九年级数学上学期期中模拟卷01（鲁教版五四制九上1～3章：反比例函数+直角三角形的边角关系+二次函数）

2025-2026学年九年级上学期期中模拟卷 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：鲁教版五四制九年级数学上册第1~3章（反比例函数+直角三角形的边角关系+二次函数）。 第一部分（选择题 共36分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．反比例函数的图象位于（     ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质． 利用反比例函数的图象和性质进行判断即可． 【详解】解：∵反比例函数，， ∴图象位于第一、三象限， 故选：B． 2．在公式ρ=中，当质量m一定时，密度与体积V之间的函数关系可用图象表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵在公式ρ=中，且质量m一定， ∴是v的反比例函数，且图象在第一象限. 故选B. 3．比较和的大小（     ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】本题考查了锐角三角函数的增减性，将余弦转化为正弦是解题的关键． 将余弦转化为正弦，根据正弦的锐角三角函数的增减性比较大小即可． 【详解】解：∵，正弦的锐角三角函数值随角度的增大而增大， ∴， ∴． 故选：A． 4．在二次函数①y＝－x2　②y＝2x2 ③y＝－x2 ④y＝x2 中，图像开口向上且开口较大的是（     ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】根据二次项系数的正负先排除①③，然后结合系数a越大开口越小，即可判断． 【详解】解：①③中a＜0，图象开口向下，排除； ②④中a＞0，图象开口向上． ∵2＞， ∴y＝x2的开口较大． 故选：D． 5．已知是等腰直角三角形的一个锐角，则的值为（     ） A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】等腰直角三角形的锐角为45°，sin45°=. 故选B. 6．根据下列表格的对应值：判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一个根x的大致范围是（     ） x 6.17 6.18 6.19 6.20 ax2＋bx＋c −0.03 −0.01 0.02 0.04 A．6.19<x<6.20 B．6.18<x<6.19 C．6.17<x<6.18 D．6<x<6.17 【答案】B 【分析】观察表中数据得到当x＝6.18时，y＝−0.01＜0；当x＝6.19时，y＝0.02＞0，则可判断当x在6.18＜x＜6.19的范围内取某一值时，对应的函数值为0，即ax2＋bx＋c＝0，所以可确定方程ax2＋bx＋c＝0的一个根的大致范围为6.18＜x＜6.19． 【详解】解：∵当x＝6.18时，y＝−0.01＜0；当x＝6.19时，y＝0.02＞0， ∴当x在6.18＜x＜6.19的范围内取某一值时，对应的函数值为0，即ax2＋bx＋c＝0， ∴方程ax2＋bx＋c＝0（其中a，b，c是常数，且a≠0）的一个根x的大致范围为6.18＜x＜6.19． 故选：B． 7．将抛物线y＝（x+2）2﹣5向左平移2个单位，再向上平移5个单位，平移后所得抛物线的解析式为（     ） A．y＝（x+4）2 B．y＝x2 C．y＝x2﹣10 D．y＝（x+4）2﹣10 【答案】A 【分析】根据顶点式求出顶点坐标，再根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后写出顶点式二次函数解析式即可． 【详解】∵y＝（x+2）2﹣5， ∴原抛物线顶点坐标为（﹣2，﹣5）， ∵向左平移2个单位，再向上平移5个单位， ∴平移后的抛物线顶点坐标为（﹣4，0）， ∴所得抛物线解析式为y＝（x+4）2， 故选A． 8．如图，将一副三角尺按如图所示的方式摆放，组成四边，，，，连接，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用定义求三角函数，同时考查了特殊角的三角函数值，如何作辅助线，是解题的关键．过点D作垂直于的延长线于点E，在中，解得，在中，解得，设，得到，在中，根据正切的定义，解得，在中，，最后，在中，根据正切的定义解题即可． 【详解】解：如图所示，过点D作垂直于的延长线于点E， ∵在中，，在中，， ∴， ∵， ∴，， ∴设，则， 在中， ∵， ∴， ∴， 解得：， 在中，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴在中，． 故选：D． 9．反比例函数y=中，当x＞0时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（     ） A．m＞ B．m＜2 C．m＜ D．m＞2 【答案】A 【分析】先根据反比例函数y=，当x＞0时y随x的增大而增大判断出1-2m的符号，求出m的取值范围即可． 【详解】解：∵反比例函数y=，当x＞0时y随x的增大而增大， ∴1-2m＜0， ∴m＞． 故选A． 10．某药品研究所开发一种抗菌新药，临床实验中测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x（小时）之间的函数关系图象由一条线段和一段曲线组成，如图（当时，y与x成反比例）．则血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为（     ）    A．4小时 B．6小时 C．8小时 D．10小时 【答案】B 【分析】分别求出线段与曲线的函数解析式，再求出函数值为4时对应的自变量x的值，即可求得此时持续时间． 【详解】解：时，设线段的解析式为， 由于线段过点，则有， 解得：， 即线段解析式为； 当时，设，把点代入中，得， 即， 当时，，得；当时，，得； ∴血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为（小时）； 故选：B． 11．如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为120m，则这栋楼的高度为（     ） 如 A．160m B．120m C．300m D．160m 【答案】A 【详解】如图，过点A作AD⊥BC于点D， 根据题意得∠BAD=30°，∠CAD=60°，AD=120m， 在Rt△ABD中， 求得BD=AD•tan30°=120×=40m， 在Rt△ACD中，求得CD=AD•tan60°=120×=120m，所以BC=BD+CD=160m． 故答案选A． 12．如图，已知在直角梯形AOBC中，AC∥OB，CB⊥OB，OB=18，BC=12，AC=9，对角线OC、AB交于点D，点E、F、G分别是CD、BD、BC的中点，以O为原点，直线OB为x轴建立平面直角坐标系，则G、E、D、F四个点中与点A在同一反比例函数图象上的是（     ） A．点G B．点E C．点D D．点F 【答案】A 【详解】如下图，过点D作DM⊥OB于点M，则∠OME=90°， ∵在直角梯形AOBC中，AC∥OB，CB⊥OB，OB=18，BC=12，AC=9， ∴点A的坐标为（9，12），点B的坐标为（18，0），点C的坐标为（18，12），∠OBC=90°=∠ACB，△ACD∽△BDO，△OMD∽△OBC， ∴，， ∴， ∴DM=8，OM=12， ∴点D的坐标为（12，8）， ∵点点E、F、G分别是CD、BD、BC的中点， ∴点E、F、G的坐标分别为（15，10）、（15，4）、（18，6）， ∵在点A（9，12）中，9×12=108；点E（15，10）中，15×10=150；点F（15，4）中，15×4=60；点G（18，6）中18×6=1-8； ∴点A和点G中同一反比例函数的图象上. 故选A. 第二部分（非选择题 共84分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 13．把y=2x2﹣6x+4配方成y=a（x﹣h）2+k的形式是 . 【答案】y=2（x-）2- 【分析】利用配方法的步骤配方即可. 【详解】y=2x2﹣6x+4 =2（x2﹣3x）+4 =2（x2﹣3x+﹣）+4 =2（x-）2-+4 = 2（x-）2- 故答案为y=2（x-）2- 14．如图,一棵树BC的高10米,一只小鸟在地面上的A处沿着倾斜角为30°的方向直飞向树梢B处,则小鸟飞行的路程是 米. 【答案】20 【详解】由题意知，∠ACB=90°，则sinA=，所以AB===20，故答案为20. 15．一座石拱桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系为，当水面的宽度为16米时，水面离桥拱顶的高度为 m． 【答案】4 【分析】根据题意得到点B的横坐标为8，代入求出纵坐标的值，其绝对值就是的长． 【详解】解：根据抛物线的对称性， ∵， ∴， 令，则， ∴． 故答案为：4． 16．记实数，中的最小值为，例如，当取任意实数时，则的最大值为 ． 【答案】3 【分析】在同一坐标系中画出两个函数的图象，观察最大值的位置，通过求函数值，求出最大值． 【详解】画出函数和的图象，如图： 由图可知：当x＝1时，函数有最大值，最大值为3， 所以的最大值为3， 故答案为：3． 17．为预防传染病，某校定期对教室进行“药熏消毒”，已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量与燃烧时间（分钟）成正比例；烧灼后，与成反比例（如图所示）.现测得药物分钟燃烧完，此时教室内每立方米空气含药量为.研究表明当每立方米空气中含药量低于时，对人体方能无毒作用，那么从消毒开始，至少需要经过 分钟后，学生才能回到教室. 【答案】50 【分析】先求得反比例函数的解析式，然后把代入反比例函数解析式，求出相应的即可； 【详解】解：设药物燃烧后与之间的解析式，把点代入得，解得， 关于的函数式为：； 当时，由；得，所以50分钟后学生才可进入教室； 故答案为50． 18. 如图，在平面直角坐标系中，菱形ABOC的顶点O在坐标原点,，顶点C的坐标为,的图象与菱形对角线AO交于点D，连接BD，当轴时，k的值是_________． 第16题图 【答案】 【解析】延长AC交y轴于E，因为菱形ABOC的顶点O在坐标原点，边BO在x轴的负半轴上 ∴AC//OB, ∴AE⊥y轴， ∵∠BOC=60°， ∴∠COE=30°, 而顶点C的坐标为(m，)， ∴OE=, ∴CE==3, ∴OC=2CE= 6， ∵四边形ABOC为菱形， ∴OB=OC=6，∠BOA=30°， 在Rt△BDO中， ∵BD= =， ∴D点坐标为(-6，)， ∵反比例函数的图象经过点D， ∴k=-6×=. 三、解答题（本大题共7小题，满分66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（8分）如图，A，B，C三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC'B'，求tanB'的值． 【答案】tanB'＝ 【分析】根据旋转的性质得tanB'＝tanB即可求出tanB'的值. 【详解】解：根据旋转的性质可得：∠B＝∠B′， ∴tanB'＝tanB． ∵tanB＝， ∴tanB'＝． 20．（8分）已知点在抛物线上，过点作轴，交抛物线于另一点，求的面积． 【答案】8 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的对称性，求得、的坐标是解题的关键．由抛物线的解析式求得的坐标，然后利用抛物线的对称性求得的坐标，即可求得，利用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：点在抛物线上， ， ， 过点作轴，交抛物线于另一点， 由抛物线的对称性可知，当时，， ， ， 的面积． 21.（8分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数图象的顶点坐标为，该图象与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，其中点A的横坐标为1． （1）求该二次函数的表达式； （2）求． 【答案】（1）该二次函数解析式为； （2）． 【解析】 【分析】（1）由题意可设抛物线解析式为：，将代入解析式来求a的值； （2）由锐角三角函数定义解答． 【小问1详解】 解：由题意可设抛物线解析式为：，． 把代入，得， 解得． 故该二次函数解析式为； 【小问2详解】 解：令，则．则． 因为二次函数图象的顶点坐标为，，则点B与点A关于直线对称， 所以． 所以． 所以，即． 22．（9分）某商家计划从厂家采购空调和冰箱两种产品共20台，空调的采购单价y1（元/台）与采购数量x1（台）满足y1=﹣20x1+1500（0＜x1≤20，x1为整数）；冰箱的采购单价y2（元/台）与采购数量x2（台）满足y2=﹣10x2+1300（0＜x2≤20，x2为整数）． （1）经商家与厂家协商，采购空调的数量不少于冰箱数量的 ，且空调采购单价不低于1200元，问该商家共有几种进货方案？ （2）该商家分别以1760元/台和1700元/台的销售单价售出空调和冰箱，且全部售完．在（1）的条件下，问采购空调多少台时总利润最大？并求最大利润． 【答案】（1）5   （2）采购空调15台时，获得总利润最大，最大利润值为10650元． 【解析】（1）由题意可设空调的采购数量为x台，则冰箱的采购数量为（20﹣x）台，根据题中的不等量关系可列出关于x的不等式组，求解得到x的取值范围，再根据空调台数是正整数确定进货方案； （2）按常规可设总利润为W元，根据总利润等于空调和冰箱的利润之和整理得到W与x的函数关系式，整理成顶点式形式，然后根据二次函数的性质求出最大值即可． 【详解】：（1）设空调的采购数量为x台，则冰箱的采购数量为（20﹣x）台， 由题意得，， 解不等式①得，x≥11， 解不等式②得，x≤15， 所以，不等式组的解集是11≤x≤15， ∵x为正整数， ∴x可取的值为11、12、13、14、15， 所以，该商家共有5种进货方案； （2）设总利润为W元， y2=﹣10x2+1300=﹣10（20﹣x）+1300=10x+1100， 则W=（1760﹣y1）x1+（1700﹣y2）x2， =1760x﹣（﹣20x+1500）x+（1700﹣10x﹣1100）（20﹣x）， =1760x+20x2﹣1500x+10x2﹣800x+12000， =30x2﹣540x+12000， =30（x﹣9）2+9570， 当x＞9时，W随x的增大而增大， ∵11≤x≤15， ∴当x=15时，W最大值=30（15﹣9）2+9570=10650（元）， 答：采购空调15台时，获得总利润最大，最大利润值为10650元． 23．（9分）已知反比例函数（k≠0）的图象经过点（1，﹣k+2）． （1）求这个反比例函数的表达式； （2）若（a，y1），（a+1，y2）是这个反比例函数图象上同一象限内的两个点，请比较y1、y2的大小，并说明理由． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）把点（1，-k+2）代入函数解析式，列出关于k的方程，通过解方程来求k的值即可； （2）反比例函数的y=的图象在每一个象限内都是减函数．需要分类讨论：分a＞0，-1＜a＜0，a＜-1三种情况． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， 解得． ∴这个反比例函数的解析式是； ①当时，则， ∵反比例函数的图象在第一象限内是减函数， ∴； ②当时，则， 由图象知； 当时，则， ∵反比例函数的图象在第三象限内是减函数， ∴． 24．（12分）如图，一次函数与函数为的图象交于两点．    (1)求这两个函数的解析式； (2)根据图象，直接写出满足时x的取值范围； (3)点P在线段上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数的图象于点Q，若面积为3，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)点P的坐标为或 【分析】（1）将代入可求反比例函数解析式，进而求出点B坐标，再将和点B坐标代入即可求出一次函数解析式； （2）直线在反比例函数图象上方部分对应的x的值即为所求； （3）设点P的横坐标为，代入一次函数解析式求出纵坐标，将代入反比例函数求出点Q的纵坐标，进而用含p的代数式表示出，再根据面积为3列方程求解即可． 【详解】（1）解：将代入，可得， 解得， 反比例函数解析式为； 在图象上， ， ， 将，代入，得： ， 解得， 一次函数解析式为； （2）解：，理由如下： 由（1）可知， 当时，， 此时直线在反比例函数图象上方，此部分对应的x的取值范围为， 即满足时，x的取值范围为； （3）解：设点P的横坐标为， 将代入，可得， ． 将代入，可得， ． ， ， 整理得， 解得，， 当时，， 当时，， 点P的坐标为或． 25．（12分）直线与双曲线交于点A（2，3），与y轴交于点B． （1）求k，b的值； （2）如图1，点C是直线上第一象限内的一点，过点C作CE⊥x轴，垂足为点E，交双曲线于点D，当时，求的值； （3）如图2，已知点P是双曲线上一动点，连接OA，OP，当∠AOP＝∠BAO时，求点P的坐标． 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）过点A、C分别作AF⊥y轴于F，CG⊥y轴于点G，则AF∥CG，可得△BAF∽△BCG，进而得出点C、D、E的坐标，即可求得答案； （3）分两种情况：当点P在OA的右侧时，由∠AOP＝∠BAO，得OP∥AB，即可求得直线OP的解析式，联立方程即可求得点P的坐标；当点P在OA的左侧时，设OP与AB交于点Q，由∠AOP＝∠BAO，得AQ＝OQ，设Q（m，m+2），建立方程求解得出点Q的坐标，进而可得直线OP的解析式，联立方程求解即可求得点P的坐标． 【详解】解：（1）将点A（2，3）代入yx+b，得：32+b， 解得：b＝2； 将点A（2，3）代入y，得：3， 解得：k＝6； （2）如图1，过点A、C分别作AF⊥y轴于F，CG⊥y轴于点G， 则AF∥CG， ∴△BAF∽△BCG， ∴， ∴CGAF＝3， ∴C（3，）， ∵CE⊥x轴， ∴D（3，2），E（3，0）， ∴CE，DE＝2， ∴； （3）当点P在OA的右侧时，如图2， ∵∠AOP＝∠BAO， ∴OP∥AB， ∵直线AB的解析式为yx+2， ∴直线OP的解析式为yx， 联立得：x， 解得：x＝2或x＝﹣2（舍去）， 当x＝2时，y， ∴点P的坐标为（2，）； 当点P在OA的左侧时，如图3，设OP与AB交于点Q， ∵∠AOP＝∠BAO， ∴AQ＝OQ， 设Q（m，m+2）， ∴AQ2＝OQ2， ∴（m﹣2）2+（m+2﹣3）2＝m2+（m+2）2， 解得：m， ∴Q（，）， 设直线OP的解析式为y＝tx，则t， 解得：t， ∴直线OP的解析式为yx， 联立得：x， 解得：x或x（舍去）， 当x时，y， ∴点P的坐标为（，）； 综上所述，点P的坐标为（2，）或（，）． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上学期期中模拟卷 数学卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：鲁教版五四制九年级数学上册第1~3章（反比例函数+直角三角形的边角关系+二次函数）。 第一部分（选择题 共36分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．反比例函数的图象位于（     ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限 2．在公式ρ=中，当质量m一定时，密度与体积V之间的函数关系可用图象表示为（     ） A． B． C． D． 3．比较和的大小（     ） A． B． C． D．不确定 4．在二次函数①y＝－x2　②y＝2x2 ③y＝－x2 ④y＝x2 中，图像开口向上且开口较大的是（     ） A．① B．② C．③ D．④ 5．已知是等腰直角三角形的一个锐角，则的值为（     ） A． B． C． D．1 6．根据下列表格的对应值：判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一个根x的大致范围是（     ） x 6.17 6.18 6.19 6.20 ax2＋bx＋c −0.03 −0.01 0.02 0.04 A．6.19<x<6.20 B．6.18<x<6.19 C．6.17<x<6.18 D．6<x<6.17 7．将抛物线y＝（x+2）2﹣5向左平移2个单位，再向上平移5个单位，平移后所得抛物线的解析式为（     ） A．y＝（x+4）2 B．y＝x2 C．y＝x2﹣10 D．y＝（x+4）2﹣10 8．如图，将一副三角尺按如图所示的方式摆放，组成四边，，，，连接，则的值为（     ） A． B． C． D． 9．反比例函数y=中，当x＞0时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（     ） A．m＞ B．m＜2 C．m＜ D．m＞2 10．某药品研究所开发一种抗菌新药，临床实验中测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x（小时）之间的函数关系图象由一条线段和一段曲线组成，如图（当时，y与x成反比例）．则血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为（     ）    A．4小时 B．6小时 C．8小时 D．10小时 11．如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为120m，则这栋楼的高度为（     ） 如 A．160m B．120m C．300m D．160m 12．如图，已知在直角梯形AOBC中，AC∥OB，CB⊥OB，OB=18，BC=12，AC=9，对角线OC、AB交于点D，点E、F、G分别是CD、BD、BC的中点，以O为原点，直线OB为x轴建立平面直角坐标系，则G、E、D、F四个点中与点A在同一反比例函数图象上的是（     ） A．点G B．点E C．点D D．点F 第二部分（非选择题 共84分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 13．把y=2x2﹣6x+4配方成y=a（x﹣h）2+k的形式是 . 14．如图,一棵树BC的高10米,一只小鸟在地面上的A处沿着倾斜角为30°的方向直飞向树梢B处,则小鸟飞行的路程是 米. 15．一座石拱桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系为，当水面的宽度为16米时，水面离桥拱顶的高度为 m． 16．记实数，中的最小值为，例如，当取任意实数时，则的最大值为 ． 17．为预防传染病，某校定期对教室进行“药熏消毒”，已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量与燃烧时间（分钟）成正比例；烧灼后，与成反比例（如图所示）.现测得药物分钟燃烧完，此时教室内每立方米空气含药量为.研究表明当每立方米空气中含药量低于时，对人体方能无毒作用，那么从消毒开始，至少需要经过 分钟后，学生才能回到教室. 18. 如图，在平面直角坐标系中，菱形ABOC的顶点O在坐标原点,，顶点C的坐标为,的图象与菱形对角线AO交于点D，连接BD，当轴时，k的值是_________． 第16题图 三、解答题（本大题共7小题，满分66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（8分）如图，A，B，C三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC'B'，求tanB'的值． 20．（8分）已知点在抛物线上，过点作轴，交抛物线于另一点，求的面积． 21.（8分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数图象的顶点坐标为，该图象与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，其中点A的横坐标为1． （1）求该二次函数的表达式； （2）求． 22．（9分）某商家计划从厂家采购空调和冰箱两种产品共20台，空调的采购单价y1（元/台）与采购数量x1（台）满足y1=﹣20x1+1500（0＜x1≤20，x1为整数）；冰箱的采购单价y2（元/台）与采购数量x2（台）满足y2=﹣10x2+1300（0＜x2≤20，x2为整数）． （1）经商家与厂家协商，采购空调的数量不少于冰箱数量的 ，且空调采购单价不低于1200元，问该商家共有几种进货方案？ （2）该商家分别以1760元/台和1700元/台的销售单价售出空调和冰箱，且全部售完．在（1）的条件下，问采购空调多少台时总利润最大？并求最大利润． 23．（9分）已知反比例函数（k≠0）的图象经过点（1，﹣k+2）． （1）求这个反比例函数的表达式； （2）若（a，y1），（a+1，y2）是这个反比例函数图象上同一象限内的两个点，请比较y1、y2的大小，并说明理由． 24．（12分）如图，一次函数与函数为的图象交于两点．    (1)求这两个函数的解析式； (2)根据图象，直接写出满足时x的取值范围； (3)点P在线段上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数的图象于点Q，若面积为3，求点P的坐标． 25．（12分）直线与双曲线交于点A（2，3），与y轴交于点B． （1）求k，b的值； （2）如图1，点C是直线上第一象限内的一点，过点C作CE⊥x轴，垂足为点E，交双曲线于点D，当时，求的值； （3）如图2，已知点P是双曲线上一动点，连接OA，OP，当∠AOP＝∠BAO时，求点P的坐标． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上学期期中模拟卷 数学·参考答案 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B B A D B B A D A B A A 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 13． y=2（x-）2- 14．20 15．4 16．3 17．50 18． 三、解答题（本大题共7小题，满分66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（8分）【详解】解：根据旋转的性质可得：∠B＝∠B′， ∴tanB'＝tanB．······（3分） ∵tanB＝，······（2分） ∴tanB'＝．······（3分） 20．（8分）【详解】解：点在抛物线上， ， ，······（2分） 过点作轴，交抛物线于另一点， 由抛物线的对称性可知，当时，，······（2分） ， ，······（2分） 的面积．······（2分） 21．（8分）【小问1详解】 解：由题意可设抛物线解析式为：，． 把代入，得，······（2分） 解得． 故该二次函数解析式为；······（1分） 【小问2详解】 解：令，则．则．······（2分） 因为二次函数图象的顶点坐标为，，则点B与点A关于直线对称， 所以． 所以．······（1分） 所以，即．······（2分） 22．（9分）【详解】：（1）设空调的采购数量为x台，则冰箱的采购数量为（20﹣x）台， 由题意得，， 解不等式①得，x≥11， 解不等式②得，x≤15， 所以，不等式组的解集是11≤x≤15，······（2分） ∵x为正整数， ∴x可取的值为11、12、13、14、15， 所以，该商家共有5种进货方案；······（2分） （2）设总利润为W元， y2=﹣10x2+1300=﹣10（20﹣x）+1300=10x+1100， 则W=（1760﹣y1）x1+（1700﹣y2）x2，······（2分） =1760x﹣（﹣20x+1500）x+（1700﹣10x﹣1100）（20﹣x）， =1760x+20x2﹣1500x+10x2﹣800x+12000， =30x2﹣540x+12000， =30（x﹣9）2+9570， 当x＞9时，W随x的增大而增大， ∵11≤x≤15，······（1分） ∴当x=15时，W最大值=30（15﹣9）2+9570=10650（元）， 答：采购空调15台时，获得总利润最大，最大利润值为10650元．······（2分） 23．（9分）【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， 解得． ∴这个反比例函数的解析式是；······（3分） ①当时，则， ∵反比例函数的图象在第一象限内是减函数， ∴；······（2分） ②当时，则， 由图象知；······（2分） 当时，则， ∵反比例函数的图象在第三象限内是减函数， ∴．······（2分） 24．（12分）【详解】（1）解：将代入，可得， 解得， 反比例函数解析式为；······（2分） 在图象上， ， ， 将，代入，得： ， 解得， 一次函数解析式为；······（2分） （2）解：，理由如下： 由（1）可知， 当时，， 此时直线在反比例函数图象上方，此部分对应的x的取值范围为， 即满足时，x的取值范围为；······（3分） （3）解：设点P的横坐标为， 将代入，可得， ． 将代入，可得， ． ， ，······（2分） 整理得， 解得，， 当时，， 当时，， 点P的坐标为或．······（3分） 25．（12分）【详解】解：（1）将点A（2，3）代入yx+b，得：32+b， 解得：b＝2； 将点A（2，3）代入y，得：3， 解得：k＝6；······（3分） （2）如图1，过点A、C分别作AF⊥y轴于F，CG⊥y轴于点G， 则AF∥CG， ∴△BAF∽△BCG， ∴， ∴CGAF＝3， ∴C（3，），······（2分） ∵CE⊥x轴， ∴D（3，2），E（3，0）， ∴CE，DE＝2， ∴；······（2分） （3）当点P在OA的右侧时，如图2， ∵∠AOP＝∠BAO， ∴OP∥AB， ∵直线AB的解析式为yx+2， ∴直线OP的解析式为yx， 联立得：x， 解得：x＝2或x＝﹣2（舍去）， 当x＝2时，y， ∴点P的坐标为（2，）；······（2分） 当点P在OA的左侧时，如图3，设OP与AB交于点Q， ∵∠AOP＝∠BAO， ∴AQ＝OQ， 设Q（m，m+2）， ∴AQ2＝OQ2， ∴（m﹣2）2+（m+2﹣3）2＝m2+（m+2）2， 解得：m， ∴Q（，）， 设直线OP的解析式为y＝tx，则t， 解得：t， ∴直线OP的解析式为yx， 联立得：x， 解得：x或x（舍去），······（2分） 当x时，y， ∴点P的坐标为（，）； 综上所述，点P的坐标为（2，）或（，）．······（1分） 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级上学期期中模拟卷 数学卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：鲁教版五四制九年级数学上册第1~3章（反比例函数+直角三角形的边角关系+二次函数）。 第一部分（选择题 共36分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．反比例函数的图象位于（     ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限 2．在公式ρ=中，当质量m一定时，密度与体积V之间的函数关系可用图象表示为（     ） A． B． C． D． 3．比较和的大小（     ） A． B． C． D．不确定 4．在二次函数①y＝－x2　②y＝2x2 ③y＝－x2 ④y＝x2 中，图像开口向上且开口较大的是（     ） A．① B．② C．③ D．④ 5．已知是等腰直角三角形的一个锐角，则的值为（     ） A． B． C． D．1 6．根据下列表格的对应值：判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一个根x的大致范围是（     ） x 6.17 6.18 6.19 6.20 ax2＋bx＋c −0.03 −0.01 0.02 0.04 A．6.19<x<6.20 B．6.18<x<6.19 C．6.17<x<6.18 D．6<x<6.17 7．将抛物线y＝（x+2）2﹣5向左平移2个单位，再向上平移5个单位，平移后所得抛物线的解析式为（     ） A．y＝（x+4）2 B．y＝x2 C．y＝x2﹣10 D．y＝（x+4）2﹣10 8．如图，将一副三角尺按如图所示的方式摆放，组成四边，，，，连接，则的值为（     ） A． B． C． D． 9．反比例函数y=中，当x＞0时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（     ） A．m＞ B．m＜2 C．m＜ D．m＞2 10．某药品研究所开发一种抗菌新药，临床实验中测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x（小时）之间的函数关系图象由一条线段和一段曲线组成，如图（当时，y与x成反比例）．则血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为（     ）    A．4小时 B．6小时 C．8小时 D．10小时 11．如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为120m，则这栋楼的高度为（     ） 如 A．160m B．120m C．300m D．160m 12．如图，已知在直角梯形AOBC中，AC∥OB，CB⊥OB，OB=18，BC=12，AC=9，对角线OC、AB交于点D，点E、F、G分别是CD、BD、BC的中点，以O为原点，直线OB为x轴建立平面直角坐标系，则G、E、D、F四个点中与点A在同一反比例函数图象上的是（     ） A．点G B．点E C．点D D．点F 第二部分（非选择题 共84分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 13．把y=2x2﹣6x+4配方成y=a（x﹣h）2+k的形式是 . 14．如图,一棵树BC的高10米,一只小鸟在地面上的A处沿着倾斜角为30°的方向直飞向树梢B处,则小鸟飞行的路程是 米. 15．一座石拱桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系为，当水面的宽度为16米时，水面离桥拱顶的高度为 m． 16．记实数，中的最小值为，例如，当取任意实数时，则的最大值为 ． 17．为预防传染病，某校定期对教室进行“药熏消毒”，已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量与燃烧时间（分钟）成正比例；烧灼后，与成反比例（如图所示）.现测得药物分钟燃烧完，此时教室内每立方米空气含药量为.研究表明当每立方米空气中含药量低于时，对人体方能无毒作用，那么从消毒开始，至少需要经过 分钟后，学生才能回到教室. 18. 如图，在平面直角坐标系中，菱形ABOC的顶点O在坐标原点,，顶点C的坐标为,的图象与菱形对角线AO交于点D，连接BD，当轴时，k的值是_________． 第16题图 三、解答题（本大题共7小题，满分66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（8分）如图，A，B，C三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC'B'，求tanB'的值． 20．（8分）已知点在抛物线上，过点作轴，交抛物线于另一点，求的面积． 21.（8分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数图象的顶点坐标为，该图象与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，其中点A的横坐标为1． （1）求该二次函数的表达式； （2）求． 22．（9分）某商家计划从厂家采购空调和冰箱两种产品共20台，空调的采购单价y1（元/台）与采购数量x1（台）满足y1=﹣20x1+1500（0＜x1≤20，x1为整数）；冰箱的采购单价y2（元/台）与采购数量x2（台）满足y2=﹣10x2+1300（0＜x2≤20，x2为整数）． （1）经商家与厂家协商，采购空调的数量不少于冰箱数量的 ，且空调采购单价不低于1200元，问该商家共有几种进货方案？ （2）该商家分别以1760元/台和1700元/台的销售单价售出空调和冰箱，且全部售完．在（1）的条件下，问采购空调多少台时总利润最大？并求最大利润． 23．（9分）已知反比例函数（k≠0）的图象经过点（1，﹣k+2）． （1）求这个反比例函数的表达式； （2）若（a，y1），（a+1，y2）是这个反比例函数图象上同一象限内的两个点，请比较y1、y2的大小，并说明理由． 24．（12分）如图，一次函数与函数为的图象交于两点．    (1)求这两个函数的解析式； (2)根据图象，直接写出满足时x的取值范围； (3)点P在线段上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数的图象于点Q，若面积为3，求点P的坐标． 25．（12分）直线与双曲线交于点A（2，3），与y轴交于点B． （1）求k，b的值； （2）如图1，点C是直线上第一象限内的一点，过点C作CE⊥x轴，垂足为点E，交双曲线于点D，当时，求的值； （3）如图2，已知点P是双曲线上一动点，连接OA，OP，当∠AOP＝∠BAO时，求点P的坐标． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $