期中复习压轴题必刷（各省真题汇编60题）-2025-2026学年九年级数学上册高频考点题型归纳与满分必练（人教版）

期中复习压轴题必刷 一、单选题 1．在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（    ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数和二次函数的图象性质，分别分析、的符号，再逐一判断选项是否符合． 【详解】解：∵一次函数的图象中，，；二次函数的图象中，，，即， ∴符号均一致，A项符合题意． ∵一次函数的图象中，，；二次函数的图象中，， ∴的符号矛盾，B项不符合题意． ∵一次函数的图象中，，；二次函数的图象中，对称轴，则． ∴的符号矛盾，C项不符合题意． ∵一次函数的图象中，，；二次函数的图象中，，对称轴，则． ∴b的符号不一致，D项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一次函数和二次函数的图象性质，熟练掌握一次函数和二次函数中系数与图象的关系是解题的关键． 2．如图，在矩形中，，点从点出发沿以的速度向点运动；同时，点从点出发沿以的速度向点运动，点运动到点时，点也停止运动；当的面积等于时，运动时间为（　　）s． A．2 B．4 C．10 D．2或10 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，矩形的性质．设运动时间为，则，利用三角形面积的计算公式结合的面积等于，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 设运动时间为，则，依题意，得： ， 整理，得：， 解得：（不合题意，舍去）． 即当的面积等于时，运动时间为． 故选：A． 3．抛物线与轴交于点，其对称轴是，结合图象分析下列结论：①；②；③一元二次方程的两根分别为；④；⑤若两点在二次函数图象上，则；⑥；其中正确的结论有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质及应用，解题关键是熟练掌握二次函数的性质及二次函数与一元二次方程的关系． 根据题干求出抛物线与x轴交点及a，b，c符号，然后逐一判断对错． 【详解】解： ∵抛物线与x轴一个交点为，对称轴为直线， ∴抛物线与x轴另外一个交点坐标为， ∴时，， ∴，故①正确，符合题意． ∵抛物线开口向下， ∴， ∵， ∴， ∴，故②错误，不符合题意． ∴，故⑥正确，符合题意． ∵抛物线与x轴交点为， ∴的两根分别为，故③正确，符合题意． ∵抛物线顶点在x轴上方， ∴，故④正确，符合题意． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故⑤正确，符合题意． 综上所述，①③④⑤⑥符合题意． 故选：C． 4．如图是二次函数图象的一部分，图象过点，对称轴为直线，给出以下结论： ①；②；③；④若、为函数图象上的两点，则；⑤当时，， 其中正确的结论是（    ）．（填写代表正确结论的序号） A．②③ B．①③⑤ C．②③⑤ D．①②⑤ 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是灵活应用图中信息解决问题．利用抛物线的开口方向得到，根据对称轴方程得到，则可对①进行判断；利用抛物线与轴有两个交点，对②进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一个交点为，则，把代入得到，则可对③进行判断；利用二次函数的性质对④进行判断；利用抛物线在轴上方对应的自变量范围可对⑤进行判断． 【详解】解：由图象可知，，，， ，故①错误； 抛物线与轴有两个交点， ，故②正确； 抛物线对称轴为，与轴交于， ，， ，， ，故③正确； 、为函数图象上的两点， ，故④错误； 抛物线对称轴为，与轴交于， 抛物线与轴另一个交点是 由图象可知，时，，故⑤正确． 综上，正确的有②③⑤， 故选：C． 5．二次函数（）的部分图象如图，图象过点，下列结论： ①；②；③，④若顶点坐标为，则方程没有实数根．其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线的对称性，抛物线与坐标轴的交点，抛物线与各项系数的符号关系，抛物线的增减性，熟练掌握性质是解题的关键． 根据抛物线的对称性，抛物线与x轴的交点，对称轴的两种表示方法，抛物线的增减性，抛物线与一元二次方程的关系等解答即可． 【详解】解：根据图象过点，对称轴为直线，设抛物线与x轴的另一个交点为， 则， 解得， 故图象过点， 故抛物线与x轴有两个不同的交点，即有两个不同的实数根， 故，即，故①正确， ∵二次函数开口向下， ∴， ∵对称轴在x轴的正半轴上， ∴, ∴，， ∴, 故②正确； 根据抛物线的性质，得时，， ∴， ∴, 故③错误； 由抛物线的顶点坐标为，， 故该二次函数的最大值为4，即直线与抛物线有唯一交点， 由， 故直线与抛物线无交点，即方程没有实数根． 故④正确； 故选：C． 6．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（   ） A． B．且 C．且 D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根的判别式的运用，根据一元二次方程的定义可得，根据方程有两个不相等的实数根，可得，由此即可求解． 【详解】解： 的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 且． 故选：C． 7．设关于x的方程有两个不相等的实数根，，且，那么实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，以及不等式的综合应用．根据一元二次方程的根的判别式，建立关于a的不等式，求出a的取值范围．又因为，所以，即，利用根与系数的关系， 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴且， ∴， 解得， ∵，， 又∵， ∴，， ∴， ∴，即， 解得， ∴a的取值范围是． 故选：D． 8．二次函数大致图象如图所示，其中顶点为下列结论： ； ； ；若方程有两根为和，且，则；若方程有四个根，则这四个根的和为，其中正确的结论是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、根的判别式、二次函数图象上点的坐标特征、根与系数的关系、抛物线与x轴的交点，准确分析判断是解题的关键．根据抛物线的顶点坐标，可得二次函数的解析式为，根据抛物线的开口方向、对称轴、与轴交点的位置，可知，，可得：；根据二次函数的解析式为，可知抛物线与轴交点的坐标为和，又因为抛物线开口向上，所以当时，，可得：正确；由可知，，所以；因为二次函数，相当于由原抛物线向上平移了个单位，可知结论正确；根据一元二次方程根与系数的关系可以判断结论正确． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 则二次函数表达式为：， 抛物线的对称轴为， ， 抛物线开口向上， ， ， 当时，， 抛物线与轴的交点坐标为， 由图象可知，抛物线与轴的交点在轴的负半轴， ， ， 故正确； 二次函数的解析可整理为， 方程的解为，， 抛物线与轴的交点坐标为和， 当时，， 故正确； 由可知，， ， 故错误； 二次函数，相当于由原抛物线向上平移了个单位， 有两个根和，且，则， 故正确； 若方程， 即：方程， 当时， 其两个根的和为， 当时， 其两个根的和也为， 这四个根的和为， 故正确． 综上所述，正确的结论是． 故选：D． 9．如图，为的平分线上的一个定点，且与互补．若在绕点旋转的过程中，其两边分别与相交于两点，则以下结论：①；②与的长度和为定值；③四边形的面积保持不变；④的长度保持不变；⑤的周长保持不变．其中正确的是（　　） A．①②③ B．②③⑤ C．①③④ D．①②⑤ 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理，等边三角形的判定及性质等知识，解题的关键是通过添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 如图作于E，于F，只要证明，，即可一一判断． 【详解】如图作于E，于F． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分，于E，于F， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确， ∴， 是等边三角形， ∴为定值， ， 故③正确， 为定值，故②正确， 在旋转过程中，△PMN是等边三角形，顶角是定值， 因为腰PM的长度是变化的， 所以底边MN的长度是变化的，的周长也是变化的，故④⑤错误， 故选：A． 10．如图，正方形中，，E是的中点．以点C为圆心，长为半径画圆，点P是上一动点，点F是边上一动点，连接，若点Q是的中点，连接，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称—最小距离和问题，正方形的性质，勾股定理．取点关于直线的对称点，连接、两线交于点，连接，，，过作于，根据勾股定理求出，再结合四点共线时最小即可得解． 【详解】解：如图，取点关于直线的对称点，连接、两线交于点，连接，，，过作于， ∵点是的中点， ∴， ∴点在以为圆心，半径为的圆上运动， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 当、、、四点共线时，的值最小，的最小值为， ∴的最小值为， 故选：A． 11．如图，已知矩形，，，点为矩形内一点，点为边上任意一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D．20 【答案】C 【分析】此题考查旋转的性质，矩形的性质，勾股定理的应用，解题关键在于利用旋转的性质求解，将绕点A逆时针旋转得到，可得，易得到和均为等边三角形，推出，可得，则共线时最短；由于点E也为动点，可得当时最短，此时易求得的值． 【详解】解：将绕点A逆时针旋转得到，则， ∴和均为等边三角形，， ∴， ∴， ∴、、共线时最短， 由于点E也为动点， ∴当时最短，而， ∴，， ∵和均为等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴的最小值为 ． 故选C． 12．如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线,图象与轴交点的纵坐标是．则下列结论：①；②方程一定有两个不相等的实数根：③当时，；④；⑤抛物线上有两点，,若，则．其中正确结论的个数有（   ）    A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据抛物线的对称轴可得，进而判断结论①，结合一元二次方程跟的判别式和抛物线的开口方向，可得，进而判断结论②，根据抛物线的增减性，函数值可判断结论③，根据抛物线的对称性得出抛物线与轴的另一个交点在和之间，结合函数值得出，进而判断结论④，根据抛物线的对称性得出点关于对称轴的对称点坐标为，结合抛物线的增减性即可得出时，，进而判断结论⑤，即可求解． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为， 即， ∴， ∴，故①结论正确； ∵， ∴， 整理得， 则， ∵抛物线开口向下， ∴， 故，， ∴， 故方程一定有两个不相等的实数根，②结论正确； ∵，， 故抛物线的解析式为， 当时，， 当时，， ∵， ∴， ∵抛物线的对称轴是，故抛物线的最大值为； 当时，， 故当时，；即③结论错误； 根据图象可得：抛物线与轴的一个交点在和之间，抛物线的对称轴为， 故抛物线与轴的另一个交点在和之间， 当时，， ∵，， ∴， ∴，故④结论错误； ∵抛物线的对称轴为， 故点关于对称轴的对称点坐标为， ∵抛物线的开口向下， 故抛物线在对称轴的左侧，随的增大而增大，抛物线在对称轴的右侧，随的增大而减小， 若， 则或，故⑤结论错误； 综上，结论正确的有①②，有个． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，抛物线与轴的交点问题，抛物线与轴的交点问题，二次函数图象与系数的关系，一元二次方程跟的判别式等．解题的关键是掌握二次函数的图象与性质． 13．对于二次函数，规定函数是它的相关函数．已知点的坐标分别为，连接，若线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，则的取值范围为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，利用分类讨论的思想解决问题是关键．当时，二次函数的相关函数为，利用临界点求出当时，函数与线段有一个交点，当或时，函数与线段有无交点；当时，二次函数的相关函数为，利用临界点求出当或时，函数与线段有一个交点；当时，函数与线段有两个交点；当时，函数与线段无交点．当线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，存在两种情况：函数与线段有一个交点，函数与线段有一个交点；函数与线段无交点，函数与线段有两个交点，即可得出的取值范围． 【详解】解：若，二次函数的相关函数为， 此时函数与轴的交点为， 当经过点时，此时函数与线段有一个交点， 则，解得：， 当时，即，此时函数与线段有一个交点， 综上，当时，函数与线段有一个交点； 当或时，函数与线段有无交点； ②若，二次函数的相关函数为， 抛物线开口向下，对称轴为直线，与轴的交点为， 当时，函数与线段有一个交点， 当抛物线与线段相切时，函数与线段有一个交点， 则，解得：， 综上，当或时，函数与线段有一个交点； 当时，函数与线段有两个交点； 当时，函数与线段无交点， 线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点， 存在两种情况：函数与线段有一个交点，函数与线段有一个交点；函数与线段无交点，函数与线段有两个交点， 的取值范围为或， 故选：B． 二、填空题 14．如图，在等边中，D是边上一点，连接．将绕点B逆时针旋转得到，连接．若，，则的周长是 ． 【答案】19 【分析】本题考查了图形的旋转、等边三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质是解题关键．先根据等边三角形的性质可得，再根据旋转的性质可得，则可得是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，然后根据三角形的周长公式求解即可得． 【详解】解：∵在等边中，， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得到，且， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴的周长是， 故答案为：19． 15．如图，将矩形绕点B顺时针旋转至的位置，连接，取，的中点M，N，连接，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、旋转的性质．连接，在中，利用勾股定理可得，利用矩形性质可知，根据旋转的性质得到是等腰直角三角形，利用勾股定理求出． 【详解】解：连接、， ∵将矩形绕点B顺时针旋转至的位置，，， 在中，利用勾股定理可得， 为中点， 矩形绕点B顺时针旋转至的位置， ，且， ． 故答案为：． 16．若，是方程的两根，则的值为 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，准确的计算是解决本题的关键． 先根据一元二次方程根与系数的关系得出和，再将代入中进行变形求解，最后集体代入计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两根， ∴，， ∵是方程的根， ∴将代入得，即， 再将其代入到中得 ， 将，代入得 ， 故答案为：12． 17．如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，若为的中点，连接，则线段长度的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，勾股定理，圆的性质，由直角三角形的性质求出的长是解题的关键． 连接，由勾股定理求出，由旋转的性质得出，，由直角三角形的性质求出，由题意得出点在以为圆心，为半径的圆上运动，可得出答案． 【详解】解：连接， ，，， ∴， 将绕点旋转，得到， ，， 为的中点， ， 在旋转的过程中，点在以为圆心，为半径的圆上运动， 当，，三点共线时，有最大值， 的最大值为 ． 故答案为：． 18．如图，在平面直角坐标系中，正六边形边长是6，点、分别在轴、轴的正半轴上，则它的外接圆的圆心的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查正多边形外接圆的问题，熟练掌握正多边形的性质，灵活运用三角形相关知识解决边角关系是本题的关键． 连接，过点P作于点G，由正六边形推出为等边三角形，进而求出的长度即可求得P点坐标． 【详解】解：如图所示，连接，过点P作于点G，则， ∵多边形为正六边形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， 又∵， ∴平分， ∴， 又∵， ∴， ∴由勾股定理得：， ∴的坐标是， 故答案为： 19．在直角坐标系中，已知是以原点O为圆心，1为半径，若直线与有公共点，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查直线和圆的位置关系，由直线解析式可得，进而可求出直线和圆相切时，的长，则a的取值范围可求出． 【详解】解：设直线和圆在第二象限相切时的切点为点C，连接，则， ∵， ∴, ∵1为半径， ∴， ∴， 同理可求， ∴a的取值范围是， 故答案为：． 20．如图，将一次函数的图象绕原点顺时针旋转，所得到的图象对应的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，掌握旋转的性质是解题的关键．利用直线与两坐标轴的交点坐标，求得旋转后的对应点坐标，然后根据待定系数法即可求得． 【详解】解：在一次函数中，令，则，令，则 直线经过点，，． 将一次函数的图象绕原点顺时针旋转，则点的对应点为，的对应点是． 设对应的函数解析式为：， 将点、代入得， 解得， 旋转后对应的函数解析式为： 故答案为：． 21．如图，O是正内一点，，，，将线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：①点O与的距离为4；②；③；④；⑤．其中正确的结论是 ． 【答案】①②④⑤ 【分析】由题意可得，是等边三角形，可得，，可判断是直角三角形，可判断，由，可判定， 【详解】解：连接， 由旋转性质得，， ∴是等边三角形， ∴，故①正确，符合题意； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴为直角三角形，， ∵是等边三角形， ∴， ∴，故②正确，符合题意； 过点B作，交的延长线于点D，则， ∵， ∴， ∴，故③错误，不符合题意； 过点B作于点E， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 故④正确，符合题意； 将绕点A逆时针旋转，使得与重合，点O旋转至点， 则，， ∴是边长为3的等边三角形，是边长为3、4、5的直角三角形， ∴ ，故⑤正确，符合题意； ∴正确的结论有①②④⑤， 答案：①②④⑤． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 22．如图，是半圆O的直径，点C在半圆上，，，D是上的一个动点，连接．过点C作于E，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查圆周角定理、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是确定点E的运动轨迹是以为直径的圆上运动，属于中考填空题中压轴题；如图，连接、．在点D移动的过程中，点E在以为直径的圆上运动，当、E、B共线时，的值最小，最小值为，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】 解：如图，取的中点，连接、． ∵， ∴， ∴在点D移动的过程中，点E在以为直径的圆上运动， ∵是直径， ∴， 在中， ∵， ∴， 在中， ， ∵， ∴当、E、B共线时，的值最小，最小值为， 故答案为：． 23．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A，点B，点E是边的中点，把绕点A顺时针旋转得，点O，B旋转后的对应点分别为D，C． 连接，，，在旋转的过程中，面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系的性质，旋转的性质，利用圆模型求面积的最大值，构造圆，利用直径是圆中最长的弦来解决，是解决本题的关键． 以A为圆心，为半径画，过点作交的延长线于点，当三点共线时，此时高最大，面积最大，求出的值，利用面积公式直接求解即可． 【详解】以A为圆心，为半径画，过点作交的延长线于点， 点A，点B ， 在， , ， 为中点，是直角三角形， ， ， 圆中最长的弦是直径， ∴当点旋转到如图所示的位置时，即三点共线时，此时高最大，面积最大， ∵， ∴在中， ∵， ∴， ∴， 此时，； 24．如图，在直角坐标系中，点A在x轴上，，以为边作等边，延长到点，使；以为边作等边，延长至点，使；以为边作等边，延长至点，使；按照以上方式依次作，，…则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的运动规律，通过规律求点的坐标，等边三角形的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是根据题意找出点的运动规律． 找出长度的运动规律，根据周期性确定最终的象限，然后根据等边三角形的性质和勾股定理求点的坐标即可． 【详解】解：由于构造的都是等边三角形，所以点每运动6次绕原点旋转一周， 根据题意得， ， ， ， ， …… ∴， 根据周期性可得，， ∴点在第二象限， 此时，由等腰三角形的三线合一及含角的直角三角形的性质得，， 由勾股定理得， ∴，， ∴点的坐标为， 故答案为：． 25．如图，在矩形中，为矩形内一点，连接，，，，，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理，直角三角形的三点共圆，圆外一点到圆上的最短距离等知识点，先确定点的运动轨迹，再根据圆外一点到圆上的最短距离是这点与圆心的连线的交点，根据勾股定理求得结果即可； 【详解】解：如图所示， ∵，为矩形内一点， ∴点相等于是以为直径，点为圆心的圆上运动（下半圆）， ∴的最小值就是连接，交半圆与点，即此时为最小值， 在矩形中， ∴， 又∵， ， ∴， ∴． 26．如图，在中，，是内的动点，连接，，，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定；过点作于点，如图，先计算出，则，，于是利用勾股定理可计算出；把绕点顺时针旋转得到，如图，连接，，根据旋转的性质得到，，，，则可判断为等边三角形，所以，由于当且仅当、、、共线时取等号，所以的最小值为，即的最小值为，过点作于点，如图，计算出，则，接着计算出，然后利用勾股定理计算出，从而得到的最小值． 【详解】解：过点作于点，如图， ， ， ， ， ， 在中，， 把绕点顺时针旋转得到，如图，连接，， ，，，， 为等边三角形， ， ， 当且仅当、、、共线时取等号 的最小值为，即的最小值为， 过点作于点，如图， ， ， ， 在中，， 的最小值为． 故答案为：． 27．如图，在中，，，，D为的中点，以点D为圆心作圆心角为的扇形，点C恰在弧上，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】过点D作于点M，作于点N，连接，由题意易证矩形为正方形，即可求出，，从而得出，．再证明，得出，最后根据和求解即可． 【详解】解：如图，过点D作于点M，作于点N，连接． ∴， ∴四边形为矩形． ∵D为的中点，， ∴平分， ∴， ∴矩形为正方形． ∵， ∴，， ∴，． ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查求不规则图形的面积，等腰三角形的性质，正方形的判定和性质，角平分线的判定和性质，三角形全等的判定和性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键． 28．如图，O是坐标原点，点，，，在y轴的正半轴上，点， ，，在函数位于第一象限的图象上，若，，，都是等边三角形，则线段的长是 ． 【答案】2550 【分析】设，，，由等边三角形的性质，结合勾股定理可求 ，，，由点的坐标得，，，将此代入二次函数解析式求出，，，找出规律 ，即可求解． 【详解】解：如图，分别过，，作轴的垂线，垂足分别为、、， 设，，， ，，都是等边三角形， ，，， ， ， ， 同理可求：，， ，，， 点， ，在函数位于第一象限的图象上， ， 解得：，（舍去）， ， 同理可求： ， ， ， ， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，勾股定理应用，等边三角形的性质，能利用二次函数合运用勾股定理应用，等边三角形的性质找出规律是解题的关键． 29．如图，正方形中，点E，F分别是上的动点（不与点B，C，D重合），且，与对角线分别相交于点G，H，连接，则下列结论： ①； ②； ③若正方形的面积为16，则的周长为8； ④若，则． 其中正确的序号为 ． 【答案】③④ 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，旋转的性质等知识点，难度较大，解题的关键在于构造全等三角形． 延长至点，使得，连接，先证明，再证明，则，故②错误，不符合题意；由正方形的面积为16，则边长，那么，故③正确，符合题意；将绕点逆时针旋转至，连接，则，可证明，可得，则由勾股定理求得，那么，再由勾股定理得，过点作于点，则，再由勾股定理即可求解，故④正确，符合题意，对于①，条件不足以证明，故不符合题意． 【详解】解：延长至点，使得，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故②错误，不符合题意； ∵正方形的面积为16， ∴边长， ∴，故③正确，符合题意； 将绕点逆时针旋转至，连接， 则， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， 过点作于点， ∴， ∴， ∴，故④正确，符合题意， 对于①，条件不足以证明，故不符合题意， ∴正确的有③④， 故答案为：③④． 三、解答题 30．如图，在中，，，，点从点开始沿边向点移动，速度为；点从点开始沿边向点移动，速度为，点分别从点同时出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动．    (1)几秒后，的长度为； (2)几秒后，的面积为； (3)的面积能否为？请说明理由． 【答案】(1)后，的长度为 (2)或后，的面积等于 (3)的面积不可能等于，见解析 【分析】本题主要考查动点与几何图形的综合，理解动点的运动规律，掌握几何图形的面积计算方法，一元二次方程根的判别式等知识是解题的关键． （1）设点运动的时间为，则，，，在中，根据勾股定理即可求解； （2）根据，解方程即可求解； （3）根据，得关于的一元二次方程，运用一元二次方程根的判别式判定方程是否有实数解即可． 【详解】（1）解：设点运动的时间为，则，，，， ∴在中，根据勾股定理，得，， ∴，解得或（舍去）， ∴后，的长度为． （2）解：同（1）中所设，设点运动的时间为，则，，，， ∴，即， 解得或， ∴或后，的面积等于． （3）解：不能，理由如下： 当时，即， ∴，整理得，， ∵， ∴方程没有实数根， ∴的面积不可能等于． 31．已知关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求实数m的取值范围； (2)若一元二次方程的两个根和满足，求实数m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）利用一元二次方程根的判别式解答即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可得，，再代入即可解答． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得， 即当时，方程有两个实数根． （2）解：∵， ∴由根与系数的关系，得，． ∵， ． ， ． 解方程，得或． ∵， ． 32．暑假期间某景区商店推出销售纪念品活动，已知纪念品每件的进货价为30元，经市场调研发现，当该纪念品的销售单价为40元时，每天可销售280件；当销售单价每增加1元，每天的销售数量将减少10件．（销售利润=销售总额-进货成本） (1)若该纪念品的销售单价涨价为5元时，则当天销售量为______件． (2)当该纪念品的销售单价涨价为多少元时，该产品的当天销售利润是2610元． 【答案】(1)230 (2)当该纪念品的销售单价涨价为19元时，该纪念品的当天销售利润是2610元 【分析】（1）因为“当销售单价每增加1元，每天的销售数量将减少10件”，所以销售单价涨价为5元，当天销售数量将减少5个10件，结合已知的销售单价和销售量即可求解； （2）设该纪念品的销售单价涨价为元，用分别表示销售单价、每件的利润和每天的销售数量，根据“当天销售利润是2610元”列方程求解即可； 本题考查了一元二次方程的应用，设该纪念品的销售单价涨价为元，利用销售利润是2610元列方程并解一元二次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：（件）， 故答案为：230． （2）设该纪念品的销售单价涨价为元，此时纪念品的销售单价为元，每件的利润为元，每天的销售数量为件， 由题意得， 整理得， 因式分解得， 解得，（舍去）． 则当该纪念品的销售单价涨价为19元时，该纪念品的当天销售利润是2610元． 33．阅读下列材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．配方法可以解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：当取何值时，代数式有最小（或最大）值？ ， 当时，代数式有最小值． 【直接应用】 （1）仿照上述例子解决问题：当取何值时，代数式有最小（或最大）值？最小（或最大）值是多少？ 【拓展应用】 （2）如图，要围成一个矩形鸡场，一边靠墙（墙长24米），另三边用总长为40米的竹篱笆围成． ①请用含的代数式表示矩形鸡场的面积； ②当为何值时，围成的矩形鸡场的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）当时，代数式有最小值 （2）①矩形鸡场的面积为；②当米时，围成的矩形鸡场的面积最大，最大面积是平方米 【分析】本题主要考查配方法的运用，理解配方法的计算方法是关键． （1）根据材料提示的配方法求解即可； （2）①根据图示得到矩形的长及取值范围，由矩形的面积公式即可求解；②根据材料提示的配方法，结合矩形的面积公式即可求解． 【详解】解：（1） ， ∵， ∴， ∴当时，代数式有最小值； （2）①根据图示，矩形鸡场的长为米， ∵墙长24米， ∴， ∴， ∴矩形鸡场的面积为； ② ， ∵， ∴， ∴当时，代数式有最大值， ∴当米时，围成的矩形鸡场的面积最大，最大面积是平方米． 34．已知关于的方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)若此方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键． （1）根据题意可得，解之即可得到答案； （2）由根与系数的关系得到，，根据得到，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得， 的取值范围是； （2）解：方程的两个实数根分别为，， ∴，， ∵ ， 解得，（舍）， 的值为1 35．园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米），另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留2米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长32米，设苗圃的一边长为米．    (1)长为________米（包含门宽，用含的代数式表示） (2)若苗圃的面积为，求的值； (3)苗圃的面积是否可以达到，请说明理由． 【答案】(1) (2)的值为8 (3)苗圃的面积不可以达到，理由见解析 【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，列代数式，解题的关键在于读懂题意，根据已知列方程求解． （1）根据木栏总长32米，如图所示的两处各留2米宽的门求出长； （2）根据题意得即可得到答案； （3）列出面积表达式，将代入判断即可． 【详解】（1）解：依据题意，， 解得， 故答案为：； （2）解：根据题意得， 即， 化简得， 解得，， 当时，， （舍去）， ； （3）解：不可以达到．理由如下： 若可以达到，则， 化简得：， ，无解， ∴苗圃的面积不可以达到． 36．项目化学习 项目主题：探究富平柿饼销售利润 项目背景：富平柿饼，形似圆月，肉红透明无籽，凝霜后白里透红。柿饼质地透明，清甜爽口，具有润肺、健胃、止咳等药理功能，某校学习小组以“探究富平柿饼销售利润问题”为主题开展项目学习． 驱动任务：按预期利润制定合理售价． 收集数据： 素材 某特产专卖店销售富平柿饼，其进价为每千克50元，按每千克90元出售，平均每月可售出200千克，后经市场调查发现，单价每降低5元，平均每月的销售量可增加50千克． 解决问题： (1)设每千克富平柿饼降价x元，则降价后富平柿饼每月的销售量为______； (2)在（1）的条件下，若专卖店销售富平柿饼想要平均每月获利8750元，求富平柿饼的售价应定为每千克多少元？ 【答案】(1) (2)每千克75元或每千克85元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，列代数式，解题的关键是正确理解题意，找到等量关系． （1）由题意得单价每降低1元，平均每月的销售量可增加10千克，那么每千克富平柿饼降价x元，则平均每月的销售量可增加千克，即可表示出降价后富平柿饼每月的销售量； （2）根据每千克的利润乘以数量等于总利润建立一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：∵单价每降低5元，平均每月的销售量可增加50千克， ∴单价每降低1元，平均每月的销售量可增加10千克， ∴每千克富平柿饼降价x元，则降价后富平柿饼每月的销售量为元， 故答案为：； （2）解：由题意得， 整理得，解得，． 当时，，符合题意； 当时，，符合题意． 答：富平柿饼的售价应定为每千克75元或每千克85元． 37．已知，如图，在中，，，，点从点A开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动． (1)如果点，分别从点A，同时出发，那么几秒后，的面积等于？ (2)如果点，分别从点A，同时出发，那么几秒后，的长度等于？ 【答案】(1)点，分别从点A，同时出发，1秒或4秒后，的面积等于 (2)点，分别从点A，同时出发，2秒后，的长度等于 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解决本题的关键． （1）设x秒后，的面积等于，根据面积公式，列出方程进行求解即可； （2）设y秒后，的长度等于，利用勾股定理，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：设x秒后，的面积等于， 由题意得，， ∴， 解得或； 答：点，分别从点A，同时出发，1秒或4秒后，的面积等于． （2）解：设y秒后，的长度等于， 由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴ 解得或（舍去）， ∴点，分别从点A，同时出发，2秒后，的长度等于． 38．如图，在矩形中，，，从点开始沿向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，设运动时间是． (1)为何值时，在的垂直平分线上？ (2)为何值时，的长度为？ 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了勾股定理，矩形的性质，解一元二次方程，线段垂直平分线的性质等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）由题意得，，则，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等得到，则，解方程即可得到答案； （2）由勾股定理得到，则，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， ∵在的垂直平分线上， ∴， ∴， 解得， ∴当时，在的垂直平分线上； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∴当或时，的长度为． 39．如图1所示，的外接圆的半径为2，，P为圆O中弧上一点，连接，，． (1)若，求证：； (2)如图2，若，若关于直线的对称图形为，连接，试探究，，三者之间满足的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 【分析】（1）在上截取，连接，先证出是等边三角形，再证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可得； （2）过点作，且，连接，，利用勾股定理可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，证出，然后利用勾股定理可得，由此即可得． 【详解】（1）证明：如图，在上截取，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， 由圆周角定理得：， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． （2）解：，证明如下： 如图，过点作，且，连接，， ∵，且， ∴，， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 由圆周角定理得：， ∵和关于直线的对称， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， 即． 【点睛】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质、勾股定理、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． 40．如图所示，A、B、C、D是矩形的四个顶点，，，动点、分别从点、同时出发，点以的速度向点移动，一直到达为止，点以的速度向移动． (1)P，Q两点从出发开始到几秒时，四边形的面积为？ (2)P，Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离第一次是？ 【答案】(1)5秒 (2)秒 【分析】本题主要考查动点问题，涉及解一元一次方程和勾股定理，代数式的表示， （1）设P、Q两点从出发开始到x秒满足条件，则，，根据梯形的面积公式求解即可； （2）设P，Q两点从出发经过t秒时满足条件，作，垂足为E，则，有，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形的面积为， 则，， 根据梯形的面积公式得， 解之得， 答：P、Q两点从出发开始到5秒时四边形的面积为； （2）解：设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是， 作，垂足为E，则， ∵， ∴， 由勾股定理，得， 解得（舍去）． 答：从出发到秒时，点P和点Q的距离第一次是． 41．如图，抛物线与x轴交于两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且当和时，y的值相等，直线与这条抛物线交于两点，其中一点横坐标为4，另一点是这条抛物线的顶点M． (1)求顶点M 的坐标并求出这条抛物线对应的函数解析式． (2)P为线段上一点（P不与点重合），作轴于点Q，连接，设，四边形的面积为S， ①求S与t的函数解析式，并直接写出t的取值范围． ②当t为何值时，四边形的面积最大，求出这个最大值． 【答案】(1)， (2)①；②当时，最大值为 【分析】（1）首先求出抛物线的对称轴为，将代入直线的解析式中即可求出抛物线顶点的坐标，根据直线的解析式还可求出另一交点的坐标，可用顶点式二次函数通式来设抛物线的解析式，然后将另一交点的坐标代入抛物线中即可求出二次函数的解析式； （2）①首先求出，，，然后求出直线对应的函数解析式为，得到，然后利用代入表示即可； ②根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵当和时，y的值相等， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点M的横坐标为1， 又∵顶点M在直线上， ∴将代入得 ∴， 把代入得， ∴设抛物线对应的函数解析式为， 将点的坐标代入得， 解得， ∴抛物线对应的函数解析式为，即； （2）①∵， ∴将代入得，， ∴， 将代入得，， 解得或， ∴，， ∴设直线对应的函数解析式为， 将，代入得，， 解得， ∴直线对应的函数解析式为， ∵P为线段上一点（P不与点重合），作轴于点Q，， ∴， ∴， ∵P为线段上一点（P不与点重合）， ∴， ∴S与t的函数解析式为； ②∵， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，四边形的面积最大，最大值为． 【点睛】本题考查了求二次函数解析式，二次函数和四边形面积综合，二次函数和一次函数交点问题，二次函数的图象和性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 42．已知关于x的二次函数（实数b，c为常数）． (1)若二次函数的图象经过点，对称轴为直线，求此二次函数的表达式； (2)记关于x的二次函数，若在（1）的条件下，当时，总有，求实数m的最小值． (3)若，当时，二次函数的最小值为21，求b的值． 【答案】(1) (2)4 (3)或4 【分析】（1）将点代入二次函数的解析式可得的值，根据二次函数的对称轴可得的值，由此即可得； （2）先根据可得，令，再根据二次函数的性质列出不等式，求解即可得． （3）先求出二次函数的对称轴为，再分，和三种情况，分别利用二次函数的性质可得一个关于的一元二次方程，解方程即可得； 【详解】（1）解：将点代入得：， 二次函数的对称轴为， ，解得， 则此二次函数的表达式为； （2）解：由（1）可知，， 由得：，即， 令， 则图象开口向上，对称轴为直线， ∴在内，随的增大而增大， 要使得当时，总有， 则只需当时，即可， 故把代入，得， 解得， 则实数的最小值为4． （3）解：，即， ， 则此二次函数的对称轴为， 由题意，分以下三种情况： ①当，即时， 在内，随的增大而减小， 则当时，取得最小值， 因此有， ∴， ∴， 解得或（不符合题设，舍去）； ②当，即时， 在内，随的增大而减小；在内，随的增大而增大， 则当时，取得最小值， ∴， ∴， 解得或（均不符合题设，舍去）； ③当，即时， 在内，随的增大而增大， 则当时，取得最小值， 因此有， 解得或（不符题设，舍去）， 综上，的值为或4； 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、解一元二次方程等知识点，求二次函数的解析式，化为顶点式，要求学生具有较强的分类讨论思想，较难的是题（3），正确分三种情况讨论是解题关键． 43．如图，是等腰直角三角形，且，． (1)问题：如图1，点是边上一点（不与重合），将线段绕点逆时针旋转得到，连接，则线段，之间满足的数量关系式为___________． (2)探索：如图2，是等腰直角三角形，且，将绕点旋转，使点落在边上，试探索线段之间满足的数量关系，并证明你的结论； (3)应用：如图3，在四边形中，若，求的大小． 【答案】(1) (2)，证明过程见解析 (3) 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理以及旋转变换的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）证明，根据全等三角形的性质作答即可； （2）连接，根据全等三角形的性质得到，，得到，根据勾股定理计算即可； （3）过点作，使得，连接，，证明，，根据勾股定理计算即可． 【详解】（1） 是等腰直角三角形，且，， ， ， 在和中， ， ， ； 故答案为：． （2）结论：满足； 理由如下：由（1）得，， ，， ， ， 在中，，， ． （3）过点作，使得，连接，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，，， ， ， 在中，，， ， 为直角三角形，且， ，， ， ． 44．如图1，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点是点关于轴的对称点，经过点的直线与该抛物线交于点，点是直线上的一个动点，连接、、，记的面积为，的面积为，那么的值是否是定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． (3)如图2，设直线与直线交于点，点是直线上一点，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数与图形，相似三角形的判定和性质，掌握待定系数法求解析式，二次函数与图形的综合，相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）把点和点的坐标代入抛物线的解析式即可； （2）分别过点，作轴，轴，与交于点，，利用铅垂法分别表示的面积和的面积，再求比值即可； （3）过点作于点，作，过点作交于点，利用等腰三角形的性质，先求出时，直线的解析式，利用求出点的坐标． 【详解】（1）解：由题意可得，， 解得，， 抛物线的解析式为：； （2）解：由（1）知抛物线的解析式为：， ∴， 当时，， ∴， ∵点是点关于轴的对称点， ， 直线过点，则， 解得，， 直线， 如图1，分别过点，作轴，轴，与交于点，， ， ， ∵ 过点作轴与直线交于点， ∴， ，， ， ∴当时，， ，， ， 的值是一个定值，这个定值为； （3）解：如图2，过点作于点，交轴于点，作，过点作交于点， ， ，点是的中点， ，，设直线的解析式为， ∴， ∴， 直线， ，， ∴，， ∴，且， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， 直线， 联立， 解得， ， ，，设直线的解析式为， ∴， 解得，， 直线， 联立， 解得， ， ∵点是的中点， ∴由中点坐标公式可得，， ∴， ∴， ， 设直线的解析式为， ， 解得，， ， 直线的表达式为：， 联立， 解得， ． 45．如图，四边形、均为正方形． (1)如图，连接、，试判断和的数量关系和位置关系并证明． (2)将正方形绕点顺时针旋转角，如图，连接、相交于点，连接，求的度数． (3)若，，连接，将正方形绕点顺时针旋转角，则在这个旋转过程中线段长度的最大值为____，最小值为 ____（直接填空，不写过程）． 【答案】(1)，，证明见解析 (2) (3)； 【分析】（1）证明得出，且，可判定出其位置关系； （2）过作，，垂足分别为、，证明得，通过证明四边形为正方形可得出的度数； （3）由旋转性质可知：当点在线段上时的长度最短，当在初始位置时，最大，利用勾股定理求出其长度即可． 【详解】（1）解：，， 证明：延长交于点H， ∵四边形、均为正方形， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，过作，，垂足分别为、，设交于点， ∴， ∵将正方形绕点顺时针旋转角，且四边形为正方形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∴； （3）解：∵将正方形绕点顺时针旋转角，且四边形为正方形， 当正方形在初始位置时，最大，如图， ∵四边形、均为正方形，，， ∴，，， 此时； 当点在线段上时，DG最小，如图， ∵四边形、均为正方形，，， ∴，，， ∴， 此时； 综上所述，在这个旋转过程中线段长度的最大值为，最小值为． 故答案为：；． 【点睛】本题是几何变换的综合题，考查了旋转的性质，正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是通过作辅助线构造全等三角形、利用正方形的特殊位置确定线段长度的最大值与最小值是解题的关键． 46．【提出问题】如图①，在等边内部有一点P，若，求证： 【尝试解决】（1）证明：将绕点A逆时针旋转，得到，连接， 则为等边三角形， ∴， ， ， ∵ ∴， ∴ ， 即 【类比探究】（2）如图②，在三角形中，，内部有一点P，若，试判断线段之间的数量关系，并证明 【联想拓展】（3）如图③，在中，，，点P在直线上方，且，满足，请直接写出的值． 【答案】（1），；（2）；证明见解析；（3） 【分析】（1）根据已有过程进行补充，即可作答． （2）如图，将绕点逆时针旋转，得到，连接，证明为等腰直角三角形，故，结合得，运用勾股定理得，即可作答． （3）将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作于点，即，，则 ，，运用等腰三角形的性质得在中， ，结合，即可作答． 【详解】解：（1）证明：将绕点A逆时针旋转，得到，连接， 则为等边三角形， ∴， ，， ∵ ∴， ∴ 即 故答案为：， （2）． 证明如下：如图，将绕点逆时针旋转，得到，连接， ∴ 则为等腰直角三角形， ， ， ， ； （3）如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作于点， ∴， ∴ ∴， 则， ∴ ， ， 在中， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，旋转性质，三角形内角和性质，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 47．如图，抛物线经过两点，并交轴于另一点，点是抛物线的顶点，直线与轴交于点 (1)求该抛物线的表达式； (2)若点是轴上一动点，分别连接，求的最大值； (3)若点是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出点M、D的坐标，再根据当H，M，H三点共线时，即H与A点重合，的值最大，最大值，由勾股定理，求出的长即可； （3）分，，分别为对角线，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过两点， ∴，解得：， ∴； （2）解：∵， ∴抛物线的顶点的坐标为， 设直线的解析式为， 把，代入，得， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴， ∵， ∴当H，M，D三点共线时，即H与A点重合，的值最大， 最大值． （3）解：存在； ∵， ∴对称轴为直线， 设，， 当以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时： ①为对角线时：， ∴， 当时，， ∴， ∴； ②当为对角线时：， ∴， 当时，， ∴， ∴； ③当为对角线时：， ∴， 当时，， ∴， ∴； 综上：当以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，或或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，是中考常见的压轴题．涉及二次函数图象性质，待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键． 48．如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于C点，． 第二象限内有一点P在抛物线上运动，交线段于点E． (1)求抛物线的解析式及点A，C的坐标； (2)设的面积为S，当S最大时，求点P的坐标及S的最大值； (3)是否存在点P，使点E是的中点． 若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由 【答案】(1)，， (2)，最大值为 (3)不存在这样的点P，使得点E为中点 【分析】（1）利用待定系数法依次解答即可； (2) 先确定直线的解析式为：．设，则，则， 根据题意，得到三角形的面积为，利用二次函数的最值解答即可． (3)不妨设，则，代入，构造方程，利用根的判别式解答即可． 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于C点，． ∴， 解得， ∴抛物线解析式为， ∴，， 根据题意， 解得， 故． （2）解：过点P作轴，交直线于点M， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 设，则， 则， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∴当，的面积最大，且最大值为． 此时． （3）解：不妨设，则， 代入，得， 整理，得， 由， 故方程无实数解， 故不存在这样的点P，使得点E为中点． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，构造二次函数求三角形的面积的最值，一元二次方程根的判别式应用，面积分割法，熟练掌握抛物线的最值，根的判别式是解题的关键． 49．如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左边），点、的坐标分别是、，与轴交于点，点的坐标是，点和点关于抛物线的对称轴对称． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，直线上方的抛物线上有一点，过点作于点，求线段的最大值； (3)点是抛物线的顶点，点是轴上一点，点是坐标平面内一点，以，，，为顶点的四边形是以为边的矩形，求点和的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或，或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）记于y轴的交点为，证明为等腰直角三角形， 过作轴交于，为等腰直角三角形， 则，设，则， 再建立二次函数，利用二次函数的性质解题即可； （3）如图，当在的右边，记直线交y轴于R，，则，求解直线的解析式为， 可得， 设，而四边形为矩形，可得，再利用勾股定理建立方程求解，结合平移的性质可得：；如图，当在的左边，同理可得：，结合平移的性质可得：． 【详解】（1）解： 把，，分别代入得： ， 解得 ， 抛物线的解析式为； （2）解：由（1）知， 抛物线对称轴为直线， 点和点关于抛物线的对称轴对称， ， 设直线的解析式为， 把，分别代入得 ， 解得 ， 直线的解析式为 记于轴的交点为， 当时，，则， ， 为等腰直角三角形， ， 过作轴交于， ， 为等腰直角三角形， ， 设，则， ， 当时，有最大值， 的最大值为：； （3）解：如图，当在的右边， 记直线交轴于，，则， 设直线的解析式为， 把、分别代入得 ， 解得 ， 直线的解析式为， 当时，，则， 设，而四边形为矩形， ， ， 解得：，即， 由平移的性质可得：； 如图，当在的左边， 同理可得：， 解得：，即， 由平移的性质可得：； 综上：或． 【点睛】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，二次函数与坐标轴的交点，二次函数的性质，勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，平移的性质，熟练的建立二次函数模型再利用二次函数的性质解决问题是解本题的关键． 50．如图，抛物线过点、点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式． (2)点是第四象限抛物线上的一个动点． ①当的面积最大时，求点的坐标？并求出面积的最大值； ②过点作轴，交于点，再过点作轴，交抛物线于点，连接，问：是否存在点，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①，最大值为；②存在，或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，主要考查二次函数的性质，三角形的面积，等腰直角三角形，掌握二次函数的性质，等腰直角三角形是解题的关键． （1）由抛物线过点，，可直接得出抛物线的表达式为，展开即可得出结论． （2）①过点作轴，交线段于点，则，根据二次函数的性质可得结论； ②由题意可知，若是等腰直角三角形，则，分别表示及，可求出的值，进而求出点的坐标． 【详解】（1）解：抛物线过点，点， 抛物线的表达式为； （2）由（1）得抛物线的解析式为， 令，则， ， 直线的表达式为， 点是第四象限抛物线上的一个动点， 设， ①如图，过点作轴的垂线，交线段于点，则， 当时，即，的值取最大，最大值为 ②存在， 由题意可知， 若是等腰直角三角形，则， 点是第四象限抛物线上的一个动点， 设，， ， 轴， ， ， ， 解得 舍去或或或 舍去， 当是等腰直角三角形时，点的坐标为或． 51．如图1，四边形是正方形，E，F分别在边和上，且（此时），我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．小明为了解决线段，，之间的关系，将绕点A顺时针旋转后解决了这个问题． (1)请直接写出线段，，之间的关系． (2)如图3，等腰直角三角形，，，点E，F在边上，且，请写出，，之间的关系，并说明理由． (3)如图4，在中，，，点D，E在边上，且，当，时，求的长． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)40 【分析】本题主要考查旋转的性质，正方形的性质及全等三角形的判定和性质、勾股定理，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）利用旋转的性质，证明，得到，等量代换，即可证明； （2）把绕点顺时针旋转得到，连接，根据旋转的性质得，，在中，，可求得，所以，再证明，利用得到． （3）同（2）方法，把绕点顺时针旋转得到，连接，可证明：，在中，，，，过点D作，垂足为，利用直角三角形性质和勾股定理求出即可求出答案． 【详解】（1）解： 证明：由旋转可得，，， 四边形为正方形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2）猜想：， 证明：把绕点顺时针旋转得到，连接，如图3，   ，，，， ， ， ，即， ， 又， ， ，即， 在和中 ， ， ． （3）证明：把绕点顺时针旋转得到，连接，如图4，   ，，，， ，， ， ，即， 又， ， 在和中 ， ， 过点D作，垂足为， ∵， ∴， ∴， ． ∴， ∴， ∴． 52．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，交y轴于点，对称轴是直线，顶点为D． (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图1，设抛物线的对称轴交线段于点E，P为第一象限内抛物线上一点，过点P作x轴的垂线，交线段于点F，若四边形为平行四边形，求点P的坐标； (3)如图2，M是抛物线对称轴上的一个动点，求周长的最小值． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）先求出，，再根据待定系数法求出直线的表达式为，则可求，进而求出，设，则，，由四边形为平行四边形，，由此建立方程求解即可； （3）设直线与抛物线的对称轴直线相交于点，根据轴对称的性质得到当点M与点重合时，取得最小值，即为的长，求出，即可得到取得最小值，再求出，即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：， 当时，， ∴顶点， 当时，， 解得，， ∴， 设直线的表达式为， 则， 解得， ∴， 当时，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 解得（不符题意，舍去），， ∴， ∴； （3）解：设直线与抛物线的对称轴直线相交于点，连接， 则， ∴当点M与点重合时，取得最小值，即为的长， ∵， 即取得最小值为， ∵， ∴周长的最小值为． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质、轴对称的性质等知识，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数的知识． 53．已知二次函数的图象经过点． (1)如图，当二次函数的图象与轴另一交点为（点在点右侧），交轴于点，直线交抛物线、轴于、两点，设点坐标为． ①用含的代数式表示_____，_____． ②当时，求二次函数解析式． (2)二次函数图象的对称轴为直线，取值范围为时，求该二次函数最大值取值范围． 【答案】(1)①②或 (2) 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的增减性，是解题的关键： （1）①待定系数法进行求解即可；②分别求出的坐标，根据，列出方程，求出的值即可得出结果； （2）把和对称轴为直线，代入函数解析式，求出顶点坐标，转化为二次函数求最值即可． 【详解】（1）解：①把，代入，得： ，解得：； 故答案为：； ②由①知：， 当时，，当时，， ∴，，， ∴； ∵，， ∴， 解得：或， ∴或； 综上：或； （2）把，代入，得：， ∴， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴当时，函数有最大值为：， 对于， 抛物线的开口向上，对称轴为直线，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴当时，函数有最小值为：，当时，函数有最大值为：； ∴． 54．是的内接三角形，是的直径，是弦，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，过点作于点，延长到，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，若，，求线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）设，则．利用直径所对圆周角为直角得到，从而，结合同弧所对圆周角相等得出，再根据已知，最后由等角对等边证明． （2）先根据圆内接四边形性质得出，结合第一问结论得到，再利用，证明，由推出，从而证明． （3）先通过角度关系推出，延长使构造等腰三角形，利用角度推导得出；再在中，根据勾股定理求出，进而得到；最后在中求出，利用面积的两种表示方法求出． 【点睛】本题考查圆内接三角形性质、圆周角定理、等腰三角形性质、勾股定理及三角形全等与相似等知识．解题关键是熟练运用相关定理进行角与线段关系的推导转化，通过构造辅助线、利用勾股定理及三角形面积公式求解． 【详解】（1）证明：∵， 设， 则， ∵ ∴ ． ∵ 是的直径 ， ∴， ∴，， ∴， ∵ ∴ ． ∴ ， ∴， ∴ ． （2）证明：连接． ∴为圆内接四边形， ∴， 由（1）得．， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∵，即 ， ∴ ，即 ． （3）解：连接，交于点P，设与交于点M， ∵是直径， ∴， ∴， ∵，交于M ∴， ∴， ∴， 由（2）得， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 延长到使，连接， ∵， ∴， ∵，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 即， ∴，， ∴， 在中， ， ∴，即， ∴． 55．如图，在等腰中，，，点为边上的动点．将绕点逆时针旋转得到． (1)如图1，若，，求旋转后到的距离； (2)如图2，连接、，若为的中点，猜想与的数量关系，并证明； (3)如图3，在点运动的过程中，在线段上存在一点，使的值最小，当的值取得最小值时，，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）过点作于点，根据等腰直角三角形的性质以及勾股定理得出，进而得出，根据旋转的性质得出是等腰直角三角形，进而根据勾股定理，即可求解； （2）延长交于点，根据中位线的性质得出，证明得出，则即可得证； （3）将绕点顺时针旋转得到，连接，当点，点，点，点共线时，值最小，证明是等边三角形，是等边三角形，进而得出，根据，可得，即可得出，进而求得的长，根据旋转的性质可得，即可求解． 【详解】（1）解：如图1，过点作于点， ∵等腰中，，， ∴ ∵ ∴ ∵， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得到． ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴，即旋转后到的距离为； （2）解：如图2，延长交于点， 由（1）可得 ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵，即 ∴， 又∵为的中点， ∴是的中位线 ∴ ∵将绕点逆时针旋转得到． ∴ ∴， 在中， ∴ ∴ ∴，即； （3）解：如图，将绕点顺时针旋转得到，连接， ，，， 是等边三角形， ， ， 当点，点，点，点共线时，值最小， 此时，如图，连接， 将绕点顺时针旋转得到， ，，， 是等边三角形，是等边三角形， ，， ，， 垂直平分， ，， ， ，，， ， ， ， ， 根据旋转的性质可得：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，旋转的性质，解直角三角形，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 56．综合与实践：洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，方便出行．如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组成员想了解，洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水能浇灌到整个绿化带？ 为解决这一问题，数学小组决定建立函数模型来描述浇水的情况，探索步骤如下： (1)【建立模型】 数据收集：如图2，选取合适的原点    O，建立直角坐标系，使得洒水车的喷水口H点在y轴上，根据现场测量结果，喷水口H离地面竖直高度为，把绿化带截面抽象为矩形，其中D，E点在x轴上，测得其水平宽度，竖直高度，那么，洒水车与绿化带之间的距离就可以用线段的长来表示． ①查阅资料：发现可以把洒水车喷出的水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，分别为，，上边缘抛物线的最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口，求上边缘抛物线的函数解析式，并求出洒水车喷出水的最大射程； ②下边缘抛物线可以看作由上边缘抛物线向左平移得到，其开口方向与大小不变．请求出下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； (2)【问题解决】 要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带（即矩形位于上边缘抛物线和下边缘抛线所夹区域内），利用上述信息直接写出的取值范围． 【答案】(1)①；②（2，0） (2) 【分析】本题是二次函数的实际应用，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象的平移，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键． （1）①由顶点得，设，再根据抛物线过点，可得的值，从而解决问题； ②由对称轴知点的对称点为，则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，可得点的坐标； （2）求出的最小值为，的最大值为，得到的最大值为，从而得出答案． 【详解】（1）解：①由题意得：，， 是上边缘抛物线的顶点， 设， 又抛物线过点， ， ， 上边缘抛物线的函数解析式为； 令，则， 解得或（舍去）， 洒水车喷出水的最大射程为； ②对称轴为直线， 点的对称点为， 平移后仍过点， 是由向左平移得到的， ，点是由点向左平移得到的， 点的坐标为； （2）解：由题意可得，当点与点B重合时，最小， ∵点的坐标为， ∴， ∴的最小值为， ∵ 当点在抛物线上时，最大， ， 点的纵坐标为1， 当时，解得或（舍去）， ， ∴的最大值为， 的最大值为， 的取值范围为． 57．综合与实践 大自然里，存在很多数学的奥秘．一片美丽的心形叶子，以其对称的形态和流畅的脉络，展现自然万物独特的形态之美． 【问题发现】 如图，一个数学兴趣小组为了确定一片心形叶子的形状，建立平面直角坐标系，发现了该片心形叶子下部轮廓线可以近似看作是二次函数图象的一部分，且过原点，求这个抛物线的解析式． 【问题探究】 探究发现，该心形叶片的对称轴为直线．求该叶片与y轴的交点Q的坐标． 【拓展应用】 记叶尖A、叶柄B的距离为d．继续探究发现，当叶片的宽度最大为k时，d与k的比值接近黄金分割值，求的值．（结果精确到，参考数据：．） 【答案】【问题发现】，【问题探究】，【拓展应用】 【分析】[问题发现]利用待定系数法求出抛物线解析式，再化为顶点式求出顶点坐标即可； [问题探究]先证明四边形为矩形，再求出与点的坐标，然后证明四边形为正方形，从而可说明与为同一点，求出的坐标即可； [拓展应用]先求出，两点的坐标，再求得叶尖A、叶柄B的距离为d，设与垂直的直线可设为，求出直线与抛物线的一个交点，再求出它关于直线的对称点的坐标，然后求出这两点的距离（用表示），并求出最大值，然后代入求值． 【详解】解：[问题发现] 把代入， 得，解得：， ∴抛物线的解析式为； [问题探究] 过点作，交抛物线于点，过点作交于点，过点作于点，则四边形为矩形， ∵心形叶片的对称轴为直线， ∴点，， ∴点的纵坐标为，， ∴，解得：（舍去）或， ∴点的坐标为， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∴直线为正方形对称轴，又为心形叶片的对称轴， ∴的对应点为， 而为心形叶片与轴的交点，心形叶片与轴只有一个交点， ∴与为同一点， ∵四边形为正方形，点的坐标为， ∴， ∴点的纵坐标为， ∴点的坐标为， ∴点的坐标为； [拓展应用] ，解得或， ，， ∴， ∵叶尖A、叶柄B的距离为d． ∴， ∵直线的解析式为， ∴设与垂直的直线可设为， 则，可化为或， ∵要求叶宽最大， ∴ ∴， 则直线与心形叶片的交点为， ∵，解得：， ∴， ∴直线与直线的交点坐标为， ∴点关于直线的对称点为， ∴叶片的宽度为 ∴当，解得：时，叶片的宽度有最大值，即， 又， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，勾股定理，正方形的判定与性质，平面直角坐标系内两点间的距离，解一元二次方程等知识点，解题的关键是掌握上述知识，并能熟练运用求解． 58．如图所示，图象由图象和组成，其中图象是函数的图象，图象是函数的图象． (1)若点在图象上，求的值； (2)已知直线与轴平行，且与图象有三个不同的交点，从左至右依次为点、、，若，求点的坐标； (3)当图象上的点满足时，记此时的取值范围为．设，若在中总存在，使得，求此时实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）求出当时的值，即可得解； （2）求出图象的顶点坐标为，图象与轴的交点坐标为和，图象与轴的交点坐标为，设直线的解析式为，则， 令，则，从而得出，设，，则，，表示出，求出，得到直线的解析式为，联立，求解即可； （3）先求出的取值范围为，结合题意可得二次函数在上的最大值大于即可，求出对称轴为直线，抛物线开口向下，再分三种情况：当时，在上随着的增大而减小；当时，此时当时，有最大值；当时，此时在上随着的增大而增大，分别求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：在中，当时，， 即； （2）解：∵， ∴图象的顶点坐标为， 令，则， 解得：，， ∴图象与轴的交点坐标为和， 在中，令，则， 解得：， ∴图象与轴的交点坐标为 ∵直线与轴平行， ∴设直线的解析式为， ∵直线与图象有三个不同的交点，从左至右依次为点、、， ∴，画出图象如图所示： 令，则， ∴， 设，，则，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴点的坐标为； （3）解：在中，当时，， ∵，， ∴， 令，则， 解得：或（不符合题意，舍去）， 在中，令，则， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∵， ∴图象的顶点坐标为， ∴的取值范围为， ∵在中总存在，使得， ∴二次函数在上的最大值大于即可， ∵， ∴对称轴为直线，抛物线开口向下， 当，即时，在上随着的增大而减小， ∴当时，有最大值， ∴， 解得：； 当，即时，此时当时，有最大值， ∴， 解得：或， ∵， ∴此时无解； 当，即时，此时在上随着的增大而增大， ∴当时，有最大值， ∴， 解得：， ∴； 综上所述，实数的取值范围为或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程、一元二次方程根与系数的关系、解一元一次不等式等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 59．如图1，四边形内接于，平分．在的延长线上取一点F，使得，交于点E． (1)求证：． (2)若，求证：B，O，E三点共线． (3)如图2，连接并延长交延长线于点P，连接，若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)5 【分析】（1）由等腰三角形的性质得，由圆的内接四边形的性质得，结合三角形内角和定理得，即可得证； （2）连接，可得，由圆的基本性质得是的直径，即可得证； （3）连接，，过点作于点，等腰三角形的判定及性质得 ， ，由菱形的判定方法得四边形是菱形，由菱形的性质得，，等腰三角形的判定及性质得，由勾股定理得 ，由正方形的判定方法得 菱形是正方形，可得是的直径，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， 四边形内接于， ∴， ∵， ， ，           平分， ， ， ， ， ． （2）证明：连接， 由(1)得， ， ， ． 是的直径， ∴B，O，E三点共线． （3）解：连接，，过点作于点． 由(1)得， ， ． ， ， ， 由（2）知，， ， ， 又， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形， ， ， ， ． 点A、C、D、E在上， ∵， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ． 过作交于， ，， ， ， ， 与、相交于矛盾， 与重合， ． 菱形是正方形． ． 是的直径， 的半径是5． 【点睛】本题考查了圆的基本性质，圆的内接四边形性质，等腰三角形的判定及性质，菱形的判定及性质，正方形的判定及性质，勾股定理等；掌握圆的基本性质，圆的内接四边形性质，等腰三角形的判定及性质，菱形的判定及性质，正方形的判定及性质，能熟练利用勾股定理求解是解题的关键． 60．【项目式学习】 项目主题：从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响”． 项目内容：数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用． 实验过程：如图所示，一个小球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从小球运动到点处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录小球在木板上的运动时间（单位：s）、运动速度（单位：）、滑行距离（单位：）的数据．任务一：数据收集记录的数据如下： 运动时间 0 2 4 6 8 10 … 运动速度 10 9 8 7 6 5 … 滑行距离 0 19 36 51 64 75 … 任务二：观察分析 （1）根据，随的变化规律，从所学的三种函数模型（一次函数、反比例函数、二次函数）中，选择适当的函数模型，分别求出，与满足的函数关系式；（不用写出自变量的取值范围） 任务三：问题解决 （2）当小球在水平木板上停下来时，求小球的滑动距离； （3）当小球到达木板上点的同时，在点的前方处有一辆电动小车，以的速度匀速向右直线运动，若小球不能撞上小车，求的取值范围． 【答案】（1）；；（2）当小球在水平木板上停下来时，小球的滑行距离为；（3）． 【分析】（1）根据，随的变化规律，发现，可判定是的一次函数，设，解答即可；根据题意，是的二次函数，且常数项为0，不妨设，建立方程组解答即可． （2）当小球在水平木板上停下来时，，根据题意得，求得小球运动的时间，把时间代入抛物线解析式中，求得对应函数值即为小球的滑动距离； （3）设小球的运动时间为x秒，根据题意，得，解不等式即可． 【详解】解：（1）根据，随的变化规律，发现，可判定是的一次函数，设，设，将点，代入， 得 ， . 设，将点，代入， 得 解得 . （2）由（1）知. 当时，得. 解得. 将代入， 得. 当小球在水平木板上停下来时，小球的滑行距离为. （3）解：设小球的运动时间为x秒， 根据题意，得. . ，函数有最大值36， . 【点睛】本题考查了待定系数法，求函数值，二次函数的最值，解不等式，熟练掌握待定系数法，抛物线的最值，解不等式是解题的关键. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中复习压轴题必刷 一、单选题 1．在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（    ） A．B． C． D． 2．如图，在矩形中，，点从点出发沿以的速度向点运动；同时，点从点出发沿以的速度向点运动，点运动到点时，点也停止运动；当的面积等于时，运动时间为（　　）s． A．2 B．4 C．10 D．2或10 3．抛物线与轴交于点，其对称轴是，结合图象分析下列结论：①；②；③一元二次方程的两根分别为；④；⑤若两点在二次函数图象上，则；⑥；其中正确的结论有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 4．如图是二次函数图象的一部分，图象过点，对称轴为直线，给出以下结论： ①；②；③；④若、为函数图象上的两点，则；⑤当时，， 其中正确的结论是（    ）．（填写代表正确结论的序号） A．②③ B．①③⑤ C．②③⑤ D．①②⑤ 5．二次函数（）的部分图象如图，图象过点，下列结论： ①；②；③，④若顶点坐标为，则方程没有实数根．其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（   ） A． B．且 C．且 D． 7．设关于x的方程有两个不相等的实数根，，且，那么实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．二次函数大致图象如图所示，其中顶点为下列结论： ； ； ；若方程有两根为和，且，则；若方程有四个根，则这四个根的和为，其中正确的结论是（ ） A． B． C． D． 9．如图，为的平分线上的一个定点，且与互补．若在绕点旋转的过程中，其两边分别与相交于两点，则以下结论：①；②与的长度和为定值；③四边形的面积保持不变；④的长度保持不变；⑤的周长保持不变．其中正确的是（　　） A．①②③ B．②③⑤ C．①③④ D．①②⑤ 10．如图，正方形中，，E是的中点．以点C为圆心，长为半径画圆，点P是上一动点，点F是边上一动点，连接，若点Q是的中点，连接，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 11．如图，已知矩形，，，点为矩形内一点，点为边上任意一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D．20 12．如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线,图象与轴交点的纵坐标是．则下列结论：①；②方程一定有两个不相等的实数根：③当时，；④；⑤抛物线上有两点，,若，则．其中正确结论的个数有（   ）    A．个 B．个 C．个 D．个 13．对于二次函数，规定函数是它的相关函数．已知点的坐标分别为，连接，若线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，则的取值范围为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 二、填空题 14．如图，在等边中，D是边上一点，连接．将绕点B逆时针旋转得到，连接．若，，则的周长是 ． 15．如图，将矩形绕点B顺时针旋转至的位置，连接，取，的中点M，N，连接，若，，则 ． 16．若，是方程的两根，则的值为 ． 17．如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，若为的中点，连接，则线段长度的最大值为 ． 18．如图，在平面直角坐标系中，正六边形边长是6，点、分别在轴、轴的正半轴上，则它的外接圆的圆心的坐标是 ． 19．在直角坐标系中，已知是以原点O为圆心，1为半径，若直线与有公共点，则a的取值范围是 ． 20．如图，将一次函数的图象绕原点顺时针旋转，所得到的图象对应的函数表达式为 ． 21．如图，O是正内一点，，，，将线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：①点O与的距离为4；②；③；④；⑤．其中正确的结论是 ． 22．如图，是半圆O的直径，点C在半圆上，，，D是上的一个动点，连接．过点C作于E，连接，则的最小值是 ． 23．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A，点B，点E是边的中点，把绕点A顺时针旋转得，点O，B旋转后的对应点分别为D，C． 连接，，，在旋转的过程中，面积的最大值为 ． 24．如图，在直角坐标系中，点A在x轴上，，以为边作等边，延长到点，使；以为边作等边，延长至点，使；以为边作等边，延长至点，使；按照以上方式依次作，，…则点的坐标为 ． 25．如图，在矩形中，为矩形内一点，连接，，，，，，则的最小值为 ． 26．如图，在中，，是内的动点，连接，，，则的最小值是 ． 27．如图，在中，，，，D为的中点，以点D为圆心作圆心角为的扇形，点C恰在弧上，则图中阴影部分的面积为 ． 28．如图，O是坐标原点，点，，，在y轴的正半轴上，点， ，，在函数位于第一象限的图象上，若，，，都是等边三角形，则线段的长是 ． 29．如图，正方形中，点E，F分别是上的动点（不与点B，C，D重合），且，与对角线分别相交于点G，H，连接，则下列结论： ①； ②； ③若正方形的面积为16，则的周长为8； ④若，则． 其中正确的序号为 ． 三、解答题 30．如图，在中，，，，点从点开始沿边向点移动，速度为；点从点开始沿边向点移动，速度为，点分别从点同时出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动．    (1)几秒后，的长度为； (2)几秒后，的面积为； (3)的面积能否为？请说明理由． 31．已知关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求实数m的取值范围； (2)若一元二次方程的两个根和满足，求实数m的值． 32．暑假期间某景区商店推出销售纪念品活动，已知纪念品每件的进货价为30元，经市场调研发现，当该纪念品的销售单价为40元时，每天可销售280件；当销售单价每增加1元，每天的销售数量将减少10件．（销售利润=销售总额-进货成本） (1)若该纪念品的销售单价涨价为5元时，则当天销售量为______件． (2)当该纪念品的销售单价涨价为多少元时，该产品的当天销售利润是2610元． 33．阅读下列材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．配方法可以解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：当取何值时，代数式有最小（或最大）值？ ， 当时，代数式有最小值． 【直接应用】 （1）仿照上述例子解决问题：当取何值时，代数式有最小（或最大）值？最小（或最大）值是多少？ 【拓展应用】 （2）如图，要围成一个矩形鸡场，一边靠墙（墙长24米），另三边用总长为40米的竹篱笆围成． ①请用含的代数式表示矩形鸡场的面积； ②当为何值时，围成的矩形鸡场的面积最大？最大面积是多少？ 34．已知关于的方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)若此方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 35．园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米），另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留2米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长32米，设苗圃的一边长为米．    (1)长为________米（包含门宽，用含的代数式表示） (2)若苗圃的面积为，求的值； (3)苗圃的面积是否可以达到，请说明理由． 36．项目化学习 项目主题：探究富平柿饼销售利润 项目背景：富平柿饼，形似圆月，肉红透明无籽，凝霜后白里透红。柿饼质地透明，清甜爽口，具有润肺、健胃、止咳等药理功能，某校学习小组以“探究富平柿饼销售利润问题”为主题开展项目学习． 驱动任务：按预期利润制定合理售价． 收集数据： 素材 某特产专卖店销售富平柿饼，其进价为每千克50元，按每千克90元出售，平均每月可售出200千克，后经市场调查发现，单价每降低5元，平均每月的销售量可增加50千克． 解决问题： (1)设每千克富平柿饼降价x元，则降价后富平柿饼每月的销售量为______； (2)在（1）的条件下，若专卖店销售富平柿饼想要平均每月获利8750元，求富平柿饼的售价应定为每千克多少元？ 37．已知，如图，在中，，，，点从点A开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动． (1)如果点，分别从点A，同时出发，那么几秒后，的面积等于？ (2)如果点，分别从点A，同时出发，那么几秒后，的长度等于？ 38．如图，在矩形中，，，从点开始沿向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，设运动时间是． (1)为何值时，在的垂直平分线上？ (2)为何值时，的长度为？ 39．如图1所示，的外接圆的半径为2，，P为圆O中弧上一点，连接，，． (1)若，求证：； (2)如图2，若，若关于直线的对称图形为，连接，试探究，，三者之间满足的数量关系，并证明你的结论． 40．如图所示，A、B、C、D是矩形的四个顶点，，，动点、分别从点、同时出发，点以的速度向点移动，一直到达为止，点以的速度向移动． (1)P，Q两点从出发开始到几秒时，四边形的面积为？ (2)P，Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离第一次是？ 41．如图，抛物线与x轴交于两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且当和时，y的值相等，直线与这条抛物线交于两点，其中一点横坐标为4，另一点是这条抛物线的顶点M． (1)求顶点M 的坐标并求出这条抛物线对应的函数解析式． (2)P为线段上一点（P不与点重合），作轴于点Q，连接，设，四边形的面积为S， ①求S与t的函数解析式，并直接写出t的取值范围． ②当t为何值时，四边形的面积最大，求出这个最大值． 42．已知关于x的二次函数（实数b，c为常数）． (1)若二次函数的图象经过点，对称轴为直线，求此二次函数的表达式； (2)记关于x的二次函数，若在（1）的条件下，当时，总有，求实数m的最小值． (3)若，当时，二次函数的最小值为21，求b的值． 43．如图，是等腰直角三角形，且，． (1)问题：如图1，点是边上一点（不与重合），将线段绕点逆时针旋转得到，连接，则线段，之间满足的数量关系式为___________． (2)探索：如图2，是等腰直角三角形，且，将绕点旋转，使点落在边上，试探索线段之间满足的数量关系，并证明你的结论； (3)应用：如图3，在四边形中，若，求的大小． 44．如图1，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点是点关于轴的对称点，经过点的直线与该抛物线交于点，点是直线上的一个动点，连接、、，记的面积为，的面积为，那么的值是否是定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． (3)如图2，设直线与直线交于点，点是直线上一点，若，求点的坐标． 45．如图，四边形、均为正方形． (1)如图，连接、，试判断和的数量关系和位置关系并证明． (2)将正方形绕点顺时针旋转角，如图，连接、相交于点，连接，求的度数． (3)若，，连接，将正方形绕点顺时针旋转角，则在这个旋转过程中线段长度的最大值为____，最小值为 ____（直接填空，不写过程）． 46．【提出问题】如图①，在等边内部有一点P，若，求证： 【尝试解决】（1）证明：将绕点A逆时针旋转，得到，连接， 则为等边三角形， ∴， ， ， ∵ ∴， ∴ ， 即 【类比探究】（2）如图②，在三角形中，，内部有一点P，若，试判断线段之间的数量关系，并证明 【联想拓展】（3）如图③，在中，，，点P在直线上方，且，满足，请直接写出的值． 47．如图，抛物线经过两点，并交轴于另一点，点是抛物线的顶点，直线与轴交于点 (1)求该抛物线的表达式； (2)若点是轴上一动点，分别连接，求的最大值； (3)若点是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 48．如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于C点，． 第二象限内有一点P在抛物线上运动，交线段于点E． (1)求抛物线的解析式及点A，C的坐标； (2)设的面积为S，当S最大时，求点P的坐标及S的最大值； (3)是否存在点P，使点E是的中点． 若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由 49．如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左边），点、的坐标分别是、，与轴交于点，点的坐标是，点和点关于抛物线的对称轴对称． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，直线上方的抛物线上有一点，过点作于点，求线段的最大值； (3)点是抛物线的顶点，点是轴上一点，点是坐标平面内一点，以，，，为顶点的四边形是以为边的矩形，求点和的坐标． 50．如图，抛物线过点、点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式． (2)点是第四象限抛物线上的一个动点． ①当的面积最大时，求点的坐标？并求出面积的最大值； ②过点作轴，交于点，再过点作轴，交抛物线于点，连接，问：是否存在点，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 51．如图1，四边形是正方形，E，F分别在边和上，且（此时），我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．小明为了解决线段，，之间的关系，将绕点A顺时针旋转后解决了这个问题． (1)请直接写出线段，，之间的关系． (2)如图3，等腰直角三角形，，，点E，F在边上，且，请写出，，之间的关系，并说明理由． (3)如图4，在中，，，点D，E在边上，且，当，时，求的长． 52．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，交y轴于点，对称轴是直线，顶点为D． (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图1，设抛物线的对称轴交线段于点E，P为第一象限内抛物线上一点，过点P作x轴的垂线，交线段于点F，若四边形为平行四边形，求点P的坐标； (3)如图2，M是抛物线对称轴上的一个动点，求周长的最小值． 53．已知二次函数的图象经过点． (1)如图，当二次函数的图象与轴另一交点为（点在点右侧），交轴于点，直线交抛物线、轴于、两点，设点坐标为． ①用含的代数式表示_____，_____． ②当时，求二次函数解析式． (2)二次函数图象的对称轴为直线，取值范围为时，求该二次函数最大值取值范围． 54．是的内接三角形，是的直径，是弦，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，过点作于点，延长到，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，若，，求线段的长． 55．如图，在等腰中，，，点为边上的动点．将绕点逆时针旋转得到． (1)如图1，若，，求旋转后到的距离； (2)如图2，连接、，若为的中点，猜想与的数量关系，并证明； (3)如图3，在点运动的过程中，在线段上存在一点，使的值最小，当的值取得最小值时，，请直接写出的长． 56．综合与实践：洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，方便出行．如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组成员想了解，洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水能浇灌到整个绿化带？ 为解决这一问题，数学小组决定建立函数模型来描述浇水的情况，探索步骤如下： (1)【建立模型】 数据收集：如图2，选取合适的原点    O，建立直角坐标系，使得洒水车的喷水口H点在y轴上，根据现场测量结果，喷水口H离地面竖直高度为，把绿化带截面抽象为矩形，其中D，E点在x轴上，测得其水平宽度，竖直高度，那么，洒水车与绿化带之间的距离就可以用线段的长来表示． ①查阅资料：发现可以把洒水车喷出的水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，分别为，，上边缘抛物线的最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口，求上边缘抛物线的函数解析式，并求出洒水车喷出水的最大射程； ②下边缘抛物线可以看作由上边缘抛物线向左平移得到，其开口方向与大小不变．请求出下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； (2)【问题解决】 要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带（即矩形位于上边缘抛物线和下边缘抛线所夹区域内），利用上述信息直接写出的取值范围． 57．综合与实践 大自然里，存在很多数学的奥秘．一片美丽的心形叶子，以其对称的形态和流畅的脉络，展现自然万物独特的形态之美． 【问题发现】 如图，一个数学兴趣小组为了确定一片心形叶子的形状，建立平面直角坐标系，发现了该片心形叶子下部轮廓线可以近似看作是二次函数图象的一部分，且过原点，求这个抛物线的解析式． 【问题探究】 探究发现，该心形叶片的对称轴为直线．求该叶片与y轴的交点Q的坐标． 【拓展应用】 记叶尖A、叶柄B的距离为d．继续探究发现，当叶片的宽度最大为k时，d与k的比值接近黄金分割值，求的值．（结果精确到，参考数据：．） 58．如图所示，图象由图象和组成，其中图象是函数的图象，图象是函数的图象． (1)若点在图象上，求的值； (2)已知直线与轴平行，且与图象有三个不同的交点，从左至右依次为点、、，若，求点的坐标； (3)当图象上的点满足时，记此时的取值范围为．设，若在中总存在，使得，求此时实数的取值范围． 59．如图1，四边形内接于，平分．在的延长线上取一点F，使得，交于点E． (1)求证：． (2)若，求证：B，O，E三点共线． (3)如图2，连接并延长交延长线于点P，连接，若，，求的半径． 60．【项目式学习】 项目主题：从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响”． 项目内容：数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用． 实验过程：如图所示，一个小球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从小球运动到点处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录小球在木板上的运动时间（单位：s）、运动速度（单位：）、滑行距离（单位：）的数据．任务一：数据收集记录的数据如下： 运动时间 0 2 4 6 8 10 … 运动速度 10 9 8 7 6 5 … 滑行距离 0 19 36 51 64 75 … 任务二：观察分析 （1）根据，随的变化规律，从所学的三种函数模型（一次函数、反比例函数、二次函数）中，选择适当的函数模型，分别求出，与满足的函数关系式；（不用写出自变量的取值范围） 任务三：问题解决 （2）当小球在水平木板上停下来时，求小球的滑动距离； （3）当小球到达木板上点的同时，在点的前方处有一辆电动小车，以的速度匀速向右直线运动，若小球不能撞上小车，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $