1.1 反比例函数 学案 2025-2026学年鲁教版（五四制）数学九年级上册

该初中数学导学案围绕反比例函数展开，梳理其概念、自变量取值范围、表达式确定及判定方法，以函数定义为基础，通过本质特征（xy=k，k≠0）搭建学习支架，衔接前后知识，为后续学习奠定基础。 特色在于同步训练题型丰富，涵盖选择、填空及解答题，结合实际问题（如装订练习本）培养学生用数学眼光观察现实世界的能力，参考答案详解过程，助力学生通过推理与运算发展数学思维，强化模型意识与应用意识，提升自主学习效率。

1.1 反比例函数 知识梳理 核心结论：1.1 重点围绕反比例函数的概念、自变量取值范围、表达式确定及判定方法展开，是反比例函数章节的基础。 一、反比例函数的定义 · 一般形式：两个变量x、y之间的关系可表示为 （k为常数，且k≠0），则称y是x的反比例函数。 · 本质特征：两个变量的乘积为定值（xy=k，k≠0），这是从现实问题中抽象出的核心关系。 二、自变量的取值范围 · 由于反比例函数表达式中x在分母位置，分母不能为0，因此自变量x的取值范围是x≠0的实数。 三、反比例函数表达式的确定 · 关键步骤：利用待定系数法，已知一组x、y的对应值（或一个点的坐标），代入 中，求出常数k的值，即可确定函数表达式。 · 示例：若x=-3时y=4，代入得4=k/(-3)，解得k=-12，函数表达式为 。 四、反比例函数的判定 · 看表达式：能否转化为 （k为常数，k≠0）的形式。 · 看数量关系：两个变量的乘积是否为非零常数，若xy=k（k≠0），则y是x的反比例函数。 同步训练 一、单选题 1．在函数①；②；③；④中，反比例函数有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．反比例函数的图象一定经过的点是（   ） A． B． C． D． 3．下列函数中，是的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，若点在反比例函数的图像上，则的值为（   ） A． B．2 C． D．4 5．若点在反比例函数的图象上，则代数式的值为（    ） A．0 B． C．2 D．8 6．下列各说法中的两种量成反比例关系的是（   ） A．圆的面积与它的半径 B．三角形的面积一定，它的边长和该边上的高 C．看一本书，已看页数和未看页数 D．速度一定，行驶路程与时间 二、填空题 7．若是反比例函数，则的值为 ． 8．在反比例函数中，若，则x的取值范围为 . 9．某蓄电池的电压为，使用此蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）的函数表达式为．当时，的值为 ． 10．下列函数关系式：（1）；（2）；（3）；（4）（5），其中表示是的反比例函数的是 （填入序号）． 三、解答题 11．已知反比例函数，求： (1)自变量的取值范围． (2)当时，函数的值． (3)当时，自变量的值． 12．用一批纸装订同样大小的练习本，每本的页数和可以装订的本数如下表： 每本的页数 16 20 25 30 60 可以装订的本数 225 180 60 (1)将表格补充完整． (2)判断每本的页数和可以装订的本数是否成反比例，并说明理由． (3)如果现在需要用这批纸装订本同样大小的练习本，那么每本练习本有多少页？ 13．已知，若与成正比例关系，与x成反比例关系，且当时，；时，． (1)求y与x的函数关系式： (2)求时，y的值． 14．已知：． (1)化简； (2)若函数为反比例函数，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 《1.1 反比例函数 同步训练 2025-2026学年鲁教版（五四制）数学九年级上册》参考答案 1．D 【分析】本题考查了反比例函数的定义．根据反比例函数的定义，逐项分析判断即可．解析式符合的形式为反比例函数． 【详解】解：①函数中，y是x正比例函数； ②函数中，y是x反比例函数； ③函数中，y是x反比例函数； ④函数中，y是x的反比例函数． 综上所述，是反比例函数的有②③④，共计3个． 故选：D． 2．A 【分析】本题考查了反比例函数的定义． 通过计算各选项的x值对应的y值，验证是否与点的y坐标一致即可． 【详解】解：A．当时，，与点的y坐标一致，成立； B．当时，，不成立； C．当时，，不成立； D．当时，，不成立． 故选：A． 3．B 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，一般地，形如（为常数，）的函数是反比例函数，据此求解即可． 【详解】解：由反比例函数的定义可知，四个函数中只有函数是反比例函数， 故选：B． 4．A 【分析】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征，将点代入反比例函数解析式，求解的值． 【详解】解：∵点 在的图像上， ∴， ∴的值为， 故选：A． 5．D 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，先把点代入反比例函数，求出的值，进而可得出结论． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴． 故选：D． 6．B 【分析】本题考查反比例关系的定义，熟练掌握反比例关系的定义是解题的关键． 根据选项分别得出关系式，再进行判断即可． 【详解】解：选项A、圆的面积半径半径，，则圆的面积与半径不成反比，故不符合题意； 选项B、三角形的面积底高，则三角形的面积一定，它的边长和该边上的高成反比，故符合题意； 选项C、总页数已看页数未看页数，则看一本书，已看页数和未看页数不成反比，故不符合题意； 选项D、速度路程时间，则速度一定，行驶路程与时间不成反比，故不符合题意； 故选：B． 7． 【分析】本题考查了反比例函数的定义，理解其定义是解题的关键． 根据反比例函数的定义解题即可． 【详解】解：由题意知，， 解得：． 故答案为：． 8． 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质和图象，的图象在第一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小，由此可解． 【详解】解： 中比例系数大于0， 图象在第一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小， 当时，， 当时，， 若，则x的取值范围为， 故答案为：． 9． 2 【分析】本题考查的是求反比例函数值，直接将代入中可得I的值． 【详解】解：当时，的值为， 故答案为：2． 10． 【分析】本题主要考查了反比例函数，根据反比例函数的定义，形如 （ 为常数，）的函数是反比例函数．逐一判断各选项是否符合此形式． 【详解】解： ，是正比例函数，故不符合反比例函数形式； ，可化为 形式，其中 ，故是反比例函数； ，可化为 形式，其中 ，故是反比例函数； ，即 ，含有常数项，故不符合反比例函数形式； ，分母是 而非 ，故不符合反比例函数形式． 故答案为：． 11．(1) (2)4 (3) 【分析】本题考查了反比例函数自变量的取值范围、反比例函数图象上点的坐标特征，理解反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． （1）根据反比例函数的定义求自变量的取值范围； （2）根据反比例函数图象上点的坐标特征进行解答； （3）根据反比例函数图象上点的坐标特征进行解答． 【详解】（1）由反比例函数的定义和分式的意义可知，． （2）将代入中，得． （3）将代入中，得，解得． 12．(1)见解析 (2)成反比例，理由见解析 (3) 页 【分析】本题考查了反比例函数，（1）先根据已知的每本页数和装订本数算出总页数，再用总页数除以对应页数得到装订本数；（2）根据反比例函数的定义判断即可；（3）用（1）中得到的总页数除以本，即可得到每本的页数. 【详解】（1）解：总页数为：（页）； 当页数为页时，本数为：（本）； 当页数为页时，本数为：（本）； 故表格如下： 每本的页数 16 20 25 30 60 可以装订的本数 225 180 144 120 60 （2）解：每本的页数和可以装订的本数成反比例；理由如下： 根据表中的数据可知，每本的页数随装订本数的变化而变化，总页数一定，即每本的页数和装订的本数的积一定，所以成反比例. （3）解：（页）． 故每本练习本有页． 13．(1)； (2)时，． 【分析】本题考查的知识点有正比例关系、反比例关系，函数解析式的求法，确定函数解析式的关键是正确理解图象上的点与函数解析式的关系． （1）由与成正比例关系，与x成反比例关系．分别设，并把、代入中，然后把所给两组数分别代入求出、，即可求出与的函数关系式． （2）把代入（1）中的解析式即可得到答案． 【详解】（1）解：设 ， 则 ， 依题意得 ， 解得 ， ； （2）解：当时，． 14．(1) (2) 【分析】本题主要考查反比例函数的定义和分式的化简求值，正确计算是解答本题的关键． （1）根据分式的除法法则进行计算即可； （2）由反比例函数的定义求出，再代入（1）化简的结果进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵函数为反比例函数， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $