期中复习易错题（24个考点60题）-2025-2026学年九年级数学上册高频考点题型归纳与满分必练（人教版）

期中复习易错题（24个考点60题） 一．一元二次方程的解（共2小题） 1．已知x＝1是方程x2+mx﹣n＝0的一个根，则m2﹣2mn+n2＝　 　 ． 2．定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足b＝a+c，那么我们称这个方程为“有爱方程”． （1）判断一元二次方程（2x+1）2＝1是否为“有爱方程”，并说明理由； （2）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）为“有爱方程”，证明：x＝﹣1为“有爱方程”的根； （3）已知3x2﹣ax+b＝0是关于x的“有爱方程”，若a是该“有爱方程”的一个根，求a的值． 二．解一元二次方程-配方法（共1小题） 3．用配方法解方程x2﹣6x﹣4＝0，下列配方正确的是（　　） A．（x﹣3）2＝13 B．（x+3）2＝13 C．（x﹣6）2＝4 D．（x﹣3）2＝5 三．根的判别式（共1小题） 4．已知等腰△ABC的底边长为3，两腰长恰好是关于x的一元二次方程kx2﹣（k+3）x+6＝0的两根，则△ABC的周长为（　　） A．6.5 B．7 C．6.5或7 D．8 四．二次函数的定义（共1小题） 5．二次函数y＝x2﹣2x+3的一次项系数是 　 　 ． 五．二次函数的图象（共1小题） 6．函数y＝kx+k和函数y＝﹣kx2+4x+4（k是常数，且k≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A．B． C．D． 六．二次函数的性质（共10小题） 7．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），当y≥t时，x≤﹣m﹣2或x≥﹣m+4．若A（﹣m﹣3，p），B（2m，q）是抛物线y＝ax2+bx+c上的两点，且p＞q，则m的取值范围为（　　） A． B．m＜﹣1或 C． D．或m＞1 8．已知二次函数y＝ax2+bx+c，当y＞n时，x的取值范围是m﹣3＜x＜1﹣m，且该二次函数的图象经过点P（3，t2+5），Q（d，4t）两点，则d的值可能是（　　） A．0 B．﹣1 C．﹣4 D．﹣6 9．已知二次函数y＝x2﹣2mx+3（m＞0），若点A（t，a），点B（t+2，a），点C（4，b）都在二次函数图象上，且a＜b＜3，则t的取值范围为（　　） A．t＜2 B．2＜t＜4或t＞6 C．1＜t＜2 D．1＜t＜2或t＞4 10．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线x＝﹣1，设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2 11．已知二次函数y＝a（x﹣2）2﹣a（a≠0），当﹣1≤x≤4时，y的最小值为﹣2，则a的值为（　　） A．1/2或4 B．2或 C．或2 D． 12．二次函数y＝﹣x2+bx+c，若y≥2时，x的取值范围为n﹣3≤x≤n+1（n为常数），则当n﹣4≤x≤n时，y的取值范围为（　　） A．﹣3≤y≤5 B．﹣3≤y≤6 C．0≤y≤5 D．0≤y＜6 13．二次函数y＝2（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标是　 　 ． 14．已知函数y＝|x2+2x﹣a+3|，当﹣2≤x≤1时，y有最大值5，则a的值为 　 　 ． 15．已知抛物线y＝x2﹣2x+3，当0≤x≤3时，则y的取值范围 　 　 ． 16．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（2，c）． （1）求该抛物线的对称轴； （2）若点（n，y1）和点（n﹣2，y2）均在该抛物线上，当n＜2时，请你比较y1，y2的大小关系； （3）若c＝1，且当﹣1≤x≤2时，y有最小值为，求a的值． 七．二次函数图象与系数的关系（共6小题） 17．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）交x轴于点A（﹣1，0）和x轴正半轴于点B，且BO＝3AO，交y轴正半轴于点C．有下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③x＝1时y有最大值﹣4a；④3a+c＝0．其中，正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 18．已知二次函数y＝mx2，当x≤0时，y随x增大而减小，则实数m的取值范围是（　　） A．m＜0 B．m≤0 C．m＞0 D．m≥0 19．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，且OA＝kOC，有下列结论：；③k2ac﹣kb+1＝0；④，其中正确结论的序号是（　　） A．①④ B．①③④ C．①③ D．②③④ 20．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．下列结论：①abc＞0；②b+4a＝0；③b+c＞0；④若图象上有两点（x1，y1），（x2，y2）且0＜x1＜4＜x2，则y1＜y2．其中正确结论的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 21．抛物线y＝ax2﹣4ax﹣3（其中a＞0，a为常数），若当4≤x＜5时，对应的函数值y恰好有3个整数值，则a的取值范围是 　 　 ． 22．已知二次函数y＝x2+bx﹣3（b为常数）． （1）该函数图象与x轴交于A、B两点，若点A坐标为（3，0）， ①b的值是 　 　 ，点B的坐标是 　 　 ； ②当0＜y＜5时，借助图象，求自变量x的取值范围； （2）对于一切实数x，若函数值y＞t总成立，求t的取值范围（用含b的式子表示）； （3）当m＜y＜n时（其中m、n为实数，m＜n），自变量x的取值范围是1＜x＜2，求n与b的值及m的取值范围． 八．二次函数图象上点的坐标特征（共1小题） 23．抛物线y＝﹣2（x﹣1）2的图象上有三个点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3），则y1，y2，y3的大小关系是 　 　 ． 九．二次函数图象与几何变换（共2小题） 24．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣4先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（　　） A．y＝（x+2）2+2 B．y＝（x﹣2）2﹣2 C．y＝（x﹣2）2+2 D．y＝（x+2）2﹣2 25．将抛物线y＝x2﹣2x﹣3位于y轴左侧的部分沿x轴翻折，其余部分不变，翻折得到的图象和原来不变的部分构成一个新图象，若直线y＝m与新图象有且只有2个公共点，则t的取值范围是（　　） A．﹣3＜m≤3 B．﹣3≤m＜3或m＝﹣4 C．﹣3＜m＜3或m＝﹣4 D．﹣3＜m≤3或m＝4 十．待定系数法求二次函数解析式（共2小题） 26．已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（﹣2，5），对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）若点B（1，7）向上平移2个单位长度，向左平移m（m＞0）个单位长度后，恰好落在y＝x2+bx+c的图象上，求m的值； （3）当﹣2≤x≤n时，二次函数y＝x2+bx+c的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 27．已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1，0），（0，3）． （1）求这个二次函数的表达式． （2）当﹣2≤x≤t时，函数的最大值为m，最小值为n，若m﹣n＝9，求t的取值范围． 十一．抛物线与x轴的交点（共6小题） 28．如图一段抛物线y＝x2﹣3x（0≤x≤3），记为C1，它与x轴于点O和A1：将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕旋转180°得到C3，交x轴于A3，如此进行下去，若点P（2020，m）在某段抛物线上，则m的值为（　　） A．0 B． C．2 D．﹣2 29．已知点A（m，k），B（n，k+1）（m＞0＞n）是二次函数y＝x2+1函数图象上的两个点，若关于x的一元二次方程mx2+nx+k＝0有两根x1，x2，则（　　） A．0＜x1+x2＜1，x1•x2＞0 B．x1+x2＜0，x1•x2＞0 C．x1+x2＞1，x1•x2＞0 D．x1+x2＝0，x1•x2＜0 30．如图，抛物线y＝a（x+2）（x﹣5）（其中0≤x≤5）与y轴交于点A，将这段抛物线向左平移，使其经过点A，交x轴于点B，则点B的坐标为（　　） A．（1，0） B．（2，0） C．（3，0） D．（4，0） 31．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，关于x的方程ax2+bx+c＝0的一个根为x＝4，则另一个根为 　 　 ． 32．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的一个交点坐标是（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，则这个二次函数图象与x轴另一个交点的坐标是 　 　 ． 33． 已知抛物线y＝﹣x2+bx+c的顶点坐标为（2，5），若关于x的方程﹣x2+bx+c﹣k＝0在﹣1≤x≤4范围内有两个不同的实数根，则实数k的取值范围是 　 　 ． 十二．二次函数的应用（共11小题） 34．如图，运动员小铭推铅球，铅球行进高度y（米）与水平距离x（米）间的关系为，则运动员小铭将铅球推出的距离为 　 　 米． 35．如图是某抛物线型的拱桥示意图，已知该抛物线的函数表达式为yx2+10，为了给行人提供生命保障，在该拱桥上距水面AB高为8米的点E、F处悬挂了两个救生圈，则这两个救生圈间的水平距离EF为 　 　 米． 36．飞机着陆后滑行的距离s（米）与滑行时间t（秒）的关系满足．当滑行时间为10秒时，滑行距离为450米，则飞机从着陆到停止，滑行的时间是 　 　 秒． 37．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．求： （1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？ 38．如图①，一个可调节高度的喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．图②是喷射出的水流在平面直角坐标系中的示意图，其中喷灌架置于点O处，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）设置的是1米，当喷射出的水流距离喷水头水平距离为8米时，达到最大高度5米． （1）求水流运行轨迹的函数解析式； （2）若在距喷灌架12米处有一棵3.5米高的果树，问：水流是否会碰到这棵果树？请通过计算说明． 39．根据以下素材，探索完成任务． 素材1 一圆形喷泉池的中央安装了一个喷水装置OA，通过调节喷水装置OA的高度，从而实现喷出水柱竖直方向的升降，但不改变水柱的形状．为了美观在半径为2.1米的喷泉池四周种植了一圈宽度均相等的花卉（图1中的阴影部分）． 素材2 从喷泉口A喷出的水柱成抛物线形，如图2是该喷泉喷水时的一个截面示意图，已知喷水口A离地面高度为0.72米，喷出的水柱在离喷水口水平距离为0.3米处离地面最高，高度为0.75米． 问题解决 任务1 建立模型 以点O为原点，OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系，根据素材2求抛物线的函数表达式． 任务2 利用模型 为了提高对水资源的利用率，在欣赏喷泉之余也能喷灌四周的花卉，确定喷水口A升高的最小值． 任务3 分析计算 喷泉口A升高的最大值为米，为能充分喷灌四周花卉，请对花卉的种植宽度提出合理的建议． 40．如图，某农户计划用篱笆围成一个矩形场地养殖家禽，为充分利用现有资源，该矩形场地一面靠墙（墙的长度为18m），另外三面用篱笆围成，中间再用篱笆把它分成三个面积相等的矩形分别养殖不同的家禽，计划购买篱笆的总长度为32m，设矩形场地的长为xm，宽为ym，面积为sm2． （1）分别求出y与x，s与x的函数解析式； （2）当x为何值时，矩形场地的总面积最大？最大面积为多少？ （3）若购买的篱笆总长增加8m，矩形场地的最大总面积能否达到100m2？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由． 41．某文具店出售一种新上市的文具，每套进价为20元，在销售过程中发现，当销售单价为25元时，日销售量为250套，销售单价每上涨1元，日销售量就减少10套． （1）设日销售量为y套，销售单价为x元，则y＝ 　 　 ．（用含x的代数式表示） （2）设销售该文具的日利润为w元，求销售单价为多少元时，当日的利润最大，最大利润是多少？ （3）临近儿童节，文具店准备搞促销活动，顾客每购买一套文具，就送一袋价值m元的小零食（m＞0），要使该文具销售单价不低于30元，日销售量不少于160套时，日销售最大利润是2112元，求m的值． 42．某食品经销商购进一种食品若干千克，成本价为每千克30元，物价部门规定其销售单价不得低于成本价，且不得高于成本价的2倍．经市场调研发现，日销售量y（千克）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图所示． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若该经销商要想每天获得600元的销售利润，销售单价应定为多少元？ （3）在销售过程中，当销售单价为多少元时，该经销商每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 43．某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1：2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图），养殖场的总面积为ym2． （1）求y关于x的函数关系式和自变量x的取值范围； （2）当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？ 44．某童装店销售某款童装，每件售价为60元，每星期可卖100件，为了促销，该店决定降价销售，经市场调查反应：每降价2元，每星期可多卖20件．已知该款童装每件成本为40元．设该款童装每件售价为x元，销售量为y件． （1）每星期的销售量y＝　 　 （用含x的代数式表示y并化简）； （2）当每件童装售价定为多少元时，该店一星期可获得2210元的利润？ （3）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大？最大利润是多少？ 十三．二次函数综合题（共1小题） 45．新定义：我们把抛物线y＝ax2+bx+c（其中ab≠0）与抛物线y＝bx2+ax+c称为“关联抛物线”．例如：抛物线y＝2x2+3x+1的“关联抛物线”为：y＝3x2+2x+1．已知抛物线C1：y＝4ax2+ax+4a﹣3（a≠0）的“关联抛物线”为C2． （1）写出C2的解析式（用含a的式子表示）及顶点坐标； （2）若a＞0，过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线C1，C2于点M，N． ①当MN＝6a时，求点P的坐标； ②当a﹣4≤x≤a﹣2时，C2的最大值与最小值的差为2a，求a的值． 十四．垂径定理的应用（共1小题） 46．如图，圆柱形水管内积水的水平面宽AB＝8cm，水深CD＝2cm．则水管的半径是（　　） A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm 十五．圆周角定理（共4小题） 47．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，若∠ABD＝54°，则∠BCD的度数是（　　） A．36° B．40° C．46° D．65° 48．如图，在半圆O中，直径AB＝8，C，D是半圆上两点，P是直径上一点，若∠AOC＝48°，∠AOD＝72°，则PC+PD的最小值为（　　） A． B． C． D． 49．如图，在⊙O中，∠BAC＝50°．则∠BOC的度数为（　　） A．100° B．110° C．120° D．130° 50．如图，在平面直角坐标系中，已知点D（2，0），A（2﹣m，0），B（2+m，0），点C在以E（10，6）为圆心，2为半径的圆上运动，且始终满足∠ACB＝90°，则m的取值范围是 　 　 ． 十六．圆内接四边形的性质（共1小题） 51．如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果它的一个外角∠DCE＝64°，那么∠BOD＝（　　） A．128° B．100° C．64° D．32° 十七．点与圆的位置关系（共1小题） 52．如图，AB是半圆O的直径，AB＝5cm，AC＝4cm．D是弧BC上的一个动点（含端点B，不含端点C），连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE，在点D移动的过程中，BE的取值范围是（　　） A．2＜BE B．2≤BE＜3 C．BE＜3 D．BE＜3 十八．弧长的计算（共1小题） 53．点A，B，C在⊙O上的位置如图所示，∠A＝70°，⊙O的半径为3，则的长是（　　） A． B． C． D．7π 十九．旋转的性质（共1小题） 54．如图，∠AOB＝120°，点P为∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：①PM＝PN；②OM+ON＝OP；③四边形PMON的面积保持不变；④△PMN的周长保持不变．其中说法正确的是 　 　 （填序号）． 二十．中心对称图形（共2小题） 55．中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 56．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 二十一．关于原点对称的点的坐标（共1小题） 57．点M（1，﹣2）关于原点对称点的坐标是 　 　 ． 二十二．概率的意义（共1小题） 58．在一个不透明的袋子里有红球、黄球共15个，这些球除颜色外都相同，从袋子里随机摸出一个小球，摸到红球的概率是，则袋子中黄球的个数可能是（　　） A．6 B．9 C．10 D．12 二十三．概率公式（共1小题） 59．一个不透明的口袋中装有8个黑球和若干个白球，每个球除颜色外都相同．摇匀后随机摸一球，已知摸到白球的概率是，估计袋中白球的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二十四．列表法与树状图法（共1小题） 60．甲、乙两名同学来杭州学习传统技艺，两人都计划在雕铜技艺、织锦技艺、茶艺制作技艺中分别选择一项，则甲和乙选择不同技艺的概率是 　 　 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中复习易错题（24个考点60题） 一．一元二次方程的解（共2小题） 1．已知x＝1是方程x2+mx﹣n＝0的一个根，则m2﹣2mn+n2＝　1　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵x＝1是方程x2+mx﹣n＝0的一个根， ∴代入得：1+m﹣n＝0， m﹣n＝﹣1， ∴m2﹣2mn+n2＝（m﹣n）2＝（﹣1）2＝1， 故答案为：1． 2．定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足b＝a+c，那么我们称这个方程为“有爱方程”． （1）判断一元二次方程（2x+1）2＝1是否为“有爱方程”，并说明理由； （2）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）为“有爱方程”，证明：x＝﹣1为“有爱方程”的根； （3）已知3x2﹣ax+b＝0是关于x的“有爱方程”，若a是该“有爱方程”的一个根，求a的值． 【答案】（1）是，理由见解答； （2）见解答； （3）﹣1或． 【解答】（1）解：一元二次方程（2x+1）2＝1是“有爱方程”．理由如下： ∵（2x+1）2＝1， ∴4x2+4x+1＝1， ∴4x2+4x＝0， ∵a＝4，b＝4，c＝0， ∴b＝a+c， ∴一元二次方程（2x+1）2＝1是“有爱方程”． （2）证明：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）为“有爱方程”， ∴b＝a+c， ∴ax2+（a+c）x+c＝0， ∴（x+1）（ax+c）＝0， ∴x＝﹣1为“有爱方程”的根． （3）解：∵3x2﹣ax+b＝0是关于x的“有爱方程”， ∴﹣a＝3+b， ∴3x2﹣ax﹣（a+3）＝0， ∵a是该“有爱方程”的一个根， ∴3a2﹣a2﹣（a+3）＝0， ∴（a+1）（2a﹣3）＝0， ∴a＝﹣1或． 二．解一元二次方程-配方法（共1小题） 3．用配方法解方程x2﹣6x﹣4＝0，下列配方正确的是（　　） A．（x﹣3）2＝13 B．（x+3）2＝13 C．（x﹣6）2＝4 D．（x﹣3）2＝5 【答案】A 【解答】解：方程x2﹣6x﹣4＝0变形得：x2﹣6x＝4， 配方得：x2﹣6x+9＝13，即（x﹣3）2＝13， 故选：A． 三．根的判别式（共1小题） 4．已知等腰△ABC的底边长为3，两腰长恰好是关于x的一元二次方程kx2﹣（k+3）x+6＝0的两根，则△ABC的周长为（　　） A．6.5 B．7 C．6.5或7 D．8 【答案】B 【解答】解：∵两腰长恰好是关于x的一元二次方程kx2﹣（k+3）x+6＝0的两根， ∴Δ＝[﹣（k+3）]2﹣4k×6＝0， 解得k＝3， ∴一元二次方程为x2﹣6x+6＝0， ∴两腰之和为4， ∴△ABC的周长为4+3＝7， 故选：B． 四．二次函数的定义（共1小题） 5．二次函数y＝x2﹣2x+3的一次项系数是 　﹣2　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：二次函数y＝x2﹣2x+3的一次项系数是﹣2， 故答案为：﹣2． 五．二次函数的图象（共1小题） 6．函数y＝kx+k和函数y＝﹣kx2+4x+4（k是常数，且k≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：①当k＞0时： 函数y＝kx+k的图象过一、二、三象限，函数y＝﹣kx2+4x+4的图象开口向下； ∴B不正确，不符合题意． ②当k＜0时： 函数y＝kx+k的图象过二、三、四象限，函数y＝﹣kx2+4x+4的图象开口向上； ∴C不正确，不符合题意． ∵函数y＝﹣kx2+4x+4的对称轴为直线x0， ∴A正确，符合题意；D不正确，不符合题意． 故选：A． 六．二次函数的性质（共10小题） 7．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），当y≥t时，x≤﹣m﹣2或x≥﹣m+4．若A（﹣m﹣3，p），B（2m，q）是抛物线y＝ax2+bx+c上的两点，且p＞q，则m的取值范围为（　　） A． B．m＜﹣1或 C． D．或m＞1 【答案】A 【解答】解：由题意，∵当y≥t时，x≤﹣m﹣2或x≥﹣m+4， ∴抛物线开口向上，且对称轴是直线xm+1． ∴当抛物线上的点离对称轴越近函数值就越小． ∵﹣m﹣3＜﹣m+1， 又A（﹣m﹣3，p），B（2m，q）是抛物线y＝ax2+bx+c上的两点，且p＞q， ∴﹣m+1﹣（﹣m﹣3）＞|﹣m+1﹣2m|． ∴|3m﹣1|＜4． ∴﹣4＜3m﹣1＜4． ∴﹣1＜m． 故选：A． 8．已知二次函数y＝ax2+bx+c，当y＞n时，x的取值范围是m﹣3＜x＜1﹣m，且该二次函数的图象经过点P（3，t2+5），Q（d，4t）两点，则d的值可能是（　　） A．0 B．﹣1 C．﹣4 D．﹣6 【答案】D 【解答】解：如图，根据题意可知，该二次函数开口向下． 对称轴为x1， ∵t2+5﹣4t＝（t﹣2）2+1＞0， ∴与点Q相比，点P更靠近对称轴， 即3﹣（﹣1）＜|d﹣（﹣1）|，整理得|d+1|＞4． ∴当d+1≥0时，有d+1＞4， 解得d＞3； 当d+1＜0时，有﹣（d+1）＞4， 解得d＜﹣5． 综上，d＞3或d＜﹣5． 故选：D． 9．已知二次函数y＝x2﹣2mx+3（m＞0），若点A（t，a），点B（t+2，a），点C（4，b）都在二次函数图象上，且a＜b＜3，则t的取值范围为（　　） A．t＜2 B．2＜t＜4或t＞6 C．1＜t＜2 D．1＜t＜2或t＞4 【答案】D 【解答】解：由题意，∵A（t，a），B（t+2，a）两点纵坐标相等， ∴抛物线的对称轴是直线xt+1m． ∴m＝t+1＞0，即t＞﹣1． ∵抛物线开口向上，a＜b＜3，且当x＝0时，y＝3， ∴点B、C到抛物线对称轴距离比点（0，3）近． ∴|t﹣（t+1）|＜|4﹣（t+1）|＜|0﹣（t+1）|． ∴1＜|t﹣3|＜|t+1|． ①当t＜﹣1时，此时1＜3﹣t＜﹣1﹣t， ∴无解． ②当﹣1≤t＜3时，此时1＜3﹣t＜t+1， ∴1＜t＜2． ③当t≥3时，1＜t﹣3＜t+1， ∴t＞4． 综上，1＜t＜2或t＞4． 故选：D． 10．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线x＝﹣1，设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2 【答案】C 【解答】解：由题意，∵y＝ax2+bx+c，且a＞0，对称轴是直线x＝﹣1， ∴抛物线的开口向上，当x＝﹣1时，函数有最小值． ∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越小． 又∵﹣1﹣（﹣2）＜1﹣（﹣1）＜2﹣（﹣1）， ∴y3＞y2＞y1． 故选：C． 11．已知二次函数y＝a（x﹣2）2﹣a（a≠0），当﹣1≤x≤4时，y的最小值为﹣2，则a的值为（　　） A．1/2或4 B．2或 C．或2 D． 【答案】B 【解答】解：由题意得，y＝a（x﹣2）2﹣a的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，﹣a）， ①当a＞0时，在﹣1≤x≤4， ∵y的最小值为﹣2， ∴﹣a＝﹣2， ∴a＝2； ②当a＜0时，在﹣1≤x≤4， ∴当x＝﹣1时函数有最小值， ∴a（﹣1﹣2）2﹣a＝﹣2， 解得a； 综上所述：a的值为2或． 故选：B． 12．二次函数y＝﹣x2+bx+c，若y≥2时，x的取值范围为n﹣3≤x≤n+1（n为常数），则当n﹣4≤x≤n时，y的取值范围为（　　） A．﹣3≤y≤5 B．﹣3≤y≤6 C．0≤y≤5 D．0≤y＜6 【答案】B 【解答】解：由题意，∵y≥2时，x的取值范围为n﹣3≤x≤n+1，且抛物线开口向下， ∴对称轴是直线xn﹣1． ∴b＝2（n﹣1）． ∴抛物线为y＝﹣x2+2（n﹣1）x+c． 又当x＝n+1时，y＝﹣（n+1）2+2（n﹣1）（n+1）+c＝2， ∴c＝﹣n2+2n+5． ∴二次函数为y＝﹣x2+2（n﹣1）x﹣n2+2n+5． ∵抛物线开口向下， ∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越大． ∵n﹣1﹣（n﹣4）＝3＞n﹣（n﹣1）＝1，n﹣4＜n﹣1＜n， 又n﹣4≤x≤n， ∴当x＝n﹣1时，y取最大值为y＝﹣（n﹣1）2+2（n﹣1）2﹣n2+2n+5＝6； 当x＝n﹣4时，y取最小值为y＝﹣（n﹣4）2+2（n﹣4）（n﹣1）﹣n2+2n+5＝﹣3． ∴当n﹣4≤x≤n时，﹣3≤y≤6． 故选：B． 13．二次函数y＝2（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标是　（1，3）　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵y＝2（x﹣1）2+3， ∴二次函数y＝2（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标是 （1，3）． 故答案为：（1，3）． 14．已知函数y＝|x2+2x﹣a+3|，当﹣2≤x≤1时，y有最大值5，则a的值为 　1或7　 ． 【答案】1或7． 【解答】解：由题意，y＝x2+2x﹣a+3的对称轴是直线x1， ∴当x＝﹣1时，y＝|2﹣a|． 又当x＝﹣2时，y＝|3﹣a|，当x＝1时，y＝|6﹣a|， ∴①当最大值为|2﹣a|＝5， ∴a＝7或a＝﹣3（不合题意）； ②当最大值为|3﹣a|＝5， ∴a＝8或a＝﹣2，均不合题意； ③当最大值为|6﹣a|＝5， ∴a＝11（不合题意）或a＝1． 综上，a＝1或7． 故答案为：1或7． 15．已知抛物线y＝x2﹣2x+3，当0≤x≤3时，则y的取值范围 　2≤y≤6　 ． 【答案】2≤y≤6． 【解答】解：由题意，∵抛物线为y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2， ∴当x＝1时，y取最小值为2． 又∵当x＝0时，y＝3；当x＝3时，y＝6， ∴当0≤x≤3时，2≤y≤6． 故答案为：2≤y≤6． 16．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（2，c）． （1）求该抛物线的对称轴； （2）若点（n，y1）和点（n﹣2，y2）均在该抛物线上，当n＜2时，请你比较y1，y2的大小关系； （3）若c＝1，且当﹣1≤x≤2时，y有最小值为，求a的值． 【答案】（1）x＝1； （2）当a＞0时，y1＞y2； 当a＜0时，y1＜y2； （3）a的值为或． 【解答】解：（1）由题意，∵当x＝0时，y＝c， 又过A（2，c）， ∴抛物线的对称轴是直线x1． （2）由题意，对称轴是直线x＝1， ∵当a＞0时，抛物线上的点离对称轴越近函数值越小． ∴y1＜y2； ∵当a＜0时，抛物线上的点离对称轴越近函数值越大． ∴y1＞y2； （3）当a＞0时，由题意得：当x＝1时，y值最小， ∴a+b+1且1， 解得：a，b； 当a＜0时，由题意得：当x＝﹣1时，y值最小， ∴a﹣b+1且1， 解得：a，b， 综上所述：a的值为或． 七．二次函数图象与系数的关系（共6小题） 17．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）交x轴于点A（﹣1，0）和x轴正半轴于点B，且BO＝3AO，交y轴正半轴于点C．有下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③x＝1时y有最大值﹣4a；④3a+c＝0．其中，正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解答】解：①∵抛物线开口向下， ∴a＜0； ∵对称轴在y轴的右侧， ∴x0， ∴b＞0， 又∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴c＞0， ∴abc＜0，所以①错误； ②∵A（﹣1，0）， ∴OA＝1， ∵OB＝3OA， ∴OB＝3， ∴B（3，0）， ∴对称轴为：直线x1， 即1， ∴2a+b＝0， 所以②正确； ③∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）交x轴于点A（﹣1，0）和点B（3，0）， ∴y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x﹣1）2﹣4a， ∵a＜0， ∴x＝1时，y有最大值﹣4a， 所以③正确； ④当x＝﹣1时，a﹣b+c＝0， 由②知：b＝﹣2a， ∴a+2a+c＝0， ∴3a+c＝0， 所以④正确． 正确结论有②③④，共有3个． 故选：C． 18．已知二次函数y＝mx2，当x≤0时，y随x增大而减小，则实数m的取值范围是（　　） A．m＜0 B．m≤0 C．m＞0 D．m≥0 【答案】C 【解答】解：当x≤0时，y随x的增大而减小， ∴抛物线开口向上， ∴m＞0． 故选：C． 19．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，且OA＝kOC，有下列结论：；③k2ac﹣kb+1＝0；④，其中正确结论的序号是（　　） A．①④ B．①③④ C．①③ D．②③④ 【答案】B 【解答】解：由题意，∵抛物线开口向下， ∴a＜0． ∵当x＝0时，y＝c＞0， ∴OC＝c． ∴OA＝kOC＝kc． ∴A（﹣kc，0）． ∵对称轴是直线x0，且a＜0， ∴b＞0． ∴abc＜0，故①正确． ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴Δ＝b2﹣4ac＞0． 又∵a＜0， ∴0，故②错误． ∵A（﹣kc，0）在抛物线y＝ax2+bx+c的图象上， ∴ak2c2﹣kbc+c＝0． 又c≠0， ∴k2ac﹣kb+1＝0，故③正确． 由题意，令y＝ax2+bx+c＝0， ∴抛物线与x轴的两交点横坐标x1，x2满足，x1•x2． 又∵OA•OB＝﹣x1，x2， ∴OA•OB，故④正确． 综上，正确的是①③④． 故选：B． 20．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．下列结论：①abc＞0；②b+4a＝0；③b+c＞0；④若图象上有两点（x1，y1），（x2，y2）且0＜x1＜4＜x2，则y1＜y2．其中正确结论的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：由题意，∵抛物线开口向下， ∴a＜0． 又抛物线为x2． ∴b＝﹣4a＞0． ∵抛物线与y轴交于负半轴， ∴c＜0． ∴abc＞0，故①正确． 又b＝﹣4a， ∴b+4a＝0，故②正确． 由题意，当x＝1时，y＝a+b+c＞0． 又a＜0， ∴b+c＞﹣a＞0，故③正确． ∵抛物线的对称轴是直线x＝2， ∴当x＝0时与当x＝4时函数值相等． ∴当0＜x1＜4＜x2，则y1＞y2，故④错误． 综上，正确的有：①②③． 故选：C． 21．抛物线y＝ax2﹣4ax﹣3（其中a＞0，a为常数），若当4≤x＜5时，对应的函数值y恰好有3个整数值，则a的取值范围是 　　 ． 【答案】． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣4ax﹣3（其中a＞0，a为常数）， ∴对称轴为直线x2， ∴当4≤x＜5时，y随x的增大而增大， ∴当x＝4时，y＝﹣3， x＝5时，y＝5a﹣3， ∵当4≤x＜5时，对应的函数值y恰好有3个整数值， ∴它的三个整数分别是﹣3，﹣2，﹣1， ∴﹣1≤5a﹣3≤0， ∴； 故答案为：． 22．已知二次函数y＝x2+bx﹣3（b为常数）． （1）该函数图象与x轴交于A、B两点，若点A坐标为（3，0）， ①b的值是 　﹣2　 ，点B的坐标是 　（﹣1，0）　 ； ②当0＜y＜5时，借助图象，求自变量x的取值范围； （2）对于一切实数x，若函数值y＞t总成立，求t的取值范围（用含b的式子表示）； （3）当m＜y＜n时（其中m、n为实数，m＜n），自变量x的取值范围是1＜x＜2，求n与b的值及m的取值范围． 【答案】（1）①﹣2；（﹣1，0）；②﹣2＜x＜﹣1或3＜x＜4； （2）t； （3）m． 【解答】解：（1）①由二次函数y＝x2+bx﹣3过点A（3，0）， ∴9+3b﹣3＝0， ∴b＝﹣2， ∴二次函数为：y＝x2﹣2x﹣3， 令y＝0， ∴x2﹣2x﹣3＝0， ∴解得，x＝﹣1或x＝3， ∴B（﹣1，0）； 故答案为：﹣2；（﹣1，0）； ②由题意，令y＝x2﹣2x﹣3＝5， ∴x＝4或x＝﹣2． 又∵a＝1＞0， ∴二次函数图象开口向上． ∴当0＜y＜5时，满足题意的自变量有两部分， ∴﹣2＜x＜﹣1或3＜x＜4． （2）由题意，∵对于一切实数x，若函数值y＞t总成立， 即x2+bx﹣3＞t恒成立． 即x2+bx﹣3﹣t＞0． ∵y＝x2+bx﹣3﹣t开口向上， ∴Δ＝b2﹣4（﹣3﹣t）＜0， ∴t． （3）由抛物线的对称性可知，抛物线与直线y＝n有两个交点， 若抛物线与直线y＝m也有两个交点，则x的解集有两部分， ∴抛物线与直线y＝m只有一个交点或没有， ∴直线y＝n与抛物线的交点为（1，n），（2，n），m小于等于抛物线的最小值， ∴对称轴x， ∴b＝﹣3． ∴二次函数为y＝x2﹣3x﹣3＝（x）2， ∴当x＝1或x＝2时，y＝﹣5，即此时n＝﹣5， 由题意，∵m＜y＜﹣5时，自变量x的取值范围是1＜x＜2， ∴m． 八．二次函数图象上点的坐标特征（共1小题） 23．抛物线y＝﹣2（x﹣1）2的图象上有三个点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3），则y1，y2，y3的大小关系是 y2＞y3＞yI ． 【答案】y2＞y3＞y1． 【解答】解：∵y＝﹣2（x﹣1）2，﹣2＜0 ∴当x＜1时，y随x的增大而增大，当x＞1时，y随x的增大而减小， ∵抛物线y＝﹣2（x﹣1）2的图象上有三个点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3）， |﹣1﹣1|＝2，|1﹣1|＝0，|2﹣1|＝1， ∴y2＞y3＞y1， 故答案为：y2＞y3＞y1． 九．二次函数图象与几何变换（共2小题） 24．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣4先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（　　） A．y＝（x+2）2+2 B．y＝（x﹣2）2﹣2 C．y＝（x﹣2）2+2 D．y＝（x+2）2﹣2 【答案】B 【解答】解：将抛物线y＝x2﹣4先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是y＝（x﹣2）2﹣4+2，即y＝（x﹣2）2﹣2． 故答案为：y＝（x﹣2）2﹣2． 故选：B． 25．将抛物线y＝x2﹣2x﹣3位于y轴左侧的部分沿x轴翻折，其余部分不变，翻折得到的图象和原来不变的部分构成一个新图象，若直线y＝m与新图象有且只有2个公共点，则t的取值范围是（　　） A．﹣3＜m≤3 B．﹣3≤m＜3或m＝﹣4 C．﹣3＜m＜3或m＝﹣4 D．﹣3＜m≤3或m＝4 【答案】C 【解答】解：由题意，抛物线为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴抛物线y＝x2﹣2x﹣3位于y轴左侧的部分沿x轴翻折后的图象如下． 又直线y＝m与新图象有且只有2个公共点，如图， ∴﹣3＜m＜3或m＝﹣4． 故选：C． 十．待定系数法求二次函数解析式（共2小题） 26．已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（﹣2，5），对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）若点B（1，7）向上平移2个单位长度，向左平移m（m＞0）个单位长度后，恰好落在y＝x2+bx+c的图象上，求m的值； （3）当﹣2≤x≤n时，二次函数y＝x2+bx+c的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 【答案】（1）y＝x2+x+3； （2）m＝4； （3）n≤1． 【解答】解：（1）由题意，∵二次函数为y＝x2+bx+c， ∴抛物线的对称轴为直线x． ∴b＝1． ∴抛物线为y＝x2+x+c． 又图象经过点A（﹣2，5）， ∴4﹣2+c＝5． ∴c＝3． ∴抛物线为y＝x2+x+3． （2）由题意，∵点B（1，7）向上平移2个单位长度，向左平移m个单位长度（m＞0）， ∴平移后的点为（1﹣m，9）． 又（1﹣m，9）在y＝x2+x+3， ∴9＝（1﹣m）2+（1﹣m）+3． ∴m＝4或m＝﹣1（舍去）． ∴m＝4． （3）由题意，当 时， ∴最大值与最小值的差为． ∴，不符合题意，舍去． 当n≤1 时， ∴最大值与最小值的差为，符合题意． 当n＞1时，最大值与最小值的差为 ，解得 n1＝1 或 n2＝﹣2，不符合题意． 综上所述，n的取值范围为n≤1． 27．已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1，0），（0，3）． （1）求这个二次函数的表达式． （2）当﹣2≤x≤t时，函数的最大值为m，最小值为n，若m﹣n＝9，求t的取值范围． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1，0），（0，3）， ∴a+2a+c＝0，且c＝3． ∴a＝﹣1． ∴所求二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x+3． （2）由题意，∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴当x＝1时，y取最大值为4． ①当t≤1时， 又﹣2≤x≤t， ∴当x＝t时，y取最大值为﹣t2+2t+3＝m； 当x＝﹣2时，y取最小值为﹣4﹣4+3＝n． 又m﹣n＝9， ∴﹣t2+2t+3﹣（﹣5）＝9． ∴t2﹣2t+1＝0． ∴t＝1． ②当t＞1时， 若t﹣1≤1﹣（﹣2），即t≤4， ∴1＜t≤4． ∴当x＝1时，y取最大值为﹣12+2+3＝4＝m； 当x＝﹣2时，y取最小值为﹣4﹣4+3＝﹣5＝n，此时m﹣n＝9，符合题意． 若t﹣1＞1﹣（﹣2），即t＞4， ∴当x＝1时，y取最大值为﹣12+2+3＝4＝m； 当x＝t时，y取最小值为﹣t2+2t+3＝n． 又m﹣n＝9， ∴n＝﹣5． ∴﹣t2+2t+3＝﹣5． ∴t＝﹣2或t＝4，不合题意． 综上，1≤t≤4． 十一．抛物线与x轴的交点（共6小题） 28．如图一段抛物线y＝x2﹣3x（0≤x≤3），记为C1，它与x轴于点O和A1：将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕旋转180°得到C3，交x轴于A3，如此进行下去，若点P（2020，m）在某段抛物线上，则m的值为（　　） A．0 B． C．2 D．﹣2 【答案】C 【解答】解：当y＝0时，x2﹣3x＝0， 解得：x1＝0，x2＝3， ∴点A1的坐标为（3，0）． 由旋转的性质，可知：点A2的坐标为（6，0）． ∵2020＝336×6+4， ∴当x＝4时，y＝m． 由图象可知：当x＝2时的y值与当x＝4时的y值互为相反数， ∴m＝﹣（2×2﹣3×2）＝2． 故选：C． 29．已知点A（m，k），B（n，k+1）（m＞0＞n）是二次函数y＝x2+1函数图象上的两个点，若关于x的一元二次方程mx2+nx+k＝0有两根x1，x2，则（　　） A．0＜x1+x2＜1，x1•x2＞0 B．x1+x2＜0，x1•x2＞0 C．x1+x2＞1，x1•x2＞0 D．x1+x2＝0，x1•x2＜0 【答案】C 【解答】解：∵点A（m，k），B（n，k+1）是二次函数y＝x2+1函数图象上的两个点， 又m＞0＞n， ∴点A（m，k）在其第一象限的图象上，点B（n，k+1）在其第二象限的图象上． ∴n＜0，k+1＝n2+1，m＞0，k＞0，k＝m2+1， ∴n2＝m2+1． ∴（）2＝11 ∵m、n异号，0， 设x＝＜0，即x2＞1， 即x2﹣1＞0，则x＜﹣1， 故1， ∵m＞0，k＞0， ∴0． 由mx2+nx+k＝0得，x1+x21，x1x20． 故选：C． 30．如图，抛物线y＝a（x+2）（x﹣5）（其中0≤x≤5）与y轴交于点A，将这段抛物线向左平移，使其经过点A，交x轴于点B，则点B的坐标为（　　） A．（1，0） B．（2，0） C．（3，0） D．（4，0） 【答案】B 【解答】解：过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，设未平移前，抛物线与x的正半轴交D，如图： 由题意，把x＝0代入y＝a（x+2）（x﹣5）， ∴y＝a×（0+2）×（0﹣5）＝﹣10a． ∴A（0，﹣10a）． ∵抛物线y＝a（x+2）（x﹣5）（其中0≤x≤5）与y轴交于点A，将这段抛物线向左平移，使其经过点A，交x轴于点B， ∴AC＝BD，D（5，0），OD＝5， 令y＝﹣10a， ∴﹣10a＝a（x+2）（x﹣5）， ∴x（x﹣3）＝0， ∴x1＝0，x2＝3， ∴AC＝3﹣0＝3， ∴BD＝3，OB＝5﹣3＝2， ∴B为（2，0）． 故选：B． 31．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，关于x的方程ax2+bx+c＝0的一个根为x＝4，则另一个根为 x＝﹣2　 ． 【答案】x＝﹣2． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1， ∴1，即b＝﹣2a， 根据根与系数的关系得4+x2， 解得x＝﹣2， 即方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的另一个根为x＝﹣2． 故答案为：x＝﹣2． 32．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的一个交点坐标是（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，则这个二次函数图象与x轴另一个交点的坐标是 　（1，0）　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由题意，∵对称轴为直线x＝﹣1， 又抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0）， ∴另一交点的横坐标为：﹣1+（﹣1+3）＝1． ∴抛物线与x轴的另一交点的坐标是（1，0）． 故答案为：（1，0）． 33．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c的顶点坐标为（2，5），若关于x的方程﹣x2+bx+c﹣k＝0在﹣1≤x≤4范围内有两个不同的实数根，则实数k的取值范围是 　1≤k＜5　 ． 【答案】1≤k＜5． 【解答】解：由题意，∵抛物线为y＝﹣x2+bx+c， ∴关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c﹣k＝0的根可以看作是二次函数y＝﹣x2+bx+c与直线y＝k交点的横坐标的值． 又关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c﹣k＝0（为实数）在﹣1≤x≤4范围内有两个不同的实数根， ∴二次函数y＝﹣x2+bx+c与直线y＝k在﹣1≤x≤4时有两个不同的交点． ∵抛物线顶点为（2，5）， ∴对称轴直线x2． ∴b＝4． ∴抛物线为y＝﹣x2+4x+c． ∴5＝﹣4+8+c． ∴c＝1． ∴抛物线为y＝﹣x2+4x+1． ∵﹣1≤x≤4， ∴当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝4时，y＝1． 此时对应图象如下， ∵在﹣1≤x≤4范围内有两个不同的实数根， ∴1≤k＜5． 故答案为：1≤k＜5． 十二．二次函数的应用（共11小题） 34．如图，运动员小铭推铅球，铅球行进高度y（米）与水平距离x（米）间的关系为，则运动员小铭将铅球推出的距离为 　11　 米． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：当y＝0时，0， 解得：x1＝11，x2＝﹣1（不合题意，舍去）， ∴推铅球的距离是11米． 故答案为：11． 35．如图是某抛物线型的拱桥示意图，已知该抛物线的函数表达式为yx2+10，为了给行人提供生命保障，在该拱桥上距水面AB高为8米的点E、F处悬挂了两个救生圈，则这两个救生圈间的水平距离EF为 　10　 米． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由题意，由“在该抛物线上距水面AB高为8米的点”， 可知y＝8， 把y＝8代入yx2+10，得： 8x2+10， ∴x＝±5． ∴由两点间距离公式可求出EF＝10（米）． 故答案为：10． 36．飞机着陆后滑行的距离s（米）与滑行时间t（秒）的关系满足．当滑行时间为10秒时，滑行距离为450米，则飞机从着陆到停止，滑行的时间是 　20　 秒． 【答案】20． 【解答】解：由题意，∵， 又t＝10s，s＝450m， ∴450102+10b． ∴b＝60． ∴函数关系式为st2+60t． 又st2+60t（t2﹣40t+400）+600（t﹣20）2+600， ∴当t＝20时，飞机着陆后滑行600米停下． 故答案为：20． 37．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．求： （1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设每件衬衫降价x元，商场平均每天盈利y元， 则y＝（40﹣x）（20+2x）＝800+80x﹣20x﹣2x2＝﹣2x2+60x+800， 当y＝1200时，1200＝（40﹣x）（20+2x）， 解得 x1＝10，x2＝20， 经检验，x1＝10，x2＝20都是原方程的解，但要尽快减少库存， 所以x＝20， 答：每件衬衫应降价20元； （2）∵y＝﹣2x2+60x+800＝﹣2（x﹣15）2+1250， ∴当x＝15时，y的最大值为1250， 答：当每件衬衫降价15元时，专卖店每天获得的利润最大，最大利润是1250元． 38．如图①，一个可调节高度的喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．图②是喷射出的水流在平面直角坐标系中的示意图，其中喷灌架置于点O处，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）设置的是1米，当喷射出的水流距离喷水头水平距离为8米时，达到最大高度5米． （1）求水流运行轨迹的函数解析式； （2）若在距喷灌架12米处有一棵3.5米高的果树，问：水流是否会碰到这棵果树？请通过计算说明． 【答案】（1）抛物线为：y（x﹣8）2+5． （2）不能，理由见解答部分． 【解答】解：（1）由题可知：抛物线的顶点为（8，5）， 设水流形成的抛物线为y＝a（x﹣8）2+5， 将点（0，1）代入可得a， ∴抛物线为：y（x﹣8）2+5． （2）不能，理由如下： 当x＝12时，y（12﹣8）2+5＝4＞3.5， ∴水流不能碰到这棵果树． 39．根据以下素材，探索完成任务． 素材1 一圆形喷泉池的中央安装了一个喷水装置OA，通过调节喷水装置OA的高度，从而实现喷出水柱竖直方向的升降，但不改变水柱的形状．为了美观在半径为2.1米的喷泉池四周种植了一圈宽度均相等的花卉（图1中的阴影部分）． 素材2 从喷泉口A喷出的水柱成抛物线形，如图2是该喷泉喷水时的一个截面示意图，已知喷水口A离地面高度为0.72米，喷出的水柱在离喷水口水平距离为0.3米处离地面最高，高度为0.75米． 问题解决 任务1 建立模型 以点O为原点，OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系，根据素材2求抛物线的函数表达式． 任务2 利用模型 为了提高对水资源的利用率，在欣赏喷泉之余也能喷灌四周的花卉，确定喷水口A升高的最小值． 任务3 分析计算 喷泉口A升高的最大值为米，为能充分喷灌四周花卉，请对花卉的种植宽度提出合理的建议． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：任务1：由题意得，A（0，0.72），顶点为（0.3，0.75）． ∴可设抛物线的函数表达式为y＝a（x﹣0.3）2+0.75． 又抛物线过A（0，0.72）， ∴0.72＝0.09a+0.75． ∴a． ∴抛物线的函数表达式为y（x）2． 任务2：由题意，∵喷泉池的半径为2.1米， ∴令x＝2.1，则y（2.1）20.33． ∴喷水口升高的最小值为|﹣0.33|＝0.33（米）． 任务3：当y（x）2向上平移个单位， ∴y（x）2． 令y＝0，即0（x）2． ∴当x＝2.3或x＝﹣1.7（舍去）． ∴2.3﹣2.1＝0.2（米）． ∴建议花卉的种植宽度为0.2米． 40．如图，某农户计划用篱笆围成一个矩形场地养殖家禽，为充分利用现有资源，该矩形场地一面靠墙（墙的长度为18m），另外三面用篱笆围成，中间再用篱笆把它分成三个面积相等的矩形分别养殖不同的家禽，计划购买篱笆的总长度为32m，设矩形场地的长为xm，宽为ym，面积为sm2． （1）分别求出y与x，s与x的函数解析式； （2）当x为何值时，矩形场地的总面积最大？最大面积为多少？ （3）若购买的篱笆总长增加8m，矩形场地的最大总面积能否达到100m2？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由． 【答案】（1）；（2）当x＝16时，矩形场地的总面积最大，最大面积为64；（3）矩形场地的最大总面积不能达到100m2，理由见解析． 【解答】解：（1）由题意得，x+4y＝32， ∴． ∴，即． （2）由题意，∵， ∴S有最大值．当 时，． 答：当x＝16 时，矩形场地的总面积最大，最大面积为64． （3）由题意得，x+4y＝32+8， ∴． ∴． ∴x1＝x2＝20． ∵18＜20， ∴矩形场地的最大总面积不能达到100m2． 41．某文具店出售一种新上市的文具，每套进价为20元，在销售过程中发现，当销售单价为25元时，日销售量为250套，销售单价每上涨1元，日销售量就减少10套． （1）设日销售量为y套，销售单价为x元，则y＝ 　500﹣10x ．（用含x的代数式表示） （2）设销售该文具的日利润为w元，求销售单价为多少元时，当日的利润最大，最大利润是多少？ （3）临近儿童节，文具店准备搞促销活动，顾客每购买一套文具，就送一袋价值m元的小零食（m＞0），要使该文具销售单价不低于30元，日销售量不少于160套时，日销售最大利润是2112元，求m的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由题意，∵销售单价每上涨1元，日销售量就减少10套， ∴日销售量为y＝250﹣10（x﹣25）＝500﹣10x，即y＝500﹣10x． 故答案为：500﹣10x． （2）由题意，∵日销售量为y＝500﹣10x， ∴销售该文具的日利润为w＝（x﹣20）（500﹣10x）＝﹣10x2+700x﹣10000＝﹣10（x﹣35）2+2250． ∵﹣10＜0， ∴当x＝35时，w取最大值，最大值为2250． 答：销售单价为35元时，当日的利润最大，最大利润是2250元． （3）由题意，∵该文具销售单价不低于30元，日销售量不少于160套， ∴． ∴30≤x≤34． 又此时日销量利润w＝（500﹣10x）（x﹣20﹣m） ＝﹣10x2+（10m+700）x﹣10000﹣500m， ∴对称轴为直线xm+35＞35． ∵﹣10＜0， ∴当x≤35时，w随x的增大而增大， ∴当x＝34时，w有最大值， ∴（500﹣10×34）（34﹣20﹣m）＝2112， ∴m＝0.8． 42．某食品经销商购进一种食品若干千克，成本价为每千克30元，物价部门规定其销售单价不得低于成本价，且不得高于成本价的2倍．经市场调研发现，日销售量y（千克）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图所示． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若该经销商要想每天获得600元的销售利润，销售单价应定为多少元？ （3）在销售过程中，当销售单价为多少元时，该经销商每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）y＝﹣2x+140；（2）销售单价为40元或60元；（3）销售单价为50元时，利润最大，最大利润为800元． 【解答】解：（1）由题意，设y＝kx+b， 又∵图象过（30，80），（50，40）， ∴． ∴． ∴y＝﹣2x+140． （2）由题意，设利润为w，则w＝（x﹣30）（﹣2x+140）＝﹣2x2+200x﹣4200， ∴当w＝600时，﹣2x2+200x﹣4200＝600． ∴x1＝40，x2＝60． ∴在30⩽x⩽60范围内，销售单价为40元或60元． （3）由（2）得w＝﹣2x2+200x﹣4200， ∴当时，利润最大，最大利润为：w＝2×502+200×50﹣4200＝800（元）． ∴销售单价为50元时，利润最大，最大利润为800元． 43．某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1：2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图），养殖场的总面积为ym2． （1）求y关于x的函数关系式和自变量x的取值范围； （2）当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？ 【答案】（1）y＝﹣3x2+24x；0＜x； （2）当x为时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为． 【解答】解：（1）由题意，∵较小矩形的宽为xm，中间再用栅栏把它分成两个面积为1：2的矩形， ∴较大矩形的宽为2x m． ∴矩形养殖场的长为3xm，矩形养殖场的宽为（24﹣3x） m＝（8﹣x） m． ∴养殖场的总面积为y＝3x（8﹣x）＝﹣3x2+24x． ∵墙的长度为10， ∴0＜3x≤10， ∴0＜x． ∴y关于x的函数关系式为y＝﹣3x2+24x（0＜x）． （2）由题意，∵y＝﹣3x2+24x＝﹣3（x﹣4）2+48， ∴当x＜4时，y随x的增大而增大． 又∵0＜x， ∴当x时，y取最大值，最大值为：﹣3（4）2+48． 答：当x为时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为． 44．某童装店销售某款童装，每件售价为60元，每星期可卖100件，为了促销，该店决定降价销售，经市场调查反应：每降价2元，每星期可多卖20件．已知该款童装每件成本为40元．设该款童装每件售价为x元，销售量为y件． （1）每星期的销售量y＝　﹣10x+700　 （用含x的代数式表示y并化简）； （2）当每件童装售价定为多少元时，该店一星期可获得2210元的利润？ （3）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）﹣10x+700； （2）当每件童装售价定为53元或57元时，该店一星期可获得2210元的利润． （3）每件售价定为55元时，每星期的销售利润最大，最大利润为2250元． 【解答】解：（1）y＝100•20＝﹣10x+700； 故答案为：＝10x+700； （2）设每星期利润为W元， W＝（x﹣40）（﹣10x+700），由题意，得（x﹣40）（﹣10x+700）＝2210， 解得x＝53或57， ∴当每件童装售价定为53元或57元时，该店一星期可获得2210元的利润． （3）W＝（x﹣40）（﹣10x+700）＝﹣10（x﹣55）2+2250， ∴x＝55时，W取得最大值为2250． ∴每件售价定为55元时，每星期的销售利润最大，最大利润为2250元． 十三．二次函数综合题（共1小题） 45．新定义：我们把抛物线y＝ax2+bx+c（其中ab≠0）与抛物线y＝bx2+ax+c称为“关联抛物线”．例如：抛物线y＝2x2+3x+1的“关联抛物线”为：y＝3x2+2x+1．已知抛物线C1：y＝4ax2+ax+4a﹣3（a≠0）的“关联抛物线”为C2． （1）写出C2的解析式（用含a的式子表示）及顶点坐标； （2）若a＞0，过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线C1，C2于点M，N． ①当MN＝6a时，求点P的坐标； ②当a﹣4≤x≤a﹣2时，C2的最大值与最小值的差为2a，求a的值． 【答案】（1）C2的解析式为：y＝ax2+4ax+4a﹣3，C2的顶点坐标为（﹣2，﹣3）； （2）①P（﹣1，0）或（2，0）． ②a的值为2或． 【解答】解：（1）根据“关联抛物线”的定义可得C2的解析式为：y＝ax2+4ax+4a﹣3， ∵y＝ax2+4ax+4a﹣3＝a（x+2）2﹣3， ∴C2的顶点坐标为（﹣2，﹣3）； （2）①设点P的横坐标为m， ∵过点P作x轴的垂线分别交抛物线C1，C2于点M，N， ∴M（m，4am2+am+4a﹣3），N（m，am2+4am+4a﹣3）， ∴MN＝|4am2+am+4a﹣3﹣（am2+4am+4a﹣3）|＝|3am2﹣3am|， ∵MN＝6a， ∴|3am2﹣3am|＝6a， 解得m＝﹣1或m＝2， ∴P（﹣1，0）或（2，0）． ②∵C2的解析式为：y＝a（x+2）2﹣3， ∴当x＝﹣2时，y＝﹣3， 当x＝a﹣4时，y＝a（a﹣4+2）2﹣3＝a（a﹣2）2﹣3， 当x＝a﹣2时，y＝a（a﹣2+2）2﹣3＝a3﹣3， 根据题意可知，需要分三种情况讨论， Ⅰ、当a﹣4≤﹣2≤a﹣2时，0＜a≤2， 且当0＜a≤1时，函数的最大值为a（a﹣2）2﹣3；函数的最小值为﹣3， ∴a（a﹣2）2﹣3﹣（﹣3）＝2a，解得a＝2或a＝2（舍）； 当1≤a≤2时，函数的最大值为a3﹣3；函数的最小值为﹣3， ∴a3﹣3﹣（﹣3）＝2a，解得a或a（舍）； Ⅱ、当﹣2≤a﹣4≤a﹣2时，a≥2， 函数的最大值为a3﹣3，函数的最小值为a（a﹣2）2﹣3； ∴a3﹣3﹣[a（a﹣2）2﹣3]＝2a， 解得a（舍）； Ⅲ、当a﹣4≤a﹣2≤﹣2时，a≤0，不符合题意，舍去； 综上，a的值为2或． 十四．垂径定理的应用（共1小题） 46．如图，圆柱形水管内积水的水平面宽AB＝8cm，水深CD＝2cm．则水管的半径是（　　） A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm 【答案】B 【解答】解：连接OA， ∵OD⊥AB， ∴ACAB＝4cm， 在Rt△OAC中，AO2＝OC2+AC2， ∴OA2＝（OD﹣2）2+42， 又∵OA＝OD， ∴OA＝5， ∴圆柱形排水管的半径为5cm， 故选：B． 十五．圆周角定理（共4小题） 47．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，若∠ABD＝54°，则∠BCD的度数是（　　） A．36° B．40° C．46° D．65° 【答案】A 【解答】解：连接AD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵∠ABD＝54°， ∴∠DAB＝90°﹣∠ABD＝36°， ∴∠DAB＝∠BCD＝36°， 故选：A． 48．如图，在半圆O中，直径AB＝8，C，D是半圆上两点，P是直径上一点，若∠AOC＝48°，∠AOD＝72°，则PC+PD的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：将半圆O补充成一个整圆，过点C作AB的垂线交AB⊙O于点C′，连接C′D交AB于点P，连接PC、OC，连接OD，延长DO交⊙O于点E，连接C′E． ∵AB为直径，AB⊥CC′， ∴AB是CC′的垂直两平分线， ∴PC′＝PC， ∴PC′+PD＝PC+PD＝C′D， ∴PC+PD最小值为C′D的长度， ∵∠AOC＝48°，∠AOD＝72°， ∴∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝72°﹣48°＝24°， ∴∠CC′D∠COD24°＝12°， ∴∠APC′＝90°﹣∠CC′D＝90°﹣12°＝78°， ∴∠DPO＝∠APC′＝78°， ∴∠PDO＝180°﹣∠DPO﹣∠AOD＝180°﹣78°﹣72°＝30°， ∵DE为直径， ∴∠DC′E＝90°，DE＝AB＝8， ∴C′D＝DE•cos∠PDO＝84， ∴PC+PD的最小值为4． 故选：B． 49．如图，在⊙O中，∠BAC＝50°．则∠BOC的度数为（　　） A．100° B．110° C．120° D．130° 【答案】A 【解答】解：∵∠BAC＝50°， ∴∠BOC＝2∠BAC＝100°， 故选：A． 50．如图，在平面直角坐标系中，已知点D（2，0），A（2﹣m，0），B（2+m，0），点C在以E（10，6）为圆心，2为半径的圆上运动，且始终满足∠ACB＝90°，则m的取值范围是 　8≤m≤12　 ． 【答案】8≤m≤12． 【解答】解：如图，连接CD，连接DE交⊙E于点G，延长DE交⊙E于点F． ∵D（2，0），A（2﹣m，0），B（2+m，0）， ∴AB＝2+m﹣（2﹣m）＝2m，点D是AB的中点， ∵∠ACB＝90°， ∴CDAB＝m． DE10， 当点C运动到点G时，CD的值最小，此时CD＝DG＝DE﹣GE＝10﹣2＝8； 当点C运动到点F时，CD的值最大，此时CD＝DF＝DE+EF＝10+2＝12， ∴8≤CD≤12， ∴8≤m≤12． 故答案为：8≤m≤12． 十六．圆内接四边形的性质（共1小题） 51．如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果它的一个外角∠DCE＝64°，那么∠BOD＝（　　） A．128° B．100° C．64° D．32° 【答案】A 【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠A＝∠DCE＝64°， ∴∠BOD＝2∠A＝128°． 故选：A． 十七．点与圆的位置关系（共1小题） 52．如图，AB是半圆O的直径，AB＝5cm，AC＝4cm．D是弧BC上的一个动点（含端点B，不含端点C），连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE，在点D移动的过程中，BE的取值范围是（　　） A．2＜BE B．2≤BE＜3 C．BE＜3 D．BE＜3 【答案】B 【解答】解：如图， 由题意知，∠AEC＝90°， ∴E在以AC为直径的⊙M的上（不含点C、可含点N）， ∴BE最短时，即为连接BM与⊙M的交点（图中E′点）， ∵AB是半圆O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴AB＝5，AC＝4， ∴BC＝3，CM＝2， 则BM， ∴BE长度的最小值BE′＝BM﹣ME′2， 当BE最长时，即E与C重合， ∵BC＝3，且点E与点C不重合， ∴BE＜3， 综上，2≤BE＜3， 故选：B． 十八．弧长的计算（共1小题） 53．点A，B，C在⊙O上的位置如图所示，∠A＝70°，⊙O的半径为3，则的长是（　　） A． B． C． D．7π 【答案】B 【解答】解：∵∠A＝70°， ∴∠BOC＝2∠A＝140°， ∴2π×3π． 故选：B． 十九．旋转的性质（共1小题） 54．如图，∠AOB＝120°，点P为∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：①PM＝PN；②OM+ON＝OP；③四边形PMON的面积保持不变；④△PMN的周长保持不变．其中说法正确的是 　①②③　 （填序号）． 【答案】①②③． 【解答】解：过点P作PE⊥OA，垂足为E，过点P作PF⊥OB，垂足为F， ∴∠PEO＝90°，∠PFO＝90°， ∵∠AOB＝120°， ∴∠EPF＝360°﹣∠AOB﹣∠PEO﹣∠PFO＝60°， ∵∠MPN+∠AOB＝180°， ∴∠MPN＝180°﹣∠AOB＝60°， ∴∠MPN﹣∠EPN＝∠EPF﹣∠EPN， ∴∠MPE＝∠NPF， ∵OP平分∠AOB，PE⊥OA，PF⊥OB， ∴PE＝PF， ∵∠MEP＝∠NFP＝90°， ∴△MEP≌△NFP（ASA）， ∴PM＝PN，ME＝NF， 故①正确； ∵OP＝OP， ∴Rt△PEO≌Rt△PFO（HL）， ∴OE＝OF， ∴OM+ON＝OE+ME+OF﹣NF＝2OE， ∵OP平分∠AOB， ∴∠EOP∠AOB＝60°， ∴∠EPO＝90°﹣∠EOP＝30°， ∴PO＝2OE， ∴OM+ON＝OP， 故②正确； ∵△MEP≌△NFP， ∴四边形PMON的面积＝四边形PEOF的面积， ∴四边形PMON的面积保持不变， 故③正确； ∵PM＝PN，∠MPN＝60°， ∴△PMN是等边三角形， ∵MN的长度是变化的， ∴△PMN的周长是变化的， 故④错误； 所以，说法正确的是：①②③， 故答案为：①②③． 二十．中心对称图形（共2小题） 55．中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：A．是轴对称图形，但不是中心对称图形，故A选项不合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不合题意； C．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C选项不合题意； D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项合题意； 故选：D． 56．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项符合题意； B、不是中心对称图形，故本选项不合题意； C、不是中心对称图形，故本选项不合题意； D、不是中心对称图形，故本选项不合题意． 故选：A． 二十一．关于原点对称的点的坐标（共1小题） 57．点M（1，﹣2）关于原点对称点的坐标是 　（﹣1，2）　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：点M（1，﹣2）关于原点对称点的坐标是（﹣1，2）． 故答案为：（﹣1，2）． 二十二．概率的意义（共1小题） 58．在一个不透明的袋子里有红球、黄球共15个，这些球除颜色外都相同，从袋子里随机摸出一个小球，摸到红球的概率是，则袋子中黄球的个数可能是（　　） A．6 B．9 C．10 D．12 【答案】A 【解答】解：由题意得：15×（1） ＝15 ＝6（个）， ∴袋子中黄球的个数可能是6个， 故选：A． 二十三．概率公式（共1小题） 59．一个不透明的口袋中装有8个黑球和若干个白球，每个球除颜色外都相同．摇匀后随机摸一球，已知摸到白球的概率是，估计袋中白球的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解答】解：设袋子中白球的个数为x个， 则， 解得x＝4， 经检验得x＝4是原方程的解， ∴估计袋中白球的个数是4个． 故选：D． 二十四．列表法与树状图法（共1小题） 60．甲、乙两名同学来杭州学习传统技艺，两人都计划在雕铜技艺、织锦技艺、茶艺制作技艺中分别选择一项，则甲和乙选择不同技艺的概率是 　　 ． 【答案】． 【解答】解：雕铜技艺、织锦技艺、茶艺制作技艺分别记作A、B、C， 画树状图得： ∵共有9种等可能的结果，其中甲、乙两人选择不同技艺的有6种结果， ∴甲、乙两人选择不同技艺的概率为． 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $