第二十九章 直线与圆的位置关系（单元测试·提升卷）数学冀教版九年级下册

2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第二十九章 直线与圆的位置关系·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 1、 选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．（山东烟台·中考真题）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC=124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为（　　） A．56° B．62° C．68° D．78° 2．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，点A，B，C，D，E，F是圆O的六等分点，若与的周长分别为a，b，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．a，b的大小无法比较 3．（2025·河北·模拟预测）如图，有一正八边形，分别连接，其中交于点，则（   ） A． B． C． D． 4．（2025·河北·模拟预测）如图，是的直径，是上一点，平分，已知，，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·河北·模拟预测）如图，点是的八等分点，直线与切于点，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·四川南充·一模）如图，点是外接圆的圆心．点是的内心．连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．（2025·河北石家庄·模拟预测）如图，点在正六边形的对角线上移动，以点为圆心，线段的长为半径作弧，交射线于点．若，则的长可以是（    ） A． B． C． D． 8．（2025·河北·模拟预测）如图，在边长为3的正六边形中，点，分别在边、上，且，连接交于点，连接交于点，则的值为（  ） A．1 B． C．2 D． 9．如图，是圆的直径，是切线，是切点，弦，与的延长线交于点，，则（    ）    A． B． C． D． 10．如图，为的直径，点在的延长线上，，与相切，切点分别为C，D．若，则等于（    ）    A． B． C． D． 11．如图，以的边为直径作经过点C，分别过点B，C作的两条切线相交于点D，交于点E，的延长线交于点F．下面结论中，错误的是（    ） A． B． C． D．点E为的内心 12．如图，等腰的一个锐角顶点是上的一个动点，，腰与斜边分别交于点，分别过点作的切线交于点，且点恰好是腰上的点，连接，若的半径为4，则的最大值为：（    ） A． B． C．6 D．8 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13．（2025·河北衡水·模拟预测）如图1，将一装有水的球形容器放在水平地面上，其截面为⊙的一部分，为容器口，为水面．已知⊙的半径为，将容器从与地面平行时向右缓慢作无滑动滚动，地面与⊙始终相切，当容器口边缘点恰好经过水面时停止，如图2，则容器口边缘点相对操作前（图1）升高了 ． 14．（2025·河北石家庄·二模）如图，边长为6的正六边形，连接，点为线段上的点（不与C，E重合），过点作于点，以为圆心，长为半径画圆，当和正六边形的两条边所在直线相切时，的长为 ． 15．（2025·河北·模拟预测）如图，在中，，，，点P是的中点，点O是射线上一点，以点O为圆心，为半径作 （1） ； （2）若与边相切，则 ． 16．（2025·河北沧州·模拟预测）某数学小组在一个半径为的圆形场地上做探究实践活动． （）如图，小组将圆形场地分为等份，机器人从一个点到另外一个点均是直线行走． ①机器人从点走到点的路程为 ； ②机器人从点到点走了两条不同的路线．路线：；路线：，路线的长记为，路线的长记为，则 ；（填“”“”或“”） （）如图，机器人从出发，沿与半径夹角为的方向行走，走到场地边缘后，再沿与夹角为的方向折向行走至，，按照这样的方式，机器人走到时第一次超过，且，则 ． 三、解答题（本大题共8题，17题6分，18题6分，19题8分，20题8分，21题10分，22题10分，23题12分，24题12分共72分） 17．（本题6分）在中，，延长到点，以为直径作，交的延长线于点，延长到点，使． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为5，，，求的长． 18．（本题6分）如图，在的边上取一点O，以O为圆心，为半径画，与边相切于点D，，连接OA交于点E，连接，并延长交线段于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径；． 19．（8分）如图，△ABC内接于⊙O, AD是⊙O直径, E是CB延长线上一点, 且∠BAE=∠C． （1）求证：直线AE是⊙O的切线； （2）若EB=AB, , AE=24，求EB的长及⊙O的半径． 20．（8分）（2025·河北沧州·模拟预测）周末淇淇爸爸陪淇淇去游乐场玩，淇淇坐在旋转木马上，淇淇爸爸编制了一道数学题目：如图1和图2为旋转木马示意图，其中圆O为旋转木马，淇淇坐在旋转木马的外侧木马上（看成圆周上的点），淇淇爸爸站在点处给淇淇拍视频，，为圆的切线，与圆交于点．旋转木马的铭牌上显示这个旋转木马直径． (1)如图1，当时，直接写出的形状并计算的长度； (2)如图2，当时，比较与劣弧的长． 21．（10分）（24-25九年级下·河北秦皇岛·阶段练习）如图1、自左向右C、D分别是线段上两点、且，以C为圆心，AC为半径在线段的上方作半圆C、P是半圆C上任意一点． (1)如图2、若，连接交半圆C于点Q、求的长； (2)若线段与半圆C有两个公共点，求长l的取值范围． 22．（10分）（2025·河北·模拟预测）如图1，在中，，以点B为圆心，以为半径作圆． (1)设点P为上的一个动点，线段绕着点C顺时针旋转，得到线段，连接，，，如图2，求证：； (2)在（1）的条件下，若，求的长； (3)在（1）的条件下，当______°时，有最大值，且最大值为______；当______°时，有最小值，且最小值为______． 23．（12分）（2025·河北邯郸·模拟预测）李阿姨正在练习扇子舞，如图1，她握住扇子的端点Q，将扇子绕点Q在平面内逆时针旋转一周．佳佳认真观察扇子的运动，画出示意图（图2），研究其中的数学问题．经测量可得，，扇形从与重合的状态开始绕点Q逆时针旋转，点P的对应点为点M． (1)当点落在弧上时，求的度数，并判断点O是否在直线上； (2)当所在直线与扇形第一次相切时，求点经过的路径的长； (3)连接，当扇形转动一周时，求的取值范围． 24．（12分）（2024·河北·中考真题）已知的半径为3，弦，中，．在平面上，先将和按图1位置摆放（点B与点N重合，点A在上，点C在内），随后移动，使点B在弦上移动，点A始终在上随之移动，设． (1)当点B与点N重合时，求劣弧的长； (2)当时，如图2，求点B到的距离，并求此时x的值； (3)设点O到的距离为d． ①当点A在劣弧上，且过点A的切线与垂直时，求d的值； ②直接写出d的最小值． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第二十九章直线与圆的位置关系·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 题号 1 2 3 6 7 6 0 10 11 12 答案 C E C B B C C C B D c 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 25 14.35或4√5/4W5或3√5 15.8 7 4 16.22 71.5° 三、解答题（本大题共8题，17题6分，18题6分，19题8分，20题8分，21题10分，22 题10分，23题12分，24题12分共72分) 17(本题6分)【详解】(1)证明：连接OE,如图， D BF EF, B ∴.∠B=∠FEB, :∠ACB=90°， .∠B+∠BAC=90°， .∠FEB+∠BAC=90°， ÷0A=0E, .∠OAE=∠OEA, ∠BAC=∠OAE, .∠OEA=∠BAC. 1/14 西学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 ∠OEA+∠BEF=90°， 即L0EF=90°， .OE⊥FE. :0E是⊙0的半径， EF是⊙0的切线； --3分 (2)连接DE,过点E作EH⊥FB于点H,如图， D AD为OO的直径， H ∠AED=90°，AD=10. :DE=AD2-AE2=6. :∠EAD=∠CAB,∠AED=∠ACB=90°， ∴△EDAO△CBA, AE DE AD 8 AC BC AB 4' AB=5,BC=3. AC⊥BC,EH⊥BC, AC∥EH, .△BACn△BEH, BA AC BC BE EH BH 543 13 EH BH m-号，8m- 5 设BF=EF=X,则FH=FB-BH=x-3 FE2=FH2+EH2, r+ 2/14 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 解得：x=65 .FB=65 · -6分 18.(本题6分)【详解】(1)证明：连OD, AB与O0相切于点D, O >B OD⊥AB, ∠AD0=90°， 在△AOC和△AOD中， AC=AD A0=A0. OC=OD △A0C≌△AOD(SSS, ∴∠AC0=∠ADO=90°， OC⊥AC, :0C为半径， :AC是O0切线； -3分 (2)解：连接OD, 、COsB==3,BC=6, D AB=10, AC=√AB2-BC2=N00-36=8, :AD=AC=8, BD=2, COsB=BD 3 OB5' 3/14 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 0e0, .OC=BC-OB=8 :00半径为写 8 -6分 19.(8分) 【详解】(I)证明：连结BD. :AD是⊙O的直径， ∴∠ABD=90° F E D .∠1+∠D=90° :∠C=∠D,∠C=∠BAE, .∠D=∠BAE ∴.∠1+∠BAE=90°. 即∠DAE=90° AD是oO的直径， 直线AE是⊙O的切线.--- --4分 (2)解：过点B作BF⊥AE于点F,则∠BFE=90° EB=AB, ∠E=∠BAE,EF=AE=;×24-12 :∠BFE-90,cosE=5 4 EB-EF--5x12-15 cos E4 .AB=15. 由(1)∠D=∠BAE,又∠E=∠BAE, ∠D=∠E :∠ABD-90°， 4/14 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 BD 4 ∴.C0sD= AD-5 设BD=4k,则AD=5k,在Rt△ABD中，由勾股定理得AB=√AD2-BD2=3k,可求得k=5. AD=25 .⊙o的半径为 25 2 -8分 20.(8分) 【详解】(1)解：连接OA,如图所示： B :PA,PB为圆O的切线， OA⊥PA,OB⊥PB,PA=PB, 0P=0P, .RtOAP≌RtoOBP(HL), ∠OPA=∠OPB, :∠APB=90°， 1 .∠0PB=5×90°=45°， 2 :∠0BP=90°， :△OPB为等腰直角三角形， :0B=0C=4m, .0P=√20B=4v2m, PC=0P-0C=4V2-4m, PC的长度为42-4m；- (2)解：连接OA,OB,如图所示： 5/14 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B:PB为圆O的切线， ∠0BP=90°， :0B=0C=4m,PC=4m, .0p=0C+Cp=8m, Cos∠BOP=OB-41 OP82' ∠B0P=60°， 根据解析(1)可知：Rt△OAP≌Rt△OBP, ∠AOP=∠B0P, .∠A0B=2∠B0P=120°， aB的长为120：48m 180 3m, 8、8 3 OP小于劣弧AB的长. -8分 21.(10分) 【详解】(1)解：连接CP, :DP=AP ∴∠ACP=∠DCP=90° P D 图2 :CP=3,CB=6, :PB=35 过点C作CE⊥BP于E点， :PE=EO LPCB=LCEP,LP=∠P, 6/14 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .△PCE∽△PBC, PC PB PE PC PE5. P0-号5 -5分 (2)解：当点P与半圆C相切时，连接CP,∠CPB=90° D D B CP=3,CB=6, ÷cos∠PCB=CP=1 CB2 ∴∠PCB=60°， :DP=60 180 π×3=π， 当点P与点A重合时， 0p-2x3=n .若线段BP与半圆C有两个公共点，π<1≤3π. -10分 22.(10分) 【详解】(1)证明：由旋转可得CP=CD,LPCD=90°， ∠ACB=90°， .LPCD-LBCD=∠ACB-LBCD,即∠PCB=∠DCA, CB=CA, :.△PCB≌△DCA(SAS), .BP=AD.-- 3分 (2)解：分两种情况讨论： ①如图，若点P在BC的上方，连接DP, 7114 可学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 B :CP=CD,∠PCD=90°， :△CDP是等腰直角三角形， ∴∠CPD=∠CDP=45°， :△PCB≌aDCA, .AD=BP=V2,LADC=LBPC=135°， ∠ADP=∠ADC+∠CDP=135°+45°=180°， 点A,D,P在同一直线上， :在Rt△ABC中，AC=BC=V5, AB=AC2+BC2=10 :∠APB=∠BPC-∠DPC=135°-45°=90°， ·在RtABP中，AP=VAB2-Bp2=VO-(N2=22, .PD=AP-AD=2√2-√2=√2， 在RtA PBD中，BD=NBp2+PD2=2+(N2)=2;-6分 ②如图，若点P在BC的下方，连接DP B 由①得AB=√10，∠CPD=∠CDP=45°， ∠BPC=135°， ∠CPD+∠BPC=180°， 点B,P,D在同一直线上， 8/14 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 △PCB≌aDCA, AD=BP=V2,LADC=∠BPC=I35°， .LADB=LADC-LCDP=135°-45°=90°， 在RIAABD中，BD=VAB-AD=可-(2=2E. 综上所述，BD的长为2或2√2. 8分 (3)解：连接PD, △PCB≌aDCA, AD=BP=√2， 点D在以点A为圆心，半径为√2的圆上 如图，当点D在BA的延长线上时，BD有最大值， 最大值为BD=AB+AD=√0+√2， B D 此时∠CAD=180°-∠CAB=180°-45°=135°， :△PCB≌△DCA, .∠PBC=∠DAC=135°. 如图，当点D在线段AB上时，BD有最小值， 最小值为BD=AB-AD=√0-√2， 9/14 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 此时∠PBC=∠BAC=45°. 故答案为：135；√10+√2；45；√10-√2- --10分 23.(12分) 【详解】(1)解：点O在直线MO'上，理由如下： 如图1，连接00'， o' O 图1 .00'=Q0=Q0, ∴△OOO为等边三角形， .∠000'=∠00Q=60°， :∠POQ=∠MOQ=120°， .∠M0'0=∠M0'Q+∠000=120°+60°=180°， .点O在直线MO'上；--… ---4分 (2)当扇形Q0'M的半径OQ所在直线与扇形POQ第一次相切时，如图2，则∠OQO=90°， M 图2 10/14 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第二十九章 直线与圆的位置关系·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 1、 选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC=124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为（　　） A．56° B．62° C．68° D．78° 【答案】C 【分析】由点I是△ABC的内心知∠BAC=2∠IAC、∠ACB=2∠ICA，从而求得∠B=180°﹣（∠BAC+∠ACB）=180°﹣2（180°﹣∠AIC），再利用圆内接四边形的外角等于内对角可得答案． 【详解】解：∵点I是△ABC的内心， ∴∠BAC=2∠IAC、∠ACB=2∠ICA， ∵∠AIC=124°， ∴∠B=180°﹣（∠BAC+∠ACB） =180°﹣2（∠IAC+∠ICA） =180°﹣2（180°﹣∠AIC） =68°， 又四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠CDE=∠B=68°， 故选：C． 【点睛】本题主要考查三角形的内切圆与内心，解题的关键是掌握三角形的内心的性质及圆内接四边形的性质． 2．如图，点A，B，C，D，E，F是圆O的六等分点，若与的周长分别为a，b，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．a，b的大小无法比较 【答案】B 【分析】根据圆内接正六边形的性质以及正三角形的判定和性质进行计算即可． 本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质，正三角形的判定和性质是正确解答的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵点A，B，C，D，E，F是圆O的六等分点， ， 又， ∴、是正三角形， ， ， 即与的周长相等， ， 故选：B 3．如图，有一正八边形，分别连接，其中交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正八边形的性质，设正八边形的边长为a，则，，因此，进而求解即可． 【详解】解：设正八边形的边长为a，则， 且，，，， ∴， ∴， ∴． 故选：C 4．如图，是的直径，是上一点，平分，已知，，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，连接，过点作交的延长线于点，根据圆周角定理得出，根据角平分线定义得出，圆周角定理得出，根据直角三角形的性质和勾股定理求出，根据半径相等得出，根据三角形外角的定义得出，即可得出，求出，根据三角形中线求出，再算出，，根据即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点作交的延长线于点， ∵是的直径， ∴ ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】该题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理，扇形面积公式等知识点，解题的关键是得出． 5．如图，点是的八等分点，直线与切于点，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，切线的性质，三角形内角和定理，连接、，根据点是的八等分点，得，再由三角形内角和定理得，由切线的性质得，最后由可得答案． 【详解】解：如图，连接、， ∵点是的八等分点， ∴， ∵， ∴， ∵直线与切于点， ∴， ∴， 故选：B． 6．如图，点是外接圆的圆心．点是的内心．连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内心和外心的概念、圆周角定理、等腰三角形的定义、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． 连接，由点是的内心可得平分，根据角平分线的定义可得，根据圆周角定理可得，根据等腰三角形的定义及三角形内角和定理进行计算即可得到答案． 【详解】如图，连接， ∵点是的内心， ∴平分， ∵， ∴， ∵点是外接圆的圆心， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 7．如图，点在正六边形的对角线上移动，以点为圆心，线段的长为半径作弧，交射线于点．若，则的长可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形的性质、等边三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理，连接交于，连接，作于，连接，证明为等边三角形，得出，解直角三角形得出，，求出，再由勾股定理得出，从而得出，即可得解． 【详解】解：如图：连接交于，连接，作于，连接， ∵多边形为正六边形， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的长可以是， 故选：C． 8．如图，在边长为3的正六边形中，点，分别在边、上，且，连接交于点，连接交于点，则的值为（  ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了正六边形与圆，相似三角形的判定与性质等知识，连接交于点，连接，证明得出，根据正六边形的对称性得出，进而得出，即可得出是的中位线，证明得出，进而证明得出，设，则，分别表示出，即可求解． 【详解】解：如图，连接交于点，连接 ∵边长为3的正六边形中，点，分别在边、上，且， ∴， ∴， ∴ ∴，， ∴ ∴是等边三角形 ∴ 由正六边形的对称性可知 ∴ ∴，即是的中位线 ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵，即 ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ 设，则， ∵是的中位线 ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴， ∴ 故选：C． 9．如图，是圆的直径，是切线，是切点，弦，与的延长线交于点，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接OD，由及，即可得到，从而可证得，即可证得直线是的切线，进而根据，可得，设半径为，,在中，勾股定理求得，即可求解． 【详解】证明：如图，连接OD，   ， ． 又， ，， ． 在与中， ， ， ， 又， ， 是的切线； ∴， 设半径为，,则， ∵， ∴， ∴，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴； 【点睛】本题考查了切线的性质与判定，切线长定理，平行线分线段成比例，勾股定理，熟练掌握切线的性质与判定，平行线分线段成比例是解题的关键． 10．如图，为的直径，点在的延长线上，，与相切，切点分别为C，D．若，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接、、，交于，如图，利用切线的性质和切线长定理得到，，平分，根据等腰三角形的性质得到，则，根据圆周角定理得到，所以，然后求出即可． 【详解】解：连接、、，交于，如图，   ，与相切，切点分别为，， ，，平分， ， ， ， ， ， ∵ ∴ ∵ ∴在中，， ， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和解直角三角形． 11．如图，以的边为直径作经过点C，分别过点B，C作的两条切线相交于点D，交于点E，的延长线交于点F．下面结论中，错误的是（    ） A． B． C． D．点E为的内心 【答案】C 【分析】根据切线长定理得出，利用全等得出，再结合等腰三角形“三线合一”判定A正确；在A基础上，结合圆周角定理，根据平行线的判定定理即可得出B正确；连接，利用圆周角定理及切线性质得出是角平分线，从而得出是内角角平分线交点，进而D正确；对于C选项，可以从很多方面验证其不一定正确，利用反证法即可充分说明，从而得出选项． 【详解】解：连接，如图所示： 过点B，C作的两条切线相交于点D， 根据切线长定理得， ，， ， ， 在等腰中，根据“三线合一”可知,故A正确； 是直径， 根据圆周角定理，， ， ，故B正确； 连接，如图所示： ， ， ， ， ， 是直径， 根据圆周角定理，， 是切线， ， ， ，即是角平分线， 同理可得，是角平分线， 也是角平分线， 是内角角平分线交点，即点E为的内心，故D正确； 对于C选项，若，则， ， ，即， 同理得出，故是等边三角形，而题中并未明确其是等边三角形，故C选项不一定正确， 故选：C． 【点睛】本题考查圆的综合，涉及到切线长定理、全等三角形判定与性质、等腰三角形的判定与性质、切线性质、角平分线的判定与性质等知识点，熟练掌握各个知识点是解决问题的关键． 12．如图，等腰的一个锐角顶点是上的一个动点，，腰与斜边分别交于点，分别过点作的切线交于点，且点恰好是腰上的点，连接，若的半径为4，则的最大值为：（    ） A． B． C．6 D．8 【答案】A 【分析】先由等腰三角形的性质、切线的性质及圆的半径相等判定四边形ODFE是正方形，再得出点C在以EF为直径的半圆上运动，则当OC经过半圆圆心G时，OC的值最大，用勾股定理计算出OG的长度，再加上CG的长度即可． 【详解】解：∵等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°， ∴∠A=∠B=45°， ∴∠DOE=2∠A=90°， ∵分别过点D，E作⊙O的切线， ∴OD⊥DF，OE⊥EF， ∴四边形ODFE是矩形， ∵OD=OE=4， ∴四边形ODFE是正方形， ∴EF=4， ∵点F恰好是腰BC上的点， ∴∠ECF=90° ∴点C在以EF为直径的半圆上运动， ∴设EF的中点为G，则EG=FG=CG=EF=2，且当OC经过半圆圆心G时，OC的值最大，此时，在Rt△OEG中，OG=， ∴OC=OG+CG=. 故答案为：A. 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13．如图1，将一装有水的球形容器放在水平地面上，其截面为⊙的一部分，为容器口，为水面．已知⊙的半径为，将容器从与地面平行时向右缓慢作无滑动滚动，地面与⊙始终相切，当容器口边缘点恰好经过水面时停止，如图2，则容器口边缘点相对操作前（图1）升高了 ． 【答案】/0.68 【分析】如图1中，过点O作于点M，交于点N．在图2中，过点A作于点G，过点O作于点H．交于点J，作于点N．利用勾股定理求出，，证明，进而证明，即可求解． 【详解】解：如图1中，过点O作于点M，交于点N．在图2中，过点A作于点G，过点O作于点H．交于点J，作于点N． 如图1中，∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点A到水面的距离为， 如图2中，同法可得， 在和中，， ∴， ∴， ∴， 设，则有， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴此时点A到水平面的距离为， ∴容器口边缘点相对操作前升高了． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查圆的相关知识，涉及垂径定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，解题的关键是作出辅助线构造全等与相似三角形． 14．如图，边长为6的正六边形，连接，点为线段上的点（不与C，E重合），过点作于点，以为圆心，长为半径画圆，当和正六边形的两条边所在直线相切时，的长为 ． 【答案】或/或 【分析】先由正六边形得到，则判断出与相切于点，当与边相切时，记切点为点，连接，根据圆的切线的性质可得平分，则，解，即可求解；记与的左交点为点，连接，当点与点重合时，可得到点重合，再解即可． 【详解】∵正六边形， ∴， ∴， ∵，长为半径画圆， ∴与相切于点， 当与边相切时，记切点为点，连接，如图： 则，，而， ∴平分， ∵， ∴， ∴在中，； 记与的左交点为点，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 当点与点重合时，如图： ∴， ∴点重合， ∴， ∴与相切于点，而与相切于点，故符合题意， ∴， 综上：当和正六边形的两条边所在直线相切时，的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定与性质，解直角三角形的相关计算，等腰三角形的性质，正多边形的内角问题等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 15．如图，在中，，，，点P是的中点，点O是射线上一点，以点O为圆心，为半径作 （1） ； （2）若与边相切，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质，解直角三角形，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）利用正切的定义得到，则设，所以，即，解方程求出，则可得的长； （2）先利用切线的性质得到，再利用正切的定义可求出，接着利用勾股定理计算出的长，然后计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， 设， ∴ 即， 解得， ∴， 故答案为：； （2）点P是的中点， ∴， ∵与边相切， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16．某数学小组在一个半径为的圆形场地上做探究实践活动． （）如图，小组将圆形场地分为等份，机器人从一个点到另外一个点均是直线行走． ①机器人从点走到点的路程为 ； ②机器人从点到点走了两条不同的路线．路线：；路线：，路线的长记为，路线的长记为，则 ；（填“”“”或“”） （）如图，机器人从出发，沿与半径夹角为的方向行走，走到场地边缘后，再沿与夹角为的方向折向行走至，，按照这样的方式，机器人走到时第一次超过，且，则 ． 【答案】 【分析】（）①由中心角为，得从点走到点其路径对的圆心角为，根据半径为利用勾股定理计算即可； ②根据中心角为，得，继而可判定，， 都是等边三角形，得到， 得到，根据，得到为圆的直径， 根据中心角为，得到，，， 可得，，即得，比较大小即可求解； （）设多边形的中心角为，当转到时，，，根据可求得，进而即可求解． 【详解】解：（）①∵中心角为， ∴从点走到点其路径对的圆心角为， ∵， ∴， 故答案为：； ②∵中心角为， ∴， ∴，， 都是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为圆的直径， ∴，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （）设多边形的中心角为， 当转到时，，， ∵， ∴， 解得， ∵半径相等， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了中心角的计算，等边三角形的判定和性质，勾股定理，无理数的估算，等腰三角形的性质，熟练掌握中心角的计算是解题的关键． 三、解答题（本大题共8题，17题6分，18题6分，19题8分，20题8分，21题10分，22题10分，23题12分，24题12分共72分） 17．（本题6分）在中，，延长到点，以为直径作，交的延长线于点，延长到点，使． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为5，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，利用直角三角形的两个锐角互余，等腰三角形的性质，同圆的半径相等和圆的切线的判定定理解答即可； （2）连接，过点作于点，设，则，利用圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理解答即可． 【详解】（1）证明：连接，如图， ， ， ， ， ， ， ， ， ． ， 即， ． 是的半径， 是的切线； （2）连接，过点作于点，如图， 为的直径， ，． ． ，， ， ， ，． ，， ， ， ， ，． 设，则， ， ． 解得：． ． 【点睛】本题主要考查了圆的切线的判定，圆周角定理，直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质．连接经过切点的半径和直径所对的圆周角是解决此类问题常添加的辅助线． 18.（本题6分）如图，在的边上取一点O，以O为圆心，为半径画，与边相切于点D，，连接OA交于点E，连接，并延长交线段于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径；． 【答案】(1)证明见解析 (2)半径为 【分析】（1）连，由切线的性质得出，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出，可得出结论； （2）由锐角三角函数可求的长，由勾股定理可求的长，由锐角三角函数可求的长，即可求解． 【详解】（1）证明：连OD， 与相切于点D， ， ， 在和中， ， ， ， ， 为半径， 是切线； （2）解：连接OD， ，， ， ， ， ， ， ， ， 半径为； 【点睛】本题考查了圆与三角形综合．熟练掌握全等三角形的判定与性质，切线的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数定义是解题关键． 19．（本题8分）如图，△ABC内接于⊙O, AD是⊙O直径, E是CB延长线上一点, 且∠BAE=∠C． （1）求证：直线AE是⊙O的切线； （2）若EB=AB, , AE=24，求EB的长及⊙O的半径． 【答案】(1)见详解；（2）15， 【详解】（1）证明：连结BD. ∵AD是⊙O的直径， ∴∠ABD =90°. ∴∠1+∠D =90°. ∵∠C=∠D，∠C=∠BAE， ∴∠D=∠BAE.   ∴∠1+∠BAE=90°. 即 ∠DAE=90°. ∵AD是⊙O的直径， ∴直线AE是⊙O的切线.    （2）解: 过点B作BF⊥AE于点F, 则∠BFE=90°. ∵EB=AB， ∴∠E=∠BAE, EF=AE=×24=12. ∵∠BFE=90°, , ∴=15 ∴AB=15.           由（1）∠D=∠BAE，又∠E=∠BAE, ∴∠D=∠E. ∵∠ABD=90°, ∴ 设BD=4k，则AD＝5k，在Rt △ABD中, 由勾股定理得AB＝=3k，可求得k=5. ∴ ∴⊙o的半径为． 20.（本题8分）周末淇淇爸爸陪淇淇去游乐场玩，淇淇坐在旋转木马上，淇淇爸爸编制了一道数学题目：如图1和图2为旋转木马示意图，其中圆O为旋转木马，淇淇坐在旋转木马的外侧木马上（看成圆周上的点），淇淇爸爸站在点处给淇淇拍视频，，为圆的切线，与圆交于点．旋转木马的铭牌上显示这个旋转木马直径． (1)如图1，当时，直接写出的形状并计算的长度； (2)如图2，当时，比较与劣弧的长． 【答案】(1)为等腰直角三角形，的长度为 (2)小于劣弧的长 【分析】（1）根据切线的性质得出，，，证明，得出，求出，说明为等腰直角三角形，根据，得出，求出结果即可； （2）连接，，根据为圆的切线，得出，求出，解直角三角形得出，求出，得出，根据弧长公式求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：连接，如图所示： ∵，为圆的切线， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， 的长度为； （2）解：连接，，如图所示： 为圆的切线， ， ，， ∴， ， ， 根据解析（1）可知：， ∴， ∴， 的长为， ， 小于劣弧的长． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，求弧长，解直角三角形的相关计算，三角形全等的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关判定和性质． 21.（本题10分）如图1、自左向右C、D分别是线段上两点、且，以C为圆心，AC为半径在线段的上方作半圆C、P是半圆C上任意一点． (1)如图2、若，连接交半圆C于点Q、求的长； (2)若线段与半圆C有两个公共点，求长l的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，可得，由勾股定理得，过点C作于E点，证明，燃弧利用相似三角形的性质求解即可； （2）分当点P与半圆C相切时和点P与点A重合时两种情况求出临界值即可． 【详解】（1）解：连接， ∵， ∴ ∵，， ∴ 过点C作于E点， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ （2）解：当点P与半圆C相切时，连接， ∵， ∴， ∴， ∴． 当点P与点A重合时， ， ∴若线段与半圆C有两个公共点，． 【点睛】本题考查了圆心角与弧的关系，垂径定理，相似三角形的判定与性质，切线的性质，解直角三角形，弧长公式，掌握圆的性质是解答本题的关键． 22.（本题10分）如图1，在中，，以点B为圆心，以为半径作圆． (1)设点P为上的一个动点，线段绕着点C顺时针旋转，得到线段，连接，，，如图2，求证：； (2)在（1）的条件下，若，求的长； (3)在（1）的条件下，当______°时，有最大值，且最大值为______；当______°时，有最小值，且最小值为______． 【答案】(1)见解析 (2)2或 (3)135；；45； 【分析】（1）由旋转可得，，进而得到，从而证明，根据全等三角形的对应边线段得证结论； （2）分点P在的上方或下方两种情况求解即可； （3）连接，由得到，从而点D在以点A为圆心，半径为的圆上．当点D在的延长线上时，有最大值，最大值为，根据，可求得．当点D在线段上时，有最小值，最小值为，根据，可求得． 【详解】（1）证明：由旋转可得，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴． （2）解：分两种情况讨论： ①如图，若点P在的上方，连接， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴点A，D，P在同一直线上， ∵在中，， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∴在中，； ②如图，若点P在的下方，连接 由①得，， ∵， ∴， ∴点B，P，D在同一直线上， ∵， ∴，， ∴， ∴在中，． 综上所述，的长为2或． （3）解：连接， ∵， ∴， ∴点D在以点A为圆心，半径为的圆上． 如图，当点D在的延长线上时，有最大值， 最大值为， 此时， ∵， ∴． 如图，当点D在线段上时，有最小值， 最小值为， 此时． 故答案为：135；；45； 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，圆的定义，两点之间线段最短．利用全等三角形的性质是解题的关键． 23．（本题12分）李阿姨正在练习扇子舞，如图1，她握住扇子的端点Q，将扇子绕点Q在平面内逆时针旋转一周．佳佳认真观察扇子的运动，画出示意图（图2），研究其中的数学问题．经测量可得，，扇形从与重合的状态开始绕点Q逆时针旋转，点P的对应点为点M． (1)当点落在弧上时，求的度数，并判断点O是否在直线上； (2)当所在直线与扇形第一次相切时，求点经过的路径的长； (3)连接，当扇形转动一周时，求的取值范围． 【答案】(1)，在 (2) (3) 【分析】（1）连接，可证得为等边三角形，得，再结合，即可求解； （2）由切线的性质可知，，再根据弧长公式即可求解； （3）由题意可知当扇形旋转一周时，点M的轨迹是以点Q为圆心，的长为半径的一个圆，向两侧延长，分别交大圆Q于点 A，B，可知，的长分别为 的最小值和最大值．连接，过点O作于点D，交于点E，再解直角三角形求得的长度即可求解． 【详解】（1）解：点O在直线上，理由如下： 如图1，连接， 为等边三角形， ， ， ∴点O在直线上； （2）当扇形 的半径所在直线与扇形第一次相切时，如图2，则， ； ∴点经过的路径的长为； （3）根据题意可知旋转中心为点Q，为定值， ∴当扇形旋转一周时，点M的轨迹是以点Q为圆心，的长为半径的一个圆． 如图3，向两侧延长，分别交大圆Q于点 A，B， ∴，的长分别为 的最小值和最大值． 连接，如图4， 过点O作于点D，交于点E， ∴的取值范围为 【点睛】本题考查等边三角形、图形的旋转、特殊锐角三角函数值、圆的切线、弧长公式，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 24．（本题12分）已知的半径为3，弦，中，．在平面上，先将和按图1位置摆放（点B与点N重合，点A在上，点C在内），随后移动，使点B在弦上移动，点A始终在上随之移动，设． (1)当点B与点N重合时，求劣弧的长； (2)当时，如图2，求点B到的距离，并求此时x的值； (3)设点O到的距离为d． ①当点A在劣弧上，且过点A的切线与垂直时，求d的值； ②直接写出d的最小值． 【答案】(1) (2)点B到的距离为； (3)①；② 【分析】（1）如图，连接，，先证明为等边三角形，再利用等边三角形的性质结合弧长公式可得答案； （2）过作于，过作于，连接，证明四边形是矩形，可得，，再结合勾股定理可得答案； （3）①如图，由过点A的切线与垂直，可得过圆心，过作于，过作于，而，可得四边形为矩形，可得，再进一步利用勾股定理与锐角三角函数可得答案；②如图，当为中点时，过作于，过作于， ，此时最短，如图，过作于，而，证明，求解，再结合等角的三角函数可得答案． 【详解】（1）解：如图，连接，， ∵的半径为3，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴的长为； （2）解：过作于，过作于，连接， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴，而， ∴， ∴点B到的距离为； ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：①如图，∵过点A的切线与垂直， ∴过圆心， 过作于，过作于，而， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，即； ②如图，当为中点时， 过作于，过作于， ∴， ∴，此时最短， 如图，过作于，而， ∵为中点，则， ∴由（2）可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得：（不符合题意的根舍去）， ∴的最小值为． 【点睛】本题属于圆的综合题，难度很大，考查了勾股定理的应用，矩形的判定与性质，垂径定理的应用，锐角三角函数的应用，切线的性质，熟练的利用数形结合的方法，作出合适的辅助线是解本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……………………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第二十九章 直线与圆的位置关系·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 1、 选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．（山东烟台·中考真题）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC=124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为（　　） A．56° B．62° C．68° D．78° 2．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，点A，B，C，D，E，F是圆O的六等分点，若与的周长分别为a，b，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．a，b的大小无法比较 3．（2025·河北·模拟预测）如图，有一正八边形，分别连接，其中交于点，则（   ） A． B． C． D． 4．（2025·河北·模拟预测）如图，是的直径，是上一点，平分，已知，，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·河北·模拟预测）如图，点是的八等分点，直线与切于点，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·四川南充·一模）如图，点是外接圆的圆心．点是的内心．连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．（2025·河北石家庄·模拟预测）如图，点在正六边形的对角线上移动，以点为圆心，线段的长为半径作弧，交射线于点．若，则的长可以是（    ） A． B． C． D． 8．（2025·河北·模拟预测）如图，在边长为3的正六边形中，点，分别在边、上，且，连接交于点，连接交于点，则的值为（  ） A．1 B． C．2 D． 9．如图，是圆的直径，是切线，是切点，弦，与的延长线交于点，，则（    ）    A． B． C． D． 10．如图，为的直径，点在的延长线上，，与相切，切点分别为C，D．若，则等于（    ）    A． B． C． D． 11．如图，以的边为直径作经过点C，分别过点B，C作的两条切线相交于点D，交于点E，的延长线交于点F．下面结论中，错误的是（    ） A． B． C． D．点E为的内心 12．如图，等腰的一个锐角顶点是上的一个动点，，腰与斜边分别交于点，分别过点作的切线交于点，且点恰好是腰上的点，连接，若的半径为4，则的最大值为：（    ） A． B． C．6 D．8 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13．（2025·河北衡水·模拟预测）如图1，将一装有水的球形容器放在水平地面上，其截面为⊙的一部分，为容器口，为水面．已知⊙的半径为，将容器从与地面平行时向右缓慢作无滑动滚动，地面与⊙始终相切，当容器口边缘点恰好经过水面时停止，如图2，则容器口边缘点相对操作前（图1）升高了 ． 14．（2025·河北石家庄·二模）如图，边长为6的正六边形，连接，点为线段上的点（不与C，E重合），过点作于点，以为圆心，长为半径画圆，当和正六边形的两条边所在直线相切时，的长为 ． 15．（2025·河北·模拟预测）如图，在中，，，，点P是的中点，点O是射线上一点，以点O为圆心，为半径作 （1） ； （2）若与边相切，则 ． 16．（2025·河北沧州·模拟预测）某数学小组在一个半径为的圆形场地上做探究实践活动． （）如图，小组将圆形场地分为等份，机器人从一个点到另外一个点均是直线行走． ①机器人从点走到点的路程为 ； ②机器人从点到点走了两条不同的路线．路线：；路线：，路线的长记为，路线的长记为，则 ；（填“”“”或“”） （）如图，机器人从出发，沿与半径夹角为的方向行走，走到场地边缘后，再沿与夹角为的方向折向行走至，，按照这样的方式，机器人走到时第一次超过，且，则 ． 三、解答题（本大题共8题，17题6分，18题6分，19题8分，20题8分，21题10分，22题10分，23题12分，24题12分共72分） 17．（本题6分）在中，，延长到点，以为直径作，交的延长线于点，延长到点，使． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为5，，，求的长． 18．（本题6分）如图，在的边上取一点O，以O为圆心，为半径画，与边相切于点D，，连接OA交于点E，连接，并延长交线段于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径；． 19．（8分）如图，△ABC内接于⊙O, AD是⊙O直径, E是CB延长线上一点, 且∠BAE=∠C． （1）求证：直线AE是⊙O的切线； （2）若EB=AB, , AE=24，求EB的长及⊙O的半径． 20．（8分）（2025·河北沧州·模拟预测）周末淇淇爸爸陪淇淇去游乐场玩，淇淇坐在旋转木马上，淇淇爸爸编制了一道数学题目：如图1和图2为旋转木马示意图，其中圆O为旋转木马，淇淇坐在旋转木马的外侧木马上（看成圆周上的点），淇淇爸爸站在点处给淇淇拍视频，，为圆的切线，与圆交于点．旋转木马的铭牌上显示这个旋转木马直径． (1)如图1，当时，直接写出的形状并计算的长度； (2)如图2，当时，比较与劣弧的长． 21．（10分）（24-25九年级下·河北秦皇岛·阶段练习）如图1、自左向右C、D分别是线段上两点、且，以C为圆心，AC为半径在线段的上方作半圆C、P是半圆C上任意一点． (1)如图2、若，连接交半圆C于点Q、求的长； (2)若线段与半圆C有两个公共点，求长l的取值范围． 22．（10分）（2025·河北·模拟预测）如图1，在中，，以点B为圆心，以为半径作圆． (1)设点P为上的一个动点，线段绕着点C顺时针旋转，得到线段，连接，，，如图2，求证：； (2)在（1）的条件下，若，求的长； (3)在（1）的条件下，当______°时，有最大值，且最大值为______；当______°时，有最小值，且最小值为______． 23．（12分）（2025·河北邯郸·模拟预测）李阿姨正在练习扇子舞，如图1，她握住扇子的端点Q，将扇子绕点Q在平面内逆时针旋转一周．佳佳认真观察扇子的运动，画出示意图（图2），研究其中的数学问题．经测量可得，，扇形从与重合的状态开始绕点Q逆时针旋转，点P的对应点为点M． (1)当点落在弧上时，求的度数，并判断点O是否在直线上； (2)当所在直线与扇形第一次相切时，求点经过的路径的长； (3)连接，当扇形转动一周时，求的取值范围． 24．（12分）（2024·河北·中考真题）已知的半径为3，弦，中，．在平面上，先将和按图1位置摆放（点B与点N重合，点A在上，点C在内），随后移动，使点B在弦上移动，点A始终在上随之移动，设． (1)当点B与点N重合时，求劣弧的长； (2)当时，如图2，求点B到的距离，并求此时x的值； (3)设点O到的距离为d． ①当点A在劣弧上，且过点A的切线与垂直时，求d的值； ②直接写出d的最小值． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $