培优01 等差、等比数列中an与Sn的性质七大考法归类（专项训练）数学人教A版2019选择性必修第二册

培优01 等差、等比数列中an与Sn的性质七大考法归类 题型1 等差、等比数列的下标性质 等差数列中，（1）若，则；（2）若，则； 等比数列中，（1）若，则；（2）若，则； 1．已知等差数列满足，则（    ） A．－3 B．3 C．－12 D．12 2．已知数列为等比数列，为数列的前项积，且，，则（    ） A．8 B．2 C．1 D． 3．在等差数列中，，等比数列满足，则（    ） A． B． C． D．3 4．已知数列是等差数列，若，，则数列的公差 ． 5．已知整数数列是等比数列，，则的最小值为 ． 6．已知是等比数列，若分别是函数的两个零点，则 . 7．已知数列{an}是等比数列，数列{bn}是等差数列，若，，则的值是 ． 题型2 等差、等比数列的函数性质 8．已知数列的首项为，对于任意的都有，则“为单调递增的数列”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．设是所有项都不为0的无穷等差数列，则“为递减数列”是“为递增数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．若数列是存在负数项的无穷等比数列，则“数列有最小项”是“数列有最大项”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 11．设无穷等比数列的公比为，前项积为，则“有最大值”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 12．（多选）公差为的等差数列与公比为的等比数列首项相同且为正数，则（   ） A．若，则为递减数列 B．若，则为递减数列 C．若，则为递增数列 D．若，则为递增数列 13．（多选）已知数列是各项均为正数的等比数列，是公差大于0的等差数列，且，，则（    ） A． B． C． D． 14．已知正数数列满足，且对恒成立，则的范围为 . 题型3 等差、等比数列的片段和性质 （1）设等差数列（公差为d）的前n项和为，则构成公差为的等差数列； （2）设等比数列（公比为）的前n项和为，则构成公比为的等比数列 15．已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．10 D．11 16．已知等比数列的前n项和为，若，，则的值为（   ） A．81 B．145 C．256 D．273 17．记为等比数列的前项和，若，，则（    ） A．512 B．-512 C．1024 D． 18．已知为等差数列的前项和，若，则 ． 19．设等差数列的前项和为，若，则 . 20．已知等比数列的首项为，前项和为．若，则的值为 ． 题型4 两个等差数列的前n项和之比 设等差数列和的前n项和分别为，则，． 21．设等差数列的前项和分别为．若，则（   ） A． B． C． D．2 22．已知，分别是等差数列，的前n项和，且，则（    ） A． B． C． D． 23．已知等差数列，的前n项和分别为，，若，则（   ） A． B． C． D． 24．已知等差数列，的前n项和分别为，，若，则 ． 25．已知数列和都是等差数列，且前项和分别为，，若，则 ． 26．已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 27．已知等差数列的前项和分别为，若，则满足的正整数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 题型5 等差、等比数列前n项和的函数特性 28．若是公比为的等比数列，其前项和为 ，，则“”是“单调递增”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 29．（多选）已知等差数列的前项和为，则（    ） A．数列是递减数列 B． C．时，的最大值是18 D． 30．（多选）等差数列的前项和为，且，，，，则下列各值中可以为的是（    ） A． B．3.5 C．4.5 D． 31．（多选）已知数列的前项和，以下说法正确的是（    ） A．数列是等差数列 B．当且仅当时，取最小值 C．若，则 D．若，则n的最小值为12 32．记为数列的前项和，已知点在直线上，若有且只有两个正整数满足，则实数的取值范围是 . 33．设等差数列的前项和为，．若，则的值为 ． 题型6 等差、等比数列奇偶项之和 （1）设等差数列的公差为d，的前n项和分别为， 若数列共有项，则，； 若数列共有项，则，． （2）若数列是公比为的等比数列，前n项和为，则有如下性质： 若项数为，则，若项数为，则． 34．《九章算术》中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织七匹三丈，问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了七匹三丈，问每天增加多少尺布？”若这一个月有29天，记该女子一个月中的第天所织布的尺数为，则值为（    ） A．15 B． C． D． 35．一个等差数列共有项，其奇数项之和为319，偶数项之和为290，则此数列第项为（   ） A．31 B．30 C．29 D．28 36．等差数列的前16项和为640，前16项中偶数项和与奇数项和之比为，则公差的值是（   ） A． B．4 C．8 D．9 37．已知一个项数为偶数的等比数列所有项之和为所有奇数项之和的3倍，前2项之积为8，则（   ） A．2 B．-2 C．-1 D．2或-2 38．已知一个项数为的等差数列，设其前项和为，其所有奇数项的和为480，所有偶数项的和为360，公差，则当为偶数时，此数列首尾两项之和为 ． 39．等比数列的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个等比数列的公比q＝ . 题型7 等差、等比数列中an与Sn的关系 设等差数列（公差为d）的前n项和分别为，则数列是等差数列，首项为，公差为． 40．（多选）记等差数列的前项和为，已知，则下列说法一定正确的是（    ） A． B．若单调递增，则 C．若，则 D．若，则 41．已知等比数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 42．若等比数列的前n项和为（p为常数），且的公比为q，则（   ） A．4 B．2 C．1 D．0 43．（多选）记为数列的前项和.若，则（    ） A． B． C． D． 44．（多选）已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．为的最小值 D． 45．（多选）设等差数列的前项和，则（   ） A．该数列的公差为 B． C．有最小值 D．有最小值 46．记数列的前n项和为，已知 (1)证明:数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； 47．已知等差数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优01 等差、等比数列中an与Sn的性质七大考法归类 题型1 等差、等比数列的下标性质 等差数列中，（1）若，则；（2）若，则； 等比数列中，（1）若，则；（2）若，则； 1．已知等差数列满足，则（    ） A．－3 B．3 C．－12 D．12 【答案】B 【详解】已知是等差数列， ， 由等差数列的性质可得，. 因此， ， 又因为，， 所以. 故选：B. 2．已知数列为等比数列，为数列的前项积，且，，则（    ） A．8 B．2 C．1 D． 【答案】A 【详解】，故， 所以， ， 故选：A 3．在等差数列中，，等比数列满足，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【详解】由等差数列下标和性质知，， 则由等比数列下标和性质可知， 故选：A. 4．已知数列是等差数列，若，，则数列的公差 ． 【答案】2 【详解】是等差数列，公差为， ， ，解得． 故答案为：2． 5．已知整数数列是等比数列，，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】因为是各项均为整数的等比数列，且， 即，即，故， 设等比数列的公比为，则，则、同号，同理可知、同号， 要使得取最小值，则，所以， 因为，则有，此时，不合乎题意； 或，此时，合乎题意，此时； 或，此时，合乎题意，此时. 综上所述，的最小值为. 故答案为：. 6．已知是等比数列，若分别是函数的两个零点，则 . 【答案】 【详解】分别是函数的两个零点， 则，所以， 又， 由知，， 所以， 故答案为： 7．已知数列{an}是等比数列，数列{bn}是等差数列，若，，则的值是 ． 【答案】 【详解】由于数列是等比数列， 则，，， 由于数列是等差数列， 则，，， 则， 故答案为：. 题型2 等差、等比数列的函数性质 8．已知数列的首项为，对于任意的都有，则“为单调递增的数列”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】由，则数列的奇数项、偶数项分别构成等差数列，公差均为1， 若为单调递增的数列，则； 若， 则，， ，， 所以，， 则“为单调递增的数列”. 综上所述，“为单调递增的数列”是“”的充要条件. 故选：C 9．设是所有项都不为0的无穷等差数列，则“为递减数列”是“为递增数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若递减，则 因此需要满足：且恒成立； 若，，则对所有成立， 若，，则存在使得，与矛盾 递减的充要条件是且， 即若递减，则为递增数列，充分性成立； 若为递增数列，则， ， 由于不知道的正负，故无法判断的正负， 故不能得到为递减数列，必要性不成立， 例如为以下数列：， 则为，不是递减数列， 所以“为递减数列”是“为递增数列”的充分也不必要条件. 故选：A. 10．若数列是存在负数项的无穷等比数列，则“数列有最小项”是“数列有最大项”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】设等比数列的公比为，则， 由数列存在负数项，得或， 数列有最小项，当时，， 若，则单调递增，随着的增大，无限增大，趋近于正无穷大，无最小项； 若，，数列是常数列，有最小项； 若，则单调递减，随着的增大，正数无限减小，有最小项， 因此； 当时，数列的项正负相间，若，则单调递增，随着的增大， 无限增大，趋近于正无穷大，无最小项； 当时，，数列有最小项； 当时，，单调递减，随着的增大，正数无限减小， 有最小项或，因此， 于是数列有最小项等价于； 数列有最大项：，数列是等比数列， 当时，无最大项，数列无最大项； 当时，，数列有最大项； 当时，单调递减，随着的增大，正数无限减小，数列有最大项， 因此数列有最大项等价于， 所以“数列有最小项”是“数列有最大项”的充分必要条件. 故选：C 11．设无穷等比数列的公比为，前项积为，则“有最大值”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】充分性：， 例如，则，在时，取最大值，因此是不充分的， 必要性：当时，对任意的无穷等比数列， 若，必存在正整数，使得时，，时，，所以时，最大（若，则是最大值）， 若，则是中的最大值，若，只要比较前后的正项的大小即可得（注意中正负项是两项两项间隔的） 若，则，是递减数列，中第一个正项即为最大值， 因此是必要的， 所以应为必要不充分条件， 故选：B． 12．（多选）公差为的等差数列与公比为的等比数列首项相同且为正数，则（   ） A．若，则为递减数列 B．若，则为递减数列 C．若，则为递增数列 D．若，则为递增数列 【答案】ABD 【详解】对于A，若，则，为递减数列，故A正确； 对于B，若，则，为递减数列，故B正确； 对于C，取，此时，不满足递增数列，故C错误； 对于D，因为，当时，等比数列为正项且， 当时，等差数列各项为正且递增，即， 所以，即为递增数列，故D正确； 故选：ABD． 13．（多选）已知数列是各项均为正数的等比数列，是公差大于0的等差数列，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】解：设的公比为，的公差为， 所以，，， 所以，由可知为单调递增数列，即 因为，，， 所以，即，数列为单调递增数列， 作出函数，的图象如图所示， 由上述图象可知，当时，两函数图象在处相交， 所以，当时，，当或时，. 故选：BCD. 14．已知正数数列满足，且对恒成立，则的范围为 . 【答案】 【详解】因为，所以， 所以 因为，所以，即对恒成立， 对恒成立，因为，所以， 又因为是正数数列，所以，所以的取值范围为. 故答案为： 题型3 等差、等比数列的片段和性质 （1）设等差数列（公差为d）的前n项和为，则构成公差为的等差数列； （2）设等比数列（公比为）的前n项和为，则构成公比为的等比数列 15．已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．10 D．11 【答案】D 【详解】由题知成等差数列， 即成等差数列， 即，解得. 故选：D. 16．已知等比数列的前n项和为，若，，则的值为（   ） A．81 B．145 C．256 D．273 【答案】D 【详解】因为等比数列，，， 所以成等比数列， 因为，，所以， 所以， 所以. 故选：D 17．记为等比数列的前项和，若，，则（    ） A．512 B．-512 C．1024 D． 【答案】C 【详解】设等比数列的公比为，则，， ∴，∴， ∴. 故选：C. 18．已知为等差数列的前项和，若，则 ． 【答案】27 【分析】 【详解】法一：因为为等差数列的前项和，所以成等差数列， 即， 又，所以， 所以，解得． 法二：设等差数列的公差为，由题意， 即，即，解得， 则． 故答案为：27. 19．设等差数列的前项和为，若，则 . 【答案】18 【详解】设等差数列的公差为， 因为，可得， 又因为，解得， 所以 . 故答案为：18 20．已知等比数列的首项为，前项和为．若，则的值为 ． 【答案】/0.5 【详解】由，可得， 当时，，所以， 当时，，所以. 故答案为： 题型4 两个等差数列的前n项和之比 设等差数列和的前n项和分别为，则，． 21．设等差数列的前项和分别为．若，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】由题意得， 因为，所以，故A正确. 故选：A 22．已知，分别是等差数列，的前n项和，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为是等差数列， 所以，又， 所以， 故选：C. 23．已知等差数列，的前n项和分别为，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据已知及等差数列前n项和，设，， 则. 故选：C 24．已知等差数列，的前n项和分别为，，若，则 ． 【答案】 【详解】由题意得， 所以，又， 所以， 故答案为：. 25．已知数列和都是等差数列，且前项和分别为，，若，则 ． 【答案】 【详解】数列、为等差数列，且 ， 可设，， 则， 所以. 故答案为：. 26．已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】由等差数列的性质可得， 因为，所以， 因为，要使为整数，即为整数， 所以，共个， 即使得为整数的正整数的个数是. 故选：C 27．已知等差数列的前项和分别为，若，则满足的正整数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【详解】由，得， 又，所以， 整理得，所以，故符合条件的可取1，2， 故选：C． 题型5 等差、等比数列前n项和的函数特性 28．若是公比为的等比数列，其前项和为 ，，则“”是“单调递增”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由题意可知是公比为的等比数列， 当，时，则， 由于，，且随n的增大而减小，故单调递增， 当，时，也单调递增，推不出， 故“”是“单调递增”的充分而不必要条件， 故选：A 29．（多选）已知等差数列的前项和为，则（    ） A．数列是递减数列 B． C．时，的最大值是18 D． 【答案】BCD 【详解】设等差数列的公差为， 由，得， 解得，因为，所以. A:由，可得 所以等差数列为递增数列，故A错误； B：，故B正确； C：， 由可得，所以，又， 所以的最大值是18，故C正确； D：， 由，得，故D正确. 故选：BCD. 30．（多选）等差数列的前项和为，且，，，，则下列各值中可以为的是（    ） A． B．3.5 C．4.5 D． 【答案】CD 【详解】是等差数列，设， 则，， 两式相减得，，故，． ， ，， 则. 故选：CD． 31．（多选）已知数列的前项和，以下说法正确的是（    ） A．数列是等差数列 B．当且仅当时，取最小值 C．若，则 D．若，则n的最小值为12 【答案】BCD 【详解】当时，；当时，； 则，，由，故A错误； ，所以当且仅当时取最小值，故B正确； 若，则，故，故C正确； 令，由，则， 即当时，，而当时，，所以若，则的最小值为12，故D正确. 故选：BCD. 32．记为数列的前项和，已知点在直线上，若有且只有两个正整数满足，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为点在直线上，所以，所以， 所以数列为等差数列，首项为8，公差为，所以， 当或5时，取得最大值为20，因为有且只有两个正整数满足， 所以满足条件的和，因为， 所以实数的取值范围是． 故答案为：． 33．设等差数列的前项和为，．若，则的值为 ． 【答案】12 【详解】设等差数列的公差为，则， 所以可看成二次函数， 由二次函数图象的对称性及， 可得，解得． 故答案为：12 题型6 等差、等比数列奇偶项之和 （1）设等差数列的公差为d，的前n项和分别为， 若数列共有项，则，； 若数列共有项，则，． （2）若数列是公比为的等比数列，前n项和为，则有如下性质： 若项数为，则，若项数为，则． 34．《九章算术》中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织七匹三丈，问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了七匹三丈，问每天增加多少尺布？”若这一个月有29天，记该女子一个月中的第天所织布的尺数为，则值为（    ） A．15 B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意，知数列是首项为5的等差数列， 设数列中所有奇数项的和为，则， 设数列中所有偶数项的和为，则， 又由等差数列的性质，知， 所以. 故选：D. 35．一个等差数列共有项，其奇数项之和为319，偶数项之和为290，则此数列第项为（   ） A．31 B．30 C．29 D．28 【答案】C 【详解】由题中条件及等差数列的性质可知：， 所以. 故选：C. 36．等差数列的前16项和为640，前16项中偶数项和与奇数项和之比为，则公差的值是（   ） A． B．4 C．8 D．9 【答案】C 【详解】，， 根据题意，可得，解得，， 又， . 故选：C. 37．已知一个项数为偶数的等比数列所有项之和为所有奇数项之和的3倍，前2项之积为8，则（   ） A．2 B．-2 C．-1 D．2或-2 【答案】D 【详解】设首项为，公比为，数列共有项，则满足首项为，公比为，项数为项，设所有奇数项之和为， 因为所有项之和是奇数项之和的3倍，所以， 所以，， 故满足，解得， 又， 所以. 故选：D 38．已知一个项数为的等差数列，设其前项和为，其所有奇数项的和为480，所有偶数项的和为360，公差，则当为偶数时，此数列首尾两项之和为 ． 【答案】56 【详解】当为偶数时，由题意可知， 所以，所以， 此时，解得， ，解得， 则． 故答案为：56. 39．等比数列的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个等比数列的公比q＝ . 【答案】/0.5 【详解】设数列共有项， 由题意得，， 则， 解得， 故答案为： 题型7 等差、等比数列中an与Sn的关系 设等差数列（公差为d）的前n项和分别为，则数列是等差数列，首项为，公差为． 40．（多选）记等差数列的前项和为，已知，则下列说法一定正确的是（    ） A． B．若单调递增，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【详解】选项A：，设公差为，则，故，故A错误； 选项B：若单调递增，则，故，故B正确； 选项C：若，则，故C错误； 选项D：若，则，故，故D正确. 故选：BD 41．已知等比数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，， 在等比数列中，， 设公比为q， ，解得， ∴， 当时，，解得：， ∴是以2为首项，3为公比的等比数列， ∴. 故选：A. 42．若等比数列的前n项和为（p为常数），且的公比为q，则（   ） A．4 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【详解】在等比数列中，由，得， ，， 因此公比，，解得， 此时，符合题意，所以. 故选：C. 43．（多选）记为数列的前项和.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】当时，，解得，A正确. 当时，，所以，即， 则是以为首项，2为公比的等比数列，所以，C正确； 由上知，B错误； ，D正确. 故选：ACD 44．（多选）已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．为的最小值 D． 【答案】ABD 【详解】数列的前项和为， 当时，， 当时，， 当时，也成立， ，故A正确； ，令，解得， 当时，，， ，故B正确； ，为开口向下的二次函数，对称轴为， ，，均为最大值，故C错误； ， 数列是首项为公差的等差数列， 数列奇数项组成的新数列是首项为，公差为的等差数列，项数为， ，故D正确． 故选：． 45．（多选）设等差数列的前项和，则（   ） A．该数列的公差为 B． C．有最小值 D．有最小值 【答案】AC 【详解】设等差数列的公差为，因为， ， 当时，有， 得， 检验符合上式，所以， 对于A，，A正确， 定义B，，B错误， 对于C，根据， 可知时，有最小值， 所以C正确，D错误. 故选：AC 46．记数列的前n项和为，已知 (1)证明:数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）因为 ， 所以当时， ; 当时， ， 所以 ， 即 ， 又 ， 所以 ， 所以数列是首项为，公比为 的等比数列； （2）由（1）得， 所以. 47．已知等差数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）当时，， 当时，， 因为数列为等差数列，且，所以数列的公差为 所以，即， 所以，故， 所以. （2）因为， 所以， . 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $