专题09 相似三角形重要模型之一线三等角模型（几何模型讲义）数学浙教版九年级上册

专题09 相似三角形重要模型之一线三等角模型 相似三角形是中考数学中经常出现压轴大题的知识点，占据着重要地位；相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 1 提炼模型 2 模型拓展 3 模型运用 4 模型1.一线三等角模型（相似模型） 4 12 动态旋转起源‌：该模型最初源于几何图形的动态构造，这种旋转过程揭示了模型从一般位置到特殊位置（如中点型、同侧型、异侧型等）的自然演变。‌“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等（或利用外角定理也可），从而得到两个三角形相似。 因模型在不同视角下呈现“K”或“M”形轮廓，各地教学中衍生出‌K型图‌（如华东地区）与‌M型图‌（如华北地区）的昵称差异。这种命名差异体现了模型视觉表现力的多样性。 （2025·青海西宁·一模）阅读材料：几何图形中有很多有趣的模型，“一线三等角”是其中体现几何逻辑推理的典例，已知三点共线，且的情况就称之为“一线三等角”；让我们一起来探究它具有哪些几何图形的性质呢？ (1)【特例探究】如图，已知三点在同一条直线上，，求证： (2)【规律总结】如果，你还能证明这两个三角形相似吗？求证： (3)【实例应用】如果，若点E是的中点，求证： （24-25九年级上·广西·阶段练习）三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等或相似三角形所需角的相等条件，利用全等或相似三角形解决问题． 【证明体验】 如图1，在四边形中，点为上一点，，求证：． 【思考探究】 （2）如图2，在四边形中，点为上一点，当时，上述结论是否依然成立？说明理由． 【拓展延伸】 （3）请利用（1）（2）获得的经验解决问题： 如图3，在中，，，以点为直角顶点作等腰，点在上，点在上，点在上，且，若，求的长． 1）一线三等角模型（同侧型） （锐角型） （直角型） （钝角型） 条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ACE∽△BED。 证明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2 ∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 2）一线三等角模型（异侧型） 条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ADE∽△BEC. 证明：∵∠1=∠2，∴∠CBE=∠EAD（等角的补角相等），∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 ∵∠2=∠C+∠CEB（外角定理），∠3=∠DEA+∠CEB，∠2＝∠3∴∠C=∠DEA，∴△ADE∽△BEC. 3）一线三等角模型（变异型） 图1 图2 图3 ①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，且∠1=∠2＝∠3，结论：△ACE∽△BED∽△ECD. 证明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2，∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 ∴，∵C为AB的中点，∴AE=EB，∴，∴，∵∠2=∠3，∴△BED∽△ECD ②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB. 证明：∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABF+∠CBF=90°，∠A+∠ABF=90°，∴∠CBF=∠A， ∵∠ABD=∠BDE=90°，∴△ABC∽△BDE，∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABC=∠BFC=90°， ∴△ABC∽△BFC，同理可证：△ABC∽△AFB°，故△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB. ③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM. 证明：∵∠ABD=∠ACE=90°，∴∠ABM=∠MCN=90°， ∵∠AMB=∠NMC（对顶角相等）∴△ABM∽△NCM. 同理可证：△NDE∽△NCM 故：△ABM∽△NDE∽△NCM. 模型1.一线三等角模型（相似模型） 例1（25-26九年级上·湖南郴州·阶段练习）如图，在四边形中，，，点在上，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 例2（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图1：这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在△中，，将线段绕点顺时针旋转得线段，作交的延长线于点． (1)如图2：通过观察，线段与的数量关系是 ； (2)如图3：连接并延长交的延长线于点，若，，求的面积． 例3（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在等边中，，D，P分别是边，上的点，且，，    (1)证明：； (2)求的长． 例4（2025·浙江·模拟预测）如图所示，在平行四边形中，P是边上一点（不与A，B重合），，过点P作交边于点Q，连结，． (1)求证：四边形是矩形． (2)当，时，求的长． 例5（2025·吉林延边·模拟预测）【尝试探究】在矩形中，为边上一点，连接，过点作交于点． （1）如图①，若点与点重合，，求证：． （2）如图②，若为的中点，求的长． 【拓展应用】如图③，在中，为边上一点（点不与点A，B重合），连接，过点作交于点．当为等腰三角形时，的长为______________． 1．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，点是矩形的边上一点，把沿对折，使点恰好落在边上的点处，已知折痕，且，那么该矩形的周长为（    ） A．24 B．32 C．20 D．48 2．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，矩形的两边分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，现有两动点P，Q，点P以每秒3个单位的速度从点O出发向终点A运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从点A出发向终点B运动，连接，，．设运动时间为t秒．若A，P，Q为顶点的三角形与相似时，则 ． 3．（2025九年级上·安徽·竞赛）如图，在平面直角坐标系中，，反比例函数的图象经过点A，反比例函数的图象经过点，则的值为 ． 4．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，在中，于D． (1)求证：； (2)若，求的长． 5．（24-25九年级上·江苏南京·期末）在，，，、、分别为、、边上的点，且． (1)求证：； (2)当是的中点时，连接，若，，则的长为 ． 6．（24-25九年级上·广西梧州·期末）（1）如图甲，，垂足分别为，且三个垂足在同一直线上，我们把这样的图形叫“三垂图”．请判断：成立吗？不用说明理由； （2）如图乙，也是一个“三垂图”，还成立吗？请说明理由； （3）如图丙，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点，顶点为，如图所示，若是抛物线上异于的点，使得，请直接写出点坐标． 7．（24-25九年级上·全国·期中）已知正方形的边长为4，点E在边上，且交边于点F． (1)求证：； (2)若点E为的中点，求的长； (3)在（2）的条件下，若的延长线与的延长线交于点G，求的长． 8．（24-25九年级上·全国·期中）如图1，在矩形中，，．点P是上的一个动点（不与点B、C重合），连接，过点P作交于点E． (1)求证：； (2)若是面积为10的等腰直角三角形，求m的值； (3)当时， ①存在点P使得点E与点D重合，求出此时的长； ②如图2，连接，若，求的长． 9．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）阅读下列材料： 如图，点在直线上，且，则，又，故．像这样一条直线上有三个等角顶点的图形我们把它称为“一线三等角”图形． 请根据以上阅读解决下列问题： (1)如图，中，，，直线经过点，过作于点，过作于点．可证______，进而可证______． (2)如图，在中，点在上，，，，，则点到边的距离为______． (3)如图，在平行四边形中，为边上一点，为边上一点．若，，，，求的长． 10．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）九年级2201班数学创新小组对三角形中的三等角问题进行深入研究： 已知：等腰中，，的顶点在三边上的不同位置都满足． 【一线模型】如图1：当的顶点在底边上，与两腰，分别交于点，，求证：； 【变化模型】如图2：当的顶点与点重合，与底边及其延长线分别交于点，，求的值； 【拓展延伸】如图3：当的顶点在边上，与底边分别交于点，，且，求的值．（用的代数式表示） 11．（24-25九年级下·浙江·开学考试）在中，已知，于，，，求的长． (1)如图，当时，小党同学灵活运用一线三等角构造相似三角形知识，他作出，利用三角形相似求出的长，请你帮助他证明：； (2)当时． ①如图，求的长． ②如图，，为直线上两点（在点左侧，在点右侧），在中，，，，设，，请求出，之间的关系式． 12．（24-25九年级上·北京昌平·期中）感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线上，且，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角”模型． 应用： (1)如图2，中，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E．求证：． (2)如图3，在中，E为边上的一点，F为边上的一点．若，，求的值． 13．（24-25九年级下·山东烟台·期中）阅读下列材料： 如图1，点A、D、E在直线l上，且， 则：， 又， 故． 像这样一条直线上有三个等角顶点的图形我们把它称为“一线三等角”图形．      请根据以上阅读解决下列问题： (1)如图2，中，，，直线ED经过点C，过A作于点D，过B作于点E．求证：． (2)如图3，在中，点D在上，，，， ，求点C到边的距离． (3)如图4，在平行四边形中，E为边上一点，F为边上一点．若，，，，求的长． 14．（2025·安徽滁州·一模）感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线上，且，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角“模型． 应用： (1)如图2，中，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E．求证：． (2)如图3，在中，D是上一点， ，求点C到边的距离． (3)如图4，在中，E为边上的一点，F为边上的一点．若 ，求 的值． 15．（24-25九年级上·河南开封·期中）感知∶ （1）数学课上，老师给出了一个模型∶如图1，∠BAD=∠ACB=∠AED=90°，由∠1+∠+2+∠BAD=180°，∠2+∠D+∠AED=180°，可得∠1=∠D；又因为∠ACB=∠AED=90°，可得△ABC∽△DAE，进而得到 ．我们把这个数学模型称为“一线三等角”模型． 应用∶ （2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，在△ABC中，点D在边BC上，并且DA=DE，∠B=∠ADE=∠C．若BC=a，AB=b，求CE的长度（用含a，b的代数式表示）．   拓展∶ （3）创新组突发奇想，将此模型迁移到平行四边形中，如图3，在平行四边形ABCD中，E为边BC上的一点，F为边AB上的一点．若∠DEF=∠B．求证∶AB·FE=BE·DE． 16．（24-25九年级下·安徽淮北·阶段练习）数学模型学习与应用．【学习】如图1，，，于点C，于点E．由，得∠1=∠D；又，可以通过推理得到≌．我们把这个数学模型称为“一线三等角”模型； (1)【应用】如图2，点B，P，D都在直线l上，并且．若，，，用含x的式子表示CD的长； (2)【拓展】在中，点D，E分别是边BC，AC上的点，连接AD，DE，，，．若为直角三角形，求CD的长； (3)如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为，点B为平面内任一点．是以OA为斜边的等腰直角三角形，试直接写出点B的坐标． 17．（24-25九年级上·山东济南·期末）感知：（1）数学课上，老师给出了一个模型： 如图1，，由，，可得 ；又因为，可得，进而得到______．我们把这个模型称为“一线三等角”模型． 应用：（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，在中，，，点P是BC边上的一个动点（不与B、C重合），点D是AC边上的一个动点，且． ①求证：； ②当点P为BC中点时，求CD的长； 拓展：（3）在（2）的条件下如图2，当为等腰三角形时，请直接写出BP的长． 18．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）阅读材料：小胖同学遇到这样一个问题，如图1，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝2，AD＝AE，∠DAE＝90°，CE＝，求CD的长； 小胖经过思考后，在CD上取点F使得∠DEF＝∠ADB（如图2），进而得到∠EFD＝45°，试图构建“一线三等角”图形解决问题，于是他继续分析，又意外发现△CEF∽△CDE． （1）请按照小胖的思路完成这个题目的解答过程． （2）参考小胖的解题思路解决下面的问题： 如图3，在△ABC中，∠ACB＝∠DAC＝∠ABC，AD＝AE，∠EAD+∠EBD＝90°，求BE：ED． 19．（24-25九年级上·四川成都·期末）数学综合与实践小组同学对“一线三直角”图形进行了深入研究．如图，在中，，，，将斜边绕点顺时针旋转得到线段，过点作的垂线，交直线于点． 【初步感知】 （1）求的长； 【深入研究】 （2）连接交于点，求的长； 【拓展延伸】 （3）若点在直线上，满足，请直接写出线段的长． 20．（24-25八年级上·辽宁大连·期中）阅读下面材料，完成（1）-（3）题 数学课上，老师出示了这样一道题：如图，中，，点P为边AB上一点（不与A、B重合），过P作于Q，作QE∥AB交BC于点E，连接PE，将线段PE绕点P顺时针旋转90°到PF，连接QF，探究线段之间的数量关系并证明． 同学们经过思考后，交流了自己的想法 小明：“通过观察和度量，发现为直角．” 小伟：“我通过一线三直角的模型构造三角形全等可以解决问题．” 小强：“我构造等腰直角三角形，再利用全等三角形可以解决问题．” 老师：“若其他条件不变，PE=AC，就可以求出的值．” （1）多少度？四边形为什么特殊四边形？（直接写出答案） （2）探究线段之间的数量关系并证明； （3）若其他条件不变，PE=AC，求的值． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 相似三角形重要模型之一线三等角模型 相似三角形是中考数学中经常出现压轴大题的知识点，占据着重要地位；相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 1 提炼模型 2 模型拓展 3 模型运用 4 模型1.一线三等角模型（相似模型） 4 12 动态旋转起源‌：该模型最初源于几何图形的动态构造，这种旋转过程揭示了模型从一般位置到特殊位置（如中点型、同侧型、异侧型等）的自然演变。‌“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等（或利用外角定理也可），从而得到两个三角形相似。 因模型在不同视角下呈现“K”或“M”形轮廓，各地教学中衍生出‌K型图‌（如华东地区）与‌M型图‌（如华北地区）的昵称差异。这种命名差异体现了模型视觉表现力的多样性。 （2025·青海西宁·一模）阅读材料：几何图形中有很多有趣的模型，“一线三等角”是其中体现几何逻辑推理的典例，已知三点共线，且的情况就称之为“一线三等角”；让我们一起来探究它具有哪些几何图形的性质呢？ (1)【特例探究】如图，已知三点在同一条直线上，，求证： (2)【规律总结】如果，你还能证明这两个三角形相似吗？求证： (3)【实例应用】如果，若点E是的中点，求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定．熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键．本题考查一线三等角模型，平时要多积累总结． （1）利用已知得出，以及即可得出； （2）利用已知得出，进而求出; （3）根据相似三角形的判定得出，确定，结合题意得出，再由相似三角形的判定和性质即可证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∴． （3）∵，， ∴， ∴． ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （24-25九年级上·广西·阶段练习）三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等或相似三角形所需角的相等条件，利用全等或相似三角形解决问题． 【证明体验】 如图1，在四边形中，点为上一点，，求证：． 【思考探究】 （2）如图2，在四边形中，点为上一点，当时，上述结论是否依然成立？说明理由． 【拓展延伸】 （3）请利用（1）（2）获得的经验解决问题： 如图3，在中，，，以点为直角顶点作等腰，点在上，点在上，点在上，且，若，求的长． 【答案】（1）见详解（2）成立，理由见详解（3）5 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质综合，勾股定理、三角形外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）通过等量代换得到，再结合，证明，则，即可作答． （2）与（1）过程类似，通过等量代换得到，结合，证明，则，即可作答． （3）因为点为直角顶点作等腰，得，与（1）过程类似，通过等量代换得到，证明，得出的值，再证明，列式代入数值，即可作答． 【详解】解：（1）∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2）成立，理由如下： ∵ ∴ 即 ∵ ∴ ∴ ∴； （3）∵是等腰三角形 ∴ ∵， ∴与（1）、（2）同理，得 ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 即 解得（为线段，负值舍去） ∴． 1）一线三等角模型（同侧型） （锐角型） （直角型） （钝角型） 条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ACE∽△BED。 证明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2 ∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 2）一线三等角模型（异侧型） 条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ADE∽△BEC. 证明：∵∠1=∠2，∴∠CBE=∠EAD（等角的补角相等），∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 ∵∠2=∠C+∠CEB（外角定理），∠3=∠DEA+∠CEB，∠2＝∠3∴∠C=∠DEA，∴△ADE∽△BEC. 3）一线三等角模型（变异型） 图1 图2 图3 ①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，且∠1=∠2＝∠3，结论：△ACE∽△BED∽△ECD. 证明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2，∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 ∴，∵C为AB的中点，∴AE=EB，∴，∴，∵∠2=∠3，∴△BED∽△ECD ②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB. 证明：∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABF+∠CBF=90°，∠A+∠ABF=90°，∴∠CBF=∠A， ∵∠ABD=∠BDE=90°，∴△ABC∽△BDE，∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABC=∠BFC=90°， ∴△ABC∽△BFC，同理可证：△ABC∽△AFB°，故△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB. ③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM. 证明：∵∠ABD=∠ACE=90°，∴∠ABM=∠MCN=90°， ∵∠AMB=∠NMC（对顶角相等）∴△ABM∽△NCM. 同理可证：△NDE∽△NCM 故：△ABM∽△NDE∽△NCM. 模型1.一线三等角模型（相似模型） 例1（25-26九年级上·湖南郴州·阶段练习）如图，在四边形中，，，点在上，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)的长为1或2． 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，同角的余角相等，解一元二次方程． （1）由，可得出，由同角的余角相等可得出，即可得证； （2）根据相似三角形的性质列式，结合即可求出的长度． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，，，， ∴，即， ∴或， ∴的长为1或2． 例2（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图1：这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在△中，，将线段绕点顺时针旋转得线段，作交的延长线于点． (1)如图2：通过观察，线段与的数量关系是 ； (2)如图3：连接并延长交的延长线于点，若，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、旋转的性质等知识点，灵活运用相关判定和性质定理成为解题的关键． （1）先证明，然后根据全等三角形的性质即可解答即可得证； （2）先证明，再根据相似三角形的性质列比例式求得长度，然后运用三角形的面积公式求出的面积即可． 【详解】（1）解：∵将线段绕点B顺时针旋转90°得到线段， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∴． 例3（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在等边中，，D，P分别是边，上的点，且，，    (1)证明：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识； （1）由是等边三角形，得到，利用三角形外角的性质得到，则，即可得到结论； （2）由题意得到，，由得到，求出，即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵等边，，且， ∴，， ∵， ∴， 即， 解得， ∴． 例4（2025·浙江·模拟预测）如图所示，在平行四边形中，P是边上一点（不与A，B重合），，过点P作交边于点Q，连结，． (1)求证：四边形是矩形． (2)当，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查直角三角形全等的判定，勾股定理，矩形的判定，相似三角形的判定和性质，综合应用上述知识点是解题的关键． （1）根据，，通过导角证明，进而得出，结合四边形为平行四边形，可得四边形是矩形． （2）先证得．设，则，在中，由得到，由，得，在中得到． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 又∵四边形为平行四边形， ∴四边形是矩形． （2）解：四边形是矩形， ， ， 在和中， ， ， ． 设，则， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ． ，， ， ，即， ． 在中，． 例5（2025·吉林延边·模拟预测）【尝试探究】在矩形中，为边上一点，连接，过点作交于点． （1）如图①，若点与点重合，，求证：． （2）如图②，若为的中点，求的长． 【拓展应用】如图③，在中，为边上一点（点不与点A，B重合），连接，过点作交于点．当为等腰三角形时，的长为______________． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）或2 【分析】 本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质，全等三角形的判定等等，掌握相似三角形的性质与判定定理是解题关键． 【尝试探究】（1）根据矩形的性质和垂线的定义可得，，则可证明，，据此根据全等三角形的判定定理可证明结论； （2）同（1）可证明，，则可证明，据此利用相似三角形的性质列出比例式求解即可； 【拓展应用】由勾股定理可得，证明，得到，由为等腰三角形且，可分两种情况讨论：和，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：【尝试探究】（1）∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； （2）∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，E为的中点， ∴， ∴， ∴； 【拓展应用】∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为等腰三角形且， ∴， ∴， 当，则， ∴； 当，则， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述，的长为或2． 1．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，点是矩形的边上一点，把沿对折，使点恰好落在边上的点处，已知折痕，且，那么该矩形的周长为（    ） A．24 B．32 C．20 D．48 【答案】D 【分析】本题考查矩形与折叠，相似三角形的判定和性质，设，进而得到，推出，证明，列出比例式求出的长，在中，利用勾股定理求出的值，进而求出的长，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴设， ∵矩形， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴，， ∴， ∴，即：， ∴， 在中，由勾股定理，得， ∴， ∴， ∴矩形的周长； 故选D． 2．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，矩形的两边分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，现有两动点P，Q，点P以每秒3个单位的速度从点O出发向终点A运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从点A出发向终点B运动，连接，，．设运动时间为t秒．若A，P，Q为顶点的三角形与相似时，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查坐标与图形、相似三角形的判定与性质、矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，分类讨论是解答的关键． 根据题意和坐标与图形性质求得，和，分和两种情况，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：根据题意，，，， 当时， ∵点B的坐标为， ∴，即， 解得：， 当时， ∴，即， 解得：或（不合题意，舍去）， 综上所述：或． 3．（2025九年级上·安徽·竞赛）如图，在平面直角坐标系中，，反比例函数的图象经过点A，反比例函数的图象经过点，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了反比例函数的解析式的求法，解答本题的关键是用三角形相似的判定，确定边的对应比值，采用设参数的方法进行讲解，整体思想求解方程是解题的关键． 根据题意，作轴， 轴，证明，有，令，则，代入反比例函数，得，得，得，得，可求得m的值． 【详解】解：作轴，垂足为H，轴，垂足为M， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 令， 则， 代入反比例函数， 得 ， ∴， ∴， ， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：1． 4．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，在中，于D． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）证明，然后利用相似比可得到结论； （2）由，得到，则可求出，然后利用勾股定理计算出CD的长． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ，， ， ， 即． （2）解：由（1）知， ，， ，解得或（舍去）， ， 所以的长为． 5．（24-25九年级上·江苏南京·期末）在，，，、、分别为、、边上的点，且． (1)求证：； (2)当是的中点时，连接，若，，则的长为 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题． （1）由，得，根据平角的定义以及三角形内角和定理可得，即可得； （2）设，由，根据相似三角形的性质可得，则，可得，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图，连接， 是的中点， ， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 6．（24-25九年级上·广西梧州·期末）（1）如图甲，，垂足分别为，且三个垂足在同一直线上，我们把这样的图形叫“三垂图”．请判断：成立吗？不用说明理由； （2）如图乙，也是一个“三垂图”，还成立吗？请说明理由； （3）如图丙，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点，顶点为，如图所示，若是抛物线上异于的点，使得，请直接写出点坐标． 【答案】（1）成立；（2）成立 理由见解析；（3） 【分析】（1）根据同角的余角相等求出，然后求出，再根据相似三角形对应边成比例列式整理即可得证； （2）与（1）的证明思路相同； （3）利用待定系数法求出二次函数解析式，根据抛物线解析式求出点P的坐标，再过点P作轴于C，设与y轴相交于D，然后求出，再根据（2）的结论求出，从而得到点D的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，与抛物线解析式联立求解即可得到点Q的坐标． 【详解】解：（1）成立， 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）仍然成立．理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）设抛物线解析式为（）， ∵抛物线与x轴交于点，与y轴交于点， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴顶点P的坐标为， 过点P作轴于C， 设与y轴相交于D， 则， 根据（2）的结论，， ∴， 解得， ∴点D的坐标为， 设直线的解析式为（）， 则， 解得， ∴， 联立， 解得，（为点A坐标，舍去）， ∴点Q的坐标为． 【点睛】本题是二次函数综合题型．主要考查了“三垂图”，相似三角形的判定与性质，待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，联立两函数解析式求交点坐标，余角性质，熟练掌握是解题的关键． 7．（24-25九年级上·全国·期中）已知正方形的边长为4，点E在边上，且交边于点F． (1)求证：； (2)若点E为的中点，求的长； (3)在（2）的条件下，若的延长线与的延长线交于点G，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)1 (3) 【分析】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定与性质． （1）根据正方形的性质结合，推出，即可证明结论； （2）先求出，根据，推出，即可求解； （3）根据，易证，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵正方形， ∴， ∵， ∴， 又， ∴． ∵， ∴； （2）解：∵点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 8．（24-25九年级上·全国·期中）如图1，在矩形中，，．点P是上的一个动点（不与点B、C重合），连接，过点P作交于点E． (1)求证：； (2)若是面积为10的等腰直角三角形，求m的值； (3)当时， ①存在点P使得点E与点D重合，求出此时的长； ②如图2，连接，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)m的值为6 (3)①或；② 【分析】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理． （1）利用矩形性质得，结合，通过角的互余关系推出，从而证明． （2）由等腰直角三角形性质得，结合相似推出全等，得到、，再在中利用勾股定理和三角形面积公式列方程求解． （3）①设，根据点与重合得，结合相似三角形对应边成比例列方程求解．②先由得，再结合推出，利用相似比求出，最后再根据求出． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：为等腰直角三角形， ， ， ， ，， 在中，， ， ， 解得：，（舍去）， 的值为； （3）解：①设，则， 点与点重合， ， ， ， ， 整理得，， 解得，， 当，且点与点重合时，或； ②四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ，即， 解得：， ， ， 即， 解得：． 9．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）阅读下列材料： 如图，点在直线上，且，则，又，故．像这样一条直线上有三个等角顶点的图形我们把它称为“一线三等角”图形． 请根据以上阅读解决下列问题： (1)如图，中，，，直线经过点，过作于点，过作于点．可证______，进而可证______． (2)如图，在中，点在上，，，，，则点到边的距离为______． (3)如图，在平行四边形中，为边上一点，为边上一点．若，，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】()由可证，由可证，进一步可证； ()过点作于点，过点作，交延长线于点，由等腰三角形三线合一，得，进一步证得，可证，于是，得解点到的距离为； ()以点为端点，作线段，交延长线于点，则，可证，于是，得，从而求得． 【详解】（1）解：， ∴， ∵， ， ∴， ∴ 在与中， ， ∴； （2）过点作于点，过点作，交延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 即点到的距离为； （3）以点为端点，作线段，交延长线于点， 则， ∵四边形是平行四边形， ∴，. ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质；添加辅助线构造全等三角形，相似三角形得到线段之间的数量关系是解题的关键． 10．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）九年级2201班数学创新小组对三角形中的三等角问题进行深入研究： 已知：等腰中，，的顶点在三边上的不同位置都满足． 【一线模型】如图1：当的顶点在底边上，与两腰，分别交于点，，求证：； 【变化模型】如图2：当的顶点与点重合，与底边及其延长线分别交于点，，求的值； 【拓展延伸】如图3：当的顶点在边上，与底边分别交于点，，且，求的值．（用的代数式表示） 【答案】[一线模型]见解析；[变化模型]；[拓展延伸] 【分析】一线模型：利用三角形外角性质，找到角的等量关系，结合已知的角相等，依据相似三角形判定定理（两角分别相等）证明 ． 变化模型：通过角的关系推导，得出与相似，再利用相似三角形对应边成比例，结合已知（即 ），求出的值 ． 拓展延伸：作辅助线，构造相似三角形，利用相似三角形的性质和线段的等量代换，将转化为与已知相关的表达式，进而求解 ． 本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理（两角分别相等判定相似）和性质（对应边成比例），以及通过作辅助线构造相似三角形、利用角的关系和线段等量代换解题是关键． 【详解】解：（1）∵， 且 ∴， ∴， ∴； （2）∵，， 而， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）过点作， 则：，， ∴， ∵， ∴， 则， 同理可证：， ∴，即， ∴． 11．（24-25九年级下·浙江·开学考试）在中，已知，于，，，求的长． (1)如图，当时，小党同学灵活运用一线三等角构造相似三角形知识，他作出，利用三角形相似求出的长，请你帮助他证明：； (2)当时． ①如图，求的长． ②如图，，为直线上两点（在点左侧，在点右侧），在中，，，，设，，请求出，之间的关系式． 【答案】(1)见解析 (2)①6；② 【分析】（1）由余角的性质可求，由角的数量关系可证，，即可求解； （2）①由等腰直角三角形的性质可求，的长，通过证明，可得，即可求解； ②由勾股定理可求，由轴对称的性质可得，，，由“”可证，可得，，通过证明，可求，，由勾股定理可求解． 【详解】（1）证明：如图1，作，交于，， ，， ， ， ， ，， ； （2）解：①如图2，作，交于，， ，， ， ，， ，， ，，， ，， ， ， ， ，（舍去）， 即的长为6； ②在中，，，， ， ，， ， 如图，作关于对称的，在上截取，连接，并延长交于， ，，， ，， ， ， ， ， 又， ， ，， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题是相似三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，求函数关系式等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键． 12．（24-25九年级上·北京昌平·期中）感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线上，且，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角”模型． 应用： (1)如图2，中，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E．求证：． (2)如图3，在中，E为边上的一点，F为边上的一点．若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据，，可得，再由，可得，从而得到利用证得，即可； （2）在的延长线上取点M，使，连接，可得，再根据平行四边形的性质以及，可得，，可证得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 在和中， ∵， ∴； （2）解：如图，在的延长线上取点M，使，连接， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 13．（24-25九年级下·山东烟台·期中）阅读下列材料： 如图1，点A、D、E在直线l上，且， 则：， 又， 故． 像这样一条直线上有三个等角顶点的图形我们把它称为“一线三等角”图形．      请根据以上阅读解决下列问题： (1)如图2，中，，，直线ED经过点C，过A作于点D，过B作于点E．求证：． (2)如图3，在中，点D在上，，，， ，求点C到边的距离． (3)如图4，在平行四边形中，E为边上一点，F为边上一点．若，，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)15 【分析】（1）由可证，由可证，进一步可证； （2）过点D作于点F，过点C作，交延长线于点E，由等腰三角形三线合一，得，进一步证得，可证∴，于是，得解点C到的距离为； （3）以点D为端点，作线段，交延长线于点M，则，可证，于是，得，从而求得． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵，， ∴，． ∴． 在与中， ， ∴； （2）解：过点D作于点F，过点C作，交延长线于点E，      ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 在与中， ， ∴． ∴． 即点C到的距离为； （3）解：以点D为端点，作线段，交延长线于点M， 则． ∵四边形是平行四边形， ∴，． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴．    【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质；添加辅助线构造全等三角形，相似三角形得到线段之间的数量关系是解题的关键． 14．（2025·安徽滁州·一模）感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线上，且，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角“模型． 应用： (1)如图2，中，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E．求证：． (2)如图3，在中，D是上一点， ，求点C到边的距离． (3)如图4，在中，E为边上的一点，F为边上的一点．若 ，求 的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）由直角三角形的性质得出，可证明； （2）过点D作于点F，过点C作于，交的延长线于点E，证明，由全等三角形的性质可得出，则可得出答案； （3）过点D作交的延长线于点M，证明，由相似三角形的性质可得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：过点D作于点F，过点C作于，交的延长线于点E， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即点C到的距离为； （3）过点D作交的延长线于点M， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 15．（24-25九年级上·河南开封·期中）感知∶ （1）数学课上，老师给出了一个模型∶如图1，∠BAD=∠ACB=∠AED=90°，由∠1+∠+2+∠BAD=180°，∠2+∠D+∠AED=180°，可得∠1=∠D；又因为∠ACB=∠AED=90°，可得△ABC∽△DAE，进而得到 ．我们把这个数学模型称为“一线三等角”模型． 应用∶ （2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，在△ABC中，点D在边BC上，并且DA=DE，∠B=∠ADE=∠C．若BC=a，AB=b，求CE的长度（用含a，b的代数式表示）．   拓展∶ （3）创新组突发奇想，将此模型迁移到平行四边形中，如图3，在平行四边形ABCD中，E为边BC上的一点，F为边AB上的一点．若∠DEF=∠B．求证∶AB·FE=BE·DE． 【答案】（1）；（2）CE=a-b；（3）见解析 【分析】（1）根据相似三角形的性质即可求得结果； （2）由已知易证△ADB≌△DEC，从而由全等三角形的性质即可求得CE的长度； （3）作CG//FE交DE于点G，易证得△FBE∽△EGC，从而可得=；可证得△DGC∽△DCE，可得=，即有=，再由AB=CD即可得要证的结论． 【详解】（1）∵△ABC∽△DAE ∴ 故答案为：； （2）∵∠B=∠ADE=∠C，∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADC=∠ADE+∠EDC， ∴∠EDC=∠BAD 又∵DA=DE ∴△ADB≌△DEC ∴EC=BD，AB=DC=b ∴BD=BC-DC=a-b． 即：CE=a-b． （3）∵∠DEF=∠B ∴∠BFE+∠BEF=∠BEF+∠DEC ∴∠BFE=∠DEC． 作CG//FE交DE于点G，如图3． ∴∠DEF=∠EGC ∴∠B=∠EGC ∴△FBE∽△EGC ∴= ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴∠B+∠BCD=180° ∵∠EGC+∠DGC=180°，且∠B=∠EGC ∴∠DGC=∠BCD 又∵∠EDC=∠CDG ∴△DGC∽△DCE ∴= ∴= ∴DC·FE=BE·DE 又∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB=DC ∴AB·FE=BE·DE 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识，（3）问中作辅助线是难点，灵活运用这些知识是重点． 16．（24-25九年级下·安徽淮北·阶段练习）数学模型学习与应用．【学习】如图1，，，于点C，于点E．由，得∠1=∠D；又，可以通过推理得到≌．我们把这个数学模型称为“一线三等角”模型； (1)【应用】如图2，点B，P，D都在直线l上，并且．若，，，用含x的式子表示CD的长； (2)【拓展】在中，点D，E分别是边BC，AC上的点，连接AD，DE，，，．若为直角三角形，求CD的长； (3)如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为，点B为平面内任一点．是以OA为斜边的等腰直角三角形，试直接写出点B的坐标． 【答案】(1) (2)3 (3)或 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴∽， ∴， 即， ∴． （2）解：如图4，当时， ∵，， ∴∽， ∴， ∵， ∴点D为BC的中点， ∴． 如图5，当时， ∵， ∴， 过点A作，交BC于点F， ∴，， ，不合题意，舍去， ∴． （3）解：分两种情况： ①如图6所示，过A作AC⊥y轴于D，过B作BE⊥x轴于E，DA与EB相交于C，则∠C＝90°，∴四边形OECD是矩形 ∵点A的坐标为（2，4）， ∴AD＝2，OD＝CE＝4， ∵∠OBA＝90°， ∴∠OBE+∠ABC＝90°， ∵∠ABC+∠BAC＝90°， ∴∠BAC＝∠OBE， 在△ABC与△BOE中， ∴△ABC≌△BOE（AAS）， ∴AC＝BE，BC＝OE， 设OE＝x，则BC＝OE＝CD＝x， ∴AC＝BE＝x－2， ∴CE＝BE+BC＝x－2+x＝OD＝4， ∴x＝3，x－2＝1， ∴点B的坐标是（3，1）； ②如图7，同理可得，点B的坐标（－1，3）， 综上所述，点B的坐标为（3，1）或（－1，3）． 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质等知识；正确的作出辅助线，证明三角形全等是解题的关键． 17．（24-25九年级上·山东济南·期末）感知：（1）数学课上，老师给出了一个模型： 如图1，，由，，可得 ；又因为，可得，进而得到______．我们把这个模型称为“一线三等角”模型． 应用：（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，在中，，，点P是BC边上的一个动点（不与B、C重合），点D是AC边上的一个动点，且． ①求证：； ②当点P为BC中点时，求CD的长； 拓展：（3）在（2）的条件下如图2，当为等腰三角形时，请直接写出BP的长． 【答案】感知：（1）；应用：（2）①见解析；②3.6；拓展：（3）2或 【分析】（1）根据相似三角形的性质，即可求解； （2）①根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，根据三角形的外角性质得到∠BAP=∠CPD，即可求证； ②根据相似三角形的性质计算，即可求解； （3）分PA=PD、AP=AD、DA=DP三种情况，根据等腰三角形的性质、相似三角形的性质，即可求解． 【详解】感知：（1）∵△ABC∽△DAE， ∴， ∴， 故答案为：； 应用：（2）①∵∠APC=∠B+∠BAP，∠APC=∠APD+∠CPD，∠APD=∠B， ∴∠BAP=∠CPD， ∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∴△ABP∽△PCD； ②BC=12，点P为BC中点， ∴BP=PC=6， ·∵△ABP∽△PCD， ∴，即， 解得：CD=3.6； 拓展：（3）当PA=PD时，△ABP≌△PCD， ∴PC=AB=10， ∴BP=BC-PC=12-10=2； 当AP=AD时，∠ADP=∠APD， ∵∠APD=∠B=∠C， ∴∠ADP=∠C，不合题意， ∴AP≠AD； 当DA=DP时，∠DAP=∠APD=∠B， ∵∠C=∠C， ∴△BCA∽△ACP， ∴，即， 解得：， ∴， 综上所述，当为等腰三角形时， BP的长为2或 ． 【点睛】本题考查的是三角形相似的判定定理和性质定理、全等三角形的判定定理和性质定理以及三角形的外角性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 18．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）阅读材料：小胖同学遇到这样一个问题，如图1，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝2，AD＝AE，∠DAE＝90°，CE＝，求CD的长； 小胖经过思考后，在CD上取点F使得∠DEF＝∠ADB（如图2），进而得到∠EFD＝45°，试图构建“一线三等角”图形解决问题，于是他继续分析，又意外发现△CEF∽△CDE． （1）请按照小胖的思路完成这个题目的解答过程． （2）参考小胖的解题思路解决下面的问题： 如图3，在△ABC中，∠ACB＝∠DAC＝∠ABC，AD＝AE，∠EAD+∠EBD＝90°，求BE：ED． 【答案】CD=5；（1）见解析；（2） 【分析】（1）在CD上取点F，使∠DEF＝∠ADB，证明△ADB∽△DEF，求出DF＝4，证明△CEF∽△CDE，由比例线段可求出CF＝1，则CD可求出； （2）如图3，作∠DAT＝∠BDE，作∠RAT＝∠DAE，通过证明△DBE∽△ATD，可得 ，可得 ，通过证明△ARE≌△ATD，△ABR≌△ACT，可得BR＝TC＝DT，即可求解． 【详解】解：（1）在CD上取点F，使∠DEF＝∠ADB， ∵AD＝AE，∠DAE＝90°， ∴DE＝AD＝AE， ∵∠ABC＝45°，∠ADE＝45°， 且∠ADC＝∠ADE+∠EDC， ∴∠BAD＝∠EDC， ∵∠BDA＝∠DEF， ∴△ADB∽△DEF， ∴＝， ∵AB＝2， ∴DF＝4， 又∵∠CDE+∠C＝45°， ∴∠CEF＝∠CDE， ∴△CEF∽△CDE， ∴， 又∵DF＝4，CE＝， ∴， ∴CF＝1或CF＝5（舍去）， ∴CD＝CF+4＝5； （2）如图3，作∠DAT＝∠BDE，作∠RAT＝∠DAE， ∵∠ACB＝∠DAC＝∠ABC， ∴AB＝AC，AD＝CD， ∵AD＝AE， ∴∠AED＝∠ADE， ∵∠EAD+∠EBD＝90°， ∴∠EAD+2∠EBD＝180°，且∠EAD+2∠AED＝180°， ∴∠EBD＝∠AED＝∠ADE， ∵∠BDA＝∠DAT+∠ATD＝∠BDE+∠ADE， ∴∠ADE＝∠ATD＝∠EBD，且∠BDE＝∠DAT， ∴△DBE∽△ATD， ∴，∠ADT＝∠BED， ∴，且AD＝DC， ∴， ∵∠RAT＝∠DAE，∠ADE＝∠ATD， ∴∠RAE＝∠DAT，∠AED＝∠ART＝∠ADE＝∠ATD， ∴AR＝AT，且∠RAE＝∠DAT，∠ARE＝∠ATD， ∴△ARE≌△ATD（ASA） ∴∠ADT＝∠AER，DT＝ER， ∴∠BED＝∠AER， ∴∠AED＝∠BER＝∠EBD， ∴RE＝RB＝DT， ∵AB＝AC，∠ABC＝∠ACB，∠ARB＝∠ATC， ∴△ABR≌△ACT（AAS） ∴BR＝TC， ∴DT＝TC， ∴CD＝2DT， ∴＝ 【点睛】本题主要考查相似三角形及全等三角形的判定及性质，作合适的辅助线对证明三角形相似起到关键作用. 19．（24-25九年级上·四川成都·期末）数学综合与实践小组同学对“一线三直角”图形进行了深入研究．如图，在中，，，，将斜边绕点顺时针旋转得到线段，过点作的垂线，交直线于点． 【初步感知】 （1）求的长； 【深入研究】 （2）连接交于点，求的长； 【拓展延伸】 （3）若点在直线上，满足，请直接写出线段的长． 【答案】（1）；（2）；（3）或． 【分析】（1）证明，得到，即可得到； （2）延长相交于点M，证明，则，解得，，由勾股定理得到，，，得到，证明，则，进一步得到，则； （3）分两种情况：当点P在C的左边和当点P在B的右边，分别画出图形，进行解答即可． 【详解】（1）解：由旋转可得，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ （2）延长相交于点M， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 解得，， 由勾股定理得到，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ （3）当点P在C的左边时，如图， 过点P作于点G， ∵， ∴， 设， ∴, ∴， ∵， ∴， 解得， 由勾股定理可得，， ∴ 解得， ∴ 当点P在B的右边时，如图，过点O作于点H， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴． 综上可知，的长为或． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质等知识，添加合适的辅助线和分类讨论是解题的关键． 20．（24-25八年级上·辽宁大连·期中）阅读下面材料，完成（1）-（3）题 数学课上，老师出示了这样一道题：如图，中，，点P为边AB上一点（不与A、B重合），过P作于Q，作QE∥AB交BC于点E，连接PE，将线段PE绕点P顺时针旋转90°到PF，连接QF，探究线段之间的数量关系并证明． 同学们经过思考后，交流了自己的想法 小明：“通过观察和度量，发现为直角．” 小伟：“我通过一线三直角的模型构造三角形全等可以解决问题．” 小强：“我构造等腰直角三角形，再利用全等三角形可以解决问题．” 老师：“若其他条件不变，PE=AC，就可以求出的值．” （1）多少度？四边形为什么特殊四边形？（直接写出答案） （2）探究线段之间的数量关系并证明； （3）若其他条件不变，PE=AC，求的值． 【答案】1）45°，平行四边形；（2）PA=QF+QE．证明见解析；（3）或． 【分析】（1）四边形PQEB是平行四边形．根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可证明． （2）结论：PA=QF+QE．如图1中，连接EF交PQ于O，作GP⊥PQ交QF的延长线于G．证明△GPF≌△QPE（SAS）即可解决问题． （3）如图2中，作PG⊥BC于G．则四边形PGCQ是矩形，设CQ=EC=BG=PG=a，QA=PQ=BE=b，想办法求出PB，AB（用b表示即可）． 【详解】（1）如图1中， ∵CA=CB，∠C=90°， ∴∠A=∠B=45°， ∵PQ⊥AC， ∴∠AQP=90°， ∴∠APQ=90°-∠A=45°， ∵QE∥AB， ∴∠PQE=∠APQ=45°． ∵∠AQB=∠C=90°， ∴PQ∥BC， ∵QE∥AB， ∴四边形PQEB是平行四边形． （2）结论：PA=QF+QE． 理由：如图1中，连接EF交PQ于O，作GP⊥PQ交QF的延长线于G． ∵PF=PE，∠EPF=90°， ∴∠PFO=∠PEO=45°=∠OQE， ∵∠FOP=∠QOE， ∴△FOP∽△QOE， ∴， ∴， ∵∠FOQ=∠POE， ∴△FOQ∽△POE， ∴∠FQO=∠PEO=45°， ∴∠G=∠PQG=45°， ∴PG=PQ， ∵∠GPQ=∠FPE=90°， ∴∠GPF=∠QPE，∵PF=PE， ∴△GPF≌△QPE（SAS）， ∴GF=QE， ∴QF+QE=QF+FG=GQ=PQ， ∵PA=PQ， ∴QF+QE=PA． （3）如图2中，作PG⊥BC于G．则四边形PGCQ是矩形， 由（2）可知∠EQC=45°， ∴CQ=EC=PG=BG，设CQ=EC=BG=PG=a，QA=PQ=BE=b， ∴EG=b-a， ∵PE=（a+b）， 在Rt△PEG中，∵PE2=PG2+GE2， ∴（a+b）2=a2+（b-a）2， 整理得：7a2-10ab+3b2=0， ∴（a-b）（7a-3b）=0， ∴a=b或a=b， 当a=b时，易证PA=PB，此时， 当a=b时，PB=a=b，AB=（a+b）=b， ∴． 综上所述，的值为或． 【点睛】此题考查相似形综合题，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考压轴题． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $