4.1.1 幂函数的定义与图像（题型专练）数学沪教版2020必修第一册

4.1.1 幂函数的定义与图像 题型一 幂函数的定义 1．下面的函数中是幂函数的有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．①⑤ B．①②③ C．②④ D．②③⑤ 【答案】C 【解析】由幂函数定义可知，②④是幂函数，故选C. 2．下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由幂函数的定义：形如,其中为常数，所以可得是幂函数．故选：C. 3．下列函数既是幂函数又是奇函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据幂函数的定义可知：为幂函数， 且定义域为 ，满足 为奇函数，故A正确； 为偶函数,故排除B选项； 令，∴，所以为非奇非偶函数，C错误； 的定义域为 ，不关于原点对称，所以为非奇非偶函数，故D错误， 故选：A． 4．下列函数中，为幂函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】由幂函数的定义知，和是幂函数， 和不是幂函数，分别是二次函数和指数函数， 故选：AC. 5．有下列函数： ①；②； ③；④； ⑤；⑥. 其中是幂函数的有 （只填序号）. 【答案】④⑤ 【解析】①中，的系数为，故不是幂函数； ②中，不是的形式，故不是幂函数； ③中，，系数是，故不是幂函数； ④中，，是幂函数； ⑤中， ，是幂函数； ⑥中，是指数函数，故不是幂函数. 题型二 幂函数求值 6．已知幂函数的图象经过点，则（   ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【解析】设，由题意可知，，所以，则， 所以．故选：C 7．已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，则，所以，故， 因此.故选：A. 8．若函数是幂函数，且，则 ． 【答案】64 【解析】设，由，得，解得，所以，所以． 9．已知幂函数的图象经过点，则 ． 【答案】 【解析】，，，. 10．已知幂函数的图象过点，则 . 【答案】27 【解析】设，将点代入得，解得， 所以. 题型三 求幂函数的解析式 11．如图所示的幂函数图象对应的解析式可能为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，，定义域为，当时，，不符合题意； 对于B，当时，，不符合题意； 对于C，，定义域为，函数为偶函数， 且在上单调递减，在上单调递增，符合题意； 对于D，，当时，，不符合题意， 故选：C 12．已知幂函数的图象经过点，则 ． 【答案】 【解析】因为是幂函数，图象经过点，设， 则，解得，故, 13．已知幂函数的图象经过点，则 ． 【答案】/ 【解析】设，则，故，则， 故答案为： 14．已知幂函数的图象经过点，则 . 【答案】 【解析】依题意，设，由函数的图象经过点，得，解得， 所以. 题型四 幂函数图像的判断 15．已知幂函数的图象经过点，则函数的图象大致为（    ） A．  B．  C．   D．   【答案】B 【解析】设幂函数的解析式为，由其图象经过点，得，解得， 于是． 方法一：函数的定义域为，关于原点对称，排除A，D； 因为，所以函数为偶函数， 图象关于轴对称，排除C． 方法二：因为，所以在上单调递减，排除A，D； 又，排除C．故选B． 16．下面给出4个幂函数的图象，则图象与函数对应的是（   ）    A．①，②，③，④ B．①，②，③，④ C．①，②，③，④ D．①，②，③，④. 【答案】B 【解析】图象①对应的幂函数的幂指数必然大于1，排除A，D． 图象②中幂函数是偶函数且在第一象限单调递增，幂指数必为正偶数，排除C． 故选：B. 17．函数的大致图象为（   ） A．B．C．D． 【答案】B 【解析】函数是幂函数，定义域为R，是偶函数，排除D； 由，得函数在上单调递增，排除C； 且当时，函数的图象在下方，排除A，选项B符合要求. 故选：B 18．函数的图象大致为（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【解析】函数的定义域为，关于原点对称， 因为，所以为偶函数，排除A，B； 易知当时，单调递增，且增加幅度较为缓和，所以D错误. 故选：C 题型五 幂函数图像过定点 19．关于幂函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．幂函数图象恒过原点 B．存在，使得幂函数图象过第四象限 C．存在，使得幂函数为非奇非偶函数 D．当时，幂函数图象恒在轴上方 【答案】C 【解析】若的图象不过原点，A错误； 对于幂函数，当时，恒成立，因此函数图象不过第四象限，B错误； 当时，的定义域为，且在上单调递增，为非奇非偶函数，C正确； 当时，的图象过第一、三象限，D错误． 故选：C. 20．下列关于幂函数的描述中，正确的是（    ） A．幂函数的图象都经过点和 B．幂函数的图象不经过第三象限 C．当指数取1，3，时，幂函数是其定义域上的增函数 D．幂函数的图象过点，则 【答案】C 【解析】对于A，当时，幂函数在处无定义，故图象不会经过点，选项A错误； 对于B，当时，幂函数都有意义，且，故幂函数的图象不经过第四象限，选项B错误； 对于C，当时，，在R上单调递增；当时，，在上单调递增；当时，，定义域为，且在上单调递增，选项C正确； 对于D，幂函数的图象过点，即，所以，即，所以，选项D错误； 故选：C. 21．下列幂函数中，其图象关于y轴对称且过点、的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】A项，函数图象在第一象限，故不关于轴对称，故不符合； B项，函数图象关于原点对称，且过，符合； C项，指数小于0，故其图象不过点，故不符合； D项，函数图象关于原点对称，故不符合；故选：B 22.已知函数（为常数），则下列说法正确的是（    ） A．函数的图象恒过定点 B．当时，函数是减函数 C．当时，函数是奇函数 D．当时，函数的值域为 【答案】AC 【解析】，A正确； 当时，分别在上单调递减，在定义域上不单调，B错误； 当时，的定义域为R，且， 所以函数是奇函数，C正确； 当时，的值域为，D错误. 故选：AC 23．已知为幂函数，则函数的图象经过的定点坐标为 ． 【答案】(1,2) 【解析】因为幂函数的图象过定点(1,1)，即有， 所以，即的图象经过定点(1,2)， 题型一 由幂函数求参 24．已知幂函数的图象不过原点，则实数的值为（   ） A． B． C． D．或 【答案】B 【解析】因为幂函数的图象不过原点，则，解得. 故选：B. 25．若幂函数的图象与一次函数的图象有三个交点，则a的值为（   ） A．0 B．或3 C． D．3 【答案】D 【解析】因为为幂函数，则，解得或， 若，则的图象与一次函数的图象有三个交点，符合题意； 若，则的图象与一次函数的图象有两个交点，不符合题意； 综上所述：.故选：D. 26．已知幂函数的图象经过第三象限，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【解析】由题意得，得．当时，的图象不经过第三象限； 当时，的图象经过第三象限．综上，． 故选：A 27．幂函数的图象过点，则 ． 【答案】/0.5 【解析】是幂函数，，又的图象过点，，所以，． 题型二 幂函数图象的应用 28．图中、、分别为幂函数，，在第一象限内的图象，则，，依次可以是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【解析】由幂函数在第一象限，在部分图象由下向上，逐渐增大， 且时在第一象限递增，且递增速度以为界点，时在第一象限递减， 所以，故A满足.故选：A 29．若幂函数与在第一象限内的图象如图所示，则与的取值情况为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，幂函数在上单调递增，且时，图象上凸，． 当时，幂函数在上单调递减．不妨令，由图象得，则． 综上可知，．故选择：D. 30．已知函数的大致图像如图所示，则 ． 【答案】 【解析】因为图像关于轴对称，所以函数是偶函数； 又因为图像与坐标轴无交点，所以指数为负数.综上所述，. 31．对任意的，，函数和的图象的公共点个数可能是 ． 【答案】1或2或3 【解析】函数的图象过原点，在第一、三象限，且图象关于原点对称， 任意的，，函数是幂函数，由幂函数图象都过点， 得函数的图象与的图象在第一象限有1个公共点， 当是0或负偶数时，的图象关于轴对称，不过原点，因此它们只在第一象限有1个公共点； 当是正偶数时，的图象关于轴对称，过原点，因此它们的图象有2个公共点； 当是负奇数时，的图象关于原点对称，不过原点，因此它们的图象有2个公共点； 当是正奇数时，的图象关于原点对称，过原点，因此它们的图象有3个公共点， 所以公共点个数可能是1或2或3. 32．若直线与幂函数的图象依次交于不同的三点，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．以上说法都不正确 【答案】D 【解析】因为，由得；得；得. 则. 因为，所以是关于的减函数. 因为，所以，则. 故以上选项都不对.故选：D. 33．“幂函数的图象分布在第一、二象限”是“或2”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】由题意得，因为是幂函数， 所以，解得或. 当时，，如图所示， 图像经过第一、二象限； 当时，，如图所示， 图像分布在 第一、三象限. 故可得“幂函数的图象分布在第一、二象限”等价于“”， 于是“”可推出“或2”，而“或2”推不出“”， 于是“幂函数的图象分布在第一、二象限”是“或2”的充分不必要条件. 故选：C. 34．已知幂函数的图象过点，幂函数的图象过点． (1)求，的表达式； (2)求当为何值时：①；②；③． 【解】（1），∵图象过点，故，解得，∴； ，∵图象过点，∴，解得．∴． （2）在同一平面直角坐标系中作出与的图象，如图所示． 由图象可知，、的图象均过点和． 所以①当或时，； ②当或时，； ③当且时，． 35．已知关于x的幂函数 (1)求证：幂函数在第一象限内一定有图像. (2)命题m：两个幂函数有三个公共点，命题n：两个幂函数相同；判断命题m是命题n的什么条件并说明理由. (3)求证：除原点外，幂函数的图像一定与坐标轴无交点. 【解】（1）对于幂函数，当时，无论取何值（），都有意义. 例如当时，， 当时，，当时，等，在时都有对应的值.所以幂函数在第一象限内一定有图像. （2）若两个幂函数相同，设这两个幂函数为和，它们的图像完全重合，有无数个公共点， 当然也满足有三个公共点（这是一种特殊情况包含在其中），所以. 反之，若两个幂函数有三个公共点，例如和， 它们有三个公共点，，，但这两个幂函数并不相同，所以. 综上，命题是命题的必要不充分条件. （3）对于幂函数，当时，，当时，； 当时，无意义（除时，但），所以幂函数图像过原点. 对于轴上除原点外的点，即且， 对于幂函数，当时，除（且）外，要么为要么无意义， 所以除原点外幂函数图像与轴无交点. 对于轴上的点，令，当时，若，无解； 若，；若，无解，所以除原点外幂函数图像与轴无交点. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.1.1 幂函数的定义与图像 题型一 幂函数的定义 1．下面的函数中是幂函数的有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．①⑤ B．①②③ C．②④ D．②③⑤ 2．下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 3．下列函数既是幂函数又是奇函数的是（ ） A． B． C． D． 4．下列函数中，为幂函数的是（   ） A． B． C． D． 5．有下列函数： ①；②； ③；④； ⑤；⑥. 其中是幂函数的有 （只填序号）. 题型二 幂函数求值 6．已知幂函数的图象经过点，则（   ） A．3 B． C． D． 7．已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C． D． 8．若函数是幂函数，且，则 ． 9．已知幂函数的图象经过点，则 ． 10．已知幂函数的图象过点，则 . 题型三 求幂函数的解析式 11．如图所示的幂函数图象对应的解析式可能为（   ）    A． B． C． D． 12．已知幂函数的图象经过点，则 ． 13．已知幂函数的图象经过点，则 ． 14．已知幂函数的图象经过点，则 . 题型四 幂函数图像的判断 15．已知幂函数的图象经过点，则函数的图象大致为（    ） A．  B．  C．   D．   16．下面给出4个幂函数的图象，则图象与函数对应的是（   ）    A．①，②，③，④ B．①，②，③，④ C．①，②，③，④ D．①，②，③，④. 17．函数的大致图象为（   ） A．B．C．D． 18．函数的图象大致为（   ） A．B．C． D． 题型五 幂函数图像过定点 19．关于幂函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．幂函数图象恒过原点 B．存在，使得幂函数图象过第四象限 C．存在，使得幂函数为非奇非偶函数 D．当时，幂函数图象恒在轴上方 20．下列关于幂函数的描述中，正确的是（    ） A．幂函数的图象都经过点和 B．幂函数的图象不经过第三象限 C．当指数取1，3，时，幂函数是其定义域上的增函数 D．幂函数的图象过点，则 21．下列幂函数中，其图象关于y轴对称且过点、的是（    ） A． B． C． D． 22.已知函数（为常数），则下列说法正确的是（    ） A．函数的图象恒过定点 B．当时，函数是减函数 C．当时，函数是奇函数 D．当时，函数的值域为 23．已知为幂函数，则函数的图象经过的定点坐标为 ． 题型一 由幂函数求参 24．已知幂函数的图象不过原点，则实数的值为（   ） A． B． C． D．或 25．若幂函数的图象与一次函数的图象有三个交点，则a的值为（   ） A．0 B．或3 C． D．3 26．已知幂函数的图象经过第三象限，则（    ） A． B．1 C． D．2 题型二 幂函数图象的应用 28．图中、、分别为幂函数，，在第一象限内的图象，则，，依次可以是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 29．若幂函数与在第一象限内的图象如图所示，则与的取值情况为（   ）    A． B． C． D． 30．已知函数的大致图像如图所示，则 ． 31．对任意的，，函数和的图象的公共点个数可能是 ． 32．若直线与幂函数的图象依次交于不同的三点，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．以上说法都不正确 33．“幂函数的图象分布在第一、二象限”是“或2”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 34．已知幂函数的图象过点，幂函数的图象过点． (1)求，的表达式； (2)求当为何值时：①；②；③． 35．已知关于x的幂函数 (1)求证：幂函数在第一象限内一定有图像. (2)命题m：两个幂函数有三个公共点，命题n：两个幂函数相同；判断命题m是命题n的什么条件并说明理由. (3)求证：除原点外，幂函数的图像一定与坐标轴无交点. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $