4.1数列的概念（第1课时）（教学课件）数学人教A版2019选择性必修第二册

第四章 数列 4.1 数列的概念 (第1课时) ·选择性必修第二册· 1 学习目标 2 3 能通过对具体实例的共同特征的归纳，抽象出数列的一般概念，能用函数的观点解释数列，发展数学抽象素养. 能类比函数的表示得到数列的表示方式，通过对数列与函数在表示方法上的异同点的比较，进一步体会函数与数列的联系，加深对数列本质的认识． 能认识到通项公式是数列最基本最重要的表示方法；能根据数列的通项公式，写出数列的任意项，或根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式，体会特殊与一般的数学思想. 情景导入 4.1 数列的概念（第1课时） 01 引入新知 观察 观察图片，你发现了什么？ 思考 从上往下第3个数是多少？第14个数是多少? 一列数：0，1，1，2，3，5，8，13，......① 1 数 列 按照确定的顺序排列的一列数称为数列.  233 追问 这列数有顺序吗？ 有 新课探究 4.1 数列的概念（第1课时） 02 新课探究 同学们，平时要有意识地用数学的眼观去看世界 数列在我们生活中，无处不在！ 我来举几个例子，稍后你来举例子 新课探究 例子1 王芳从1岁到17岁，每年生日那天测量身高.将这些身高数 据(单位：)依次排成一列数： 75，87，96，103，110，116，120，128，138，145，153，158，160，162，163，165，168. ② 此数列中第6个数是多少? 它的实际意义是什么? 163是第几个数? 它的实际意义是什么? 思 考 75和168能交换位置吗? 为什么? 追问 116，它表示王芳6岁时身高为116cm 15，它表示王芳15岁时身高为163cm 不能交换位置，位置不同的数表示含义不同 新课探究 那么，. 第6个数是116，第17个数是168，可否用通俗易懂的一个数学符号来表示？ 思 考 记王芳第岁时的身高为 追问 表示排在第几位的数？他的实际意义是什么？ 第14位的数 第14岁的身高为162cm 新课探究 例子2 在两河流域发掘的一块泥版(编号，约产生于公元前7世纪)上，有一列依次表示一个月中从第1天到第15天每天月亮可见部分的数： 5，10，20，40，80，112，128，144，160，176，192，208，224，240. ③ 记第天月亮可见部分的数为，那么，. 要 求 ，. 例子3 新课探究 归 纳 上面四个例子的共同特征是什么? 75, 87, 96, 103, 110, 116, 120, 128, 138, 145, 153, 158, 160, 162, 163, 165, 168. 5, 10, 20, 40, 80, 96, 112, 128, 144, 160, 176, 192, 208, 224, 240. ② ③ ④ ① 0， 1， 1，2， 3， 5，8，13， 21，34，...... 2，4，8，16， ...... 一列数 有确定顺序 新课探究 定义 数列：一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列 第n项：第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示. 项：数列中的每一个数叫做这个数列的项. 首项：数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，也称首项. 常用符号a1表示 第2项：数列的第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示 项数：数列中的项的个数叫做这个数列的项数， 牛刀小试 数列中的数可以重复 练1：3，3，3，3，3，3，3，......是数列吗？ 练2：以下两个数列是同一数列吗？ 2，4，6，8，10，12 2，4，8，6，10，12 练2：由2，3，周杰伦，5，奥特曼，6，这几个元素能构成数列吗？ 是 若数列中被排列的数相同，但次序不同，则不是同一数列 不能，数列的项是一个确定的数值 新课探究 思 考 追 问 能否以函数的观点来理解序号与项之间的关系？ 正整数集 （或它的有限子集 ） 实数集 新课探究 结论 数列是一个特殊的函数， 自变量是序号，对应的函数值是数列的第项，记为： 练习 数列的表示方法——解析式法 新课探究 通项公式 练习 结论 一个数列的通项公式不唯一 新课探究 练习 结论 通项公式可以用来求数列指定项 是不是该数列的项？ , 所以37不是该数列的项 结论 通项公式可以用来判断某数是否为数列的项 练习 结论 不是所有数列能写出它的通项公式 新课探究 思 考 函数有表格，图像，解析式三种表示方法， 数列作为一种特殊的函数，你能表格法和图象法表示数列②吗？ 数列的表示方法——列表法 王芳从1岁到17岁每年生日那天测量身高的列表法： 75, 87, 96, 103, 110, 116, 120, 128, 138, 145, 153, 158, 160, 162, 163, 165, 168. n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 新课探究 数列的表示方法——图象法 王芳从1岁到17岁每年生日那天测量身高的图象法：如图4.1-1： 数列的图象是由离散的点构成 新课探究 数列的分类 1. 以项数来分类： (1) 有穷数列： (2) 无穷数列： 2. 以各项的大小关系来分类： (1) 递增数列： (2) 递减数列： (3) 常 数 列： (4) 摆动数列： 各项都相等的数列； 从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列. 项数有限的数列； 项数无限的数列. 对任意n∈N*，总有an+1>an (或an+1-an>0). 对任意n∈N*，总有an+1<an (或an+1-an<0). 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列. 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列. 应用新知 4.1 数列的概念（第1课时） 03 应用新知 应用新知 应用新知 分析 重要题型 4.1 数列的概念（第1课时） 04 重要题型专练 题型一 由数列通项公式求指定项 例题 解 析 重要题型专练 题型一 由数列通项公式求指定项 例题 解 析 重要题型专练 题型一 由数列通项公式求指定项 例题 解 析 重要题型专练 题型二 判断某数是否为数列项 例题 解 析 重要题型专练 题型二 判断某数是否为数列项 例题 解 析 应用新知 规律方法 判断某数值是否为该数列的项的方法 先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程. 若方程解为正整数，则是数列的一项； 若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项. 重要题型专练 题型三 观察法求数列通项公式 例题 重要题型专练 题型三 观察法求数列通项公式 解 析 重要题型专练 题型三 观察法求数列通项公式 例题 解 析 应用新知 规律方法 (1)分式中分子、分母的特征； (2)相邻项的变化特征； (3)拆项后的特征； (4)各项的符号特征和绝对值特征； (5)化异为同； (6)对于符号交替出现的情况，可用或处理. 此类问题主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法求解. 具体注意以下几方面： 真题感知 4.1 数列的概念（第1课时） 05 真题感知 解 析 真题感知 真题感知 解 析 真题感知 解 析 真题感知 解 析 真题感知 解 析 课堂笔记 4.1 数列的概念（第1课时） 06 课堂笔记 课堂笔记 课堂笔记 课堂笔记 小结及课后作业 4.1 数列的概念（第1课时） 06 课堂小结 数列的 概念 （第1课时） 作业布置 巩固作业：教科书第5页练习第1、2题； 拓展作业：教科书第9页习题第7题.  课后练习答案 4.1 数列的概念（第1课时） 07 练习答案（教科书第5页练习第1题） 练习答案（教科书第5页练习第1题） 详解 练习答案（教科书第5页练习第2题） 详解 练习答案（教科书第9页练习第7题） 详解 练习答案（教科书第9页练习第7题） 详解 ·选择性必修第一册· 本课结束 感谢您的聆听 2的次幂按1次幂、2次幂、3次幂、4次幂……依次排成一列数： 2，4，8，16，……④ 数列的一般形式是，，…，，…，简记为． 易知，那么， 2的次幂按1次幂、2次幂、3次幂、4次幂……依次排成一列数： 2，4，8，16，……③ 由于数列中的每一项与它的序号有下面的对应关系： 2的次幂按1次幂、2次幂、3次幂、4次幂……依次排成一列数： 2，4，8，16，……③ 如果数列的第项与它的序号之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式． 写出下列三个数列的通项公式： （1） 所有偶数构成的数列：2，4，6，8，10，...... （2） 所有奇数构成的数列：1，3，5，7，9，...... （3） 数列：-1，1，-1，1，-1，...... 所有偶数构成的数列：2，4，6，8，10，.....的通项公式： 数列：1，7，108，36，72，.....的通项公式什么？ 例1：根据下列数列的通项公式，写出数列的前5项，并画出它们的图象． （1）；（2）． 解：（1）当通项公式中的时，数列 的前5项依次为 图象如图4.1-2(1)所示． （2） 当通项公式中的时，数列的 前项依次为． 图象如图4.1-2(2)所示． 例2：根据下列数列的前4项，写出数列的一个通项公式： （1）； （2）． （2） 这个数列前4项的奇数项是2，偶数项是0，所以它的一个通项 公式为: ． 解：（1）这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正， 偶数项为负，所以它的一个通项公式为: ① ①或常常用来表示正负相间的变化规律． 例3: 如果数列的通项公式为，那么120是不是这个数 列的项？如果是，是第几项？ 解：令，解这个关于的方程，得（舍去）， 或．所以，120是数列的项，是第10项． 要判断120是不是数列中的项，就是要回答是否存在正整数， 使得．也就是判断上述关于的方程是否有正整数解． （1）已知数列的通项公式，则的值为（    ） A． B．0 C． D．1 因为数列的通项公式，所以. 故选：B （2）若已知数列的通项公式是，其中． 则 ， ． 数列的通项公式是，则； 将代入计算，得到. （3）已知数列的通项公式为，则（    ） A．34 B．36 C．38 D．40 ．故选：D. （1）已知数列的通项公式是，则下列各数是的项的是（   ） A．18 B．20 C．32 D．66 因为，所以当是64的因数1，2，4，8，16，32，64时，是整数， 当或时，，故D错误； 当或时，，故C错误； 当或时，，故B正确； 当时，，故A错误． 故选：B． （2）已知数列的通项公式为， 那么是这个数列的第（     ）项． A．9 B．10 C．11 D．12 由数列的通项公式为，令， 即，可得，解得或， 即，所以是数列的第项. 故选：B. （1）数列为，则不能作为通项公式的是（     ） A． B． C． D． 对于A：，故A正确； 对于B：，故B正确； 对于C：，故C错误； 对于D：，故D正确； 故选：C. （2）写出下列数列{an}的一个通项公式： (1)，2，，8，，…； (2)1，－3，5，－7，9，…； (1)先将各项都统一成分数再观察：eq \f(1,2)，eq \f(4,2)，eq \f(9,2)，eq \f(16,2)，eq \f(25,2)，…，所以它的一个通项公式为an＝eq \f(n2,2). （2）数列各项的绝对值分别为1,3,5,7,9，…是连续的正奇数，其通项公式为An＝2n－1. 考虑(－1)n＋1具有转换符号的作用，所以数列{an}的一个通项公式为an＝(－1)n＋1(2n－1)． 1．（23-24高二上·贵州贵阳·阶段练习）数列，，，，的一个通项公式为（     ） A． B． C． D． 观察数列，，，， 可知其分母为，其分子是交替出现，故分子可为， 所以该数列的一个通项公式为 . 故选：A. 2．（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·期末）（多选）下列命题中正确的是（     ） A．数列，，，与数列，，，是同一数列 B．数列，，，，…的一个通项公式是 C．数列，，，，…没有通项公式 D．设数列，其中均为正数，则此数列为递增数列 对于A项，数列，，，与数列，，，中顺序不同，不是同一数列，故A项错误； 对于B项，若通项公式是，则，故B项正确； 对于C项，数列，，，，…，它的一个通项公式为：，故C项错误； 对于D项，，得， 则此数列为递增数列，故D项正确， 故选：BD 3．（24-25高二上·贵州毕节·期末）已知数列的一个通项公式为，且，则（    ） A．1 B．2 C．26 D．80 因为，代入通项公式可得：， 解得，所以，所以， 故选：D 4．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）已知数列，则是这个数列的（      ） A．第17项 B．第18项 C．第19项 D．第20项 令. 故由题可得是这个数列的第20项. 故选：D 5．（24-25高二上·广东梅州·期末） （多选）已知，关于数列，下列命题中正确的是（    ） A． B． C．恒成立 D．数列是递增数列 ，可得：，，所以数列是递增数列， 又，， 所以恒成立，所以ACD正确，B错误， 故选：ACD 1．数列的相关概念 （1）数列：按照 排成的一列数叫作数列. （2）数列的项：数列中的每一个数都称为这个数列的 ，各项依次称为这个数列的第1项（也称为 ），第2项…… （3）项数：组成数列的 称为数列的项数 2．数列的通项与通项公式 （1）通项：数列从首项起，每一项都与 对应，所以数列的一般形式可以写成，其中表示数列的第n项（也称n为的序号），称为数列的 ，一般将整个数列简记为 ． （2）通项公式：如果数列第n项与序号n之间的关系可以用来表示，其中是关于n的不含其他未知数的表达式，那么这个公式叫做这个数列的 ． 3．数列与函数的关系 事实上，数列可以看成定义域为 的子集的函数，数列中的数就是自变量从小到大依次取 时对应的函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的 ．这就提示我们，数列也可以用平面直角坐标系中的 来直观地表示． 4．数列的分类 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 无穷数列 项与项间的大小关系 递增数列 从第二项起，每一项都 它的前一项 递减数列 从第二项起，每一项都 它的前一项 常数列 1．写出下列数列的前10项，并作出它们的图象： （1）所有正偶数的平方按从小到大的顺序排列成的数列； （2）所有正整数的倒数按从大到小的顺序排列成的数列； （3）当自变量依次取时，函数的值构成的数列； （4）数列的通项公式为； (1)前10项为：4，16，36，64，100，144，196，256，324，400；图象如图(1)； (2)前10项为：；图象如图(2)； (3)前10项为：3，5，7，9，11，13，15，17，19，21；图象如图(3)； (4)前10项为：2，3，2，5，2，7，2，9，2，11；图象如图(4)． n 1 2 ... 5 ... ... ... n an ... ... 153 ... 273 ... 3(3+4n) 2．根据数列的通项公式填表： 当时，；当时，； 当时，；当时，，解得； 当时，，解得．所以列表如下： n 1 2 ... 5 ... 12 ... 22 ... n an 21 33 ... 69 ... 153 ... 273 ... 3(3+4n) 7.已知函数，设数列的通项公式为. （1）求证. （2）是递增数列还是递减数列？为什么？ （1） 由题意得，因为为正整数， 所以，所以； 7.已知函数，设数列的通项公式为. （1）求证. （2）是递增数列还是递减数列？为什么？ （2）是递增数列， 证明：因为，所以， 所以，所以是递增数列. $