重难点02 排列与排列数及其拓展方法运用（11种题型）高二数学人教B版选择性必修第二册

重难点02 排列与排列数及其拓展方法运用 题型01 列举法计算排列种/个数问题 1. 确定排列对象（如数字1、2、3）、位数/个数要求及约束（如不重复），明确“有序”核心（如12≠21），避免混淆组合与排列。 2. 按固定顺序（如先定首位再排后续）逐一列举所有可能，标注重复项并剔除，确保不重不漏，最后统计列举出的所有结果，即为排列总种数。 1．某公司有家直营店，现需将箱货物运送至直营店进行销售，各直营店出售该货物以往所得利润统计如下表所示. 直营店 利润箱数 a b c d 0 0 0 0 0 1 4 2 2 4 2 6 4 5 5 3 7 7 6 6 4 8 8 8 8 5 9 9 8 8 6 10 10 8 8 根据此表，该公司获得最大总利润的运送方式有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 2．将5个1，5个2，5个3，5个4，5个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入1个数），使得同一行中任何两数之差的绝对值不超过2，设第行的所有数的和为（，2，3，4，5），为，，，，中的最小值，则m的最大值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 3．将数字、、、、、、、排成四行两列，要求每行的数字互不相同，每列的数字也互不相同，则不同的排列方法共有（    ） A． B． C． D． 57．请列出下列排列： (1)从4个不同元素中任取3个元素的所有排列； (2)从7个不同元素中任取2个元素的所有排列． 58．从0，1，2，3这四个数字中，每次取出三个不同的数字排成一个三位数. （1）能组成多少个不同的三位数，并写出这些三位数. （2）若组成这些三位数中，1不能在百位，2不能在十位，3不能在个位，则这样的三位数共有多少个，并写出这些三位数. 59．（1）从1，2，3，4这4个数字中，每次取出3不同的数字排成一个三位数，写出得到的所有三位数，并求出排列数； （2）试写出由1，2，3，4四个数字组成的没有重复数字的四位数，并求出排列数. 题型02 排列数基础运算问题 1. 记排列数公式均为正整数），明确题干中n、m的值及运算类型，确认符合公式适用条件。 2. 直接代入数值计算，或通过阶乘性质化简，复杂运算分步拆解，最后整理结果，确保阶乘约分、数值计算准确。 7．若，则的个位数字是（    ） A．3 B．8 C．0 D．5 8．可表示为（    ） A． B． C． D． 9．（   ） A．0 B．56 C．1 D．42 10．下列数中，与不相等的是（    ） A． B． C． D． 11．若，则正整数m的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 12．下列等式中不成立的是（　　） A． B． C． D． 题型03 排列数方程与不等式问题 1. 用排列数公式正整数）替换方程或不等式中的，结合阶乘性质化简（如），转化为普通代数方程或不等式。 2. 解代数式得初步解，再根据n≥m、正整数等约束条件筛选，剔除无效解，最终确定符合条件的正整数解或解集。 13．满足不等式的的值为（ ） A． B． C． D． 14．已知，则（   ） A．5 B．3 C．4或6 D．4 15．不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 16．若，则（    ） A．1 B．6 C．7 D．8 17．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 18．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 题型04 排列中的证明问题 1. 确定证明等式或不等式的两端表达式，将含排列数的部分用公式转化为阶乘形式，标注n≥m正整数的前提条件。 2. 利用阶乘性质（如）对一端或两端同步化简，通过代数变形（约分、展开）推导至两端相等，或结合约束条件论证不等式成立。 19．证明下列等式． (1)； (2)． 20．求证： (1)； (2)． 21．求证：（1）； （2）. 22．求证：． 23．求证：（，，且）． 24．求证：（1）； （2）. 题型05 全排列问题 1. 确定全排列的元素集合（如1、2、3），检查是否有重复元素及特殊限制（如某元素固定位置），明确全排列核心是“所有元素均参与排列”。 2. 无约束时用公式)；约束时优先排特殊元素，或有序列举，最后统计得全排列总数。 25．用可以组成个无重复数字的六位奇数，则（    ） A．360 B．400 C．420 D．450 26．A，B，C，D，E五个人站成一排照相留念，不同的排法种数有（   ） A．240 B．120 C．96 D．60 27．将数字1，2，3，4，5这五个数随机排成一列组成一个数列，则该数列为单调数列的概率为（    ） A． B． C． D． 28．A，B，C三名同学照相留念，成“一”字形排队，所有排列的方法种数为（    ） A．3种 B．4种 C．6种 D．12种 29．若把英语单词“word”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有（    ） A．24种 B．23种 C．12种 D．11种 30．5月12日在鸡西实验中学报告厅开展了以“预防灾害风险，守护美好家园”为主题的消防安全知识专题讲座，还要到3个学校开讲，一个学校讲一次，不同的次序种数为（    ） A．3 B． C．9 D．6 题型06 元素限制类排列问题 1. 明确限制元素（如“甲不能排首位”）及约束规则（如相邻、不相邻、固定位置），区分元素限制与位置限制，梳理清楚限制边界。 2. “特殊优先”排限制元素（如先排甲的合法位置），再排无限制元素，用乘法原理计算；复杂时分类（如甲在A位/甲在B位），最后汇总得总排列数。 31．甲、乙、丙、丁4人排成一排，则甲不在排首的概率为（ ） A． B． C． D． 32．某次航展中，空中梯队的五架战机进行特技表演，需保持呈“人”字形飞行（如图所示）．已知执飞小组共6人，每架战机由一人执飞，其中领头战机只能由甲或乙执飞，其余四个位置每个人都能执飞，则不同的执飞方法共有（　　） A．192种 B．208种 C．224种 D．240种 33．将1，2，3，…，9这9个数字填在3×3的方格表中，要求每一行从左到右、每一列从上到下的数字依次变大.若将5填在如图所示的位置上，则填写方格表的方法数为（    ） A．12 B．18 C．36 D．48 34．2010年广州亚运会结束了，某运动队的7名队员合影留念，计划站成一横排，但甲不站最左端，乙不站最右端，丙不站正中间.则理论上他们的排法有(  ) A．3864种 B．3216种 C．3144种 D．2952种 35．设为数字1，2，3，4，5，6的一个排列，记三位数，其中，例，则的值大于400的概率为 ． 36．一颗质地均匀的正方体骰子，六个面上分别标有点数1，2，3，4，5，6.随机地抛掷该骰子三次（各次抛掷结果相互独立），所得的点数依次为，，，则事件”发生的概率为 . 题型07 相邻问题的排列问题 1. 明确需相邻的元素组（如“甲、乙必须相邻”），将其视为一个“整体捆绑体”，同时确认整体与其他元素的排列对象，明确是否有额外约束。 2. 先排捆绑体与其他元素（视捆绑体为一个元素），再排捆绑体内元素，两步均用排列数计算，最后将两步结果相乘，得总排列数，如甲、乙捆绑后与丙排再排甲、乙。 37．三名男生和三名女生站成一排照相，男生甲与男生乙相邻，且三名女生中恰好有两名女生相邻，则不同的站法共有 A．72种 B．108种 C．36种 D．144种 38．将这5名同学从左至右排成一排，则与相邻且与之间恰好有1名同学的排法有（    ） A．10种 B．20种 C．18种 D．15种 39．将4辆车停放到5个并排车位上，由于甲车的车体较宽，停放时需要占两个车位，并且乙车与甲车相邻停放，则不同的停放方法种数为（   ） A．6 B．12 C．18 D．24 40．为了抒写乡村发展故事，展望乡村振兴图景，演出民众身边日常，唱出百姓幸福心声，某地组织了“美丽乡村”节目表演，共有舞蹈、歌曲、戏曲、小品、器乐、非遗展演六个节目，若要求歌曲和戏曲节目相邻，且歌曲和戏曲都在器乐节目前面演出，则节目的排列顺序种数为（    ） A．120 B．360 C．180 D．90 41．甲、乙、丙、丁、戊、己站成一排，其中甲、乙必须相邻，丁不能站在两端，则不同站法的种数为（   ） A．128 B．144 C．160 D．210 42．将字母排成一排，若要求相邻，且不在两端，则不同的排列方法共有（    ） A．228种 B．192种 C．240种 D．168种 题型08 不相邻的排列问题 1. 明确不相邻元素（如“甲、乙不相邻”），先排列无约束的其他元素，计算排列数，同时确定这些元素间及两端产生的空位数量（n个元素留n+1个空位）。 2. 从空位中选对应数量的位置排不相邻元素，计算选位排列数，最后将两步结果相乘，得总排列数，如先排丙丁留空位再插甲乙。 43．现将2本不同的数学书、3本不同的物理书、1本化学书放在一个单层的书架上，且同类的书各不相邻，则不同的放法有（   ） A．120种 B．144种 C．96种 D．160种 44．某演出有3个舞蹈、2个歌曲、1个语言类共6个节目，要求语言类节目不能第一个出场，歌曲类节目不能相邻出场，则不同的出场方式共有（    ） A．480种 B．444种 C．408种 D．360种 45．为庆祝七一建党节，某党支部举办了建党节演出活动，该活动要安排3个歌舞类节目、2个情景类节目和2个朗诵类节目的演出顺序.若朗诵类节目不在第一个出场，情景类节目演出顺序不相邻，则不同的演出顺序的种数为（   ） A．1560 B．2640 C．1360 D．2340 46．某晚会要安排4个唱歌节目和2个舞蹈节目，要求舞蹈节目不能相邻，共有多少种不同的安排方法（    ）？ A．720 B．576 C．480 D．144 47．三名男生、三名女生站在一排，且男女生间隔排，则共有不同的排法种数为（    ） A．144种 B．108种 C．72种 D．35种 48．3名男生和2名女生站成一排朗诵，其中女生不能站在一起的排法种数为（    ） A．72 B．60 C．36 D．30 题型09 相邻与不相邻的综合排列问题 1. 区分相邻元素组（如“甲、乙相邻”）和不相邻元素（如“丙不与甲乙相邻”），将相邻组捆绑为“整体”，明确整体与不相邻元素的约束关系。 2. 先排无约束元素与捆绑体，算排列数；再从产生的空位中选位排不相邻元素，算选位排列数，两步结果相乘，得总排列数，如捆甲乙后排与丁再插丙。 49．某种产品的加上需要经过A，B，C，D，E，F，G七道工序，要求A，B两道工序必须相邻，C，D两道工序不能相邻，则不同的加工顺序有（    ） A．960种 B．836种 C．816种 D．720种 50．已知3名教师和4名学生排成一排照相，每位教师互不相邻，且教师甲和学生乙必须相邻，一共有多少种不同的排法？（    ） A．144 B．288 C．576 D．720 51．甲、乙、丙等8人围成一圈就坐，已知甲、乙两人相邻，甲、丙两人不相邻，则不同的坐法共有（   ） A．1200种 B．1440种 C．7200种 D．9600种 52．某学校在读书节活动中，甲，乙，丙3个班各有2名同学获奖，现将这6人站成一排拍照，其中甲班的2名同学相邻，且乙班的2名同学不相邻的站法种数共有（   ） A．36种 B．72种 C．144种 D．288种 53．2025年春节档电影《哪吒之魔童闹海》成为中国影史票房最高的电影，某班甲、乙、丙、丁、戊这5位同学相约一起去电影院观看，要求5人坐在同一排相邻的5个位置，甲、乙、丙这三人相邻，且丙不与丁相邻，则不同的座位排列方法有（    ）种. A．32 B．28 C．24 D．20 54．某活动共包含、、、、这5个环节，其中环节、必须相邻，环节、不能相邻，那么不同的安排方式一共有（   ） A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 题型10 数字排列问题 1. 确定数字范围、位数及特殊规则（如首位非0、数字不重复），明确排列对象（如用0-5排三位数），标注关键限制避免疏漏。 2. 优先排特殊位置（如首位）用乘法原理；含重复数字用除法，复杂时分类（含0/不含0），排除无效排列，最后汇总得总排列数。 55．从1、2、3、4、5中任选3个不同数字组成一个三位数，则该三位数能被3整除的概率为（    ） A． B． C． D． 56．用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），在任意相邻两个数字的奇偶性不同的条件下，1和2相邻的概率是（    ） A． B． C． D． 57．将六个数、、、、、按任意次序排成一行，拼成一个位数，则产生的不同的位数的个数是（    ） A． B． C． D． 58．将数字“322469”重新排列后得到不同的偶数个数为（   ） A．240 B．192 C．120 D．72 59．将数字1，2，3，4，5这五个数随机排成一列组成一个数列，则该数列为先减后增数列的概率为（    ） A． B． C． D． 60．由这十个数字组成的无重复数字的四位数中，个位数字与百位数字之差的绝对值等于8的个数为（    ） A．180 B．196 C．210 D．224 题型11 其它排列问题 1. 明确排列类型（如选排、环排、重复元素排）及核心约束（如环形无首尾、部分元素相同），区分与典型排列的差异，避免套用错误方法。 2. 选排用)；含混合约束先处理特殊，分步或分类计算后汇总，确保结果符合场景要求。 61．把2个相同的红球､1个黄球､1个蓝球放到三个盒子里，每个盒子中至少放1个球，则不同的放法种数为（    ） A．18 B．20 C．21 D．24 62．系统的登录密码由个字符组成，其中前位是大写字母、、、的某种排列，后位是不相同的数字，则可能的密码总数是多少（   ） A． B． C． D． 63．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则（    ） A．课程“礼”“乐”“射”排在相邻的三周，共有144种排法 B．课程“礼”排在“乐”的后面（可以不相邻），共有360种排法 C．课程“射”“御”排在不相邻两周，共有240种排法 D．课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有504种排法 64．一个箱子里有6个球，分别以标号，若有放回地取三次，每次取一个球，记至少取出一次的球的个数为，则 . 65．若数列不是等差数列，但使得，那么称数列为“局部等差数列”.若从集合中依次抽取4个数构成一个数列，则数列为局部等差数列的概率为 . 66．现有面值分别为一分的硬币1枚，二分的硬币2枚，五分的硬币3枚，一角的硬币4枚，五角的硬币5枚，一元的硬币6枚共21枚硬币排成一排，共有多少种排法？ 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点02 排列与排列数及其拓展方法运用 题型01 列举法计算排列种/个数问题 1. 确定排列对象（如数字1、2、3）、位数/个数要求及约束（如不重复），明确“有序”核心（如12≠21），避免混淆组合与排列。 2. 按固定顺序（如先定首位再排后续）逐一列举所有可能，标注重复项并剔除，确保不重不漏，最后统计列举出的所有结果，即为排列总种数。 1．某公司有家直营店，现需将箱货物运送至直营店进行销售，各直营店出售该货物以往所得利润统计如下表所示. 直营店 利润箱数 a b c d 0 0 0 0 0 1 4 2 2 4 2 6 4 5 5 3 7 7 6 6 4 8 8 8 8 5 9 9 8 8 6 10 10 8 8 根据此表，该公司获得最大总利润的运送方式有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【分析】结合获利表格，通过箱货物的分配方法，求解最大的获利得到结果. 【详解】箱货物的分配方法和最大利润分别为：；； ；；；； ，此时； ，此时； ，此时或； 综上，该公司获得最大总利润的运送方式有种. 故选：D. 2．将5个1，5个2，5个3，5个4，5个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入1个数），使得同一行中任何两数之差的绝对值不超过2，设第行的所有数的和为（，2，3，4，5），为，，，，中的最小值，则m的最大值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】根据题意，由5个1分布的列数不同情形进行讨论，即可确定的最大值. 【详解】解：依据5个1分布的列数的不同情形进行讨论,确定的最大值. (1)若5个1分布在同一列，则； (2)若5个1分布在两列中，则由题意知这两列中出现的最大数至多为3， 故,故； (3)若5个1分布在三列中，则由题意知这三列中出现的最大数至多为3， 故，故； (4)若5个1分布在至少四列中，则其中某一列至少有一个数大于3，这与已知矛盾. 综上所述，； 另一方面，如下表的例子说明可以取到10. 1 1 1 4 5 1 1 2 4 5 2 2 2 4 5 3 3 2 4 5 3 3 3 4 5 故选：C. 3．将数字、、、、、、、排成四行两列，要求每行的数字互不相同，每列的数字也互不相同，则不同的排列方法共有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先考虑第一行四个数的排列，有种，然后就第一行数字分别为进行考查，列举出符合条件的第二行数字的排列，然后利用分步乘法计数原理可得出结果． 【详解】由于每行的数字互不相同，每列的数字也互不相同，则第一行数字是、、、的全排列，共种，现考虑第一行数字的排列为，则第二行数字的排列可以是：、、、、、、、、，共种． 由分步乘法计数原理可知，不同的排列方法共有种．故选A． 57．请列出下列排列： (1)从4个不同元素中任取3个元素的所有排列； (2)从7个不同元素中任取2个元素的所有排列． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）（2）根据排列的定义将所求排列逐一列出，做到不多不漏即可. 【详解】（1）根据题意，从4个不同元素中任取3个元素的所有排列共有如下种： . （2）从7个不同元素中任取2个元素的所有排列共有如下种： . 58．从0，1，2，3这四个数字中，每次取出三个不同的数字排成一个三位数. （1）能组成多少个不同的三位数，并写出这些三位数. （2）若组成这些三位数中，1不能在百位，2不能在十位，3不能在个位，则这样的三位数共有多少个，并写出这些三位数. 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析. 【分析】（1）根据分步乘法计数原理分步排列，结合树状图即可求解； （2）结合树状图即可求解； 【详解】(1)组成三位数分三个步骤： 第一步：选百位上的数字，0不能排在首位，故有3种不同的排法； 第二步：选十位上的数字，有3种不同的排法； 第三步：选个位上的数字，有2种不同的排法. 由分步乘法计数原理得共有3×3×2＝18(个)不同的三位数. 画出下列树形图： 由树形图知，所有的三位数为： 102，103，120，123，130，132，201，203，210， 213，230，231，301，302，310，312，320，321. (2)直接画出树形图： 由树形图知，符合条件的三位数有8个： 201，210，230，231，301，302，310，312. 59．（1）从1，2，3，4这4个数字中，每次取出3不同的数字排成一个三位数，写出得到的所有三位数，并求出排列数； （2）试写出由1，2，3，4四个数字组成的没有重复数字的四位数，并求出排列数. 【答案】（1）见解析，24；（2）见解析，24. 【分析】（1）写出所有三位数，利用排列数公式求出排列数； （2）写出所有四位数，利用排列数公式求出排列数. 【详解】（1）所有的三位数为123，124，132，134，142，143，213，214，231，234，241，243，312，314，321，324，341，342，412，413，421，423，431，432，共24个三位数. 故排列数是. （2）所有的四位数为1234，1243，1324，1342，1423，1432，2134，2143，2314， 2341，2413，2431，3124，3142，3214，3241，3412，3421，4123，4132，4213，4231， 4312，4321，共24个四位数. 故排列数是. 题型02 排列数基础运算问题 1. 记排列数公式均为正整数），明确题干中n、m的值及运算类型，确认符合公式适用条件。 2. 直接代入数值计算，或通过阶乘性质化简，复杂运算分步拆解，最后整理结果，确保阶乘约分、数值计算准确。 7．若，则的个位数字是（    ） A．3 B．8 C．0 D．5 【答案】A 【分析】通过发现当时，可知个位数为0，再求出即可判断． 【详解】当时，， 当时，的个位数字为0， 又， 的个位数字为3． 故选：A． 8．可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据排列数的计算公式进行判断. 【详解】中总共有个数连乘， 故． 故选：A 9．（   ） A．0 B．56 C．1 D．42 【答案】A 【分析】根据排列数计算公式，化简求值. 【详解】由题意得， 故选：A. 10．下列数中，与不相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用排列数公式可逐项验证. 【详解】．对于选项A，． 对于选项B，． 对于选项C，． 对于选项D，． 故选：B． 11．若，则正整数m的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据题意结合排列数公式列方程求解即可. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以，得. 故选：C 12．下列等式中不成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据排列数的计算公式计算即可. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，当时，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确. 故选：B 题型03 排列数方程与不等式问题 1. 用排列数公式正整数）替换方程或不等式中的，结合阶乘性质化简（如），转化为普通代数方程或不等式。 2. 解代数式得初步解，再根据n≥m、正整数等约束条件筛选，剔除无效解，最终确定符合条件的正整数解或解集。 13．满足不等式的的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用排列数公式可得出关于的不等式，结合的取值范围可得出的值. 【详解】，可得， 由题意可得且，故或. 故选：A. 14．已知，则（   ） A．5 B．3 C．4或6 D．4 【答案】D 【分析】利用排列数与组合数的相关公式，化简计算求出即可. 【详解】由，可知，且， 化简得：， 解得或，因，故. 故选：D. 15．不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用排列数公式展开化简，得，再结合即可. 【详解】则，得， 得，又因为，则. 故选：C. 16．若，则（    ） A．1 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】根据排列数公式，将已知条件展开，即可得出答案. 【详解】由已知，. 因为， . 则由可得，， 整理可得，解得. 故选：D. 17．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据排列数的性质和计算公式化简求其解即可. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以，又，， 所以， 所以不等式的解集为， 故选：D. 18．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题可知，求的解集，先根据排列数的公式对不等式进行变形，进而求出的取值范围. 【详解】解：由，得：， 整理得，解得：， 由题可知，且， 则或， 即原不等式的解集为：. 故选：C. 【点睛】本题考查一元二次不等式的解集，运用到排列数的公式进行化简，属于基础题. 题型04 排列中的证明问题 1. 确定证明等式或不等式的两端表达式，将含排列数的部分用公式转化为阶乘形式，标注n≥m正整数的前提条件。 2. 利用阶乘性质（如）对一端或两端同步化简，通过代数变形（约分、展开）推导至两端相等，或结合约束条件论证不等式成立。 19．证明下列等式． (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】根据题意，结合排列数公式，准确化简、运算，即可求解. 【详解】（1）证明：由排列数的公式，可得： ． （2）证明：由排列数公式，可得． 20．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用排列数公式化简可证得等式成立； （2）利用排列数公式化简可证得等式成立. 【详解】（1）证明：. （2）证明：. 21．求证：（1）； （2）. 【答案】见详解. 【分析】（1）根据排列数的计算公式展开，通过计算即可证明式子成立； （2）利用阶乘的计算公式进行展开，通分，通过计算即可证明式子成立. 【详解】（1）左边 右边， ∴结论成立，即； （2）当时， 左边 右边， ∴结论成立，即. 22．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据排列数公式可得 【详解】． 23．求证：（，，且）． 【答案】证明见解析 【分析】利用排列数计算公式化简计算等式左边即可得证. 【详解】依题意，左边 右边， 所以原等式成立． 24．求证：（1）； （2）. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）根据排列数的计算公式先化简右式，然后即可证明等式成立； （2）将左式每一项都变形为阶乘的形式，然后进行化简计算并与右式比较，由此证明等式成立. 【详解】（1）右式左式， 故等式成立； （2）左式右式， 故等式成立. 题型05 全排列问题 1. 确定全排列的元素集合（如1、2、3），检查是否有重复元素及特殊限制（如某元素固定位置），明确全排列核心是“所有元素均参与排列”。 2. 无约束时用公式)；约束时优先排特殊元素，或有序列举，最后统计得全排列总数。 25．用可以组成个无重复数字的六位奇数，则（    ） A．360 B．400 C．420 D．450 【答案】A 【分析】根据排列公式计算即可. 【详解】个位数字可以是，可得， 故选：A. 26．A，B，C，D，E五个人站成一排照相留念，不同的排法种数有（   ） A．240 B．120 C．96 D．60 【答案】B 【分析】应用排列数求不同排法数即可. 【详解】根据题意，只需将5人作全排列，故共有种排法. 故选：B 27．将数字1，2，3，4，5这五个数随机排成一列组成一个数列，则该数列为单调数列的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用全排列得到五个数随机排成的数列总数，再列举出满足要求的2个数列，计算出概率. 【详解】1，2，3，4，5这五个数随机排成一列组成一个数列，共有种情况， 其中为单调数列的有2个，即1，2，3，4，5和5，4，3，2，1， 所以概率为. 故选：A 28．A，B，C三名同学照相留念，成“一”字形排队，所有排列的方法种数为（    ） A．3种 B．4种 C．6种 D．12种 【答案】C 【分析】根据排列的含义，以及排列数的计算，即得答案. 【详解】由题意所有排列的方法种数为， 故答案为：C 29．若把英语单词“word”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有（    ） A．24种 B．23种 C．12种 D．11种 【答案】B 【分析】根据对立事件以及排列组合的知识求得正确答案. 【详解】“word”一共有个不同的字母， 这个字母全排列有种方法， 其中正确的有种，所以错误的有种. 故选：B 30．5月12日在鸡西实验中学报告厅开展了以“预防灾害风险，守护美好家园”为主题的消防安全知识专题讲座，还要到3个学校开讲，一个学校讲一次，不同的次序种数为（    ） A．3 B． C．9 D．6 【答案】D 【分析】3个学校进行排列，直接利用排列数公式计算即可. 【详解】要到3个学校开讲，一个学校讲一次，不同的次序种数为， 故选：D. 题型06 元素限制类排列问题 1. 明确限制元素（如“甲不能排首位”）及约束规则（如相邻、不相邻、固定位置），区分元素限制与位置限制，梳理清楚限制边界。 2. “特殊优先”排限制元素（如先排甲的合法位置），再排无限制元素，用乘法原理计算；复杂时分类（如甲在A位/甲在B位），最后汇总得总排列数。 31．甲、乙、丙、丁4人排成一排，则甲不在排首的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】列出4人全排列的种类数，再除去甲在排首的种类数，即可计算出所求概率. 【详解】将4人全排列共有种排列， 若甲在排首，将其余3人全排列共有种，则甲不在排首的排列共有种， 因此甲不在排首的概率为. 故选：D 32．某次航展中，空中梯队的五架战机进行特技表演，需保持呈“人”字形飞行（如图所示）．已知执飞小组共6人，每架战机由一人执飞，其中领头战机只能由甲或乙执飞，其余四个位置每个人都能执飞，则不同的执飞方法共有（　　） A．192种 B．208种 C．224种 D．240种 【答案】D 【分析】由领头机甲执飞和领头机乙执飞两类情况分别计算求和即可. 【详解】领头战机由甲执飞，此时其余四个位置由种， 领头战机由乙执飞，此时其余四个位置由种， 共计种， 故选：D 33．将1，2，3，…，9这9个数字填在3×3的方格表中，要求每一行从左到右、每一列从上到下的数字依次变大.若将5填在如图所示的位置上，则填写方格表的方法数为（    ） A．12 B．18 C．36 D．48 【答案】B 【分析】由题意可得9只能排在第三行第三列，1只能排在第一行第一列，2只能排第一行第二列或第二行第一列，8只能排第三行第二列或第二行第三列，再依次排剩余的数，即可得答案. 【详解】解：由题意可得9只能排在第三行第三列，1只能排在第一行第一列， 1 a b c 5 d e f 9 从而得2只能排在a,c处， 当c=2,e=3时， 1 a b 2 5 d 3 f 9 则a=4，且8只能排在f,d处， 当f=8时，只能是b=6,d=7； 当d=8时，则有b=6,f=7或b=7,f=6； 此时共3种排列法； 当c=2,e=4时， 1 a b 2 5 d 4 f 9 则a=3，且8只能排在f,d处， 当f=8时，只能是b=6,d=7； 当d=8时，则有b=6,f=7或b=7,f=6； 此时共3种排列法； 当c=2,e=6时， 1 a b 2 5 d 6 f 9 则a=3，b=4，且8只能排在f,d处， 当f=8时，只能是d=7； 当d=8时，只能是f=7， 此时共2种排列法； 当c=2,e=7时， 1 a b 2 5 d 7 f 9 则a=3，b=4，且8只能排在f,d处， 此时只能是f=8，d=6， 此时共1种排列法； 所以当c=2时，共有3+3+2+1=9种排法； 同理，当a=2时，也有9种排法； 故一共有9+9=18种排法. 故选：B. 【点睛】关键点睛：在处理分步分类问题时，做到不重不漏是解题关键. 34．2010年广州亚运会结束了，某运动队的7名队员合影留念，计划站成一横排，但甲不站最左端，乙不站最右端，丙不站正中间.则理论上他们的排法有(  ) A．3864种 B．3216种 C．3144种 D．2952种 【答案】B 【分析】根据题意，分3种情况讨论：①、甲在右端，分乙在中间与乙不在中间，再安排丙的位置，最后再将剩余的4个人全排列；②、若甲在中间，分丙在右端与丙不在右端两种，情况同①. ③、若甲不在中间也不在右端，先排甲，有4种方法，再排乙，分乙在中间与乙不在中间，再安排丙的位置，最后再将剩余的4个人全排列；最后由分类计数原理计算可得答案． 【详解】根据题意，分3种情况讨论： ①、甲在右端，若乙在中间，则丙有5个位置可选，再将剩余的4个人全排列，安排在其余的4个位置，有种情况； 甲在右端，若乙不在中间，则乙还有5个位置可选，此时丙还有4个位置可选，再将剩余的4个人全排列，安排在其余的4个位置， 有种情况；两种情况合并，共有种情况； ②、若甲在中间，分丙在右端与丙不在右端两种，情况同①. 共有种情况； ③、若甲不在中间也不在右端，先排甲，有4种方法，再排乙，乙若在中间，则丙有5种排法；乙若不在中间，则乙有4种排法，此时丙有4种排法；最后，将剩余的4个人全排列，安排在其余的4个位置，共有种情况； 综上，则共有种不同的站法． 故选：B. 35．设为数字1，2，3，4，5，6的一个排列，记三位数，其中，例，则的值大于400的概率为 ． 【答案】 【分析】根据排列排列的性质及题意分析求解即可. 【详解】数字1，2，3，4，5，6的排列数为， 要使的值大于400，则的取值组合为， 其中与的情况数一样，下面只分析其中一类： 当时，从中进行选取，满足即可， 则时，满足条件的情况数为， 时，满足条件的情况数为， 时，满足条件的情况数为； 当时，从中进行选取，此时任意选取均满足题意， 则满足条件的情况数为； 当时，从中进行选取，满足即可， 则时，满足条件的情况数为， 时，满足条件的情况数为， 时，满足条件的情况数为. 综上所述，满足条件的情况数为， 所以的值大于400的概率为. 故答案为：. 36．一颗质地均匀的正方体骰子，六个面上分别标有点数1，2，3，4，5，6.随机地抛掷该骰子三次（各次抛掷结果相互独立），所得的点数依次为，，，则事件”发生的概率为 . 【答案】 【分析】先计算事件总数，因为，得到，然后看不同的大小组合，最后排序计算符合条件的总数，然后计算概率即可. 【详解】所有投掷结果共有种， 由，不妨设， 则， 事实上，对于其他排序可得类似结果，则 所以 我们不妨设，则，还有一个数为 显然， 当时，三个数为，对应有种方法； 当时，三个数为，对应有种方法； 当时，三个数为，对应有种方法； 当时，三个数为，对应有种方法； 当时，三个数为，对应有种方法； 所以一共有种； 故事件“”发生的概率为 故答案为： 题型07 相邻问题的排列问题 1. 明确需相邻的元素组（如“甲、乙必须相邻”），将其视为一个“整体捆绑体”，同时确认整体与其他元素的排列对象，明确是否有额外约束。 2. 先排捆绑体与其他元素（视捆绑体为一个元素），再排捆绑体内元素，两步均用排列数计算，最后将两步结果相乘，得总排列数，如甲、乙捆绑后与丙排再排甲、乙。 37．三名男生和三名女生站成一排照相，男生甲与男生乙相邻，且三名女生中恰好有两名女生相邻，则不同的站法共有 A．72种 B．108种 C．36种 D．144种 【答案】D 【分析】根据题意，利用捆绑法和插空法，再利用分布乘法原理，即可求出结果． 【详解】解：先将男生甲与男生乙“捆绑”，有种方法， 再与另一个男生排列，则有种方法， 三名女生任选两名“捆绑”，有种方法， 再将两组女生插空，插入男生3个空位中，则有种方法， 利用分步乘法原理，共有种. 故选：D． 【点睛】本题考查乘法原理的运用和排列知识，还运用了捆绑法和插空法解决相邻和不相邻问题，考查学生分析解决问题的能力． 38．将这5名同学从左至右排成一排，则与相邻且与之间恰好有1名同学的排法有（    ） A．10种 B．20种 C．18种 D．15种 【答案】B 【分析】由题意相邻采用捆绑法，分与之间为或与之间不是讨论即可求解. 【详解】根据题意，分两种情况： 若与之间为，即在中间且三人相邻，共有种情况， 将三人看成一个整体，与两人全排列，共有种情况，则此时有种排法． 若与之间不是，先从中选取1人，安排在之间，有种选法， 此时在的另一侧，将4人看成一个整体，考虑之前的顺序，有种情况， 将这个整体与剩下的1人全排列，有种情况，此时有种排法， 所以总共有种情况， 故选：B． 39．将4辆车停放到5个并排车位上，由于甲车的车体较宽，停放时需要占两个车位，并且乙车与甲车相邻停放，则不同的停放方法种数为（   ） A．6 B．12 C．18 D．24 【答案】B 【分析】利用相邻问题捆绑法求解. 【详解】因为客车甲占两个车位且乙车与客车甲相邻停放， 所以将乙车与客车甲捆绑，看成一个车有种排法，与余下的两辆车全排有种排法， 所以共有种不同的停放方法. 故选：B. 40．为了抒写乡村发展故事，展望乡村振兴图景，演出民众身边日常，唱出百姓幸福心声，某地组织了“美丽乡村”节目表演，共有舞蹈、歌曲、戏曲、小品、器乐、非遗展演六个节目，若要求歌曲和戏曲节目相邻，且歌曲和戏曲都在器乐节目前面演出，则节目的排列顺序种数为（    ） A．120 B．360 C．180 D．90 【答案】A 【分析】相邻节目捆绑，然后捆绑的节目与器乐固定顺序，其余三个节目选三个位置排列，再按固定顺序插入捆绑的节目与器乐节目，再由分步乘法原理计算． 【详解】因为歌曲和戏曲节目相邻，所以先用捆绑法视为同一个元素，共种排列顺序； 歌曲和戏曲都在器乐节目前面演出，可视作两个元素顺序固定，其余三个元素补全5个空位，共种排列顺序， 所以满足题意的排列顺序种数为， 故选：A． 41．甲、乙、丙、丁、戊、己站成一排，其中甲、乙必须相邻，丁不能站在两端，则不同站法的种数为（   ） A．128 B．144 C．160 D．210 【答案】B 【分析】根据捆绑法、间接法求解即可. 【详解】先甲、乙相邻，有种不同排法， 其中丁站两端的站法有种， 故甲、乙必须相邻，丁不能站在两端的站法有种， 故选：B 42．将字母排成一排，若要求相邻，且不在两端，则不同的排列方法共有（    ） A．228种 B．192种 C．240种 D．168种 【答案】B 【分析】利用相邻问题捆绑法列式，去掉在两端之一的排列数即可. 【详解】将捆绑在一起，视为一个整体，不考虑的位置，则有（种）排法， 当在两端时，有（种）排法， 所以满足要求的排列方法有（种）. 故选：B 题型08 不相邻的排列问题 1. 明确不相邻元素（如“甲、乙不相邻”），先排列无约束的其他元素，计算排列数，同时确定这些元素间及两端产生的空位数量（n个元素留n+1个空位）。 2. 从空位中选对应数量的位置排不相邻元素，计算选位排列数，最后将两步结果相乘，得总排列数，如先排丙丁留空位再插甲乙。 43．现将2本不同的数学书、3本不同的物理书、1本化学书放在一个单层的书架上，且同类的书各不相邻，则不同的放法有（   ） A．120种 B．144种 C．96种 D．160种 【答案】A 【分析】分化学书在2本数学书之间，或是1本物理书在2本数学书直接，再按照分步计数原理，插空法解决问题. 【详解】第一种情况，首先化学书在2本数学书的中间，数学书排列有2种方法，再让三本物理书插空，有种方法，所以共有种方法， 第二种情况，若1本物理书在2本数学书的中间，则这3本书看成1个元素，有种方法，再和化学书排列有种方法，最后剩下的2本物理书插空，有种方法，所以共有种方法， 综上，共有种方法. 故选：A 44．某演出有3个舞蹈、2个歌曲、1个语言类共6个节目，要求语言类节目不能第一个出场，歌曲类节目不能相邻出场，则不同的出场方式共有（    ） A．480种 B．444种 C．408种 D．360种 【答案】C 【分析】因语言类节目不能第一个出场，考虑用间接法，用只考虑2个歌曲节目插空的方法数减去语言类节目在第一个出场对应的方法数即可. 【详解】依题意，因语言类节目不能第一个出场，可以考虑间接法： 即先将1个语言类与3个舞蹈节目全排，再将2个歌曲节目在留下的5个空中插空，有种方法， 减去这个语言类节目排在第一个出场时的方法数，即先将3个舞蹈节目全排，再将2个歌曲节目在除去第一个节目前的空留下的4个空中插空， 有种方法，故不同的出场方式共有种. 故选：C. 45．为庆祝七一建党节，某党支部举办了建党节演出活动，该活动要安排3个歌舞类节目、2个情景类节目和2个朗诵类节目的演出顺序.若朗诵类节目不在第一个出场，情景类节目演出顺序不相邻，则不同的演出顺序的种数为（   ） A．1560 B．2640 C．1360 D．2340 【答案】B 【分析】分情景类节目第一个出场、舞类节目第一个出场两种情况利用插空法可得答案. 【详解】若情景类节目第一个出场，有种，再安排3个歌舞类节目和2个朗诵类节目的演出顺序， 有种，最后再利用插空法安排一个情景类节目，有种， 则共有种演出顺序. 若歌舞类节目第一个出场，有种，再安排余下的2个歌舞类节目和2个朗诵类节目的演出顺序， 有种，最后再利用插空法安排2个情景类节目，有种， 则共有种演出顺序. 故不同的演出顺序的种数为. 故选：B. 46．某晚会要安排4个唱歌节目和2个舞蹈节目，要求舞蹈节目不能相邻，共有多少种不同的安排方法（    ）？ A．720 B．576 C．480 D．144 【答案】C 【分析】先排唱歌节目，再利用插空法排舞蹈节目即可. 【详解】先排4个唱歌节目有种情况， 然后将5个空排2个舞蹈节目有种情况， 所以舞蹈节目不能相邻的情况有种情况. 故选：C. 47．三名男生、三名女生站在一排，且男女生间隔排，则共有不同的排法种数为（    ） A．144种 B．108种 C．72种 D．35种 【答案】C 【分析】先让男生排好，再让女上插空去排，同时左右两端只能选择一段，计算即可得. 【详解】先让男生排好有种排法，在让女生插空必须选择中间的2个空和左、右2端中的一个， 所以排法分别是，再根据分步计算原理的总的排法. 故选：C 48．3名男生和2名女生站成一排朗诵，其中女生不能站在一起的排法种数为（    ） A．72 B．60 C．36 D．30 【答案】A 【分析】根据条件，先排3名男生，有种排法，再将女生插入4个空，有种排法，再利用分步计数原理，即可求出结果. 【详解】因为排3名男生，有种排法，再将女生插入4个空，有种排法 所以女生不能站在一起的排法种数为， 故选：A. 题型09 相邻与不相邻的综合排列问题 1. 区分相邻元素组（如“甲、乙相邻”）和不相邻元素（如“丙不与甲乙相邻”），将相邻组捆绑为“整体”，明确整体与不相邻元素的约束关系。 2. 先排无约束元素与捆绑体，算排列数；再从产生的空位中选位排不相邻元素，算选位排列数，两步结果相乘，得总排列数，如捆甲乙后排与丁再插丙。 49．某种产品的加上需要经过A，B，C，D，E，F，G七道工序，要求A，B两道工序必须相邻，C，D两道工序不能相邻，则不同的加工顺序有（    ） A．960种 B．836种 C．816种 D．720种 【答案】A 【分析】先捆绑，再全排列后插空得出加工顺序. 【详解】先捆绑再和排列，然后插入 共有种排法． 故选：A. 50．已知3名教师和4名学生排成一排照相，每位教师互不相邻，且教师甲和学生乙必须相邻，一共有多少种不同的排法？（    ） A．144 B．288 C．576 D．720 【答案】C 【分析】利用捆绑法和插空法结合分步乘法计数原理求解即可. 【详解】先将教师甲和学生乙捆绑成一个元素，与另外3名学生全排列，则有种方法， 再将剩下的两名教师插入除去与教师甲相邻的四个空位中，有种方法， 所以由分步乘法计数原理可知共有种不同的排法， 故选：C 51．甲、乙、丙等8人围成一圈就坐，已知甲、乙两人相邻，甲、丙两人不相邻，则不同的坐法共有（   ） A．1200种 B．1440种 C．7200种 D．9600种 【答案】A 【分析】先安排甲，再安排乙和丙，最后安排剩余的5人，结合排列知识进行求解. 【详解】因为环状排列没有首尾之分，8人围成一圈就坐没有首尾之分， 故可先固定甲位置，乙与甲相邻则有种坐法；丙与甲不相邻，则有种坐法， 余下5人有种坐法，故所求坐法为种， 故选：A. 52．某学校在读书节活动中，甲，乙，丙3个班各有2名同学获奖，现将这6人站成一排拍照，其中甲班的2名同学相邻，且乙班的2名同学不相邻的站法种数共有（   ） A．36种 B．72种 C．144种 D．288种 【答案】C 【分析】甲班的2名同学相邻，用“捆绑法”，乙班的2名同学不相邻，用“插空法”，再根据分步乘法计数原理即可求解. 【详解】第一步，将甲班的2人捆绑，连同丙班的2人作全排列，有种站法； 第二步，将乙班的2人插入前后4个空档，有种站法. 根据分步乘法计数原理，不同的站法共有种. 故选：C 53．2025年春节档电影《哪吒之魔童闹海》成为中国影史票房最高的电影，某班甲、乙、丙、丁、戊这5位同学相约一起去电影院观看，要求5人坐在同一排相邻的5个位置，甲、乙、丙这三人相邻，且丙不与丁相邻，则不同的座位排列方法有（    ）种. A．32 B．28 C．24 D．20 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用相邻问题捆绑法，结合排除法列式计算. 【详解】将甲乙丙三人视为整体与丁戊排列，有种， 当甲乙丙相邻，丙不在甲乙的中间，丙丁相邻时，甲乙丙丁视为一个整体与戊排列，有种， 所以不同的座位排列方法的种数是. 故选：B 54．某活动共包含、、、、这5个环节，其中环节、必须相邻，环节、不能相邻，那么不同的安排方式一共有（   ） A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 【答案】B 【分析】先将必须相邻的环节捆绑，再考虑不相邻环节的排列，最后根据排列组合的乘法原理计算出总的安排方式． 【详解】因为环节A、B必须相邻，所以将A、B看作一个整体，考虑A、B之间的排列顺序，则A、B的排列方式有种． 此时相当于有两个元素（捆绑后的A、B和E）进行排列，排列方式有种． 经过步骤2的排列后，形成了3个空位，从这3个空位中选2个空位插入C、D，根据排列数公式，其排列方式有种． 所以不同的安排方式一共有种． 故选：B． 题型10 数字排列问题 1. 确定数字范围、位数及特殊规则（如首位非0、数字不重复），明确排列对象（如用0-5排三位数），标注关键限制避免疏漏。 2. 优先排特殊位置（如首位）用乘法原理；含重复数字用除法，复杂时分类（含0/不含0），排除无效排列，最后汇总得总排列数。 55．从1、2、3、4、5中任选3个不同数字组成一个三位数，则该三位数能被3整除的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用排列组合知识求出对应的方法种数，利用古典概型的概率公式直接求解. 【详解】从1、2、3、4、5中任选3个不同数字组成一个三位数，有种； 要使该三位数能被3整除，只需数字和能被3整除， 所以数字为1，2，3时，有种；数字为1，3，5时，有种； 数字为2，3，4时，有种；数字为3，4，5时，有种；共24种. 所以该三位数能被3整除的概率为. 故选：D 56．用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），在任意相邻两个数字的奇偶性不同的条件下，1和2相邻的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先算出任意相邻两个数字的奇偶性不同的6位数的个数，再讨论个位是偶数并分2在或不在个位计数，以及个位是奇数并分1在或不在个位计数，最后求目标概率. 【详解】将3个偶数排成一排有种，再将3个奇数分两种情况插空有种， 所以任意相邻两个数字的奇偶性不同的6位数有 种， 任意相邻两个数字的奇偶性不同且1和2相邻，分两种情况讨论： 当个位是偶数：2在个位，则1在十位，此时有种； 2不在个位：将4或6放在个位，百位或万位上放2，在2的两侧选一个位置放1，最后剩余的2个位置放其它两个奇数，此时有种； 所以个位是偶数共有20种； 同理，个位是奇数也有20种，则任意相邻两个数字的奇偶性不同且1和2相邻数有40种， 所以任意相邻两个数字的奇偶性不同的条件下，1和2相邻的概率是. 故选：C 【点睛】关键点点睛：对任意相邻两个数字的奇偶性不同且1和2相邻做计数时，注意讨论特殊位置上放置偶数或奇数，进而分1、2是否在该位置的情况计数. 57．将六个数、、、、、按任意次序排成一行，拼成一个位数，则产生的不同的位数的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出将2，0，1，9，20，19的首位不为0的排列数，排除2的后一项是0的排列，1的后一项是9的排列，再加上2的后一项是0同时1的后一项是9的排列，可得答案. 【详解】将六个数、、、、、按任意次序排成一行，拼成一个位数，由于首位不能为0，则有个， 其中“20”出现2次，即“2”与“0”相邻且“2”在“0”前的排法有种， “19”出现2次，即“1”与“9”相邻且“1”在“9”前的排法有种， “20”和“19”都出现2次的排法有种， 因此满足条件的位数的个数为：. 故选：A. 58．将数字“322469”重新排列后得到不同的偶数个数为（   ） A．240 B．192 C．120 D．72 【答案】A 【分析】考虑到该六位数中有两个2，故按照分类加法计数原理计算，对于个位是4或6的两类，只需排好另外三个数字即可，对于个位是2的一类，则可以考虑另5个数字全排即得. 【详解】依题意，因这个六位数中有两个“2”，故不能直接将其与其他数字全排，否则会出现重复.可将这样的偶数分成三类： 第一类，个位排4，在前面五位数位中，只需选三个排上数字3，6，9即可（剩下两个数位即排2），有种方法； 第二类，个位排6，与第一类相同，有种方法； 第三类个位排2，则前面五个数位只需将另外5个数字全排即可，有种方法. 由分类加法计数原理，不同的偶数个数为. 故选：A. 59．将数字1，2，3，4，5这五个数随机排成一列组成一个数列，则该数列为先减后增数列的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，求出这五个数随机排成一列组成一个数列的所有可能情况，该数列为先减后增，可知1一定是分界点，且前面的顺序和后面的顺序都只有一种，结合1前面的情况，分类讨论求出满足条件的情况数，最后根据古典概型求出概率即可． 【详解】解：将数字1，2，3，4，5这五个数随机排成一列组成一个数列， 则所有可能情况有种情况， 由于该数列为先减后增， 则1一定是分界点，且前面的顺序和后面的顺序都只有一种， 当1前面只有一个数时，有4种情况， 当1前面只有2个数时，有种情况， 当1前面有3个数时，有4种情况， 故一共有， 故数列为先减后增数列的概率． 故选：B． 【点睛】本题考查数学排列问题，考查分类加法计数原理、排列和组合在实际问题中的应用，以及古典概型的概率的公式，考查分类讨论思想和运算能力． 60．由这十个数字组成的无重复数字的四位数中，个位数字与百位数字之差的绝对值等于8的个数为（    ） A．180 B．196 C．210 D．224 【答案】C 【解析】首先分析可得，个位数字与百位数字之差的绝对值等于8的情况有2种，即：①当个位与百位数字为0，8时，②当个位与百位为1，9时，分别求出所有的情况，由加法原理计算可得答案． 【详解】分两种情况： （1）个位与百位填入0与8，则有个； （2）个位与百位填入1与9，则有个. 则共有个. 故选：C 【点睛】本题考查排列、组合的综合运用，注意分类讨论的运用． 题型11 其它排列问题 1. 明确排列类型（如选排、环排、重复元素排）及核心约束（如环形无首尾、部分元素相同），区分与典型排列的差异，避免套用错误方法。 2. 选排用)；含混合约束先处理特殊，分步或分类计算后汇总，确保结果符合场景要求。 61．把2个相同的红球､1个黄球､1个蓝球放到三个盒子里，每个盒子中至少放1个球，则不同的放法种数为（    ） A．18 B．20 C．21 D．24 【答案】C 【分析】先把4个球分成3堆，得到其分法，再把球放入3个盒子里，即可得到总放法. 【详解】先把4个球分成3堆，分法有4种：(红红，黄，蓝)､(红黄，红，蓝)､(红蓝，红，黄)､(红，红，蓝黄). 前3种分法，把3堆球放入3个盒子中，各有种放法， 最后一种分法，把3堆球放入3个盒子中，有3种放法， 所以共有种放法. 故选：C 62．系统的登录密码由个字符组成，其中前位是大写字母、、、的某种排列，后位是不相同的数字，则可能的密码总数是多少（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用倍缩法可得出前个位置的排法种数，利用排列计数原理可得出后两位的排法种数，再利用分步乘法计数原理可得结果. 【详解】由题意可知，前个位置中有两个位置安排字母，有种， 然后从中选择两个不同的数字排最后两个位置，有种， 由分步乘法计数原理可知，可能的密码种数为. 故选：C. 63．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则（    ） A．课程“礼”“乐”“射”排在相邻的三周，共有144种排法 B．课程“礼”排在“乐”的后面（可以不相邻），共有360种排法 C．课程“射”“御”排在不相邻两周，共有240种排法 D．课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有504种排法 【答案】ABD 【分析】根据题意，由分布、分类计数原理和排列数与组合数公式，分别判断各选项即可. 【详解】对于选项A，课程“礼”“乐”“射”排在相邻的三周，通过捆绑法，将课程“礼”“乐”“射”看成一个整体， 与其他3门课程全排列，共有种排法，故A正确； 对于选项B，在所有排列中，课程“礼”排在“乐”的后面与课程“乐”排在课程“礼”的后面的情况等可能， 各占一半，所以课程“礼”排在课程“乐”的后面的排法有种，故B正确； 对于选项C，课程“射”“御”排在不相邻两周，通过插空法，先排好其他的4门课程，有5个空位可选， 在其中任选2个，安排课程“射”“御”共有种排法，故C错误； 对于选项D，课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，用总的排法数减去课程“乐” 排在第一周的排法数，再减去课程“御”排在最后一周的排法数，然后加上课程“乐” 排在第一周且 课程“御”排在最后一周的排法，则总的排法为种，若课程“乐”排在第一周的排法为种， 若课程“御”排在最后一周的排法为种， 课程“乐”排在第一周且课程“御”排在最后一周的排法为种， 则满足条件的排法数为种，故D正确. 故选：ABD. 64．一个箱子里有6个球，分别以标号，若有放回地取三次，每次取一个球，记至少取出一次的球的个数为，则 . 【答案】 【分析】根据给定条件，求出样本空间含有样本点个数，事件含有的样本点个数，利用古典概型求解. 【详解】从有6个球的箱子里有放回地取球三次的样本空间含有个样本点， 事件含有6个样本点，事件含有个样本点， 因此事件含有的样本点个数为， 所以. 故答案为： 65．若数列不是等差数列，但使得，那么称数列为“局部等差数列”.若从集合中依次抽取4个数构成一个数列，则数列为局部等差数列的概率为 . 【答案】/0.2 【分析】先求出一共有的情况数，并列举出满足要求的情况数，相除可得概率. 【详解】依次抽取4个数构成一个数列，共有种情况， 依题意数列中仅连续三项等差，这三项可以为2，4，6（或6，4，2）； 4，6，8（或8，6，4）；6，8，10（或10，8，6）；2，6，10（或10，6，2）四类， 其中2，4，6（或6，4，2）有6种情况， 分别是8，2，4，6；10，2，4，6；2，4，6，10；6，4，2，8；6，4，2，10；10，6，4，2； 4，6，8（或8，6，4）有4种情况， 分别是10，4，6，8；4，6，8，2；8，6，4，10；2，8，6，4； 6，8，10（或10，8，6），有6种情况， 分别是2，6，8，10；6，8，10，2；6，8，10，4； 2，10，8，6；10，8，6，2；4，10，8，6； 2，6，10（或10，6，2）有8种情况， 分别为4，2，6，10；8，2，6，10；2，6，10，4；2，6，10，8； 4，10，6，2；8，10，6，2；10，6，2，4；10，6，2，8； 列举可得共有种情形. 则概率为. 故答案为： 66．现有面值分别为一分的硬币1枚，二分的硬币2枚，五分的硬币3枚，一角的硬币4枚，五角的硬币5枚，一元的硬币6枚共21枚硬币排成一排，共有多少种排法？ 【答案】 【分析】由条件考虑利用倍缩法解决. 【详解】此题中的21个元素不完全相同，也不完全不同，那么相同的元素之间不考虑其顺序，但是不同的元素之间又要考虑顺序，因此采用倍缩法，排法总数为． 故答案为：. 2 / 32 学科网（北京）股份有限公司 $