第二十九章 直线与圆的位置关系（知识清单）数学冀教版九年级下册

第二十九章 直线与圆的位置关系 知识点一 点与圆的位置关系 设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有： d<r点P在⊙O内；d=r点P在⊙O上；d>r点P在⊙O外． 知识点二 直线与圆的位置关系 （1）直线与圆相离 有0个交点； （2）直线与圆相切 有一个交点； （3）直线与圆相交 有两个交点； 知识点三 切线的性质与判定定理 （1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可．即：∵且过半径外端 ∴是⊙的切线 （2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点．推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心． 以上三个定理及推论也称二推一定理：即：①过圆心；②过切点；③垂直切线 知识点四 切线长定理 切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角．即：∵、是的两条切线；∴；平分 知识点五 三角形的内切圆和内心 （1）三角形的内切圆：与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆． （2）三角形的内心：三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心． 注意：内切圆及有关计算 （1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等． （2）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，则内切圆的半径r= ． （3）S△ABC=，其中a，b，c是边长，r是内切圆的半径． 知识点六 正多边形和圆 （1）正三角形：在⊙中△是正三角形，有关计算在中进行：； （2）正四边形：同理，四边形的有关计算在中进行，： （3）正六边形：同理，六边形的有关计算在中进行，． 一 点和圆的位置关系 易错点一：概念理解混淆，忽视前提条件 易错点总结： 1.认为“圆上的点”到圆心的距离都相等，但“圆内的点”到圆心的距离也可能等于半径。（错误！圆内的点距离一定小于半径） 2.在判断点与圆的位置关系时，没有先明确哪个圆和哪个点，尤其是在复杂图形中。 注意事项： 1.牢记定义：严格依据d与r的数量关系进行判断，不要凭感觉或图形估算。 2.明确对象：读题时圈出“点”和“圆”，确保判断的对象是正确的。 例：如图所示，已知矩形的边，，以点为圆心，为半径作，判断点，，与怎样的位置关系． 【详解】解：连接，∵，， ∴，∵的半径为4，， ∴点在内，∵，∴点在上 ，∴点在外． 易错点二：与其它知识点结合时，逻辑链条断裂 易错点总结： 1.在动点问题或函数图像问题中，无法建立点的坐标与距离的函数关系。 2.在证明“几点共圆”时，不理解其本质是证明这几个点到某一定点的距离相等。 注意事项： 1.问题转化：将“位置关系”转化为d与r的不等式关系”。 2.数形结合：画出草图，帮助理解动点的运动轨迹和满足条件的区域。 例：如图所示，直线的解析式为，并且与轴、轴分别相交于点A、B． (1)求A、B两点的坐标． (2)一个圆心在坐标原点、半径为1的圆，以0.4个单位每秒的速度向轴正方向运动，问什么时刻该圆与直线相切． (3)在题（2）中，若在圆开始运动的同时，一动点P从B点出发，沿方向以0.5个单位／秒的速度运动，问在整个运动的过程中，点P在动圆的圆面（圆上和圆的内部）上一共运动了多少时间？ 【详解】（1）解：在中，令，得； 令，得， 故得、两的坐标为，； （2）解：若动圆的圆心在处时与直线相切，设切点为，如图所示，连接，则． ，， ，，即，则． 此时，（秒． 根据对称性，圆还可能在直线的右侧，与直线相切， 此时．（秒． 综上，秒时或秒时该圆与直线相切； （3）解：设在秒时，动圆的圆心在点处，动点在处，此时，，点的坐标为，连接， ，， ，， ， 点的横坐标为，点在直线上，点的纵坐标为， 可见：当时，点在动圆上，当时，点在动圆内． 当时，由对称性可知，有两种情况： ①当点在轴下方时，，解之得：； ②当点在轴上方时，，解之得：． 当时时，，此时点在动圆的圆面上，所经过的时间为． 易错点三：忽视多解情况或图形位置的不确定性 易错点总结： 1.在解答关于位置关系的分类讨论题时，答案不完整。 2.过于依赖单一位置的草图，忽略了图形可能存在多种情况。 注意事项： 1.临界点检查：在列出不等式后，务必单独考虑d = r的临界情况，检查该点是否符合题意（“圆上”通常不属于“圆内”或“圆外”）。 2.全面思考：养成分类讨论的习惯，思考图形是否有其他可能的位置或形状。 例：如图，在中，，，，是的中点，以为圆心，为半径作． （1）若，则点在 ，点在 ，点在 （填“圆内”“圆外”或“圆上”），且直线与的位置关系是 ； （2）若，则直线与的位置关系是 ；若，则直线与的位置关系是 ． 【详解】解：在中，由勾股定理得 ∵D是中点∴ 过A作于E 由三角形面积公式可得： （1）点B：，所以点B在圆上； 点C：，所以点C在圆外； 点D：，所以点D在圆内； 直线：，所以直线与的位置关系是相交． 故答案为：圆上，圆外，圆内，相交． （2）时，，直线与的位置关系是相切； 时，，直线与的位置关系是相离． 故答案为：相切，相离． 二 切线的性质和判定 易错点一 性质使用前提不清 易错点总结： 在未证明某直线是切线的情况下，直接使用“切线与半径垂直”的性质。 注意事项： 必须明确，只有已知（或已证）某线是切线，并且明确指出了切点，才能使用“切线与过切点的半径垂直”这一性质。 例：如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB延长线相交于点P．若∠COB＝2∠PCB，求证：PC是⊙O的切线． 【详解】连接AC， ∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO．∴∠COB＝2∠ACO． 又∵∠COB＝2∠PCB，∴∠ACO＝∠PCB．∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACO+∠OCB＝90°．∴∠PCB+∠OCB＝90°，即OC⊥CP． ∵OC是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线． 易错点二 判定方法选择错误 易错点总结： 已知公共点时，却用“作垂直，证半径”；或者未知公共点时，盲目地“连半径”。 注意事项： 1.题目条件中明确给出了直线和圆的公共点优先用“连半径，证垂直”。 2.题目条件中没有明确公共点必须用“作垂直，证半径”。 例：已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是和⊙O相切于点B的切线，⊙O的弦AD平行于OC．求证：DC是⊙O的切线. 【详解】证明：连接OD, ∵BC是和⊙O相切于点B的切线 ∴∠CBO=90°. ∵AD平行于OC，∴∠COD=∠ODA，∠COB=∠A； ∵∠ODA=∠A，∴∠COD=∠COB，OC=OC，OD=OB， ∴△OCD≌△OCB，∴∠CDO=∠CBO=90°．∴DC是⊙O的切线． 易错点三 “连半径，证垂直”时，推理不严谨 易错点总结： 连接半径后，证明垂直的步骤不完整，逻辑跳跃。 注意事项： 证明垂直通常需要利用三角形全等、勾股定理逆定理、或者“直径所对的圆周角是直角”等性质。要写出完整的推理过程。 例：如图，AB为⊙O的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交于点D，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点E． （1）求证：AC∥DE； （2）连接CD，若OA=AE=a，写出求四边形ACDE面积的思路． 【详解】（1）∵ED与⊙O相切于D，∴OD⊥DE，∵F为弦AC中点，∴OD⊥AC，∴AC∥DE． （2）作DM⊥OA于M，连接CD，CO，AD． ∵AC∥DE，AE=AO，∴OF=DF，∵AF⊥DO，∴AD=AO，∴AD=AO=OD，∴△ADO是等边三角形，同理△CDO也是等边三角形，∴∠CDO=∠DOA=60°，AE=CD=AD=AO=DD=a，∴AO∥CD，又AE=CD，∴四边形ACDE是平行四边形，易知DM=，∴平行四边形ACDE面积=． 三 正多边形与圆 易错点一 计算失误——中心角、边数、半径关系的混淆 易错点总结： 正多边形的计算核心是围绕中心角展开的。中心角是将正多边形的中心与各个顶点连接后，形成的每个等腰三角形的顶角。 注意事项： 1. 画图标量：遇到计算题，务必画出正多边形、它的外接圆，并连接中心与两个相邻顶点，构造出一个等腰三角形。这个三角形的顶角是中心角，底角是内角的一半，腰是半径，底边是边长。 2.明确目标：你的所有计算几乎都是在这个等腰三角形中进行的。明确已知什么（是半径？边长？边心距？），求什么，然后再选择用三角函数还是勾股定理。 例：我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为，如图，若的半径为1．（在求圆内接正多边形面积时，通过分割成三角形，利用特殊角解决） (1)求圆内接正六边形面积． (2)圆内接正八边形的面积为_____． (3)运用“割圆术”，用圆内接正十二边形近似估计的面积，可得圆内接正十二边形面积是_____，可得的估计值为_____． 【详解】（1）解：如图，设正多边形相邻两个顶点为，连接，过点O作于点C；由题意知，， ∴是等边三角形，∴，； 由勾股定理得， ∴， ∴正六边形的面积为； （2）解：如图，设正多边形相邻两个顶点为，连接，过点B作于点C； 由题意知，， ∴，∴； 由勾股定理得，∴， ∴， ∴圆内接正八边形的面积为； 故答案为：； （3）解：如图，设正多边形相邻两个顶点为，连接，过点B作于点C； 由题意知，， ∴，∴， ∴圆内接正十二边形的面积为； 圆的面积为，则；故答案为：3；3． 易错点二：思维定式——“正多边形”与“等分圆周”的等价关系 易错点总结： 认为“将圆周四等分，依次连接各点，得到的是正方形”；但忽略了“依次连接”和“间隔 注意事项： 仔细审题，看清题目要求是“依次连接”还是“每隔m个点连接”。 如图，正六边形是半径为1的的内接六边形，连接并延长到点，过点，交的延长线于点． (1)是___________（填“直角”“等腰”或“等边”）三角形； (2)当___________时，直线与相切，此时通过计算比较线段和劣弧长度哪个更长；（参考数据：取3） (3)已知是上的动点（点不与点A，重合）． ①连接，，求的度数； ②已知，过点作的切线，当切线与直线交于点时，请直接写出长的最小值． 【详解】（1）解：∵六边形是正六边形， ∴，∵， ∴为等边三角形，∴， ∵，∴，， ∴， ∴是等边三角形；故答案为：等边； （2）解：连接，∵与与相切， ∴，∵是等边三角形， ∴，， ∴在中，， 即当时，直线与相切； ∵取3，∴，∵， ∴，∴线段的长度更长； （3）解：①根据解析（1）可知，， 当点在优弧上时，， 当点在劣弧上时，， 综上所述，的度数为或； ②∵与相切，∴，∴， 当的长度最短时，的长取得最小值， ∴当时，的长取得最小值，如图所示： ∵为等边三角形，∴， ∵，∴， ∴， ∴， 即长的最小值为． 1．（24-25九年级下·河北沧州·阶段练习）已知的直径为10，为射线上的三个点，，，，则（　　） A．点在 内 B．点在上 C．点在 外 D．点在上 【答案】D 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系：当点到圆心距离小于半径时，点在圆内；当点到圆心距离等于半径时，点在圆上；当点到圆心距离大于半径时，点在圆外． 根据点到圆心的距离即可得出答案． 【详解】解：∵的直径为10， ∴的半径为5， ∵，， ∴点A在外，点B 在 内，点C在 上． 故选：D 2．（河北·中考真题）如图，点为正六边形对角线上一点，，，则的值是（    ） A．20 B．30 C．40 D．随点位置而变化 【答案】B 【分析】连接AC、AD、CF，AD与CF交于点M，可知M是正六边形的中心，根据矩形的性质求出，再求出正六边形面积即可． 【详解】解：连接AC、AD、CF，AD与CF交于点M，可知M是正六边形的中心， ∵多边形是正六边形， ∴AB=BC，∠B=∠BAF= 120°， ∴∠BAC=30°， ∴∠FAC=90°， 同理，∠DCA=∠FDC=∠DFA=90°， ∴四边形ACDF是矩形， ，， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了正六边形的性质，解题关键是连接对角线，根据正六边形的面积公式求解． 3．（2025·河北·模拟预测）如图，和直线，直线在同一平面内，是的直径，直线是的切线，直线经过点，下列条件不能判定直线与相切的是 （        ） A． B． C．与只有一个公共点 D．点到上某点的距离等于半径 【答案】D 【分析】本题考查了切线的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握切线的判定方法是解题的关键．根据切线的判定定理“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线”或“圆心到直线的距离等于半径”逐项进行判断即可． 【详解】解：是的直径，且是的切线 又 直线与相切 故选项A、B可以判定，不符合题意； C、根据圆的切线的定义，可知与圆仅有一个公共点的直线是切线，选项C可以判定，不符合题意； D、根据与圆心的距离等于半径的直线为圆的切线，选项D不可判定，符合题意； 故选：D． 4．（2025·河北保定·一模）如图，已知及外一定点P，嘉嘉进行了如下操作后，得出了四个结论： ①点A是的中点； ②直线，都是的切线； ③点P到点Q、点R的距离相等； ④连接，，，，，则． 对上述结论描述正确的是（    ） A．只有①正确 B．只有②正确 C．①②③正确 D．①②③④都正确 【答案】C 【分析】由第一步作图痕迹可知直线是的垂直平分线，由此可判断①正确；根据直径所对的圆周角等于，可判断②正确；根据切线长定理可判断③正确；先证明，由此可得，进而可得，因此可判断④错误． 【详解】 由第一步作图痕迹可知直线是的垂直平分线，因此点A是的中点， 故①正确； ∵是的直径， ， ，， ∴直线，都是的切线， 故②正确； 直线，都是的切线，根据切线长定理，可知 ， 故③正确； ，，， ， ∴， ∴． ∵点A是的中点， ， 故④错误． 故选：C 【点睛】本题主要考查了垂直平分线的尺规作图法、圆周角定理、切线的判定以及切线长定理．熟练掌握以上知识是解题的关键． 5．（24-25九年级上·河北承德·期末）老师在多媒体上展示了一道有关尺规作图的题目：已知及外一点，过点求作的切线．甲、乙的作法分别如下： 甲的作法：连接，分别以，为圆心，大于的长为半径，在线段的两侧画弧，分别相交于点，作直线，交于点，以点为圆心，长为半径画弧交于，作直线，直线即为所求． 乙的作法：迲接并延长．交于两点．分别以为圆心，长为半径作弧，两弧交于点，连接．交于点，作直线，直线即为所求． 下列说法正确的是（    ） A．甲和乙的作法都正确 B．甲和乙的作法都错误 C．甲的作法正确，乙的作法错误 D．乙的作法正确，甲的作法错误 【答案】A 【分析】本题考查了作图——复杂作图、线段垂直平分线的性质和切线的判定和性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 对于甲的作法，连接，利用基本作图得到垂直平分，则，再根据圆周角定理得到，然后根据切线的判定方法得到为的切线，于是可判断甲的作法正确；对于乙的作法：利用基本作图得到，，由于，所以，则根据等腰三角形的性质得到，然后根据切线的判定方法得到为的切线，于是可判断乙的作法正确． 【详解】解：对于甲的作法： 连接 由作法得垂直平分， ∴， ∴点为以为直径的圆与的交点， ∴， ∴， ∴为的切线，所以甲的作法正确； 对于乙的作法： 由作法得，， ∵， ∴， ∴， ∴为的切线，所以乙的作法正确； 故选：A. 6．（2025·河北邯郸·二模）如图，在正六边形中，，将一个含的直角三角板的直角放入正六边形内，保证点同时在三角板的边上，转动三角板．连接，则线段的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了最值问题，正多边形的性质，解直角三角形，勾股定理，解题关键是能准确分析出点H的运动轨迹．连接，过点作，垂足为，易得点在以为直径的圆弧上，当点共线时，取最小值，解直角三角形求出，，由勾股定理求出，即可解答． 【详解】解：如图，连接，过点作，垂足为， ， 点在以为直径的圆弧上， 当点共线时，取最小值， 在正六边形中，， ， ， ，在中，， ， ， 即线段的最小值为． 故答案为：． 7．已知的半径为4，是上两定点，点A是上一动点，且，的平分线交于点D，过点D作的平行线交的延长线于点F．下列说法中正确的是 ． ①的最大值是8；②点D为上一定点；③的最大值是；④与相交；⑤若为锐角三角形，则． 【答案】①②⑤ 【分析】①由圆周角定理可知，当在优弧的中点时，为最大值，即可得出结论， ②由的平分线交于点D，，可得，再由是上两定点即可得出结论， ③当时，最大，再由勾股定理求出高，即可求出面积得出结论， ④连接，根据平行线的性质和切线的定义，得出DF与相切，即可得出结论， ⑤分别求出时，，时，，即可得出为锐角三角形的范围． 【详解】解：①当在优弧的中点时， 为直径，值最大，最大值为，故①正确． ②的平分线交于点D，， ， ， 是上两定点， 点D为上一定点，故②正确． ③是上两定点， 的长度不变， 则当时，的高最大， 设与交于点，连接， ， ， ， ， ，， , ， ，故③不正确． ④连接， ， ， ， ， 为的半径， 为圆的切线，故④不正确． ⑤如图，与交于点，当时，为直径， ， ， ， ，， ， ， ， 四边形为矩形， ， 如图，连接，，为直径， ， ， ， ， 为等边三角形， ， 同理可得，， ， ， ， ， 若为锐角三角形，则，故⑤正确． 正确的有①②⑤． 故答案为：①②⑤． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，圆周角定理的应用，切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，做出合适的辅助线，清晰的分类讨论是解本题的关键． 8．（2025·河北石家庄·模拟预测）下面是“经过圆外一点作圆的切线”的尺规作图的过程． 已知：如图1，P为圆外一点．求作：经过P点的切线． 作法：如图2． （1）连接； （2）以为直径作圆，与交于C、D两点； （3）作直线、，则直线、就是所求作经过P点的切线． 下列可作为以上作图依据的是 ． 甲：直径所对的圆周角为直角； 乙：经过半径外端且并且垂直于这条半径的直线是圆的切线； 丙：同弧所对圆周角相等． 【答案】甲乙 【分析】本题考查作图—复杂作图、圆周角定理、切线的判定与性质．连接，，根据直径所对的圆周角为直角以及切线的判定可知、是所求作经过点的切线，进而可得答案． 【详解】解：如图2，连接，， 为直径， ， ，为的半径， 、是所求作经过点的切线． 可作为以上作图依据的是甲乙． 故答案为：甲乙． 9．（2025·河北石家庄·模拟预测）如图，已知四个正六边形摆放在图中，顶点A，B，C，D，E，F在圆上，其中上下两个大一点的正六边形边长均为a，左右两个正六边形边长均为b． （1） ；（2）若，则 ． 【答案】 / 【分析】本题考查正多边形和圆，解直角三角形，根据正六边形的性质和勾股定理，结合直径列方程求出线段长度关系结合三角函数求解即可得到答案； 【详解】解：连接，，过作， 由图形可得，两个大六边形关于对称， ∴是圆的直径， ∵两个大六边形是全等的正六边形， ∴， ∴也是直径， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵小六边形是正六边形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：，． 10．（2025·河北石家庄·一模）图1是一种拼装玩具的零件，它可以看作是底面为正六边形的六棱柱，其内部挖去一个底面为正方形的长方体后得到的几何体，图2是该零件的俯视图，正方形的两个相对的顶点A，C分别在正六边形一组平行的对边上，另外两个顶点B，D在正六边形内部（包括边界），点E，F分别是正六边形的顶点．已知正六边形的边长为2，正方形边长为a． （1）连接，的长为 ； （2）a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形与圆，正方形的性质，解直角三角形，正确的找出正方形边长的最大值和最小值是解题的关键． （1）正方形的两个相对的顶点，分别在正六边形一组平行的对边上，另外两个顶点，在正六边形内部（包括边界），点，分别是正六边形的顶点． （2）当正方形的顶点、、、在正六边形的边上时，正方形的边长的值最大，解直角三角形得到，当正方形的对角线在正六边形一组平行的对边的中点上时，正方形边长的值最小，是正方形的对角线，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：如图，过点作，垂足为点，，垂足为点，连接，， 则，， 是正六边形的一条对角线， ， 在中，，， ， ， 故答案为：； 如图①，当正方形的对角线在正六边形一组平行的对边的中点上时， 正方形边长的值最小，是正方形的对角线， ， ， 如图②，当正方形的四个顶点都在正六边形的边上时，正方形边长的值最大，是正方形的对角线， 设时，正方形的边长最大， ， ， 设直线的解析式为，，， ， ， 直线的解析式为， 将代入得， 此时，取最大值， ， 正方形边长的取值范围是：． 故答案为：． 11．如图，已知．    (1)用尺规作图作的内接正六边形（不写作法、保留作图痕迹）； (2)若的半径为2，求所作正六边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）在上任取一点A，然后过点A画的直径，以点A为圆心，圆的半径为半径依次在圆上画出交点，则六边形满足条件； （2）连接、，过O点作于G点，则，利用正六边形的性质得到，则可判断为等边三角形，接着计算出的面积，然后把的面积乘以6得到正六边形的面积． 【详解】（1）解：正六边形如图所示：    （2）连接，过点作，垂足为， 则， ． 正六边形的面积． 【点睛】本题主要考查了圆和内接多边形，首先确定六边形的度数或边长关系，再结合圆的度数作图，利用内接六边形的小三角形为正三角形是解题的关键． 12．（24-25九年级上·江苏淮安·期中）已知矩形的边，． (1)以点A为圆心、为半径作，求点B，C，D与的位置关系； (2)若以点A为圆心作，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外，求的半径r的取值范围． 【答案】(1)点B在内，点C在外，点D在上 (2) 【分析】此题考查的知识点是点与圆的位置关系，勾股定理，矩形的性质，解题关键是要注意点与圆的位置关系，要熟悉勾股定理，及点与圆的位置关系． （1）根据勾股定理求出的长，进而得出点B，C，D与的位置关系； （2）利用（1）中所求，即可得出半径r的取值范围． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵在矩形中，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴点在内， ∵， ∴点在上， ∵， ∴点在外； （2）∵以点A为圆心作，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外， ∴的半径r的取值范围是． 13．（2024·辽宁·中考真题）如图，是的外接圆，是的直径，点在上，，在的延长线上，． (1)如图1，求证：是的切线； (2)如图2，若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）连接，则，故，由，得到，而，则，由，得，因此，故，则是的切线； （2）连接，可得，则，故，由，得，那么长为． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为直径， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线； （2）解：连接， 由（1）得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴长为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的判定，直角三角形的性质，三角形的外角性质，弧长公式等，正确添加辅助线是解决本题的关键． 14．（2024·宁夏·中考真题）如图，以线段为直径作，交射线于点，平分交于点，过点作直线于点，交的延长线于点．连接并延长交于点． (1)求证：直线是的切线； (2)求证：； (3)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）连接OD，由∠ODA＝∠OAD＝∠DAC证明ODAC，得∠ODF＝∠AED＝90°，即可证明直线DE是⊙O的切线； （2）由线段AB是⊙O的直径证明∠ADB＝90°，再根据等角的余角相等证明∠M＝∠ABM，则AB＝AM； （3）由∠AEF＝90°，∠F＝30°证明∠BAM＝60°，则△ABM是等边三角形，所以∠M＝60°，则∠EDM＝30°，所以BD＝MD＝2ME＝2，再证明∠BDF＝∠F，得BF＝BD＝2． 【详解】（1）证明：连接OD，则OD＝OA， ∴∠ODA＝∠OAD， ∵AD平分∠CAB， ∴∠OAD＝∠DAC， ∴∠ODA＝∠DAC， ∴ODAC， ∵DE⊥AC， ∴∠ODF＝∠AED＝90°， ∵OD是⊙O的半径，且DE⊥OD， ∴直线DE是⊙O的切线． （2）证明：线段是的直径， ， ∴∠ADM＝180°－∠ADB＝， ∴∠M＋∠DAM＝，∠ABM＋∠DAB＝， ∵∠DAM＝∠DAB， ∴∠M＝∠ABM， ∴AB＝AM． （3）解：∵∠AEF＝90°，∠F＝30°， ∴∠BAM＝60°， ∴△ABM是等边三角形， ∴∠M＝60°， ∵∠DEM＝90°，ME＝1， ∴∠EDM＝30°， ∴MD＝2ME＝2， ∴BD＝MD＝2， ∵∠BDF＝∠EDM＝30°， ∴∠BDF＝∠F， ∴BF＝BD＝2． 【点睛】此题重点考查切线的判定、直径所对的圆周角是直角、等角的余角相等、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 15．（2024·广西桂林·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上的一点，CD⊥AD于点D，AD交⊙O于点F，连接AC，若AC平分∠DAB，过点F作FG⊥AB于点G交AC于点H．    (1)求证：CD是⊙O的切线； (2)延长AB和DC交于点E，若AE＝4BE，求cos∠DAB的值； (3)在（2）的条件下，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）如图1，连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠CAO＝∠ACO，由角平分线的定义得到∠DAC＝∠OAC，等量代换得到∠DAC＝∠ACO，根据平行线的判定定理得到AD∥OC，由平行线的性质即可得到结论； （2）设BE＝x，则AB＝3x，根据平行线的性质得∠COE＝∠DAB，由三角函数定义可得结论； （3）证明△AHF∽△ACE，列比例式可解答． 【详解】（1）如图1，连接OC，    ∵OA＝OC， ∴∠CAO＝∠ACO， ∵AC平分∠DAB， ∴∠DAC＝∠OAC， ∴∠DAC＝∠ACO， ∴AD∥OC， ∵CD⊥AD， ∴OC⊥CD， ∵OC是⊙O的半径， ∴CD是⊙O的切线； （2）∵AE＝4BE，OA＝OB， 设BE＝x，则AB＝3x， ∴OC＝OB＝1.5x， ∵AD∥OC， ∴∠COE＝∠DAB， ∴； （3）由（2）知：OE＝2.5x，OC＝1.5x， ∴， ∵FG⊥AB， ∴∠AGF＝90°， ∴∠AFG+∠FAG＝90°， ∵∠COE+∠E＝90°，∠COE＝∠DAB， ∴∠E＝∠AFH， ∵∠FAH＝∠CAE， ∴△AHF∽△ACE， ∴． 【点睛】此题考查了和圆有关的综合性题目，用到的知识点有：平行线的判定和性质，三角形相似的性质和判定，切线的判定，三角函数定义以及等腰三角形的判定与性质等知识．掌握切线的判定和相似三角形的性质和判定是解本题的关键． 16．（2025·河北·二模）现有若干张相同的半圆形纸片，点O是圆心，直径，P是半圆弧上的一点（点P与点A、B不重合）， (1)连接，沿剪下，则是________三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）； (2)分别取半圆弧上的点P、Q和直径上的点O、B，已知剪下的图形由这四个点顺次连接构成的四边形是一个菱形．请用直尺和圆规在图中作出符合条件的菱形（保留作图痕迹，不要求写作法）； (3)如图，点Q为上一点，，以为直径在下方作半圆． ①试判断点O与半圆的位置关系，请说明理由．过点P作交于点C，并求出当时，点Q到的距离； ②半圆与相切时，直接写出扇形的面积； ③当点到的距离为时，直接写出点P到的距离． 【答案】(1)直角 (2)见解析 (3)①点O在半圆上，理由见解析；4；②；③或 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角即可得到答案； （2）以点B为圆心，的长为半径画弧交于P，以点P为圆心，以的长为半径画弧交于Q，连接，则四边形即为所求； （3）①连接，由垂径定理得到，，由勾股定理得，即，则点O在半圆上；，可得；由勾股定理得；过点Q作于H，证明，得到，则点Q到的距离为4； ②根据题意可得半圆与相切时，切点为点O，则可求出，； ③分当点在点O右侧时，当点在点O左侧时，两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵是直径， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：如图所示，以点B为圆心，的长为半径画弧交于P，以点P为圆心，以的长为半径画弧交于Q，连接，则四边形即为所求； （3）解：①点O在半圆上，理由如下： 如图所示，连接， ∵是的一条弦，是以为直径的圆的圆心， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，即， ∴点O在半圆上； ∴， 在中，由勾股定理得； 如图所示，过点Q作于H，则， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点Q到的距离为4； ②∵点O在半圆上， ∴半圆与相切时，切点为点O， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ③如图所示，当点在点O右侧时，过点作于N，过点P作于M， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵， ∴， ∴点P到的距离为； 如图所示，当点在点O左侧时，过点作于S，过点P作于R， 同理可证明， ∴同理可得， ∴， ∴同理可得点P到的距离为； 综上所述，点P到的距离为或． 【点睛】本题主要考查了圆的综合，勾股定理，全等三角形的性质与判定，求扇形面积等，熟知圆的相关知识是解题的关键． 17．（2025·河北邯郸·二模）摩天轮（如图1）是游乐场中受欢迎的游乐设施之一，它可以看作一个大圆和六个全等的小圆组成（如图2），大圆绕着圆心O匀速旋转，小圆通过顶部挂点（如点P，N）均匀分布在大圆圆周上，由于重力作用，挂点和小圆圆心连线（如）始终垂直于水平线l．    (1)________° (2)若，的半径为10，小圆的半径都为1： ①在旋转一周的过程中，圆心M与l的最大距离为________； ②当圆心H到l的距离等于时，求的长； ③求证：在旋转过程中，的长为定值，并求出这个定值． 【答案】(1)60 (2)①25；②；③的长为定值，定值为10． 【分析】（1）将平均分6份即可； （2）①当圆心M在的延长线上时，圆心M与l有最大距离，据此即可求解； ②设的挂点为K，过点H作于点T，先证四边形是矩形，再用勾股定理解即可； ③先证是等边三角形，再证是平行四边形，可得． 【详解】（1）解：， 故答案为：60； （2）解：①当圆心M在的延长线上时，圆心M与l有最大距离， 最大距离为， 故答案为：25； ②如图，设的挂点为K，过点H作于点T，    ∵挂点和小圆圆心连线始终垂直于水平线l， ∴K，H，T在同一直线上， ∵圆心H到l的距离等于， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴； ③证明：如图所示，连接，，    由（1）知， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵小圆的半径都为1，挂点和小圆圆心连线始终垂直于水平线l， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴的长为定值． 【点睛】本题考查圆的基本知识，矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等，解题的关键是根据题意抽象出数学模型． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十九章 直线与圆的位置关系 知识点一 点与圆的位置关系 设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有： d<r点P在⊙O_____；d=r点P在⊙O____；d>r点P在⊙O_____． 知识点二 直线与圆的位置关系 （1）直线与圆相离 有_____个交点； （2）直线与圆相切 有______交点； （3）直线与圆相交 有______交点； 知识点三 切线的性质与判定定理 （1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过_______且______，二者缺一不可．即：∵且过半径外端 ∴是⊙的切线 （2）性质定理：切线______于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点．推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心． 以上三个定理及推论也称二推一定理：即：①过圆心；②过切点；③垂直切线 知识点四 切线长定理 切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长_______，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角．即：∵、是的两条切线；∴；平分 知识点五 三角形的内切圆和内心 （1）三角形的内切圆：与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆． （2）三角形的内心：三角形的内切圆的圆心是三角形的______________的交点，它叫做三角形的内心． 注意：内切圆及有关计算 （1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到________的距离相等． （2）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，则内切圆的半径r=____________ ． （3）S△ABC=，其中a，b，c是边长，r是内切圆的半径． 知识点六 正多边形和圆 （1）正三角形：在⊙中△是正三角形，有关计算在中进行：； （2）正四边形：同理，四边形的有关计算在中进行，： （3）正六边形：同理，六边形的有关计算在中进行，． 一 点和圆的位置关系 易错点一：概念理解混淆，忽视前提条件 易错点总结： 1.认为“圆上的点”到圆心的距离都相等，但“圆内的点”到圆心的距离也可能等于半径。（错误！圆内的点距离一定小于半径） 2.在判断点与圆的位置关系时，没有先明确哪个圆和哪个点，尤其是在复杂图形中。 注意事项： 1.牢记定义：严格依据d与r的数量关系进行判断，不要凭感觉或图形估算。 2.明确对象：读题时圈出“点”和“圆”，确保判断的对象是正确的。 例：如图所示，已知矩形的边，，以点为圆心，为半径作，判断点，，与怎样的位置关系． 易错点二：与其它知识点结合时，逻辑链条断裂 易错点总结： 1.在动点问题或函数图像问题中，无法建立点的坐标与距离的函数关系。 2.在证明“几点共圆”时，不理解其本质是证明这几个点到某一定点的距离相等。 注意事项： 1.问题转化：将“位置关系”转化为d与r的不等式关系”。 2.数形结合：画出草图，帮助理解动点的运动轨迹和满足条件的区域。 例：如图所示，直线的解析式为，并且与轴、轴分别相交于点A、B． (1)求A、B两点的坐标． (2)一个圆心在坐标原点、半径为1的圆，以0.4个单位每秒的速度向轴正方向运动，问什么时刻该圆与直线相切． (3)在题（2）中，若在圆开始运动的同时，一动点P从B点出发，沿方向以0.5个单位／秒的速度运动，问在整个运动的过程中，点P在动圆的圆面（圆上和圆的内部）上一共运动了多少时间？ 易错点三：忽视多解情况或图形位置的不确定性 易错点总结： 1.在解答关于位置关系的分类讨论题时，答案不完整。 2.过于依赖单一位置的草图，忽略了图形可能存在多种情况。 注意事项： 1.临界点检查：在列出不等式后，务必单独考虑d = r的临界情况，检查该点是否符合题意（“圆上”通常不属于“圆内”或“圆外”）。 2.全面思考：养成分类讨论的习惯，思考图形是否有其他可能的位置或形状。 例：如图，在中，，，，是的中点，以为圆心，为半径作． （1）若，则点在 ，点在 ，点在 （填“圆内”“圆外”或“圆上”），且直线与的位置关系是 ； （2）若，则直线与的位置关系是 ；若，则直线与的位置关系是 ． 二 切线的性质和判定 易错点一 性质使用前提不清 易错点总结： 在未证明某直线是切线的情况下，直接使用“切线与半径垂直”的性质。 注意事项： 必须明确，只有已知（或已证）某线是切线，并且明确指出了切点，才能使用“切线与过切点的半径垂直”这一性质。 例：如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB延长线相交于点P．若∠COB＝2∠PCB，求证：PC是⊙O的切线． 易错点二 判定方法选择错误 易错点总结： 已知公共点时，却用“作垂直，证半径”；或者未知公共点时，盲目地“连半径”。 注意事项： 1.题目条件中明确给出了直线和圆的公共点优先用“连半径，证垂直”。 2.题目条件中没有明确公共点必须用“作垂直，证半径”。 例：已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是和⊙O相切于点B的切线，⊙O的弦AD平行于OC．求证：DC是⊙O的切线. ． 易错点三 “连半径，证垂直”时，推理不严谨 易错点总结： 连接半径后，证明垂直的步骤不完整，逻辑跳跃。 注意事项： 证明垂直通常需要利用三角形全等、勾股定理逆定理、或者“直径所对的圆周角是直角”等性质。要写出完整的推理过程。 例：如图，AB为⊙O的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交于点D，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点E． （1）求证：AC∥DE； （2）连接CD，若OA=AE=a，写出求四边形ACDE面积的思路． 三 正多边形与圆 易错点一 计算失误——中心角、边数、半径关系的混淆 易错点总结： 正多边形的计算核心是围绕中心角展开的。中心角是将正多边形的中心与各个顶点连接后，形成的每个等腰三角形的顶角。 注意事项： 1. 画图标量：遇到计算题，务必画出正多边形、它的外接圆，并连接中心与两个相邻顶点，构造出一个等腰三角形。这个三角形的顶角是中心角，底角是内角的一半，腰是半径，底边是边长。 2.明确目标：你的所有计算几乎都是在这个等腰三角形中进行的。明确已知什么（是半径？边长？边心距？），求什么，然后再选择用三角函数还是勾股定理。 例：我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为，如图，若的半径为1．（在求圆内接正多边形面积时，通过分割成三角形，利用特殊角解决） (1)求圆内接正六边形面积． (2)圆内接正八边形的面积为_____． (3)运用“割圆术”，用圆内接正十二边形近似估计的面积，可得圆内接正十二边形面积是_____，可得的估计值为_____． 易错点二：思维定式——“正多边形”与“等分圆周”的等价关系 易错点总结： 认为“将圆周四等分，依次连接各点，得到的是正方形”；但忽略了“依次连接”和“间隔 注意事项： 仔细审题，看清题目要求是“依次连接”还是“每隔m个点连接”。 如图，正六边形是半径为1的的内接六边形，连接并延长到点，过点，交的延长线于点． (1)是___________（填“直角”“等腰”或“等边”）三角形； (2)当___________时，直线与相切，此时通过计算比较线段和劣弧长度哪个更长；（参考数据：取3） (3)已知是上的动点（点不与点A，重合）． ①连接，，求的度数； ②已知，过点作的切线，当切线与直线交于点时，请直接写出长的最小值． 1．（24-25九年级下·河北沧州·阶段练习）已知的直径为10，为射线上的三个点，，，，则（　　） A．点在 内 B．点在上 C．点在 外 D．点在上 2．（河北·中考真题）如图，点为正六边形对角线上一点，，，则的值是（    ） A．20 B．30 C．40 D．随点位置而变化 3．（2025·河北·模拟预测）如图，和直线，直线在同一平面内，是的直径，直线是的切线，直线经过点，下列条件不能判定直线与相切的是 （        ） A． B． C．与只有一个公共点 D．点到上某点的距离等于半径 4．（2025·河北保定·一模）如图，已知及外一定点P，嘉嘉进行了如下操作后，得出了四个结论： ①点A是的中点； ②直线，都是的切线； ③点P到点Q、点R的距离相等； ④连接，，，，，则． 对上述结论描述正确的是（    ） A．只有①正确 B．只有②正确 C．①②③正确 D．①②③④都正确 5．（24-25九年级上·河北承德·期末）老师在多媒体上展示了一道有关尺规作图的题目：已知及外一点，过点求作的切线．甲、乙的作法分别如下： 甲的作法：连接，分别以，为圆心，大于的长为半径，在线段的两侧画弧，分别相交于点，作直线，交于点，以点为圆心，长为半径画弧交于，作直线，直线即为所求． 乙的作法：迲接并延长．交于两点．分别以为圆心，长为半径作弧，两弧交于点，连接．交于点，作直线，直线即为所求． 下列说法正确的是（    ） A．甲和乙的作法都正确 B．甲和乙的作法都错误 C．甲的作法正确，乙的作法错误 D．乙的作法正确，甲的作法错误 6．（2025·河北邯郸·二模）如图，在正六边形中，，将一个含的直角三角板的直角放入正六边形内，保证点同时在三角板的边上，转动三角板．连接，则线段的最小值为 ． 7．已知的半径为4，是上两定点，点A是上一动点，且，的平分线交于点D，过点D作的平行线交的延长线于点F．下列说法中正确的是 ． ①的最大值是8；②点D为上一定点；③的最大值是；④与相交；⑤若为锐角三角形，则． 8．（2025·河北石家庄·模拟预测）下面是“经过圆外一点作圆的切线”的尺规作图的过程． 已知：如图1，P为圆外一点．求作：经过P点的切线． 作法：如图2． （1）连接； （2）以为直径作圆，与交于C、D两点； （3）作直线、，则直线、就是所求作经过P点的切线． 下列可作为以上作图依据的是 ． 甲：直径所对的圆周角为直角； 乙：经过半径外端且并且垂直于这条半径的直线是圆的切线； 丙：同弧所对圆周角相等． 9．（2025·河北石家庄·模拟预测）如图，已知四个正六边形摆放在图中，顶点A，B，C，D，E，F在圆上，其中上下两个大一点的正六边形边长均为a，左右两个正六边形边长均为b． （1） ；（2）若，则 ． 10．（2025·河北石家庄·一模）图1是一种拼装玩具的零件，它可以看作是底面为正六边形的六棱柱，其内部挖去一个底面为正方形的长方体后得到的几何体，图2是该零件的俯视图，正方形的两个相对的顶点A，C分别在正六边形一组平行的对边上，另外两个顶点B，D在正六边形内部（包括边界），点E，F分别是正六边形的顶点．已知正六边形的边长为2，正方形边长为a． （1）连接，的长为 ； （2）a的取值范围是 ． 11．如图，已知．    (1)用尺规作图作的内接正六边形（不写作法、保留作图痕迹）； (2)若的半径为2，求所作正六边形的面积． 12．（24-25九年级上·江苏淮安·期中）已知矩形的边，． (1)以点A为圆心、为半径作，求点B，C，D与的位置关系； (2)若以点A为圆心作，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外，求的半径r的取值范围． 13．（2024·辽宁·中考真题）如图，是的外接圆，是的直径，点在上，，在的延长线上，． (1)如图1，求证：是的切线； (2)如图2，若，，求的长． 14．（2024·宁夏·中考真题）如图，以线段为直径作，交射线于点，平分交于点，过点作直线于点，交的延长线于点．连接并延长交于点． (1)求证：直线是的切线； (2)求证：； (3)若，，求的长． 15．（2024·广西桂林·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上的一点，CD⊥AD于点D，AD交⊙O于点F，连接AC，若AC平分∠DAB，过点F作FG⊥AB于点G交AC于点H．    (1)求证：CD是⊙O的切线； (2)延长AB和DC交于点E，若AE＝4BE，求cos∠DAB的值； (3)在（2）的条件下，求的值． 16．（2025·河北·二模）现有若干张相同的半圆形纸片，点O是圆心，直径，P是半圆弧上的一点（点P与点A、B不重合）， (1)连接，沿剪下，则是________三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）； (2)分别取半圆弧上的点P、Q和直径上的点O、B，已知剪下的图形由这四个点顺次连接构成的四边形是一个菱形．请用直尺和圆规在图中作出符合条件的菱形（保留作图痕迹，不要求写作法）； (3)如图，点Q为上一点，，以为直径在下方作半圆． ①试判断点O与半圆的位置关系，请说明理由．过点P作交于点C，并求出当时，点Q到的距离； ②半圆与相切时，直接写出扇形的面积； ③当点到的距离为时，直接写出点P到的距离． 17．（2025·河北邯郸·二模）摩天轮（如图1）是游乐场中受欢迎的游乐设施之一，它可以看作一个大圆和六个全等的小圆组成（如图2），大圆绕着圆心O匀速旋转，小圆通过顶部挂点（如点P，N）均匀分布在大圆圆周上，由于重力作用，挂点和小圆圆心连线（如）始终垂直于水平线l．    (1)________° (2)若，的半径为10，小圆的半径都为1： ①在旋转一周的过程中，圆心M与l的最大距离为________； ②当圆心H到l的距离等于时，求的长； ③求证：在旋转过程中，的长为定值，并求出这个定值． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $