精品解析：辽宁省阜新市太平区阜新市第四中学2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试题

2025—2026学年度（上）第四中学质量检测（月清一） 八年级数学试卷 一、选择题（每小题给出的四个选项中只有一个是正确的.每小题3分共30分） 1. 的平方根是（ ） A. 5 B. C. D. 2. 三角形中，，，对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定三角形为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 3. 在实数，，，（每两个2之间依次多一个1），，中，无理数有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 4. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，是边上的高，若，则（　　） A. 2 B. 2.4 C. 3 D. 7. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 8. “出入相补”原理是中国古典数学理论的奠基人之一、魏晋时期伟大的数学家刘徽创建的，我国古代数学家运用出入相补原理在勾股定理证明、开平方、解二次方程等诸多方面取得了巨大成就．如图，是刘徽用出入相补法证明勾股定理的“青朱出入图”其中四边形、、均为正方形．若，，则（ ） A. B. 14 C. 6 D. 3 9. 勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（　　） A. B. C. D. 10. 对于整数，定义为不大于的最大整数，例如：，，．对72进行如下操作：，即对72进行3次操作后变为1，对整数进行3次操作后变为2，则的最大值为（ ） A. 80 B. 6400 C. 6561 D. 6560 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 比较大小：______（填“”“”“”）． 12. 有一个数值转换器原理如图．当输入时，输出的数是________． 13. 如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形B、C、D的面积依次为4、3、9，则正方形A的面积为_______． 14. 已知，当x分别取1，2，3，……，2021时，所对应的y值的总和是_____． 15. 如图，在中，，，，D是的中点，E是上一动点，将沿折叠到，连接，当是直角三角形时，的长为______． 三、解答题（16题8分，17.题8分，18题7分。19题B分，20题10分，21题10分，22题12分，23疆12分共75分） 16. 计算 （1） （2） 17. 如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． （1）求的值； （2）数轴上有C，D两点分别表示实数c和d，且有，求的平方根． 18. 如图在四边形ABCD中，，．若，，．试判断的形状，并说明理由． 19. 如图，把长方形纸片沿折叠，使得点与点重合，点落在点的位置上． （1）试说明； （2）若，，求的面积． 20. 如图所示，四边形是长方形地面，长，宽．中间竖有一堵墙，高．一只蚂蚱从点爬到点，它必须翻过中间那堵墙，求它至少要走多长的路程． 21. 数学兴趣小组利用所学数学知识来解决实际问题，实践报告如下： 活动课题 风筝离地面垂直高度探究 问题背景 风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．兴趣小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度． 测量数据 抽象模型 小组成员测量了相关数据，并画出了如图所示的示意图，测得水平距离的长为15米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米，牵线放风筝的手到地面的距离为1.5米． 问题产生 经过讨论，兴趣小组得出以下问题： （1）运用所学勾股定理相关知识，根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度． （2）如果想要风筝沿方向再上升12米，且长度不变，则他应该再放出多少米线？ 问题解决 …… 该报告还没有完成，请你帮助兴趣小组解决以上问题． 22. 在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题： 已知，求的值，他是这样解答的； （1） ； （2）化简：； （3）若，求的值． 23. 我们定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边交点为勾股顶点． 【特例感知】 （1）如图1，已知为勾股高三角形，其中C为勾股顶点，是边上的高．若，，试求线段的长度． 【深入探究】 （2）如图2，已知为勾股高三角形，其中为勾股顶点且，是边上的高．试探究线段与的数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）如图3，等腰为勾股高三角形，其中，为边上的高，过点向边引平行线与边交于点．若，试求线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度（上）第四中学质量检测（月清一） 八年级数学试卷 一、选择题（每小题给出的四个选项中只有一个是正确的.每小题3分共30分） 1. 的平方根是（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据算术平方根的定义求出的值，然后利用平方根定义计算即可得到结果． 【详解】解：，5的平方根为， 故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了算术平方根、平方根的定义，熟练掌握平方根和算术平方根的定义，是解本题的关键． 2. 三角形中，，，对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定三角形为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形内角和定理是解题的关键． 利用勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，进行计算逐一判断即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故A选项不符合题意； ∵，三角形内角和为， ∴最大角为， ∴此时三角形不是直角三角形，故B选项符合题意； ∵， ∴， ∴三角形是直角三角形，故C选项不符合题意； ∵， ∴设， ∴， ∴， ∴三角形是直角三角形，故D选项不符合题意； 故选：B． 3. 在实数，，，（每两个2之间依次多一个1），，中，无理数有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查无理数，熟练掌握无理数的定义是解题的关键．有理数是有限小数和无限循环小数，包括整数和分数；无理数是无限不循环小数．根据有理数和无理数的定义即可解答． 【详解】解：根据无理数的定义，，，是无限不循环小数，是无理数， 故选B． 4. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据各象限点的坐标符号规律判断所在象限即可． 【详解】∵点的横坐标，纵坐标， 又∵第二象限内点的坐标特征为横坐标小于，纵坐标大于， ∴点在第二象限． 5. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义逐项分析即可． 【详解】解：A、=，故不是最简二次根式； B、=，故不是最简二次根式； C、是最简二次根式； D、，故不是最简二次根式； 故选C． 【点睛】本题考查了最简二次根式的知识，由题意根据最简二次根式必须满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 6. 如图，在中，，是边上的高，若，则（　　） A. 2 B. 2.4 C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理求得，根据三角形的面积公式计算，列出等式便可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， 解得：， 故选：B． 【点睛】本题考查的是勾股定理，三角形的面积计算，根据三角形面积公式列出等量关系是解题的关键． 7. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的化简、二次根式的减法和除法，根据运算法则进行计算即可作出判断. 【详解】A. ，故选项错误，不符合题意； B. ，故选项错误，不符合题意； C. ，故选项错误，不符合题意； D. ，故选项正确，符合题意； 故选：D 8. “出入相补”原理是中国古典数学理论的奠基人之一、魏晋时期伟大的数学家刘徽创建的，我国古代数学家运用出入相补原理在勾股定理证明、开平方、解二次方程等诸多方面取得了巨大成就．如图，是刘徽用出入相补法证明勾股定理的“青朱出入图”其中四边形、、均为正方形．若，，则（ ） A. B. 14 C. 6 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理的应用，完全平方公式的应用，解题的关键是掌握以上知识点． 根据正方形的性质得到，，，然后证明出，得到，然后求出，由得到，然后在中利用勾股定理得到，然后利用完全平方公式的变形求出，进而求解即可． 【详解】解：∵四边形、、均为正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 9. 勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，设的长为，则，故．在直角中利用勾股定理即可求解，找到直角三角形，利用勾股定理是解决问题的关键． 【详解】由题意可知，， ∴． 设的长为，则， 所以． 在直角中，，即， 解得：． 故选：B． 10. 对于整数，定义为不大于的最大整数，例如：，，．对72进行如下操作：，即对72进行3次操作后变为1，对整数进行3次操作后变为2，则的最大值为（ ） A. 80 B. 6400 C. 6561 D. 6560 【答案】D 【解析】 【分析】本题本题考查了估算无理数的大小，的定义，熟知估算无理数大小的方法是解决此题的关键．由的定义为不大于的最大整数，6560进行3次操作后变为2，6561进行3次操作后变为3，据此可得出m的最大值． 【详解】解：∵，，， ∴对6560只需进行3次操作后变为2， ∵，，， ∴只需进行3次操作后变为2的所有正整数中，最大的是6560， ∴m的最大值为6560． 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 比较大小：______（填“”“”“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数比较大小，证明，即可得到． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 有一个数值转换器原理如图．当输入时，输出的数是________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意得：当时，输出的数为，是有理数， 当时，输出的数为，是有理数， 当时，输出的数为，是无理数； 所以最后输出的数是． 13. 如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形B、C、D的面积依次为4、3、9，则正方形A的面积为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据勾股定理的几何意义：得到S正方形A+S正方形B=S正方形E，S正方形D﹣S正方形C=S正方形E，求解即可． 【详解】由题意：S正方形A+S正方形B=S正方形E，S正方形D﹣S正方形C=S正方形E，∴S正方形A+S正方形B=S正方形D﹣S正方形C． ∵正方形B，C，D的面积依次为4，3，9，∴S正方形A+4=9﹣3，∴S正方形A=2． 故答案为2． 【点睛】本题考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的几何意义，知道直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 14. 已知，当x分别取1，2，3，……，2021时，所对应的y值的总和是_____． 【答案】2023 【解析】 【分析】依据二次根式的性质化简，即可得到，当时，当时，分别根据绝对值的性质化简，即可得到对应的y值的总和． 【详解】解：∵， ∴当时，， 当时，； 当时，， 即当x分别取2，3，…，2021时，y的值均为1， 综上所述，当x分别取1，2，3，…，2021时，所对应的y值的总和是. 15. 如图，在中，，，，D是的中点，E是上一动点，将沿折叠到，连接，当是直角三角形时，的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了翻折的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会运用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 分两种情形，当或时，分别画出图形来解答． 【详解】解：当时， ∵将沿折叠到， ， ， ∴点三点共线， ， 由勾股定理得， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ； 当时， ， ， ； 不可能为， 综上，或． 故答案为：或． 三、解答题（16题8分，17.题8分，18题7分。19题B分，20题10分，21题10分，22题12分，23疆12分共75分） 16. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式混合运算，实数混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据二次根式混合运算法则进行计算即可； （2）根据二次根式性质进行化简，根据零指数幂运算法则进行计算，再根据二次根式混合运算法则进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． （1）求的值； （2）数轴上有C，D两点分别表示实数c和d，且有，求的平方根． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】本题考查了数轴上动点问题，绝对值的非负性，化简绝对值，平方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由数轴，得到，再估算，然后化简，即可作答． （2）根据绝对值的非负性，得，代入，最后求平方根，即可作答． 【小问1详解】 解：根据题意可得：， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， 的平方根是． 18. 如图在四边形ABCD中，，．若，，．试判断的形状，并说明理由． 【答案】 解：是直角三角形，理由如下， ,, 根据勾股定理得， ,, , 是直角三角形，． 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 由勾股定理的逆定理可求解． 【详解】略 19. 如图，把长方形纸片沿折叠，使得点与点重合，点落在点的位置上． （1）试说明； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） ∵四边形是长方形， ∵把长方形纸片沿折叠， ， 在和△中 （2）10 【解析】 【分析】本题考查折叠问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理： （1）根据折叠的性质，长方形的性质，利用证明即可； （2）设，则：，在中，利用勾股定理求出的值，进而求出的值，全等三角形的性质，得到，利用三角形的面积公式进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设， 根据翻折不变性，得： 在中，由勾股定理，得： 解得， ∴，则 ∴． 20. 如图所示，四边形是长方形地面，长，宽．中间竖有一堵墙，高．一只蚂蚱从点爬到点，它必须翻过中间那堵墙，求它至少要走多长的路程． 【答案】至少要走的路程 【解析】 【分析】本题考查的是平面展开最短路线问题及勾股定理，根据题意画出图形是解答此题的关键．将图展开，连接，利用勾股定理求出的长，即可得出蚂蚱从点爬到点需要走的最短路程． 【详解】解：如图所示，将图展开，连接， 图形长度增加，原图长度增加，则， ∵四边形是长方形，，宽， ∴， ∴，负值舍去， 即蚂蚱从点爬到点，它至少要走的路程． 21. 数学兴趣小组利用所学数学知识来解决实际问题，实践报告如下： 活动课题 风筝离地面垂直高度探究 问题背景 风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．兴趣小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度． 测量数据 抽象模型 小组成员测量了相关数据，并画出了如图所示的示意图，测得水平距离的长为15米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米，牵线放风筝的手到地面的距离为1.5米． 问题产生 经过讨论，兴趣小组得出以下问题： （1）运用所学勾股定理相关知识，根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度． （2）如果想要风筝沿方向再上升12米，且长度不变，则他应该再放出多少米线？ 问题解决 …… 该报告还没有完成，请你帮助兴趣小组解决以上问题． 【答案】（1）9.5米；（2）8米 【解析】 【分析】本题考查了用勾股定理解决实际问题，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为、，斜边为，那么． （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据勾股定理计算即可得到结论． 【详解】解：（1）由题意得，，米，米， 在中，由勾股定理，可得：（米）， （米）． 答：风筝离地面的垂直高度为9.5米； （2）如图，当风筝沿方向再上升12米， 所以米， 在中，，米， 由勾股定理，可得（米）， 则应该再放出（米）， 答：他应该再放出8米长的线． 22. 在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题： 已知，求的值，他是这样解答的； （1） ； （2）化简：； （3）若，求的值． 【答案】（1） （2） （3）4 【解析】 【分析】（1）利用分母有理化计算即可； （2）先将每一项分母有理化，然后合并即可； （3）先根据分母有理化得出，两边平方得到，然后利用整体代入的方法计算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： = ； 【小问3详解】 解：， ， ，即， ， ． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，解答时一定要先化简再代入求值．二次根式运算到最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰． 23. 我们定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边交点为勾股顶点． 【特例感知】 （1）如图1，已知为勾股高三角形，其中C为勾股顶点，是边上的高．若，，试求线段的长度． 【深入探究】 （2）如图2，已知为勾股高三角形，其中为勾股顶点且，是边上的高．试探究线段与的数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）如图3，等腰为勾股高三角形，其中，为边上的高，过点向边引平行线与边交于点．若，试求线段的长度． 【答案】（1） ； （2），证明如下： 为勾股高三角形，为勾股顶点且，是边上的高， ， ， 由勾股定理得： ， ，由于为正数， ； （3） 【解析】 【分析】本题是三角形综合题，考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，勾股高三角形的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据勾股定理得到，，根据勾股高三角形的定义得到，计算即可得到答案； （2）由可得：，根据勾股高三角形的定义得：，即可推出； （3）过点向引垂线，垂足为，只要证明，即可解决问题． 【详解】解：（1）由勾股定理可得：，， 为勾股高三角形，为勾股顶点，是边上的高， ， ， 解得：（负数舍去）； （2）略 （3）如图3，过点作，垂足为， 勾股高三角形为等腰三角形，且， 只能是， 由（2）可知：， 又， ，， ， ， ， ， 而， ， ， 为等腰三角形，， ， 又，， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $