4.1 数列的概念（第1课时）（导学案）数学人教A版2019选择性必修第二册

4.1 数列的概念（第1课时） 导学案 (1) 能通过对具体实例的共同特征的归纳，抽象出数列的一般概念；知道数列的一般表示，并能说出表示的具体含义；能用函数的观点解释数列，知道是从正整数集(或它的有限子集)到实数集的函数；通过数列概念的抽象，发展数学抽象素养； (2) 能类比函数的表示，用通项公式、图象或表格表示一个数列，能说出三种表示方法各自的优势；能通过对数列与函数在表示方法上的异同点的比较，进一步体会函数与数列的联系，加深对数列本质的认识. (3) 能说明数列通项公式中各个量的含义；能认识到通项公式是数列最基本最重要的表示方法，其本质就是数列的函数解析式；能根据数列的通项公式，写出数列的任意项，或根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式，体会特殊与一般的数学思想. 第一环节 情境引入 观察：观察图片，发现了什么？ 思考：从上往下第3个数是多少？第14个数是多少? 追问：这列数有顺序吗？ 第二环节 新课探究 教师：同学们，平时要有意识地用数学的眼观去看世界，数列在我们生活中，无处不在！我来举几个例子，稍后你来举例子. 例子1：王芳从1岁到17岁，每年生日那天测量身高．将这些身高数据（单位：cm）依次排成一列数：75，87，96，103，110，116，120，128，138，145，153，158，160，162，163，165，168．② 思考：此例中的第6个数是什么?它的实际意义是什么?163是第几个数?它的实际意义是什么? 追问：75和168能交换位置吗? 为什么? 思考：第6个数是116，第17个数是168，可否用通俗易懂的一个数学符号来表示？ 追问：表示排在第几位的数？他的实际意义是什么？ 例子2：在两河流域发掘的一块泥版（编号K90，约产生于公元前7世纪）上，有一列依次表示一个月中从第1天到第15天每天月亮可见部分的数（把满月分成240份，则从初一到十五每天月亮的可见部分可用一个代表份数的数来表示）：5，10，20，40，80，96，112，128，144，160，176，192，208，224，240．③ 要求：记第天月亮可见部分的数为,那么. 例子3：2的次幂按1次幂、2次幂、3次幂、4次幂……依次排成一列数： 2，4，8，16，……④ 归纳：上面四个例子的共同特征是什么? ① 0， 1， 1，2， 3， 5，8，13， 21，34，...... ② 75, 87, 96, 103, 110, 116, 120, 128, 138, 145, 153, 158, 160, 162, 163, 165, 168. ③ 5，10，20，40，80，96，112，128，144，160，176，192，208，224，240． ④ 2，4，8，16，…… 定义：数列：一般地，我们把按照 排列的一列数称为 项：数列中的每一个数叫做这个数列的 . 项数：数列中的 叫做这个数列的项数， 首项：数列的 上的数叫做这个数列的第1项，也称首项.常用符号a1表示 第2项：数列的第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用 表示 第n项：第n个位置上的数叫做这个数列的 ，用 表示. 数列的一般形式是 ，，…，，…，简记为 ． 牛刀小试： 练1：3，3，3，3，3，3，3，......是数列吗？ 练2：以下两个数列是同一数列吗？ 2，4，6，8，10，12 2，4，8，6，10，12 练2：由2，3，周杰伦，5，奥特曼，6，这几个元素能构成数列吗？ 思考：2的次幂按1次幂、2次幂、3次幂、4次幂……依次排成一列数： 2，4，8，16，……④ 易知，那么， 追问：能否以函数的观点来理解序号与项之间的关系？ 结论：数列是一个特殊的函数，自变量是序号，对应的函数值是数列的第项，记为： 练习：2的次幂按1次幂、2次幂、3次幂、4次幂……依次排成一列数： 2，4，8，16，……④，则 教师：这种数列的表示方法叫做“_____________” 通项公式：如果数列的第项_____________与它的序号_____________之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的_____________． 练习：写出下列三个数列的通项公式： （1） 所有偶数构成的数列：2，4，6，8，10，...... （2） 所有奇数构成的数列：1，3，5，7，9，...... （3） 数列：-1，1，-1，1，-1，...... 思考：由第（3）小题的结果，你能得出怎样的结论？ 练习：所有偶数构成的数列：2，4，6，8，10，.....的通项公式： （1） 思考：有什么结论？ （2）是不是该数列的项？ 思考：有什么结论？ 练习：数列：1，7，108，36，72，.....的通项公式什么？ 思考：有什么结论？ 思考：函数有表格，图像，解析式三种表示方法， 数列作为一种特殊的函数，你能表格法和图象法表示数列②吗？ 75, 87, 96, 103, 110, 116, 120, 128, 138, 145, 153, 158, 160, 162, 163, 165, 168. 数列的第二种表示方法：_____________ 预设：表格法如表4.1-1： n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 an 数列的第三种表示方法：_____________ 王芳从1岁到17岁每年生日那天测量身高的图象法：如图4.1-1： 数列的分类： 1. 以项数来分类： (1) ：项数有限的数列； (2) ：项数无限的数列. 2. 以各项的大小关系来分类： (1) ： 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列. 对任意n∈N*，总有an+1>an (或an+1-an>0). (2) ：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列.对任意n∈N*，总有an+1<an (或an+1-an<0). (3) ：各项都相等的数列； (4) ：从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列. 例1：根据下列数列的通项公式，写出数列的前5项，并画出它们的图象． （1）；（2）． 例2：根据下列数列的前4项，写出数列的一个通项公式： （1）； （2）． 例3如果数列的通项公式为，那么120是不是这个数列的项？如果是，是第几项？ 方法总结：判断某数值是否为该数列的项的方法 先假定它是数列中的第n项，然后列出关于 的方程. 若方程解为 ，则是数列的一项； 若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项. 题型一：由数列通项公式求指定项 例题：（1）已知数列的通项公式，则的值为（    ） A． B．0 C． D．1 （2）若已知数列的通项公式是，其中． 则 ， ． （3）已知数列的通项公式为，则（    ） A．34 B．36 C．38 D．40 题型二：判断某数是否为数列项 例题 （1）已知数列的通项公式是，则下列各数是的项的是（   ） A．18 B．20 C．32 D．66 （2）已知数列的通项公式为，那么是这个数列的第（     ）项． A．9 B．10 C．11 D．12 方法总结：判断某数值是否为该数列的项的方法 先假定它是数列中的 ，然后列出关于 的方程. 若方程解为 ，则是数列的一项； 若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项. 题型三：观察法求数列通项公式 例题：（1）数列为，则不能作为通项公式的是（     ） A． B． C． D． （2）写出下列数列{an}的一个通项公式： (1)，2，，8，，…； (2)1，－3，5，－7，9，…； 方法总结：此类问题主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法求解. 具体注意以下几方面： (1)分式中分子、分母的特征； (2)相邻项的变化特征； (3)拆项后的特征； (4)各项的符号特征和绝对值特征； (5)化异为同； (6)对于符号交替出现的情况，可用(−1)^n或(−1)^n+1处理. 1．（23-24高二上·贵州贵阳·阶段练习）数列，，，，的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·期末）（多选）下列命题中正确的是（    ） A．数列，，，与数列，，，是同一数列 B．数列，，，，…的一个通项公式是 C．数列，，，，…没有通项公式 D．设数列，其中均为正数，则此数列为递增数列 3．（24-25高二上·贵州毕节·期末）已知数列的一个通项公式为，且，则（   ） A．1 B．2 C．26 D．80 4．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）已知数列，则是这个数列的（     ） A．第17项 B．第18项 C．第19项 D．第20项 5．（24-25高二上·广东梅州·期末）（多选）已知，关于数列，下列命题中正确的是（    ） A． B． C．恒成立 D．数列是递增数列 1．数列的相关概念 （1）数列：按照 排成的一列数叫作数列. （2）数列的项：数列中的每一个数都称为这个数列的 ，各项依次称为这个数列的第1项（ ），第2项…… （3）项数：组成数列的 称为数列的项数 2．数列的通项与通项公式 （1）通项：数列从首项起，每一项都与 对应，所以数列的一般形式可以写成，其中表示数列的第n项（也称n为的序号），称为数列的 ，一般将整个数列简记为 ． （2）通项公式：如果数列第n项与序号n之间的关系可以用来表示，其中是关于n的不含其他未知数的表达式，那么这个公式叫做这个数列的 ． 3．数列与函数的关系 事实上，数列可以看成定义域为 的子集的函数，数列中的数就是自变量从小到大依次取 时对应的函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的 ．这就提示我们，数列也可以用平面直角坐标系中的 来直观地表示． 4．数列的分类 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 无穷数列 项与项间的大小关系 递增数列 从第二项起，每一项都 它的前一项 递减数列 从第二项起，每一项都 它的前一项 常数列 学科网（北京）股份有限公司1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.1 数列的概念（第1课时） 导学案 (1) 能通过对具体实例的共同特征的归纳，抽象出数列的一般概念；知道数列的一般表示，并能说出表示的具体含义；能用函数的观点解释数列，知道是从正整数集(或它的有限子集)到实数集的函数；通过数列概念的抽象，发展数学抽象素养； (2) 能类比函数的表示，用通项公式、图象或表格表示一个数列，能说出三种表示方法各自的优势；能通过对数列与函数在表示方法上的异同点的比较，进一步体会函数与数列的联系，加深对数列本质的认识. (3) 能说明数列通项公式中各个量的含义；能认识到通项公式是数列最基本最重要的表示方法，其本质就是数列的函数解析式；能根据数列的通项公式，写出数列的任意项，或根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式，体会特殊与一般的数学思想. 第一环节 情境引入 观察：观察图片，发现了什么？ 预设：一列数：0，1，1，2，3，5，8，13，......① 思考：从上往下第3个数是多少？第14个数是多少? 预设：1、233 追问：这列数有顺序吗？ 有 第二环节 新课探究 教师：同学们，平时要有意识地用数学的眼观去看世界，数列在我们生活中，无处不在！我来举几个例子，稍后你来举例子. 例子1：王芳从1岁到17岁，每年生日那天测量身高．将这些身高数据（单位：cm）依次排成一列数：75，87，96，103，110，116，120，128，138，145，153，158，160，162，163，165，168．② 思考：此例中的第6个数是什么?它的实际意义是什么?163是第几个数?它的实际意义是什么? 116，它表示王芳6岁时身高为116cm；15，它表示王芳15岁时身高为163cm 追问：75和168能交换位置吗? 为什么? 预设：不能交换位置，位置不同的数表示含义不同 思考：第6个数是116，第17个数是168，可否用通俗易懂的一个数学符号来表示？ 预设：记王芳第岁时的身高为，那么，. 追问：表示排在第几位的数？他的实际意义是什么？ 预设：第14位的数，第14岁的身高为162cm 例子2：在两河流域发掘的一块泥版（编号K90，约产生于公元前7世纪）上，有一列依次表示一个月中从第1天到第15天每天月亮可见部分的数（把满月分成240份，则从初一到十五每天月亮的可见部分可用一个代表份数的数来表示）：5，10，20，40，80，96，112，128，144，160，176，192，208，224，240．③ 要求：记第天月亮可见部分的数为,那么. 预设：，. 例子3：2的次幂按1次幂、2次幂、3次幂、4次幂……依次排成一列数： 2，4，8，16，……④ 归纳：上面四个例子的共同特征是什么? ① 0， 1， 1，2， 3， 5，8，13， 21，34，...... ② 75, 87, 96, 103, 110, 116, 120, 128, 138, 145, 153, 158, 160, 162, 163, 165, 168. ③ 5，10，20，40，80，96，112，128，144，160，176，192，208，224，240． ④ 2，4，8，16，…… 预设：都是一列数，都有确定的顺序 定义：数列：一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列 项：数列中的每一个数叫做这个数列的项. 项数：数列中的项的个数叫做这个数列的项数， 首项：数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，也称首项.常用符号a1表示 第2项：数列的第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示 第n项：第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示. 数列的一般形式是 ，，…，，…，简记为． 牛刀小试： 练1：3，3，3，3，3，3，3，......是数列吗？ 预设：是，数列中的数可以重复 练2：以下两个数列是同一数列吗？ 2，4，6，8，10，12 2，4，8，6，10，12 预设：若数列中被排列的数相同，但次序不同，则不是同一数列 练2：由2，3，周杰伦，5，奥特曼，6，这几个元素能构成数列吗？ 预设：不能，数列的项是一个确定的数值 思考：2的次幂按1次幂、2次幂、3次幂、4次幂……依次排成一列数： 2，4，8，16，……④ 易知，那么， 追问：能否以函数的观点来理解序号与项之间的关系？ 预设：由于数列中的每一项与它的序号有下面的对应关系： 所以数列是从正整数集(或它的有限子集)到实数集的函数，其自变量是序号，对应的函数值是数列的第项，记为． 结论：数列是一个特殊的函数，自变量是序号，对应的函数值是数列的第项，记为： 练习：2的次幂按1次幂、2次幂、3次幂、4次幂……依次排成一列数： 2，4，8，16，……④，则 教师：这种数列的表示方法叫做“解析式法” 通项公式：如果数列的第项与它的序号之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式． 练习：写出下列三个数列的通项公式： （1） 所有偶数构成的数列：2，4，6，8，10，...... （2） 所有奇数构成的数列：1，3，5，7，9，...... （3） 数列：-1，1，-1，1，-1，...... 预设：（1）；（2）；（3） 思考：由第（3）小题的结果，你能得出怎样的结论？ 预设：一个数列的通项公式不唯一 练习：所有偶数构成的数列：2，4，6，8，10，.....的通项公式： （1） 答案：316 思考：有什么结论？ 预设：结论：通项公式可以用来求数列指定项 （2）是不是该数列的项？答案：, 所以37不是该数列的项 思考：有什么结论？ 预设：结论：通项公式可以用来判断某数是否为数列的项 练习：数列：1，7，108，36，72，.....的通项公式什么？ 思考：有什么结论？ 预设：结论：不是所有数列能写出它的通项公式 思考：函数有表格，图像，解析式三种表示方法， 数列作为一种特殊的函数，你能表格法和图象法表示数列②吗？ 75, 87, 96, 103, 110, 116, 120, 128, 138, 145, 153, 158, 160, 162, 163, 165, 168. 数列的第二种表示方法：表格法 预设：表格法如表4.1-1： 数列的第三种表示方法：图象法 王芳从1岁到17岁每年生日那天测量身高的图象法：如图4.1-1： 数列的分类： 1. 以项数来分类： (1) 有穷数列：项数有限的数列； (2) 无穷数列：项数无限的数列. 2. 以各项的大小关系来分类： (1) 递增数列： 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列. 对任意n∈N*，总有an+1>an (或an+1-an>0). (2) 递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列.对任意n∈N*，总有an+1<an (或an+1-an<0). (3) 常数列：各项都相等的数列； (4) 摆动数列：从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列. 例1：根据下列数列的通项公式，写出数列的前5项，并画出它们的图象． （1）；（2）． 解：（1）当通项公式中的时，数列的前5项依次为 图象如图4.1-2(1)所示． （2）当通项公式中的时，数列的前项依次为．图象如图4.1-2(2)所示． 例2：根据下列数列的前4项，写出数列的一个通项公式： （1）； （2）． 解：（1）这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为 ① ①或常常用来表示正负相间的变化规律． （2）这个数列前4项的奇数项是2，偶数项是0，所以它的一个通项公式为 ． 例3如果数列的通项公式为，那么120是不是这个数列的项？如果是，是第几项？ 分析：要判断120是不是数列中的项，就是要回答是否存在正整数，使得．也就是判断上述关于的方程是否有正整数解． 解：令，解这个关于的方程，得（舍去），或． 所以，120是数列的项，是第10项． 方法总结：判断某数值是否为该数列的项的方法 先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程. 若方程解为正整数，则是数列的一项； 若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项. 题型一：由数列通项公式求指定项 例题：（1）已知数列的通项公式，则的值为（    ） A． B．0 C． D．1 解析：因为数列的通项公式，所以. 故选：B （2）若已知数列的通项公式是，其中． 则 ， ． 解析：数列的通项公式是，则； 将代入计算，得到. （3）已知数列的通项公式为，则（    ） A．34 B．36 C．38 D．40 解析：．故选：D. 题型二：判断某数是否为数列项 例题 （1）已知数列的通项公式是，则下列各数是的项的是（   ） A．18 B．20 C．32 D．66 解析：因为，所以当是64的因数1，2，4，8，16，32，64时，是整数， 当或时，，故D错误； 当或时，，故C错误； 当或时，，故B正确； 当时，，故A错误． 故选：B． （2）已知数列的通项公式为，那么是这个数列的第（     ）项． A．9 B．10 C．11 D．12 解析：由数列的通项公式为，令， 即，可得，解得或， 即，所以是数列的第项. 故选：B. 方法总结：判断某数值是否为该数列的项的方法 先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程. 若方程解为正整数，则是数列的一项； 若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项. 题型三：观察法求数列通项公式 例题：（1）数列为，则不能作为通项公式的是（     ） A． B． C． D． 解析：对于A：，故A正确； 对于B：，故B正确； 对于C：，故C错误； 对于D：，故D正确； 故选：C. （2）写出下列数列{an}的一个通项公式： (1)，2，，8，，…； (2)1，－3，5，－7，9，…； 解析：(1)先将各项都统一成分数再观察：，，，，，…，所以它的一个通项公式为an＝. （2）数列各项的绝对值分别为1,3,5,7,9，…是连续的正奇数，其通项公式为An＝2n－1. 考虑(－1)n＋1具有转换符号的作用，所以数列{an}的一个通项公式为an＝(－1)n＋1(2n－1)． 方法总结：此类问题主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法求解. 具体注意以下几方面： (1)分式中分子、分母的特征； (2)相邻项的变化特征； (3)拆项后的特征； (4)各项的符号特征和绝对值特征； (5)化异为同； (6)对于符号交替出现的情况，可用(−1)^n或(−1)^n+1处理. 1．（23-24高二上·贵州贵阳·阶段练习）数列，，，，的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 解析：观察数列，，，， 可知其分母为，其分子是交替出现，故分子可为， 所以该数列的一个通项公式为 . 故选：A. 2．（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·期末）（多选）下列命题中正确的是（    ） A．数列，，，与数列，，，是同一数列 B．数列，，，，…的一个通项公式是 C．数列，，，，…没有通项公式 D．设数列，其中均为正数，则此数列为递增数列 解析：对于A项，数列，，，与数列，，，中顺序不同，不是同一数列，故A项错误； 对于B项，若通项公式是，则，故B项正确； 对于C项，数列，，，，…，它的一个通项公式为：，故C项错误； 对于D项，，得， 则此数列为递增数列，故D项正确，故选：BD 3．（24-25高二上·贵州毕节·期末）已知数列的一个通项公式为，且，则（   ） A．1 B．2 C．26 D．80 解析：因为，代入通项公式可得：，解得，所以， 所以，故选：D 4．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）已知数列，则是这个数列的（     ） A．第17项 B．第18项 C．第19项 D．第20项 解析：令. 故由题可得是这个数列的第20项. 故选：D 5．（24-25高二上·广东梅州·期末）（多选）已知，关于数列，下列命题中正确的是（    ） A． B． C．恒成立 D．数列是递增数列 解析：，可得：， ， 所以数列是递增数列， 又，， 所以恒成立， 所以ACD正确，B错误， 故选：ACD 1．数列的相关概念 （1）数列：按照 排成的一列数叫作数列. （2）数列的项：数列中的每一个数都称为这个数列的 ，各项依次称为这个数列的第1项（ ），第2项…… （3）项数：组成数列的 称为数列的项数 答案： 确定的顺序 项 首项 项的个数 2．数列的通项与通项公式 （1）通项：数列从首项起，每一项都与 对应，所以数列的一般形式可以写成，其中表示数列的第n项（也称n为的序号），称为数列的 ，一般将整个数列简记为 ． （2）通项公式：如果数列第n项与序号n之间的关系可以用来表示，其中是关于n的不含其他未知数的表达式，那么这个公式叫做这个数列的 ． 答案：正整数 通项 通项公式 3．数列与函数的关系 事实上，数列可以看成定义域为 的子集的函数，数列中的数就是自变量从小到大依次取 时对应的函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的 ．这就提示我们，数列也可以用平面直角坐标系中的 来直观地表示． 答案：正整数集 正整数值 解析式 点 4．数列的分类 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 无穷数列 项与项间的大小关系 递增数列 从第二项起，每一项都 它的前一项 递减数列 从第二项起，每一项都 它的前一项 常数列 【答案】 项数有限的数列 项数无限的数列 大于 小于 各项都相等 学科网（北京）股份有限公司1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $