第三单元 分数除法 培优精讲（知识梳理+13个考点讲练+巩固练习 共56题）-2025-2026学年人教版数学六年级上学期

第三单元 分数除法 培优精讲 目录 知识梳理 1 知识点一：倒数的认识与求法 1 知识点二：分数除以整数的计算法则 2 知识点三：一个数除以分数的计算法则 2 知识点四：分数混合运算顺序与简便计算 3 知识点五：分数除法应用题解题策略 3 知识点六：易错点与培优技巧 4 考点练习 4 考点一：倒数的认识 4 考点二：分数的平均分 5 考点三：分数与整数的除法 6 考点四：分数与分数的除法 6 考点五：被除数与商的大小关系（分数除法） 7 考点六：分数的连除运算 9 考点七：分数的乘、除法的混合运算 10 考点八：分数除法相关的简便计算 11 考点九：解分数方程 15 考点十：已知一个数的几分之几是多少，求这个数 17 考点十一：已知比一个数多/少几分之几是多少，求这个数 19 考点十二：已知一部分量占总量的几分之几及另一部分量，求总量 20 考点十三：运用转化法或倒推法解决稍复杂的分数应用题 21 巩固练习 23 知识梳理 知识点一：倒数的认识与求法 倒数的定义：乘积是1的两个数互为倒数。强调“互为”的双向关系，即a是b的倒数，b也是a的倒数。 求倒数的方法： 分数：交换分子分母的位置（如3的倒数是） 整数：看作分母是1的分数（如5的倒数是） 小数：先化成分数再求倒数（如0.25=，倒数是4） 特殊数的倒数： 1的倒数是1（） 0没有倒数（0不能作除数） 倒数性质：真分数的倒数大于1，假分数的倒数小于或等于1 知识点二：分数除以整数的计算法则 计算方法： 方法一：分子直接除以整数（适用于分子是整数倍数的情况） 公式：（） 方法二：乘整数的倒数（通用方法） 公式：（） 例： 计算步骤： 1.转化：将除法转化为乘法（除以一个数=乘这个数的倒数） 2.约分：分子分母交叉约分 3.计算：分子相乘作分子，分母相乘作分母 注意事项：结果必须是最简分数，带分数需先化成假分数 知识点三：一个数除以分数的计算法则 算理推导： 借助具体情境理解：表示“2里面有几个” 几何直观：用线段图表示包含除关系 计算法则：除以一个不为零的数，等于乘这个数的倒数 公式：（，） 计算步骤： 1.变号：除号变乘号 2.倒数：除数变为它的倒数 3.约分：交叉约分简化计算 4.求解：分子分母分别相乘 统一法则：分数除法统一转化为乘法计算，即甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数 知识点四：分数混合运算顺序与简便计算 运算顺序： 同级运算：从左往右依次计算 不同级运算：先算乘除，后算加减 有括号的：先算小括号里面的，再算中括号里面的 简便运算定律（与整数相同）： 乘法交换律： 乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c) 乘法分配律： 常见简算类型： 连除变连乘： 分配律应用： 拆分法：将带分数拆成整数加分数（如） 知识点五：分数除法应用题解题策略 关键步骤： 1.找：找准单位“1”的量（通常在“是、占、比”后面） 2.判：判断单位“1”的量是已知还是未知（已知用乘法，未知用除法） 3.列：根据数量关系列算式 4.算：准确计算结果 基本数量关系： 已知单位“1”的几分之几是多少，求单位“1”：对应量÷对应分率=单位“1”的量 求一个数是另一个数的几分之几：比较量÷标准量=分率 复杂问题解题技巧： 画线段图分析数量关系 转化单位“1”（如甲是乙的，乙是丙的，则甲是丙的） 抓住不变量解题（部分量不变、总量不变或差不变） 知识点六：易错点与培优技巧 易错点警示： 混淆“除”和“除以”：a除以b写作，a除b写作 倒数概念错误：认为0有倒数或1没有倒数 计算时忘记乘倒数：如0（错误） 应用题中对应分率找错：部分量与分率不对应 培优解题技巧： 设数法：对于缺少具体数据的题目，设单位“1”为具体数 转化法：将分数除法转化为比的问题解决 验证法：用乘法验算除法结果是否正确 对比法：对比乘除法应用题的异同点 考点练习 考点一：倒数的认识 例题：两个连续自然数的倒数和是，这两个自然数分别是( )和( )。 【答案】 3 4 【分析】乘积是1的两个数互为倒数，整数的倒数是这个整数分之一，假设这两个连续自然数分别是x和y，那么它们的倒数分别是和，异分母分数相加减，先通分再计算，因此，＋＝，写出通分过程，通过x和y之间的关系，即可求出这两个自然数。 【详解】假设这两个连续自然数分别是x和y。 ＋＝＋＝＋＝ 可得x＋y＝7、x×y＝12 因为3＋4＝7、3×4＝12 所以x和y分别是3和4，这两个自然数分别是3和4 跟踪练习：的倒数是( )；0.3的倒数是( )。 【答案】 【分析】根据倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数；把小数化成分数；再根据分数倒数的求法：把分子分母调换位置，即可求出倒数。 【详解】的倒数是； 0.3＝ 的倒数是，即0.3的倒数是。 的倒数是；0.3的倒数是。 考点二：分数的平均分 例题：，表示( )个( )平均分成( )份，每份是( )个( )，也就是( )。 【答案】 8 4 2 【分析】根据分数的意义可知，表示的是8个，再根据除法的意义可知，除以4就是把平均分成4份，即可得到2个，就是。据此解答。 【详解】，表示8个平均分成4份，每份是2个，也就是。 跟踪练习：把kg糖果平均装到4个盘子里，每个盘子装( )kg，每盘的重量占这些糖果的( )。 【答案】 【分析】已知把kg糖果平均装到4个盘子里，用糖果的总质量除以4，即可求出每个盘子装糖果的质量； 把糖果的总质量看作单位“1”，平均分成4份，用1除以4，即是每盘的重量占这些糖果的几分之几。 【详解】÷4 ＝× ＝（kg） 1÷4＝ 每个盘子装kg，每盘的重量占这些糖果的。 考点三：分数与整数的除法 例题：直接写出得数。                           【答案】6；；；28.26 0；；； 【解析】略 跟踪练习：算一算。                           【答案】；；；； ；；； 【分析】分数除以整数等于分数乘这个整数的倒数，然后计算结果即可。整数的倒数是指将整数视为分母为1的分数，然后将分子分母交换位置。 【详解】略 考点四：分数与分数的除法 例题：口算。                                                                               【答案】；；；； ；40；；2 【解析】略 跟踪练习：计算下面各题。（写出计算过程）                   【答案】2；； 45；； 【分析】根据“分数除法计算规则：除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数"。据此分别计 算各个算式即可。 【详解】 考点五：被除数与商的大小关系（分数除法） 例题：在（    ）里填上“＞”“＜”或“＝”。 ÷( )        ÷( )        ×( )0.6× ×( )        7÷5( )7×          ×( )÷ 【答案】 ＞ ＜ ＝ ＜ ＝ ＜ 【分析】（1）被除数大于0时，被除数除以小于1的数，所得结果一定大于原来这个数； （2）被除数大于0时，被除数除以大于1的数，所得结果一定小于原来这个数； （3）先把转化为0.6，由乘法交换律a×b＝b×a可知，×0.6＝0.6×； （4）一个大于0的数乘小于1的数，积比原来的数小； （5）除以一个数等于乘这个数的倒数，把除法转化为分数乘法； （6）一个大于0的数乘小于1的数，积比原来的数小；被除数大于0时，被除数除以小于1的数，所得结果一定大于原来这个数；括号两边的算式先和比较大小，再比较括号两边算式的大小关系，据此解答。 【详解】（1）因为＜1，所以÷＞； （2）因为＞1，所以÷＜； （3）×＝×0.6，因为×0.6＝0.6×，所以×＝0.6×； （4）×＝×，因为＜1，所以×＜，即×＜； （5）7÷5＝7×； （6）因为＜1，所以×＜，÷＞，即×＜÷。 综上所述，÷＞，÷＜，×＝0.6×，×＜，7÷5＝7×，×＜÷。 跟踪练习：在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )                ( ) ( )            ( ) 【答案】 ＞ ＜ ＝ ＜ 【分析】两个数的积与其中一个因数比较大小，（两个因数都不为0），要看另一个因数；如果另一个因数大于1，则积大于这个因数；如果另一个因数小于1，则积小于这个因数；如果另一个因数等于1，则积等于这个因数。 两个不为0的数相除，当除数大于1时，商小于被除数；当除数等于1时，商等于被除数；当除数小于1时，商大于被除数。 甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数。据此解答即可。 【详解】因为＞1，所以＞； 因为＞1，所以＜； 因为2与互为倒数，所以＝； 因为＜1，则＜，＞，所以＜。 考点六：分数的连除运算 例题：看图列式计算。 【答案】135÷÷＝360（本） 【分析】线段图的意思是：已知艺术类图书有135本，艺术类图书是文学类图书的，文学类图书是科技类图书的，求科技类图书有多少本？ 先把文学类图书的本数看作单位“1”，艺术类图书是文学类图书的，单位“1”未知，用艺术类图书的本数除以，求出文学类图书的本数； 再把科技类图书的本数看作单位“1”，文学类图书是科技类图书的，单位“1”未知，用文学类图书的本数除以，求出科技类图书的本数。 【详解】135÷÷ ＝135×2× ＝270× ＝360（本） 跟踪练习：直接写出得数。                                                                            【答案】27；；16；；； 0；；；； 【详解】略 考点七：分数的乘、除法的混合运算 例题：脱式计算。          【答案】；； 【分析】除以一个数（0除外）等于乘这个数的倒数，将分数乘除混合运算转化为分数连乘，然后先约分，再计算。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 跟踪练习：脱式计算，能简便的要简便。                             【答案】；； 【分析】（1）先把算式写成，再根据乘法分配律a×c＋b×c＝（a＋b）×c进行简便计算； （2）根据四则运算顺序，先算小括号里的减法，再算中括号里的加法，最后算中括号外的除法； （3）根据四则运算顺序，从左到右依次计算。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 考点八：分数除法相关的简便计算 例题：脱式计算，能使用简便运算的尽量用简便运算。                                     【答案】0； ； ；；9 【分析】（1）将分数除法转化成分数乘法，再根据减法的性质进行简便计算（也可直接根据四则运算法依次计算）； （2）根据四则运算法则“先乘除、后加减、有括号先算括号里面的”依次进行计算； （3）根据四则运算法则“先乘除、后加减、有括号先算括号里面的”依次进行计算； （4）根据乘法分配律逆运算，进行简便计算； （5）先将分数除法转化成分数乘法，再根据乘法分配律逆运算，进行简便计算； （6）根据四则运算法则“先乘除、后加减、有括号先算括号里面的”依次进行计算； 【详解】（1） ＝1－1 ＝0 （2） （3） （4） （5） （6） ＝9 跟踪练习：脱式计算，能简算的要简算。                                                      【答案】；588； ；； 【分析】按照从左到右的顺序计算即可； 先算除法，再算乘法； 先把除法变为乘法，即÷6＝×，再根据乘法分配律的逆运算把原式化为（＋）×进行简算； 先把除以8变为乘，再根据乘法分配律把原式化为88×＋×进行简算； 根据乘法分配律的逆运算把原式化为（＋）×进行简算； 先算乘法，再算除法。 【详解】   ＝× ＝ 6÷×28 ＝6××28 ＝21×28 ＝588 ＝×＋× ＝（＋）× ＝1× ＝ （88＋）÷8 ＝（88＋）× ＝88×＋× ＝11＋ ＝ ×＋× ＝（＋）× ＝× ＝ ＝× ＝ 考点九：解分数方程 例题：解方程。 x－＝          x＋x＝÷          （x－12）×＝15 【答案】x＝；x＝；x＝30 【分析】第一题，利用等式的性质，等式两边同时加，等式右边计算出结果后，再利用等式的性质，等式两边同时除以后，即可解得方程。 第二题，等式左右两边分别计算出结果后（左侧加法、右侧除法），再利用等式的性质，同时除以x的系数，即可解得方程。 第三题，等式两边同时除以，等式右边计算出结果后，再利用等式的性质，等式两边同时加12后，即可解得方程。 【详解】x－＝ 解：x－＋＝＋ x＝ x÷＝÷ x＋x＝÷ 解： （x－12）×＝15 解：（x－12）×÷＝15÷ 跟踪练习：解下列方程。                             【答案】；； 【分析】（1）根据等式性质1，方程两边同时减去，再根据等式性质2，方程两边同时除以，据此解方程即可； （2）先根据乘法分配律的逆运算对方程左边进行化简，再根据等式性质2求解方程即可； （3）先根据等式性质2，方程两边同时乘，再根据等式性质2，方程两边同时除以3，据此解方程即可。 【详解】 解： 解： 解： 考点十：已知一个数的几分之几是多少，求这个数 例题：某电视机厂去年下半年比上半年多生产电视机12万台，其中上半年的产量是下半年的，这个电视机厂去年上半年和下半年的产量各是多少？（先画出线段图，再列方程解答） 【答案】作图见详解；48万台；60万台 【分析】将下半年产量看作单位“1”，画一条线段表示下半年产量，上半年的产量是下半年的，将表示下半年产量的线段平均分成5份，上半年的产量有这样的4份，据此画出表示上半年产量的线段，标记问题和数据。设下半年的产量是x万台，则上半年的产量是x万台，根据下半年的产量－上半年的产量＝12万台，列出方程求出x的值是下半年产量，下半年产量－下半年和上半年的产量差＝上半年产量。 【详解】 解：设下半年的产量是x万台。 x－x＝12 x＝12 x÷＝12÷ x＝12×5 x＝60 60－12＝48（万台） 答：这个电视机厂去年上半年和下半年的产量各是48万台、60万台。 跟踪练习：一辆汽车从甲城开往乙城，第一小时行了全程的，第二小时行了90千米。这时距乙城还有全程的。甲、乙两城相距多少千米？ 【答案】300千米 【分析】由题意知：汽车第一小时行了全程的，第二小时的时候汽车距乙城还有全程的，则第二小时汽车行驶了全程的，又知：汽车第二小时行了90千米，故甲、乙两城之间的距离＝汽车第二小时行的路程÷汽车第二小时行的路程对应的分率，据此列式求解即可。 【详解】 ＝300（千米） 答：甲、乙两城相距300千米。 考点十一：已知比一个数多/少几分之几是多少，求这个数 例题：敦煌石窟是中国甘肃敦煌一带的石窟总称。包括莫高窟、西千佛洞、东千佛洞和榆林窟等。其中最大的石窟——莫高窟高为40米，高比宽多，莫高窟的宽是多少米？ 【答案】30米 【分析】把宽的长度看作单位“1”，高是宽的（1＋），已知一个数的几分之几是多少，求这个数的问题的解法：已知量÷已知量占单位“1”的几分之几＝单位“1”的量。据此列式为：40÷（1＋）。 【详解】40÷（1＋） ＝40÷ ＝40× ＝30（米） 答：莫高窟的宽是30米。 跟踪练习：爷爷分别买了一套《三国演义》和一套《西游记》精装本。一套《三国演义》的价格是121元，比一套《西游记》的价格便宜，一套《西游记》的价格是多少元？ 【答案】220元 【分析】一套《三国演义》比一套《西游记》的价格便宜，以一套《西游记》的价格为单位“1”，是未知量，则一套《三国演义》是一套《西游记》的价格的（1－），已知一个数的几分之几求这个数，用除法。计算时，除以一个分数相当于乘这个分数的倒数即可。 【详解】121÷（1－） ＝121÷ ＝121× ＝220（元） 答：一套《西游记》的价格是220元。 考点十二：已知一部分量占总量的几分之几及另一部分量，求总量 例题：为了丰富学生的课余生活，红星小学开展了学生课后社团活动。六年级原来参加象棋社的女生人数是男生人数的，后来又增加了14名女生，这时男生人数是女生的。原来参加象棋社的女生有多少名？ 【答案】18名 【分析】男生人数没变，将男生人数看作单位“1”，后来又增加了14名女生，这时男生人数是女生的，则女生人数是男生人数的，增加的女生人数对应分率是（－），增加的女生人数÷对应分率＝男生人数，男生人数×原来女生对应分率＝原来女生人数，据此列式解答。 【详解】将男生人数看作单位“1”，则现在的女生人数为男生人数的。 14÷（－） ＝14÷（－） ＝14÷ ＝14× ＝24（名） 24×＝18（名） 答：原来参加象棋社的女生有18名。 跟踪练习：货车和客车分别从甲、乙两地同时出发，相向而行，货车每小时行48千米，客车每小时行64千米，当货车行至全程的时，客车距离货车24千米。 （1）甲乙两地相距多少千米？ （2）两车继续行驶，货车还需多少小时到达乙地？ 【答案】（1）80千米 （2）小时 【分析】（1）把甲乙两地的总距离看作单位“1”，根据，两车同时出发，所用时间相同，用货车行驶的路程所占分率除以货车的速度得到货车所用时间，也是客车所用时间，再根据，用客车所用时间乘客车的速度得到客车行驶的路程所占分率，再用单位“1”减去货车和客车行驶的路程所占分率，得到客车距离货车24千米对应的分率，然后利用部分量÷对应分率＝单位“1”的量，得到甲乙两地的总距离； （2）已经求出甲乙两地相距80千米，货车已经行驶了全程的，那么货车剩余的路程就是。计算出剩余路程后，根据计算出时间即可。 【详解】（1） 1－－＝ （千米） 答：甲乙两地相距80千米。 （2） （千米） 56÷48＝（小时） 答：货车还需小时到达乙地。 【点睛】根据行程问题的基本公式和分数的运算知识求出部分量所占分率，进而求出单位“1”的量是解题关键。 考点十三：运用转化法或倒推法解决稍复杂的分数应用题 例题：六（1）班同学打算利用周末做一些手工拿去义卖，上午做了全部手工的，下午做了全部的，上午比下午多做了32份手工，六（1）班同学打算一共做多少份手工？（用方程解答） 【答案】960份 【分析】设六（1）班同学打算一共做x份手工，上午做了全部手工的，上午做了x份手工，下午做了全部的，下午做了x份手工，上午比下午多做了32份手工，即上午做的手工的份数－下午做的手工的份数＝32份手工，列方程：x－x＝32，解方程，即可解答。 【详解】解：设六（1）班同学打算一共做x份手工。 x－x＝32 x－x＝32 x＝32 x＝32÷ x＝32×30 x＝960 答：六（1）班同学打算一共做960份手工。 【点睛】本题考查方程的实际应用，根据上午做的手工份数与下午做的手工份数的差与总份数之间的关系，设出未知数，找出相关的量，列方程，解方程。 跟踪练习：风采大赛之后，老师拿了一箱奖品发给获奖的同学们。将其中的发给一等奖的同学，剩下的发给二等奖的同学，一、二等奖发完后剩下的发给三等奖的同学，这时箱子里还剩下15份奖品，问箱子里原来有多少份奖品？ 【答案】45份 【分析】先把一、二等奖发完后剩下奖品的份数看作单位“1”，那么箱子里还剩下15份奖品占它的，单位“1”未知，用除法计算，求出一、二等奖发完后剩下奖品的份数； 再把一等奖发完后剩下奖品的份数看作单位“1”，那么一、二等奖发完后剩下奖品的份数占它的，单位“1”未知，用除法计算，求出一等奖发完后剩下奖品的份数； 最后把箱子里原来有奖品的总数看作单位“1”，那么一等奖发完后剩下奖品的份数占它的，单位“1”未知，用除法计算，求出箱子里原来有奖品的总数。 【详解】一、二等奖发完后剩下： （份） 一等奖发完后剩下： （份） 原来的奖品总数： （份） 答：箱子里原来有45份奖品。 【点睛】本题考查复杂的分数除法的应用，找出单位“1”，单位“1”未知，根据分数除法的意义列式计算；注意三个单位“1”的不同，采用倒推法解答。 巩固练习 1．有一袋土豆，吃了，剩下30kg，这袋土豆原有（    ）kg。 A．18 B．50 C．75 D．40 【答案】B 【分析】把这袋土豆看作单位“1”，吃了，剩下，则30kg正好是这袋土豆的，据此列分数除法算式解答。 【详解】30÷（1－） ＝30÷ ＝30× ＝50（kg） 这袋土豆原有50kg。 故答案为：B 2．“真优惠”商店里面售卖两种不同的耳机，最后都以60元的价格售出，其中一件赚了，另一件亏了，整体来看，商店是亏了还是赚了？（    ） A．赚了10元 B．亏了10元 C．亏了5元 D．不赚也不亏 【答案】C 【分析】把一件的成本价看作单位“1”，赚了，则售价相当于成本价的（1＋），根据分数除法的意义，用售价÷（1＋）就是成本价；再把另一件的成本价看作单位“1”，亏了，则售价相当于成本价的（1－），同理，用售价÷（1－）就是另一件的成本价。通过两件成本价和与售价之和比较，即可确定是亏了还是赚了。 【详解】第一件耳机的成本价：60÷（1＋）＝60÷＝50（元） 第二件耳机的成本价：60÷（1－）＝60÷＝75（元） 总成本：50＋75＝125（元） 总售价：60＋60＝120（元） 亏损：125－120＝5（元） 故答案为：C 3．（、、均大于0），下面排列正确的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将分数除法转化为乘法是b×，在乘法计算中，积相等时，一个因数越大另一个因数越小，由此判断a，b，c的大小。 【详解】 ＝ ，所以 b＞c＞a。 故答案为：B 4．大同小学参加美术小组的男生有20人，比女生少，女生有多少人？列式为（    ）。 A．20× B．20÷（1－） C．20×（1－） D．20÷（1－）－20 【答案】B 【分析】把女生的人数看作单位“1”，由题意可知男生比女生少，则男生人数是女生人数的（1－），根据分数除法的意义，用男生20人除以（1－），即可求出女生的人数。 【详解】由题意可知：女生人数×（1－）＝20人， 则女生人数为：20÷（1－） 故答案为：B 5．电影画面实际上是由许多连续拍摄的照片以每张秒的速度连续播放的。某微电影大约播放了15分钟，这个微电影用的照片大约是（    ）张。 A．36000 B．37.5 C．360 D．21600 【答案】D 【分析】根据1分钟＝60秒，大单位变为小单位，乘进率，可计算出15分钟是多少秒。用总的时间除以一张照片所用时间，即可求得这个微电影用的照片张数。 【详解】15分钟＝（15×60）秒＝900秒 900÷＝900×24＝21600（张） 所以这个微电影用的照片大约是21600张。 故答案为：D 6．由于二维码支付使用的简便，在生活中迅速推广开来。卖水果的李伯伯月初贴上二维码进行收款，本月收入3600元，比上个月多，李伯伯上个月收入( )元。 【答案】2880 【分析】把上个月的收入看作单位“1”，则本月的收入相当于上个月的（1＋）。根据“已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法”，用本月的收入（3600元）除以（1＋）就是上个月的收入。 【详解】3600÷（1＋） ＝3600÷ ＝3600× ＝2880（元） 所以李伯伯上个月收入2880元。 7．目前市场上的电动汽车充满电通常需要50～70度电。某品牌电动汽车行驶千米需要度电，这辆电动汽车行驶1千米需要( )度电，1度电可以行驶( )千米。 【答案】 //6.5 【分析】求行驶1千米，需要用多少度电，用总的用电量除以行驶的路程；求1度电可以行驶多少千米，用总的行驶路程除以总的用电量，代入计算即可。 【详解】÷＝＝（度） ÷＝×5＝（千米） 所以这辆电动汽车行驶1千米需要度电，1度电可以行驶千米。 8．两筐苹果共重66千克，如果从第一筐取出，第二筐取出2千克，两筐苹果剩下的重量刚好相等。原来第一筐苹果有( )千克，第二筐苹果有( )千克。 【答案】 36 30 【分析】根据两筐苹果共重66千克，可以把其中一筐设为x，另一筐用（66－x）来表示，根据两筐苹果剩下的重量刚好相等。找出等量关系列方程解决。第一筐取出取出，还剩。求一个数的几分之几是多少，用乘法，据此列出方程求解即可。 【详解】解：设第一筐苹果重x千克，则第二筐重（66－x）千克。 （1－）x＝66－x－2 x＝64－x x＝36 66－x＝66－36＝30 原来第一筐苹果有36千克，第二筐苹果有30千克。 9．1公顷的是( )平方米，( )升增加它的后是升。 【答案】 1250 【分析】根据求一个数的几分之几是多少？用乘法计算，因为1公顷＝10000平方米，用10000×即可。 把“它”看作单位“1”，升相当于单位“1”的（1＋） ，用对应量除以对应分率等于单位“1”的量。 【详解】1公顷＝10000平方米 10000×＝1250（平方米） ＝ ＝ （升） 所以，1公顷的是（1250）平方米，（）升增加它的后是升。 10．王老师家有一个两层的书架，原来第一层的书比第二层的书多18本，他把第一层书的放到第二层后，两层书架的本数相等，原来第一层有( )本书。 【答案】81 【分析】将原来第一层的本数看作单位“1”，他把第一层书的放到第二层后，两层书架的本数相等，说明原来第一层的书比第二层的书多的本数占原来第一层的书的本数的（），第一层和第二层的本数差÷对应分率＝原来第一层的本数。 【详解】18÷（） ＝18÷ ＝18× ＝81（本） 原来第一层有81本。 11．李老师把一根长米的绳子对折再对折后，沿着所有折痕剪开，每根绳子的长度是( )米，每根绳子的长度是总长度的( )。 【答案】 【分析】分数的意义：把一个整体平均分成若干份，取其中的一份或几份，叫做分数。 根据题意，把这根绳子看作单位“1”，对折一次沿折痕剪开，得到2段绳子；如果对折两次沿折痕剪开，得到4段绳子。 这根绳子对折再对折，沿着所有折痕剪开，被平均分成4份，1份表示，即每根绳子的长度是总长度的；求每根绳子长多少米，用绳子的总长度除以4即可解答。 【详解】 （米） 1÷4＝ 则李老师把一根长米的绳子对折再对折后，沿着所有折痕剪开米，每根绳子的长度是总长度的。 12．一辆新能源汽车每行驶1千米耗电千瓦时。照这样计算，行驶8千米耗电( )千瓦时；耗电千瓦时能行驶( )千米。 【答案】 //1.2 / 【分析】由题意可知，这辆新能源汽车每行驶1千米耗电千瓦时，这辆新能源汽车的耗电量＝每千米的耗电量×行驶的路程，则行驶的路程＝总耗电量÷每千米的耗电量，据此解答。 【详解】×8＝（千瓦时） ÷ ＝× ＝（千米） 所以，行驶8千米耗电千瓦时，耗电千瓦时能行驶千米。 13．甲乙两人分别从A、B两地相向而行，当甲走出21千米时，乙恰好走完了A、B两地之间距离的，此时两人相距9千米，则A、B两地之间距离为 米。 【答案】45000/18000 【分析】分两种情况讨论： 情况一：两人还没相遇，相距9千米。设A、B两地之间距离为千米，当甲走出21千米时，乙走了千米，此时两人未相遇相距9千米，等量关系：全程－甲走的路程－乙走的路程＝两人相距的路程，据此列出方程，并求解； 情况二：两人已经相遇，继续前行后相距9千米。设A、B两地之间距离为千米，当甲走出21千米时，乙走了千米，此时两人相遇后继续前行相距9千米，等量关系：甲走的路程＋乙走的路程－全程＝两人相距的路程，据此列出方程，并求解。 【详解】情况一：两人还没相遇，相距9千米； 解：设A、B两地之间距离为千米。 －21－＝9 －21＝9 ＝9＋21 ＝30 ＝30÷ ＝30× ＝45 45千米＝45000米 情况二：两人已经相遇，继续前行后相距9千米； 解：设A、B两地之间距离为千米。 21＋－＝9 21－（－）＝9 21－＝9 ＝21－9 ＝12 ＝12÷ ＝12× ＝18 18千米＝18000米 所以，A、B两地之间距离为（45000或18000）米。 【点睛】本题考查行程问题，要分情况考虑，两人未相遇前相距9千米，两人相遇后相距9千米，据此列方程解答。 14．如果a×＝b÷＝c×，并且a，b，c都不为零，那么这三个数中a最大。( ) 【答案】× 【分析】分析题目，先根据除以一个数等于乘这个数的倒数，把给出的算式全部转化成乘法算式，再比较每个算式中的分数大小，最后根据乘法算式积相等时，一个乘数越大，另一个乘数越小判断即可。 【详解】b÷＝b× 因为＝，＝，＞＞，所以＞＞； 因为最小，所以a，b，c这三位数中最大的是c。 如果a×＝b÷＝c×，并且a，b，c都不为零，那么这三个数中c最大。 故答案为：× 15．如果a和b互为倒数，那么的结果是。( ) 【答案】√ 【分析】乘积是1的两个数互为倒数。除以一个分数，就等于乘这个数的倒数。据此解题。 【详解】如果a和b互为倒数，那么a×b＝1。 ＝＝ 故答案为：√ 16．如果甲比乙多，那么乙比甲少。( ) 【答案】× 【分析】分析题目，如果甲数比乙数多，把乙数看作1，则甲数相当于乙数的（1＋），求乙数比甲数少几分之几就是用甲乙两数之差除以甲数，据此列式计算并判断即可。 【详解】假设乙数是1，甲数是1＋＝； （－1）÷ ＝÷ ＝× ＝ 如果甲比乙多，那么乙比甲少。 故答案为：× 17．a、b都是非0自然数，那么a＜b。( ) 【答案】√ 【分析】除以一个不为0的数相当于乘这个数的倒数，则现将除法转化为乘法，再根据乘积一定，其中一个因数越大，则另外一个因数越小。 【详解】 ，则。 故答案为：√ 18．一件上衣先涨价，若要想恢复到原价，则应降价。( ) 【答案】√ 【分析】根据题意，设这件上衣的原价为1，先把这件上衣的原价看作单位“1”；先涨价，则现价是原价的（1＋），单位“1”已知，用原价乘（1＋），求出现价； 求若要想恢复到原价，则应降价几分之几，先用现价减去原价，求出需要降低的价格，再除以现价，就是需要降低的价格是现价的几分之几。 【详解】设这件上衣的原价为1。 1×（1＋） ＝1× ＝ （－1）÷ ＝÷ ＝× ＝ 一件上衣先涨价，若要想恢复到原价，则应降价。 原题说法正确。 故答案为：√ 19．直接写出得数。 ×＝       27÷＝        1÷＝       45×＝      1÷4×＝ ×＝       ÷＝       0÷＝        32×＝       ×÷×＝ 【答案】 ；30；；12； ；；0；12； 【解析】略 20．脱式计算，能简算的要用简便算法计算。                                                【答案】5； ；12 【分析】，交换1.38与的位置，注意交换时运算符号也一并交换。然后根据减法的性质进行计算。 ，先算除法，再算减法。 ，先算小括号内的减法，再算中括号的乘法，最后算括号外的除法。 ，根据乘法分配律进行计算。 【详解】 ＝ ＝（）－（1.38＋3.62） ＝10－5 ＝5 ＝ ＝ [] ＝ ＝10＋8－6 ＝18－6 ＝12 21．解方程。                     【答案】；； 【分析】（1）利用等式的性质2，方程两边同时除以； （2）先化简方程左边含有字母的式子，再利用等式的性质2，方程两边同时除以； （3）先利用等式的性质1，方程两边同时加上，方程两边再同时减去，最后利用等式的性质2，方程两边同时除以。 【详解】（1） 解： （2） 解： （3） 解： 22．看图，列式计算。 【答案】35人 【分析】观察线段图可知，科技小组有21人，比美术小组的人数少。把美术小组的人数看作单位“1”，则科技小组的人数是美术小组的（1－），根据“已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算”，用21除以（1－）即可求出美术小组的人数。 【详解】21÷（1－） ＝21÷ ＝21× ＝35（人） 则美术小组有35人。 23．一批零件，甲车间单独做24天可以完成，乙车间单独做18天可以完成，如果两车间合做这批零件，那么多少天可以做完这批零件的？ 【答案】天 【分析】把这批零件的工作总量看作单位“1”。甲车间单独做24天可以完成，根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”，甲车间的工作效率为1÷24＝：乙车间单独做18天可以完成，乙车间的工作效率为1÷18＝。两车间合作的工作效率和为甲车间的工作效率与乙车间的工作效率之和，即：，工作总量为，根据“工作时间＝工作总量÷工作效率和”，用除以，计算即可。 【详解】1÷24＝ 1÷18＝ （天） 答：天可以做完这批零件的。 24．六年级学生为希望小学捐书，童话故事书捐了144本，捐的文艺书是童话故事书的，又是科技书的，捐的科技书有多少本？ 【答案】180本 【分析】已知捐的童话故事书有144本 ，捐的文艺书是童话故事书的，求一个数的几分之几是多少用乘法计算，所以捐的文艺书数量为：144×＝120本； 因为捐的文艺书又是科技书的，即科技书数量的是120本，已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法计算，所以捐的科技书数量为：120÷＝180本。 【详解】144×÷ ＝144×× ＝120× ＝180（本） 答：捐的科技书有180本。 25．三峡水电站是目前世界上规模最大的水电站和清洁能源基地。三峡水电站的总装机容量是2240万千瓦时，比葛洲坝水电站总装机容量的倍还多50万千瓦时，葛洲坝水电站的总装机容量是多少万千瓦时？ 【答案】328.5万千瓦时 【分析】求一个数的几分之几，单位“1”已知，用乘法，一个数×几分之几。设葛洲坝水电站的总装机容量是x万千瓦时。根据题目可知，葛洲坝水电站总装机容量×加50等于三峡水电站的总装机容量，列出方程，解出方程即可。 【详解】解：设葛洲坝水电站的总装机容量是x万千瓦时。 答：葛洲坝水电站的总装机容量是328.5万千瓦时。 26．目前，“中国天眼”超越了美国著名的天文望远镜“阿雷西博”，成为全球最大且最灵敏的射电望远镜。“阿雷西博”的直径为350米，比“中国天眼”的直径短，“中国天眼”的直径是多少米？ 【答案】500米 【分析】把“中国天眼”的直径看作单位“1”，则“阿雷西博”的直径是“中国天眼”直径的1－，已知比一个数少几分之几是多少，求这个数用除法解答，列式为350÷（1－），计算即可解答。 【详解】350÷（1－） ＝350÷ ＝350× ＝500（米） 答：“中国天眼”的直径是500米。 27．甲、乙两人各有人民币若干元，甲拿出自己钱数的给乙后，乙也拿出自己现在钱数的给甲，这时两人的钱数相等。原来甲的钱数是乙的几分之几？ 【答案】 【分析】设甲原有��元，乙原有��元。甲先给乙元后，甲剩余元，乙变为元。乙再给甲元后，两人钱数相等。通过建立方程并化简，可求得��与��的比值。 【详解】解：设甲原有��元，乙原有��元。 第一次分配后，甲剩下了（元），乙变为元。 第二次分配后：乙剩下了（元） 甲变为：（元） 这时两人钱数相等： 答：原来甲的钱数是乙的。 28．杭州亚运会期间中国体育代表团共获得了383枚奖牌，其中铜牌71枚，获得银牌的枚数是金牌的。中国体育代表团获得金牌、银牌各多少枚？ 【答案】金牌201枚，银牌111枚 【分析】设中国体育代表团获得金牌x枚，则银牌枚。根据金、银、铜牌各自的枚数相加等于总的奖牌数，可列方程，解得方程，代入所设银牌枚数，即可求得结果。 【详解】解：设中国体育代表团获得金牌x枚，则银牌枚。 答：中国体育代表团获得金牌201枚，银牌111枚。 29．六（1）班同学打算利用周末做一些手工拿去义卖，上午做了全部手工的，下午做了全部的，上午比下午多做了12份手工，六（1）班同学打算一共做多少份手工？（用方程解答） 【答案】360份 【分析】设六（1）班同学打算一共做份手工，则上午做了份手工，下午做了份手工。根据等量关系式：上午做手工的数量－下午做手工的数量＝12，列方程解答即可。 【详解】解：设六（1）班同学打算一共做份手工。 答：六（1）班同学打算一共做360份手工。 30．今年是抗日战争胜利80周年，升钟红军小学举行“赓续红色血脉，激扬时代新风”的系列活动。活动中六年级有24人获奖，比五年级的获奖人数多，五年级有多少人获奖？（先画图再解答。） 【答案】画图见详解；15人 【分析】可以把五年级的获奖人数看作单位“1”，六年级的获奖人数比五年级的获奖人数多，即六年级的人数是五年级获奖人数的，则用六年级获奖人数24人除以即可获得五年级的获奖人数。 【详解】 ＝15（人） 答：五年级有15人获奖。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三单元 分数除法 培优精讲 目录 知识梳理 2 知识点一：倒数的认识与求法 2 知识点二：分数除以整数的计算法则 2 知识点三：一个数除以分数的计算法则 3 知识点四：分数混合运算顺序与简便计算 3 知识点五：分数除法应用题解题策略 4 知识点六：易错点与培优技巧 4 考点练习 4 考点一：倒数的认识 5 考点二：分数的平均分 5 考点三：分数与整数的除法 5 考点四：分数与分数的除法 5 考点五：被除数与商的大小关系（分数除法） 6 考点六：分数的连除运算 6 考点七：分数的乘、除法的混合运算 7 考点八：分数除法相关的简便计算 8 考点九：解分数方程 9 考点十：已知一个数的几分之几是多少，求这个数 9 考点十一：已知比一个数多/少几分之几是多少，求这个数 10 考点十二：已知一部分量占总量的几分之几及另一部分量，求总量 10 考点十三：运用转化法或倒推法解决稍复杂的分数应用题 11 巩固练习 12 知识梳理 知识点一：倒数的认识与求法 倒数的定义：乘积是1的两个数互为倒数。强调“互为”的双向关系，即a是b的倒数，b也是a的倒数。 求倒数的方法： 分数：交换分子分母的位置（如3的倒数是） 整数：看作分母是1的分数（如5的倒数是） 小数：先化成分数再求倒数（如0.25=，倒数是4） 特殊数的倒数： 1的倒数是1（） 0没有倒数（0不能作除数） 倒数性质：真分数的倒数大于1，假分数的倒数小于或等于1 知识点二：分数除以整数的计算法则 计算方法： 方法一：分子直接除以整数（适用于分子是整数倍数的情况） 公式：（） 方法二：乘整数的倒数（通用方法） 公式：（） 例： 计算步骤： 1.转化：将除法转化为乘法（除以一个数=乘这个数的倒数） 2.约分：分子分母交叉约分 3.计算：分子相乘作分子，分母相乘作分母 注意事项：结果必须是最简分数，带分数需先化成假分数 知识点三：一个数除以分数的计算法则 算理推导： 借助具体情境理解：表示“2里面有几个” 几何直观：用线段图表示包含除关系 计算法则：除以一个不为零的数，等于乘这个数的倒数 公式：（，） 计算步骤： 1.变号：除号变乘号 2.倒数：除数变为它的倒数 3.约分：交叉约分简化计算 4.求解：分子分母分别相乘 统一法则：分数除法统一转化为乘法计算，即甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数 知识点四：分数混合运算顺序与简便计算 运算顺序： 同级运算：从左往右依次计算 不同级运算：先算乘除，后算加减 有括号的：先算小括号里面的，再算中括号里面的 简便运算定律（与整数相同）： 乘法交换律： 乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c) 乘法分配律： 常见简算类型： 连除变连乘： 分配律应用： 拆分法：将带分数拆成整数加分数（如） 知识点五：分数除法应用题解题策略 关键步骤： 1.找：找准单位“1”的量（通常在“是、占、比”后面） 2.判：判断单位“1”的量是已知还是未知（已知用乘法，未知用除法） 3.列：根据数量关系列算式 4.算：准确计算结果 基本数量关系： 已知单位“1”的几分之几是多少，求单位“1”：对应量÷对应分率=单位“1”的量 求一个数是另一个数的几分之几：比较量÷标准量=分率 复杂问题解题技巧： 画线段图分析数量关系 转化单位“1”（如甲是乙的，乙是丙的，则甲是丙的） 抓住不变量解题（部分量不变、总量不变或差不变） 知识点六：易错点与培优技巧 易错点警示： 混淆“除”和“除以”：a除以b写作，a除b写作 倒数概念错误：认为0有倒数或1没有倒数 计算时忘记乘倒数：如0（错误） 应用题中对应分率找错：部分量与分率不对应 培优解题技巧： 设数法：对于缺少具体数据的题目，设单位“1”为具体数 转化法：将分数除法转化为比的问题解决 验证法：用乘法验算除法结果是否正确 对比法：对比乘除法应用题的异同点 考点练习 考点一：倒数的认识 例题：两个连续自然数的倒数和是，这两个自然数分别是( )和( )。 跟踪练习：的倒数是( )；0.3的倒数是( )。 考点二：分数的平均分 例题：，表示( )个( )平均分成( )份，每份是( )个( )，也就是( )。 跟踪练习：把kg糖果平均装到4个盘子里，每个盘子装( )kg，每盘的重量占这些糖果的( )。 考点三：分数与整数的除法 例题：直接写出得数。                           跟踪练习：算一算。                           考点四：分数与分数的除法 例题：口算。                                                                               跟踪练习：计算下面各题。（写出计算过程）                      考点五：被除数与商的大小关系（分数除法） 例题：在（    ）里填上“＞”“＜”或“＝”。 ÷( )        ÷( )        ×( )0.6× ×( )        7÷5( )7×          ×( )÷ 跟踪练习：在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )                ( ) ( )            ( ) 考点六：分数的连除运算 例题：看图列式计算。 跟踪练习：直接写出得数。                                                                            考点七：分数的乘、除法的混合运算 例题：脱式计算。          跟踪练习：脱式计算，能简便的要简便。                             考点八：分数除法相关的简便计算 例题：脱式计算，能使用简便运算的尽量用简便运算。                                     跟踪练习：脱式计算，能简算的要简算。                                                      考点九：解分数方程 例题：解方程。 x－＝          x＋x＝÷          （x－12）×＝15 跟踪练习：解下列方程。                             考点十：已知一个数的几分之几是多少，求这个数 例题：某电视机厂去年下半年比上半年多生产电视机12万台，其中上半年的产量是下半年的，这个电视机厂去年上半年和下半年的产量各是多少？（先画出线段图，再列方程解答） 跟踪练习：一辆汽车从甲城开往乙城，第一小时行了全程的，第二小时行了90千米。这时距乙城还有全程的。甲、乙两城相距多少千米？ 考点十一：已知比一个数多/少几分之几是多少，求这个数 例题：敦煌石窟是中国甘肃敦煌一带的石窟总称。包括莫高窟、西千佛洞、东千佛洞和榆林窟等。其中最大的石窟——莫高窟高为40米，高比宽多，莫高窟的宽是多少米？ 跟踪练习：爷爷分别买了一套《三国演义》和一套《西游记》精装本。一套《三国演义》的价格是121元，比一套《西游记》的价格便宜，一套《西游记》的价格是多少元？ 考点十二：已知一部分量占总量的几分之几及另一部分量，求总量 例题：为了丰富学生的课余生活，红星小学开展了学生课后社团活动。六年级原来参加象棋社的女生人数是男生人数的，后来又增加了14名女生，这时男生人数是女生的。原来参加象棋社的女生有多少名？ 跟踪练习：货车和客车分别从甲、乙两地同时出发，相向而行，货车每小时行48千米，客车每小时行64千米，当货车行至全程的时，客车距离货车24千米。 （1）甲乙两地相距多少千米？ （2）两车继续行驶，货车还需多少小时到达乙地？ 考点十三：运用转化法或倒推法解决稍复杂的分数应用题 例题：六（1）班同学打算利用周末做一些手工拿去义卖，上午做了全部手工的，下午做了全部的，上午比下午多做了32份手工，六（1）班同学打算一共做多少份手工？（用方程解答） 跟踪练习：风采大赛之后，老师拿了一箱奖品发给获奖的同学们。将其中的发给一等奖的同学，剩下的发给二等奖的同学，一、二等奖发完后剩下的发给三等奖的同学，这时箱子里还剩下15份奖品，问箱子里原来有多少份奖品？ 巩固练习 1．有一袋土豆，吃了，剩下30kg，这袋土豆原有（    ）kg。 A．18 B．50 C．75 D．40 2．“真优惠”商店里面售卖两种不同的耳机，最后都以60元的价格售出，其中一件赚了，另一件亏了，整体来看，商店是亏了还是赚了？（    ） A．赚了10元 B．亏了10元 C．亏了5元 D．不赚也不亏 3．（、、均大于0），下面排列正确的是（    ）。 A． B． C． D． 4．大同小学参加美术小组的男生有20人，比女生少，女生有多少人？列式为（    ）。 A．20× B．20÷（1－） C．20×（1－） D．20÷（1－）－20 5．电影画面实际上是由许多连续拍摄的照片以每张秒的速度连续播放的。某微电影大约播放了15分钟，这个微电影用的照片大约是（    ）张。 A．36000 B．37.5 C．360 D．21600 6．由于二维码支付使用的简便，在生活中迅速推广开来。卖水果的李伯伯月初贴上二维码进行收款，本月收入3600元，比上个月多，李伯伯上个月收入( )元。 7．目前市场上的电动汽车充满电通常需要50～70度电。某品牌电动汽车行驶千米需要度电，这辆电动汽车行驶1千米需要( )度电，1度电可以行驶( )千米。 8．两筐苹果共重66千克，如果从第一筐取出，第二筐取出2千克，两筐苹果剩下的重量刚好相等。原来第一筐苹果有( )千克，第二筐苹果有( )千克。 9．1公顷的是( )平方米，( )升增加它的后是升。 10．王老师家有一个两层的书架，原来第一层的书比第二层的书多18本，他把第一层书的放到第二层后，两层书架的本数相等，原来第一层有( )本书。 11．李老师把一根长米的绳子对折再对折后，沿着所有折痕剪开，每根绳子的长度是( )米，每根绳子的长度是总长度的( )。 12．一辆新能源汽车每行驶1千米耗电千瓦时。照这样计算，行驶8千米耗电( )千瓦时；耗电千瓦时能行驶( )千米。 13．甲乙两人分别从A、B两地相向而行，当甲走出21千米时，乙恰好走完了A、B两地之间距离的，此时两人相距9千米，则A、B两地之间距离为 米。 14．如果a×＝b÷＝c×，并且a，b，c都不为零，那么这三个数中a最大。( ) 15．如果a和b互为倒数，那么的结果是。( ) 16．如果甲比乙多，那么乙比甲少。( ) 17．a、b都是非0自然数，那么a＜b。( ) 18．一件上衣先涨价，若要想恢复到原价，则应降价。( ) 19．直接写出得数。 ×＝       27÷＝        1÷＝       45×＝      1÷4×＝ ×＝       ÷＝       0÷＝        32×＝       ×÷×＝ 20．脱式计算，能简算的要用简便算法计算。                                                21．解方程。                     22．看图，列式计算。 23．一批零件，甲车间单独做24天可以完成，乙车间单独做18天可以完成，如果两车间合做这批零件，那么多少天可以做完这批零件的？ 24．六年级学生为希望小学捐书，童话故事书捐了144本，捐的文艺书是童话故事书的，又是科技书的，捐的科技书有多少本？ 25．三峡水电站是目前世界上规模最大的水电站和清洁能源基地。三峡水电站的总装机容量是2240万千瓦时，比葛洲坝水电站总装机容量的倍还多50万千瓦时，葛洲坝水电站的总装机容量是多少万千瓦时？ 26．目前，“中国天眼”超越了美国著名的天文望远镜“阿雷西博”，成为全球最大且最灵敏的射电望远镜。“阿雷西博”的直径为350米，比“中国天眼”的直径短，“中国天眼”的直径是多少米？ 27．甲、乙两人各有人民币若干元，甲拿出自己钱数的给乙后，乙也拿出自己现在钱数的给甲，这时两人的钱数相等。原来甲的钱数是乙的几分之几？ 28．杭州亚运会期间中国体育代表团共获得了383枚奖牌，其中铜牌71枚，获得银牌的枚数是金牌的。中国体育代表团获得金牌、银牌各多少枚？ 29．六（1）班同学打算利用周末做一些手工拿去义卖，上午做了全部手工的，下午做了全部的，上午比下午多做了12份手工，六（1）班同学打算一共做多少份手工？（用方程解答） 30．今年是抗日战争胜利80周年，升钟红军小学举行“赓续红色血脉，激扬时代新风”的系列活动。活动中六年级有24人获奖，比五年级的获奖人数多，五年级有多少人获奖？（先画图再解答。） 1 学科网（北京）股份有限公司 $