第二十九章 直线与圆的位置关系（单元测试·基础卷）数学冀教版九年级下册

2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第二十九章 直线与圆的位置关系·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．（本题3分）已知的半径为9，点A在内，则的长可能为（   ） A．13 B．11 C．9 D．7 【答案】D 【分析】本题考查点与圆的位置关系．掌握点到圆心的距离小于圆的半径，则点在圆内；点到圆心的距离等于圆的半径，则点在圆上；点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外是解题关键．由点A在内，可知点A到该圆圆心的距离小于其半径，即可得解． 【详解】解：∵的半径为9，且点A在内， ∴， 故选：D． 2．（本题3分）如图，已知⊙O上三点A，B，C，半径OC=1，∠ABC=30°，切线PA交OC延长线于点P，则PA的长为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】连接OA，由圆周角定理可求出∠AOC=60°，再根据∠AOC的正切即可求出PA的值． 【详解】解：连接OA， ∵∠ABC=30°， ∴∠AOC=60°， ∵PA是圆的切线， ∴∠PAO=90°， ∵tan∠AOC = ∴PA= tan60°×1= 故选B． 【点睛】本题考查了圆周角定理、切线的性质及锐角三角函数的知识，根据圆周角定理可求出∠AOC=60°是解答本题的关键． 3．（本题3分）如图，已知点O是的外心，连接，若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的外心性质、等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟记三角形的外心到三个顶点的距离相等是解决问题的关键． 根据O是的外心，得到，由等腰三角形的性质得到，再由三角形内角和定理求解即可得到结果． 【详解】解：点为的外心， ， ， ， ， 故选：D． 4．（本题3分）如图，P为外一点，分别切于A，B，C三点，且切线分别交于点M，N．若，则的周长为（    ） A．12 B．13 C．16 D．24 【答案】D 【分析】本题考查切线长定理．根据切线长定理得到，,再根据三角形周长公式计算，得到答案． 【详解】解：∵，分别切于A，B， ∴． 同理，可得， ∴的周长 ． 故选：D． 5．（本题3分）如图，为的切线，为切点，的延长线交于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是切线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质．连接，与相切于点B，得到，根据条件得到的度数，然后用三角形内角和求出的度数即可． 【详解】解：如图：连接， ∵，， ∴， ∵与相切于点B， ∴， ∴． 故选：C． 6．（本题3分）是边长为4的正六边形的外接圆，点在上，连接，则的长可以是（   ） A．5 B．6 C．7 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形，以及勾股定理等知识．连接，过点C作于点H，则的长介于和之间，分别求出和的长，再结合选项即可得到问题答案． 【详解】解：连接，过点C作于点H， ∵多边形是正六边形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 7．（本题3分）如图是一个钟表表盘，连接整点2时与整点10时的B，D两点并延长，交过整点8时的切线于点P，若表盘的半径长为，则切线长为（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了切线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．设钟表的中心为点，连接，根据题意可得：点在上，，然后利用圆周角定理可得，再利用切线的性质可得，最后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】解：设钟表的中心为点，连接， 由题意得：点在上，， ∴， ∵与相切于点， ∴， ， ， 故选：B． 8．（本题3分）某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，PA，PB分别与所在圆相切于点A，B．若该圆半径是9cm，∠P＝40°，则的长是（    ） A．cm B．cm C．cm D．cm 【答案】A 【分析】如图，根据切线的性质可得，根据四边形内角和可得的角度，进而可得所对的圆心角，根据弧长公式进行计算即可求解． 【详解】解：如图， PA，PB分别与所在圆相切于点A，B． ， ∠P＝40°， ， 该圆半径是9cm， cm， 故选：A． 【点睛】本题考查了切线的性质，求弧长，牢记弧长公式是解题的关键． 9．以正方形的边为直径作半圆，过点作直线切半圆于点，交边于点，若的周长为12，则正方形周长为（   ） A．14 B．15 C．16 D．17 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ， 设正方形的边长为，，则， ∵经过的半径的外端，且， ∴是的切线， ∵与相切于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴正方形周长为16， 故选：C． 10．如图，AB为的直径，BC为的切线，弦AD∥OC，直线CD交的BA延长线于点E，连接BD．下列结论：①CD是的切线；②；③；④．其中正确结论的个数有（　　）    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【详解】解：连结． 为的直径，为的切线， ， ， ，． 又， ， ． 在和中，， ， ． 又点在上， 是的切线；故①正确， ， ， ， 垂直平分， 即，故②正确； 为的直径，为的切线， ， ， ， ， ， ， ， ，故③正确； ， ， ， ， ， ，故④正确； 故选A．    【点睛】本题主要考查了切线的判定、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用是解答此题的关键． 11．如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，OA交小圆于点D，若OD=2，tan∠OAB=，则AB的长是（   ） A．4 B．2 C．8 D．4 【答案】C 【详解】试题解析：连接OC， ∵大圆的弦AB切小圆于点 C， ∴OC⊥AB， ∴AB=2AC， ∵OD=2， ∴OC=2， ∵tan∠OAB=， ∴AC=4， ∴AB=8， 故选C． 考点：切线的性质． 12．如图，是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，，过点作⊙O的切线交的延长线于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，连接，，，，进而可求正弦值． 【详解】解：如图，连接， 由题意知，，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，正弦等知识．解题的关键在于求出的度数． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13．（本题4分）如图，已知的内接正五边形，点I是的内心，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了多边形内角和定理，三角形内角和及内心，正多边形与圆，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据题意得，多边形内角和定理得到，根据三角形内角和定理得到，因为点为三角形的内心，所以，所以． 【详解】解：根据题意得， 正五边形的内角和为， ∴， ∵， ∴， ∵点为的内心， ∴平分，平分， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 14．（本题4分）如图，分别以正五边形的顶点A，D为圆心，以长为半径画，．则 ；若，则阴影部分图形的周长为 （结果保留π）． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形、弧长公式；由正五边形外接圆的性质，则，由弧长公式计算出弧长，进而求出阴影部分周长． 【详解】解：∵五边形为正五边形，， ∴，， ∴ ∴， 故答案为：；． 15．（本题4分）如图，正方形、等边三角形内接于同一个圆，则的度数为 ． 【答案】/30度 【分析】由，，已知图形是以正方形的对角线所在直线为对称轴的轴对称图形，求得，则所对的圆心角为，所以的度数为． 【详解】解：∵四边形是正方形，是等边三角形， ∴，， ∵连接，图形是以正方形的对角线所在直线为对称轴的轴对称图形， ∴， ∵是所对的圆周角， ∴所对的圆心角等于， ∴的度数为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正多边形与圆，正方形及等边三角形的性质、圆周角定理和弧的度数，根据圆周角定理求出所对的圆心角的度数是解决本题的关键． 16．（本题4分）如图，正方形的边长为，以正方形的一边为直径在正方形内部作半圆，过点作半圆的切线，与半圆相切于点，与相交于点，则梯形的面积为 ．    【答案】 【分析】本题考查了切线长定理，正方形的性质，勾股定理；由于与圆切于点，根据切线长定理有，；设．则，， 然后在三角形中由勾股定理可以列出关于的方程，解方程即可求出，然后就可以求出梯形的面积． 【详解】与圆切于点， ∴根据切线长定理有，， 设， 则，， 在三角形中由勾股定理得： ， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8题，17题6分，18题6分，19题8分，20题8分，21题10分，22题10分，23题12分，24题12分共72分） 17．（本题6分）如图，D是的平分线上任意一点，过点作于点，以点为圆心，长为半径作．求证：是的切线．    【答案】证明见解析． 【分析】过点作于点，由题意易得，然后问题可求证． 【详解】证明：过点作于点． 又是的平分线上任意一点，， ∴， 即是的半径， 是的切线． 【点睛】本题主要考查切线的判定定理，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键． 18．（本6分）如图，是的直径，C是上一点，于点D，过点A作的切线，交的延长线于点P，连接并延长与的延长线交于点E．求证：是的切线； 【答案】见解析 【分析】本题考查了切线的性质及判定，全等三角形的判定和性质，证明圆的切线的问题常用的思路是根据切线的判定定理转化成证明垂直的问题．如图，连接，由“垂径定理”可知，垂直平分，所以，可证明，所以，由切线的性质可知， ，所以．即，由此可得结论． 【详解】证明∶ 如图，连接． ，经过圆心， 垂直平分． ． 在和中 ． ． 是的切线， ． ．即． 是的切线． 19．（本题8分）如图，是的直径，点D在直径上，，，连接，与相交于点F，过点F作的切线，交于点E． (1)求证：； (2)若点D是的中点，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查圆的综合应用，考查了切线的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，解题关键是找到等角证明等边，使用勾股定理求边长，然后找出相似三角形，利用相似比求出边长． （1）利用切线性质得到，然后等量代换求出等角推出等边即可． （2）先利用勾股定理求出边长，然后利用相似三角形的相似比代换出边长求解即可． 【详解】（1）证明：连接， 是切线， ，即， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：连接， 是的直径， ， ∵D是的中点， ∴， ∴， ， ，， ， ， ． 20．（本题8分）如图，正方形内接于，M为弧中点，连接． (1)求证：； (2)连接，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了正多边形的性质、圆心角、弧、弦的关系定理，掌握正方形的性质、圆心角、弧、弦的关系定理是解题的关键． （1）根据正方形的性质得到，根据圆心角、弧、弦的关系得到，得到，即可得到结论； （2）连接，根据正方形的性质求出和，计算即可． 【详解】（1）∵四边形是正方形， ∴， ∴． ∵M为的中点， ∴， ∴， ∴； （2）连接． ∵四边形是正方形， ∴． ∵M为弧的中点， ∴， ∴． 21．（本题10分）如图，为的直径，弦于点E，于点F，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)的长是 【分析】（1）先证明平分，得出，证明，说明，得出，从而得出，即可证明结论； （2）根据为的直径，弦于点E，得出，，，根据直角三角形性质求出，根据勾股定理求出，最后根据直角三角形性质求出． 【详解】（1）证明：如图，连接，则， ∴， ∵于点E，于点F，且， ∴点C在的平分线上， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵经过的半径的外端，且， ∴是的切线． （2）解：∵为的直径，弦于点E， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长是． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，角平分线的判定，平行线的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，垂径定理，圆周角定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质和定理，数形结合． 22．（本题10分）图1为中医常用碾药工具——药碾，又名惠夷槽，图2是从药碾抽象出来的几何模型，延长交于点，，于点，连接，． (1)求证：为的切线． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）如图，连接．由，可得．由，可得．则，即，，进而结论得证； （2）由题意可求，则． 【详解】（1）证明：如图，连接． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，即， 又∵是半径， 为的切线． （2）解：，， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查了切线的判定，三角形内角和定理，等边对等角，含的直角三角形．熟练掌握切线的判定，三角形内角和定理，等边对等角，含的直角三角形是解题的关键． 23．（本题12分）如图，以线段为直径作，交射线于点，平分交于点，过点作直线于点，交的延长线于点．连接并延长交于点． (1)求证：直线是的切线； (2)求证：； (3)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）连接OD，由∠ODA＝∠OAD＝∠DAC证明ODAC，得∠ODF＝∠AED＝90°，即可证明直线DE是⊙O的切线； （2）由线段AB是⊙O的直径证明∠ADB＝90°，再根据等角的余角相等证明∠M＝∠ABM，则AB＝AM； （3）由∠AEF＝90°，∠F＝30°证明∠BAM＝60°，则△ABM是等边三角形，所以∠M＝60°，则∠EDM＝30°，所以BD＝MD＝2ME＝2，再证明∠BDF＝∠F，得BF＝BD＝2． 【详解】（1）证明：连接OD，则OD＝OA， ∴∠ODA＝∠OAD， ∵AD平分∠CAB， ∴∠OAD＝∠DAC， ∴∠ODA＝∠DAC， ∴ODAC， ∵DE⊥AC， ∴∠ODF＝∠AED＝90°， ∵OD是⊙O的半径，且DE⊥OD， ∴直线DE是⊙O的切线． （2）证明：线段是的直径， ， ∴∠ADM＝180°－∠ADB＝， ∴∠M＋∠DAM＝，∠ABM＋∠DAB＝， ∵∠DAM＝∠DAB， ∴∠M＝∠ABM， ∴AB＝AM． （3）解：∵∠AEF＝90°，∠F＝30°， ∴∠BAM＝60°， ∴△ABM是等边三角形， ∴∠M＝60°， ∵∠DEM＝90°，ME＝1， ∴∠EDM＝30°， ∴MD＝2ME＝2， ∴BD＝MD＝2， ∵∠BDF＝∠EDM＝30°， ∴∠BDF＝∠F， ∴BF＝BD＝2． 【点睛】此题重点考查切线的判定、直径所对的圆周角是直角、等角的余角相等、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 24．（本题12分）“不倒翁”是我国一种古老的儿童玩具，一经触动就会左右摇摆．某款“不倒翁”的纵截面（沿顶端以垂直于水平面方向截取所得的截面）如图1，它由半圆O和等边三角形组成，直径，半圆O的中点为点C，为桌面，半圆O与相切于点Q，拨动“不倒翁”后它在桌面上做无滑动的滚动． (1)如图1，若，则的长为________（结果保留根号）； (2)如图2，连接，向右拨动“不倒翁”使， ①猜想与的位置关系并证明； ②点C到的距离为________（结果保留根号）； (3)当或垂直于时“不倒翁”开始折返．求在一次摆动（由图2到图3）的过程中圆心O移动的距离． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】（1）根据题意得当时，三点在一条直线上，则，得出，最后根据即可解答； （2）①根据半圆与相切于点，得出，再根据半圆的中点为点，得出，从而得出，根据为等边三角形，得出，证明，即可证出． ②过点作于点于点，则，根据勾股定理求出，则，通过证明四边形为矩形，即可解答； （3）从滚动到滚动过程中始终与桌面相切，得出圆心到桌面的距离总等于圆的半径，则从滚动到过程中，圆心移动的距离为的长度的2倍，结合，即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：当时，三点在一条直线上， ∵直径， ， ∵为等边三角形， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：①． ∵半圆与相切于点， ， ∵半圆的中点为点， ， ∵， ， ∵为等边三角形， ， ， ， ． ②过点作于点于点，如图， ， ， ， ， ∵， ∴四边形为矩形， ∴． ∴点到桌面的距离为， 故答案为：． （3）解：从滚动到（图2-图3）过程中，圆心移动的距离为． ∵拨动“不倒翁”后它在桌面上做无滑动的滚动， ∴滚动过程中始终与桌面相切， ∴圆心到桌面的距离总等于圆的半径， ∴从滚动到过程中，圆心移动的距离为的长度的2倍， 由（2）①知：， ∴圆心移动的距离． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、勾股定理、弧长公式、切线的性质等知识点，正确作出辅助线成为解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第二十九章 直线与圆的位置关系·基础通关（参考答案） 1、 选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D B D D C C B A C A C D 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13． 14． 15． 16． 三、解答题（本大题共8题，17题6分，18题6分，19题8分，20题8分，21题10分，22题10分，23题12分，24题12分共72分） 17.（本题16分）【详解】证明：过点作于点． 又是的平分线上任意一点，， ∴， 即是的半径， 是的切线．-------------------------------6 18（本题16分）证明∶ 如图，连接． ，经过圆心， 垂直平分． ． 在和中 ．---------------------------3分 ． 是的切线， ． ．即． 是的切线．------------------------------------6分 19．（本题8分）（1）证明：连接， 是切线， ，即， ， ， ， ， ， ， ； --------------------------------------4分 （2）解：连接， 是的直径， ， ∵D是的中点， ∴， ∴， ， ，， ， ， ． ------------------------------8分 20．（本题8分） 【详解】（1）∵四边形是正方形， ∴， ∴． ∵M为的中点， ∴， ∴， ∴；---------------------------------4分 （2）连接． ∵四边形是正方形， ∴． ∵M为弧的中点， ∴， ∴．-------------------------------8分 21．（本题10分） 【详解】（1）证明：如图，连接，则， ∴， ∵于点E，于点F，且， ∴点C在的平分线上， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵经过的半径的外端，且， ∴是的切线．-------------------------------------------------------5分 （2）解：∵为的直径，弦于点E， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长是．----------------------------------------------------------10分 【点睛】本题主要考查了切线的判定，角平分线的判定，平行线的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，垂径定理，圆周角定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质和定理，数形结合． 22．（本题10分） 【详解】（1）证明：如图，连接． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，即， 又∵是半径， 为的切线．---------------------------------------------5分 （2）解：，， ∴， ∴， ∴， ∴的长为．-----------------------------------------10分 【点睛】本题考查了切线的判定，三角形内角和定理，等边对等角，含的直角三角形．熟练掌握切线的判定，三角形内角和定理，等边对等角，含的直角三角形是解题的关键． 23．（本题12分） 【详解】（1）证明：连接OD，则OD＝OA， ∴∠ODA＝∠OAD， ∵AD平分∠CAB， ∴∠OAD＝∠DAC， ∴∠ODA＝∠DAC， ∴ODAC， ∵DE⊥AC， ∴∠ODF＝∠AED＝90°， ∵OD是⊙O的半径，且DE⊥OD， ∴直线DE是⊙O的切线．--------------------------------------4分 （2）证明：线段是的直径， ， ∴∠ADM＝180°－∠ADB＝， ∴∠M＋∠DAM＝，∠ABM＋∠DAB＝， ∵∠DAM＝∠DAB， ∴∠M＝∠ABM， ∴AB＝AM．----------------------------------------------8分 （3）解：∵∠AEF＝90°，∠F＝30°， ∴∠BAM＝60°， ∴△ABM是等边三角形， ∴∠M＝60°， ∵∠DEM＝90°，ME＝1， ∴∠EDM＝30°， ∴MD＝2ME＝2， ∴BD＝MD＝2， ∵∠BDF＝∠EDM＝30°， ∴∠BDF＝∠F， ∴BF＝BD＝2．------------------------------------------12分 24．（本题12分） 【详解】（1）解：由题意得：当时，三点在一条直线上， ∵直径， ， ∵为等边三角形， ， ， ， ， ，---------------------------------------------4分 （2）解：①． ∵半圆与相切于点， ， ∵半圆的中点为点， ， ∵， ， ∵为等边三角形， ， ， ， ．------------------------------------------6分 ②过点作于点于点，如图， ， ， ， ， ∵， ∴四边形为矩形， ∴． ∴点到桌面的距离为，-----------------------------------8分 （3）解：从滚动到（图2-图3）过程中，圆心移动的距离为． ∵拨动“不倒翁”后它在桌面上做无滑动的滚动， ∴滚动过程中始终与桌面相切， ∴圆心到桌面的距离总等于圆的半径， ∴从滚动到过程中，圆心移动的距离为的长度的2倍， 由（2）①知：， ∴圆心移动的距离．--------------------------------------12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第二十九章 直线与圆的位置关系·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．（24-25九年级上·河北保定·期末）已知的半径为9，点A在内，则的长可能为（   ） A．13 B．11 C．9 D．7 2．（浙江嘉兴·中考真题）如图，已知⊙O上三点A，B，C，半径OC=1，∠ABC=30°，切线PA交OC延长线于点P，则PA的长为（    ） A．2 B． C． D． 3．如图，已知点O是的外心，连接，若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）如图，P为外一点，分别切于A，B，C三点，且切线分别交于点M，N．若，则的周长为（    ） A．12 B．13 C．16 D．24 5．如图，为的切线，为切点，的延长线交于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·河北邢台·期末）是边长为4的正六边形的外接圆，点在上，连接，则的长可以是（   ） A．5 B．6 C．7 D．9 7．（24-25九年级上·河北张家口·期末）如图是一个钟表表盘，连接整点2时与整点10时的B，D两点并延长，交过整点8时的切线于点P，若表盘的半径长为，则切线长为（   ） A．3 B．2 C． D． 8．（河北·中考真题）某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，PA，PB分别与所在圆相切于点A，B．若该圆半径是9cm，∠P＝40°，则的长是（    ） A． cm B．cm C．cm D．cm 9．以正方形的边为直径作半圆，过点作直线切半圆于点，交边于点，若的周长为12，则正方形周长为（   ） A．14 B．15 C．16 D．17 10．如图，AB为的直径，BC为的切线，弦AD∥OC，直线CD交的BA延长线于点E，连接BD．下列结论：①CD是的切线；②；③；④．其中正确结论的个数有（　　）    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 11．如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，OA交小圆于点D，若OD=2，tan∠OAB=，则AB的长是（   ） A．4 B．2 C．8 D．4 12．如图，是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，，过点作⊙O的切线交的延长线于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图，已知的内接正五边形，点I是的内心，则 ． 14．（24-25九年级下·河北唐山·开学考试）如图，分别以正五边形的顶点A，D为圆心，以长为半径画，．则 ；若，则阴影部分图形的周长为 （结果保留π）． 15．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，正方形、等边三角形内接于同一个圆，则的度数为 ． 16．（24-25九年级上·河北保定·期末）如图，正方形的边长为，以正方形的一边为直径在正方形内部作半圆，过点作半圆的切线，与半圆相切于点，与相交于点，则梯形的面积为 ．    三、解答题（本大题共8题，17题6分，18题6分，19题8分，20题8分，21题10分，22题10分，23题12分，24题12分共72分） 17．（本题6分）如图，D是的平分线上任意一点，过点作于点，以点为圆心，长为半径作．求证：是的切线．    18．（本题6分）如图，是的直径，C是上一点，于点D，过点A作的切线，交的延长线于点P，连接并延长与的延长线交于点E．求证：是的切线； 19．（本题8分）（24-25九年级下·河南南阳·阶段练习）如图，是的直径，点D在直径上，，，连接，与相交于点F，过点F作的切线，交于点E． (1)求证：； (2)若点D是的中点，，求的长． 20．（本题8分）（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，正方形内接于，M为弧中点，连接． (1)求证：； (2)连接，求的度数． 21．（本题10分）如图，为的直径，弦于点E，于点F，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 22．（本题10分）（24-25九年级上·河北廊坊·期中）图1为中医常用碾药工具——药碾，又名惠夷槽，图2是从药碾抽象出来的几何模型，延长交于点，，于点，连接，． (1)求证：为的切线． (2)若，，求的长． 23．（本题12分）（宁夏·中考真题）如图，以线段为直径作，交射线于点，平分交于点，过点作直线于点，交的延长线于点．连接并延长交于点． (1)求证：直线是的切线； (2)求证：； (3)若，，求的长． 24．（本题12分）（24-25九年级上·山东潍坊·期中）“不倒翁”是我国一种古老的儿童玩具，一经触动就会左右摇摆．某款“不倒翁”的纵截面（沿顶端以垂直于水平面方向截取所得的截面）如图1，它由半圆O和等边三角形组成，直径，半圆O的中点为点C，为桌面，半圆O与相切于点Q，拨动“不倒翁”后它在桌面上做无滑动的滚动． (1)如图1，若，则的长为________（结果保留根号）； (2)如图2，连接，向右拨动“不倒翁”使， ①猜想与的位置关系并证明； ②点C到的距离为________（结果保留根号）； (3)当或垂直于时“不倒翁”开始折返．求在一次摆动（由图2到图3）的过程中圆心O移动的距离． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……………………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第二十九章 直线与圆的位置关系·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．（24-25九年级上·河北保定·期末）已知的半径为9，点A在内，则的长可能为（   ） A．13 B．11 C．9 D．7 2．（浙江嘉兴·中考真题）如图，已知⊙O上三点A，B，C，半径OC=1，∠ABC=30°，切线PA交OC延长线于点P，则PA的长为（    ） A．2 B． C． D． 3．如图，已知点O是的外心，连接，若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）如图，P为外一点，分别切于A，B，C三点，且切线分别交于点M，N．若，则的周长为（    ） A．12 B．13 C．16 D．24 5．如图，为的切线，为切点，的延长线交于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·河北邢台·期末）是边长为4的正六边形的外接圆，点在上，连接，则的长可以是（   ） A．5 B．6 C．7 D．9 7．（24-25九年级上·河北张家口·期末）如图是一个钟表表盘，连接整点2时与整点10时的B，D两点并延长，交过整点8时的切线于点P，若表盘的半径长为，则切线长为（   ） A．3 B．2 C． D． 8．（河北·中考真题）某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，PA，PB分别与所在圆相切于点A，B．若该圆半径是9cm，∠P＝40°，则的长是（    ） A． cm B．cm C．cm D．cm 9．以正方形的边为直径作半圆，过点作直线切半圆于点，交边于点，若的周长为12，则正方形周长为（   ） A．14 B．15 C．16 D．17 10．如图，AB为的直径，BC为的切线，弦AD∥OC，直线CD交的BA延长线于点E，连接BD．下列结论：①CD是的切线；②；③；④．其中正确结论的个数有（　　）    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 11．如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，OA交小圆于点D，若OD=2，tan∠OAB=，则AB的长是（   ） A．4 B．2 C．8 D．4 12．如图，是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，，过点作⊙O的切线交的延长线于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图，已知的内接正五边形，点I是的内心，则 ． 14．（24-25九年级下·河北唐山·开学考试）如图，分别以正五边形的顶点A，D为圆心，以长为半径画，．则 ；若，则阴影部分图形的周长为 （结果保留π）． 15．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，正方形、等边三角形内接于同一个圆，则的度数为 ． 16．（24-25九年级上·河北保定·期末）如图，正方形的边长为，以正方形的一边为直径在正方形内部作半圆，过点作半圆的切线，与半圆相切于点，与相交于点，则梯形的面积为 ．    三、解答题（本大题共8题，17题6分，18题6分，19题8分，20题8分，21题10分，22题10分，23题12分，24题12分共72分） 17．（本题6分）如图，D是的平分线上任意一点，过点作于点，以点为圆心，长为半径作．求证：是的切线．    18．（本题6分）如图，是的直径，C是上一点，于点D，过点A作的切线，交的延长线于点P，连接并延长与的延长线交于点E．求证：是的切线； 19．（本题8分）（24-25九年级下·河南南阳·阶段练习）如图，是的直径，点D在直径上，，，连接，与相交于点F，过点F作的切线，交于点E． (1)求证：； (2)若点D是的中点，，求的长． 20．（本题8分）（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，正方形内接于，M为弧中点，连接． (1)求证：； (2)连接，求的度数． 21．（本题10分）如图，为的直径，弦于点E，于点F，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 22．（本题10分）（24-25九年级上·河北廊坊·期中）图1为中医常用碾药工具——药碾，又名惠夷槽，图2是从药碾抽象出来的几何模型，延长交于点，，于点，连接，． (1)求证：为的切线． (2)若，，求的长． 23．（本题12分）（宁夏·中考真题）如图，以线段为直径作，交射线于点，平分交于点，过点作直线于点，交的延长线于点．连接并延长交于点． (1)求证：直线是的切线； (2)求证：； (3)若，，求的长． 24．（本题12分）（24-25九年级上·山东潍坊·期中）“不倒翁”是我国一种古老的儿童玩具，一经触动就会左右摇摆．某款“不倒翁”的纵截面（沿顶端以垂直于水平面方向截取所得的截面）如图1，它由半圆O和等边三角形组成，直径，半圆O的中点为点C，为桌面，半圆O与相切于点Q，拨动“不倒翁”后它在桌面上做无滑动的滚动． (1)如图1，若，则的长为________（结果保留根号）； (2)如图2，连接，向右拨动“不倒翁”使， ①猜想与的位置关系并证明； ②点C到的距离为________（结果保留根号）； (3)当或垂直于时“不倒翁”开始折返．求在一次摆动（由图2到图3）的过程中圆心O移动的距离． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $