专题02 公式法构造法数列通项公式8大重点题型（专项训练）数学人教A版2019选择性必修第二册

专题02 公式法构造法数列通项公式 目录 A题型建模・专项突破 2 题型一、公式法求等差、等比数列通项公式（常考点） 2 题型二、用an与Sn的关系求通项公式（重点） 2 题型三、累加法求数列通项公式（重点） 3 题型四、累乘法求数列通项公式（重点） 4 题型五、求系数构造等比数列求通项公式（重点） 4 题型六、同除指数构造等差数列求通项公式（重点） 5 题型七、取倒数构造数列求通项公式（重点） 6 题型八、构造常数列求通项公式（难点） 7 B综合攻坚・能力跃升 8 【类型01】题中有有，可用求通项公式 【类型02】已知用累加法求通项公式 【类型03】已知用累乘法求通项公式 【类型04】已知用求通项公式 【类型05】已知用求通项公式 【类型06】已知用求通项公式 【类型07】已知用求通项公式 【类型08】已知用求通项公式 【类型09】已知用求通项公式 【类型10】已知用求通项公式 题型一、公式法求等差、等比数列通项公式 1．（24-25高二上·广东梅州·阶段练习）等差数列中， (1)已知，求的值； (2)若，求的值． 2．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知等差数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)记，，若，，成等差数列，求并证明为等差数列. 3．已知数列为各项均为正数的等比数列，． (1)求的通项公式． (2)若，求的前项和． 4．（24-25高二上·江苏无锡·期末）已知等比数列，满足，. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足：对任意正整数n，均成立，求数列的最大项的值. 题型二、用an与Sn的关系求通项公式 5．（24-25高二上·甘肃庆阳·期末）已知数列的前n项和.求： (1)数列的通项公式； (2)数列的前n项和. 6．（24-25高三下·山西大同·期末）已知数列的前n项和为，且，． (1)求的通项公式： (2)若，，求． 7．（23-24高二上·广东梅州·期末）已知数列满足. (1)求和； (2)证明：数列为单调递增数列. 8．（24-25高二下·浙江温州·阶段练习）已知正整数列的前项和为，满足，． (1)求的通项公式； (2)设，求使得成立的最小正整数． 9．（25-26高二上·甘肃平凉·阶段练习）已知正项数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前项和为，求使的最小的正整数的值． 10．（25-26高二上·全国·单元测试）记数列的前项和为，且. (1)求； (2)设数列的前项和为，证明：. 11．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，若对任意的，恒成立，求的取值范围. 题型三、累加法求数列通项公式 12．（24-25高二下·广东广州·期末）已知数列的首项为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)若，求满足条件的最大整数． 13．（24-25高二下·辽宁沈阳·期中）设数列满足，，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 14．（25-26高二上·甘肃·阶段练习）（1）已知数列的前项和，求的通项公式； （2）在数列中，，求的通项公式. 15．（24-25高三上·山东·阶段练习）已知数列为正项数列，且，. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 16．（24-25高二下·湖北·阶段练习）已知数列的前n项和为，满足，，且． (1)求，； (2)求数列的通项公式； (3)若，其前n项和为，求数列的通项公式． 题型四、累乘法求数列通项公式 17．（24-25高二下·山东德州·阶段练习）已知数列中，，，记数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 18．（24-25高二下·山西·阶段练习）已知数列，其前项和为，，． (1)求的通项公式； (2)若，设数列的前项和，求证：； (3)若对恒成立，求实数的取值范围． 19．（24-25高三下·江苏南通·阶段练习）已知数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明：． 20．（2024·陕西西安·模拟预测）设数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前项和为恒成立，求实数的最小值． 题型五、求系数构造等比数列求通项公式 21．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)对于（2）中的数列，问是否存在正整数，使得、、成等差数列？若存在，请求出所有符合条件的正整数；若不存在，请说明理由. 22．（2025高二·全国·专题练习）在数列中，已知，． (1)是否存在实数，使得为等比数列？ (2)求的通项公式． 23．在数列中，，. (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前项和公式. 24．已知首项为的数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 25．（2025·河南·二模）已知数列满足，. (1)求的通项公式； (2)记的前项和为，求证：. 26．（24-25高二下·上海宝山·期末）已知数列中，；数列为等差数列，且满足：. (1)求证：数列为等比数列，并写出数列的通项公式； (2)令，若数列为严格减数列，求实数的取值范围. 题型六、同除指数构造等差数列求通项公式 27．（24-25高二下·辽宁大连·期中）已知数列满足， (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前项和为． ①求； ②若，成立，求的取值范围． 28．（24-25高二下·河南·阶段练习）已知数列满足，. (1)证明：是等比数列，并求出数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 29．（23-24高二上·湖北恩施·阶段练习）已知数列满足：，且. (1)求； (2)记，数列的前项和为，若不等式对恒成立，求实数的取值范围. 30．（24-25高二下·四川绵阳·期中）已知数列的前项和为，，且；数列的首项，且满足. (1)求证：是等比数列； (2)求的通项公式； (3)设，求数列的前项和为. 题型七、取倒数构造数列求通项公式 31．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知数列满足，. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 32．已知数列满足，. (1)证明：存在等比数列，使； (2)若，求满足条件的最大整数. 33．（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，且． (1)证明：为等差数列； (2)若，且，求数列的通项公式． 34．已知数列满足，且（）. （1）求的通项公式； （2）设，数列的前项和为，求证：. 题型八、构造常数列求通项公式 35．已知数列的前项和为，，且，，求的值，并证明：数列是一个常数列. 36．（2025·全国·一模）设数列满足. (1)求并证明：； (2)证明： 37．已知数列中，. (1)求； (2)设，求证：. 38．（24-25高二下·山东德州·期中）已知数列和满足. (1)求数列和的通项公式； (2)求证：数列的前n项和. 39．在数列中，． (1)求数列的通项公式； (2)已知数列满足； ①求证：数列是等差数列； ②若，设数列的前n项和为，求证：． 1．（2025高三·全国·专题练习）在下列条件下，求数列的通项公式： (1)若，，求； (2)若，，求； (3)若，，求； (4)若，，求； (5)若，，求； (6)若，，求； (7)若，，求； (8)若，，求； (9)若，，求； (10)若，，求； (11)若，，求； (12)若，，求； (13)若，，求； (14)若，，求； (15)若，，求． 2．（2024高三·全国·专题练习）已知数列的首项，且满足，求． 3．（24-25高二下·辽宁辽阳·期末）在数列中，，. (1)求； (2)设，求数列的前项和. 4．（23-24高二下·河北秦皇岛·阶段练习）在数列中，已知，且满足． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 5．（24-25高三上·广东·期中）记为数列的前项和，已知，． (1)求的通项公式； (2)若，求整数的最小值． 6．（2026高三·全国·专题练习）在数列中，，，求数列的通项公式. 7．（2025高三·全国·专题练习）已知，，求数列的通项． 8．（2025·河南驻马店·模拟预测）已知数列的前项和为． (1)求的通项公式； (2)若，且，求数列的通项公式； (3)在（2）的条件下，若，求的前项和． 9．（2025高二·全国·专题练习）已知数列满足，． (1)求数列的第，，项； (2)若，求的第，，项，并猜想的通项公式． 10．（24-25高二上·福建莆田·阶段练习）已知数列满足，且． (1)求的值； (2)求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式； (3)求数列的前项和． 11．（25-26高二上·甘肃张掖·阶段练习）在正项数列中，，且. (1)求的通项公式； (2)若数列满足，求的前项和. 12．（2024·内蒙古包头·三模）已知数列的前n项和为，，． (1)证明：数列是等比数列，并求； (2)求数列的前n项和． 13．（2025·云南昆明·一模）已知数列满足，． (1)若，，成等差数列，求k； (2)求． 14．（25-26高三上·贵州遵义·阶段练习）已知首项为1的正项数列满足． (1)求的通项公式； (2)令，求数列的前n项和． 15．（2025高三·全国·专题练习）已知，，求数列的通项． 16．（25-26高三上·江苏南京·阶段练习）已知数列的前项和为，且． (1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 17．（25-26高三上·河北·阶段练习）记为数列的前项和，已知． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 18．（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，，为数列的前项和． (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前项和． 19．（2025·湖南·模拟预测）设正项数列的前n项和，满足． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 20．（25-26高二上·甘肃平凉·阶段练习）（1）已知数列满足，且，求的通项公式； （2）已知数列满足，且，求的通项公式； （3）已知数列满足，且，，求的通项公式． 21．（24-25高二上·河南信阳·期末）设为数列的前n项和，． (1)求； (2)证明： （i）； （ii）； (3)求的通项公式． 22．（24-25高二下·安徽阜阳·期中）已知正项数列满足，且（）. (1)求的通项公式; (2)设数列{}的前n项和为，是否存在p、q，使得恒成立?若存在，求出p，q的值;若不存在，请说明理由. 23．（25-26高三上·广东汕头·阶段练习）已知数列的前项和为，且． (1)证明：是等比数列，并求的通项公式； (2)记，记数列的前项和为． ①求；②对，都有成立，求的取值范围． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 公式法构造法数列通项公式 目录 A题型建模・专项突破 2 题型一、公式法求等差、等比数列通项公式（常考点） 2 题型二、用an与Sn的关系求通项公式（重点） 5 题型三、累加法求数列通项公式（重点） 11 题型四、累乘法求数列通项公式（重点） 15 题型五、求系数构造等比数列求通项公式（重点） 19 题型六、同除指数构造等差数列求通项公式（重点） 24 题型七、取倒数构造数列求通项公式（重点） 28 题型八、构造常数列求通项公式（难点） 31 B综合攻坚・能力跃升 37 【类型01】题中有有，可用求通项公式 【类型02】已知用累加法求通项公式 【类型03】已知用累乘法求通项公式 【类型04】已知用求通项公式 【类型05】已知用求通项公式 【类型06】已知用求通项公式 【类型07】已知用求通项公式 【类型08】已知用求通项公式 【类型09】已知用求通项公式 【类型10】已知用求通项公式 题型一、公式法求等差、等比数列通项公式 1．（24-25高二上·广东梅州·阶段练习）等差数列中， (1)已知，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的性质，利用求出； （2）根据等差数列的性质，利用求出 【详解】（1），，且， （2），，，， 2．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知等差数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)记，，若，，成等差数列，求并证明为等差数列. 【答案】(1) (2)或,证明见解析 【分析】（1）根据已知条件求出和，从而得到的通项公式. （2）求出后代入表达式，再根据，，成等差数列求出，最后通过计算是否为常数来证明为等差数列. 【详解】（1）已知，根据等差数列通项公式可得. 又因为，根据等差数列前项和公式， 可得，即. 联立方程组，可得，即. 将代入，可得. 所以数列的通项公式为. （2）由，， 可得. 所以. 因为，，成等差数列，则. . . . 故：.解得或； 当时，. ，为常数； 当时，，为常数； 所以或，为等差数列. 3．已知数列为各项均为正数的等比数列，． (1)求的通项公式． (2)若，求的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据等比数列的基本量求出，可得的通项公式； （2）由（1）知，代入得数列的通项公式，直接分组求和即可. 【详解】（1）设等比数列的公比为， 又数列是各项均为正数的等比数列，， 所以，解得(负值舍去)， 所以. （2）由（1）知， 因为，所以 ， 则 . 4．（24-25高二上·江苏无锡·期末）已知等比数列，满足，. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足：对任意正整数n，均成立，求数列的最大项的值. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）通过等比数列的基本量列方程求解，求数列的通项公式. （2）通过仿写，两方程作差，求出的通项公式，然后通过作差判断其单调性，求出数列的最大项的值. 【详解】（1）设等比数列的公比为q， 则由题 ， 故数列的通项公式为. （2）令有， 当时有： ①， ②， 由①②得， ， 又满足上式，， ， 时，，时， 的最大项为 题型二、用an与Sn的关系求通项公式 5．（24-25高二上·甘肃庆阳·期末）已知数列的前n项和.求： (1)数列的通项公式； (2)数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据与的关系计算并验证首项即得； （2）先求出，利用裂项相消法即可求得. 【详解】（1）因为， 当时，， 两式相减，得， 当时，满足上式， 故数列的通项公式为. （2）由（1）知，故， 所以. 6．（24-25高三下·山西大同·期末）已知数列的前n项和为，且，． (1)求的通项公式： (2)若，，求． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用关系求通项公式即可； （2）应用裂项相消法求. 【详解】（1）由，得， 两式相减得，则； （2）由（1）可知，则， 所以 . 7．（23-24高二上·广东梅州·期末）已知数列满足. (1)求和； (2)证明：数列为单调递增数列. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）根据与的关系可得，即可求解； （2）利用作商法即可证明. 【详解】（1）因为①， 当时，. 当时，②， 由①-②得，所以， 当时，，所以也满足， 当时，， 故，. （2）由（1）知，，易知， 则， 又对一切恒成立，所以， 即对一切恒成立， 所以数列为单调递增数列. 8．（24-25高二下·浙江温州·阶段练习）已知正整数列的前项和为，满足，． (1)求的通项公式； (2)设，求使得成立的最小正整数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对条件等式取对数，利用，计算得到通项公式；（2）结合（1）计算出，根据对分类讨论，计算，进而得到最小正整数； 【详解】（1）法1： 令，则，所以，显然，． 两边同时取对数，得． 当时，， 两式相减得， 所以， 与条件相加可得，所以， 累加得， 所以．又符合上式，故通项公式为． 法2：取对数得， 直接对累加， 得①，又②， 令，则，所以，显然，． 式①变为， 所以， 即． （2）， 当，显然， 当，，所以， 当，， 综上，的最小正整数值为2027． 9．（25-26高二上·甘肃平凉·阶段练习）已知正项数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前项和为，求使的最小的正整数的值． 【答案】(1) (2)8 【分析】（1）利用与之间的关系，先讨论当时，得出，再利用完全平方公式及正项数列求得，利用等差数列的定义判断出是等差数列，再验证当是否成立即可； （2）利用错位相减法，求出，进一步证明其单调性，计算出当，即可求解． 【详解】（1）当时， 由， 得， 两式相减得， 即． 是正项数列， ． 当时，， ， 数列是以为首项，1为公差的等差数列， ． （2）由（1）知， ， 两式相减得 ． ， 单调递增． 当时，， 当时，， 使的最小的正整数的值为8． 10．（25-26高二上·全国·单元测试）记数列的前项和为，且. (1)求； (2)设数列的前项和为，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用，推出，并利用计算出首项，即可得到是公差、首项均为2的等差数列，代入等差数列的前项和公式即可得到； （2）用裂项相消法得到，根据的单调性求证即可. 【详解】（1）因为，所以， 当时，， 可得， 故，即， 当时，有，解得， 故是公差、首项均为2的等差数列，． 所以. （2）由（1）得，所以， 则， 因为，所以， 又在上单调递增， 故随的增大而增大，故， 综上，. 11．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，若对任意的，恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由数列的通项与求和的关系，以及等比数列的通项公式，可得所求. （2）由数列的裂项相消求和，可得，再由参数分离和不等式恒成立思想，结合数列的单调性，可得所求取值范围. 【详解】（1）当时，，，解得， 当时，由，可得，相减可得，对也成立， 由此可得数列是首项为，公比为的等比数列，所以， 所以，数列的通项公式为. （2）， 则 两式相减可得： , 整理可得, 若对任意的，恒成立,即为恒成立， 设，则，当时，即时，所以当时，， 所以当时，，当时，， 当时，，当时，， 可以看出在处取得最小值，所以从后才开始递增，即当，，时，， 当时，，所以， 所以的取值范围为. 题型三、累加法求数列通项公式 12．（24-25高二下·广东广州·期末）已知数列的首项为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)若，求满足条件的最大整数． 【答案】(1) (2)8 【分析】（1）利用累加法可求得数列的通项公式； （2）根据，可求得，进而解不等式可求解. 【详解】（1）当时，， 将以上等式两边分别累加，可得， ， 当时，也符合上式．． （2）， ， ， ， ， 的最大值为8. 13．（24-25高二下·辽宁沈阳·期中）设数列满足，，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题结合累加法可得通项公式； （2）由（1）结合分组求和法可得答案. 【详解】（1）由题意，当时，， 相加得 所以 时，符合上式，所以 （2） 14．（25-26高二上·甘肃·阶段练习）（1）已知数列的前项和，求的通项公式； （2）在数列中，，求的通项公式. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据与的关系求解即可； （2）由题设可得，进而利用累加法求解即可. 【详解】解：（1）由， 当时，； 当时，， 所以的通项公式为. （2）由，得， 当时， ， 显然满足上式， 所以的通项公式为. 15．（24-25高三上·山东·阶段练习）已知数列为正项数列，且，. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解法一：构造数列是恒为的常数列，结合可得出数列的通项公式； 解法二：利用累加法结合可求得数列的通项公式； （2）利用并项求和法结合分组求和法可求得. 【详解】（1）解法一（构造常数列）：由，且， 可得， 故数列是恒为的常数列，所以， 又因为数列为正项数列，所以. 解法二（累加法）：由题意得：且， 有，，，， 将以上各式相加，得， 将代入上式即得，且当时也成立，所以， 又因为数列为正项数列，所以. （2）由（1）可得，令，其前项和为， 对任意的，，则， 又因为， 所以. 16．（24-25高二下·湖北·阶段练习）已知数列的前n项和为，满足，，且． (1)求，； (2)求数列的通项公式； (3)若，其前n项和为，求数列的通项公式． 【答案】(1)，； (2)； (3). 【分析】（1）根据给定的递推公式，结合前n项和的意义依次计算即可. （2）由前n项和与第n项的关系可得，进而求出当时，，再分奇偶求出通项公式. （3）由（2）的结论，利用错位相减法求和即得. 【详解】（1）由，，得，即，解得； ，即，解得. （2）当时，，作差得， 当时，，作差得，而，则当时，， 当为偶数时，数列是首项为，公差为2的等差数列，， 当为奇数时，数列是首项为，公差为2的等差数列，， 所以数列的通项公式. （3）由（2）知， ， 因此， 两边相减得 所以. 题型四、累乘法求数列通项公式 17．（24-25高二下·山东德州·阶段练习）已知数列中，，，记数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由累乘法结合题意可得答案. （2）由错位相减法可得答案. 【详解】（1）， 则，，， ，则当时， ，满足上式， 所以数列通项公式为 （2）由（1）， ， 两式相减则： 所以. 18．（24-25高二下·山西·阶段练习）已知数列，其前项和为，，． (1)求的通项公式； (2)若，设数列的前项和，求证：； (3)若对恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据作差得到，再用累乘法计算可得； （2）由（1）可得，利用裂项相消法求和即可得证； （3）参变分离可得对恒成立，令，利用作差法说明的单调性，即可求出，即可得解. 【详解】（1）因为，当时， 所以， 即，所以， 即，所以，，，，， ， 累乘可得，又，所以， 当时也成立，所以； （2）由（1）可得， 所以 ； （3）因为对恒成立， 即对恒成立， 即对恒成立， 令， 则， 所以时，当时，当时， 即， 所以，所以，即实数的取值范围为； 19．（24-25高三下·江苏南通·阶段练习）已知数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由与的关系式，可得数列的递推公式，利用累乘法，可得答案； （2）整理数列通项，利用错位相减法，可得答案. 【详解】（1）当时，，显然成立； 当时，，，相减可得， 化简可得，由累乘法可得， 显然满足上式，故数列的通项公式. （2）由， 则， ， 两式相减可得 ， 所以. 20．（2024·陕西西安·模拟预测）设数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前项和为恒成立，求实数的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，利用与间的关系，得到，再利用累积法，即可求出结果； （2）根据（1）中结果得到，利用裂项相消法得到，即可求出结果. 【详解】（1）因为①，所以当时，②， 由①②得到，整理得到， 又，所以，得到， 所以当时，， 当，满足，所以. （2）由（1）知， 所以， 因为，且，所以是关于的递增数列，由恒成立，得到， 所以实数的最小值为. 题型五、求系数构造等比数列求通项公式 21．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)对于（2）中的数列，问是否存在正整数，使得、、成等差数列？若存在，请求出所有符合条件的正整数；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)； (3)不存在正整数，理由见解析 【分析】（1）构造出，为等比数列，求出通项公式； （2），错位相减法求和得到； （3）根据等差中项得到方程，求出，设，作差法得到当时，数列为递减数列，结合，得到对所有正整数，均有，所以不存在正整数，使得、、成等差数列. 【详解】（1），故， ，故，所以为首项为3，公比为3的等比数列， 所以，所以； （2）， 所以①，故②， 式子①-②得， 故； （3）不存在正整数，使得、、成等差数列，理由如下： 、、成等差数列，故， 即，即， 设，则， 当时，恒成立， 所以当时，数列为递减数列， 又， 故对所有正整数，均有， 所以不存在正整数，使得、、成等差数列. 22．（2025高二·全国·专题练习）在数列中，已知，． (1)是否存在实数，使得为等比数列？ (2)求的通项公式． 【答案】(1)存在，； (2). 【分析】（1）假设存在，利用等比数列的定义，将递推关系代入求出的值； （2）由等比数列通项公式写出数列的通项公式，再由对数和指数的运算法则得到的通项公式. 【详解】（1）假设存在，使是公比为的等比数列， 则，即， 整理得， 可得，解得， 所以， 所以是首项为、公比为的等比数列， 所以存在，使得为等比数列. （2）由（1）知，， 所以． 23．在数列中，，. (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前项和公式. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据递推关系式和等比数列定义直接证明即可； （2）根据等比数列通项公式可求得，进而得到； （3）采用分组求和法，结合等差和等比数列求和公式可求得结果. 【详解】（1），又， 数列是以为首项，为公比的等比数列. （2）由（1）得：，. （3）由（2）得：. 24．已知首项为的数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分析可知数列是以首项为，公比为3的等比数列，即可得，即求数列的通项公式； （2）整理可得，利用分组求和结合等比数列求和公式运算求解. 【详解】（1）因为，可得， 且， 可知数列是以首项为，公比为3的等比数列， 则，可得， 当时，， 且符合上式，所以. （2）由（1）可知：， 可得 ， 所以. 25．（2025·河南·二模）已知数列满足，. (1)求的通项公式； (2)记的前项和为，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由已知等式变形得出，可知数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求出数列的通项公式； （2）验证当时，不等式成立；当时，推导出，再利用等比数列的求和公式可证得不等式成立. 【详解】（1）由题设条件，可得若，则， 用反证法，假设，由题设条件，显然，这与已知条件矛盾，所以. 因为，所以，，，所以，， 由得，所以， 又，所以是首项、公比均为的等比数列. 所以，则. （2）显然时，成立， 当时，，所以，所以， 所以，即，所以， 所以. 综上，，得证. 26．（24-25高二下·上海宝山·期末）已知数列中，；数列为等差数列，且满足：. (1)求证：数列为等比数列，并写出数列的通项公式； (2)令，若数列为严格减数列，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析，； (2). 【分析】（1）利用构造法结合等比数列定义可证数列为等比数列，从而求得的通项公式； （2）根据增数列得对任意正整数都成立，化简后可求参数的取值范围. 【详解】（1）数列中当时，由得： ，又，故， 故，故为等比数列，公比为2，首项， 得到，所以数列的通项公式为. （2）数列中，， 则解得， 所以的通项公式为， . 已知数列为严格减数列，则对任意正整数都成立， 即 化简得对任意正整数都成立， 所以. 题型六、同除指数构造等差数列求通项公式 27．（24-25高二下·辽宁大连·期中）已知数列满足， (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前项和为． ①求； ②若，成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)① ；② 【分析】（1）根据给定的递推公式，利用构造法求出通项公式. （2）①由（1）的结论，利用错位相减法求出前项和；②由①的结论，结合已知分离参数，构造新数列，利用不等式确定最大项即可. 【详解】（1）由，得， 因此数列是以为首项，3为公差的等差数列，， 所以数列的通项公式. （2）①由（1）得，， ， 于是， 则， ， 所以. ②由，，得， 令，不妨设的第项取得最大值， 由，解得，即数列的最大值为， 所以，即的取值范围是. 28．（24-25高二下·河南·阶段练习）已知数列满足，. (1)证明：是等比数列，并求出数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 【答案】(1)证明见解析，； (2). 【分析】（1）根据已知有、，应用等比数列的定义证明结论，并写出通项公式； （2）应用裂项相消法求即可. 【详解】（1）由，则，又，则， 所以是首项、公比都为4的等比数列，则，故； （2）由（1）及已知有， 所以， 所以. 29．（23-24高二上·湖北恩施·阶段练习）已知数列满足：，且. (1)求； (2)记，数列的前项和为，若不等式对恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用给定的递推公式，变形构造等差数列，借助等差数列的通项公式求出. （2）利用错位相减法求出，然后分类讨论分离参数，转化为与关于的函数的范围关系，即可求解. 【详解】（1）数列中，由，得， 因此数列是以为首项，2为公差的等差数列，则， 所以. （2）由（1）知，， 则， 于是， 两式相减得 ， 因此，由，得， 依题意，对恒成立， 当时，，则； 当时，不等式恒成立； 当时，，则，于是， 所以实数的取值范围是. 【点睛】思路点睛：涉及数列不等式恒成立问题，可以变形不等式，分离参数，借助函数思想求解即可. 30．（24-25高二下·四川绵阳·期中）已知数列的前项和为，，且；数列的首项，且满足. (1)求证：是等比数列； (2)求的通项公式； (3)设，求数列的前项和为. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用构造法，结合等比数列的定义即可得证； （2）利用与的关系式，结合常数列的定义即可得解； （3）利用（1）与（2）的结论化简，再利用错位相减法即可得解. 【详解】（1）因为， 所以， 又，则，故， 所以是首项与公比都为的等比数列. （2）依题意，， 当时，， 两式相减，得 整理得，即，则， 又，所以， 所以是各项为的常数列， 所以，即. （3）由（1）得，即， 所以， 则， 所以， 两式相减，得 . 所以. 题型七、取倒数构造数列求通项公式 31．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知数列满足，. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将两边取倒数得到为等差数列，求出的通项公式，即可得解； （2）由（1）可得，利用裂项相消法计算可得. 【详解】（1）因为，，所以， 所以， 故， 又，所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以，故. （2）由（1）得， 所以 . 32．已知数列满足，. (1)证明：存在等比数列，使； (2)若，求满足条件的最大整数. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用构造法可得数列的通项公式，进而确定，即可得证； （2）利用分组求和可得，可得，即可得解. 【详解】（1）由已知， 得， 所以，即， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以， 所以当时，，此时， 即是以为首项，为公比的等比数列； （2）由（1）得，所以， 所以， 因为， 则， 即， 解得， 所以的最大值为. 33．（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，且． (1)证明：为等差数列； (2)若，且，求数列的通项公式． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）先变形与的关系式得，进而可直接计算得到与的关系式得解； （2）先由（1）得到数列的通项公式，接着利用累乘法即可求解的通项公式. 【详解】（1）证明：因为，所以， 则，即． 所以数列是首项为，公差为的等差数列． （2）由（1）得，则， 因为，即， 则当时，， 即，又，故时，，又， 所以. 34．已知数列满足，且（）. （1）求的通项公式； （2）设，数列的前项和为，求证：. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】（1）对题中所给式子取倒数得：，可知数列是等差数列，最后得出的通项公式； （2）当时，利用放缩法可得， 然后利用裂项相消法可求得的前n项和，进而可得， 又可得出，从而， 最后可证明结论. 【详解】（1）对式子取倒数得：， 所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以， 即； （2） （）， 故 ， 另一方面： ， 从而，即， 综上得：. 【点睛】本题考查数列通项公式的求法，考查利用数列性质证明不等式，考查逻辑思维能力和推理能力，属于常考题. 题型八、构造常数列求通项公式 35．已知数列的前项和为，，且，，求的值，并证明：数列是一个常数列. 【答案】，证明见解析． 【分析】根据给定的递推公式求出，再结合“”推理计算作答. 【详解】因为，且，，则，解得， 由，有当时，， 两式相减得：，化简整理得，而， 因此，， 所以数列是一个常数列． 36．（2025·全国·一模）设数列满足. (1)求并证明：； (2)证明： 【答案】(1)；证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据已知递推公式得出是常数列，再计算化简证明； （2）根据单调性结合累加法计算证明即可. 【详解】（1）因为数列满足， 所以,， 所以， 所以是常数列，所以， 所以； （2）因为，所以,所以， 因为都大于零，所以可逐步推出, 所以,所以是单调递增数列， 所以， 所以,, 即， 以上个式子累加计算得，所以， 所以,, 所以，所以. 37．已知数列中，. (1)求； (2)设，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用构造等比数列的方法求出通项公式作答. （2）由（1）及已知，利用裂项相消法求和即得. 【详解】（1）由题意，得，故为常数列. ，故. （2） 故 38．（24-25高二下·山东德州·期中）已知数列和满足. (1)求数列和的通项公式； (2)求证：数列的前n项和. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）作差即可求解，同除以得为等差数列，即可求解，或者利用累加法求解， （2）利用裂项求和可得，即可求解. 【详解】（1）① 当时，，当时，② ①－②，可得，所以 又满足，故. 对于数列 法一 由数列，同除得 ， 即， 又 故数列是首项为2的常数列，故通项公式为. 法二 ， 累加得：，又所以 当时，符合上式.所以 （2）令， 所以 因为，故 39．在数列中，． (1)求数列的通项公式； (2)已知数列满足； ①求证：数列是等差数列； ②若，设数列的前n项和为，求证：． 【答案】(1) (2)①证明见解析 ；②证明见解析 【分析】（1）变形得到，结合，故，从而得到； （2）①化简得到，利用得到，同理可得，证明出是等差数列； ②求出，结合，得到公差，得到通项公式，所以，裂项相消法求和证明出结论. 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 所以， 因为，所以n=1时，， 所以数列是各项为0的常数列，即， 所以． （2）①由得 所以① 所以② ②-①得：③ 所以④ ④-③得，所以 即 所以数列是等差数列． ②当时，由得，所以， 又，故的公差为1，所以， 所以， 即 ． 【点睛】方法点睛：常见的裂项相消法求和类型： 分式型：，，等； 指数型：，等， 根式型：等， 对数型：，且； 1．（2025高三·全国·专题练习）在下列条件下，求数列的通项公式： (1)若，，求； (2)若，，求； (3)若，，求； (4)若，，求； (5)若，，求； (6)若，，求； (7)若，，求； (8)若，，求； (9)若，，求； (10)若，，求； (11)若，，求； (12)若，，求； (13)若，，求； (14)若，，求； (15)若，，求． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) 【分析】根据已知条件应用累加法计算或构造等差数列或构造等比数列求解通项公式. 【详解】（1）型． 递推累加，等差数列求和： ； ； ； ． 上述个式子累加得，即． （2）型． 递推累加，等比数列求和： ； ； ； ． 上述个式子累加得，即． （3）型． 同除转化为等差数列：，令，则，转化为等差数列． 本小题中，同除转化为等差数列， 由得， 令，则，， 得，即，． （4）型． 直接待定系数：． 本小题中，， 令， 则，， 得，即，即． （5）型． 直接待定系数：， 其中，． 本小题中，由，得， 令，则，， 得，即， 故． 直接待定系数时必须是完整的关于的一次函数． （6）型． 直接待定系数：， 其中，，． 本小题中，由， 得， 同（5）方法可得． （7）型． 先待定系数配制掉多项式部分，再同除转化为等差数列． ， ，令，则，转化为等差数列． 本小题中，由， 得， 同除得， 同（3）方法可得， 故． （8）型． 先同除转化为等差数列，再待定系数转化为等比数列． ， 令，则， ， 再令，则．以下步骤略． 本小题中，由得， ， 可得， 故． 变式： ． 本小题中，， ， 故． （9）先同除转化为（1）类求解． 由得， 再令，得．最终得． （10）型． 先待定系数转化为（8）类求解： ， ， 令，则， ． 或直接待定系数转化为等比数列： ． 本小题中，直接待定系数得， 得， 故． （11）先待定系数转化为（9）类求解． 由题意得， 令，则．最终得． （12）型． 直接待定系数求解： ． 本小题中，， 最终得． （13）， ， 最终得． （14）由得， ， 最终得． （15）由得， ， 最终得． 2．（2024高三·全国·专题练习）已知数列的首项，且满足，求． 【答案】 【分析】根据递推关系得，结合等比数列定义写出的通项公式，即可得答案. 【详解】由，，得，， 所以，又 故数列是首项、公比均为的等比数列， 则，故． 3．（24-25高二下·辽宁辽阳·期末）在数列中，，. (1)求； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用累加法求出数列的通项公式; （2）由（1）可得,利用裂项相消法计求和即可. 【详解】（1）因为， 所以 （2）因为， 所以. 4．（23-24高二下·河北秦皇岛·阶段练习）在数列中，已知，且满足． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对递推式进行等价变形，构造等比数列即可求解； （2）将所求通项变形，由裂项相消法即可求解. 【详解】（1）因为，且易知， 所以，所以，所以． 因为，所以，所以是首项为1，公比为的等比数列， 所以，所以． （2）因为， 所以． 5．（24-25高三上·广东·期中）记为数列的前项和，已知，． (1)求的通项公式； (2)若，求整数的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据递推公式，利用构造法以及整体代换思想可得是以为首项、为公比的等比数列，从而得出结论； （2）利用分组求和法以及等比数列的前n项和求解即可. 【详解】（1）已知，， ， 是以为首项、为公比的等比数列， ． （2）由（1）可知，， ， ， ； 由，可得， 为整数， 的最小值为2026． 6．（2026高三·全国·专题练习）在数列中，，，求数列的通项公式. 【答案】 【分析】将已知条件中的递推公式进行变形，再利用累加法即可求解. 【详解】，， 当时， ， 当时，，与相符， 数列的通项公式为. 7．（2025高三·全国·专题练习）已知，，求数列的通项． 【答案】 【分析】通过累乘法来求数列的通项公式. 【详解】已知， 则， ， 已知，由， 故数列的通项为：. 8．（2025·河南驻马店·模拟预测）已知数列的前项和为． (1)求的通项公式； (2)若，且，求数列的通项公式； (3)在（2）的条件下，若，求的前项和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由与的关系仿写后作差，再由等差数列的性质可得； （2）将已知等式变形为，再移项证明为常数列可得； （3）由裂项相消法求和即可. 【详解】（1）由可得，， 以上两式相减可得，即， 因为，所以，即是公差为1的等差数列，从而， 由，所以是公差为1的等差数列，从而， 所以. （2）因为，所以， 即， 因为，所以为常数列，即. （3），所以， 所以. 9．（2025高二·全国·专题练习）已知数列满足，． (1)求数列的第，，项； (2)若，求的第，，项，并猜想的通项公式． 【答案】(1)，，． (2)，，，． 【分析】（1）由递推关系求得； （2）根据求得，找规律猜想. 【详解】（1）由递推关系可得，，． （2），，， 由数列的前三项，，猜想其通项公式为． ，（常数）， 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，所以. 10．（24-25高二上·福建莆田·阶段练习）已知数列满足，且． (1)求的值； (2)求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式； (3)求数列的前项和． 【答案】(1)，； (2)证明见解析，； (3) 【分析】（1）根据已知条件令即可求解； （2）利用等差数列的定义可证得结论成立，并确定数列的首项和公差，即可求得数列的通项公式； （3）利用错位相减法可求得． 【详解】（1），，； （2），∴，， 即，又， ∴数列是等差数列，且该数列首项为，公差为， ∴，，∴． （3）① ①－②得：， ∴． 11．（25-26高二上·甘肃张掖·阶段练习）在正项数列中，，且. (1)求的通项公式； (2)若数列满足，求的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由结合平方差公式化简可得，再根据等差数列的定义和通项公式求解即可； （2）利用裂项相消法求解即可. 【详解】（1）由可得， 所以， 因为是正项数列，，所以，即， 所以数列是首项，公差的等差数列， 所以. （2）由（1）可得， 所以. 12．（2024·内蒙古包头·三模）已知数列的前n项和为，，． (1)证明：数列是等比数列，并求； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】(1)根据题意及，整理可得，即可得证； (2)根据(1)中可求出分类讨论求出的通项公式，再根据等比数列前n项和可求得. 【详解】（1）因为，又， 所以，整理得． 由题意得， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，故， 即． （2）由（1）可， 当时，， 当时，， 所以， . 当，代入满足公式， 综上， 13．（2025·云南昆明·一模）已知数列满足，． (1)若，，成等差数列，求k； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，成等差数列得，求出即可； （2）由可得答案. 【详解】（1）已知数列满足，． 因为，，成等差数列，所以， 所以， 整理得，解得，或（负值舍去）. （2）因为，又， 所以时， ， 时,也满足上式， 所以． 14．（25-26高三上·贵州遵义·阶段练习）已知首项为1的正项数列满足． (1)求的通项公式； (2)令，求数列的前n项和． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用累加法求出的通项公式，然后可得的通项公式； （2）利用裂项相消法求解即可. 【详解】（1）因为， 所以当时， ， 是首项为1的正项数列， 则， 又满足上式，所以. （2）由（1）可得，， 所以. 15．（2025高三·全国·专题练习）已知，，求数列的通项． 【答案】 【分析】，累乘法进行求解. 【详解】因为， 所以， 故， 16．（25-26高三上·江苏南京·阶段练习）已知数列的前项和为，且． (1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，由，得，两式相减，得，可得，而，从而可得数列是等比数列，进而可求出的通项公式； （2）由（1）可得，然后利用错位相减法求和可得. 【详解】（1）证明：因为，，所以当时，， 两式相减得，化简得，则 当时，，解得，且， 所以是以4为首项，2为公比的等比数列， 所以，，且时也符合， 所以. （2）因为，所以， 所以 两式相减可得， 所以. 17．（25-26高三上·河北·阶段练习）记为数列的前项和，已知． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)． (2) 【分析】（1）首先利用数列与的关系式，转化为数列的递推关系式，再通过构造求数列的通项公式； （2）由（1）可知，分和两段，集合数列的特征，和数列的前项和，分别求数列的和. 【详解】（1）由可得， 两式相减，得，即， 当时，，则． 当时，，即， 于是由递推关系得，得， 而，满足上式， 故数列的通项公式为． （2）由得， 当时，，则， 所以； 当时，，注意到， 故． 综上，． 18．（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，，为数列的前项和． (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）对题设中的递推关系变形后可得，故可得是等比数列； （2）由（1）结合等比数列的通项公式可求； （3）利用分组求和法可求. 【详解】（1）对整理有：， 等式两边同时除以可得， 等式两边再同时减得，即， 又由，可得，故， 则数列是首项为，公比为的等比数列． （2）由（1）得的通项公式为， 得，所以． （3）由（2）知， 所以 ． 19．（2025·湖南·模拟预测）设正项数列的前n项和，满足． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据和之间的关系，结合等差数列的定义和通项公式进行求解即可； （2）运用裂项相消法进行求解即可. 【详解】（1）由得，可知， 两式相减得， 即， ， ∵当时，， 则是首项为1，公差的等差数列， 的通项公式为； （2）， ， . 20．（25-26高二上·甘肃平凉·阶段练习）（1）已知数列满足，且，求的通项公式； （2）已知数列满足，且，求的通项公式； （3）已知数列满足，且，，求的通项公式． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】根据递推关系，用累乘法求通项公式；借助构造法构造等差数列求通项公式；结合分组求和求通项公式； 【详解】（1）因为，所以，所以当时， ， 又，符合上式，所以； （2）由，得，又， 所以数列以2为首项，1为公差的等差数列， 所以，所以； （3）因为，所以，又，所以； 因为，所以 ， 又，所以， 则． 21．（24-25高二上·河南信阳·期末）设为数列的前n项和，． (1)求； (2)证明： （i）； （ii）； (3)求的通项公式． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）根据递推公式代入数据可得结果. （2）（i）根据递推公式及可证明结论. （ii）根据递推公式及可证明结论. （3）设，根据条件求，利用的取值及等比数列的通项公式可得结果. 【详解】（1）由题意得，，，，， ，，. （2）（i） . （ii） . （3）设，对比得，， 解得或. 当时，， ∴数列是以为首项，为公比的等比数列， ∴①， 当时，同理可得②， ②－①得，. 【点睛】关键点点睛：解决第（2）问的关键是利用递推公式及数据特征进行凑项计算，逐步推导可证明结论.解决第（3）问的关键是构造等比数列，利用等比数列的通项公式可求结果. 22．（24-25高二下·安徽阜阳·期中）已知正项数列满足，且（）. (1)求的通项公式; (2)设数列{}的前n项和为，是否存在p、q，使得恒成立?若存在，求出p，q的值;若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)存在. 【分析】（1）根据已知可得，进而有，写出通项公式，即可得； （2）由（1）得，应用错位相减法、等比数列前n项和公式求得，进而有恒成立，即可得结论并求出参数值. 【详解】（1）∵， ∴，则， ∴，又数列为正项数列， ∴，即， ∴数列是以为首项，为公差的等差数列， ∴，则； （2）∵，则， 故 ∴， 则，故恒成立， ∴，解得， ∴存在满足条件. 23．（25-26高三上·广东汕头·阶段练习）已知数列的前项和为，且． (1)证明：是等比数列，并求的通项公式； (2)记，记数列的前项和为． ①求；②对，都有成立，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析，； (2)①；②． 【分析】（1）根据给定的递推公式，结合及等比数列定义推理得证，进而求出通项公式. （2）①由（1）的结论，利用裂项相消法求和即得；②按奇偶求出的最小值即可. 【详解】（1）在数列中，，当时，， 两式相减得，整理得，即， 而，即，则， 所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，，， 经检验当也符合. （2）①由（1）知，，， 所以 . ②由①知，，， ， 由数列单调递增，得，因此， 由对，，得， 所以的取值范围是． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $