专题12 相似三角形中的基本模型之十字架模型（几何模型讲义）数学浙教版九年级上册

专题12 相似三角形中的基本模型之十字架模型 几何学是初中数学的一个重要分支，研究的是形状、大小和相对位置等几何对象的性质和变换。在初中的几何学中，十字模型就是综合了上述知识的一个重要模型。 本专题就十字模型相关的考点作梳理，帮助学生更好地理解和掌握，提高学生的做题效率。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 7 模型1.矩形中的十字架模型（相似模型） 7 模型2.等边三角形中的斜十字模型（相似模型） 13 模型3.直角三角形中的十字模型（相似模型） 16 21 ‌ 十字模型在初中数学教学中被系统化总结为“十字架模型”，成为解决中考压轴题的核心方法之一。其名称来源于图形中垂直相交的线段形似“十字架”，而实际应用中常通过作辅助线（如垂线、连接对角线）构造全等或相似三角形。十字架模型从规则图形中的特殊结构出发，通过几何变换和相似性质逐步抽象为通用方法，成为几何证明与计算的重要工具‌。该模型被系统化纳入初中数学教学，用于培养空间推理能力，尤其在解决折叠问题、动态几何题时具有高效性。‌ （2025·广东·模拟预测）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题． (1)【图形认知】如图①，在正方形中，，交于点，则 （填比值）； (2)【探究证明】如图②，在矩形中，，分别交、于点、，分别交、于点、，求证：； (3)【结论应用】如图③，将矩形沿折叠，使得点和点重合，若，．求折痕的长； (4)【拓展运用】如图④，将矩形沿折叠，使得点落在边上的点处，点落在点处，得到四边形，若，，，请求点P到直线的距离． 【答案】(1)1 (2)证明见解析 (3) (4) 【分析】（1）由题意知，，，证明，则，进而可得的比值； （2）如图②，过作交于，过作交于，由矩形，可得，，则四边形、均为平行四边形，，，同（1）可得，证明，则，； （3）由矩形的性质可得，由勾股定理得，由（2）可知，，即，计算求解即可； （4）如图④，延长到，过作于，由（2）可知，，即，解得，由勾股定理得，由折叠的性质可得，，，，设，则，在中，结合勾股定理即可解得，即，再证明，则，计算求解的值，进而可得点到直线的距离． 【详解】（1）解：由题意知，， 又∵， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． （2）证明：如图②，过作交于，过作交于， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴四边形、均为平行四边形， ∴，， 同（1）可得， 又∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：由矩形的性质可得， 由勾股定理得， 由（2）可知，，即，解得， ∴的长． （4）解：如图④，延长到，过作于， 由（2）可知，，即，解得， ∴在中，由勾股定理得， 由折叠的性质可得，，，， 设：，则， ∴在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴点到直线的距离为． 【点睛】本题考查了正方形、矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，折叠等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． （2025·山东青岛·模拟预测）【问题发现】矩形里的有趣“十字架” 某校九年级三班数学探究小组在研究矩形时发现矩形里有一个有趣的“十字架”：如图①，在矩形中，，，E、F、G、H分别是边、、、上的点，连接、交于点O，当时，总是会有 ． 【模型建立】如何证明这个猜想呢？ 在同学们陷入深思时，组长小林提议道：“我们可以先找一种特殊情况探究它，然后再将探究方法推广到一般情况呀！”于是，在他的提议下，同学们一致认为可以先将F、G分别移动到顶点A、D处，如图②所示． （1）在图②所示的情况下，你能帮小组成员们证明一下他们的猜想吗？ （2）你能在图①中添加辅助线，并对辅助线进行描述，以方便小组成员继续证明一般性的规律吗？ 【模型应用】 （3）如图③，在正方形中，，E、F分别在边、上，连接、，若，，则 ．（直接写出结果）． 【拓广延伸】 （4）如图④，在直角梯形中，，，点M、N分别是边上的动点，连接交梯形对角线于点O，若，则的长度为 ．（直接写出结果） 【答案】（1）能，过程见详解（2）见详解（3）1（4） 【分析】（1）结合矩形的性质，以及直角三角形两个锐角互余得，证明，把，代入，即可作答． （2）分别过作，结合矩形的性质证明四边形是矩形，四边形是矩形，再根据直角三角形两个锐角互余，证明，把，代入，即可作答． （3）先结合正方形的性质得，，再根据角的等量代换得，故证明，结合，则，运用勾股定理列式计算，即可作答． （4）先过点C作，延长，与交于一点，证明四边形是矩形，得，再证明四边形是矩形，运用两个对应角相等的三角形是相似三角形，得，再进行列式代入数值计算，得，最后运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：（1）能，过程如下： 如图所示： ∵四边形是矩形， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， （2）分别过作，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴ ∵ ∴ ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴ ∵， ∴ ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴； （3）如图所示： ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：1 （4）过点C作，延长，与交于一点，如图所示： ∵在直角梯形中，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 过点N作， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 在中，， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了勾股定理，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正方形的性质，直角三角形的两个锐角互余，综合性较强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 1）矩形中的十字架模型 条件：如图1，在矩形ABCD中，若E是AB上的点，且DE⊥AC，结论：. 证明：四边形为矩形，，； DE⊥AC，，，，，. 条件：如图2，在矩形ABCD中，若E、F分别是AB、CD上的点，且EF⊥AC，结论：. 证明：如图，过点F作于点G，则； 四边形为矩形，，四边形为矩形，； ；EF⊥AC，，； ，，，易证：DC=AB，FG=BC，. 条件：如图3，矩形ABCD中，若E、F、M、N分别是AB、CD、AD、BC上的点，且EF⊥MN，结论：. 证明：如图：过点N、F作、垂直，； 四边形为矩形，，四边形为矩形，； ∵EF⊥MN，，∴； 又∵（对顶角相等），∴； ∴，，易证：NH=AB，FG=BC，. 2）等边三角形中的斜十字模型 条件：如图1，已知等边△ABC，BD=EC（或CD=AE）， 结论：①AD=BE，②AD和BE夹角为60°，③。 证明：如图，在等边中，，， 在与中，，，∴AD=BE，； ，∴AD和BE夹角为60°； ，，，同理： ， 3）直角三角形中的十字模型 1）等腰直角三角形中的十字模型（全等+相似）： 条件：如图2，在△ABC中，AB=BC，AB⊥BC，结论：①D为BC中点，②BF⊥AD，③AF：FC=2：1，④∠BDA=∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦，以上七个结论中，可“知二得五”。 证明：不妨把①②作为条件，来证明③--⑦的五个结论。 如图1，过点C作BC的垂线交BF于点H，过点A作AG垂直于CH，∴∠BCH=90°，∴∠CBH+∠CHB=90° ∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°，∴∠BCH=∠ABC=90°，∵BF⊥AD，∴∠CBH+∠ADB=90°，∴∠CHB=∠ADB， ∵AB=BC，∴，∴BD=CH，∵D为BC中点，∴BD=DC=CH，∴AB=2CH， 易证：四边形ABCG为正方形，即AB//CG，∴，∴AF：CF=BA：HC=2：1 ∵AB=BC，AB⊥BC，∴∠BCA=45°，∵∠BCH=90°，∴∠BCA=∠GCA=45°， ∵DC=CH，CF=CF，∴，∴∠CHF=∠CDF，∠CFH=∠CFD， ∴∠BDA=∠CDF，∵∠CFH=∠AFB，∴∠AFB=∠CFD， 如图2，过点C作CQ垂直于BF，∴∠BQC=90°， ∵AB⊥BC，∴∠ABD=∠BQC=90°，∴∠ABE+∠QBC=90°，∵AB=BC，∴， ∴CQ=BE，AE=BQ，∵BF⊥AD，CQ⊥BF，易证：，∴EA：QC=AF：CF=2：1。 ∴AE=BQ=BE+EQ=CQ+EQ，∴CQ=EQ，∴QEC为等腰直角三角形，∴∠QEC=45°， ∴∠AEC=135°，。 2）直角三角形中的十字模型： 如图3，在三角形ABC中，BC=kAB，AB⊥BC，①D为BC中点，②BF⊥AD，③AF：FC=2：k2，④∠BDA=∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦，以上七个结论中，可“知二得五”。（全等+相似） 证明：不妨把①②作为条件，来证明③--⑦的五个结论。 由于该模型证明主要结合了前面矩形中的十字架模型和等腰直角三角形中的十字架模型，故此不再详细证明，有兴趣的同学可以自行证明即可。 模型1.矩形中的十字架模型（相似模型） 例1（2025·广东江门·一模）【知识技能】 （1）如图1，在矩形中，点E，F分别在边，上，，垂足为点G．求证：． 【数学理解】 （2）如图2，在正方形中，点E，F分别在边，上，，延长到点H，使，连接．求证：． 【拓展探案】 （3）如图3，在菱形中，点E，F分别在边，上，，，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）3 【分析】（1）由矩形的性质可得，证明，即可得证； （2）由正方形的性质可得，，，证明，得出，证明，得出，由平行线的性质可得，即可得证； （3）延长至点G，使，连接，由菱形的性质可得，，证明，得出，， 证明是等边三角形，得出，即可得解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点H在的延长线上， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：如解图，延长至点G，使，连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，即的长为3． 【点睛】本题考查了矩形的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、菱形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 例2（2025·河南南阳·一模）华师大版教材八年级下册页有一道习题： 如图，在正方形中，． 求证： 解决下列问题： (1)该习题不添加辅线，只需证明______，即可得到结论． (2)如图1，正方形中，点、分别在边、上． ①过点G作交于点．（要求尺规作图，不写作法，仅保留作图痕迹）． ②求证：． (3)如图2，黄金矩形（）中，点、、分别在边、、上，且，若．请直接写出线段的长（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2)①见详解；②见详解 (3) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键； （1）根据全等三角形的判定和性质即可求解； （2）①根据题意作图即可；②过点作交 于点，交 于点，进而证明，从而求解； （3）根据题意判定，进而求解； 【详解】（1）证明：， ， 是正方形， ，， ， ， ， ； ； 故答案为： 该习题不添加辅线，只需证明，即可得到结论； （2）解：①根据题意，作图如下： ②∵四边形为正方形， ，，， 过点作交 于点，交 于点， 则四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ； （3）解：根据题意，过点作交 于点，交 于点，作图如下： 四边形为矩形； ， 四边形为平行四边形； ， ， ， ； ， ， ， ； 例3（2025·湖北襄阳·一模）综合与实践课上，梦班数学学习兴趣小组对图形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行探究时，遇到以下问题，请你逐一加以解答： (1)操作判断 如图1，在正方形中，点，，，分别在边，，，上，且，若，求的长； (2)迁移探究 如图2，在矩形中，，点，，，分别在边，，，上，且，若，求的长； (3)拓展应用 如图3，在中，，，点，分别在边，上，且，试证明：． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）设交于点O，过点G作于点J，过点E作于点K，利用正方形的性质证明四边形和四边形都是矩形，再利用矩形的性质证明，即可求解； （2）设交于点O，过点E作于点M，过点H作于点N，证明，可得，即可求解； （3）过点C作交的延长线于点F，先证，得到，再证，得到，即可得证． 【详解】（1）解：如图1，设交于点O，过点G作于点J，过点E作于点K， 四边形是正方形， ，， 四边形和四边形都是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， 又，， ， ， （2）如图2，设交于点O，过点E作于点M，过点H作于点N， ， 四边形是矩形， ，， 四边形和四边形都是矩形， ，， ，， ， ， 又， ， ， ， ， ， （3）证明：如图3，过点C作交的延长线于点F，则， ， ， ， ， 又，， ， ， ， ， ， ， ； 【点睛】此题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，添加辅助线，构造全等三角形或相似三角形是解题的关键． 例4（2025·安徽淮北·三模）四边形是矩形． (1)如图，点E，F分别在边，上，且于点H． ①当时，求证：； ②若，时，求的值． (2)如图，若点E在边上，且，，，点F是上一动点，连接，，．当的周长最小时，在上取一点G，连接，求的最小值． 【答案】(1)①证明见解析；② (2) 【分析】（1）① 利用矩形推出是正方形，根据直角互余得，再明，由全等性质得．② 通过矩形直角和，证明，根据相似三角形对应边成比例列方程求出，再用勾股定理计算． （2）利用轴对称性质，作点关于的对称点 ，将转化为，根据三点共线时线段和最小确定周长最小时的位置；再通过作辅助线求长度，利用三角形面积不同表示方法求出最小值． 【详解】（1）①证明：当时， ∴矩形ABCD是正方形． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②解：在矩形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得或（舍去）， ∴． （2）如图，延长到点，使得，连接，过点作交的延长线于点H，在上取一点G，连接， 则D为的中点， ∵，为的垂直平分线， ∴， ∵为定值， ∴的周长为， 当点B，F，三点共线时，有最小值，即有最小值，则的周长有最小值，此时，， ∴． ∵， ∴， ∴， 同理，得． 在中，由勾股定理，得． 当时，有最小值， ∴， ∴． 【点睛】本题考查矩形、正方形性质，全等三角形、相似三角形判定与性质，勾股定理及轴对称 - 最短路径问题等；解题关键是利用图形性质找出角与边的关系，通过证明三角形全等、相似及运用轴对称性质转化线段来求解． 例5（2025·江苏镇江·二模）矩形纸片中，点，分别在边和上，点，分别在边和上． 【特例感知】 （1）如图1，当矩形纸片是正方形时，，则线段和的数量关系为__________； 【初步探究】 如图2，矩形纸片中，． （2）若，则线段和的数量关系为__________； （3）若，那么一定成立吗？如果不一定，请在图2中画出一个反例； （要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【拓展提升】 （4）如图3，若，点是边的中点，将矩形纸片折叠，使得点落处，则折痕落在纸片上的线段的长为__________；（用含的代数式表示） （5）已知点的位置如图4所示，求作一点，使得点一定分别在一个长宽比为2∶1的矩形的四条边上（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】（1）；（2）；（3）不一定，见解析；（4）；（5）见解析 【分析】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，垂线的尺规作图等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）过点E作于H，过点F作于G，设交于K，则四边形和四边形都是矩形，可得，导角证明，则可证明，得到； （2）过点E作于H，过点F作于G，设交于K，则四边形和四边形都是矩形，可得，导角证明，则可证明，利用相似三角形的性质即可得到答案； （3）如图所示，，此时满足，但是不满足； （4）设折痕为，由折叠的性质可得，由（2）可知；求出，则，可得，即； （5）如图所示，作线段的垂直平分线，交于H，过点P作垂直且使得，则点S即为所求． 【详解】解：（1）如图所示，过点E作于H，过点F作于G，设交于K， ∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴四边形和四边形都是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）如图所示，过点E作于H，过点F作于G，设交于K， ∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴四边形和四边形都是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）不一定成立，作图如下： 如图所示，， 此时满足，但是不满足； （4）如图所示，设折痕为， 由折叠的性质可得， ∴由（2）可知； 由矩形的性质可得， ∵F为的中点， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴折痕落在纸片上的线段的长为； （5）如图所示，作线段的垂直平分线，交于H，过点P作垂直且使得，则点S即为所求； 此时，且，分别过作的平行线，再则点过作的平行线，则必在这个新作的长宽比为的矩形的边上. 模型2.等边三角形中的斜十字模型（相似模型） 例1（2025·浙江杭州·一模）如图，在等边三角形中，点，分别是边，上的点，且，连接，交于点 (1)求证：； (2)若，求的值； (3)若点P恰好落在以为直径的圆上，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)2 【分析】（1）根据等边三角形的性质求出，，求出，根据推出全等即可； （2）过点作交于，根据平行线分线段成比例定理得，则，即可得出； （3）由（1）知：，则，根据三角形外角的性质可得，，则，、、、四点共圆，由点恰好落在以为直径的圆上，可得，则点也落在以为直径的圆上，连接，则，，根据含角的直角三角形的性质可得，即可得． 【详解】（1）解：证明：是等边三角形， ，， ， ， 在与中， ， ； （2）过点作交于， ， ， 设，， ， ， ， ， ， 的值； （3）连接， 由（1）知：， ， ， ， ， 、、、四点共圆， 点恰好落在以为直径的圆上， ， 点也落在以为直径的圆上， ， ， 连接，则，， ， ， ． 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，圆的有关性质． 例2（24-25九年级·安徽淮南·阶段练习）已知：如图，是等边三角形，点D、E分别在，且，、相交于点M，求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）首先根据等边三角形的性质可得出、，结合即可证出，根据全等三角形的性质可得出，再根据角的关系可得出，再结合，即可证出结论； （2）首先根据相似三角形的性质可得出，由对顶角相等可得出，再结合、，即可证出，根据相似三角形的性质可证出结论 【详解】（1）解：是等边三角形， ，， 在与中， ， ， ， ， ， 又， ； （2）证明：由（1）得，， ， ， ． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握和运用各图形的判定与性质是解决本题的关键． 例3（2024·福建·模拟预测）在中，点，分别在，边上，，交于点． (1)如图，是等边三角形，且．求的度数； (2)如图，是等腰直角三角形，，． 判断线段，之间的数量关系并说明理由； 求的度数． (3)如图，是等腰直角三角形，，若点是边上一动点，点是射线上一动点，在（2）的条件下，当动点沿边从点移动到点（可以与点重合）时，直接写出运动过程中长的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)；理由见解析； (3)长的最大值为，最小值为 【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质得出，进而根据三角形外角的性质即可求解； （2）根据两组边对应成比例及其夹角相等证明，得出； 根据得出，进而根据三角形外角的性质即可求解； （3）由题意可知点在以为弦，所对圆心角为的上，根据题意画出图形，连接，当点在线段上时，取得最小值，当点移动到点时，点与点重合，此时取得最大值，利用勾股定理以及线段的和差分别求解即可． 【详解】（1）解：是等边三角形， ，， 又， ， ， ； （2）解：；理由如下： 是等腰直角三角形，， ，， ，即， ， ， ，即； ， ， ； （3）解：长的最大值为，最小值为，理由如下： 由题意可知：点在以为弦，所对圆心角为的上（，则，劣弧所对的圆周角是）， 如图所示，， ， ， 连接，当点在线段上时，取得最小值， 此时， 是等腰直角三角形，， ， ∴， ， 即长的最小值为． 当点移动到点时，点与点重合，此时取得最大值， 如图所示，由（2）可知． 长的最大值为． 综上，长的最大值为，最小值为． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，熟练掌握综合运用以上知识是解题的关键． 例4（24-25八年级下·山东烟台·期末）在中，动点M在边上从点A向终点C运动，同时点N在边上从点C向终点B运动，当一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接交于点P． 【特例初探】 （1）如图1，若为等边三角形，点M和点N以同样的速度运动，则在此运动过程中，的度数始终为__________； 【类比探究】 （2）如图2，若为等腰直角三角形，斜边为，点M的速度为1，点N的速度为，则在此运动过程中，的角度是否发生变化？如果不变，请求出具体度数；如果发生变化，请写出理由； 【总结提升】 （3）如图3，若为等腰三角形，底边为，且，，点M的速度为v，点N的速度为，则在此运动过程中，请直接写出用含有n，，v的代数式表示的度数． 【答案】（1）；（2）不变，；（3） 【分析】（1）根据等边三角形性质得，结合，得,得，即得； （2）根据等腰直角三角形的性质得到，，求得，得到，由题知，得到，根据相似三角形的性质得到，求得，根据三角形的内角和定理得到结论； （3）根据等腰三角形的性质得到，由于点M的速度为v，点N的速度为，得到，求得，根据相似三角形的性质得到，根据三角形的内角和定理即可得到结论． 【详解】解：（1）∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴, ∴， ∴； （2）在等腰直角三角形中，， ， ， ，由题知， ， ， ， ， ； （3）， ， 点M的速度为v，点N的速度为， ， ， ， ． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 例5（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）如图，在等边三角形中，，连接，交于点． (1)求出的度数； (2)求证：； (3)连接，当时，求证：． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)见解析． 【分析】根据等边三角形的性质可得：，，利用可证，根据全等三角形的性质可得，根据角之间的关系可得； 由可知，从而可证，根据相似三角形的性质可得，根据等边三角形的性质可证结论成立； 延长至，连接、，使，由可知，，利用可证，根据全等三角形的性质可得，从而可证，根据平行线的性质可证，，根据直角三角形的性质可得，根据平行线分线段成比例定理可得：，从而可证结论成立． 【详解】（1）解：是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， ， ； （2）证明：由可知， 在和中，，， ， ， ， 又是等边三角形， ， ； （3）证明：如下图所示，延长至，连接、，使， 由可知，， 是等边三角形， ，， ， ， 在和中， ， ，， 又，， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是根据图形的性质找边和角之间的关系． 模型3.直角三角形中的十字模型（相似模型） 例1（24-25·合肥·阶段练习）如图，在RtABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，AE是BC边上的中线，过点B作BD⊥AE于点H，交AC于点D，则AD的长为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，过点作于点， 是的中线，，， 在中，，， 是等腰直角三角形，， 设，则， ，，， 在和中，，， ，即，解得，， ，故选：B． 例2（2025·广东深圳·三模）如图，在中，是角平分线，是中线，，且，垂足为F，G为的中点，连接，．下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵是角平分线，∴，∵，∴， 又∵∴，故A选项正确，不符合题意； ∵，∴，∵，， ∴，∴，故B选项正确，不符合题意； ∵是中线，∴，∵G为的中点，∴， ∴是中位线，∴，，∴， 又∵，∴，∴，∴是的中位线， ∴，∴，∵，∴，故C选项正确，不符合题意； 在和中，为公共角，但和，和均不一定相等，相应边不成比例， 故和不相似，故D选项错误，符合题意，故选：D． 例3（2025·湖北武汉·校考二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D，E分别是边BC，AB上的点，∠ADC＝∠EDB，过点E作EF⊥AD，垂足为F，交AC于点G． (1)如图（1），求证：△AGE∽△BDE；(2)如图（2），若点G恰好与顶点C重合，求证：BD＝CD； (3)如图（1），若＝，直接写出的值． 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3) 【详解】（1）证明：∵∠ACB＝90°，EF⊥AD， ∴，，∴． ∵，∴．∵AC＝BC，∴，∴； （2）如图，过点B作交CE延长线于点M． ∵，∴，． ∵，∴，∴． ∵，∴．又∵，∴， ∴，．∵， ∴，∴． 又∵AC=CB，∴，∴，∴； （3）如图，过点E作于点T． 设CD=a．∵，∴，． 设DT=x，则．∵，， ∴，∴，即，∴． ∵，∴为等腰直角三角形，∴，， ∴，∴．∵， ∴．∵， ∴，即，∴，∴． 例4（24-25九年级下·四川内江·开学考试）初识图形 （1）如图1，、分别为正方形边和边上的点，连接、，且．则　 　． 类比探究（2）如图2，矩形中，点、分别在边、上，连接、，且，，，则　 　． 拓展应用（3）如图3，中，、分别为、边上的点，，，，连接，交于点．求长．请说明理由． 【答案】（1）1；（2）；（3）． 【详解】解：（1）四边形为正方形， ，，， ，，，； 在与中，，， ，，故答案为：1； （2）如图1，作，交于，交于，， 四边形是矩形，，，，， 四边形是平行四边形，，，同理（1）可得：， ，，故答案为：； （3）如图2，作于，设，，，， ，，，， 由（1）知：，，， ，，， 由得，，，． 1．（24-25八年级下·山东泰安·期中）如图所示，为直角三角形，，为的中点，，垂足为点，的延长线交于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题是相似形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据垂直的定义得到，求得，根据相似三角形的性质即可得到结论； （2）由为的中点，得到，得到，根据相似三角形的性质得到； （3）过作于，由，，，得到，根据勾股定理得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ； （2）证明：为的中点， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：过作于， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ． 2．（2025·安徽合肥·三模）如图1，点E为矩形边上一点，连接交对角线于点F，且 (1)求证： (2)当点E为中点时，如图2，连接． （i）求证： （ii）求的值． 【答案】(1)见解析 (2)（i）见解析；（ii） 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，熟练运用上述性质是解题的关键． （1）证，得，即可解答； （2）（i）连接，证明四点共圆，可得，再证明即可解答； （ii）设，则，得，在利用勾股定理和相似三角形的性质求得即可解答． 【详解】（1）证明：四边形为矩形， ， ， ， ， ， ； （2）证明：（i）如图，连接， ， 四点共圆，如图， ， E为中点， , ， ， ， ， ， 解：（ii）如图，设，则， 由（1），得， 在中，， ， ， ， ， ， ． 3．（2025·河南安阳·一模）综合与实践 如果从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该点为所在边的三等分点，那么这个平行四边形叫做“垂对三等分平行四边形”，垂足叫做“垂三等分点”． (1)理解应用 如图1，在中，于点P，交于点E，若E为的三等分点，则是垂对三等分平行四边形，P是垂三等分点．若，，，则__________；__________． (2)问题探究 如图2，在垂对三等分平行四边形中，P是垂三等分点，且满足．若，试猜想与的数量关系，并说明理由． (3)拓展延伸 如图3，已知四边形是矩形，过点A作于点P，交于点E，，当四边形是垂对三等分平行四边形时，直接写出的长度． 【答案】(1)2； (2)，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查平行四边形与矩形的性质，相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． （1）由得到，得到，根据相似三角形的性质即可求出．根据勾股定理在中，求出，进而在中求出； （2）由得到，得到，因此，设，则，，在中，根据勾股定理求得，进而有，，即可得到； （3）分两种情况讨论：①若，则由，得到，设，则，，证明，得到，求得，即，在中，根据勾股定理即可求出．②若，同①思路即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴，即， ∴． ∵， ∴在中，， 在中，． 故答案为：2；． （2）解：，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴设，则，， ∴， ∵， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：分两种情况讨论： ①如图，若，则 ∵在矩形中，， ∴， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∵在矩形中，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得或（舍去）， ∴， ∴在中，． ②如图，若，则 ∵在矩形中，， ∴， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∵在矩形中，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得或（舍去）， ∴， ∴在中，． 综上所述，的长为或． 4．（2025·山东东营·一模）已知四边形中，分别是、边上的点，与交于点G． 【问题初探】（1）如图 1 ，若四边形是正方形，且，求证：； 【类比探究】（2）如图 2 ，若四边形是矩形，，且，猜想 与的数量关系，并加以证明； 【迁移拓展】（3）如图 3 ，若四边形是平行四边形，，当时，第（2） 问的结论是否成立？若成立给予证明；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），证明见解析；（2）成立，证明见解析 【分析】（1）由四边形为正方形，利用正方形的性质得到一对角为直角，相等，且，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用得到与全等，利用全等三角形对应边相等即可得证； （2）根据四边形为矩形，同角的余角相等可证明，利用相似三角形对应边成比例即可得证； （3）当时，成立，理由为：如图，在的延长线上取点，使，利用平行线的性质以及同角的补角相等证明，利用相似三角形对应边成比例即可得证． 【详解】解：（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2），证明如下： ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即； （3）当时，成立， 证明：如图，在的延长线上取点，使， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即，即． 【点睛】本题属于相似三角形综合题，考查了矩形的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，等边对等角，平行线的性质，同等的余角（或补角）相等．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 5．（24-25九年级下·海南儋州·开学考试）在矩形中，，动点E在射线上，于点G，交射线于点F，连接． (1)如图①，若，求证：； (2)若点F是的中点，求的长； (3)如图②，点F在延长线上，交边于点M，连接，若，求的长． 【答案】(1)见解析； (2) (3) 【分析】此题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线构造出相似三角形是解本题的关键． （1）先判断出，得出，再判断出，即可得出结论； （2）延长，相交于点N，先判断出，得出，进而得出，即，设，再判断出，得出，进而求出x值，即可得出结论； （3）过点F作交的延长线于H，先判断出，，再判断出，进而判断出，得出，设，则，即，再根据勾股定理得出，进而求出，再判断出，得出，即可求得答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴； （2）解：如图①， 延长，相交于点N， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， ∵点F是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴或 ∵点E，F在射线上，且， ∴点E只能在线段上， ∴， ∴， （3）解：如图②，过点F作交的延长线于H， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴（舍）或， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 6．（24-25九年级上·四川·期中）【基础巩固】 （1）如图，在中，，于点D，求证：． 【尝试应用】 （2）如图，在矩形 中，，点F在 上，，于点E，求的长． 【拓展提高】 （3）如图，在矩形中，点E在边上，与关于直线对称，点C的对称点F在边上，G为 中点，连接交 于点M，，若，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）由，得到，再由，得到，从而得到，变形即可得到答案； （2）由矩形的性质得，，从而得到，即，由（1）可得，，从而得到，计算即可得到答案； （3）与关于直线对称，得，从而得到，再通过证明得到，由（1）可得，，设，解方程求出的值即可． 【详解】解：（1）证明：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2）∵ ∴ 在矩形中， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ 即： ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ； （3）解：在矩形中， ∴ ∵与关于直线对称 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵是的中点 ∴ 由（1）可得： ∴ 设 则 ∴ 解得：或(舍去负根) ∴ 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质是解题的关键． 7．（2025·山东济南·模拟预测）综合与实践 综合与实践课上，数学兴趣小组对图形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行了探究． (1)操作判断 ①如图（1），在正方形中，点E，F，G，H分别在边上，且，若，则的长为_______． ②如图（2），在矩形中，，点E，F，G，H分别在边上，且，若，则的长为_______． (2)迁移探究 如图（3），在中，，点D，E分别在边AC，BC上，且，试证明：． (3)拓展应用 如图（4），在矩形中，，平分交于点E，点F为上一点，交于点H，交矩形的边于点G，当F为的三等分点时，请直接写出的长． 【答案】(1)①5；②4 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）①过点E作于点P，过点H作于点Q，则，证得四边形是矩形，设交于点O，则，证明，即可解答； ②过点E作于点P，过点H作于点Q，则，证明是矩形，设交于点O，则，证明，列出比例式，即可解答； （2）过点C作交的延长线于点F，证明，，列出比例式，即可得证； （3）根据题意得到，分情况讨论，当时，如图，点G在上，利用勾股定理求出，证明，列出比例式求解即可解答；当时，如图，点G在上，利用勾股定理求出，证明，列出比例式求解即可解答． 【详解】（1）解：①如图，过点E作于点P，过点H作于点Q，则， 四边形是矩形， ， 设交于点O，则， ， 又， ， ； 故答案为：5； ②如图，过点E作于点P，过点H作于点Q，则， 四边形是矩形， ， 设交于点O，则， ， 又， ， ， ； 故答案为：4； （2）证明：如图，过点C作交的延长线于点F， ， ． 又， ， ， ， ， ， 又， ， （3）解：或3． 在矩形中，平分，， ， ， 当时，如图，点G在上， ， ， ， ， ； 当时，如图，点G在上， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查相似形综合应用，主要考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，掌握分类讨论的思想方法是解题的关键． 8．（2025·湖北·模拟预测）数学兴趣小组学习了矩形的性质与判定后，对多边形中的相似三角形作了如下探究： 【教材呈现】（1）如图1，在中，，于点．直接写出一个与相似的三角形； 【类比探究】（2）如图2，在矩形中，，点在上，，于点，求的长； 【拓展提升】（3）如图3，在四边形中，，，点分别在上，且，垂足为，求的值． 【答案】（1）或；（2）；（3） 【分析】（1）利用互余易得，则可得∽；由，可得∽，则与相似的三角形为或； （2）证明∽，利用相似三角形的性质及勾股定理即可求解； （3）连接，过点作，过点作，垂足为，延长交于点N．设；易得四边形是矩形，则．≌，则有；再证明∽，有，则 ．则，．由建立方程可求得x的值，从而求得；过点作，垂足为，交于点．证明∽，即可求得结果． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴∽， ∵， ∴∽， ∴与相似的三角形为或； （2）∵矩形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴∽， ∴． ∵， ∴． （3）如图，连接，过点作，过点作，垂足为，延长交于点N．设； ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． ∵， ∴≌， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴∽． ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， 解得， ∴． 过点作，垂足为，交于点． 则， ∴四边形为矩形， ∴； 在和中，， ∴． 在和中，， ∴∽， ∴， 在矩形中，， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，有一定的综合性，构造三角形相似是解题的关键． 9．（24-25九年级下·安徽蚌埠·阶段练习）如图1，是等边三角形，点在的延长线上，点在上，，，交于点．    (1)①求证：； ②求证：； (2)如图2，若点是的中点，求的值． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) 【分析】（1）①根据等边三角形的性质和等腰三角形的性质可得，，相减后可得结论； ②过点作，可得是等边三角形，证明即可； （2）设，则，，证明，利用相似三角形的性质求出，得出，然后计算即可． 【详解】（1）①证明：是等边三角形， ， ， ， ， ； ②证明：过点作，则，    ∵， 是等边三角形， ， ，，， ， ， ； （2）解：由（1）知，， 设，则， 点是的中点， ， ，， ， ，即， ， ， ． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，作出合适的辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 10．（24-25九年级下·江苏南京·期中）如图，在等边三角形中，，，相交于点． (1)求证； (2)求证． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由等边三角形的性质可知，结合题意即可利用“SAS”证明； （2）由全等三角形的性质可知，，再根据三角形外角性质可证明．结合等边三角形的性质易证明，得出．根据，即可证明，即得出，等量代换即得出． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴． 又∵， ∴； （2）∵， ∴，． ∵，， ∴，即． ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，即． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质，相似三角形的判定和性质．熟练掌握三角形全等的判定条件是解题关键． 11．（2025·广东广州·一模）等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，且满足AE＝CF，连接AF，BE相交于点P． (1)求证：AF＝BE； (2)若AE＝2，试求AP·AF的值； (3)当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长． 【答案】(1)见解析 (2)12 (3) 【分析】（1）证明，由全等三角形的性质可得到答案； （2）利用勾股定理求得AF的长度，再用平行线分线段成比例定理或者三角形相似定理求得AP•AF的值，即可以得到答案． （3）当点F靠近点C的时候点P的路径是一段弧，当E为AC的中点的时候，点P经过弧AB的中点，此时为等腰三角形，继而求得半径和对应的圆心角的度数，求得答案． 【详解】（1）证明：为等边三角形， ， 又， 在和中， ， ， ； （2）解：∠C＝∠APE＝60°，∠PAE＝∠CAF， ， ， 即， ； （3）当AE＝CF时，由（1）知， ， ， ， ， 根据圆周角定理可知：点P的路径是一段弧， 如图1所示： 当E为AC的中点的时候，点P经过弧AB的中点，此时△ABP为等腰三角形，且∠ABP＝∠BAP＝30°， ∠AOB＝120°， 又AB＝6， ， OA＝． 点P的路径是． 【点睛】本题考查等边三角形性质的综合应用，相似三角形的判定及性质的应用，弧长公式，解题关键是灵活运用条件和性质． 12．（2025·浙江杭州·二模）如图，在等边三角形中，点，分别是边，上的点，且，连结，交于点． (1)求证：； (2)连接，若时， ①求的值； ②设的面积为，四边形的面积为，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】（1）根据可证明； （2）①证出，即点恰好落在以为直径的圆上，点也落在以为直径的圆上，得出．连接，则，，由直角三角形的性质可得出结论； ②证出．过点作，得出，．则．即可得出答案． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ，． ， ． 在和中， ， ； （2）解：①由（1）知：， ． ． ． ． 、、、四点共圆． ， ， 即点恰好落在以为直径的圆上，点也落在以为直径的圆上， ， ． 连接，则，， ． ， ． ②如图，连接，设． ， ． ． ， ． ． 过点作， ，． ． ， 即． ． ． ． 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，圆的有关性质等，熟练掌握有关的性质定理是解答此题的关键． 13．（2024·吉林长春·一模）【感知】如图①，在正方形内部作等边三角形，连结、，则的大小为________度． 【迁移】小明遇到这样一个问题：如图，在中，，，点D是内的一点，且，，求证：． 小明发现，将图②通过做辅助线，变化成和图①类似，就可以求出，进而得证． 下面是小明的部分证明过程： 证明：过点B作的平行线，过点C作的平行线，两平行线交于点E，连结． ∵，，∴四边形是平行四边形． ∵，，∴四边形是正方形． ∵，∴． ∵四边形是正方形，∴， ∴，即． ∵，，∴． ∴． 请你补全余下的证明过程． 【拓展】如图③，在中，，，，于点E，交于点F，则的长为________． 【答案】〖感知〗 〖迁移〗见解析 〖拓展〗 【分析】〖感知〗根据正方形与等边三我的性质求得，，，再根据等腰三角形与三角形内角和定理求得，，即可由求解． 〖迁移〗继续可证明，即是等边三角形．从而得出，．再由等腰直角三角形的性质得出．从而求得，即可得出结论． 〖拓展〗过点D作于G，利用等直角三角形求得，利用勾股定理求得，从而求得，再证明，利用相似三角形的性质求得，证明，求得，即可由求解． 【详解】解：〖感知〗∵正方形， ∴， ∵等边三角形 ∴， ∴，，， ∴，， ∴； 〖迁移〗补充证明为： ∵， ∴ ，即是等边三角形． ∴．∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． 〖拓展〗过点D作于G，如图， ∵，， ∴，， ∵，， ∴ ∵ ∴ ∴， 在中，由勾股定理，得， ∴ 在中，由勾股定理，得 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴，即 ∴ ∵， ∴ ∴，即 ∴ ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质．熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 14．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，为等边三角形，分别是上的点，连接和相交于点， 　　   (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，是边上一点，连接和，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)的长为4 【分析】（1）由等边三角形的性质可得，再由得出，推出，最后根据直角三角形的性质即可得证； （2）证明得到，从而得出，即可推出； （3）先证明，作交的延长线于点，连接，证明得到，由此即可得解． 【详解】（1）证明：为等边三角形， ， ， ， ∴， 故在中，， ∴， （2）证明：∵是等边三角形， ∴， 又 ， ， ， ∴， 即， （3）解：， ， ， ， 作交的延长线于点，连接， ， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等边三角形的性质、含角的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，是解此题的关键． 15．（2024·河南许昌·一模）问题解决 （1）如图1，在等边三角形中，点，分别在，边上，，交于点，且．则线段，的数量关系为__________，的度数为__________； 类比迁移 （2）如图2，是等腰直角三角形，，点D，E分别在，边上，，交于点F，且． ①判断线段之间的数量关系并说明理由； ②求的度数． 拓展探究 （3）如图3，是等腰直角三角形，，若点是边上一动点，点E是射线上一动点，在（2）的条件下，当动点D沿边从点A移动到点C（可以与点C重合）时，直接写出运动过程中长的最大值和最小值． 【答案】（1），；（2）①；②；（3）长的最小值为，最大值为． 【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质得出，，进而根据三角形外角的性质即可求解； （2）证明，得出，，进而根据（1）的方法即可求解； （3）由题意，可知点在以为弦．所对圆心角为的上，根据题意画出图形，连接．当点在线段上时，取得最小值，当点移动到点时，点与点重合，此时取得最大值，利用勾股定理以及线段的和差即可求解． 【详解】解：（1）∵是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：，； （2）∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∵，即． ∴， ∴． ∴，，即； ∴； （3）长的最小值为，最大值为． 由题意，可知点在以为弦．所对圆心角为的上（，则，劣弧所对的圆周角是）． 如解图1所示，． ∵， ∴． 连接．当点在线段上时，取得最小值， 如解图1所示，此时． ∴． ∴长的最小值为． 当点移动到点时，点与点重合，此时取得最大值． 如解图2所示，由（2），知． ∴长的最大值为8． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，熟练掌握综合运用以上知识是解题的关键． 16．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知：如图，是等边三角形，点，分别在边，上，且，与相交于点． (1)求的度数； (2)若，，求的长． (3)连接，若，则线段的最小值为______（直接写结果）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用等边三角形性质先证明，得到，推出即可得出结果； （2）由（1）可知，得出，可证明，根据即可求出的长； （3）当，靠近，时，越来越大，当，与，时重合时，，当，靠近，时，越来越大，当，与，时重合时，，得出当，为，中点时，最小，根据等边三角形性质可得点为的垂心，结合勾股定理可求出，可以求出的长，从而得出结果． 【详解】（1）解：是等边三角形， ，， 在与中， ， ， ， ； （2）由（1）可知， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）如图，连接， 当，靠近，时，越来越大，当，与，时重合时，， 当，靠近，时，越来越大，当，与，时重合时，， 当，为，中点时，最小， 是等边三角形，，， 点为的垂心， ， 在中，， ， 是等边三角形，点为的垂心， 垂直平分，，垂直平分， ， 在中，，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，根据题意分析出当，为，中点时，最小是解答本题的关键． 17．（2025·江西吉安·模拟预测）课本再现： (1)如图1，D，E分别是等边三角形的两边上的点，且．求证：．下面是小涵同学的证明过程： 证明：∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴， ∴． 小涵同学认为此题还可以得到另一个结论：的度数是 　 　；    迁移应用： (2)如图2，将图1中的延长至点G，使，连接．利用（1）中的结论完成下面的问题． ①求证：； ②若，求证：； 拓展提升： (3)在等边中，若点D，E分别在射线上，连接交于点F，且，将绕点C逆时针旋转到，且使得．直线与直线交于点P，若，则的值为 　 　 【答案】(1)60° (2)①见解析；②见解析 (3)2或3 【分析】（1）由全等的性质，得角相等，作等量代换得证结论； （2）①求证，得，相应可证，于是；②可证，得，相应的，可证得； （3）如图3，当点D，点E分别在上时，由，得，可求证是等边三角形，进一步求证，得，从而；如图4，当点D，点E分别在的延长线，的延长线上时，求证是等边三角形，得，进一步求证，得，求证CB=2BD，所以CP=3BP，． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）证明：①由（1）知， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴． ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图3，当点D，点E分别在上时，    ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 由②知 AD=2BD， ∴； 如图4，当点D，点E分别在的延长线，的延长线上时，    ∵, ∴. ∵, ∴, ∵, ∴ ∴是等边三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴CB=2BD， ∴CP=3BP， ∴， 故答案为：2或3． 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质；当属于动点情况时，注意分类讨论，情况完备是解题的关键． 18．（2025·湖北武汉·一模）已知是等边三角形，是直线上的一点． (1)问题背景：如图，点，分别在边，上，且，与交于点，求证：； (2)点，分别在边，上，与交于点，且． ①尝试运用：如图，点在边上，且，求的值； ②类比拓展：如图3，点在的延长线上，且，直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2)①；②或 【分析】（1）根据等边三角形的性质得出，，进而证明，得出，根据三角形外角的性质即可得证； （2）①在上截取，连接交于点，过点作交于点，证明，,证明，设，，则，证明得出，即可求解； ②延长至，使，连接交于点，过点作交于点，证明，，设，，则，证明，，根据相似三角形的性质列出比例式，继而即可求解． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ，， ， ， ， ； （2）①在上截取，连接交于点，过点作交于点， 由（1）可知， ， ，     ∴，, ∴，， ∴ ， ∵， ∴， 设，，则， ， ，即， ， ， ， ， ， 解得或(舍)， ∴； ②延长至，使，连接交于点，过点作交于点， 由（1）可知， ， ，， ∴， ， 设，，则， ∵， ∴， ∵， ，， ∴， ∴ ∴， 解得或， ∴或． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，构造相似三角形是解题的关键． 19．（24-25九年级下·河南商丘·阶段练习）【问题提出】 数学课上，老师给出了这样一道题目：如图1，在等边三角形中，点，分别在，边上，，交于点，且． （1）线段，的数量关系为______，的度数为______． 【类比探究】 老师继续提出问题，若改变的形状，（1）中的结论是否仍然成立呢？ 同学们根据老师的提问画出图形，如图2，是等腰直角三角形，，点，分别在，边上，，交于点，同学们发现，想要类比（1）中的探究过程得出结论，还需要确定线段，的数量关系． （2）请先将条件补充完整：线段，的数量关系为______；再根据图2写出线段，的数量关系和的度数，并说明理由． 【拓展探究】 （3）如图3，是等腰直角三角形，，若点沿边上一动点，点是射线上一动点，直线，交于点，在（2）的条件下，当动点沿边从点移动到点（与点重合）时，请直接写出运动过程中长的最大值和最小值． 【答案】（1），；（2）；，，理由见解析；（3）8， 【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质得出，，进而根据三角形外角的性质即可求解； （2）证明，得出，，进而根据（1）的方法即可求解； （3）由题意，可知点在以为弦．所对圆心角为的上，根据题意画出图形，连接．当点在线段上时，取得最小值，当点移动到点时，点与点重合，此时取得最大值，利用勾股定理以及线段的和差即可求解． 【详解】解：（1）解：∵是等边三角形 ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴ 故答案为： ，．     （2）线段，的数量关系为：；         ，．     理由如下：∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵，即． ∴． ∴，，即． ∴．     （3）长的最小值为，最大值为． 由题意，可知点在以为弦．所对圆心角为的上（，则，劣弧所对的圆周角是）． 如解图1所示，． ∵， ∴． 连接．当点在线段上时，取得最小值， 如解图1所示，此时． ∴． ∴长的最小值为． 当点移动到点时，点与点重合，此时取得最大值． 如解图2所示，由（2），知． ∴长的最大值为8． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，熟练掌握综合运用以上知识是解题的关键． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 相似三角形中的基本模型之十字架模型 几何学是初中数学的一个重要分支，研究的是形状、大小和相对位置等几何对象的性质和变换。在初中的几何学中，十字模型就是综合了上述知识的一个重要模型。 本专题就十字模型相关的考点作梳理，帮助学生更好地理解和掌握，提高学生的做题效率。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 7 模型1.矩形中的十字架模型（相似模型） 7 模型2.等边三角形中的斜十字模型（相似模型） 13 模型3.直角三角形中的十字模型（相似模型） 16 21 ‌ 十字模型在初中数学教学中被系统化总结为“十字架模型”，成为解决中考压轴题的核心方法之一。其名称来源于图形中垂直相交的线段形似“十字架”，而实际应用中常通过作辅助线（如垂线、连接对角线）构造全等或相似三角形。十字架模型从规则图形中的特殊结构出发，通过几何变换和相似性质逐步抽象为通用方法，成为几何证明与计算的重要工具‌。该模型被系统化纳入初中数学教学，用于培养空间推理能力，尤其在解决折叠问题、动态几何题时具有高效性。‌ （2025·广东·模拟预测）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题． (1)【图形认知】如图①，在正方形中，，交于点，则 （填比值）； (2)【探究证明】如图②，在矩形中，，分别交、于点、，分别交、于点、，求证：； (3)【结论应用】如图③，将矩形沿折叠，使得点和点重合，若，．求折痕的长； (4)【拓展运用】如图④，将矩形沿折叠，使得点落在边上的点处，点落在点处，得到四边形，若，，，请求点P到直线的距离． （2025·山东青岛·模拟预测）【问题发现】矩形里的有趣“十字架” 某校九年级三班数学探究小组在研究矩形时发现矩形里有一个有趣的“十字架”：如图①，在矩形中，，，E、F、G、H分别是边、、、上的点，连接、交于点O，当时，总是会有 ． 【模型建立】如何证明这个猜想呢？ 在同学们陷入深思时，组长小林提议道：“我们可以先找一种特殊情况探究它，然后再将探究方法推广到一般情况呀！”于是，在他的提议下，同学们一致认为可以先将F、G分别移动到顶点A、D处，如图②所示． （1）在图②所示的情况下，你能帮小组成员们证明一下他们的猜想吗？ （2）你能在图①中添加辅助线，并对辅助线进行描述，以方便小组成员继续证明一般性的规律吗？ 【模型应用】 （3）如图③，在正方形中，，E、F分别在边、上，连接、，若，，则 ．（直接写出结果）． 【拓广延伸】 （4）如图④，在直角梯形中，，，点M、N分别是边上的动点，连接交梯形对角线于点O，若，则的长度为 ．（直接写出结果） 1）矩形中的十字架模型 条件：如图1，在矩形ABCD中，若E是AB上的点，且DE⊥AC，结论：. 证明：四边形为矩形，，； DE⊥AC，，，，，. 条件：如图2，在矩形ABCD中，若E、F分别是AB、CD上的点，且EF⊥AC，结论：. 证明：如图，过点F作于点G，则； 四边形为矩形，，四边形为矩形，； ；EF⊥AC，，； ，，，易证：DC=AB，FG=BC，. 条件：如图3，矩形ABCD中，若E、F、M、N分别是AB、CD、AD、BC上的点，且EF⊥MN，结论：. 证明：如图：过点N、F作、垂直，； 四边形为矩形，，四边形为矩形，； ∵EF⊥MN，，∴； 又∵（对顶角相等），∴； ∴，，易证：NH=AB，FG=BC，. 2）等边三角形中的斜十字模型 条件：如图1，已知等边△ABC，BD=EC（或CD=AE）， 结论：①AD=BE，②AD和BE夹角为60°，③。 证明：如图，在等边中，，， 在与中，，，∴AD=BE，； ，∴AD和BE夹角为60°； ，，，同理： ， 3）直角三角形中的十字模型 1）等腰直角三角形中的十字模型（全等+相似）： 条件：如图2，在△ABC中，AB=BC，AB⊥BC，结论：①D为BC中点，②BF⊥AD，③AF：FC=2：1，④∠BDA=∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦，以上七个结论中，可“知二得五”。 证明：不妨把①②作为条件，来证明③--⑦的五个结论。 如图1，过点C作BC的垂线交BF于点H，过点A作AG垂直于CH，∴∠BCH=90°，∴∠CBH+∠CHB=90° ∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°，∴∠BCH=∠ABC=90°，∵BF⊥AD，∴∠CBH+∠ADB=90°，∴∠CHB=∠ADB， ∵AB=BC，∴，∴BD=CH，∵D为BC中点，∴BD=DC=CH，∴AB=2CH， 易证：四边形ABCG为正方形，即AB//CG，∴，∴AF：CF=BA：HC=2：1 ∵AB=BC，AB⊥BC，∴∠BCA=45°，∵∠BCH=90°，∴∠BCA=∠GCA=45°， ∵DC=CH，CF=CF，∴，∴∠CHF=∠CDF，∠CFH=∠CFD， ∴∠BDA=∠CDF，∵∠CFH=∠AFB，∴∠AFB=∠CFD， 如图2，过点C作CQ垂直于BF，∴∠BQC=90°， ∵AB⊥BC，∴∠ABD=∠BQC=90°，∴∠ABE+∠QBC=90°，∵AB=BC，∴， ∴CQ=BE，AE=BQ，∵BF⊥AD，CQ⊥BF，易证：，∴EA：QC=AF：CF=2：1。 ∴AE=BQ=BE+EQ=CQ+EQ，∴CQ=EQ，∴QEC为等腰直角三角形，∴∠QEC=45°， ∴∠AEC=135°，。 2）直角三角形中的十字模型： 如图3，在三角形ABC中，BC=kAB，AB⊥BC，①D为BC中点，②BF⊥AD，③AF：FC=2：k2，④∠BDA=∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦，以上七个结论中，可“知二得五”。（全等+相似） 证明：不妨把①②作为条件，来证明③--⑦的五个结论。 由于该模型证明主要结合了前面矩形中的十字架模型和等腰直角三角形中的十字架模型，故此不再详细证明，有兴趣的同学可以自行证明即可。 模型1.矩形中的十字架模型（相似模型） 例1（2025·广东江门·一模）【知识技能】 （1）如图1，在矩形中，点E，F分别在边，上，，垂足为点G．求证：． 【数学理解】 （2）如图2，在正方形中，点E，F分别在边，上，，延长到点H，使，连接．求证：． 【拓展探案】 （3）如图3，在菱形中，点E，F分别在边，上，，，，求的长． 例2（2025·河南南阳·一模）华师大版教材八年级下册页有一道习题： 如图，在正方形中，． 求证： 解决下列问题： (1)该习题不添加辅线，只需证明______，即可得到结论． (2)如图1，正方形中，点、分别在边、上． ①过点G作交于点．（要求尺规作图，不写作法，仅保留作图痕迹）． ②求证：． (3)如图2，黄金矩形（）中，点、、分别在边、、上，且，若．请直接写出线段的长（用含的式子表示）． 例3（2025·湖北襄阳·一模）综合与实践课上，梦班数学学习兴趣小组对图形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行探究时，遇到以下问题，请你逐一加以解答： (1)操作判断 如图1，在正方形中，点，，，分别在边，，，上，且，若，求的长； (2)迁移探究 如图2，在矩形中，，点，，，分别在边，，，上，且，若，求的长； (3)拓展应用 如图3，在中，，，点，分别在边，上，且，试证明：． 例4（2025·安徽淮北·三模）四边形是矩形． (1)如图，点E，F分别在边，上，且于点H． ①当时，求证：； ②若，时，求的值． (2)如图，若点E在边上，且，，，点F是上一动点，连接，，．当的周长最小时，在上取一点G，连接，求的最小值． 例5（2025·江苏镇江·二模）矩形纸片中，点，分别在边和上，点，分别在边和上． 【特例感知】 （1）如图1，当矩形纸片是正方形时，，则线段和的数量关系为__________； 【初步探究】 如图2，矩形纸片中，． （2）若，则线段和的数量关系为__________； （3）若，那么一定成立吗？如果不一定，请在图2中画出一个反例； （要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【拓展提升】 （4）如图3，若，点是边的中点，将矩形纸片折叠，使得点落处，则折痕落在纸片上的线段的长为__________；（用含的代数式表示） （5）已知点的位置如图4所示，求作一点，使得点一定分别在一个长宽比为2∶1的矩形的四条边上（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 模型2.等边三角形中的斜十字模型（相似模型） 例1（2025·浙江杭州·一模）如图，在等边三角形中，点，分别是边，上的点，且，连接，交于点 (1)求证：； (2)若，求的值； (3)若点P恰好落在以为直径的圆上，求的值． 例2（24-25九年级·安徽淮南·阶段练习）已知：如图，是等边三角形，点D、E分别在，且，、相交于点M，求证： (1)； (2)． 例3（2024·福建·模拟预测）在中，点，分别在，边上，，交于点． (1)如图，是等边三角形，且．求的度数； (2)如图，是等腰直角三角形，，． 判断线段，之间的数量关系并说明理由； 求的度数． (3)如图，是等腰直角三角形，，若点是边上一动点，点是射线上一动点，在（2）的条件下，当动点沿边从点移动到点（可以与点重合）时，直接写出运动过程中长的最大值和最小值． 例4（24-25八年级下·山东烟台·期末）在中，动点M在边上从点A向终点C运动，同时点N在边上从点C向终点B运动，当一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接交于点P． 【特例初探】 （1）如图1，若为等边三角形，点M和点N以同样的速度运动，则在此运动过程中，的度数始终为__________； 【类比探究】 （2）如图2，若为等腰直角三角形，斜边为，点M的速度为1，点N的速度为，则在此运动过程中，的角度是否发生变化？如果不变，请求出具体度数；如果发生变化，请写出理由； 【总结提升】 （3）如图3，若为等腰三角形，底边为，且，，点M的速度为v，点N的速度为，则在此运动过程中，请直接写出用含有n，，v的代数式表示的度数． 例5（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）如图，在等边三角形中，，连接，交于点． (1)求出的度数； (2)求证：； (3)连接，当时，求证：． 模型3.直角三角形中的十字模型（相似模型） 例1（24-25·合肥·阶段练习）如图，在RtABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，AE是BC边上的中线，过点B作BD⊥AE于点H，交AC于点D，则AD的长为（    ） A．2 B． C． D． 例2（2025·广东深圳·三模）如图，在中，是角平分线，是中线，，且，垂足为F，G为的中点，连接，．下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 例3（2025·湖北武汉·校考二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D，E分别是边BC，AB上的点，∠ADC＝∠EDB，过点E作EF⊥AD，垂足为F，交AC于点G． (1)如图（1），求证：△AGE∽△BDE；(2)如图（2），若点G恰好与顶点C重合，求证：BD＝CD； (3)如图（1），若＝，直接写出的值． 例4（24-25九年级下·四川内江·开学考试）初识图形 （1）如图1，、分别为正方形边和边上的点，连接、，且．则　 　． 类比探究（2）如图2，矩形中，点、分别在边、上，连接、，且，，，则　 　． 拓展应用（3）如图3，中，、分别为、边上的点，，，，连接，交于点．求长．请说明理由． 1．（24-25八年级下·山东泰安·期中）如图所示，为直角三角形，，为的中点，，垂足为点，的延长线交于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，求的值． 2．（2025·安徽合肥·三模）如图1，点E为矩形边上一点，连接交对角线于点F，且 (1)求证： (2)当点E为中点时，如图2，连接． （i）求证： （ii）求的值． 3．（2025·河南安阳·一模）综合与实践 如果从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该点为所在边的三等分点，那么这个平行四边形叫做“垂对三等分平行四边形”，垂足叫做“垂三等分点”． (1)理解应用 如图1，在中，于点P，交于点E，若E为的三等分点，则是垂对三等分平行四边形，P是垂三等分点．若，，，则__________；__________． (2)问题探究 如图2，在垂对三等分平行四边形中，P是垂三等分点，且满足．若，试猜想与的数量关系，并说明理由． (3)拓展延伸 如图3，已知四边形是矩形，过点A作于点P，交于点E，，当四边形是垂对三等分平行四边形时，直接写出的长度． 4．（2025·山东东营·一模）已知四边形中，分别是、边上的点，与交于点G． 【问题初探】（1）如图 1 ，若四边形是正方形，且，求证：； 【类比探究】（2）如图 2 ，若四边形是矩形，，且，猜想 与的数量关系，并加以证明； 【迁移拓展】（3）如图 3 ，若四边形是平行四边形，，当时，第（2） 问的结论是否成立？若成立给予证明；若不成立，请说明理由． 5．（24-25九年级下·海南儋州·开学考试）在矩形中，，动点E在射线上，于点G，交射线于点F，连接． (1)如图①，若，求证：； (2)若点F是的中点，求的长； (3)如图②，点F在延长线上，交边于点M，连接，若，求的长． 6．（24-25九年级上·四川·期中）【基础巩固】 （1）如图，在中，，于点D，求证：． 【尝试应用】 （2）如图，在矩形 中，，点F在 上，，于点E，求的长． 【拓展提高】 （3）如图，在矩形中，点E在边上，与关于直线对称，点C的对称点F在边上，G为 中点，连接交 于点M，，若，求的长． 7．（2025·山东济南·模拟预测）综合与实践 综合与实践课上，数学兴趣小组对图形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行了探究． (1)操作判断 ①如图（1），在正方形中，点E，F，G，H分别在边上，且，若，则的长为_______． ②如图（2），在矩形中，，点E，F，G，H分别在边上，且，若，则的长为_______． (2)迁移探究 如图（3），在中，，点D，E分别在边AC，BC上，且，试证明：． (3)拓展应用 如图（4），在矩形中，，平分交于点E，点F为上一点，交于点H，交矩形的边于点G，当F为的三等分点时，请直接写出的长． 8．（2025·湖北·模拟预测）数学兴趣小组学习了矩形的性质与判定后，对多边形中的相似三角形作了如下探究： 【教材呈现】（1）如图1，在中，，于点．直接写出一个与相似的三角形； 【类比探究】（2）如图2，在矩形中，，点在上，，于点，求的长； 【拓展提升】（3）如图3，在四边形中，，，点分别在上，且，垂足为，求的值． 9．（24-25九年级下·安徽蚌埠·阶段练习）如图1，是等边三角形，点在的延长线上，点在上，，，交于点．    (1)①求证：； ②求证：； (2)如图2，若点是的中点，求的值． 10．（24-25九年级下·江苏南京·期中）如图，在等边三角形中，，，相交于点． (1)求证； (2)求证． 11．（2025·广东广州·一模）等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，且满足AE＝CF，连接AF，BE相交于点P． (1)求证：AF＝BE； (2)若AE＝2，试求AP·AF的值； (3)当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长． 12．（2025·浙江杭州·二模）如图，在等边三角形中，点，分别是边，上的点，且，连结，交于点． (1)求证：； (2)连接，若时， ①求的值； ②设的面积为，四边形的面积为，求的值． 13．（2024·吉林长春·一模）【感知】如图①，在正方形内部作等边三角形，连结、，则的大小为________度． 【迁移】小明遇到这样一个问题：如图，在中，，，点D是内的一点，且，，求证：． 小明发现，将图②通过做辅助线，变化成和图①类似，就可以求出，进而得证． 下面是小明的部分证明过程： 证明：过点B作的平行线，过点C作的平行线，两平行线交于点E，连结． ∵，，∴四边形是平行四边形． ∵，，∴四边形是正方形． ∵，∴． ∵四边形是正方形，∴， ∴，即． ∵，，∴． ∴． 请你补全余下的证明过程． 【拓展】如图③，在中，，，，于点E，交于点F，则的长为________． 14．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，为等边三角形，分别是上的点，连接和相交于点， 　　   (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，是边上一点，连接和，，求的长． 15．（2024·河南许昌·一模）问题解决 （1）如图1，在等边三角形中，点，分别在，边上，，交于点，且．则线段，的数量关系为__________，的度数为__________； 类比迁移 （2）如图2，是等腰直角三角形，，点D，E分别在，边上，，交于点F，且． ①判断线段之间的数量关系并说明理由； ②求的度数． 拓展探究 （3）如图3，是等腰直角三角形，，若点是边上一动点，点E是射线上一动点，在（2）的条件下，当动点D沿边从点A移动到点C（可以与点C重合）时，直接写出运动过程中长的最大值和最小值． 16．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知：如图，是等边三角形，点，分别在边，上，且，与相交于点． (1)求的度数； (2)若，，求的长． (3)连接，若，则线段的最小值为______（直接写结果）． 17．（2025·江西吉安·模拟预测）课本再现： (1)如图1，D，E分别是等边三角形的两边上的点，且．求证：．下面是小涵同学的证明过程： 证明：∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴， ∴． 小涵同学认为此题还可以得到另一个结论：的度数是 　 　；    迁移应用： (2)如图2，将图1中的延长至点G，使，连接．利用（1）中的结论完成下面的问题． ①求证：； ②若，求证：； 拓展提升： (3)在等边中，若点D，E分别在射线上，连接交于点F，且，将绕点C逆时针旋转到，且使得．直线与直线交于点P，若，则的值为 　 　 18．（2025·湖北武汉·一模）已知是等边三角形，是直线上的一点． (1)问题背景：如图，点，分别在边，上，且，与交于点，求证：； (2)点，分别在边，上，与交于点，且． ①尝试运用：如图，点在边上，且，求的值； ②类比拓展：如图3，点在的延长线上，且，直接写出的值． 由（1）可知， ， 19．（24-25九年级下·河南商丘·阶段练习）【问题提出】 数学课上，老师给出了这样一道题目：如图1，在等边三角形中，点，分别在，边上，，交于点，且． （1）线段，的数量关系为______，的度数为______． 【类比探究】 老师继续提出问题，若改变的形状，（1）中的结论是否仍然成立呢？ 同学们根据老师的提问画出图形，如图2，是等腰直角三角形，，点，分别在，边上，，交于点，同学们发现，想要类比（1）中的探究过程得出结论，还需要确定线段，的数量关系． （2）请先将条件补充完整：线段，的数量关系为______；再根据图2写出线段，的数量关系和的度数，并说明理由． 【拓展探究】 （3）如图3，是等腰直角三角形，，若点沿边上一动点，点是射线上一动点，直线，交于点，在（2）的条件下，当动点沿边从点移动到点（与点重合）时，请直接写出运动过程中长的最大值和最小值． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $