期中复习压轴题型汇编（各省真题55题）-2025-2026学年七年级数学上册高频考点题型归纳与满分必练（北师大版新教材）

期中复习压轴题型汇编 范围：第一章-第三章 一、单选题 1．将一个正方体纸盒的表面沿如图所示的粗实线和粗虚线剪开，展开成平面图，其展开图的形状为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查几何体的展开图，按照一定次序展开，并确定出面与面之间的关系是解答本题的重点．由粗线确定出相邻各面是连还是断，据此即可确定平面展开图的形状． 【详解】 解：由题意知，前面、左面、后面相连，上面、右面、下面相连，下面与后面相连，则展开成平面图，其展开图的形状为：； 故选：D． 2．如图，在二行三列的方格棋盘上沿骰子的某条棱翻动骰子（相对面上分别标有1点和6点，2点和5点，3点和4点），在每一种翻动方式中，骰子不能后退．开始时骰子如图（1）那样摆放，朝上的点数是2；最后翻动到如图（2）所示的位置，此时骰子朝上的点数不可能是下列数中的（    ） A．5 B．4 C．3 D．1 【答案】D 【分析】本题考查正方体的认识，解决本题需要学生经历一定的实验操作过程，当然学生也可以将操作活动转化为思维活动，在头脑中模拟翻转活动，较好地考查了学生空间观念．在本题的解决过程中，学生可以动手进行具体翻转活动，结合实际操作解题．因为只能向前或向右翻滚，所以注意翻转的路径分3种情况讨论． 【详解】解：如图： 第一种路径：滚动到位置1处，1在下，则6在上；滚动到位置2处，2在下，5在上；滚动到3处，3在下，则4在上； 第二种路径：滚动到位置1处，1在下，则6在上；滚动到4处，3在下，4在上；滚动到3处，2在下，5在上； 第三种路径：滚动到5处，3在下，4在上；滚动到4处，1在下，6在上，滚动到3处，4在下，3在上； 所以最后朝上的可能性有4、5，3，而不会出现1，2，6． 故选：D． 3．动手操作：做一个正方体木块，在正方体的各面分别写上1，2，3，4，5，6这6个不同的数字，若它可以摆放成如图所示的两种不同位置，请你判断数字5对面的数字是（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】D 【分析】根据图形以及数字的摆放，第一图可得的下面为1，1的右边为4，第二个图可知的下面是5，5的右边是2，画出展开图即可求解． 【详解】解：根据图形以及数字的摆放，第一图可得的下面为1，1的右边为4， 第二个图可知的下面是5，5的右边是2 将正方形展开如图所示， ∴的对面是， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方体展开图，相对面上的字，注意数字的摆放是解题的关键． 4．如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x的值为2，结果输出的是1，返回进行第二次运算则输出的是，…则第2025次输出的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，能通过计算发现从第2次输出的结果开始按，，，，，循环是解题的关键． 根据题意，依次求出每次输出的结果，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 当输入的的值为2时， 第1次输出的结果是1； 第2次输出的结果是； 第3次输出的结果是； 第4次输出的结果是； 第5次输出的结果是； 第6次输出的结果是； 第7次输出的结果是； 第8次输出的结果是； ， 由此可见，从第2次输出的结果开始按，，，，，循环， 又因为余2， 所以第2025次输出的结果是． 故选：D． 5．已知a，b是有理数，且，下列结论：①；②；③若是有理数，且满足，则．其中正确的有（   ） A．①②③ B．②③ C．①② D．①③ 【答案】C 【分析】本题主要考查了化简绝对值，有理数乘法，有理数加减法，灵活运用所学知识是解题的关键．根据两数相乘同号为正，异号为负可知，即可判断①；再由，可得即可判断②；由，根据绝对值的意义可求出；或，进而可求出或，，即可判断③． 【详解】解：因为， 所以，故①正确； 又因为， 所以，故②正确； 因为， 所以， 又因为， 所以， 所以， 又因为， 所以或， 所以或， 所以或，故③错误， 故选：C． 6．以下是小明同学数学笔记的一部分，请仔细阅读并完成相应任务． 我们在数学学习中所用的数都是十进制数，一共有十个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，其进位规则是“逢十进一”，比如数字 ，而二进制数是用0和1两个数码来表示的数，它的进位原则是“逢二进一”，二进制数可以转化为十进制数，转化如下：比如： ． 任务：已知是两个不相等的十进制数，且，若三位二进制数的三个数位均为，将其转化为十进制数为（   ） A．1 B．7 C．13 D．111 【答案】B 【分析】本题考查了二进制数转十进制数，理解二进制和十进制的互换规则是解题关键． 由已知推出，得到三位二进制数为111，再根据转化方法计算即可． 【详解】由题意得，，解得。 ∵三位二进制数的三个数位均为 ∴三位二进制数为111， ∴． 故选：B． 7．有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列各式正确的有（    ）个． ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了含字母的绝对值化简，相反数的几何意义，在数轴上比较有理数的大小，有理数的除法，熟练掌握在数轴上比较有理数的大小是解题的关键．由数轴可知，，，，即知①和②正确；同时可得，，，即可计算验证③正确；将，，也在数轴上表示出来，即可判断④错误． 【详解】解：由数轴可知，，，， ， 故①正确； 同时可得，， 故②正确； 由，，，可得，，， ， 故③正确； 将，，也在数轴上表示出来，如下图： 则， 故④错误； 正确的是①②③，共3个． 故选：C． 8．减去它的，再减去余下的，再减去余下的……，以此类推，一直减到余下的，则最后剩下的数是（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算的顺序和运算法则是解题的关键．根据题意列出算式，先计算小括号内的减法，再计算乘法即可． 【详解】由题意得， 故选：B． 9．对于下列说法： ①若、互为相反数，则； ②如果，则； ③若表示一个有理数，则的最小值为7； ④若，，则的值为． 其中一定正确的结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了相反数的定义、有理数的加法法则，绝对值的意义，有理数的乘除法则等知识，熟知相关知识并根据题意逐项判断是解题关键． 【详解】解：∵0的相反数是0， ∴当时，则无意义，故①结论错误，不符合题意； ∵， ∴、同号或至少一个为0时， ∴，故②结论正确，符合题意； 如图，设点P表示有理数x，由绝对值的意义得， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴的最小值为7， ∴③结论正确，符合题意； ∵，， ∴中必然为两个正数，一个负数， 设， 则， ∴④结论错误，不合题意． 故选：B 10．我们知道，所以当时，；当时，．下列结论序号正确的是（   ） ①已知，是有理数，当时，的值为或； ②已知，是不为0的有理数，当时，则的值为； ③已知，，是有理数，，，则或； ④已知，，是非零的有理数，且，则的值为或； ⑤已知，，是非零的有理数，，则的所有可能的值为； A．①③④⑤ B．②③④⑤ C．①②④⑤ D．①②③⑤ 【答案】C 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，有理数的乘除法符号问题，根据，分三种情况分别求得的值，即可判断①；根据，可得，得出，或，，然后根据绝对值的意义化简绝对值进而判断②，根据，得出，，，求出，根据，，得出、、中一负两正，再化简绝对值即可判断③，根据，可得，得出a、b、c中有3个负数或一负两正，分类讨论化简绝对值，根据③的方法即可判断④和⑤． 【详解】解：①∵， 当同号时，即或，时， 或， 当异号，即，或，， ∴或 ∴当时，的值为或；故①正确； 当时，即， ∴a、b异号，即，或，， ∴或； ∴当时，的值为；故②正确； ∵， ∴，，， ∴， ∵，， ∴a、b、c中一负两正， 不妨设, ∴． ∴的值为．故③不正确； ∵，则 ∴， ∴a、b、c中有3个负数或一负两正， 当a、b、c都是负数时，； 当a、b、c中有一负两正时，； ∴的值为或；故④正确； ∵， ∴a、b、c中一负两正或一正两负， 当a、b、c中一负两正， 不妨设, ∴ 当a、b、c中一正两负， 不妨设, ∴ ∴的所有可能的值为，故⑤正确， 故正确的有①②④⑤， 故选：C． 11．用大小相同的黑点按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案有2个黑点，第②个图案有7个黑点，第③个图案有15个黑点，第④个图案有26个黑点……按此规律，第⑦个图案中黑点的个数为（   ） A．57 B．62 C．77 D．92 【答案】C 【分析】此题考查了图形类规律的探索，解题的关键是根据前几个图形的数据，正确找出规律，然后求解．先求出前面几个图形中黑点的个数，找到规律，然后求解即可． 【详解】解：第①个图案中黑点有：个， 第②个图案中黑点有：个， 第③个图案中黑点有：个， 第④个图案中黑点有：个， …… 第个图案中黑点有：个， 第⑦个图案中黑点有：个， 故选：C． 12．观察下列等式：，，，，，，，…，则的末位数字是（   ） A．0 B．2 C．3 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了数字变化规律，通过观察所给的结果的尾数，发现运算结果的末位数字循环出现，从而可确定的末位数字是，再求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵，，，，，，，…， ∴运算结果的末位数字循环出现， ∵， ∴的末位数字等于个周期的末位数字之和再加上第项的末位数字， ∵一个周期的末位数字之和为，其末位数字为， ∴个周期的末位数字之和的末位数字仍为， ∵的末位数字是， ∴原式的末位数字是， 故选：C． 13．若将一组有规律的有理数按如图所示的方式排列，则第10行从左往右第7个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了数字类规律探索，发现规律是关键．观察可知第n行有n个数，那么可求出第1行到第9行一共有个数，则第行从左往右第7个数是第个数，再确定符号和分母即可得到答案． 【详解】解：第1行有1个数，第2行有2个数，第3行有3个数，第4行有4个数…… 以此类推，第n行有n个数， 所以第1行到第9行一共有个数， 所以第行从左往右第7个数是第个数，且第个数是负数， 所以第10行从左往右第7个数是． 故选：C． 14．如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为3125，则第2021次输出的结果为（　　） A．1 B．5 C．25 D．625 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的规律探索，有理数的乘法和加法运算，解题的关键是掌握有理数的规律． 计算出前几次的结果，根据结果找出循环周期，然后进行求解即可． 【详解】解：第1次输出结果为：； 第2次输出结果为：； 第3次输出结果为：； 第4次输出结果为：； 第5次输出结果为：； 第6次输出结果为：； 第7次输出结果为：； 第8次输出结果为：； …… ， ∴第2021次输出的结果为1， 故选：A． 15．将图①中的正方形剪开得到图②，图②中共有4个正方形；将图②中的一个正方形剪开得到图③，图③中共有7个正方形；将图③中的一个正方形剪开得到图④，图④中共有10个正方形……如此下去，则第2025个图中共有正方形的个数为（         ） A．6070 B．6073 C．6076 D．6067 【答案】B 【分析】本题主要考查了列代数式表示图形的规律，解题的关键是善于总结图形的变化规律． 根据图形的变化规律，总结出代数式，然后进行求解即可． 【详解】解：根据图形可知： 图①正方形个数为：1； 图②正方形个数为：； 图③正方形个数为：； 图④正方形个数为：； 第个图中，正方形个数为：； ∴第2025个图中共有正方形的个数为， 故选：B． 二、填空题 16．如图是由一些相同的小立方块构成的几何体从左面和上面看到的形状图．这些相同方块的个数可能是 个． 【答案】7或8或9 【分析】本题主要考查从不同方向看几何体，较强的空间想象能力是解题的关键． 根据左面看与上面看的图形，得到小立方块的个数可能的情况，据此即可解答． 【详解】解：根据从上面看的图形发现最底层由6个小立方块，从左面看的图形发现第二层最多有3个小立方块，最少有1个， 即这些相同方块的个数可能是7或8或9个． 故答案为：7或8或9． 17．规定表示小于的最大整数，如：，则下列结论中正确的有（填序号）：①；②；③的最小值是0；④的最大值是1；⑤存在有理数，使，则上述结论中正确的有 （填序号）． 【答案】①④⑤ 【分析】本题主要考查了新定义，有理数比较大小，有理数的减法计算，根据新定义可得，，据此可得判断①、②；根据新定义可得，据此可得判断③、④；当时，，则，据此可判断⑤． 【详解】解；∵表示小于x的最大整数， ∴，故①正确、②错误； ∵表示小于x的最大整数， ∴， ∴，故③错误； ∵表示小于x的最大整数， ∴， ∴的最大值是1，故④正确； 当时，，则此时，故⑤正确； ∴正确的有①④⑤， 故答案为：①④⑤． 18．数轴上点的初始位置表示的数为1，将点做如下移动：第1次点向左移动3个单位长度至点，第2次从点向右移动6个单位长度至点，第3次从点向左移动9个单位长度至点，按照这种移动方式进行下去，如果点与原点的距离不小于，那么的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查数字的变化规律以及数轴上点的距离，根据题意，找到数轴上点所对应的数的变化规律，是解题的关键． 由题意得：序号为奇数的点在点的左边，各点所表示的数依次减少3，序号为偶数的点在点的右侧，各点所表示的数依次增加3，找出规律即可． 【详解】解：第1次点向左移动3个单位长度至点，则表示的数； 第2次从点向右移动6个单位长度至点，则表示的数为； 第3次从点向左移动9个单位长度至点，则表示的数为； 第4次从点向右移动12个单位长度至点，则表示的数为； 表示的数是，表示的数是， ∵， ∴令， 当为奇数，即时，点表示的数为， 由， 解得， ∵为正整数， ∴的最小值为，此时； 当为偶数，即时，点表示的数为， 由， 解得， ∵为正整数， ∴的最小值为，此时， 综上，满足条件的的最小值为． 故答案为： 19．一个正整数，由个数字组成且个数字各不相同，若它的第一位数可以被整除，它的前两位数可以被整除，前三位数可以被整除，，一直到前位数可以被整除，则这样的数叫做“精巧数”．如：的第一位数“”可以被整除，前两位数“”可以被整除，“”可以被整除，则是一个“精巧数”．若四位数是一个“精巧数”，则为 ；若一个四位“精巧数”各数位数字之和能被整除，则满足条件的四位“精巧数”最大值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数学常识，新定义问题，整除的概念，解答本题的关键是理解新定义的概念；根据能被整除的数的特征，能被整除的数的特征，能被整除的数的特征，进行分析，即可求解． 【详解】解：四位数是一个“精巧数”， 四位数是的倍数，且这个四位数的数位上数字都不相同， 两位数能被整除，且不等于，，， 为； 四位数是“精巧数”， 是偶数，是的倍数，两位数能被整除， 要求满足条件的四位“精巧数”最大值，应该从满足题意的、、的最大值开始讨论， 这个四位数的数位上数字都不相同， 当时， 是偶数，因此前两位数 可以被整除； 当，时，，是的倍数； 当，时，两位数为，能被整除， ∵四位数满足能被3整除， 满足条件的四位“精巧数”最大值为． 故答案为：；． 20．如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上0，1，2，3．先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向左滚动，则数轴上表示的点与圆周上表示哪个数字的点重合 ． 【答案】0 【分析】圆沿着数轴向左滚动，每滚动一圈，圆周上的0，3，2，1分别与数轴上的数一一对应，找到与之间有几组循环即可作答； 本题主要考查了数轴上的规律探究，找到滚动时圆周上的数字与数轴上的数字的对应关系和循环周期是解题的关键． 【详解】解：圆的周长为4个单位长度，则圆每滚动一圈，圆周上的0，3，2，1分别与数轴上的数一一对应，即4个数为一组循环； 起始状态圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，当圆滚动到时，经过了个单位长度，共有组循环，则数轴上表示的点与圆周上的0重合． 故答案为：0． 21．某快递公司因天气原因需将五种货物进行延迟配送，每名配送员每次只能配送一种货物，从配送开始起进行计时，每延迟一分钟需赔付1元，忽略其它因素的影响，五种货物的配送时间如下表： 货物 配送时间（分钟） 5 8 9 7 10 （1）如果由一名配送员进行配送，那么下列三个配送顺序：①；②；③中，赔付最少的是 （填序号）； （2）如果由两名配送员同时进行配送，最少需要赔付 元． 【答案】 ② 64 【分析】本题考查了有理数的加法和乘法混合运算的实际应用，找出方案是解题的关键． （1）分别计算三种情况赔付的钱，求解判断即可； （2）因为赔付最少，就要使配送的时间尽量短，显然先配送时间短的即可，所以先配送A和D时间短的，一名配送员按的顺序送，另一名配送员按的顺序送，配送赔付最少，据此计算即可． 【详解】解：（1）①总赔付：（元）， ②总赔付：（元）， ③总赔付：（元）， ∴赔付最少的是②， 故答案为：②； （2）解：因为赔付最少，就要使配送的时间尽量短，显然先配送时间短的，所以先配送A和D时间短的；然后再配送剩下的时间的短的，最后一名配送员配送时间最长的， 一名配送员按的顺序送，另一名配送员按的顺序送，配送最少， 配送赔付：（元）， 配送赔付：（元）， 共需要最少赔付：（元）， 故答案为：64． 22．如图是一个三角形数阵，仔细观察排列规律： 按照这个规律继续排列下去，第21行第2个数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数字的变化规律，正确理解题意，找出数字之间的规律，利用规律解决问题． 由三角形数阵可得出，第行的前面共有…个分母为1、2、3、…、的连续自然数，分子为连续奇数，且分母为偶数时为负数，由其特点求出第行从左数第一个数，即可得出结果． 【详解】解：由题意得：第n行的前面共有…个分母为1、2、3、…、的连续自然数，分子为连续奇数，且分母为偶数时为负数， 第行从左数第1个数分母为：…，分子为：，且分母为偶数时为负， 第21行第1个数为：， 第21行第2个数是：. 故答案为：. 23．a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．如：2的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了用代数式表示的规律型问题，理解差倒数的定义，并正确归纳出一般规律是解题关键．先根据差倒数的定义分别求出，，的值，观察规律，发现三个数一循环，求的余数，余1，与相同，余2与相同，余0与相同，即可确定的值． 【详解】解：， ， ， ， ， 通过结果发现，三个数一个循环， 2023被3除，结果为，被3除余1， 因此． 故答案为：． 24．若有理数的“配对数”为，的“配对数”为，的“配对数”为，的“配对数”为，，这样依次得到数，，，，．则当时， ． 【答案】 【分析】本题考查新定义运算以及找规律，找出运算规律是解题的关键． 分别求出，，的值找出的规律，再代入运算即可． 【详解】解：由题意可得：， ， ， ∴， ∴， ∴ ， ∵，， ∴将算式两两分组，每组的结果为：， ∵该算式共有2025项，为奇数项， ∴可将前2024项两两分组，共1012组，剩余最后一项为：， ∴； 故答案为：． 25．我们规定：一个四位数，若满足，则称这个四位数为“十全数”．例如：四位数1928，因为，所以1928是“十全数”．按照这个规定，最大的“十全数”是 ；一个“十全数”，将其千位数字与个位数字调换位置，百位数字与十位数字调换位置，得到一个新的数，记，，若是整数，则满足条件的M的最小值是 ． 【答案】 9191 1991 【分析】此题考查了整式的加减的应用．根据要求最大的“十全数”，得到，，然后求出和，即可得到最大的“十全数”是9191；根据题意表示出，，然后表示出，，然后表示出，根据题意得到是整数，得到能被13整除，然后由，求出，进而求解即可． 【详解】解：设四位数， ∵要求最大的“十全数”， ∴，， ∴，， ∴最小的“十全数”是； ∵一个“十全数”， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵是整数 ∴是整数 ∴能被13整除， ∵，， ∴，， ∴， ∴的值可以为13，26，39，52，65， ∵要求M的最小值， 当且时，， 此时，是整数，符合题意， ∴，， ∴满足条件的M的最小值是1991． 故答案为：9191，1991． 三、解答题 26．【综合实践】某综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． 【知识准备】 （1）下列图形中，不是无盖正方体的表面展开图的是_______；（填序号） 【实践探索】 （2）综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒） ①图1方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．则长方体纸盒的底面周长为______（用含a，b的式子表示）； ②图2方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．如果，．则该长方体纸盒的体积为_____． 【实践分析】 （3）一个无盖长方体的长、宽、高分别为，（它缺一个长为，宽为的长方形盖子），如图是该长方体的一种平面展开图，它的外围周长为．事实上，该长方体的平面展开图还有不少，请你画出该无盖长方体外围周长最大的一种表面展开图，并求出最大外围周长的值． 【答案】（1）②（2）①②1000（3）见解析， 【分析】本题考查简单几何体的展开图，熟练根据简单几何的展开图得出长方体的长宽高是解题的关键． （1）根据无盖正方体纸盒的面数和构成求解； （2）①根据正方形周长公式即可得解； ②根据长方体的体积公式即可得解； （3）根据边长最长的都剪，边长最短的剪得最少，露出外围的边都是长边画图，再据此求解即可． 【详解】（1）解：②不能折成一个无盖正方体纸盒，①③④能折成一个无盖正方体纸盒， 故答案为：②； （2）①解：由题意可知，长方体纸盒的底面为正方形，其边长为， ∴长方体纸盒的底面周长为， 故答案为：； ②由题意可知，该长方体纸盒的长为，高为，宽为， ∴该长方体纸盒的体积为， 故答案为：1000； （3）解：由题意知：边长最长的都剪，边长最短的剪得最少，如图， 所以该长方体表面展开图的最大外围周长为． 27．观察下列式子： 第1个式子：． 第2个式子：． 第3个式子：． 第4个式子：． …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个式子：______． (2)计算：． (3)直接写出的运算结果． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了有理数的运算规律题，合理找出规律是解答的关键． （1）根据规律解答即可； （2）根据规律和运算法则运算即可； （3）根据规律和运算法则运算即可； 【详解】（1）解： 故答案为：； （2）解： ； （3）解： ． 28．数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离． （1）【探究问题】 如图，数轴上，点A，B，P分别表示数，2，x，因为的几何意义是线段与的长度之和，当点P在线段上时，，而当点P在点A的左侧或点B的右侧时，．所以当点P在线段上时，有最小值，最小值是3． 填空： 若， 则x的值为 ； （2）【解决问题】 ①直接写出式子的最小值为 ； ②若代数式的最小值是2，则a的值为 ； （3）【实际应用】如图，在一条笔直的街道上有E，F，G，H四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为．已知E，F，G，H四个小区各有2个，2个，2个，1个学生在同一所中学的同一班级上学，安全起见，这7个同学约定先在街道上某处汇合，再一起去学校．聪明的他们通过分析，发现在街道上的M处汇合使所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请问汇合地点M设置在什么位置的时候，所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，并求出此最小值． 【答案】（1）1或3；（2）①6；②或；（3）当M在点F上时，四个点到M的距离之和最小，所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值为 【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离，绝对值的几何意义，化简绝对值，解题的关键在于能够熟练掌握化简绝对值的方法． （1）根据绝对值的几何意义求解即可； （2）①根据当x在4和之间时，有最小值，化简绝对值即可求解； ②根据题意得，即可求解； （3）E、F、G、H分别在数轴上表示，，0，200，设M表示的数为x，距离之和为s，根据题意可知，当M在点F上时，E、F、G、H到M的距离之和最小，则E、F、G、H到M的最小距离之和为：，即可求解． 【详解】解：（1）表示x所对应的点与2所对应的点之间的距离为1， ∴或， 故答案为：1或3； （2）①表示x所对应的点到4和所对应的点的距离之和，当x在4和之间时，有最小值， ∴的最小值为， 故答案为：6； ②表示x所对应的点到和所对应的点的距离之和，当x在和之间时，有最小值，最小值为， ∵代数式的最小值是2， ∴， 解得：或， 故答案为：或； （3）如图所示，设M表示的数为x，距离之和为s， 则所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和为： 表示x所对应的点到、、、、、、七个点的距离之和， ∴奇数个点时取正中间的数时有最小值，即时， ， ∴当M在点F上时，四个点到M的距离之和最小，所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值为． 29．探究规律： (1)计算： ______ ；  ______． (2)归纳：表示数轴上，两点间的______． (3)应用：的最小值是______，此时 ______． 求的最小值． 【答案】(1)；； (2)距离； (3)，；． 【分析】本题主要考查了绝对值，解决本题的关键是根据绝对值的几何意义去掉绝对值符号，再利用不等式的基本性质求代数式的最小值． （1）根据绝对值的几何意义分别求出两个式子的值即可； （2）根据绝对值的几何意义，可知表示数轴上，两点间的距离； （3）根据绝对值的几何意义可知当时，有最小值； 根据绝对值的几何意义求解即可． 【详解】（1）解：；， 故答案为：；； （2）解：表示数轴上，两点间的距离， 故答案为：距离； （3）解：的最小值是， 当时， 可得：， 解得：， 故答案为：，； 解：表示数轴上表示x的数到1的距离加上表示x的数到2的距离加上表示x的数到3的距离， ∴当时，有最小值， ∴此时． 30．阅读下列材料，计算：． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数为． 故原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法______是错误的； (2)请你选择合适的解法计算： ①； ②． 【答案】(1)一 (2)①；② 【分析】本题考查有理数的混合运算，乘法分配律的运用； （1）根据除法没有分配律，可知解法一是错误的； （2）①可选择解法二的思路来计算；②可选择解法三的思路来计算． 【详解】（1）解：观察计算过程可知，解法一是错误的，因为除法没有分配律． 故答案为：一 （2）解：① ． ②先计算的倒数 ， ∴， ∴原式． 31．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小聪在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究： 【操作一】 （1）折叠纸面，若使1表示的点与表示的点重合，则表示的点与 表示的点重合； 操作二： （2）折叠纸面，若使4表示的点与表示的点重合．回答以下问题： ①3表示的点与 表示的点重合； ②若数轴上A、B两点之间距离为18（A在B的左侧）．且A、B两点经折叠后重合，求出A、B两点表示的数分别是多少？ 【操作三】 （3）如图，若将此纸条沿A、B两处剪开，将中间的一段纸条对折，使其左右两端重合，这样连续对折2次后，再将其展开，则最左端的折痕与数轴的交点表示的数为 ； 【操作四】 （4）如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是、10，点C为数轴上一动点，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在数轴上且到点B的距离为1，C点表示的数为 ． 【答案】（1）5；（2）①；②A、B两点表示的数分别是和6；（3）；（4）C点表示的数是或． 【分析】本题主要考查的是折叠的性质、数轴上动点问题、线段的和差、绝对值方程等知识点，确定数轴的折点是本题的关键． （1）根据对称性与1重合，可以得出折点为原点0，进而完成解答； （2）根据对称性找到折点表示的数为，①设3表示的点与数a表示的点重合，根据对称性列式求出a的值；②因为，所以A到折点的点距离为9，因为折点对应的点为，由此得出A、B两点表示的数； （3）分别求得两次折痕表示的数即可求解； （4）设C点表示的数是x，表示出的长，然后根据列绝对值方程求解即可． 【详解】解：（1）∵表示的点1与表示的点重合， ∴折点表示的点为， ∴表示的点与5表示的点重合； 故答案为：5； （2）折叠纸面，若使4表示的点与表示的点重合，则折点表示的数为， ①设3表示的点与数a表示的点重合，则．即， 所以3表示的点与表示的点重合； 故答案为：； ②∵数轴上A、B两点之间距离为18， ∴数轴上A、B两点到折点的距离为9， ∵A在B的左侧，则A、B两点表示的数分别是和6； （3）由题意第1次折痕表示的数为， 第2次最左端的折痕与数轴的交点表示的数为， 故答案为：； （4）解：设C点表示的数是x， 则，， ∵以点C为折点，将此数轴向右对折且， ∴， ∴，解得：或． ∴C点表示的数是或． 32．【概念】求若干个相同的有理数(均不等于0)的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作2，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”， 一般地， 把写作aⓝ，读作“a的圈n次方”． 【探究】（1）直接写出计算结果： ______，=_______； 【思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （2）试一试：仿照上面的算式，把除方运算写成幂的形式：． （3）算一算． 【答案】（1）；；（2）；；（3）． 【分析】本题考查有理数的乘方，有理数混合计算等． （1）根据题意列式计算即可； （2）根据题意列式计算即可； （3）先将每一项化简，再从左到右先计算除法再计算减法即可． 【详解】解：（1）；， 故答案为：；； （2）； （n次）（）， （3）， ， ， ， ． 33．综合与实践 【知识再现】我们都知道，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作，因为原点表示的数是，所以，由此可知，表示7与之差的绝对值，实际上也可理解为数轴上分别表示与的两点之间的距离，所以； 【问题初探】阅读以下材料，并回答问题： 如图，把一根长度为 的木棒放在一条数轴（单位长度为 ）上，它的两端，分别落在点，处，将木棒在数轴上水平移动，先向右移动，当点移动到处时，点与点重合，此时点对应的数为，再向左移动，当点移动到处时运动停止，点与点重合，此时点对应的数为． （1）由此可得，__________，的值为__________． （2）图中点所表示的数是__________，点所表示的数是__________． （3）若木棒以每秒个单位长度的速度运动，从运动开始到结束共需要几秒钟？ 【拓展应用】 （4）借助上述方法解决下列问题： 一天，小华去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要年才出生；你若是我现在这么大，我已经是岁的老寿星了，哈哈”小华纳闷，奶奶到底是多少岁？请你画出示意图，求出小华和奶奶现在的年龄，并说明解题思路． 【答案】（1）， ；（2），；（3）秒钟；（4）小华现在的年龄岁，奶奶现在的年龄岁，思路见解析． 【分析】本题主要考查了数轴，熟练掌握数轴及绝对值的含义，并能将题中结论进行应用是解本题的关键． （1）根据数轴上两点间距离直接求解； （2）根据数轴上两点的几何意义直接求解； （3）根据点的运动轨迹，得到点的运动路程，再利用时间路程速度，求解即可； （4）奶奶与小华的年龄差不变，借助数轴，把奶奶与小华的年龄差看作木棒，再对应求值即可． 【详解】（1）点到点的距离、点到点的距离、点到的距离相等，都等于木棒的长度， ，的值为， 故答案为：，； （2），点所表示的数是， 点所表示的数是，点所表示的数是， 故答案为：，； （3）由题可知，点的运动路程为， 运动时间为， 故共需秒钟； （4）点表示小华现在的年龄，点表示奶奶现在的年龄， 借助数轴，把小华与奶奶的年龄差看作木棒，类似奶奶像小华那么大时看作当点移动到点时，此时点所对应的数为．小华像奶奶那么大时看作当点移动到点时此时点所对应的数为， 奶奶比小华大（岁． ，， 点对应的数为，点对应的数为． 34．如图，数轴上点A表示的数是，点B表示的数是3，阅读以下材料并解决相关问题，若在数轴上存在一点P，使得点P到点A的距离与点P到点B的距离之和等于n，则称点P为点A、B的“n格距点”．例如：在图1中，点P表示的数是，点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为，则称点P为点A、B的“5格距点”． (1)若点P表示的数是2，则n的值为______； (2)数轴上表示整数的点称为整点，若整点P为点A、B的“5格距点”，则这样的整点P有______个； (3)若点P为数轴上一点，且点P到点B的距离为1，求点P表示的数及n的值； (4)若点P在数轴上运动，满足点P到点B的距离等于点P到点A的距离的2倍，且此时点P为点A、B的“n格距点”，求点P表示的数及n的值． 【答案】(1)5 (2)6 (3)点P表示的数为2或4，或7 (4)点P表示的数为或，或15 【分析】本题考查了新定义，用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，理解题意，利用数形结合的思想是解题关键． （1）由题意可求出点P到点A的距离与点B到点的距离之和为5，即可求解； （2）根据题意可得出，即说明点P在线段上，从而得出整点所表示的数； （3）由题意可求出点P表示的数是2或4，进而即可求出n的值； （4）分两种情况讨论：当P在之间时，，点P表示的数为，此时；当P在点A左边时，，点P表示的数为，此时． 【详解】（1）解：∵点P表示的数为2，点A表示的数是，点B表示的数是3， ∴点P到点A的距离为4，到点B的距离为1， ∴点P到点A的距离与点B到点的距离之和为， ∴点P为点A、B的“5格距点”， ∴， 故答案为：5． （2）解：∵整点P为点A、B的“5格距点”， ∴，即P在线段AB上， ∴整点P所表示的数是，0，1，2，3，共6个， 故答案为：6． （3）解：∵点P到点B的距离为1， ∴点P表示的数为2或4， ①当点P表示的数为2时，点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为，此时； ②当点P表示的数为4时，点P到点A的距离为，到点B的距离为， 点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为，此时； 点P表示的数为2或4，或7． （4）解：①当P在之间时，，点P表示的数为：，此时； ②当P在点A左边时，，点P表示的数为：，此时． 点P表示的数为或，或15． 35．如图1，在数轴上点，，从左到右依次排列，有理数，，所对应的点分别为点，，．已知是最大的负整数，是的相反数，，请回答下列问题： (1)填空：________，________，________； (2)如图2，为数轴上一动点，点表示的数为，现以为折点，将数轴向右对折．（点在点的右侧，与点，的相对位置不固定） ①若对折后点与点重合，求此时的值； ②若对折后，，三点互不重合且其中一点到另外两点的距离相等，请直接写出此时的值． 【答案】(1)；1；6 (2)①；②或3或 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，数轴上两点中点计算公式，求一个数的绝对值，有理数的相关概念，熟知相关知识是解题的关键． （1）最大的负整数为，则可得到a的值，只有符号不同的两个数互为相反数，则可得到b的值，再根据绝对值的定义可得c的值； （2）①点A与点C重合，那么点P为折叠前的中点，据此求解即可；②分当折叠后A动，B和C不动，且点A到点B和点C的距离相等时，则折叠后点A是的中点，当折叠后A、B动，点C不动，且折叠后点C到点A和点B的距离相等时，则折叠后点C是的中点（点B在点C左侧），当折叠后A、B动，点C不动，且折叠后点B到点A和点C的距离相等时，则折叠后点B是的中点（点B在点C右侧），三种情况根据两点中点计算公式讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵是最大的负整数， ∴， ∵是的相反数， ∴， ∵， ∴或（舍去）； （2）解：①∵以为折点，将数轴向右对折，对折后点与点重合， ∴点P为折叠前的中点， ∵，， ∴； ②当折叠后A动，B和C不动，且点A到点B和点C的距离相等时，则折叠后点A是的中点， ∴折叠后点A表示的数为， ∴； 当折叠后A、B动，点C不动，且折叠后点C到点A和点B的距离相等时，则折叠后点C是的中点（点B在点C左侧）， ∵折叠前， ∴折叠后， ∴折痕后， ∴折叠后点B表示的数为， ∴； 当折叠后A、B动，点C不动，且折叠后点B到点A和点C的距离相等时，则折叠后点B是的中点（点B在点C右侧）， ∵折叠前， ∴折叠后， ∴折叠后， ∴折叠后点A表示的数为， ∴； 综上所述，的值为或3或． 36．已知数轴上两点A、B所表示的数分别为2和10，点为数轴上一动点，其表示的数为m． (1)A、B两点间的距离是：___________． (2)若点到点、点的距离相等，则点表示的数___________． (3)数轴上是否存在点，使点到点、点的距离之和为14？若存在，请直接写出的值为___________；若不存在，说明理由； (4)现在点、点分别以2个单位长度/秒和1个单位长度/秒的速度同时向右运动，点以2个单位长度/秒的速度同时从原点向左运动．当点与点之间的距离为3个单位长度时，求点所表示的数是多少？ 【答案】(1)8 (2)6 (3)或13 (4)点所对应的数是或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）利用数量上两点间的距离公式，即可求出，两点间的距离； （2）根据点到点、点的距离相等，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）根据点到点、点的距离之和为14，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （4）当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，根据点与点之间的距离为3个单位长度，可列出关于的含绝对值符号的一元一次方程，解之可得出的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：、两点间的距离是． 故答案为：8； （2）解：根据题意得：， 解得：． 故答案为：6； （3）解：根据题意得：， 即或， 解得：或， 存在，的值为或13． 故答案为：或13； （4）解：当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， 根据题意得：， 即或， 解得：或， 当时，； 当时，． 答：点所对应的数是或． 37．综合与实践 数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小锦在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究． 操作一： （1）折叠纸面，若使表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示______的点重合． 操作二： （2）折叠纸面，若使表示2的点与表示的点重合，解答以下问题． ①表示4的点与表示______的点重合． ②若数轴上A，B两点之间的距离为（点A在点B的左侧），且A，B两点经折叠后重合，则A，B两点表示的数分别是______． 操作三： （3）在数轴上剪下长为8个单位长度（从到5）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）．若这三条线段的长度之比为，请直接写出折痕处对应的点可能表示的数． 【答案】（1）5（2）①②，6（3）0或1或2 【分析】本题考查了有理数和数轴的关系，及数轴上的折叠变换问题，解答本题的关键是熟练掌握折叠的性质，明确数轴上折叠后重合的点到折痕的距离相等． （1）根据数轴上折叠后重合的点到折痕的距离相等找到折痕所过的数轴上的点为原点，即可求解； （2）根据数轴上折叠后重合的点到折痕的距离相等找到折痕所过的数轴上的点为，①求出表示4的点与表示的点的距离，再根据数轴上折叠后重合的点到折痕的距离相等列式求值即可；②因为数轴上A，B两点之间的距离为，所以A，B到折痕的点距离为8，据此列式求解即可； （3）分三种情况进行讨论：如解析图所示，当时，当时，当时，分别求出、、的值，进而计算折痕处对应的点所表示的数的值即可． 【详解】解：由图知：数轴上折叠后重合的点到折痕的距离相等， （1）∵表示1的点与表示的点重合， ∴折痕过原点， 则表示的点与表示5的点重合， 故答案为：5； （2）若使表示2的点与表示的点重合， 则说明折痕过表示的点， ①表示的点与表示4的点的距离为：， ， ∴表示4的点与表示的点重合， 故答案为：； ②∵数轴上A，B两点之间的距离为， ∴A，B到折痕处的距离为8， ∵点A在点B的左侧， ∴点A表示的数为：， 点B表示的数为：， 故答案为：，6； （3）8个单位长度（从到5）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段，若这三条线段的长度之比为，分以下几种情况讨论： 如图1，当时， 设，，， ， ， ，，， 折痕处对应的点所表示的数是：； 如图2，当时， 设，，， ， ， ，，， 折痕处对应的点所表示的数是：， 如图3，当时， ，，， ， ， ，，， 折痕处对应的点所表示的数是：， 综上所述：则折痕处对应的点所表示的数可能是0或1或2． 38．[背景知识]数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A、B两点之间的距离 ，线段的中点表示的数为． 【问题情境】数轴上点A表示的数为，点B表示的数为6，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点B匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，Q到达A点后，再立即以同样的速度返回B点，当点P到达终点后，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t秒． 【综合运用】 (1)填空：A、B两点间的距离________，线段的中点表示的数为________； (2)当t为何值时，P、Q两点间距离为3； (3)若点M为的中点，点N为的中点，用含t的代数式表示的长度． 【答案】(1)10，1 (2)或或 (3)当时，；当时， 【分析】kkk本题考查数轴上两点间的距离公式、中点坐标公式、动点问题： （1）利用数轴上两点间距离公式和中点公式直接计算； （2）分点Q向左运动和返回运动两种情况，根据两点间距离公式列方程求解； （3）分点向左运动和返回运动两种情况，先求出、表示的数，再利用距离公式计算MN的长度． 【详解】（1）解：表示的数为，点表示的数为6， 中点表示的数是 故答案为：10，1； （2）解：当点与点重合时，； 当点与点重合时，； 当点返回到点时，， 当时，点表示的数是，点表示的数是， ， 或， 解得或； 当时，点表示的数是，点表示的数是， ， 或， 解得或（不符合题意，舍去）， 综上所述，当或或时，两点间距离为3． （3）解：点为的中点，点为的中点， 当时，点表示的数是，点表示的数是， ∵，， ∴， ； 当时，点表示的数是，点表示的数是， ∵，， ∴， ． ∴当时，；当时，． 39．有人建议向火星发射如图1所示的图案，它叫作幻方，其中9个格中的点数分别是1，2，3，4，5，6，7，8，9．每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都相同．如果火星上有智慧生物，那么他们可以从这种“数学语言”了解到地球上也有智能生物（人）． (1)如图1，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都是______； (2)如图2，在一个由6个圆圈组成的三角形里，把到这6个连续整数分别填入圆圈中，要求三角形的每条边上的三个数的和S都相等，请直接写出S的最大值是______． 【答案】(1)15 (2) 【分析】本题考查了有理数的加法的应用，理解题意是解题的关键． （1）根据图中数据计算即可作答； （2）根据三角形的每条边上的三个数的和S都相等，且和最大，把到这个数较大的三个数放在三个顶点处即可求解； 【详解】（1）解：任取两组数据，由图可知，， 故答案为：； （2）将填入三角形的三个顶点处， 与之间填， 与之间填， 与之间填， 如图， 则三角形的每条边上的三个数的和都相等，且和最大， 此时，， ∴的最大值为， 故答案为：． 40．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒． 【综合运用】 (1)填空： ①A、B两点间的距离_______，线段的中点C表示的数为_______； ②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为_______；点Q表示的数为_______； (2)求当t为何值时，； (3)若点M为的中点，点N为的中点，点P在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． 【答案】(1)①10，3；②，； (2)1或3； (3)不变，5． 【分析】（1）①根据题目所给的两点距离公式以及两点中点公式进行求解即可；②根据数轴上点A表示的数为，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动进行求解即可得到结果； （2）由（1）②得t秒后，点P表示的数，点Q表示的数为，则，再由，可得，由此求解即可； （3）根据两点中点公式，分别求出点M表示的数，点N表示的数，即可得出线段的长度． 【详解】（1）解：①由题意得：，线段AB的中点C为， 故答案为：10，3； ②数轴上点A表示的数为，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动． t秒后，点P表示的数为：，点Q表示的数为：； 故答案为：，； （2）解：∵t秒后，点P表示的数，点Q表示的数为， ∴， 又∵， ∴， 解得：或3， ∴当或3时，； （3）解：不发生变化，理由如下： ∵点M为的中点，点N为的中点， ∴点M表示的数为，点N表示的数为， ∴． 【点睛】本题主要考查了用数轴表示有理数，数轴上两点的距离，数轴上的动点问题，数轴上两点之间的中点表示方法，解题的关键在于理解题意，能够熟练掌握数轴上两点的距离计算公式． 41．已知A，B两点在数轴上对应的有理数分别为a，b，且a，b满足：． (1)则______，______； (2)定义：若点M为数轴上A，B两点之间一点，且到A，B两点的距离满足：其中一个距离是另一个距离的2倍，则称M为A，B两点的“友好点”． ①求A，B两点的“友好点”M在数轴上对应的有理数； ②点P在点A右侧，同时点Q在点B的右侧，P在Q的左侧，且，则当B，P，Q三点中有一点是另两点的“友好点”，求的值． 【答案】(1)，12 (2)①6，0；②45，60， 【分析】（1）利用平方数和绝对值的非负性来确定a、b的值； （2）①通过设点M对应的数，根据“友好点”的定义列出方程求解； ②先根据求出的值，再设点P、Q对应的数，分情况讨论当B、P、Q分别为“友好点”时列出方程求解的值． 【详解】（1），，且， ，， 解得，， 故答案为，12； （2）①设数轴上点M表示的数为x， ，， 根据“友好点”的定义，M到A、B两点的距离满足其中一个距离是另一个距离的2倍，即或， 当时， ， 解得， 当时， ， 解得 所以数轴上点M对应的有理数是6或0； ②，且， ， 设点P表示的数为p， 点P在点A右侧，A表示的数为， ， 解得， 设点Q表示的数为q，则， 当点B是P、Q的“友好点”时：有或，， 当时，， 解得， 此时点表示的数是，点表示的数是，点在点的右侧，不合题意，舍去； 当时，， 当点P是B、Q的“友好点”时：有或，，， 当时，， 解得，则， 当时，， 解得，则， 当点Q是B、P的“友好点”时：有或，，， 当时，， 解得，则， 当时，， 解得（因为点Q在B右侧，所以舍去）， 综上分析可得，的值为45或60或90． 【点睛】本题是一道综合性较强的数轴与绝对值应用问题，非负数的性质等知识，分类讨论是解题的关键． 42．观察下列三行数： 第一行：，… 第二行：，… 第三行：，… (1)第①行的第个数是 （为正整数）； (2)第二、三行数与第一行相对应的数分别有什么关系； (3)取每一行的第9个数，计算这3个数的和． 【答案】(1) (2)第二行比第一行对应数加；第三行是第一行对应数的 (3)1282 【分析】本题考查了数字变化规律，通过观察所给的数，探索出每行数的规律，再纵向联系每一列数，探索出每行数之间的规律是解答关键． （1）通过观察可得到第一行数第个数的规律； （2）观察各行数的规律来求解； （3）分别求出各行数的第9个数字，再来求解即可． 【详解】（1）解：， 第一行的第个数是， 故答案为：； （2）解：观察可知，第二行的数是第一行对应的数加2； 第三行的数是第一行对应的数的； （3）解：观察可知， 第一行的第个数是， 第一行的第9个数是512； 第二行的第个数是， 第二行的第9个数是514； 第三行的第个数是， 第三行的第9个数是256， 这三个数的和为． 43．已知，晓风错将“”看成“”，算得结果． (1)计算的表达式； (2)求正确的结果的表达式； (3)晓华说（2）中的结果的大小与的取值无关，对吗？若，，求（2）中代数式的值． 【答案】(1) (2) (3)结果的大小与的取值无关，0 【分析】本题主要考查整式的加减，涉及的知识有：去括号、合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键； （1）由得，将C、A代入计算可得； （2）将A、B代入计算即可； （3）由化简后的代数式中无字母c可知其值与c无关，将a、b的值代入计算即可. 【详解】（1）解：∵ ∴ . 故的表达式为. （2）解： . 故正确的结果的表达式为. （3）解：由（2）得 ∵代数式中无字母c ∴其值与c无关是对的 将，代入得： . 44．数轴是初中数学的一个重要工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． (1)【知识呈现】 数轴上的点A，点C所表示的数如图1所示：若点B与点A表示的数互为相反数，则点B表示的数是______，点A与点C之间的距离 ______，点B与点C的中点D表示的数是______，且在图1的数轴上标出点D． (2)【定义】 一个点 （不是原点）在数轴上运动，第一次跳到 的位置（点 与点 表示的数互为相反数），点 称为点 的一次跳跃点，紧接着从 到 的位置（点 与点 位于点 的两侧，且 ），则点 称为点 关于点 的二次跳跃点．如图 2 所示； 【初步理解】 ①若点 表示的数是， 表示的数是 ，点 的一次跳跃点 表示的数是____， 关于点 的二次跳跃点 表示的数是____，线段 的长度为____． 【深入探究】 ②若点 为数轴正半轴的一个点，点 是数轴负半轴上一个点，点 为点 关于点 的二次跳跃点．若点 ，点 表示的数分别是 ，，当 变化时，探究 的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由． 【归纳总结】 ③若在数轴上点 ， 分别表示有理数 ，（其中 ，），点 为点 关于点 的二次跳跃点，直接写出线段 的长度． 【答案】(1)1，6，3；见解析 (2)①3，9，12；②不变，；③ 【分析】本题主要考查了相反数、有理数、数轴两点的距离、新定义等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由题意即可得解； （2）①根据跳跃点的定义可得到表示的数，再根据二次跳跃点的定义可得表示的数，进而可求的长度； ②由题易知P是的中点，再分类讨论利用数轴上两点距离求解即可； ③同②思路即可得解． 【详解】（1）解：由题易知，点B表示的数是1，，D表示的数是3；如图所示，点D为所求． 故答案为：1，6，3； （2）解：①由数轴可知，表示的数是3， ∵点P表示的数为6， ， ， ∴表示的数是， ∴线段的长度为， 故答案为：3，9，12； ②解：的值不变，，理由如下： 依题意知点表示的数是， 若，如图所示， ∵点与点位于点P的两侧，且， ， ， ∴点表示的数是， ； 若，如图所示， ∵点与点位于点P的两侧，且， ， ， ∴点表示的数是， ， 综上所述：； ③∵点M表示的数是m， ∴一次跳跃点表示的数是， ∵点与点位于点P的两侧，且， ∴点P是的中点， ∵点P表示的数是p， ∴点表示的数是， ． 45．问题情境：数学活动课上，王老师在黑板上写了一串等式： (1)在等式中寻找规律，并利用规律计算： (2)数学活动小组的同学们对上述问题进行一般化研究之后，将分母中的两个因数的差改为2，并提出新的问题，，请你计算； (3)请你计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字类规律的探究，有理数的四则混合运算，乘法的分配律，根据已知等式找到规律并正确计算是解题的关键； （1）根据已知等式规律对原式进行变形，再根据有理数的加减法运算即可； （2）对原式进行变形，再计算乘法即可； （3）根据对原式进行变形，再计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 46．综合与实践 问题情境 我国著名的数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休”．在学完乘方运算后，老师在数学活动课上把一个面积为1的长方形对折，让两部分完全重叠，那么折叠后图形的面积是原来的二分之一即，沿着折痕剪开得到的长方形1，把再按刚才的方法对折，得到第2个长方形的面积又是长方形1的面积的一半即，依次操作下去．．．，（此题结果可用类似的形式表示） 规律发现 操作第10次后，剪下的第10个长方形的面积是____________； 知识应用 操作第10次后，通过面积割补形数结合，把这十个长方形的面积加起来应该是____________； 知识迁移 （1）如图，请你用“数形结合”的思想．求的值为____________； （2）请你利用（1）的结论，求下列式子的值：． 【答案】规律发现：； 知识应用：； （1）； （2）． 【分析】本题考查了有理数的运算、规律型问题的求解、数形结合思想的运用等知识与方法，正确地找出长方形面积的变化规律是解题的关键． 规律发现：根据找到的规律即可解题； 知识应用：把这十个长方形的面积加起来相当于从第一个长方形的面积中把最后一个长方形的面积减去，即可解题； （1）由问题情境的方法进行计算； （2）转化成计算即可． 【详解】解：规律发现：折叠1次：长方形的面积为； 折叠2次：长方形的面积为； 折叠3次：长方形的面积为； ； 折叠次：长方形的面积为； 操作第10次后，剪下的第10个长方形的面积是； 故答案为：； 知识应用：把这十个长方形的面积加起来应该是：； 故答案为：； （1）由问题情境得； （2） ． 47．综合探究 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法． 如图1所示，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，以此类推… (1)根据图形填写下表； ① ② ③ 阴影面积 面积 ______ (2)计算：；（请写出计算过程） (3)类比：小华在计算时利用了如图2所示的正方形模型． 设正方形的面积为1，第1次分割，把正方形的面积三等分，阴影部分的面积为；第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积三等分，阴影部分的面积之和为；第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积三等分，阴影部分的面积之和为；… ①第n次分割后，空白部分的面积是______； ②由此计算的值． (4)拓展：计算______． 【答案】(1) (2) (3)①；② (4) 【分析】本题考查了有理数的乘方、图形类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键． （1）根据图1分别求出部分①⑥的面积，再根据阴影部分的面积等于部分⑥的面积即可得； （2）将转化为，再去括号，计算即可得； （3）①根据第次分割后，空白部分的面积归纳类推出一般规律，由此即可得； ②根据①中的规律求出，再将所求出式子的转化为，代入计算即可； （4）类比前面的方法，推导式子的结果． 【详解】（1）解：观察图形可知：部分①的面积为， 部分②的面积为， 部分③的面积为， 阴影部分的面积是， 故答案为：； （2）解：根据图形规律可得：； （3）解：根据题意：设正方形的面积为1，第1次分割，把正方形的面积三等分， 阴影部分的面积为，空白部分面积为； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分， 阴影部分的面积之和为，空白部分面积为； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分， 阴影部分的面积之和为，空白部分面积为， ①则第n次分割后，阴影部分的面积和为，空白部分的面积是， 故答案为：； ②根据第n次分割阴影部分的面积和为，空白部分的面积是， ，两边同除以2，得算． （4）解：拓展：原式 第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积m等分， 所有空白部分的面积之和为，最后阴影部分的面积是． ． 故答案为：． 48．【阅读】求值． 解：设， 将等式的两边同时乘以2得：， 由得：． 即：． (1)【运用】仿照此法计算：： (2)【延伸】如图，将边长为的正方形分成个完全一样的小正方形，得到左上角一个小正方形为，选取右下角的小正方形进行第二次操作，又得到左上角更小的正方形，依次操作次，依次得到小正方形，，，，，完成下列问题： 小正方形的面积等于_______________； 求正方形，，，，的面积和． 【答案】(1)； (2) ； ． 【分析】本题考查图形类规律探究、有理数的混合运算． 设，把等式两边都乘以可得：，把两个等式的左右两边分别相减即可求出结果； 根据图形的分割规律可知，设， 等式两边都乘以可得：，把两个等式两边同时相减即可得到结果． 【详解】（1）解：设， 得：， 得：， ；            （2）解：由图形可知， ， ， 故答案为：；             设， 得：， 得：， 即． 49．（1）如图， 若用点A、B、C分别表示有理数a、b、c， 化简∶． （2）已知，求 的值． 【答案】（1），   （2） 【分析】本题主要考查带绝对值的整式化简，绝对值的非负性，解决此题的关键是理解绝对值的意义； （1）先根据数轴判断字母的正负，再根据有理数的加减得到绝对值里的式子的正负，进而去掉绝对值计算即可； （2）先根据绝对值的非负性得到的值，代入式子即可； 【详解】解：（1）由数轴可知：， ∴，， ∴原式， ， ； （2）由题可知：， ∴， ∴原式． 50．整体思想是中学数学解题中的一种重要思想，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，仿照下面的解题方法，完成后面的问题： 如果代数式的值为3，那么代数式的值是多少？ 爱动脑筋的小聪同学这样来解： 原式． 我们把看成一个整体，把式子两边乘2，得． 【方法运用】 （1）若，则的值为_________； （2）若，求的值； 【类比迁移】 （3）两地相距60千米，甲、乙两人同时从两地骑自行车出发，相向而行．甲每小时行千米，乙每小时行千米，经过3小时相遇．问甲、乙两人出发多少小时后两人相距20千米？ 【答案】（1）7；（2）；（3）2或4小时 【分析】本题考查整式加减中的化简求值，求代数式的值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）将原式变形后整体代入已知数值计算即可； （2）将原式去括号，合并同类项后并整理，然后整体代入已知数值计算即可； （3）由题意易得，则，根据题意分相遇前两人相距20千米和相遇后两人相距20千米列式计算即可． 【详解】解：（1）， ， 故答案为：7； （2），， ； （3）由题意得， 则， 若相遇前两人相距20千米时， （小时）， 若相遇后两人相距20千米时， （小时）， 即甲、乙两人出发2小时或4小时后两人相距20千米． 51．【问题背景】已知，若的值与的取值无关，则，解得． 【类比探究】（1）已知．若的值与的取值无关，求的值． 【拓展应用】（2）8个如图①所示的小长方形，长为，宽为，按如图②所示的方式不重叠地放在大长方形内．对于大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为，左下角的面积为，设．若当的长变化时，的值始终保持不变，求与的数量关系． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查的是整式的加减运算，多项式的值与某个字母的值无关的含义. （1）先转化为关于的多项式，然后去括号，合并同类项化简，再根据多项式的值与无关，再建立方程求解即可； （2）先分别表示，，再计算，再根据与无关，从而可得答案. 【详解】（1）解：由题意，得 ． ∵的值与的取值无关， ∴，解得． （2）由题意，得， ∴ ． 的值始终保持不变， ，即． 52．定义新运算“△”和“□”： ①定义新运算“△”：给定有理数a、b，对于整式A、B，规定，等式右边是通常的减法、乘法运算； ②定义新运算“□”：给定正整数n（），对于整式M，规定（按从左到右的顺序依次做“△”运算）例如：当、，时，对于，，则有，． (1)当，时，若，，求和． (2)直接写出一组a，b的值，使得对任意一个正整数n（）和任意—个整式M，都有成立． (3)当，时，若，，若（p、q为正整数，且、）中不含项，直接写出满足条件的一组p、q的值． 【答案】(1)，； (2)， (3)，. 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，整式的加减运算，理解新定义是解本题的关键； （1）由题意可得，再根据新定义运算法则计算即可； （2）令，，可得，再根据新定义推导即可； （3）由，，可得，结合，，（p、q为正整数，且、）中不含项，可得运算中只考虑项，再进一步利用新定义探索即可. 【详解】（1）解：当，时， ∴， ∵，， ∴ ； ； （2）解：当，时， ∴， ∴ ； （3）解：当，时， ∴， ∵，，（p、q为正整数，且、）中不含项， ∴运算中只考虑项， ∴， ， ； ， ∴ ， ∴（p、q为正整数，且、）中不含项，满足条件的，. 53．如图，数轴上有三个点A、B、C，表示的数分别是、、6． (1)①点B和点C之间的距离是 个单位长度； ②若使C、B两点的距离是A、B两点的距离的2倍，则需将点C向左移动 个单位长度； (2)点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒m个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒． ①点A、B表示的数分别是 、 （用含m、t的代数式表示）； ②若点B与点C之间的距离表示为，点A与点B之间的距离表示为，当m为何值时，的值不会随着时间的变化而改变，并求此时，的值． 【答案】(1)①10；②2或18 (2)①、；②当时，的值不会随着时间t的变化而改变，此时的值为38 【分析】本题主要考查了列代数式及数轴，熟知数轴上的点所表示数的特征是解题的关键． （1）根据数轴上的点所表示数的特征即可解决问题； （2）①根据数轴上的点所表示数的特征，用含m、t的代数式分别表示出运动后点A和点B表示的数即可；②根据题意，分别表示出和，再根据的值不会随着时间的变化而改变，得出此代数式的值与t的取值无关，据此求出m的值即可解决问题． 【详解】（1）解：①因为点B和点C表示的数分别是、6， 所以， 即点B和点C之间的距离是10个单位长度， 故答案为：10； ②因为点A和点B表示的数分别是、， 所以， 又因为C、B两点的距离是A、B两点的距离的2倍， 所以， 因为B点表示的数是， 设C点表示的数为或， 即C点表示的数应该是4或， 因为开始C点表示的数为6， 所以C向左移动2个单位或18个单位． 故答案为：2或18； （2）解：①因为点A以每秒m个单位长度的速度向左运动，且运动时间为t秒， 所以运动后点A表示的数为：； 因为点B以每秒2个单位长度的速度向右运动，且运动时间为t， 所以运动后点B表示的数为：， 故答案为：，； ②因为点C以每秒5个单位长度的速度向右运动，且运动时间为t， 所以运动后点C表示的数为：， 则， ， 则 ． 因为的值不会随着时间的变化而改变， 所以， 解得， 此时， 所以当时，的值不会随着时间的变化而改变，此时． 54．【情景创设】 是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢？ 【探索活动】 （1）根据规律第6个数是_________，是第_________个数； （2）我们知道：，那么： 用含有n的式子表示你发现的规律_________ 【方法属示】 ． 这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉． 【实践应用】 （3）根据上面获得的经验完成下面的计算： 【问题解决】 （4）容器里有1升水，按如下要求把水倒出：第一次倒出升水，第二次倒出的水量是升的，第三次倒出的水量是升的，第四次倒出的水量是升的，……，第n次倒出的水量是升水的．按照这种倒水方式，这1升水能否倒完？说明理由； 【答案】（1），11； （2）； （3）； （4）永远不可能倒完，见解析 【分析】本题考查了数字类问题的探索，理解题意掌握对分数的处理方法是解题的关键． （1）观察式子左右两边的数字，即可求解； （2）观察式子左右两边的数字，即可求解； （3）根据（1）中的规律， 依次化简每个式子，然后求解即可． （4根据题意第次后剩余的水量为，根据（1）化简式子即可求解； 【详解】（1）第6等式：； 故答案为：，11； （2）观察所给式子的等号左右两边的数字，可得到如下规律： ． （3）原式= = ． （4） ．永远不可能倒完． 55．某市居民使用自来水按如下标准收费（水费按月缴纳）： 户月用水量 单价 不超过的部分 超过但不超过的部分 超过的部分 (1)当时，某用户一个月用了水，求该用户这个月应缴纳的水费． (2)设某户月用水量为立方米，当时，则该用户应缴纳的水费．（用含有的整式表示）． (3)当时，甲、乙两用户一个月共用水，已知甲用户缴纳的水费超过了元，设甲用户这个月用水，试求甲、乙两用户一个月共缴纳的水费（用含的整式表示）． 【答案】(1)元 (2)元 (3)当时，共缴纳的水费元；当时，共缴纳的水费元；当时，共缴纳的水费元 【分析】（）根据收费标准计算即可求解； （）根据收费标准列出算式即可； （）先判断甲户的用水量大致范围，再分、和三种情况列式表示即可； 本题考查了有理数的混合运算、列代数式等知识点，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，， 答：该用户这个月应缴纳元水费； （2）解：当时，该用户应缴纳的水费为： 元； （3）解：∵甲用户缴纳的水费超过了元， ∴， ①当时，， 甲用户缴纳的水费为， 乙用户缴纳的水费为， 甲乙共缴纳的水费为元； ②当时，， 甲用户缴纳的水费为， 乙用户缴纳的水费为， 甲乙共缴纳的水费为元； ③当时，， 甲用户缴纳的水费为， 乙用户缴纳的水费为， 甲乙共缴纳的水费为元； 答：当时，共缴纳的水费元；当时，共缴纳的水费元；当时，共缴纳的水费元． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中复习压轴题型汇编 范围：第一章-第三章 一、单选题 1．将一个正方体纸盒的表面沿如图所示的粗实线和粗虚线剪开，展开成平面图，其展开图的形状为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在二行三列的方格棋盘上沿骰子的某条棱翻动骰子（相对面上分别标有1点和6点，2点和5点，3点和4点），在每一种翻动方式中，骰子不能后退．开始时骰子如图（1）那样摆放，朝上的点数是2；最后翻动到如图（2）所示的位置，此时骰子朝上的点数不可能是下列数中的（    ） A．5 B．4 C．3 D．1 3．动手操作：做一个正方体木块，在正方体的各面分别写上1，2，3，4，5，6这6个不同的数字，若它可以摆放成如图所示的两种不同位置，请你判断数字5对面的数字是（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 4．如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x的值为2，结果输出的是1，返回进行第二次运算则输出的是，…则第2025次输出的结果是（    ） A． B． C． D． 5．已知a，b是有理数，且，下列结论：①；②；③若是有理数，且满足，则．其中正确的有（   ） A．①②③ B．②③ C．①② D．①③ 6．以下是小明同学数学笔记的一部分，请仔细阅读并完成相应任务． 我们在数学学习中所用的数都是十进制数，一共有十个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，其进位规则是“逢十进一”，比如数字 ，而二进制数是用0和1两个数码来表示的数，它的进位原则是“逢二进一”，二进制数可以转化为十进制数，转化如下：比如： ． 任务：已知是两个不相等的十进制数，且，若三位二进制数的三个数位均为，将其转化为十进制数为（   ） A．1 B．7 C．13 D．111 7．有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列各式正确的有（    ）个． ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．减去它的，再减去余下的，再减去余下的……，以此类推，一直减到余下的，则最后剩下的数是（   ） A． B．1 C． D． 9．对于下列说法： ①若、互为相反数，则； ②如果，则； ③若表示一个有理数，则的最小值为7； ④若，，则的值为． 其中一定正确的结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．我们知道，所以当时，；当时，．下列结论序号正确的是（   ） ①已知，是有理数，当时，的值为或； ②已知，是不为0的有理数，当时，则的值为； ③已知，，是有理数，，，则或； ④已知，，是非零的有理数，且，则的值为或； ⑤已知，，是非零的有理数，，则的所有可能的值为； A．①③④⑤ B．②③④⑤ C．①②④⑤ D．①②③⑤ 11．用大小相同的黑点按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案有2个黑点，第②个图案有7个黑点，第③个图案有15个黑点，第④个图案有26个黑点……按此规律，第⑦个图案中黑点的个数为（   ） A．57 B．62 C．77 D．92 12．观察下列等式：，，，，，，，…，则的末位数字是（   ） A．0 B．2 C．3 D．9 13．若将一组有规律的有理数按如图所示的方式排列，则第10行从左往右第7个数是（   ） A． B． C． D． 14．如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为3125，则第2021次输出的结果为（　　） A．1 B．5 C．25 D．625 15．将图①中的正方形剪开得到图②，图②中共有4个正方形；将图②中的一个正方形剪开得到图③，图③中共有7个正方形；将图③中的一个正方形剪开得到图④，图④中共有10个正方形……如此下去，则第2025个图中共有正方形的个数为（         ） A．6070 B．6073 C．6076 D．6067 二、填空题 16．如图是由一些相同的小立方块构成的几何体从左面和上面看到的形状图．这些相同方块的个数可能是 个． 17．规定表示小于的最大整数，如：，则下列结论中正确的有（填序号）：①；②；③的最小值是0；④的最大值是1；⑤存在有理数，使，则上述结论中正确的有 （填序号）． 18．数轴上点的初始位置表示的数为1，将点做如下移动：第1次点向左移动3个单位长度至点，第2次从点向右移动6个单位长度至点，第3次从点向左移动9个单位长度至点，按照这种移动方式进行下去，如果点与原点的距离不小于，那么的最小值为 ． 19．一个正整数，由个数字组成且个数字各不相同，若它的第一位数可以被整除，它的前两位数可以被整除，前三位数可以被整除，，一直到前位数可以被整除，则这样的数叫做“精巧数”．如：的第一位数“”可以被整除，前两位数“”可以被整除，“”可以被整除，则是一个“精巧数”．若四位数是一个“精巧数”，则为 ；若一个四位“精巧数”各数位数字之和能被整除，则满足条件的四位“精巧数”最大值为 ． 20．如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上0，1，2，3．先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向左滚动，则数轴上表示的点与圆周上表示哪个数字的点重合 ． 21．某快递公司因天气原因需将五种货物进行延迟配送，每名配送员每次只能配送一种货物，从配送开始起进行计时，每延迟一分钟需赔付1元，忽略其它因素的影响，五种货物的配送时间如下表： 货物 配送时间（分钟） 5 8 9 7 10 （1）如果由一名配送员进行配送，那么下列三个配送顺序：①；②；③中，赔付最少的是 （填序号）； （2）如果由两名配送员同时进行配送，最少需要赔付 元． 22．如图是一个三角形数阵，仔细观察排列规律： 按照这个规律继续排列下去，第21行第2个数是 ． 23．a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．如：2的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，则 ． 24．若有理数的“配对数”为，的“配对数”为，的“配对数”为，的“配对数”为，，这样依次得到数，，，，．则当时， ． 25．我们规定：一个四位数，若满足，则称这个四位数为“十全数”．例如：四位数1928，因为，所以1928是“十全数”．按照这个规定，最大的“十全数”是 ；一个“十全数”，将其千位数字与个位数字调换位置，百位数字与十位数字调换位置，得到一个新的数，记，，若是整数，则满足条件的M的最小值是 ． 三、解答题 26．【综合实践】某综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． 【知识准备】 （1）下列图形中，不是无盖正方体的表面展开图的是_______；（填序号） 【实践探索】 （2）综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒） ①图1方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．则长方体纸盒的底面周长为______（用含a，b的式子表示）； ②图2方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．如果，．则该长方体纸盒的体积为_____． 【实践分析】 （3）一个无盖长方体的长、宽、高分别为，（它缺一个长为，宽为的长方形盖子），如图是该长方体的一种平面展开图，它的外围周长为．事实上，该长方体的平面展开图还有不少，请你画出该无盖长方体外围周长最大的一种表面展开图，并求出最大外围周长的值． 27．观察下列式子： 第1个式子：． 第2个式子：． 第3个式子：． 第4个式子：． …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个式子：______． (2)计算：． (3)直接写出的运算结果． 28．数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离． （1）【探究问题】 如图，数轴上，点A，B，P分别表示数，2，x，因为的几何意义是线段与的长度之和，当点P在线段上时，，而当点P在点A的左侧或点B的右侧时，．所以当点P在线段上时，有最小值，最小值是3． 填空： 若， 则x的值为 ； （2）【解决问题】 ①直接写出式子的最小值为 ； ②若代数式的最小值是2，则a的值为 ； （3）【实际应用】如图，在一条笔直的街道上有E，F，G，H四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为．已知E，F，G，H四个小区各有2个，2个，2个，1个学生在同一所中学的同一班级上学，安全起见，这7个同学约定先在街道上某处汇合，再一起去学校．聪明的他们通过分析，发现在街道上的M处汇合使所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请问汇合地点M设置在什么位置的时候，所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，并求出此最小值． 29．探究规律： (1)计算： ______ ；  ______． (2)归纳：表示数轴上，两点间的______． (3)应用：的最小值是______，此时 ______． 求的最小值． 30．阅读下列材料，计算：． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数为． 故原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法______是错误的； (2)请你选择合适的解法计算： ①； ②． 31．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小聪在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究： 【操作一】 （1）折叠纸面，若使1表示的点与表示的点重合，则表示的点与 表示的点重合； 操作二： （2）折叠纸面，若使4表示的点与表示的点重合．回答以下问题： ①3表示的点与 表示的点重合； ②若数轴上A、B两点之间距离为18（A在B的左侧）．且A、B两点经折叠后重合，求出A、B两点表示的数分别是多少？ 【操作三】 （3）如图，若将此纸条沿A、B两处剪开，将中间的一段纸条对折，使其左右两端重合，这样连续对折2次后，再将其展开，则最左端的折痕与数轴的交点表示的数为 ； 【操作四】 （4）如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是、10，点C为数轴上一动点，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在数轴上且到点B的距离为1，C点表示的数为 ． 32．【概念】求若干个相同的有理数(均不等于0)的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作2，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”， 一般地， 把写作aⓝ，读作“a的圈n次方”． 【探究】（1）直接写出计算结果： ______，=_______； 【思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （2）试一试：仿照上面的算式，把除方运算写成幂的形式：． （3）算一算． 33．综合与实践 【知识再现】我们都知道，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作，因为原点表示的数是，所以，由此可知，表示7与之差的绝对值，实际上也可理解为数轴上分别表示与的两点之间的距离，所以； 【问题初探】阅读以下材料，并回答问题： 如图，把一根长度为 的木棒放在一条数轴（单位长度为 ）上，它的两端，分别落在点，处，将木棒在数轴上水平移动，先向右移动，当点移动到处时，点与点重合，此时点对应的数为，再向左移动，当点移动到处时运动停止，点与点重合，此时点对应的数为． （1）由此可得，__________，的值为__________． （2）图中点所表示的数是__________，点所表示的数是__________． （3）若木棒以每秒个单位长度的速度运动，从运动开始到结束共需要几秒钟？ 【拓展应用】 （4）借助上述方法解决下列问题： 一天，小华去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要年才出生；你若是我现在这么大，我已经是岁的老寿星了，哈哈”小华纳闷，奶奶到底是多少岁？请你画出示意图，求出小华和奶奶现在的年龄，并说明解题思路． 34．如图，数轴上点A表示的数是，点B表示的数是3，阅读以下材料并解决相关问题，若在数轴上存在一点P，使得点P到点A的距离与点P到点B的距离之和等于n，则称点P为点A、B的“n格距点”．例如：在图1中，点P表示的数是，点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为，则称点P为点A、B的“5格距点”． (1)若点P表示的数是2，则n的值为______； (2)数轴上表示整数的点称为整点，若整点P为点A、B的“5格距点”，则这样的整点P有______个； (3)若点P为数轴上一点，且点P到点B的距离为1，求点P表示的数及n的值； (4)若点P在数轴上运动，满足点P到点B的距离等于点P到点A的距离的2倍，且此时点P为点A、B的“n格距点”，求点P表示的数及n的值． 35．如图1，在数轴上点，，从左到右依次排列，有理数，，所对应的点分别为点，，．已知是最大的负整数，是的相反数，，请回答下列问题： (1)填空：________，________，________； (2)如图2，为数轴上一动点，点表示的数为，现以为折点，将数轴向右对折．（点在点的右侧，与点，的相对位置不固定） ①若对折后点与点重合，求此时的值； ②若对折后，，三点互不重合且其中一点到另外两点的距离相等，请直接写出此时的值． 36．已知数轴上两点A、B所表示的数分别为2和10，点为数轴上一动点，其表示的数为m． (1)A、B两点间的距离是：___________． (2)若点到点、点的距离相等，则点表示的数___________． (3)数轴上是否存在点，使点到点、点的距离之和为14？若存在，请直接写出的值为___________；若不存在，说明理由； (4)现在点、点分别以2个单位长度/秒和1个单位长度/秒的速度同时向右运动，点以2个单位长度/秒的速度同时从原点向左运动．当点与点之间的距离为3个单位长度时，求点所表示的数是多少？ 37．综合与实践 数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小锦在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究． 操作一： （1）折叠纸面，若使表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示______的点重合． 操作二： （2）折叠纸面，若使表示2的点与表示的点重合，解答以下问题． ①表示4的点与表示______的点重合． ②若数轴上A，B两点之间的距离为（点A在点B的左侧），且A，B两点经折叠后重合，则A，B两点表示的数分别是______． 操作三： （3）在数轴上剪下长为8个单位长度（从到5）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）．若这三条线段的长度之比为，请直接写出折痕处对应的点可能表示的数． 38．[背景知识]数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A、B两点之间的距离 ，线段的中点表示的数为． 【问题情境】数轴上点A表示的数为，点B表示的数为6，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点B匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，Q到达A点后，再立即以同样的速度返回B点，当点P到达终点后，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t秒． 【综合运用】 (1)填空：A、B两点间的距离________，线段的中点表示的数为________； (2)当t为何值时，P、Q两点间距离为3； (3)若点M为的中点，点N为的中点，用含t的代数式表示的长度． 39．有人建议向火星发射如图1所示的图案，它叫作幻方，其中9个格中的点数分别是1，2，3，4，5，6，7，8，9．每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都相同．如果火星上有智慧生物，那么他们可以从这种“数学语言”了解到地球上也有智能生物（人）． (1)如图1，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都是______； (2)如图2，在一个由6个圆圈组成的三角形里，把到这6个连续整数分别填入圆圈中，要求三角形的每条边上的三个数的和S都相等，请直接写出S的最大值是______． 40．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒． 【综合运用】 (1)填空： ①A、B两点间的距离_______，线段的中点C表示的数为_______； ②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为_______；点Q表示的数为_______； (2)求当t为何值时，； (3)若点M为的中点，点N为的中点，点P在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． 41．已知A，B两点在数轴上对应的有理数分别为a，b，且a，b满足：． (1)则______，______； (2)定义：若点M为数轴上A，B两点之间一点，且到A，B两点的距离满足：其中一个距离是另一个距离的2倍，则称M为A，B两点的“友好点”． ①求A，B两点的“友好点”M在数轴上对应的有理数； ②点P在点A右侧，同时点Q在点B的右侧，P在Q的左侧，且，则当B，P，Q三点中有一点是另两点的“友好点”，求的值． 42．观察下列三行数： 第一行：，… 第二行：，… 第三行：，… (1)第①行的第个数是 （为正整数）； (2)第二、三行数与第一行相对应的数分别有什么关系； (3)取每一行的第9个数，计算这3个数的和． 43．已知，晓风错将“”看成“”，算得结果． (1)计算的表达式； (2)求正确的结果的表达式； (3)晓华说（2）中的结果的大小与的取值无关，对吗？若，，求（2）中代数式的值． 44．数轴是初中数学的一个重要工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． (1)【知识呈现】 数轴上的点A，点C所表示的数如图1所示：若点B与点A表示的数互为相反数，则点B表示的数是______，点A与点C之间的距离 ______，点B与点C的中点D表示的数是______，且在图1的数轴上标出点D． (2)【定义】 一个点 （不是原点）在数轴上运动，第一次跳到 的位置（点 与点 表示的数互为相反数），点 称为点 的一次跳跃点，紧接着从 到 的位置（点 与点 位于点 的两侧，且 ），则点 称为点 关于点 的二次跳跃点．如图 2 所示； 【初步理解】 ①若点 表示的数是， 表示的数是 ，点 的一次跳跃点 表示的数是____， 关于点 的二次跳跃点 表示的数是____，线段 的长度为____． 【深入探究】 ②若点 为数轴正半轴的一个点，点 是数轴负半轴上一个点，点 为点 关于点 的二次跳跃点．若点 ，点 表示的数分别是 ，，当 变化时，探究 的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由． 【归纳总结】 ③若在数轴上点 ， 分别表示有理数 ，（其中 ，），点 为点 关于点 的二次跳跃点，直接写出线段 的长度． 45．问题情境：数学活动课上，王老师在黑板上写了一串等式： (1)在等式中寻找规律，并利用规律计算： (2)数学活动小组的同学们对上述问题进行一般化研究之后，将分母中的两个因数的差改为2，并提出新的问题，，请你计算； (3)请你计算： 46．综合与实践 问题情境 我国著名的数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休”．在学完乘方运算后，老师在数学活动课上把一个面积为1的长方形对折，让两部分完全重叠，那么折叠后图形的面积是原来的二分之一即，沿着折痕剪开得到的长方形1，把再按刚才的方法对折，得到第2个长方形的面积又是长方形1的面积的一半即，依次操作下去．．．，（此题结果可用类似的形式表示） 规律发现 操作第10次后，剪下的第10个长方形的面积是____________； 知识应用 操作第10次后，通过面积割补形数结合，把这十个长方形的面积加起来应该是____________； 知识迁移 （1）如图，请你用“数形结合”的思想．求的值为____________； （2）请你利用（1）的结论，求下列式子的值：． 47．综合探究 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法． 如图1所示，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，以此类推… (1)根据图形填写下表； ① ② ③ 阴影面积 面积 ______ (2)计算：；（请写出计算过程） (3)类比：小华在计算时利用了如图2所示的正方形模型． 设正方形的面积为1，第1次分割，把正方形的面积三等分，阴影部分的面积为；第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积三等分，阴影部分的面积之和为；第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积三等分，阴影部分的面积之和为；… ①第n次分割后，空白部分的面积是______； ②由此计算的值． (4)拓展：计算______． 48．【阅读】求值． 解：设， 将等式的两边同时乘以2得：， 由得：． 即：． (1)【运用】仿照此法计算：： (2)【延伸】如图，将边长为的正方形分成个完全一样的小正方形，得到左上角一个小正方形为，选取右下角的小正方形进行第二次操作，又得到左上角更小的正方形，依次操作次，依次得到小正方形，，，，，完成下列问题： 小正方形的面积等于_______________； 求正方形，，，，的面积和． 49．（1）如图， 若用点A、B、C分别表示有理数a、b、c， 化简∶． （2）已知，求 的值． 50．整体思想是中学数学解题中的一种重要思想，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，仿照下面的解题方法，完成后面的问题： 如果代数式的值为3，那么代数式的值是多少？ 爱动脑筋的小聪同学这样来解： 原式． 我们把看成一个整体，把式子两边乘2，得． 【方法运用】 （1）若，则的值为_________； （2）若，求的值； 【类比迁移】 （3）两地相距60千米，甲、乙两人同时从两地骑自行车出发，相向而行．甲每小时行千米，乙每小时行千米，经过3小时相遇．问甲、乙两人出发多少小时后两人相距20千米？ 51．【问题背景】已知，若的值与的取值无关，则，解得． 【类比探究】（1）已知．若的值与的取值无关，求的值． 【拓展应用】（2）8个如图①所示的小长方形，长为，宽为，按如图②所示的方式不重叠地放在大长方形内．对于大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为，左下角的面积为，设．若当的长变化时，的值始终保持不变，求与的数量关系． 52．定义新运算“△”和“□”： ①定义新运算“△”：给定有理数a、b，对于整式A、B，规定，等式右边是通常的减法、乘法运算； ②定义新运算“□”：给定正整数n（），对于整式M，规定（按从左到右的顺序依次做“△”运算）例如：当、，时，对于，，则有，． (1)当，时，若，，求和． (2)直接写出一组a，b的值，使得对任意一个正整数n（）和任意—个整式M，都有成立． (3)当，时，若，，若（p、q为正整数，且、）中不含项，直接写出满足条件的一组p、q的值． 53．如图，数轴上有三个点A、B、C，表示的数分别是、、6． (1)①点B和点C之间的距离是 个单位长度； ②若使C、B两点的距离是A、B两点的距离的2倍，则需将点C向左移动 个单位长度； (2)点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒m个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒． ①点A、B表示的数分别是 、 （用含m、t的代数式表示）； ②若点B与点C之间的距离表示为，点A与点B之间的距离表示为，当m为何值时，的值不会随着时间的变化而改变，并求此时，的值． 54．【情景创设】 是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢？ 【探索活动】 （1）根据规律第6个数是_________，是第_________个数； （2）我们知道：，那么： 用含有n的式子表示你发现的规律_________ 【方法属示】 ． 这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉． 【实践应用】 （3）根据上面获得的经验完成下面的计算： 【问题解决】 （4）容器里有1升水，按如下要求把水倒出：第一次倒出升水，第二次倒出的水量是升的，第三次倒出的水量是升的，第四次倒出的水量是升的，……，第n次倒出的水量是升水的．按照这种倒水方式，这1升水能否倒完？说明理由； 55．某市居民使用自来水按如下标准收费（水费按月缴纳）： 户月用水量 单价 不超过的部分 超过但不超过的部分 超过的部分 (1)当时，某用户一个月用了水，求该用户这个月应缴纳的水费． (2)设某户月用水量为立方米，当时，则该用户应缴纳的水费．（用含有的整式表示）． (3)当时，甲、乙两用户一个月共用水，已知甲用户缴纳的水费超过了元，设甲用户这个月用水，试求甲、乙两用户一个月共缴纳的水费（用含的整式表示）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $