24.1圆的有关性质 课件 2025-2026学年人教版(2012)九年级数学上册

24.1圆的有关性质 第二十四章 圆 1.理解圆的定义及表示方法. 2.认识弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等弧等与圆有关的概念，并了解它们之间的区别和联系. 一切平面图形中最美的是圆——毕达哥拉斯 圆象征着圆满和谐 情景导入 思考： 图中过球门A、C两点画圆，球员射中球门的难易程度与他所处的位置B、D、E有关（张开的角度大小）、仅从数学的角度考虑，球员应选择从哪一点的位置射门更有利？ C A E D B 情景导入 考考你：你能仿照圆心角的定义，给下图中像∠ACB 这样的角下个定义吗？ 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 特征： ① 角的顶点在圆上. ② 角的两边都与圆相交. B A O C （两个条件必须同时具备，缺一不可） 知识一：圆周角的定义 · C O A B · C O B · C O B A A · C O A B · C O B · C O B A A 判一判：下列各图中的∠BAC是否为圆周角并简述理由. （2） （1） （3） （5） （6） 顶点不在圆上 边AC没有和圆相交 √ √ √ （4） 顶点不在圆上 1.确定一个圆需要“两个要素”，一是圆心：圆心定其位置; 二是半径：半径定其大小. 2.圆是一条封闭的曲线，曲线是“圆周”，而不能认为是“圆面”. 3.“圆上的点”指圆周上的点. (1) 圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于 ． (2) 到定点的距离等于定长的点都在 ． 定长 r 同一个圆上 想一想，从画圆的过程可以看出什么呢？ 结论： 圆心为O，半径为 r 的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长 r 的点的集合. 问题1：分别测量下图中 所对的圆周角∠BAC 和圆心角∠BOC的度数，它们之间有什么关系？ 探究 问题2：在☉O上任意取一段弧，作出它所对的圆周角和圆心角，测量他们的度数，结论还成立吗？你发现了什么规律？ 成立，可以发现，同弧所对的圆周角的度数等于这条弧所对的圆心角的度数的一半. 判断下列说法是否正确： 1.垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 2.平分弦的直径垂直于弦. C O A B D E C O A B D 3.平分一条直径的弦必垂直于这条直径. 过圆心 不是直径 11 垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 垂径定理的推论： 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. ①过圆心， ②垂直于弦， ③平分弦, ④平分弦所对的优弧, ⑤平分弦所对的劣弧. ④平分弦所对的弧, ①②→③④⑤ ①③→②④⑤ 还有别的结论吗？ 如：①④→②③⑤？ 12 例2 如图所示，AB是⊙0的直径，M、N分别是AO、BO的中，CM⊥AB交圆于点C，DN⊥AB交圆于点D，求证： AC=BD. ︵ ︵ O C A B D M N 证明：连接OC、OD ∵ M、N分别是AO、BO的中点,而OA=OB ∴ OM=ON 在Rt△COM和Rt△DON中 OC=OD OM=ON ∴ Rt△COM≌ Rt△DON（HL） ∴ ∠AOC= ∠BOD ∴AC=BD ︵ ︵ O C A B D M N 例1 下列语句中：①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，弧不一定是半圆. 正确的有_________ . 解析：直径是最长的弦，故①正确；直径是过圆心的弦，但弦不一定是直径，故②错误；半径相等的两个半圆能互相重合，所以是等弧，故③正确；在同圆或等圆中，长度相等的两条弧才是等弧，故④错误；弧分为劣弧、优弧、半圆，故⑤正确. ①③⑤ 例2 矩形ABCD 的对角线AC,BD相交于点O.求证：A,B,C,D 四个点在以点O为圆心的同一个圆上. A B C D O 证明：∵四边形ABCD为矩形， ∴OA=OC= AC,OB=OD= BD,AC=BD. ∴OA=OC=OB=OD. ∴A,B,C,D四个点在以点O为圆心，OA为半径的圆上. ⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长． 又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2， · A B C D O 解：∵AB是直径， ∴ ∠ACB= ∠ADB=90°． 在Rt△ABC中， ∵CD平分∠ACB， ∴AD=BD． 10 6 ） ） 8 例题1 ∴弧AD=弧BD · A B C O 求证： △ABC 为直角三角形． 证明： CO= AB， 以AB为直径作⊙O， ∵AO=BO， ∴AO=BO=CO． ∴点C在⊙O上． 又∵AB为直径， ∴∠ACB= ×180°= 90°． 已知：△ABC 中，CO为AB边上的中线， 且CO= AB ∴ △ABC 为直角三角形． 例题2 1.（南通•中考）已知⊙O的半径为13cm，弦AB的长为10cm，则圆心O到AB的距离为 cm. 12 【解析】如图，作OC⊥AB于C，连接OA， 则AC=BC= AB=5， 在Rt△OAC中，OC= =12， 所以圆心O到AB的距离为12cm． 故答案为12． 2.（滨州•中考）在⊙O中，直径AB=15，弦DE⊥AB于点C，若OC：OB=3：5，则DE的长为（ ） A.6 B.9 C.12 D.15 【解析】如图所示：连接OD ∵直径AB=15 ∴BO=7.5 ∵OC：OB=3：5 ∴CO=4.5 ∴ ∴DE=2DC=12． C C C 1. 在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为 5cm，油面宽 AB 为 6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为 8cm，则油面 AB上升了（　　）cm． A．1 B．3 C．3或4 D．1或7 D 思路点拨：上升的过程中油面宽度为8cm不止是一个时刻。 注意圆中的多种情况 随堂练习 2.如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，若AB=10，CD=8，则图中阴影部分的面积为 .　 20 3.如图，AB是的直径，，若，则的度数是( ) A. B. C. D. 解析：，， . .故选C. 4.如图，已知点A、B、C、D都在上，，，下列说法错误的是( ) A. B. C. D. 解析：，， ，故A正确；， ，， ，故B正确；， ，故C错误； ，，故D正确；故选：C. $