第三章 圆锥曲线的方程（单元测试·冲刺卷）数学人教A版2019选择性必修第一册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第三章 圆锥曲线的方程·冲刺卷 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．中心为原点，焦点在x轴上，且长轴长与短轴长之比为2：1，焦距为4的椭圆方程为（　　） A． B． C． D． 2．已知曲线，则“”是“为焦点在轴上的双曲线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知点为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，设线段的中点为，且，则的面积为（   ） A． B． C． D． 4．已知抛物线的焦点为，其准线与轴交于点，点为抛物线上一点，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 5．已知双曲线的左焦点为F，点M在双曲线C的右支上，，当的周长最小时，的面积为（    ） A．2 B．4 C．8 D．12 6．双曲线的左､右焦点分别为，以为焦点的抛物线与双曲线在第一象限的交点为，若，则双曲线的离心率大小为（    ） A．3 B．2 C． D．6 7．过椭圆内一点的直线与椭圆交于点和，且.点满足，若为坐标原点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．设抛物线，焦点F，直线l过点且斜率为，与C交于，两点，满足．若Q为抛物线上一点，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．已知方程表示曲线Γ，则下列结论正确的是（    ） A．若，则Γ是轴 B．若，则Γ是圆 C．若，则Γ是椭圆 D．若Γ是双曲线，则 10．已知为坐标原点，过抛物线：焦点的直线与交于、两点，则下列选项正确的是（   ） A． B．面积的最小值为2. C． D．可能为直角. 11．已知双曲线分别为其左、右焦点，为坐标原点，过作直线与双曲线两支和两条渐近线交于4个不同点，从左到右依次为，则下列选项正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．双曲线两渐近线夹角的正切值为 . 13．已知抛物线的焦点为的准线与轴交于点，若为上一点，为钝角，且，则 . 14．“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点，必在一个与椭圆同心的圆上，称此圆为该椭圆的“蒙日圆”，该圆由法国数学家加斯帕尔·蒙日（1746-1818）最先发现，若椭圆的左、右焦点分别为、，P为椭圆C上一动点，过P和原点作直线l与圆C的蒙日圆相交于M，N，则的最小值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）求满足下列条件的曲线的标准方程. (1)焦点在坐标轴上的椭圆经过点和点； (2)焦点在坐标轴上，以椭圆的短轴的两个端点为焦点，且过点的双曲线. 16．（15分）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点． (1)求抛物线的方程； (2)当点为弦的中点时，求直线的方程； (3)求的最小值． 17．（15分）已知，为双曲线：的左、右焦点，在抛物线的准线上，且点在的一条渐近线上． (1)求的方程； (2)过点的直线与的右支交于，两点，若，求直线斜率的取值范围． 18．（17分）在平面直角坐标系中，为坐标原点，椭圆的左，右焦点分别为，，抛物线的焦点为，，的面积为1. (1)求椭圆、抛物线的标准方程； (2)过点的直线分别与抛物线交于，两点，与椭圆交于，两点，设直线的斜率分别是，，，.证明：为定值. 19．（17分）定义：一般地，当且时，我们把方程表示的椭圆称为椭圆的相似椭圆，已知椭圆的相似椭圆为（且）. (1)求证：椭圆与椭圆的离心率相等； (2)直线、与椭圆均有且只有一个公共点，且、的斜率之积为，求证：、的交点在椭圆的相似椭圆上； (3)若为椭圆上异于左、右顶点、的任意一点，直线与椭圆交于、两点，直线与椭圆交于、两点，试探究的值是否为定值，若是定值，求出定值；若不是定值，说明理由. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第三章 圆锥曲线的方程·冲刺卷 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．中心为原点，焦点在x轴上，且长轴长与短轴长之比为2：1，焦距为4的椭圆方程为（　　） A． B． C． D． 2．已知曲线，则“”是“为焦点在轴上的双曲线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知点为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，设线段的中点为，且，则的面积为（   ） A． B． C． D． 4．已知抛物线的焦点为，其准线与轴交于点，点为抛物线上一点，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 5．已知双曲线的左焦点为F，点M在双曲线C的右支上，，当的周长最小时，的面积为（    ） A．2 B．4 C．8 D．12 6．双曲线的左､右焦点分别为，以为焦点的抛物线与双曲线在第一象限的交点为，若，则双曲线的离心率大小为（    ） A．3 B．2 C． D．6 7．过椭圆内一点的直线与椭圆交于点和，且.点满足，若为坐标原点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．设抛物线，焦点F，直线l过点且斜率为，与C交于，两点，满足．若Q为抛物线上一点，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．已知方程表示曲线Γ，则下列结论正确的是（    ） A．若，则Γ是轴 B．若，则Γ是圆 C．若，则Γ是椭圆 D．若Γ是双曲线，则 10．已知为坐标原点，过抛物线：焦点的直线与交于、两点，则下列选项正确的是（   ） A． B．面积的最小值为2. C． D．可能为直角. 11．已知双曲线分别为其左、右焦点，为坐标原点，过作直线与双曲线两支和两条渐近线交于4个不同点，从左到右依次为，则下列选项正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．双曲线两渐近线夹角的正切值为 . 13．已知抛物线的焦点为的准线与轴交于点，若为上一点，为钝角，且，则 . 14．“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点，必在一个与椭圆同心的圆上，称此圆为该椭圆的“蒙日圆”，该圆由法国数学家加斯帕尔·蒙日（1746-1818）最先发现，若椭圆的左、右焦点分别为、，P为椭圆C上一动点，过P和原点作直线l与圆C的蒙日圆相交于M，N，则的最小值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）求满足下列条件的曲线的标准方程. (1)焦点在坐标轴上的椭圆经过点和点； (2)焦点在坐标轴上，以椭圆的短轴的两个端点为焦点，且过点的双曲线. 16．（15分）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点． (1)求抛物线的方程； (2)当点为弦的中点时，求直线的方程； (3)求的最小值． 17．（15分）已知，为双曲线：的左、右焦点，在抛物线的准线上，且点在的一条渐近线上． (1)求的方程； (2)过点的直线与的右支交于，两点，若，求直线斜率的取值范围． 18．（17分）在平面直角坐标系中，为坐标原点，椭圆的左，右焦点分别为，，抛物线的焦点为，，的面积为1. (1)求椭圆、抛物线的标准方程； (2)过点的直线分别与抛物线交于，两点，与椭圆交于，两点，设直线的斜率分别是，，，.证明：为定值. 19．（17分）定义：一般地，当且时，我们把方程表示的椭圆称为椭圆的相似椭圆，已知椭圆的相似椭圆为（且）. (1)求证：椭圆与椭圆的离心率相等； (2)直线、与椭圆均有且只有一个公共点，且、的斜率之积为，求证：、的交点在椭圆的相似椭圆上； (3)若为椭圆上异于左、右顶点、的任意一点，直线与椭圆交于、两点，直线与椭圆交于、两点，试探究的值是否为定值，若是定值，求出定值；若不是定值，说明理由. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第三章圆锥曲线的方程·冲刺卷（参考答案） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 2 7 8 B A C D D C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9 10 11 BC BC ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 4 12. 3 13.6+26 14.-2 四、解答题：本题共5小题，共计7分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.【详解】(1)设所求椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),2分 3m+4n=1 1。,，眸待得2三，一，n/ 则 所以所求椭圆的标准方程是二+上 155 .6分 （2)椭圆兰+上=1短轴的端点为(0，士3)，则双曲线的焦点F0,-3F,(0,3》,…8分 169 双曲线的实轴长2a=PE-PE=V42+82-V42+22=2√5， 则a=√5，双曲线虚半轴长b=V32-(5)2=2, 11分 所以所求双曲线方程为上_x 13分 54 =,… 1/6 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 16.【详解】(1)：抛物线x2=2py的焦点为F(0,1,:=1,即p=2 抛物线C的方程为x2=4y.… … 3分 (2)设Ax,),B(x2,y2，显然直线1斜率存在 设1的方程为y=k(x+2)+2, y=k(x+2)+2 联立方程x=4y ，消去y,整理得x2-4-8k-8=0, 6分 因为点P(-2,2)是AB的中点，由x1+x2=4k=-4,解得k=-1. 所以直线AB的方程为y=-（x+2)+2.即x+y=0. 9分 (3)由抛物线定义可知AF=+1,BF=y2+1. 所以AF:BF=(4+1(y+)=yy2+(4+2)+1, 由(2)知x1+x2=4k,x1x2=-8(k+1), 出手·是4k+打+++利+4=4+4状+4，卫分一 所以4l=4++4+41-+12+9-8++号 所以当=-3时，MFBF取得最小值为 9 ..15分 4 17.【详解】(1)由抛物线y=26x的准线方程为x=-6,得c=5 2 ， 又2,2)在C的衔近线y=±x上，则2=V20,即a= N2b 4分 a 又+=e-号解得a-=l 所以C的方程为2x2-y2=1.…7分 (2)设直线1的方程为y=+1,Mx,y),M,x2,y2), 2/6 画学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 2x2-y2=1 联立 (P+1, 消去y得k2-2x2+2x+2=0,令△=4k2-8k2-2>0, 解得-2<k<2,又1与C的右支交于两点， 2k 则+62>0,6一2>0， …9分 联立解得k<-√2，故-2<k<-√2， +<0, 12分 将x+42代入，有+小22)0， 2k 解得.6+6<k<6-6 5 5 综上可知，k的取值范围是.6+6<k<-2. 15分 5 M公 18.【详解】(1)根据题意作图如下： 由已知得a=√2，又F,E分别为椭圆的左、右焦点，且FF+FF,=22, 则FF+F=2a,所以点r0,-号在椭圆C上，所以b=号 3分 3/6 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 又SA5=)2cb=bc=1,且c2=2-b2,解得=c=1,所以p=2b=2 2 所以椭圆C的标准方程为号+y=1,抛物线D的标准方程为=-4y.5分 (2)证明：根据题意作图如下： N M 当直线1斜率不存在，即x=0时，直线1与抛物线D只有一个交点，不符合题意.…7分 设直线I的方程为y=kx+m, 联立 =-4y，消去y得x2+4+4m=0, y=kx+m 所以X1+X2=-4k,xx2=4m，,且△1=16k2-16m>0,.9分 y=kx+m 联立x +y=1'消去y得1+2)x2+4hr+2m2-2=0, 、2 -4k 所以玉十达+2装2T2完是月A,e82k2m+201分 故k+k,+名+k,=k:+kaB+kow+kow=占+业+当+凸 X1 X2 X3 X4 =4+4+,+m+,+m=-++m+m+2k X4 4x3x4 =-5+3+m++2k=3k-2hm m2-1' 14分 4x34 又因为m=5,所以3张-2m =3k 2(V3 =3k-3k=0, m2-1 (-1 所以k+k2+k+k=0 综上，k+k3+k3十k4为定值.17分 19,【详解】1)对于椭圆C:手+2=1，则a=2,6=1,c:0-尔5， 所以，椭圆C的离心率为e=C-5, a 2 3分 4/6 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 对于椭面C行+y=及(2>012+1，其标准方程为茶 -=1, 42 则a,=2万，6.=反，G=匠-6=5，其离心率为e,=9=5 …5分 (2)设直线4的斜率为k,则直线马的斜率为4依， 1 设点(，y),直线的方程为y-%=k(x-x), y-yo=k(x-xo) 联立 可得1+4k）x2+8k(o-kx)x+4(。-kx)2-4=0, △=64k(%-kx)2-161+4k)（-kx-1=0, 7分 化简得(。-kx)2=1+4k,即y6-2kx少+x=1+4k①， 用代换①中的长得16坊+8陆%+矿=4+16， ①x4+②得(4+16k)+1+462)=8+32k,化简三+5=1， 82 点9在椭圆十y2=2上，故点Q在与椭圆C:4十y=1的相似椭圆G上.…10 4 x2.y2 (3)椭圆C的标准方程为3+3=1，所以点M(5,0)、N(5,0, 4 设点P(x,),易知直线PM、PW的斜率都存在且不为零， 所以kwkw=为三 +5-5-3’ 因为点Px在椭圆℃上所以3+3三，即=3- 4 4 3-x月 所以akN= =4 1 12分 x-3x3-34 5/6 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 设直线PM的斜率为k,则直线PW的斜率为4' 1 所以直线PM的方程为y=k(x+V5, y=k(x+V3) 联立 4+2s1 x 得1+4k2）x2+8V3k2x+12k2-4=0, △=192k-41+4k2)12k2-4=16k2+1>0, 14分 设点Ax,)、B(x2,2)，则x+x2=- 8V5k2 12k2-4 ，XX2= 4k2+1 4k2+1 412k2-4 所以AB到=V1+kVx+x,2-4x,=V1+ 8V5k2)2 4k2+1 4k2+1 41+k2) =4k2+1 41+ 用代挨可得D 16k2 1+16k2 1+4. 1 4k2+11 6k2 所以AB+DE= 41+),1+16-5,故46+D的值为定值，且该定值为5.17分 4k2+14k2+1 6/6 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第三章 圆锥曲线的方程·冲刺卷 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．中心为原点，焦点在x轴上，且长轴长与短轴长之比为2：1，焦距为4的椭圆方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得，即， 又，即， 联立并代入可得， 解得 所以椭圆方程为. 故选：B 2．已知曲线，则“”是“为焦点在轴上的双曲线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若，则， 所以，即， 所以为焦点在轴上的双曲线； 若为焦点在轴上的双曲线， 则对于，即， 可得，即且，不一定得到， 综上，“”是“为焦点在轴上的双曲线”的充分不必要条件. 故选：A 3．已知点为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，设线段的中点为，且，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可知，，， 因为、分别为和的中点， 所以，所以， 且， 在中，由余弦定理可得 ， 则， 所以. 故选：A. 4．已知抛物线的焦点为，其准线与轴交于点，点为抛物线上一点，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于抛物线，其焦点的坐标为，准线方程为， 准线与轴的交点的坐标为，则， 设点的坐标为，由抛物线的定义可知， 已知，则，解得. 因为点为抛物线上一点，将代入抛物线方程可得，解得. 在中，，点到轴的距离即为中边上的高，即高， 因此的面积. 故选：C. 5．已知双曲线的左焦点为F，点M在双曲线C的右支上，，当的周长最小时，的面积为（    ） A．2 B．4 C．8 D．12 【答案】D 【详解】解：设双曲线的右焦点为，则，，，又，所以， 由双曲线的定义知，， 所以， 所以的周长为， 即当在即与双曲线的交点处时，的周长最小，此时直线的方程为， 联立，即，解得，即， 故的面积为． 故选：D． 6．双曲线的左､右焦点分别为，以为焦点的抛物线与双曲线在第一象限的交点为，若，则双曲线的离心率大小为（    ） A．3 B．2 C． D．6 【答案】A 【详解】根据题意可设，双曲线的半焦距为，，则， 过作轴的垂线，过作的垂线，垂足为，显然直线为抛物线的准线， 则， 由双曲线的定义及已知条件可知，则， 由勾股定理可知， 又，所以，即， 整理得，所以，所以， 所以双曲线的离心率大小为3 .故选：A. 7．过椭圆内一点的直线与椭圆交于点和，且.点满足，若为坐标原点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，， 因为，， 化简可得，， 于是，， 整理得， 因为点、在椭圆上，则， 所以， 即，所以点的轨迹是直线，即为原点到直线的距离， 所以， 故选：D. 8．设抛物线，焦点F，直线l过点且斜率为，与C交于，两点，满足．若Q为抛物线上一点，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由抛物线的方程，则其焦点， 直线l过点且斜率为，其方程为， 联立直线与抛物线方程消得，设交点， 则，, 由抛物线定义可得，代入条件， 得，结合解得，满足， 可得； 设，设，由， 则由余弦定理得， 故，则， 则，即， 联立直线与抛物线方程消得， 则，解得， 即，又， 则， 则， 所以， 则. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．已知方程表示曲线Γ，则下列结论正确的是（    ） A．若，则Γ是轴 B．若，则Γ是圆 C．若，则Γ是椭圆 D．若Γ是双曲线，则 【答案】BC 【详解】若，方程为，则Γ是轴，A错误； 若，方程为，则Γ是圆，B正确； 若，则方程， 其中，且， 则Γ是椭圆，C正确； 若Γ是双曲线，则，得或， D错误. 故选：BC 10．已知为坐标原点，过抛物线：焦点的直线与交于、两点，则下列选项正确的是（   ） A． B．面积的最小值为2. C． D．可能为直角. 【答案】BC 【详解】    对于A，由题意，，所以无最小值，故A错误； 对于B，因直线的斜率不可能为0，故可设， 与联立消元得：， 显然，设，则， 则， 点到直线的距离为， 则的面积为， 则当时，即时，取得最小值2，故B正确； 对于C，设直线的倾斜角为，则， 则，故C正确； 对于D，由B选项可得， 则， 故与所夹的角为钝角，故D错误. 故选：BC. 11．已知双曲线分别为其左、右焦点，为坐标原点，过作直线与双曲线两支和两条渐近线交于4个不同点，从左到右依次为，则下列选项正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【详解】由双曲线，则， 则双曲线的渐近线方程为，且， 如图，不妨设都在轴上方. 对于A，由图可知，当直线趋近于轴时，此时最小， 但此时直线与两条渐近线交于原点，不满足题意，则，故A正确； 对于B，设直线的方程为， 联立，得， 则， 且， 则， 则，，即中点为， 联立，解得，，即， 联立，解得，，即， 则中点为，即为， 所以中点即为中点，设为，则， 所以，故B正确； 对于C，因为渐近线方程为，则， 由于，，所以，， 则，故C错误； 对于D，由B知，为中点， 若，则，则， 即，解得（负值舍去），则， 则，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．双曲线两渐近线夹角的正切值为 . 【答案】 【详解】双曲线两渐近线为， 设的倾斜角为，所以，所以， 故所求为. 故答案为：. 13．已知抛物线的焦点为的准线与轴交于点，若为上一点，为钝角，且，则 . 【答案】 【详解】如下图，若垂直于准线于，则，故，    所以，在中，故， 令，，而，则， 所以，整理得， 所以，而为钝角，结合三角形边角关系知， 当时，，不符合要求， 所以，，经验证满足要求， 所以. 故答案为： 14．“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点，必在一个与椭圆同心的圆上，称此圆为该椭圆的“蒙日圆”，该圆由法国数学家加斯帕尔·蒙日（1746-1818）最先发现，若椭圆的左、右焦点分别为、，P为椭圆C上一动点，过P和原点作直线l与圆C的蒙日圆相交于M，N，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】因为椭圆，所以，，故，，， 如图，令，因为，所以， 即，结合图象，由平面向量的知识可得， 故，两式相加得， 即，即，由“蒙日圆”的定义，当我们过椭圆上下左右四个顶点作椭圆的切线时， 易知椭圆的“蒙日圆”的直径为这四条切线所围成的矩形的对角线，故由勾股定理得，， 所以，故． 令，，则， 所以，由二次函数易知，所以， ，所以最小值为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）求满足下列条件的曲线的标准方程. (1)焦点在坐标轴上的椭圆经过点和点； (2)焦点在坐标轴上，以椭圆的短轴的两个端点为焦点，且过点的双曲线. 【详解】（1）设所求椭圆的方程为， 2分 则，解得， 所以所求椭圆的标准方程是. 6分 （2）椭圆短轴的端点为，则双曲线的焦点， 8分 双曲线的实轴长， 则，双曲线虚半轴长， 11分 所以所求双曲线方程为. 13分    16．（15分）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点． (1)求抛物线的方程； (2)当点为弦的中点时，求直线的方程； (3)求的最小值． 【详解】（1）∵抛物线的焦点为，∴，即. ∴抛物线的方程为. 3分 （2）设，显然直线斜率存在. 设的方程为， 联立方程，消去，整理得， 6分 因为点是的中点，由，解得. 所以直线AB的方程为．即． 9分 （3）由抛物线定义可知 所以, 由（2）知, ∴， 12分 所以 所以当时，取得最小值为． 15分 17．（15分）已知，为双曲线：的左、右焦点，在抛物线的准线上，且点在的一条渐近线上． (1)求的方程； (2)过点的直线与的右支交于，两点，若，求直线斜率的取值范围． 【详解】（1）由抛物线的准线方程为，得， 又在的渐近线上，则，即， 4分 又，解得， 所以的方程为． 7分 （2）设直线的方程为，，， 联立，消去得，令， 解得，又与的右支交于两点， 则，， 9分 联立解得，故， 又，所以， 又，，则， 整理得， 12分 将，代入，得， 解得， 综上可知，的取值范围是． 15分 18．（17分）在平面直角坐标系中，为坐标原点，椭圆的左，右焦点分别为，，抛物线的焦点为，，的面积为1. (1)求椭圆、抛物线的标准方程； (2)过点的直线分别与抛物线交于，两点，与椭圆交于，两点，设直线的斜率分别是，，，.证明：为定值. 【详解】（1）根据题意作图如下： 由已知得，又，分别为椭圆的左、右焦点，且， 则，所以点在椭圆上，所以. 3分 又，且，解得，所以. 所以椭圆的标准方程为，抛物线的标准方程为. 5分 （2）证明：根据题意作图如下： 当直线斜率不存在，即时，直线与抛物线只有一个交点，不符合题意. 7分 设直线的方程为， 联立，消去得， 所以，，且， 9分 联立，消去得， 所以，，且. 11分 故 ， 14分 又因为，所以， 所以. 综上，为定值. 17分 19．（17分）定义：一般地，当且时，我们把方程表示的椭圆称为椭圆的相似椭圆，已知椭圆的相似椭圆为（且）. (1)求证：椭圆与椭圆的离心率相等； (2)直线、与椭圆均有且只有一个公共点，且、的斜率之积为，求证：、的交点在椭圆的相似椭圆上； (3)若为椭圆上异于左、右顶点、的任意一点，直线与椭圆交于、两点，直线与椭圆交于、两点，试探究的值是否为定值，若是定值，求出定值；若不是定值，说明理由. 【详解】（1）对于椭圆，则，，， 所以，椭圆的离心率为， 3分 对于椭圆（且），其标准方程为， 则，，，其离心率为. 5分 （2）设直线的斜率为，则直线的斜率为， 设点，直线的方程为， 联立可得， ， 7分 化简得，即①， 用代换①中的得， ①②得，化简， 即点在椭圆上，故点在与椭圆的相似椭圆上. 10分 （3）椭圆的标准方程为，所以点、， 设点，易知直线、的斜率都存在且不为零， 所以， 因为点在椭圆上，所以，即， 所以. 12分 设直线的斜率为，则直线的斜率为， 所以直线的方程为， 联立得， ， 14分 设点、，则，， 所以 ， 用代换可得， 所以，故的值为定值，且该定值为. 17分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $