， 即抛物线为， 再向下平移5个单位，则， 即得到的抛物线的解析式是， 故答案为：． 类型四 翻折问题 63．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，将二次函数位于轴下方的图象沿轴翻折，得到一个新函数的图象（图中的实线）．观察图象若关于的方程有且只有两个解，则的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．根据图象求得答案即可． 【详解】解：将二次函数位于轴下方的图象沿轴翻折， 得到新函数的解析式为：， 关于的方程有且只有两个解，即为直线与新函数图象有且只有两个公共点， 观察图象可得：的取值范围或， 故答案为：或． 64．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）将抛物线的图象位于直线上方的部分向下翻折，得到新的图象，若直线与新图象只有四个交点，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象变换，涉及了二次函数与一次函数的交点问题，根据题意，画出新图象，分别确定直线与抛物线有一个交点、直线经过点时的的值，即可求解． 【详解】解：根据题意，画出新图象如图所示： 直线与抛物线有一个交点时：方程有一个实数根， 整理方程得：， ， 解得：； 由解得：， ∴ 当直线经过点时，得， ∴m的取值范围是： 故答案为： 65．（24-25九年级上·山东临沂·阶段练习）已知二次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新的函数图象（如图所示），当直线与新图象有3个交点时，m的值是 ． 【答案】或/或 【分析】本题考查二次函数与一次函数交点问题，利用数形结合的思想是解题关键．如图，根据二次函数解析式可求出，，即得出新的函数解析式为，大致画出图象，利用图象可知当直线过点A时和当直线与相切时，直线与新图象有3个交点，据此求解即可． 【详解】解：对于， 令，则， 解得：，， ∴，， ∴新的函数解析式为． 如图， 当直线过点A时，与新图象有3个交点， ∴， 解得：； 当直线与相切时，直线与新图象有3个交点，即此时一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：． 综上可知m的值是或． 故答案为：或． 题型七 二次函数与方程、不等式 与函数和二次函数有关的交点问题 ①求交点，联立方程组，并代入求解. ②求交点个数，联立方程组，消元得到一元二次方程，看判别式情况. ③求交点关系，联立方程组，消元得到一元二次方程，先看判别式情况，再用韦达定理求解. 类型一 二次函数与方程 66．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知二次函数的图像与轴交于，两点． (1)求的值； (2)若点在该二次函数的图像上，且的面积为，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）运用待定系数法即可求解； （2）根据题意设，结合几何图形面积计算方法可得点的纵坐标，代入后解一元二次方程即可求解． 【详解】（1）解：二次函数的图像与轴交于，两点， ∴， 解得，， ∴； （2）解：由（1）可知二次函数解析式为：，，， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴当时，，无解，不符合题意，舍去； 当时，，； ∴． 67．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）已知二次函数． (1)求证：不论取何值，该函数图象与轴总有两个交点； (2)若该函数图象的对称轴是直线，求该函数的图象与轴的交点坐标． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了二次函数与y轴的交点问题、待定系数法求函数的解析式等知识，正确理解抛物线与x轴的交点和判别式的关系是关键． （1）证明判别式大于0，即可得出结论； （2）首先根据题意得到对称轴为直线，求出，然后得到，然后将代入求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴不论取何值，该函数图象与轴总有两个交点； （2）解：∵该函数图象的对称轴是直线， ∴对称轴为直线 ∴ ∴ ∴当时， ∴该函数的图象与轴的交点坐标为． 68．（2022·江苏南京·二模）在平面直角坐标系中，一个二次函数的图像的顶点坐标是，与轴的交点坐标是． (1)求该二次函数的表达式； (2)在同一平面直角坐标系中，若该二次函数的图像与一次函数（为常数）的图像有2个公共点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设顶点式，根据顶点坐标和与轴的交点坐标利用待定系数法进行求解即可； （2）由该二次函数的图像与一次函数（为常数）的图像有2个公共点，可得 有两个不同的解，即有两个不同的实数解，根据根的判别式进行求解即可． 【详解】（1）二次函数的图像的顶点坐标是， 设二次函数的解析式为， 二次函数的图像与轴的交点坐标是， ， 解得， 该二次函数的表达式为； （2）该二次函数的图像与一次函数（为常数）的图像有2个公共点， 有两个不同的解， ，即， 整理得， ， 解得， 所以，的取值范围是． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与一次函数的关系，一元二次方程根的判别式，熟练掌握知识点是解题的关键． 类型二 二次函数与不等式 69．（2023·浙江宁波·中考真题）如图，已知二次函数图象经过点和．    (1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标． (2)当时，请根据图象直接写出x的取值范围． 【答案】(1)，顶点坐标为； (2) 【分析】（1）把和代入，建立方程组求解解析式即可，再把解析式化为顶点式，可得顶点坐标； （2）把代入函数解析式求解的值，再利用函数图象可得时的取值范围． 【详解】（1）解：∵二次函数图象经过点和． ∴，解得：， ∴抛物线为， ∴顶点坐标为：； （2）当时，， ∴ 解得：，，    如图，当时， ∴． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的顶点坐标，利用图象法解不等式，熟练的运用数形结合的方法解题是关键． 70．（23-24九年级上·江苏苏州·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于、两点（点在点的左侧），交轴于点，连接，，． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，的取值范围______； (3)当时，的取值范围______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出点C的坐标，得到的长，进一步得到点A和点B的坐标，再利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）根据抛物线与x的交点坐标及函数图象进行判断即可； （3）求出顶点坐标即函数最大值，求出当和时的函数值，根据二次函数的图象即可得到答案； 此题考查了二次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式等知识，数形结合是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，， ∴点C的坐标是， ∴， ∴， ∴点B的坐标是， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴点A的坐标是， 把点B，点A代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解由抛物线图象可知，当时，则的取值范围是， 故答案为：； （3）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标是，对称轴为直线， ∵抛物线开口向下， ∴当时，有最大值4， 当时，， 当时，， ∴当时，的取值范围为， 故答案为： 71．（2022·江苏南京·一模）已知二次函数（为常数，且）． (1)求证：该函数的图像与x轴总有两个公共点； (2)若点，在函数图像上，比较与的大小； (3)当时，，直接写出的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)当或时，；当时，；当时， (3)，且 【分析】（1）令，可得出的两个解，且两个解不相等即可得出结论； （2）先求出，然后分三种情况讨论即可； （3）先求出抛物线与轴的交点，对称轴，顶点坐标，然后在0＜x＜3范围内分和两种情况确定函数的最大值，从而得出结论． 【详解】（1）证明：令， 即， ∴或， 即，， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴该函数的图像与轴总有两个公共点． （2）解：∵点，在函数图像上， ∴当时，， 当时，， ∴， ∴当或时，， 当时，， 当时，． （3）∵二次函数， 整理可得：， 由（1）可知：当时，解得：，， ∴二次函数的图像交轴于和两点， 对称轴， 当时， ， ∴二次函数图像的顶点坐标为， 由（2）可知：当时，， 当时，， 当时，二次函数的图像开口向上， ∵， ∴， 解得：， ∴， 当时，二次函数图像开口向下， ∵对称轴， 当，即时， ∴二次函数图像在顶点处取得最大值， ∴， 解得：， ∴， 当,即, 由题意可知，,解得：,即a=-2; 综上所述，当时，，的取值范围是：，且． 【点睛】本题考查了二次函数图像与系数的关系，二次函数图像与轴的交点，二次函数的性质，二次函数图像上点的坐标特征，作差法比较函数值的大小，解一元二次方程，解不等式（组）等知识，采用了分情况讨论的解题方法．解题的关键是在某一范围内的函数最大值的确定． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题01 二次函数的图像与性质（基础） （7种题型22重难点突破） 题型一 利用待定系数法求二次函数解析式 根据已知条件确定二次函数的解析式，通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点选择适当的形式，这样才能使解题简便.一般来说，有如下几种情况: 1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式，然后列出关于a，b，c的三元一次方程组求解； 2）已知抛物线的顶点或对称轴或最大(小)值，一般选用顶点式，然后将另一点的坐标代入，解关于a的一元一次方程； 3）当已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，常用交点式求其表达式，将第三点的坐标或其它已知条件代入，求出待定系数a，最后将解析式化成一般式； 4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式或交点式. 类型一 一般式 1．（23-24九年级上·山东日照·期中）二次函数，自变量x与函数y的对应值如下表： x … 0 … y … 4 0 0 4 … 下列说法正确的是（    ） A．抛物线的开口向下 B．当时，y随x的增大而增大 C．当时， D．二次函数的最小值是 2．（23-24九年级下·江苏宿迁·期末）二次函数，自变量x与函数y的对应值如表： … 0 1 … … 5 0 0 … 则当时， y满足的范围是 ． 类型二 顶点式 3．（23-24九年级上·广东珠海·期中）若二次函数的图象的顶点坐标为，且抛物线过，则二次函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·浙江金华·期末）已知二次函数图象与轴的一个交点坐标为，顶点坐标为，则该二次函数的解析式为 ． 5．（24-25九年级下·江苏南京·开学考试）已知二次函数的图象经过点，顶点坐标是，求这个二次函数的表达式． 类型三 交点式 6．（24-25九年级上·河北·期中）抛物线与轴的交点，，其形状与抛物线相同，则该二次函数的解析式为 ． 7．（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）过抛物线的解析式为 ； 8．（23-24九年级上·山东东营·期中）二次函数的图象如图所示，与x轴交点坐标为，与y轴交点坐标为，对称轴为，则其解析式为 ． 类型四 根据二次函数的性质求解析式 9．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知二次函数的图象经过点，且顶点坐标为，则二次函数的解析式为 ． 10．（2023九年级下·江苏·专题练习）如图，若抛物线经过原点，则抛物线的解析式为 ． 11．（2023九年级下·江苏·专题练习）与抛物线的图象形状相同，但开口方向不同，顶点坐标是的抛物线解析式是 ． 题型二 二次函数的图像 类型一 函数图像的综合判断 12．（2024·河南·三模）直线与抛物线在同一坐标系里的大致图象正确的是（     ） A．B．C．D． 13．（24-25九年级上·云南·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（　　） A． B． C． D． 14．（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）反比例函数与二次函数在同一坐标轴中的图象大致是（    ） A． B． C． D． 15．（22-23九年级下·江苏南京·阶段练习）函数，在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的图像可能是（    ） A．B．C．D． 类型二 通过画函数图像判断其性质 16．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． (1)自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下： 其中， (2)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分． (3)观察函数图象，写出两条函数的性质． (4)进一步探究函数图象发现： ①关于x的方程方程实数根为 ； ②关于x的方程有个实数根时，的取值范围是 ． 17．（2025九年级下·江苏南京·专题练习）小明根据学习函数的经验，对函数的图象及性质进行了探究和应用．下面是小明的探究过程 x … 1 2 … y … … (1)函数的自变量x的取值范围是 ； (2)下表是y与x的几组对应值，在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象； (3)探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是，结合函数的图象，写出该函数的其它2条不同的性质：① ，② ； (4)设，，利用图象比较a和b的大小（请写出比较过程）． 18．（22-23九年级上·河南驻马店·期中）某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．    (1)自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下： 其中，________． (2)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中，直接画出该函数的图象． (3)观察函数图象，写出一条该函数的性质_______________________________； (4)已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象．直接写出方程的解（保留一位小数，误差不超过） 类型三 函数图像的识别 19．（2025·江苏南京·二模）函数的图像如图所示．类似的，函数的图像是（　　） A．B．C．D． 20．（22-23九年级上·江苏·期末）如图，中，，，，D是边上一动点（不与A，C两点重合），沿的路径移动，过点D作，交于点E，将沿直线折叠得到．若设，与重叠部分的面积为y，则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是（    ） A．B．C．D． 21．（2023·广东东莞·一模）如图菱形的边长为，，，动点P，Q同时从点A出发，都以的速度分别沿和的路经向点C运动，设运动时间为x（单位：s），四边形的面积为y（单位：），则y与x之间的函数关系可用图象表示为（　　） A．B．C．D． 22．（2012·江苏泰州·二模）如图，在正方形中，，动点M自A点出发沿AB方向以每秒1cm的速度运动，同时动点N自A点出发沿折线以每秒3cm的速度运动，到达B点时运动同时停止．设的面积为y（cm2）．运动时间为x（秒），则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是（　　）   A．  B．  C．  D． 23．（2022·山东德州·一模）在平面直角坐标系，中，点和点在抛物线上，已知点，，在该抛物线上．若，则，，的大小为（　　） A． B． C． D． 题型三 比较函数值的大小 方法一 代入比较法 解题方法：若已知二次函数的解析式，可将几个点的横坐标分别代入二次函数的解析式，求出对应的函数值，再比较函数值的大小. 方法二增减性比较法 解题方法：首先要确定二次函数图像的对称轴，然后判断所给点是否在对称轴的同一侧，若在同一侧，可根据函数的性质比较函数值的大小.若不在同一侧，可根据对称性转化到同一侧，然后比较函数值的大小. 方法三 根据点到坐标轴的距离比较大小 条件：已知二次函数解析式（顶点式）及抛物线上几个点的坐标比较函数的大小. 图示： 大招结论：设，当a＞0，d越大，y越大；当a＜0，d越小，y越大. （简称：a大d大y越大，a小d小y越大） 类型一 已知自变量比较函数值的大小 24．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）已知二次函数图像的对称轴为直线，且经过点、，试比较大小： ．（填“>”“＜”或“＝”） 25．（23-24九年级上·上海·期中）已知抛物线经过点，．试比较和的大小： （填“＞”，“＜”或“＝”） 26．（22-23九年级上·江西赣州·期中）已知函数图象上有三点、、，试确定、、的大小 ． 类型二 参数问题 27．（25-26九年级上·福建厦门·阶段练习）已知抛物线经过两点，若分别位于抛物线对称轴的两侧，且，则的取值范围是 ． 28．（25-26九年级上·山东菏泽·阶段练习）在平面直角坐标系中，将抛物线（、为常数，且）沿轴向右平移7个单位得到抛物线，点、均在抛物线上，且位于抛物线对称轴的两侧．若，则的取值范围为 ． 29．（25-26九年级上·全国·阶段练习）点，，在二次函数的图象上，且，则m的取值范围是 ． 题型四 二次函数与最值问题 类型一：自变量x取全体实数 解题方法：即当a＞0时，当x=时，y有最小值，；当a＜0时，当x=时，y有最大值，. 类型二：自变量x的取值范围为给定范围， 类型一 顶点处取得最值 30．（24-25九年级下·全国·期末）已知二次函数，当时，y的最小值为 ． 31．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）二次函数的最小值是（   ） A． B．1 C．2 D．3 32．（2023九年级下·全国·专题练习）已知二次函数的图象如图，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（　　） A．有最大值2，有最小值 B．有最大值2，有最小值1.5 C．有最大值1.5，有最小值 D．有最大值2，无最小值 类型二 定轴定区间 33．（江苏省苏州市2024-2025学年上学期九年级数学期中模拟卷（4））已知二次函数，当时，的最小值为，则a的值为（  ） A．或 B．或 C．或 D．或 34．（陕西省商洛市洛南县城关中学2024-2025学年九年级上学期期末调研数学试题）已知二次函数在时有最小值，则（　　） A．或 B．4或 C．或 D．4或 35．（2025年陕西省西安市阎良区初中学业水平考试模拟卷（一）数学）已知二次函数（a为常数，且），当时，函数的最大值与最小值之差为8，则a的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 36．（2024·山东·模拟预测）已知二次函数（m为常数，且），当时，该二次函数有最小值2，则m的值是（   ） A．1 B． C．1或 D．1或 类型三 定轴动区间 37．（23-24九年级上·四川泸州·期末）已知抛物线在自变量x的值满足时，与其对应的函数值y的最小值为，求此时t的值为（    ） A．1或 B．2或 C．3或 D．或 38．（2024·浙江·一模）已知二次函数，当时，函数的最小值是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 39．（2025·江苏宿迁·一模）二次函数在的范围内的最小值为6，则实数的值为（   ） A．3 B．或3 C．或1 D．或3 类型四 动轴定区间 40．（2025·江苏无锡·一模）已知函数（为常数）的图象不经过第三象限，当时，函数的最大值与最小值之差为16，则的值是（   ） A．4或7 B．4或6 C．5或7 D．5或6 41．（24-25九年级下·陕西宝鸡·期中）已知二次函数（h为常数），当时，y的最小值为10，则h的值为（   ） A．1或 B．1或 C．1或3 D．或5 42．（2025·陕西·模拟预测）已知二次函数在范围内的最小值不小于3，则实数t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 类型五 动轴动区间 43．（2025年陕西省咸阳市永寿县中考二模数学试题）已知二次函数（b、c为常数），当时，该函数的最大值与最小值的差是，则k的值为（   ） A． B． C． D． 题型五 二次函数图像与各项系数之间的关系 1）根据抛物线的开口方向判断a的正负性； 2）根据抛物线的对称轴判断b的正负性（左同右异中间0）. 3）根据抛物线与y轴的交点位置，判断c的正负性. 4）根据抛物线与x轴有无交点，判断的正负性. 5）根据抛物线的顶点，判断的大小. 6）根据抛物线的对称轴可得与±1的大小关系，可得2a±b的正负性. 7）特殊点代入确定a，b，c的关系. 当x=±1时，；当x=±2时，；当x=±1时，. 类型一 二次函数与各项系数符号 44．（2023·山东潍坊·三模）如图，抛物线的对称轴是直线，则下列结论正确的是（　　）    A． B． C． D． 45．（23-24九年级下·全国·课后作业）已知二次函数的图象如图所示，则点在第 象限． 46．（22-23九年级上·湖北恩施·阶段练习）二次函数中，x与y的部分对应值如下表： x … 0 2 3 … y … 8 0 0 3 … 则下列说法：①图象经过原点；②图象开口向下；③图象的对称轴为直线；④当时，y随x的增大而增大；⑤图象经过点．其中正确的是 ． 类型二 二次函数与各项式子符号 47．（2025·江苏宿迁·一模）如图，二次函数的图象与轴的一个交点在和之间，对称轴为直线．有下列结论：①；②；③；④．其中，正确的个数为 ． 48．（2024·湖北·中考真题）抛物线的顶点为，抛物线与轴的交点位于轴上方．以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 49．（2020·广东·中考真题）如图，抛物线的对称轴是．下列结论：①；②；③；④，正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 50．（2024·湖南衡阳·二模）如图，二次函数：的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且对称轴为直线，点B坐标为，则下面的五个结论： ①；②；③当时，或；④；⑤（m为实数），其中正确的结论是（    ） A．②③④⑤ B．①③④⑤ C．①②④⑤ D．①②③⑤ 51．（23-24九年级上·山东青岛·期末）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，给出下列结论：①；②方程必有一个根大于2且小于3；③若，是抛物线上的两点，那么；④；⑤对于任意实数m，都有，其中正确结论的序号是 ． 题型六 二次函数与图像变化 1）平移规律：上加下减，左加右减. 2）对称规律：关于谁对称，谁不变；关于原点对称，都要改变. 类型一 平移问题 52．（2021·广东·中考真题）把抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为 ． 53．（2024·江苏徐州·中考真题）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则 ． 54．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）将抛物线向下平移5个单位长度后，经过点，则 ． 55．（2024·山东济宁·中考真题）将抛物线向下平移k个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是 ． 类型二 对称问题 56．（24-25九年级上·福建莆田·期中）已知抛物线，点与点关于该抛物线的对称轴对称，那么的值等于 ． 57．（2024·江苏扬州·模拟预测）把二次函数的图象作关于原点的对称变化，所得到的图象函数式为，若，则最小值是 ． 58．（2022九年级下·全国·专题练习）将抛物线C1：沿x轴对称后，向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到抛物线C2．若抛物线C1的顶点为A，点B是抛物线C2与y轴的交点，O为坐标原点，则△AOB的面积为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 59．（23-24九年级上·北京西城·阶段练习）已知抛物线，若抛物线关于轴对称，则 ，此时抛物线关于轴对称的图象解析式为 ． 60．（2024九年级下·江苏·专题练习）已知抛物线C：，则该抛物线关于y轴对称后的抛物线的函数解析式为 ． 类型三 旋转问题 61．（2025·江苏·模拟预测）将二次函数的图象绕原点O旋转，所得到的图象对应的函数表达式是 ． 62．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）在平面直角坐标系中，将抛物线先绕原点旋转，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的解析式是 ． 类型四 翻折问题 63．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，将二次函数位于轴下方的图象沿轴翻折，得到一个新函数的图象（图中的实线）．观察图象若关于的方程有且只有两个解，则的取值范围为 ． 64．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）将抛物线的图象位于直线上方的部分向下翻折，得到新的图象，若直线与新图象只有四个交点，则m的取值范围是 ． 65．（24-25九年级上·山东临沂·阶段练习）已知二次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新的函数图象（如图所示），当直线与新图象有3个交点时，m的值是 ． 题型七 二次函数与方程、不等式 与函数和二次函数有关的交点问题 ①求交点，联立方程组，并代入求解. ②求交点个数，联立方程组，消元得到一元二次方程，看判别式情况. ③求交点关系，联立方程组，消元得到一元二次方程，先看判别式情况，再用韦达定理求解. 类型一 二次函数与方程 66．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知二次函数的图像与轴交于，两点． (1)求的值； (2)若点在该二次函数的图像上，且的面积为，求点的坐标． 67．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）已知二次函数． (1)求证：不论取何值，该函数图象与轴总有两个交点； (2)若该函数图象的对称轴是直线，求该函数的图象与轴的交点坐标． 68．（2022·江苏南京·二模）在平面直角坐标系中，一个二次函数的图像的顶点坐标是，与轴的交点坐标是． (1)求该二次函数的表达式； (2)在同一平面直角坐标系中，若该二次函数的图像与一次函数（为常数）的图像有2个公共点，求的取值范围． 类型二 二次函数与不等式 69．（2023·浙江宁波·中考真题）如图，已知二次函数图象经过点和．    (1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标． (2)当时，请根据图象直接写出x的取值范围． 70．（23-24九年级上·江苏苏州·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于、两点（点在点的左侧），交轴于点，连接，，． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，的取值范围______； (3)当时，的取值范围______． 71．（2022·江苏南京·一模）已知二次函数（为常数，且）． (1)求证：该函数的图像与x轴总有两个公共点； (2)若点，在函数图像上，比较与的大小； (3)当时，，直接写出的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $