期中检测考点分类专题（解答题十大题型分类精析）- 2025-2026学年人教版九年级数学上册基础知识专项突破讲练

期中检测考点分类专题（解答题十大题型分类精析） 人教版九上 考查范围：第二十一章：一元二次方程 第二十二章：二次函数 第二十三章：旋转 目录 第一部分：计算与证明（基础巩固） 1 【题型1】解一元二次方程 1 【题型2】利用二次函数的性质求解 1 【题型3】旋转的基本求值与证明 3 第二部分：应用与证明（综合提升） 4 【题型4】根的判断式与根与系数关系综合 4 【题型5】一元二次方程根的应用 5 【题型6】二次函数与几何综合 7 【题型7】二次函数与实际问题 8 第三部分：跨章节综合拓展（培优拓展） 10 【题型8】 二次函数与一元二次方程综合 10 【题型9】二次函数与一次函数综合 11 【题型10】二次函数与旋转综合 13 第一部分：计算与证明（基础巩固） 【题型1】解一元二次方程 【例题1】（24-25九年级上·湖北·期中）解下列方程： （1） （2） 【变式1】（25-26九年级上·广东·期中）用适当的方法解下列方程： （1） （2） 【变式2】（25-26九年级上·陕西·期中）解方程： （1）； （2） 【变式3】（25-26九年级上·河北邢台·期中）按要求解方程： （1）（配方法）． （2）（因式分解法）． 【题型2】利用二次函数的性质求解 【例题2】（24-25九年级下·江苏南京·期中）已知二次函数（是常数） （1）若， ①该函数的顶点坐标为___________； ②当时，该函数的最大值___________； ③当时，该函数的最大值为___________； （2）当时，该函数的最大值为4，则常数的值为___________． 【变式1】（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）已知二次函数的图象与轴的交于、两点，与轴交于点． （1）求二次函数的表达式及点坐标； （2）是二次函数图象上位于第三象限内的点，求面积的最大值及此时点的坐标； 【变式2】（24-25九年级上·广西河池·期中）函数的图象如图所示，结合图象回答下列问题： （1）方程的两个根为 ； （2）当时，则x的取值范围为 ；当时，则变量y的取值范围为 ； （3）若方程有实数根，则k的取值范围是 ． 【变式3】（24-25九年级上·河北邢台·期中）已知二次函数． （1）把函数配成的形式； （2）求函数与x轴交点坐标； （3）用五点法画函数图象． x … … y … … 根据图象回答： （4）当时，则x的取值范围为 ． （5）当时，则y的取值范围为 ． 【题型3】旋转的基本求值与证明 【例题3】（24-25九年级上·广东韶关·期中）在中，是线段上的动点．连接，将绕点逆时针旋转至的位置．连接，试按要求解答下列问题： （1）求证：； （2）求的度数； 【变式1】（24-25七年级下·江苏徐州·阶段练习）如图，将绕C点逆时针旋转一定角度（）后得到，点恰好为的中点． （1）若，则旋转角的值为 ； （2）若，求的长． 【变式2】（24-25九年级上·全国·期中）如图，在中，．绕点逆时针旋转，旋转角为，点为点C的对应点． （1）请用尺规作图法画出旋转后的； （2）若，，，求的长． 【变式3】（24-25八年级下·贵州贵阳·期中）如图1，为等边内一点，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，的延长线与交于点，与交于点． （1）求证：； （2）________度； （3）如图2，连接，平分吗？请说明理由． 第二部分：应用与证明（综合提升） 【题型4】根的判断式与根与系数关系综合 【例题4】（2024·辽宁抚顺·模拟预测）已知关于的一元二次方程． （1）若，求k的值； （2）求证：无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根． 【变式1】（25-26九年级上·广东·期中）已知关于 x 的方程 有两个实数根． （1）求实数 k 的取值范围； （2）若这两个实数根的平方和等于9，求 k 的值． 【变式2】（2024·广东·模拟预测）已知关于x的一元二次方程． （1）求证：不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根． （2）若为该方程的两个实数根，且满足． ①求k的值； ②若菱形的一条对角线的长为，另一条对角线的长为，求菱形的面积． 【变式3】（24-25八年级下·山东烟台·期中）已知关于的一元二次方程． （1）当时，解该一元二次方程； （2）求证：无论为何实数，方程总有实数根； （3）若是方程的两个实数根，且，求的值． 【题型5】一元二次方程根的应用 【例题5】（24-25九年级上·江苏·期中）“七里山塘，枕河而居”，苏州市的山塘街是具有江南风貌特色的历史文化街区，现在已成为网红打卡地．据统计，2024年10月1日截至21时山塘历史街区累计客流量为8万人次，第三天游客人数达到11.52万人次． （1）求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率； （2）景区内某文创小店推出了特色丝绸团扇，每把扇子的成本为7元．根据销售经验，每把扇子定价为25元时，平均每天可售出300把．若每把扇子的售价每降低1元，平均每天可多售出30把．设每把扇子降价元．请解答以下问题： ①填空：每天可售出扇子____________把（用含的代数式表示）； ②若该文创小店想通过售出这批扇子每天获得5760元的利润，又想尽可能地减少库存，每把扇子应降价多少元？ 【变式1】（25-26九年级上·安徽淮南·阶段练习）园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米），另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留2米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长32米，设苗圃的一边长为米．   （1）长为________米（包含门宽，用含的代数式表示） （2）若苗圃的面积为，求的值； （3）苗圃的面积是否可以达到，请说明理由． 【变式2】（25-26九年级上·湖北孝感·期中）如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，墙对面有一个米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长米，围成的长方形的鸡场除门之外四周不能有空隙． （1）若墙长为米，要围成的鸡场的面积为平方米，则鸡场的长和宽各为多少米？ （2）围成的鸡场的面积可能达到平方米吗？ （3）若墙长为米，对建平方米面积的鸡场有何影响？ 【变式3】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）材料：一个制造商制造一种产品，它的成本通常分为固定成本和可变成本两个部分，其中固定成本包括设计产品、厂房租赁、设备折旧等费用，与产品生产件数无关；可变成本与该产品生产的件数有关，而每件产品的可变成本包括劳动力、材料、包装、运输等费用． 问题：某厂商生产产品中有一种蓝球工艺品，已知该工艺品销路很好．它每天的成本（元）与生产量（个）的关系如下表所示． 成本（元） 15100 15200 15300 15400 15500 … 生产量（件） 1 2 3 4 5 … （1）该工艺品每天的固定成本为___________；每件产品的可变成本为___________． （2）市场分析发现，这种工艺品一段时间内每天的销量（个）与销售单价（元/个）之间的对应关系如图所示： ①销量与销售单价之间的函数关系式； ②若每天生产出来的产品都能销售完，当售价定为多少时，能使厂商每天获得的利润为27000元？ 【题型6】二次函数与几何综合 【例题6】（25-26九年级上·广东·期中）已知，如图，抛物线与轴交于、两点（点在点左方），与轴相交于点，直线经过点、． （1）求的长度； （2）点为直线下方抛物线上一点，当四边形面积最大时，求点的坐标． 【变式1】（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，直线与抛物线交于A，B两点，点A在y轴上，点B在x轴上． 【变式2】（24-25九年级下·宁夏·期中）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点C．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线． （1）求抛物线的解析式； （2）第一象限内的抛物线上有一动点，使的面积最大，求点的坐标和面积的最大值； （3）对称轴与轴交于点，在对称轴上找一点，使是以为腰的等腰三角形，求点的坐标． 【变式3】（24-25九年级下·宁夏吴忠·期中）如图，抛物线与x轴交于 ， B 两点（点 A 在点 B 的左侧）， 与y轴交于点，直线 与x轴交于点 D，动点M在抛物线上运动，过点 M 作轴，垂足为P，交直线于点 N． （1）求抛物线的解析式； （2）E是抛物线对称轴与x轴交点，点F是x轴上一动点，在M 运动过程中，若C、E、F、M为顶点的四边形是平行四边形时，请求出满足条件的点F的坐标． 【题型7】二次函数与实际问题 【例题7】（2024·河北·模拟预测）如图，一女排运动员在比赛中将球从处发出，把球看成点，其运行的高度与运行的水平距离近似满足函数关系．已知球网与O点的水平距离为，球网的高度为，球场的边界距O点的水平距离为． （1）c的值为 ． （2）当，时，球能否越过球网？球会不会出界？请判断并说明理由． （3）当球一定能越过球网（不能擦网而过），又恰好落在边界上时，求a的取值范围． 【变式1】（24-25九年级上·福建莆田·期中）跳绳是一种简单且有效的全身性运动，它不仅能增强心肺功能、提高协调性和灵活性、促进骨骼生长发育、改善神经系统功能，而且能增强免疫力、预防多种疾病．如图，甲、乙两名同学在甩跳绳，绳甩到最高处的形状可近似看作抛物线，且抛物线解析式的二次项系数为．已知甲、乙两名学生拿绳的手间距为6.5米，距地面均为1米． （1）请以图中甲所在的位置为原点，地面所在直线为x轴建立直角坐标系，并求抛物线的函数表达式； （2）若参加跳绳的学生身高均为1.75米，为保证安全，要求相邻学生之间的安全距离不小于0.4米，问跳绳时，甩绳内部最多可容纳多少名学生？ 【变式2】（24-25九年级下·湖北孝感·期中）习近平总书记强调：“要教育孩子们从小热爱劳动、热爱创造”．某校为促进学生全面发展、健康成长，计划在校园围墙内围建一个矩形劳动实践基地，其中一边靠墙（如图），另外三边用长为的篱笆围成．已知墙长为，设这个矩形劳动实践基地垂直于墙的一边的长为，其中，平行于墙的一边的长为，矩形劳动实践基地的面积为． （1）请直接写出与，与的函数关系式； （2）当时，求垂直于墙的一边长； （3）若根据实际情况，可利用的墙的长度不超过，垂直于墙的一边长为多少时，这个矩形劳动实践基地的面积最大？并求出这个最大值． 【变式3】（24-25九年级下·湖南·期中）某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件，试营销阶段发现，当销售单价为25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件． （1）写出商场销售这种文具每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数表达式（不必写出x的取值范围）． （2）若商场要尽快减少库存，并使每天获得的销售利润为2 000元，则销售单价应定为多少元？ （3）当销售单价为多少元时，该商场销售这种文具每天所得的销售利润最大？最大利润是多少元？ 第三部分：跨章节综合拓展（培优拓展） 【题型8】 二次函数与一元二次方程综合 【例题8】（24-25九年级下·安徽淮北·期中）已知抛物线经过，两点． （1）求b的值； （2）当时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，求c的取值范围； （3）若方程的两实根，满足，且，求p的最大值． 【变式1】（24-25九年级上·吉林·期中）如图：在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）与x轴的两个交点分别为，点P是抛物线上一点，其横坐标为m． （1）求抛物线的解析式； （2）当时，y的取值范围是________________； （3）将抛物线在P、B两点之间的部分（包括P、B两点）记为图象G，设图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为d，当时，求m的值． 【变式2】（24-25九年级上·山西吕梁·期中）综合与探究 如图，平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A，B两点，与轴交于点，抛物线的对称轴与轴交于点．已知，点是第一象限抛物线上对称轴右侧的一个动点．设点的横坐标为．   （1）求抛物线的函数表达式，并直接写出点C，D的坐标． （2）点P运动到什么位置时，的面积最大，求出此时点坐标和的最大面积． 【变式3】（24-25九年级上·云南昆明·期中）九年级“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究．探究过程如下，请补充完整． （1）自变量x的取值范围是全体实效，x与y的几组对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y … 3 m 0 0 3 … 其中，______； （2）根据表中数据，在如图的平面直角坐标系中描点．并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分； （3）进一步观察探究函数图象发现： ①函数图象与x轴有______个交点，所以对应的方程有______个实数根； ②方程有______个实数根； ③关于x的方程有4个实数根时，a的取值范围是______． 【题型9】二次函数与一次函数综合 【例题9】（24-25九年级下·宁夏吴忠·期中）如图，抛物线与x轴交于 ， B 两点（点 A 在点 B 的左侧）， 与y轴交于点，直线 与x轴交于点 D，动点M在抛物线上运动，过点 M 作轴，垂足为P，交直线于点 N． （1）求抛物线的解析式； （2）E是抛物线对称轴与x轴交点，点F是x轴上一动点，在M 运动过程中，若C、E、F、M为顶点的四边形是平行四边形时，请求出满足条件的点F的坐标． 【变式1】（25-26九年级上·全国·期中）若一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A，C两点，点B的坐标为，二次函数的图象过A，B，C三点，如图所示． （1）求二次函数的表达式； （2）如图，过点C作轴交抛物线于点D，点E在抛物线上（y轴左侧），若恰好平分，求直线的表达式． 【变式2】（2022九年级下·西藏·专题练习）如图，抛物线的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线经过B，C两点． （1）求抛物线的解析式. （2）点P为抛物线第一象限上的一动点，连接，求面积的最大值，并求出此时点P的坐标． （3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点M，使的周长最短？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式3】（24-25九年级上·吉林·期中）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线经过点，其对称轴为直线点P是此抛物线上的点，其横坐标为，连接，取的中点B，过点B作y轴的平行线交此抛物线于点Q，连接． （1）求此抛物线对应的函数关系式； （2）当抛物线在点P与点Q之间的部分（包括点P和点Q）的图象对应的函数值y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围； （3）当的边与x轴平行时，求的面积． 【题型10】二次函数与旋转综合 【例题10】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，抛物线 与x轴分别交于、两点，与轴交于点，且． （1）求抛物线的解析式； （2）点为抛物线上一点，且 ，求点的坐标； （3）点为抛物线第一象限上一点，连、，若 ，求点的坐标． 【变式1】（24-25九年级下·重庆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点为拋物线上一点，且横坐标为1，连接，． （1）求拋物线的解析式； （2）如图1，点是第三象限内抛物线上的一个动点，点为轴上一个动点．过点作交于点，连接交于点．当最大时，求的最大值． （3）如图2，在（2）的条件下，将抛物线沿射线方向平移，使平移后的拋物线经过点，点为平移后抛物线上一点，，连接，．点为平面内任意一点，将绕点旋转后得到对应的（点，，的对应点分别为点，，）．若中恰有两个点落在平移后的抛物线上（点不与点重合），求点的坐标． 【变式2】（24-25九年级上·广东中山·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴交于点，抛物线恰好经过这两点． （1）求此抛物线的解析式； （2）若点的坐标是，将线段绕着点逆时针旋转得到线段． ①若点在此抛物线上，求出的值及相应点的坐标； ②若点是轴上的任一点，当取最小值时，求点的坐标． 【变式3】（22-23九年级上·全国·期中）如图，直线与轴、轴分别交于、两点，抛物线过、两点． （1）求抛物线的解析式； （2）点为抛物线上位于上方的一点，过点作于点，作轴交于点，当的周长最大时，求点的坐标； （3）是平面内的一点，在（2）的条件下，将绕点顺时针旋转得到，当时，的两个顶点恰好落在抛物线上，求点的横坐标． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中检测考点分类专题（解答题十大题型分类精析） 人教版九上 考查范围：第二十一章：一元二次方程 第二十二章：二次函数 第二十三章：旋转 目录 第一部分：计算与证明（基础巩固） 1 【题型1】解一元二次方程 1 【题型2】利用二次函数的性质求解 4 【题型3】旋转的基本求值与证明 9 第二部分：应用与证明（综合提升） 13 【题型4】根的判断式与根与系数关系综合 13 【题型5】一元二次方程根的应用 17 【题型6】二次函数与几何综合 21 【题型7】二次函数与实际问题 30 第三部分：跨章节综合拓展（培优拓展） 35 【题型8】 二次函数与一元二次方程综合 35 【题型9】二次函数与一次函数综合 42 【题型10】二次函数与旋转综合 50 第一部分：计算与证明（基础巩固） 【题型1】解一元二次方程 【例题1】（24-25九年级上·湖北·期中）解下列方程： （1） （2） 【答案】（1），；（2）， 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）先移项，再用提公因式法因式分解求解可得； （2）直接利用十字相乘法因式分解求解可得． 解：（1）解：， ， ， ， 或， 解得：，； （2）解：， ， 或， 解得：，． 【变式1】（25-26九年级上·广东·期中）用适当的方法解下列方程： （1） （2） 【答案】（1），；（2）， 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）根据因式分解法解一元二次方程即可． （2）根据因式分解法解一元二次方程即可． 解：（1）解：， ∴， ∴或， 解得：，． （2）解：， 移项：， ∴， ∴或， 解得：． 【变式2】（25-26九年级上·陕西·期中）解方程： （1）； （2） 【答案】（1）或；（2）， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可． 解：（1）解： 或 或； （2）解： ，，， ， ， ，． 【变式3】（25-26九年级上·河北邢台·期中）按要求解方程： （1）（配方法）． （2）（因式分解法）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解答本题的关键． （1）方程两边都加上一次项系数一半的平方，配方后运用直接开平方法求得未知数的值即可； （2）方程移项后运用因式分解法解答即可． 解：（1）解：， ， ， ， ∴； （2）解：， ， ， ， ∴． 【题型2】利用二次函数的性质求解 【例题2】（24-25九年级下·江苏南京·期中）已知二次函数（是常数） （1）若， ①该函数的顶点坐标为___________； ②当时，该函数的最大值___________； ③当时，该函数的最大值为___________； （2）当时，该函数的最大值为4，则常数的值为___________． 【答案】（1）①；②2；③；（2）2或． 【分析】本题主要考查二次函数的图象及性质，掌握二次函数的图象及性质并灵活应用是解题的关键． （1）根据函数表达式求最值，判断二次函数图象的增减区间，即可求解； （2）分析抛物线对称轴的不同位置判断最值并求解即可； 解：（1）解：当时，则二次函数 ①二次函数图像的顶点坐标为：； ②该抛物线的对称轴为， ∵， ∴当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，当时，函数取得最大值为2； ∴当时，该二次函数的最大值为2； ③当时，该二次函数的最大值为． 故答案为：①；②2；③ （2）二次函数的对称轴为：，开口向下， 当时，，解得：（舍去）； 当时，，解得：（舍去）； 当时，，解得：； 综上，常数m的值为或． 故答案为：或． 【变式1】（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）已知二次函数的图象与轴的交于、两点，与轴交于点． （1）求二次函数的表达式及点坐标； （2）是二次函数图象上位于第三象限内的点，求面积的最大值及此时点的坐标； 【答案】（1），；（2）面积的最大值为，． 【分析】（）直接由待定系数法求出二次函数的解析式，再令，解方程求解即可； （）过点作轴的垂线交于点，连接、，先求出直线解析式，则，当取最大值时，的面积最大，设，则，故有，利用二次函数的性质求最值即可解答； 本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，二次函数与几何图形的综合等，熟练掌握知识点并能够综合运用知识点是解题的关键． 解：（1）解：把，代入得：， 解得， ∴二次函数的表达式为， 当时， ， 解得，， ∴； （2）解：过点作轴的垂线交于点，连接、， 设直线的表达式为， 把、代入得：， 解得， ∴直线的表达式为， 则， ∴当取最大值时，的面积最大， 设，则， ∵点位于第三象限， ∴， ， ∴， ∴当时，的面积最大，最大值为， 此时，点的坐标为． 【变式2】（24-25九年级上·广西河池·期中）函数的图象如图所示，结合图象回答下列问题： （1）方程的两个根为 ； （2）当时，则x的取值范围为 ；当时，则变量y的取值范围为 ； （3）若方程有实数根，则k的取值范围是 ． 【答案】（1）；（2）；；（3） 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）根据函数图象即可得出答案； （2）根据函数图象结合当时，，即可得出答案； （3）根据函数图象即可得出答案． 解：（1）解：由图象可得：方程的两个根为． 故答案为：； （2）解：由图象可得：当时，则的取值范围为， ∵， ∴当时，， ∴当时，自变量的取值范． 故答案为：；； （3）解：由图象可得：若方程有实数根，取值范围是． 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·河北邢台·期中）已知二次函数． （1）把函数配成的形式； （2）求函数与x轴交点坐标； （3）用五点法画函数图象． x … … y … … 根据图象回答： （4）当时，则x的取值范围为 ． （5）当时，则y的取值范围为 ． 【答案】（1）；（2），；（3）见分析；（4）或；（5） 【分析】（1）利用配方法化为顶点式即可； （2）根据图象与x轴的相交的特点可求出坐标； （3）已知抛物线解析式，确定对称轴以后，在对称轴左右两边对称取值即可； （4）当图象在x轴及其上方时，据此写出x的取值范围； （5）因为顶点坐标在的范围内，根据图象，可确定函数值y的范围． 解：（1）；    （2）令，则， 解得：，或， 函数与x轴交点坐标为，； （3）用五点法画函数图象如下： （4）当时，则x的取值范围为或． （5）当时，则y的取值范围为． 【点拨】此题考查了二次函数的性质与图象，考查了通过配方法求顶点式，求顶点坐标，对称轴，开口方向；还考查了根据对称轴列表、画图的方法，二次函数的增减性及观察图象回答问题的能力． 【题型3】旋转的基本求值与证明 【例题3】（24-25九年级上·广东韶关·期中）在中，是线段上的动点．连接，将绕点逆时针旋转至的位置．连接，试按要求解答下列问题： （1）求证：； （2）求的度数； 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质，解题的关键是利用旋转性质得到全等条件，再结合等腰直角三角形角度特征求解． （1）利用旋转性质得到边和角的关系，再结合已知条件，根据全等三角形判定定理证明； （2）先由等腰直角三角形性质得和的度数，再根据全等三角形性质得，进而求出度数． 解：（1）证明：绕点逆时针旋转至的位置， ． 又，所以，即． 在和中： ． （2）， 是等腰直角三角形． ． 由（1）知， ． ． 的度数为． 【变式1】（24-25七年级下·江苏徐州·阶段练习）如图，将绕C点逆时针旋转一定角度（）后得到，点恰好为的中点． （1）若，则旋转角的值为 ； （2）若，求的长． 【答案】（1）；（2）5 【分析】本题主要考查了图形的旋转．熟练掌握旋转的定义和性质，是解题的关键． （1）根据旋转的性质，可知旋转角为，再由周角的定义，即可求解； （2）根据旋转的性质，可得，由中点性质得，即得． 解：（1）解：∵由逆时针旋转得到， ∴，， ∵，， ∴， ∴旋转角度为， 故答案为：； （2）解：由旋转得，，， ∵点恰好为的中点， ∴， ∴． 【变式2】（24-25九年级上·全国·期中）如图，在中，．绕点逆时针旋转，旋转角为，点为点C的对应点． （1）请用尺规作图法画出旋转后的； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了旋转作图和性质，勾股定理，解题关键是熟练运用旋转性质和勾股定理． （1）作，即可； （2）根据勾股定理求出，由旋转可知，是等腰直角三角形，根据勾股定理可求． 解：（1）解：旋转后的如图所示； （2）∵，，， ∴， 由旋转可知，，， ． 【变式3】（24-25八年级下·贵州贵阳·期中）如图1，为等边内一点，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，的延长线与交于点，与交于点． （1）求证：； （2）________度； （3）如图2，连接，平分吗？请说明理由． 【答案】（1）见分析；（2）；（3）平分．理由见分析 【分析】（1）根据旋转性质可得，，结合等边三角形的性质可证明即可得出结论； （2）过点作，，垂足分别为，，利用（1）中证得的全等得到； （3）利用面积相等求得，可证得，从而得到，则平分． 解：（1）证明：线段绕点逆时针旋转得到， ，， 为等边三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：， ， ， ， 故答案为：； （3）解：平分．理由如下， 如图，过点作，，垂足分别为，，    ， ， ， ， 在和中， ， ， ，平分． 【点拨】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，角平分线的判定，熟练掌握这些性质定理是解答本题的关键． 第二部分：应用与证明（综合提升） 【题型4】根的判断式与根与系数关系综合 【例题4】（2024·辽宁抚顺·模拟预测）已知关于的一元二次方程． （1）若，求k的值； （2）求证：无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根． 【答案】（1）的值为；（2）见分析 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式的意义； （1）根据一元二次方程根与系数的关系式得出，，代入，解方程，即可求解； （2）计算一元二次方程根的判别式得出，即可得证． 解：（1）解：由根与系数的关系得， ∵， ∴， 解得，即的值为 （2）证明： ， ∴无论k取何值，该方程总有两个不相等的实数根． 【变式1】（25-26九年级上·广东·期中）已知关于 x 的方程 有两个实数根． （1）求实数 k 的取值范围； （2）若这两个实数根的平方和等于9，求 k 的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，根的判别式，根与系数的关系． （1）由，进一步求解即可． （2）由，再进一步建立方程求解即可． 解：（1）解：∵关于 x 的方程 有两个实数根， ∴， 解得：． （2）解：设方程的两根为，， 则 ，， ， 由题意，， 即 ， ∴， 解得：，， ∵ ， ∴． 【变式2】（2024·广东·模拟预测）已知关于x的一元二次方程． （1）求证：不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根． （2）若为该方程的两个实数根，且满足． ①求k的值； ②若菱形的一条对角线的长为，另一条对角线的长为，求菱形的面积． 【答案】（1）见分析；（2）①②3 【分析】此题考查了根与系数的关系，根的判别式，菱形的性质，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键． （1）表示出根的判别式，判断其正负即可作出判断； （2）利用根与系数的关系，求出的值，进而求出的长，根据菱形的面积公式进行计算即可． 解：（1）证明：∵， ∴ ， ∴不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：①∵，为该方程的两个实数根， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②由①知：， ∴，， ∴菱形的面积为． 【变式3】（24-25八年级下·山东烟台·期中）已知关于的一元二次方程． （1）当时，解该一元二次方程； （2）求证：无论为何实数，方程总有实数根； （3）若是方程的两个实数根，且，求的值． 【答案】（1）；（2）见分析；（3）或1 【分析】本题考查了一元二次方程的综合运用． （1）将代入方程求解即可； （2）根据根的判别式证明即可； （3）根据根与系数的关系求出，代入求解即可． 解：（1）解：当时，原方程为， 方程左边因式分解得： 解得： （2）解：关于的一元二次方程， ， ， ，即， 不论为何实数，方程总有实数根； （3）解：是关于的一元二次方程的两个实数根， ， ， ， ，整理，得，解得， 的值为或1． 【题型5】一元二次方程根的应用 【例题5】（24-25九年级上·江苏·期中）“七里山塘，枕河而居”，苏州市的山塘街是具有江南风貌特色的历史文化街区，现在已成为网红打卡地．据统计，2024年10月1日截至21时山塘历史街区累计客流量为8万人次，第三天游客人数达到11.52万人次． （1）求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率； （2）景区内某文创小店推出了特色丝绸团扇，每把扇子的成本为7元．根据销售经验，每把扇子定价为25元时，平均每天可售出300把．若每把扇子的售价每降低1元，平均每天可多售出30把．设每把扇子降价元．请解答以下问题： ①填空：每天可售出扇子____________把（用含的代数式表示）； ②若该文创小店想通过售出这批扇子每天获得5760元的利润，又想尽可能地减少库存，每把扇子应降价多少元？ 【答案】（1）从假期第一天到第三天的平均日增长率为；（2）①；②每把扇子应降价6元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，列代数式．根据题意正确的列等式方程是解题的关键． （1）设从假期第一天到第三天的平均日增长率为，依题意得，计算求出满足要求的解即可； （2）①由题意知，每天可售出扇子把，然后作答即可；②依题意得，计算求解，然后作答即可． 解：（1）解：设从假期第一天到第三天的平均日增长率为， 依题意得，， 解得，或（舍去）， 答：从假期第一天到第三天的平均日增长率为； （2）①解：由题意知，每天可售出扇子把， 故答案为：； ②解：依题意得，， 整理得，， 解得，或， ∵想尽可能地减少库存， 答：每把扇子应降价6元． 【变式1】（25-26九年级上·安徽淮南·阶段练习）园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米），另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留2米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长32米，设苗圃的一边长为米．   （1）长为________米（包含门宽，用含的代数式表示） （2）若苗圃的面积为，求的值； （3）苗圃的面积是否可以达到，请说明理由． 【答案】（1）；（2）的值为8；（3）苗圃的面积不可以达到，理由见分析 【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，列代数式，解题的关键在于读懂题意，根据已知列方程求解． （1）根据木栏总长32米，如图所示的两处各留2米宽的门求出长； （2）根据题意得即可得到答案； （3）列出面积表达式，将代入判断即可． 解：（1）解：依据题意，， 解得， 故答案为：； （2）解：根据题意得， 即， 化简得， 解得，， 当时，， （舍去）， ； （3）解：不可以达到．理由如下： 若可以达到，则， 化简得：， ，无解， ∴苗圃的面积不可以达到． 【变式2】（25-26九年级上·湖北孝感·期中）如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，墙对面有一个米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长米，围成的长方形的鸡场除门之外四周不能有空隙． （1）若墙长为米，要围成的鸡场的面积为平方米，则鸡场的长和宽各为多少米？ （2）围成的鸡场的面积可能达到平方米吗？ （3）若墙长为米，对建平方米面积的鸡场有何影响？ 【答案】（1）鸡场的长为米，宽为米；（2）鸡场面积不可能达到平方米，见分析；（3）当时，不能围成一个长方形养鸡场；当时，可以围成一个长方形养鸡场；当时，可以围成两个长宽不同的长方形养鸡场 【分析】本题考查一元二次方程的应用，找到等量关系列出方程是解决问题的关键． （1）先设养鸡场的宽为，得出长方形的长，再根据面积公式列出方程，求出的值即可，注意要符合题意； （2）先设养鸡场的宽为，得出长方形的长，再根据面积公式列出方程，判断出的值，即可得出答案； （3）根据实际问题当时，当时，当时，三种情况进行讨论，得出符合条件的值即可． 解：（1）解：设养鸡场的宽为，根据题意得： ， 解得：，， 当时，， 当时，，（舍去）， 则养鸡场的宽是，长为； （2）解：设养鸡场的宽为，根据题意得： ， 整理得：， ， ∵方程没有实数根， ∴围成养鸡场的面积不能达到； （3）解：当时，不能围成一个长方形养鸡场； 当时，可以围成一个长方形养鸡场； 当时，可以围成两个长宽不同的长方形养鸡场． 【变式3】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）材料：一个制造商制造一种产品，它的成本通常分为固定成本和可变成本两个部分，其中固定成本包括设计产品、厂房租赁、设备折旧等费用，与产品生产件数无关；可变成本与该产品生产的件数有关，而每件产品的可变成本包括劳动力、材料、包装、运输等费用． 问题：某厂商生产产品中有一种蓝球工艺品，已知该工艺品销路很好．它每天的成本（元）与生产量（个）的关系如下表所示． 成本（元） 15100 15200 15300 15400 15500 … 生产量（件） 1 2 3 4 5 … （1）该工艺品每天的固定成本为___________；每件产品的可变成本为___________． （2）市场分析发现，这种工艺品一段时间内每天的销量（个）与销售单价（元/个）之间的对应关系如图所示： ①销量与销售单价之间的函数关系式； ②若每天生产出来的产品都能销售完，当售价定为多少时，能使厂商每天获得的利润为27000元？ 【答案】（1）15000；100；（2）①；②当售价定为20元或21元时，能使厂商每天获得的利润为27000元． 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）由表格可知，每增加一件产品，成本增加100元，据此可得答案； （2）①设销量与销量单价之间的函数关系式，再利用待定系数法求解即可；②根据利润等于销售额减去成本建立方程求解即可． 解：（1）解：由表格可知，每增加一件产品，成本增加100元， ∴该工艺品每天的固定成本为元；每件产品的可变成本为100元； （2）解：①设销量与销量单价之间的函数关系式 把代入得， 解得 ∴； ②由题意得，， 整理得， 解得或， 答：当售价定为20元或21元时，能使厂商每天获得的利润为27000元． 【题型6】二次函数与几何综合 【例题6】（25-26九年级上·广东·期中）已知，如图，抛物线与轴交于、两点（点在点左方），与轴相交于点，直线经过点、． （1）求的长度； （2）点为直线下方抛物线上一点，当四边形面积最大时，求点的坐标． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数与x轴的交点问题，二次函数的最值，熟练掌握相关性质定理为解题关键． （1）令，求出一元二次方程的根，进而求得； （2）设点，根据B，C坐标，求出的函数关系式，过点P作y轴平行线交于D，设点P坐标，表示出点D坐标，进而求得的长，从而表示出的面积，进而表示出四边形的面积函数关系式，配方求得最大值即可． 解：（1）解：由得， ， ，， ，， ； （2）如图1， 设点， 点，， 的解析式是：， 如图，过点P作y轴平行线交于D， ， ， ， ， ， 当时，， 当时，， ． 【变式1】（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，直线与抛物线交于A，B两点，点A在y轴上，点B在x轴上． 【答案】（1）抛物线解析式为；（2）此时点的坐标为，四边形的面积的最大值为；（3），的最大值为 【分析】（）先由直线与轴交于点，与轴交于点，求出点，点，然后利用待定系数法求出二次函数解析式即可； （）过作轴于点，交于点，设，则，则，然后由得出，再根据二次函数的性质即可求解； （3）首先得到抛物线对称轴为直线，然后得到当点B，Q，P三点共线时，取得最大值，即的长度，然后由勾股定理求出的最大值为；求出所在直线表达式为，将代入求解即可． 解：（1）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点， ∴当时，，当时，， ∴点，点， ∵抛物线交于，两点， ∴，解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：如图，过作轴于点，交于点， 设，则， ∴， 则 ， 当时，有最大，最大值为， ∴， 此时点的坐标为． （3）如图所示， ∵抛物线； ∴抛物线对称轴为直线 ∵ ∴当点B，Q，P三点共线时，取得最大值，即的长度，如图所示， ∵， ∴． ∴的最大值为； 设所在直线表达式为 ∴ ∴ ∴所在直线表达式为 ∴将代入 ∴． 【点拨】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，求二次函数的解析式，二次函数的几何问题，线段最值问题，熟练掌握一次函数和二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想解题是解题的关键． 【变式2】（24-25九年级下·宁夏·期中）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点C．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线． （1）求抛物线的解析式； （2）第一象限内的抛物线上有一动点，使的面积最大，求点的坐标和面积的最大值； （3）对称轴与轴交于点，在对称轴上找一点，使是以为腰的等腰三角形，求点的坐标． 【答案】（1）；（2）；面积最大值为；（3）点M的坐标为，， 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质的综合应用，等腰三角形的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握二次函数的图象和性质，合理作出辅助线是解决此题的关键． （1）用待定系数法即可求解； （2）如图，过点P作轴交于点E，先用含m的解析式表示出，再利用二次函数的性质即可得解； （3）分①当时，②当时，两种种情况讨论，即可求解； 解：（1）解：∵抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴， 将代入得， 由①②得，，， ∴抛物线的解析式为； （2）解：令得， ∴，， ∴， 令得， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解方程得， ∴直线的解析式为， 如图，过点P作轴交于点E， 设P点坐标为，则，， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴， ∴此时P点坐标为； （3）解：∵对称轴与x轴交于点N， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，、 ①当时， 如图所示有，， ②当时，过点C作， ∵，， ∴， ∴， 综上所述：点M的坐标为，，． 【变式3】（24-25九年级下·宁夏吴忠·期中）如图，抛物线与x轴交于 ， B 两点（点 A 在点 B 的左侧）， 与y轴交于点，直线 与x轴交于点 D，动点M在抛物线上运动，过点 M 作轴，垂足为P，交直线于点 N． （1）求抛物线的解析式； （2）E是抛物线对称轴与x轴交点，点F是x轴上一动点，在M 运动过程中，若C、E、F、M为顶点的四边形是平行四边形时，请求出满足条件的点F的坐标． 【答案】（1）；（2）或或或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）分三种情况，利用平行四边形的对角线互相平分，进行求解即可． 解：（1）解：把，代入，得： ，解得：， ∴； （2）∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴，设，， ∵， ∴当以为对角线时，则：，解得：或（舍去）； ∴； 当以为对角线时，，解得：或， ∴或； 当以为对角线时，，解得：或（舍去）； ∴； 综上：或或或． 【题型7】二次函数与实际问题 【例题7】（2024·河北·模拟预测）如图，一女排运动员在比赛中将球从处发出，把球看成点，其运行的高度与运行的水平距离近似满足函数关系．已知球网与O点的水平距离为，球网的高度为，球场的边界距O点的水平距离为． （1）c的值为 ． （2）当，时，球能否越过球网？球会不会出界？请判断并说明理由． （3）当球一定能越过球网（不能擦网而过），又恰好落在边界上时，求a的取值范围． 【答案】（1）2；（2）球能越过球网，球会出界，理由见分析；（3） 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题关键是理解题意，运用数形结合的思想分析问题． （1）将点代入并求解，即可获得答案； （2）首先确定该函数解析式，当时，可有，即可判断球是否能越过球网；当时，可有，即可判断球是否会出界； （3）根据当球要过网且不擦网而过时，可得①，而根据当球刚好落在边界时，可知②，整理可得③，将③代入①并求解，即可获得答案． 解：（1）解：将点代入， 可得，解得． 故答案为：2； （2）球能越过球网，球会出界，理由如下： 若，时，结合（1）可知该函数解析式为， 当时，可有， ∵， ∴球能越过球网； 当时，可有， ∵， ∴球会出界； （3）根据当球要过网且不擦网而过时，①， 根据当球刚好落在边界时，②， 由②得③， 将③代入①得， 解得． 【变式1】（24-25九年级上·福建莆田·期中）跳绳是一种简单且有效的全身性运动，它不仅能增强心肺功能、提高协调性和灵活性、促进骨骼生长发育、改善神经系统功能，而且能增强免疫力、预防多种疾病．如图，甲、乙两名同学在甩跳绳，绳甩到最高处的形状可近似看作抛物线，且抛物线解析式的二次项系数为．已知甲、乙两名学生拿绳的手间距为6.5米，距地面均为1米． （1）请以图中甲所在的位置为原点，地面所在直线为x轴建立直角坐标系，并求抛物线的函数表达式； （2）若参加跳绳的学生身高均为1.75米，为保证安全，要求相邻学生之间的安全距离不小于0.4米，问跳绳时，甩绳内部最多可容纳多少名学生？ 【答案】（1）；（2）甩绳内部最多可容纳8名学生 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是注意审题，将实际问题转化为求函数最值问题，培养自己利用数学知识解答实际问题的能力． （1）以甲所在的地面为原点，地面所在直线为x轴建立直角坐标系，用待定系数法可求得答案； （2）求出时x的值，再用两者之间的差除以0.4，取整得出答案． 解：（1）解：以甲所在的地面为原点，地面所在直线为x轴建立直角坐标系，如图： 设抛物线的函数表达式为， 由题意可知和在抛物线上， ∴， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：在中，令得： ， 解得， ∵， ∴甩绳内部最多可容纳8名学生． 【变式2】（24-25九年级下·湖北孝感·期中）习近平总书记强调：“要教育孩子们从小热爱劳动、热爱创造”．某校为促进学生全面发展、健康成长，计划在校园围墙内围建一个矩形劳动实践基地，其中一边靠墙（如图），另外三边用长为的篱笆围成．已知墙长为，设这个矩形劳动实践基地垂直于墙的一边的长为，其中，平行于墙的一边的长为，矩形劳动实践基地的面积为． （1）请直接写出与，与的函数关系式； （2）当时，求垂直于墙的一边长； （3）若根据实际情况，可利用的墙的长度不超过，垂直于墙的一边长为多少时，这个矩形劳动实践基地的面积最大？并求出这个最大值． 【答案】（1）；；（2）垂直于墙的一边长为；（3）当垂直于墙的一边长为时，矩形劳动实践基地面积最大，最大值为 【分析】本题考查二次函数解实际应用题，涉及求一次函数与二次函数表达式、二次函数最值等知识． （1）根据题意，表示出长方形的长与宽，根据矩形面积公式即可得到二次函数表达式，由墙的最大可用长度为即可确定自变量的取值范围； （2）令，解方程即可解题； （3）由（1）中得到函数关系式，利用二次函数图像与性质，在自变量范围内讨论求出其最值即可得到答案． 解：（1）解：∵，， ∴； ∴； （2）解：当时，， 解得，， ∵， ∴， 答：垂直于墙的一边长为； （3）解：∵， 解得， ∴， ， ∵， ∴开口向下， ∵对称轴为直线，， ∴在对称轴右侧，S随x的增大而减小， ∴当时，， 答：垂直于墙的一边长为，矩形劳动实践基地面积最大，最大值为． 【变式3】（24-25九年级下·湖南·期中）某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件，试营销阶段发现，当销售单价为25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件． （1）写出商场销售这种文具每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数表达式（不必写出x的取值范围）． （2）若商场要尽快减少库存，并使每天获得的销售利润为2 000元，则销售单价应定为多少元？ （3）当销售单价为多少元时，该商场销售这种文具每天所得的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）；；（2）销售单价应定为30元；（3）当销售单价为35元时，该商场销售这种文具每天所得的销售利润最大，最大利润是2 250元 【分析】本题考查了二次函数的应用——销售利润问题，熟练掌握总利润与每个利润和件数的关系，建立函数模型，二次函数与方程，二次函数的图象和性质是解题关键． （1）根据销量为：，再利用销量×每件利润=总利润，列出函数关系式即可； （2）根据（1）式，当时，列出方程，进而求出x值，取较小的值即可； （3）利用二次函数最值求法得出答案． 解：（1）解： ， ∴销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数表达式为； （2）当时，得， 解得：， 当时，销量：（件）， 当时，销量：（件）， ∵要尽快减少库存， ∴取， 所以，商场要每天获得销售利润元，销售单价应定为元； （3）， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴函数图象开口向下，w有最大值， 当时，， 故当单价为元时，该文具每天的利润最大，最大利润为元． 第三部分：跨章节综合拓展（培优拓展） 【题型8】 二次函数与一元二次方程综合 【例题8】（24-25九年级下·安徽淮北·期中）已知抛物线经过，两点． （1）求b的值； （2）当时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，求c的取值范围； （3）若方程的两实根，满足，且，求p的最大值． 【答案】（1）；（2）或；（3）17 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，不等式的性质等知识，解题的关键是能用分类讨论的思想解决问题． （1）利用抛物线的对称性质求解即可； （2）先根据根的判别式得出，分两种情况讨论①当时，②当时，解答即可； （3）根据根与系数的关系得出x的取值范围，再根据二次函数的增减性求出p的最大值． 解：（1）解：抛物线经过，两点， ， ． （2）解：由（1）知抛物线为， 抛物线与x轴有公共点， 对于方程，判别式， ． ①当时，由方程，解得， 此时抛物线与x轴只有一个公共点． ②当时，时，； 时，； 由已知时，该抛物线与x轴有且只有一个公共点， 考虑其对称轴为，应有，且， 即，且， 解得：． 综合①②，得c的取值范围是或． （3）解：由（1）知， 的两实根为，， 抛物线与x轴交点的横坐标为，， ， ，即． ， ， ， ． 当时，p随的增大而增大， 当时，p的最大值为17． 【变式1】（24-25九年级上·吉林·期中）如图：在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）与x轴的两个交点分别为，点P是抛物线上一点，其横坐标为m． （1）求抛物线的解析式； （2）当时，y的取值范围是________________； （3）将抛物线在P、B两点之间的部分（包括P、B两点）记为图象G，设图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为d，当时，求m的值． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析、二次函数的最值、二次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论与思想是解此题的关键． （1）将，代入抛物线解析式，得出，求出的值即可得出答案； （2）根据抛物线的解析式可得对称轴为直线，由根据抛物线开口向下得出当时，有最大值，此时，计算出当时，，由此即可得出答案； （3）分中情况：当时，图象在处最大，在处最小；当时，图象在处最大，在处最小；当时，图象在顶点处最大，在处最小；分别计算即可得出答案； 解：（1）解：抛物线（为常数）与轴的两个交点分别为，， ， 解得：， 抛物线的解析式为：； （2）解：， 抛物线的对称轴为直线， ， 抛物线开口向下， 当时，有最大值，此时， 当时，， 当时，的取值范围是， 故答案为：； （3）解：点是抛物线上一点，其横坐标为， ， 分种情况进行讨论， 当时，图象在处最大，在处最小， ， ， ， 解得：，（不符合题意，舍去）， ； 当时，图象在处最大，在处最小， ， ， ， 整理得：， ， 此方程无解； 当时，图象在顶点处最大，在处最小， ， ， ， 解得：，（不符合题意，舍去）， ； 综上所述，的值为或． 【变式2】（24-25九年级上·山西吕梁·期中）综合与探究 如图，平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A，B两点，与轴交于点，抛物线的对称轴与轴交于点．已知，点是第一象限抛物线上对称轴右侧的一个动点．设点的横坐标为．   （1）求抛物线的函数表达式，并直接写出点C，D的坐标． （2）点P运动到什么位置时，的面积最大，求出此时点坐标和的最大面积． 【答案】（1）抛物线的函数表达式为，点C的坐标为，点D的坐标为；（2），面积的最大值为． 【分析】本题是二次函数的综合问题．考查了待定系数法求函数的解析式、二次函数的最值问题等知识，注意掌握数形结合思想的应用． （1）利用待定系数法可求得抛物线的函数表达式，再求点C，D的坐标； （2）作轴于点，连接，设点的坐标为，根据列式，再利用二次函数的性质即可求解． 解：（1）解：∵抛物线经过，， ∴， 解得， ∴抛物线的函数表达式为， 令，则， ∴点C的坐标为，， ∴对称轴为直线， ∴点D的坐标为； （2）解：作轴于点，连接，设点P的坐标为，    ∵点C的坐标为，点D的坐标为， ∴，，， ∴ ， ∵， ∴当时，面积的最大值为． 此时 即此时点P的坐标为． 【变式3】（24-25九年级上·云南昆明·期中）九年级“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究．探究过程如下，请补充完整． （1）自变量x的取值范围是全体实效，x与y的几组对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y … 3 m 0 0 3 … 其中，______； （2）根据表中数据，在如图的平面直角坐标系中描点．并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分； （3）进一步观察探究函数图象发现： ①函数图象与x轴有______个交点，所以对应的方程有______个实数根； ②方程有______个实数根； ③关于x的方程有4个实数根时，a的取值范围是______． 【答案】（1）0；（2）见分析；（3）①3，3；②2；③ 【分析】本题考查抛物线与轴的交点，关键是对函数图象的认识和函数性质的掌握． （1）把代入，即可解得答案； （2）由列表，描点，连线，即可得出函数图象； （3）①观察图象即可解答； ②方程的根为函数与的交点的个数，观察图象，即可得出答案； ③方程的根为函数与的交点的个数，即可得出答案． 解：（1）解：把代入函数解析式可得：， 所以． 故答案为：0； （2）解：如图所示： （3）解：①由函数图象知，函数图象与轴有3个交点， 所以方程有3个实数根； ②如图： 函数图象与直线有2个交点， 所以有2个实数根； ③由函数图象可知，关于的方程有4个实数根， 则直线在直线和轴之间， 所以． 故答案为：①3，3；②2；③． 【题型9】二次函数与一次函数综合 【例题9】（24-25九年级下·宁夏吴忠·期中）如图，抛物线与x轴交于 ， B 两点（点 A 在点 B 的左侧）， 与y轴交于点，直线 与x轴交于点 D，动点M在抛物线上运动，过点 M 作轴，垂足为P，交直线于点 N． （1）求抛物线的解析式； （2）E是抛物线对称轴与x轴交点，点F是x轴上一动点，在M 运动过程中，若C、E、F、M为顶点的四边形是平行四边形时，请求出满足条件的点F的坐标． 【答案】（1）；（2）或或或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）分三种情况，利用平行四边形的对角线互相平分，进行求解即可． 解：（1）解：把，代入，得： ，解得：， ∴； （2）∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴，设，， ∵， ∴当以为对角线时，则：，解得：或（舍去）； ∴； 当以为对角线时，，解得：或， ∴或； 当以为对角线时，，解得：或（舍去）； ∴； 综上：或或或． 【变式1】（25-26九年级上·全国·期中）若一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A，C两点，点B的坐标为，二次函数的图象过A，B，C三点，如图所示． （1）求二次函数的表达式； （2）如图，过点C作轴交抛物线于点D，点E在抛物线上（y轴左侧），若恰好平分，求直线的表达式． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查二次函数的综合应用，掌握全等三角形的判定和性质、一次函数的解析式和性质，数形结合是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）证明，则，求得点M坐标，进而利用待定系数法即可求解． 解：（1）解：一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，C两点， 当时，，当时，，解得， ∴点，， 则，解得：， 故二次函数的表达式为：； （2）解：如图，设直线交y轴于点M， 从二次函数的表达式知，抛物线的对称轴为直线， ∵轴交抛物线于点D， ∴点D的横坐标是2， 当时，， ∴， ∵，，， ∴， ∴直线与的夹角为， 即， ∵恰好平分， 故， 而，， 故， ∴， 故， 故点， 设直线的表达式为， 把，代入得， 解得 所以，直线的表达式为：． 【变式2】（2022九年级下·西藏·专题练习）如图，抛物线的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线经过B，C两点． （1）求抛物线的解析式. （2）点P为抛物线第一象限上的一动点，连接，求面积的最大值，并求出此时点P的坐标． （3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点M，使的周长最短？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）面积的最大值为，点P的坐标；（3）存在， 【分析】本题主要考查了二次函数和一次函数的综合及其性质，待定系数法求函数解析式，函数图象中三角形最大面积，轴对称的性质等内容，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质． （1）利用一次函数解析式求出点坐标，然后利用待定系数法进行求解即可； （2）过点作轴，交于点，假设，则，利用面积公式表示出，根据二次函数的性质进行求解即可； （3）利用轴对称确定点关于对称轴的对称点为点，连接，交对称轴于点，连接，求出对称轴和点坐标，假设直线的解析式为，利用待定系数法求出解析式，即可求出点坐标． 解：（1）解：直线经过B，C两点．当时，， ∴， 当时，，， ∴， 将和代入得， ，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图所示，过点作轴，交于点， 假设，则， ∴， ， ∵该二次函数的， ∴抛物线开口向下，顶点为最高点，顶点纵坐标为最大值， 顶点横坐标为，， ∴当时，最大，最大值为， ∴ 所以，面积的最大值为，点P的坐标； （3）解：存在，，理由如下： 如图所示，点关于对称轴的对称点为点，连接，交对称轴于点，连接， 此时，，长为定值，的周长最短， 根据对称轴的公式得，， ∴， 假设直线的解析式为， 将，代入得， 解得 ∴， 当时，， ∴． 【变式3】（24-25九年级上·吉林·期中）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线经过点，其对称轴为直线点P是此抛物线上的点，其横坐标为，连接，取的中点B，过点B作y轴的平行线交此抛物线于点Q，连接． （1）求此抛物线对应的函数关系式； （2）当抛物线在点P与点Q之间的部分（包括点P和点Q）的图象对应的函数值y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围； （3）当的边与x轴平行时，求的面积． 【答案】（1）；（2）；（3）8或64 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质及几何综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据点A及抛物线的对称轴可进行求解； （2）由题意可得点P、点Q都在对称轴的右侧时，然后问题可求解； （3）由题意可分当轴时，则有点P的坐标为，当轴时，则有点Q的坐标为，然后根据三角形面积公式可进行求解； 解：（1）解：∵抛物线经过点，其对称轴为直线 ∴， 解得：， ∴抛物线对应的函数关系式； （2）解：∵点P的横坐标为，B为的中点，， ∴点B的横坐标为， ∵过点B作y轴的平行线交此抛物线于点Q， ∴点Q的横坐标为m， ∴点P、点Q都在对称轴的右侧时，即时，抛物线在点P与点Q之间的部分（包括点P和点Q）的图象对应的函数值y随x的增大而增大； ∴m的取值范围为； （3）解：当轴时，点A、P关于对称轴直线对称， ∴点P的横坐标为， ∴点P的坐标为，即， 当时，， ∴点Q的坐标为， ∴； 当轴时，点A、Q关于对称轴直线对称， ∴点Q的坐标为，即， ∴，即点P的横坐标为， ∴当时，， ∴点， ∴． 【题型10】二次函数与旋转综合 【例题10】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，抛物线 与x轴分别交于、两点，与轴交于点，且． （1）求抛物线的解析式； （2）点为抛物线上一点，且 ，求点的坐标； （3）点为抛物线第一象限上一点，连、，若 ，求点的坐标． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）利用待定系数法运算求解即可； （2）解：将绕点顺时针旋转得到，取的中点，连接并延长交抛物线于点，则，利用中点坐标公式求出的坐标从而得到直线的表达式，再联立二次函数的解析式运算求解即可； （3）连接并延长交轴于点，连接，分析出点在的垂直平分线上，设点，求出的解析式，得到点的坐标，再利用列式运算即可． 解：（1）解：把代入可得：， ∴， ∵， ∴,， ∴，， 把，代入可得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：将绕点顺时针旋转得到，取的中点，连接并延长交抛物线于点，则如图所示： ∵，，即点可由点向下平移个单位，向左平移个单位得到，故， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为：，把，分别代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 联立与可得：， 解得：或， ∴把代入可得：， ∴； （3）解：当时，连接并延长交轴于点，连接， ∵， ∴， 点在的垂直平分线上， ∴， 设， 设直线的解析式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 把代入可得：， 整理可得：， ∴， ∵， ∴， ∴解得：或（第一象限舍去）， ∴把代入可得：， ∴． 【点拨】本题考查了二次函数与几何综合，一次函数，垂直平分线的判定及性质，函数坐标点的特征，坐标中点坐标公式，合理添加辅助线是解题的关键． 【变式1】（24-25九年级下·重庆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点为拋物线上一点，且横坐标为1，连接，． （1）求拋物线的解析式； （2）如图1，点是第三象限内抛物线上的一个动点，点为轴上一个动点．过点作交于点，连接交于点．当最大时，求的最大值． （3）如图2，在（2）的条件下，将抛物线沿射线方向平移，使平移后的拋物线经过点，点为平移后抛物线上一点，，连接，．点为平面内任意一点，将绕点旋转后得到对应的（点，，的对应点分别为点，，）．若中恰有两个点落在平移后的抛物线上（点不与点重合），求点的坐标． 【答案】（1）；（2）；（3）点的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出，待定系数法求出直线的解析式为，过点作轴交于，过点作轴交的延长线于，则，求出，得出，设，则，，证明，，由相似三角形的性质结合二次函数的性质得出 当时，有最大值，此时，由三角形任意两边之差小于第三边可得，当点、、三点共线时，的值最大，为，最后由勾股定理计算即可得解； （3）求出直线的解析式为，设将抛物线向右平移个单位长度，向上平移个单位长度，求出平移后的抛物线的解析式为，其对称轴为直线，从而可得，设点的坐标为，由旋转的性质可得点为、、的中点，从而可得，，，再分三种情况：当点、在平移后的抛物线上时；当点、在平移后的抛物线上时；当点、在平移后的抛物线上时，分别求解即可得解． 解：（1）解：将，代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵点为拋物线上一点，且横坐标为1， ∴当时，，即， 设的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 如图，过点作轴交于，过点作轴交的延长线于， 则， 在中，当时，，即， ∴， 设，则，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，此时，即， 由三角形任意两边之差小于第三边可得，当点、、三点共线时，的值最大，为，由勾股定理可得 （3）解：， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵将抛物线沿射线方向平移， ∴设将抛物线向右平移个单位长度，向上平移个单位长度， ∴平移后的抛物线的解析式为， ∵平移后的拋物线经过点， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）或， ∴平移后的抛物线的解析式为，其对称轴为直线， ∵为平移后抛物线上一点， ∴，即， 设点的坐标为， ∵点为平面内任意一点，将绕点旋转后得到对应的， ∴点为、、的中点， ∴，，， ∵中恰有两个点落在平移后的抛物线上， ∴当点、在平移后的抛物线上时，， 解得：，此时； 当点、在平移后的抛物线上时，， 解得：，此时，与点重合，故不符合题意，舍去； 当点、在平移后的抛物线上时，， 解得：，此时； 综上所述，点的坐标为或． 【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数综合—相似三角形的判定与性质、旋转的性质、求一次函数解析式、二次函数图象的平移等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【变式2】（24-25九年级上·广东中山·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴交于点，抛物线恰好经过这两点． （1）求此抛物线的解析式； （2）若点的坐标是，将线段绕着点逆时针旋转得到线段． ①若点在此抛物线上，求出的值及相应点的坐标； ②若点是轴上的任一点，当取最小值时，求点的坐标． 【答案】（1）；（2）①当时，点的坐标为；时，点的坐标为；②当取最小值时，点的坐标为 【分析】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，旋转的性质，全等三角形的判定及性质等知识，利用全等三角形的判定及性质得点的坐标为是解题的关键． （1）根据直线解析式可得点、的坐标，代入二次函数解析式，解方程即可； （2）由题意可知，，当点在轴上方时，如图，过点作轴于，，由旋转易证，得，，则，可知点的坐标为，如图，当点在轴上及其下方时，，同理可得，点的坐标为，进而可知，点在直线上； ①由点在此抛物线上，可知点为直线与抛物线的交点，得，求解即可； ②由题意知点在直线上，结合点是轴上的任一点，点在直线上，可知，，易知当点，点，与点重合时，取等号，即当取最小值时，点、点，与点重合，即可求得点的坐标为． 解：（1）∵直线分别与，轴交于点，， ∴当时，；当时，， ∴，， ∵抛物线恰好经过这两点． ∴， 解得， ∴； （2）∵，， ∴，， 当点在轴上方时，如图，过点作轴于，， 由旋转可知：，， 则， ∴， ∴， ∴，， 则， ∴点的坐标为， 如图，当点在轴上及其下方时，， 同理可得：， ∴，， 则， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为， 综上，点的坐标为， 可知，点在直线上； ①∵点在此抛物线上， ∴点为直线与抛物线的交点， 即：， 解得：，， 当时，，当时，， ∴当时，点的坐标为；时，点的坐标为； ②∵， ∴点在直线上， 又∵点是轴上的任一点，点在直线上， ∴，， 当点，点，与点重合时，取等号， ∴当取最小值时，点、点，与点重合， 即：当取最小值时，点的坐标为． 【变式3】（22-23九年级上·全国·期中）如图，直线与轴、轴分别交于、两点，抛物线过、两点． （1）求抛物线的解析式； （2）点为抛物线上位于上方的一点，过点作于点，作轴交于点，当的周长最大时，求点的坐标； （3）是平面内的一点，在（2）的条件下，将绕点顺时针旋转得到，当时，的两个顶点恰好落在抛物线上，求点的横坐标． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】（1）根据，令和，求出 ，，代入解析式即可得到最后结果； （2）根据勾股定理求出长度，表示出，设，则，表示出，，根据题意，即可得到点坐标； （3）根据当顺时针旋转后，轴，轴，设则，，分别在当、两个顶点在抛物线上时，和当、两个顶点在抛物线上时，求出的值为或，即可得到最后结果． 解：（1）解：，令，得， 解得：， 令，得， ，， 故得方程组， ， 此抛物线的解析式为：； （2），， ，， ， ，， 轴， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ∴当时，的周长最大， ，， ∴； （3）当时，， ∴，， ， 当顺时针旋转后，轴，轴， 设则，， ①当、两个顶点在抛物线上时，    ， 解得：， 的横坐标为， ②当、两个顶点在抛物线上时，    ， 解得：， 的横坐标为， 又轴， 、不会同时在抛物线上， 综上所述，点的横坐标为或． 【点拨】本题考查了二次函数综合题，待定系数法求函数解析式，二次函数图像和特征，一次函数图像和特征，勾股定理，三角函数值，解答本题的关键是运用分类讨论的思想． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $