期中复习压轴题汇编（各省真题汇编51题）-2025-2026学年八年级数学上册高频考点题型归纳与满分必练（北师大版新教材）

期中复习压轴题汇编 范围：第一章-第四章 一、三角形 1．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用．先利用勾股定理求出，，可得，进而根据，，即可求解． 【详解】解：， ， 在和中，根据勾股定理得， ，， ， ，， ； 故答案为： 2．问题背景： 在中，、、三边的长分别为、、，求这个三角形的面积． 小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），然后在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处，，，），如图①所示．这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．这种求面积的方法叫做构图法． (1)请你将的面积直接填写在横线上：______． (2)思维拓展：若三边的长分别为、、，请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的，并求出它的面积． (3)探索创新：若三边的长分别为、、（，，且），求这个三角形的面积． (4)直接写出当x为何值时，函数有最小值，最小值是多少？ 【答案】(1) (2) (3) (4)当x为时，函数的最小值是 【分析】（1）计算即可． （2）根据、、，画图计算即可 （3）设小矩形的长为m，宽为n，根据题意，、、，画图计算即可． （4）求函数有最小值，即的最小值，实际上就是求x轴上一点到以及两点的和的最小值，而两点间的距离是线段最短，即可求得 函数的最小值是． 【详解】（1）根据题意得： =． 故答案为：． （2）根据题意得：、、，画图如下： 根据题意： ． （3）设小矩形的长为m，宽为n，根据题意，、、， 画图如下： 根据题意： =． （4）函数有最小值，即的最小值，实际上就是求x轴上一点到以及两点的和的最小值，而两点间的距离是线段最短，所以点到以及的距离即为所求，即． 当x为时，函数的最小值是． 【点睛】本题考查了网格上的三角形，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 3．如图，有一圆柱形下水管道紧靠墙竖直安放，墙为长方形，，，该管道底面是周长为的圆，一只蚂蚁从点A爬过管道到达C，则需要走的最短路程是 ． 【答案】15 【分析】本题考查了勾股定理的应用—最短路线问题，正确画出图形是解题的关键． 把圆柱侧面展开，根据两点之间、线段最短，可知线段为蚂蚁爬行的最短路径，利用勾股定理计算即可解答． 【详解】解：如图：把圆柱侧面展开，则，， 由两点之间，线段最短，可知线段为蚂蚁爬行的最短路径， 由勾股定理得：， ∴需要走的最短路程是． 故答案为：15． 4．如图所示，等腰三角形的底边为，腰长为，一动点P在底边上从点B向点C以的速度移动，请你探究：当P运动 秒时，P点与顶点A的连线与腰垂直． 【答案】7或25 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，理解等腰三角形的性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键，分类讨论是难点，漏解是易错点． 依题意得，由与腰垂直，分两种情况进行讨论：①当时，过点A作于D，则，，由勾股定理得，由此求出，进而得，则，据此可求出t的值；②当时，过点A作于D，由勾股定理得，由此求出，进而得，则，据此可求出t的值． 【详解】解：∵点P从点B向点C以的速度移动，设运动的时间为t秒， ∴运动的路程， ∵P点与顶点A的连线与腰垂直， ∴有以下两种情况： ①当时，过点A作于D，如图1所示： ∴等腰三角形的底边为，腰长为， ∴，， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， 解得：， ∴当点P运动7秒时，． ②当时，过点A作于D，如图2所示： 由①可知：，， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， 解得：， ∴当点P运动25秒时，． 综上所述：当P运动7或25秒时，P点与顶点A的连线与腰垂直， 故答案为：7或25． 5．如图，分别以直角三角形的三边作三个半圆，且，则等于（    ） A．65 B．45 C．55 D．35 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理，设直角三角形三边分别为，根据勾股定理得，再根据圆的面积公式可表示出，从而可得，据此即可求解． 【详解】解：如图，设直角三角形三边分别为， 根据勾股定理得：， 又， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 6．数学史上有一个著名的希波克拉底月牙问题，如图，在中，分别以各边为直径作半圆，当，时，阴影部分的面积为（    ） A．4 B． C． D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据题意得到阴影部分的面积等于两个小半圆的面积之和加上直角三角形的面积减去大半圆的面积是解题的关键． 根据题意得：阴影部分的面积等于两个小半圆的面积之和加上直角三角形的面积减去大半圆的面积，由勾股定理得到，代入即可求解． 【详解】解：根据题意得：阴影部分的面积等于两个小半圆的面积之和加上直角三角形的面积减去大半圆的面积， ∵，， ∴， ∴阴影部分的面积等于 ． 故选：A 7．某数学兴趣小组学完勾股定理后，类比“赵爽弦图”将八个全等的直角三角形拼接构造成如图所示的弦图，图中正方形，正方形，正方形的面积分别记为，，，若，则的长是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的证明，正方形面积的计算，整式的运算等，掌握勾股定理是解题的关键． 利用勾股定理结合正方形的面积公式以及面积关系列出等式，即可求解． 【详解】解：设图中八个全等的直角三角形的长直角边为，短直角边为，斜边长为，则：， 由题意，得：，，， ， ， ， 即， ， 故选：A． 8．在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门去阃（）一尺，不合二寸，问门广几何．”大意是说：如图，推开两扇门（和），门边缘D，C两点到门槛的距离为1尺（1尺寸），两扇门间的缝隙为2寸，，那么门的宽度即的长为 寸． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 本题需画出直角三角形，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：如图： ， 设，过作于， 则由题知，，，． 在中， ，即， 解得． 故门的宽度（两扇门的和）为寸． 故答案为：． 9．如图，在中，，分别以、、为边向上作正方形、正方形、正方形，点E在上，若，，则图中阴影的面积为 ． 【答案】48 【分析】本题考查求阴影部分的面积，全等三角形的性质和判定，勾股定理，利用面积分割法是关键． 勾股定理求出，根据条件证明，利用全等三角形的性质即可得到，即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵，，， ∴， ∴， ∵是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴阴影面积， 故答案为：． 10．等腰中，，，点A、点B分别是y轴、x轴上两个动点，直角边交x轴于点D，斜边交y轴于点E． (1)如图(1)，已知点C的横坐标为，直接写出点A的坐标； (2)如图(2)，当等腰运动到使点D恰为中点时，连接，求证:； (3)如图(3)，若点A在x轴上，且，点B在y轴的正半轴上运动时，分别以为直角边在第一、二象限作等腰直角和等腰直角，连接交y轴于点P，问当点B在y轴的正半轴上运动时，的长度是否变化？若变化，请说明理由；若不变化，请求出的长度． 【答案】(1) (2)见详解 (3)的长度不变， 【分析】本题考查了点的坐标，三角形综合题．主要利用了全等三角形的性质定理与判定定理，解决本题的关键是作出辅助线，构建全等三角形． （1）如图1，过点C作轴于点F，构建全等三角形：，结合该全等三角形的对应边相等易得的长度，由点A是y轴上一点可以推知点A的坐标； （2）过点C作交y轴于点G，则，即得，，由，可证得，从而得到结论； （3）如图3，过点C作轴于点E，构建全等三角形：，结合全等三角形的对应边相等推知：，．再结合已知条件和全等三角形的判定定理得到：，故． 【详解】（1）解：如图1，过点C作轴于点F，    ∵轴于点F， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴ ∵点的横坐标为， ∴， ∴； （2）证明：如图2，过点C作交y轴于点G，    ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：的长度不变，理由如下： 如图3，过点C作轴于点E，    ∵， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴，． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴． 11．如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查轴对称—最短问题以及勾股定理和轴对称图形的性质．先取点A关于直线的对称点，连交直线于点C，连，得到，，再由轴对称图形的性质和两点之间线段最短，得到当三点共线时，的最小值为，再利用勾股定理求即可． 【详解】解：取点A关于直线的对称点，连交直线于点C，连， 则可知，， ∴， 即当三点共线时，的最小值为， ∵直线垂直于y轴， ∴轴， ∵，， ∴， ∴在中， ， 故答案为：5 二、代数式 12．如图，过点P作且，得；再过点P1作且，得；又过点P2作且，得…依此法继续作下去，得等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过观察每次作垂线后线段长度的变化规律，利用勾股定理推导出的表达式，进而求出的值．本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理并找出线段长度的变化规律是解题的关键． 【详解】解：， ， 故选：D． 13．数学实验室： 制作4张全等的直角三角形纸片（如图1），把这4张纸片拼成以弦长c为边长的正方形构成“弦图”（如图2），古代数学家利用“弦图”验证了勾股定理． 探索研究： （1）小明将“弦图”中的2个三角形进行了运动变换，得到图3，请利用图3证明勾股定理； 数学思考： （2）小芳认为用其它的方法改变“弦图”中某些三角形的位置，也可以证明勾股定理．请你想一种方法支持她的观点（先在备用图中补全图形，再予以证明）． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【分析】（1）通过图形的面积的两种计算方法，即可得出结果； （2）通过大正方形面积的两种计算方法，即可得出结果． 【详解】（1）解：如图3所示， 图形的面积表示为：， 图形的面积也可表示：， ∴a2b2abc2ab， ∴a2b2c2 （2）解：如图4所示， 大正方形的面积表示为：ab2， 大正方形的面积也可以表示为：， ∴， ∴a2b22abc22ab， ∴a2b2c2； 【点睛】此题考查了勾股定理的证明、正方形的性质、直角三角形面积的计算；关键是利用三角形和正方形边长的关系进行组合图形，利用面积的关系证明勾股定理． 14．已知的平方根是，的立方根是3，的整数部分是． (1)求的平方根； (2)以、为两边的直角三角形的第三边的长度是多少？ 【答案】(1) 的平方根是 (2)第三边的长为5或 【分析】本题考查无理数的整数部分、勾股定理、平方根和立方根，分类讨论，熟记无理数估算及勾股定理是解决问题的关键． （1）根据的平方根是，的立方根是3，的整数部分是得到a，b，c的值，再代入计算即可； （2）由（1）可得，，再根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵的平方根是， ∴， 解得， ∵的立方根是3， ∴， 解得， ∵， 又∵的整数部分是， ∴， ∴， 答：的平方根是， （2）解：由（1）可知，， 当两直角边长分别为4和3时， 第三边的长为． 当一条直角边长为3，斜边长为4时， 第三边的长为． 答：第三边的长为5或． 15．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简，，．以上这种化简的方法叫做分母有理化． (1)化简 ； (2)请化简； (3)计算的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，分母有理化，平方差公式和完全平方公式，正确进行分母有理化是解题的关键． （）直接进行分母有理化即可得出答案； （）进行分母有理化即可得出答案； （）将要求的式子各项进行分母有理化，再进行二次根式加减即可得出答案． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ； （3）解： ． 16．如图，，，，，都是等腰直角三角，点，，，均在轴正半轴上，直角顶点，，，均在直线上．设，，，的面积分别为，，，，，依据图形所反映的规律， ． 【答案】 【分析】分别过点，，作轴的垂线段，先根据等腰直角三角形的性质求得前三个等腰直角三角形的底边和底边上的高，继而求得三角形的面积，得出面积的规律即可得出答案． 【详解】解：如图，分别过点，，作轴的垂线段，垂足分别为点、、， ∵，且是等腰直角三角形， ∴， 设，， ∴， ∴， 将点的坐标代入，得：， 解得：， ∴，， 同理求得，， ∴， ， ， …… ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查规律型，点的坐标，一次函数图象上的点的坐标特征，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是从特殊到一般，探究规律，利用规律解决问题． 三、平面直角坐标系 17．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标，纵坐标均为整数的点．其顺序按图中“”方向依次排列：根据这个规律，第2020个点的坐标为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】按照正方形的个数，边上的点数为解题突破口，分析探索规律，解答即可． 本题考查的知识点是平面直角坐标系上的点坐标规律探究，解题关键是根据题意找到规律． 【详解】解：由图可知：第一个正方形每条边上有2个点，共有个点，且终点为； 第二个正方形每条边上有3个点，连同第一个正方形共有 个点，且终点为； 第三个正方形每条边上有4个点，连同前两个正方形共有个点，且终点为； 第四个正方形每条边上有5个点，连同前两个正方形共有个点，且终点为； 故当n为奇数时，第n个正方形每条边上有个点，连同前边所有正方形共有个点，且终点为； 当n为偶数时，第n个正方形每条边上有个点，连同前边所有正方形共有个点，且终点为； ∵， ∴第44个正方形每条边上有45个点，连同前边所有正方形共有2025个点，且终点为； ∴第2020个点，向上平移5个即， 故选：A． 18．长为8、宽为4的长方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，动点P从点出发，沿所示的箭头方向运动，到点时记为第一次反弹，以后每当碰到长方形的边时记一次反弹，反弹时反射角等于入射角，那么点P第2025次反弹时碰到长方形边上的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反弹，点的坐标变化规律，根据坐标的变化找出规律是解题的关键．根据反弹补充图形，根据坐标的变化可知6次一个循环，然后利用，即可得出点P第2025次反弹的点与第3次反弹的点，从而得出答案． 【详解】解：依照题意画出图形，如图所示． 由题意得，点P第1次反弹的点为， 第2次反弹的点为， 第3次反弹的点为， 第4次反弹的点为， 第5次反弹的点为， 第6次反弹的点为， 故6次一个循环，， 故点P第2025次反弹的点与第3次反弹的点相同为． 故选：B． 19．如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发，第1次运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点．按这样的运动规律，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点坐标的规律探究，结合图象，可以发现图象上点的规律是：纵坐标的变化是按照1，0，，0的顺序，每4个点为一组循环变化，横坐标的变化是每增加一个点，横坐标增加1．利用规律求解即可． 【详解】解：由图可得，从开始，纵坐标的变化是按照1，0，，0的顺序，每4个点为一组循环变化，横坐标的变化是每增加一个点，横坐标增加1． ， 的纵坐标与的纵坐标相同， 的坐标为， 故选A． 20．如图，平面直角坐标系中，向上运动个单位至处，然后向左运动个单位到处，再向下运动个单位到处，再向右运动个单位至处，再向上运动个单位至处，，如此继续运动下去，则的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据第一象限中点的特征，探究规律，利用规律解决问题． 本题考查坐标与图形变化平移，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型． 【详解】解： ∵，则在第四象限， 由题意，第四象限的点为，，， ∴． 故选：A． 21．正方形，，，…按如图所示的方式放置，点，，，…和点，，，…分别在直线和轴上，则点的纵坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查点的坐标规律探索，解题的关键是总结规律． 根据题意写出前几个点的坐标，总结规律，代入计算即可． 【详解】解：在中，当时，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， 在中，当时，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， 同理可得，，，，......，，（为正整数）， ∴点的纵坐标为， 故答案为：． 22．在平面直角坐标系中，已知点P和直线，，点P关于直线，“和距离”的定义如下：若点P到直线，的距离分别为，，则称为点P关于直线，的“和距离”，记作d．特别地，当点P在直线上时，；当点P在直线上时，． (1)在点，，中，关于x轴和y轴的“和距离”为3的点是______； (2)若P是直线上的动点，则点P关于x轴和y轴的“和距离”d的最小值为______； (3)已知点，，，点P是边上的动点，直接写出点P关于x轴和直线的“和距离”d的取值范围． 【答案】(1)， (2)3 (3) 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点到坐标轴的距离，绝对值函数的分类讨论，点到直线的距离，勾股定理等，解题的关键是掌握绝对值函数的分类讨论方法，利用等面积法求点到直线的距离公式，分类讨论求范围的技巧． （1）分别求出各点到x轴和y轴的距离，得到“和距离”，从而作出判断即可； （2）设点P的坐标为，则点P关于x轴和y轴的“和距离”， 根据m的取值范围分类讨论，在每一种情况下求出的取值范围，综合比较得出的最小值； （3）设点，利用等面积法表示出点P到直线的距离，从而表示出， 再根据点P在的边上分类讨论，求出在每一种情况下的取值范围，综合比较的取值范围． 【详解】（1）解：点到x轴和y轴的距离分别为0和3， 点P关于x轴和y轴的“和距离”为，符合题意； 点到x轴和y轴的距离分别为2和， 点P关于x轴和y轴的“和距离”为，符合题意； 点到x轴和y轴的距离分别为和4， 点P关于x轴和y轴的“和距离”为，不符合题意； 综上可知，点，，中，关于x轴和y轴的“和距离”为3的点是，． （2）解：点P在直线上， 可设点， 点到x轴和y轴的距离分别为和， 点P关于x轴和y轴的“和距离”， 当时，， ， 随着的增大而减小， 又当时，， ． 当时，， 当时，， ， 随着的增大而增大， 又当时，， ． 综上可知，点P关于x轴和y轴的“和距离”d的最小值为3． （3）解：设，过点作分别作轴的垂线，交直线于点，作轴的平行线交直线于点，作直线的垂线，垂足为，如下图所示： 则，， ，， ∴，即， 在中，由勾股定理得，， 在中，由， 得， P关于x轴和直线的“和距离”． 点P是边上的动点， 当点P在边时，，，， 当时，；当时，， 当点P在边时，，，， 当时，；当时，， 当点P在边时，设直线的解析式为， 代入点，，可得， 解得， 直线AB的解析式为， 当点P在边时，，，， 当时，；当时，， 综上可得，， 即点P关于x轴和直线的“和距离”d的取值范围是. 四、一次函数 23．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与轴，轴分别交于点A，B，与函数的图象交于点．    (1)求m和的值； (2)函数的图象与x轴交于点D，点E从点D出发沿方向，以每秒2个单位长度匀速运动到点A（到A停止运动）．设点E的运动时间为t秒． ①当的面积为6时，求t的值； ②在点E运动过程中，是否存在t的值，使为直角三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①11；②存在，或 【分析】（1）把点代入函数求出m的值即可得到点坐标，把点C的坐标代入即可求出b的值； （2）①求出A的坐标为，点D的坐标为，得到，由题意得：，则，过点C作轴，垂足为点F，根据题意列出关于t的方程，解方程即可得到答案； ②先写出使得为直角三角形时的值，然后利用分类讨论的方法分别求得当和对应的的值即可； 本题考查了一次函数的性质、三角形的面积、动点问题，平面直角坐标系两点间距离坐标公式，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和分类讨论的数学思相解答． 【详解】（1）解：把点代入函数， 得： 所以点坐标为 把点代入函数，得：， 所以； （2）①当时，，所以 所以函数的图象与轴的交点A的坐标为， 由（1）得：   ∴函数的表达式为 当时，， ∴， ∴函数的图象与轴的交点D的坐标为， ∴ 由题意得：，则， 过点C作轴，垂足为点F，    ∵， ∴ 当的面积为6时，即，      ∴， 解之得：， 所以当t的值为11时，的面积为6 存在，或． 理由：当时，， 所以函数的图象与y轴的交点B的坐标为， ∵，， ∴， ∴， 当时，则， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴， 解得； 当，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得； 综上，当或时，为直角三角形． 24．如图，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，在x轴上作一点C，使得是以为腰作等腰三角形，则点C的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理以及等腰三角形的性质，分为腰及为腰两种情况求出点C的坐标是解题的关键． 利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点A，B的坐标，进而可得出，OB的长，结合勾股定理，可求出的长，分为腰及为腰两种情况考虑，根据等腰三角形的性质，可求出或的值，进而可得出点C的坐标． 【详解】解：当时，， 解得：， 点A的坐标为， ； 当时，， 点B的坐标为， ， 当为腰时，， 点C的坐标为或； 当为腰时，， 点C的坐标为 综上所述，点C的坐标为或或 故答案为：或或 25．如图，点A，B，C在一次函数的图象上，它们的横坐标依次，1，2，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，根据一次函数解析式，结合点A，点B，点C的横坐标可以求出A、B、C、D的坐标，再根据列式求解即可． 【详解】解：如图所示，设直线与y轴交于点D，过点A且与y轴垂直的直线交y轴于E， 过点B且与y轴垂直的直线交y轴于F，过点B与x轴垂直的直线与过点C与y轴垂直的直线交于G， 在中，当时，，当时，，当时，，当时， ∴，， ∴， ， ∴， 故选：A． 26．如图，一次函数的图象与x轴、y轴交点分别为A、B两点，M是上一点，沿直线对折，使B刚好落到x轴上的处，则点M的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数图象与几何变换，一次函数的性质，由一次函数与坐标轴的交点求得点A和点B，即可求得对应的长度，根据折叠有和，利用勾股定理即可求得点M的坐标． 【详解】解：由一次函数得：当时，；当时，； 则点，， 即， ∴， 由折叠可得；，， ∴， 设，则， ∵, ∴， 解得， ∴点M的坐标为， 故答案为：． 27．如图，直线：与轴，轴分别交于，两点，点坐标为，连接，，点是线段上的一动点． (1)______；______； (2)求的面积； (3)将沿直线翻折，点的对应点为，若为直角三角形，求线段的长． 【答案】(1)， (2) (3)的长为或 【分析】（1）由题意易得点A的坐标为，点B的坐标为，然后根据两点距离公式可进行求解； （2）由（1）可知：；；，则有，即是直角三角形，然后问题可求解； （3）由题意可分当时和当时，然后分类进行求解即可． 【详解】（1）解：直线l：与x轴，y轴分别交于A，B两点， 把代入，得， 点A的坐标为， 把代入，得， 点B的坐标为， ， ；； （2）解：由（1）可知：；；， ，， ， 是直角三角形，即， ； （3）解：①当时，如图， 沿直线翻折， ， ， ， C、M、A三点共线， ；， 设，， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ； ②当时，如图，过点M作于N点， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ；， 设，则，， 在中，由勾股定理得， 即， 解得，即， 综上所述：的长为或． 【点睛】本题主要考查一次函数与几何的综合、勾股定理、折叠的性质及两点距离公式，熟练掌握一次函数与几何的综合、勾股定理、折叠的性质及两点距离公式是解题的关键． 28．（1）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于两点，在轴上找一点，连接，使得是等腰三角形，直接写出此时点的坐标； （2）如图，在平面直角坐标系中，点，射线轴，直线交线段于点，交轴于点，是射线上一点．若存在点，使得恰为等腰直角三角形，求的值． 【答案】（1）或或或；（2）或或 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，两点距离计算公式，一次函数与几何综合，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）根据一次函数解析式可得，则可利用勾股定理求出的长，再分，和三种情况，讨论求解即可； （2）根据一次函数解析式可得，则，由点C坐标可得；再分，和三种情况，利用一线三垂直模型求解即可． 【详解】解：（1）在中，当时，，当时，， ∴， ∴， ∴； 当时，则点P的纵坐标为或， ∴点P的坐标为或； 当时， ∵， ∴， ∴点P的坐标为； 当时，则 设点P的坐标为， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或或； （2）在中，当时，，当时，， ∴， ∴； ∵， ∴； 当时，则， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 当时，如图所示，过点A作于F，则， 同理可证明， ∴， ∵， ∴（平行线间间距相等），， ∴， ∵， ∴， ∴； 当时，如图所示，过点D作轴于F，则， 同理可得， ∴， 同理可得， ∴， ∴； 综上所述，b的值为或或． 29．如图，已知直线分别与轴，轴交于，两点，直线：交于点． (1)求，两点的坐标； (2)如图1，点是线段的中点，连接，点是射线上一点，当，且时，在轴上找一点，当的值最小时，求出的面积； (3)如图2，若，过点作，交轴于点，此时在轴上是否存在点，使，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）令，求B点坐标，令，求A点坐标； （2）过F点作轴交于点W，证明，可求F点坐标，作E点关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，当、D、P三点共线时，的值最小，再由在直线上，求出的直线解析式，联立，则可求，再求直线的解析式为，即可求，根据三角形的面积公式可得的面积； （3）根据题意得到，分两种情况，①当点M在点O的右侧时，②当点M在点O的左侧时，分别求解即可． 【详解】（1）解：令，则， ∴， 令，则， ∴； （2）解：∵点E是线段的中点，， ∴， 如图，过F点作轴交于点W， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 作E点关于x轴的对称点，连接交x轴于点P， ∴， ∴， 当、D、P三点共线时，的值最小， ∵， ∴， ∵在直线上， ∴， ∴， 联立， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴， 令，则， ∴， ∴当的值最小时，，的面积为； （3）解：存在， ∵， ∴直线， ∵， ∴直线的解析式为， 当时，即， ∴， ∴， ①如图，当点M在点O的右侧时，过点O作于H，延长交的延长线于N，作轴于P，轴于Q， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 设的解析式为， ∴， 解得， ∴的解析式为， 令，则， 解得， ∴； 当点M在点O的左侧时，如图， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，点M的坐标为或． 【点睛】本题是一次函数的综合题，考查了一次函数的图象及性质，轴对称求最短距离的方法，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，数形结合，分类讨论是解题的关键． 30．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴，轴于，两点，直线分别与轴正半轴，轴正半轴交于点，两点，且，． (1)直接写出点的坐标为______； (2)求出直线的解析式； (3)如图2，点为线段的中点，点为直线上一点，点为坐标系内一点，若以，，，为顶点且为边的四边形为矩形时，请求出点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】本题考查了一次函数综合、待定系数法、全等三角形的性质和判定、矩形的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）解方程即可得到结论； （2）求出点、点和点的坐标，根据全等三角形的判定和性质定理得到点的坐标，即可求出直线的解析式； （3）分别过点、作交直线于，作，分别过点、作交直线，作，则四边形、四边形均为矩形，根据全等三角形的性质得到，，，求得的解析式，进而得到直线的解析式，联立即可求解． 【详解】（1）解：对于直线， 当时，，解得：， ∴点的坐标为； （2）解：对于直线， 当时，， ∴,, 即，； ∴， ∴， ∵, ∴， ∵, ∴， ∴， 在与中， ， ∴≌， ∴， ∴,， 设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：； （3）解：如图，分别过点、作交直线于，作交直线于， 分别过点、作交直线于，作交直线于，则四边形、四边形均为矩形， ∵，，点为线段的中点，， ∴，即， 且， ∵≌， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴≌， ∴，， ∴ ∴点为线段的中点， ∵，， ∴，即， 设直线的解析式为，则有， ∴， ∴直线的解析式为； ∵，， ∴， 可设直线的解析式为， 将代入得：， ∴， ∴直线的解析式为：； 联立和得： ， 解得， ∴． 综上，以，，，为顶点且为边的四边形为矩形时，点的坐标为或． 31．在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于两点．点是直线上的动点，定义：直线为直线关于点的关联直线． (1)当时，直线的关联直线为______； (2)如图1，在直线上求点P，使得； (3)①试证明直线经过定点M，并求出M点的坐标； ②如图2，已知点关于直线的对称点为Q，连接，当时，求点A的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)①证明见解析，；②或 【分析】（1）利用代入法和关联直线的定义即可解答； （2）如图1，在上取一点E，连接，交直线于点P，使，计算可得，设，则，根据勾股定理可得a的值，利用待定系数法可得直线的解析式为：，联立方程得，即可解答；如图2，与平行时，符合条件，即可解答； （3）①先根据代入法可得，则，过定点M，即当m无论为任何值时， ，即可解答； ②当时，存在两种情况：如图2和图3，过点M作轴于F，过点Q作于点D，连接，设交直线于点G，交y轴于点H，先证明，确定点Q的坐标，根据中点坐标公式可得的中点G的坐标，确定的解析式，即可解答． 【详解】（1）解：当时，即， ∴直线的关联直线为：； 故答案为：； （2）解：分两种情况： ①如图1，在上取一点E，连接，交直线于点P，使， ∴， 在直线中， 当时， ， 当时， ， ∴， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为：， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； ②如图2，∵ ， ∴， ∴P点横坐标为3， ∴P点纵坐标为， ∴， 综上，点P的坐标为或； （3）解：①∵点是直线上， ∴， ∴直线， ∴直线经过定点， ∴M点的坐标为； ②当时，存在两种情况： 情况一：如图3，过点M作轴于F，过点Q作于点D，连接，设交直线于点G，交y轴于点H，则， ∵， ∴， ∴， 由对称得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的中点G的坐标为， 设的解析式为， 将，代入得：， 解得， ∴的解析式为：， ∴； 情况二：如图4，过点M作轴于F，过点Q作于点D，连接，设交直线于点G， 同理可得：， ∴， 同理可得， ∴的中点G的坐标为， 同理可得：的解析式为：， ∴； 综上，点A的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是分类讨论． 32．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴相交于两点，直线分别与轴正半轴，轴相交于两点，与直线相交于点． (1)求点的坐标及的度数； (2)当是以为腰的等腰三角形时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，将线段进行平移得到线段，其中点的对应点分别为点，且点在的内部，连接，当时，求的周长的最小值． 【答案】(1)， (2) (3)的周长最小值为． 【分析】（1）把代入，可得，再分别求解的坐标可得，进一步可得答案； （2）如图，由，为等腰三角形且，可得，可得，可得直线为：，再进一步求解即可，当轴时，不符合题意；从而可得答案； （3）如图， 求解，，，设线段向上平移个单位，向右平移个单位，可得，，过作轴于，可得，证明，结合，可得，可得，在直线上运动，且在的内部，作关于直线的对称点，连接，则，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵直线分别与轴正半轴，轴相交于两点， ∴当，， ∴， ∵直线分别与轴，轴相交于两点， ∴当，，当，则， ∴，， ∴，而， ∴； （2）解：如图， ∵，为等腰三角形且， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， 直线为：， ∴， 解得：， ∴； 当轴时，不符合题意； 综上：． （3）解：如图，∵，，， ∴，，， ∵在的内部， ∴设线段向上平移个单位，向右平移个单位， ∴，， 过作轴于， ∴， ∵， ∴， 由平移的性质可得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴在直线上运动，且在的内部， 作关于直线的对称点，连接， 则， ∴的周长为， 当共线时，的周长最小， 而， ∴的周长最小值为． 【点睛】本题考查的是求解一次函数与坐标轴的交点坐标，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用，轴对称的性质，平移的性质，化为最简二次根式，本题的难度较大，作出合适的辅助线是解本题的关键． 33．如图1，已知函数与x轴交于点C，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称． (1)求直线的函数解析式； (2)设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线于点P，交直线于点Q． ①若的面积为，求点M的坐标； ②连接，如图2，若，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)①或；②或 【分析】本题考查一次函数的综合应用． （1）先由求得，。由点与点A关于轴对称可得，再利用待定系数法求出直线的函数解析式即可。 （2）①设，则：、，过点B作于点D，利用，进行求解即可； ②分点M在y轴的左侧和点M在y轴的右侧，两种情况进行讨论求解即可． 正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 【详解】（1）解：对于， 由得：， 由得：， 解得， ∴，， ∵点与点A关于轴对称， ∴ ， 设直线的函数解析式为， 则， 解得． ∴直线的函数解析式为； （2）解：①设， 则、， 如图1，过点作于点， ∴，， ∴， 解得， ∴，或；        ②如图，当点在轴的左侧时，∵点与点A关于轴对称, ∴， ∴, ∵， ∴, ∵， ∴, ∴, ∴, 设，则, ，，， ， 解得． ． 当点在轴的右侧时，如图3， 同理可得， 综上，点的坐标为或．       34．如图1， 直线的解析式为， 直线经过点，，且，交于点A， (1)求直线的表达式；观察图像，当直线在x轴上方时，直接写出自变量x的取值范围 (2)直线，的交点A的坐标 (3)若直线 与线段有交点，直接写出比例系数k满足的取值范围 (4)若直线上存在一动点E，使得，直接写出点E的坐标 【答案】(1)直线：； (2) (3) (4)或 【分析】本题考查了一次函数的交点问题，勾股定理，利用平方根解方程． （1）设直线表达式为，将点，代入即可求出的表达式为：；当时，，结合图像即可判断自变量x的取值范围； （2）联立两方程求解即可； （3）先求出，再分两种情况讨论即可； （4）分两种情况根据勾股定理列一元二次方程计算即可． 【详解】（1）解：设直线表达式为， ∵直线经过点，， ∴， 解得： ∴的表达式为：； 当时，， 即 观察图象可知，当直线在x轴上方时，； （2）解：∵，交于点A， ∴， 解得， ∴， ∴； （3）解：在直线：中，当时，，即 当时， 当经过A时，即， 解得， 当经过C时，， 即； 当时，直线 与y轴负半轴相交，不符合题意； 综上所述，； （4）解：当E在线段上时， ∵，， ∴ ∵， ∴， 设点E的坐标为， ∴， 解得：（负值舍去）， 即点E的坐标为； 当E在线段的延长线上时， ∵，， ∴ ∵， ∴， 设点E的坐标为， ∴， 解得：（负值舍去）， 即点E的坐标为； 综上所述，点E的坐标为或． 35．在平面直角坐标系中，对于任意两点，定义如下：点M与点N的“直角距离”为，记作． 例如：点与的“直角距离”． (1)已知点，则在这四个点中，与原点O的“直角距离”等于1的点是； (2)如图，已知点，根据定义可知线段上的任意一点与原点O的“直角距离”都等于1．若点P与原点O的“直角距离”．请在图中将所有满足条件的点P组成的图形补全； (3)已知点是x轴上的一个点，若直线上存在点D，满足，求k的取值范围． 【答案】(1)，； (2)见解析； (3)． 【分析】本题属于新定义与一次函数相结合． （1）根据“直角距离”分别计算四个点到原点的距离，即可判断； （2）根据“直角距离”的定义得，分四种情况可得四个函数关系式，分别画出即可； （3）根据，并由（2）可得：点D在正方形边上，如图2，通过观察图2可得：k的最大值是过点E的直线，k的最小值是过F，M的直线，代入可得结论． 【详解】（1）解：∵点， ∴，，，， ∴与原点O的“直角距离”等于1的点是，； 故答案为：，； （2）解：设， ∵点P与原点O的“直角距离”， ∴， 当时，，即， 当时，，即， 当时，，即， 当时，，即， 如图1所示， （3）解：由（2）可得：，则点D在正方形边上，如图2， ∴， ∵点D在直线， ∴当时， 即直线过点， 由图2可知：当直线过点E时，通过观察图2可得：k的最大值是过点E的直线，k的最小值是过F，M的直线， 把点E的坐标代入中，，， 把点F的坐标代入中，，， 故k的取值范围是：． 36．如图，直线与x轴、y轴分别交于点、，且与直线相交于点，已知直线经过点，且与轴交于点． (1)求点、的坐标以及直线的解析式； (2)若为直线上一动点，，求点的坐标； (3)点在直线上，当时，求所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1)点、，直线的解析式为 (2)点的坐标为或 (3)或 【分析】本题考查了一次函数综合应用，待定系数法，三角形面积，等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是掌握知识点的应用及分类讨论思想的应用． （1）由直线：得，当时，，当时，，则有点、，设直线的解析式为，然后把，代入即可求解； （2）由直线的解析式为得，当时，，当时，，则点，，则，求出，设，，求出的值即可； （3）根据，分两种情况讨论，当在的左侧时，以为直角边作等腰直角三角形，过点分别作轴的平行线，过点作轴的平行线，交于点，证明得出，求得直线的解析式为，联立求得点，当在轴的右侧时，同理可得． 【详解】（1）解：由直线：得，当时，，当时，， ∴点、， 设直线的解析式为， 把，代入得， ，解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：由直线的解析式为得，当时，，当时，， ∴点，， ∴， ∴， ∴， ∵为直线上一动点， ∴设， ∴， ∴，解得：， ∴点的坐标为或； （3）如图，当在的左侧时，以为直角边作等腰直角三角形，过点分别作轴的平行线，过点作轴的平行线，交于点， ∴， ∴ 又∵， ∴ 又∵、 ∴， ∴， ∴为与的交点， 设直线的解析式为，代入、 ∴ 解得： ∴直线的解析式为 联立 解得： ∴ 当在轴的右侧时，如图，在的右侧以为直角边作等腰直角三角形，过点作轴， 同理可得，直线的解析式为： 联立 解得： ∴ 综上所述，或 37．如图，直线与x轴、y轴分别交于点A，B．C，D分别为线段上的两个动点，点P的坐标为，则的周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查与一次函数相关的最短路径问题，解题的关键是掌握用对称的方法确定周长最小时，M，N的位置． 作点P关于y轴的对称点，点P关于直线的对称点N，连接，交于点C，交y轴于点D，连接，此时，的周长最小，为的长；，求出的长，即可解得． 【详解】由直线的函数表达式，得点，， ， 则． 点P的坐标为， ，， 如图， 作点P关于y轴的对称点，点P关于直线的对称点N，则， 连接，交于点C，交y轴于点D， 此时，的周长最小， 的周长． 连接，由对称可知， ， ，， ∴点N的坐标为． ， 的周长的最小值为． 故答案为． 38．在平面直角坐标系中，，，连接交y轴于C． (1)求出点C的坐标； (2)如图1，点P是y轴上一点，且三角形的面积为8，求点P的坐标； (3)如图2，直线交x轴于，将直线平移经过点A交y轴于E，点在直线上，且，直接写出点Q横坐标x的值． 【答案】(1)； (2)或． (3)或． 【分析】本题属于一次函数与几何综合题，考查了三角形的面积，一次函数的性质等知识，学会利用参数构建方程是解题关键， （1）根据待定系数法求出一次函数解析式，进而可得AB与y轴的交点C坐标； （2）设，则，根据，列方程求解即可； （3）如图，连接,由，可得，结合已知，可得再由直线平移得出点，由此解方程即可求解． 【详解】（1）解：设直线解析式为，把，代入得 ，解得， ∴直线解析式为， 当时，， ∴点的坐标为． （2）设，则， ， ∵，， 即 或 点的坐标为或． （3）如图，连接, ∵直线交x轴于，设直线解析式为，把，代入得 ，解得， ∴直线解析式为， ∵将直线平移经过点交y轴于， 设直线解析式为，把代入得 ，解得， 即， ∵点在直线上， ∴点， ， ， ∵， ， ∴，即 解得：或， 当时，点的横坐标是或． 39．如图，过点的直线与坐标轴相交于、两点，已知点是第二象限的点，设的面积为．    (1)写出与之间的函数关系，并写出的取值范围； (2)当的面积为时，求出点的坐标； (3)在（2）的条件下，坐标轴上是否存在点，使得与、、中任意两点形成的三角形面积也为，若存在，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)存在， ， ， ， ， ， ． 【分析】（1）先求出点A坐标，由可求函数关系式， （2）将代入函数解析式可求得点； （3）根据三角形三个顶点不同分类讨论求出点M． 【详解】（1）解：点在第二象限，则因为 当时，x，则 （) （2）由（1）可知 当 则 此时： 所以 （3）存在点M满足条件， I．当M点在y轴时，若，即， ∴， ∴， ∴当点M在原点上方时，点M坐标为， ∴当点M在原点下方时，点M坐标为， II．当M点在y轴时，若，即， ∴， ∴， ∴当点M在原点上方时，点M坐标为， ∴当点M在原点下方时，点M坐标为； III．当M点在y轴时，若，即，     ， ∴， ∴当点M在点B上方时，点M坐标为， ∴当点M在点B下方时，点M点M与点O重合，不合题意舍去；； IV．当M点在x轴时，若，即， ∴， ∴， ∴当点M在原点右侧时，点M坐标为， ∴当点M在原点左侧时，点M坐标为，与点A重合，不合题意舍去； V．当M点在x轴时，若，即， ∴， ∴， ∵点A坐标为， ∴当点M在点A左侧时，点M坐标为， ∴当点M在点A右侧时，点M与点O重合，不合题意舍去； 综上所述：点M坐标为， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、解一元一次方程，解题的关键是分类讨论的数学思想． 40．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，将绕点O顺时针旋转得（点A与点C对应，点B与点D对应），直线交直线于点G．    (1)求直线的解析式； (2)点P为y轴上一动点，若，求点P的坐标； (3)如图2，直线，交x轴，y轴于F，E两点，点N为平面直角坐标系内一点．若以A，E，F、N为顶点的四边形为菱形，请直接写出所有符合条件的点N的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或或或 【分析】（1）根据旋转及全等三角形的性质确定点C和点D的坐标，然后利用待定系数法求函数解析式； （2）联立方程组求点G坐标，然后利用三角形面积公式列方程求解； （3）结合菱形的性质分情况讨论求解． 【详解】（1）解：在中，当时，，当时，， ∴， ∵将绕点O顺时针旋转得（点A与点C对应，点B与点D对应）， ∴， ∴，， ∴， 设直线的解析式为，把，代入函数解析式可得 ， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：联立方程组，解得， ∴ 设，则， 解得， ∴或 （3）解：由，设直线的函数解析式为， 在中，当时，，当时，， ∴，， 当为对角线时，，， ∴， 解得：，（舍去）， ∴， ∴． 当为菱形的对角线时，此时， ∴， 解得，， 当时，，， ∴， ∴， 同理，当时，， 当为菱形的对角线时， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， 综上，符合条件的N点坐标为或或或． 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，图形旋转的性质，三角形全等的判定及性质，菱形的性质，分类讨论，数形结合是解题的关键． 41．如图，直线l1：y＝x﹣4与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l2：y＝kx+b与x轴交于点C（1，0），与y轴交于点D（0，2），直线l1，l2交于点E． (1)求直线l2的函数表达式； (2)试说明CD＝CE． (3)若P为直线l1上一点，当∠POB＝∠BDE时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】（1）将C点和D点坐标代入直线l2：y＝kx+b，即可求出k，b，得到解析式； （2）首先求出点E的坐标，利用两点之间的距离公式分别求出CD和CE，值相等，即可说明CD＝CE； （3）当点P在B上方时，OP∥DE，得出直线OP的解析式，跟直线l1联立求解，求出交点P的坐标；当点P在B下方时，设点P关于y轴的对称点Q，链接OQ交直线l1为点P'，同理求出OQ的解析式，从而解决问题． 【详解】（1）将C（1，0）和D（0，2）代入直线l2：y＝kx+b得， ，解得 ∴直线l2：y＝-2x+2； （2）当-2x+2= x﹣4时，x=2 ∴E(2，-2) ∴ ∴ ∴CD＝CE； （3）∵∠POB=∠BDE，∴OP∥DE， ∴点P在l1上有两个位置， ①当点P在点B上方时，如图， ∵OP∥DE， ∴直线OP的函数解析式为y=-2x， ∴-2x=x-4 ∴ ∴ ∴ ②当点P在点B的下方时，设点P关于y轴的对称点为Q，连接OQ交l1为点P'， ∴ ∴直线OQ的解析式为：y=2x ∴2x= x-4 ∴x=-4 ∴y=-8 ∴P'（-4，-8） 综上所述：或（-4，-8）． 【点睛】本题考查了一次函数的综合问题，包括待定系数法求解析式，两点之间的距离公式，一次函数中的几何问题．分类讨论思想和转化思想是本题的关键． 42．甲、乙两家商场平时以同样的价格出售相同的商品新冠疫情期间，为了减少库存，甲、乙两家商场打折促销甲商场所有商品按9折出售，乙商场对一次购物中超过100元后的价格部分打8折． （Ⅰ）根据题意，填写下表： 商品原价（元） 50 80 130 230 … 甲商场实际购物金额（元） 45 117 … 乙商场实际购物金额（元） 50 124 … （Ⅱ）设商品原价为x元，在甲、乙两个商场实际购物金额分别为元，元，分别写出，关于x的函数解析式； （Ⅲ）当时，在哪家商场购物的实际花费少？请说明理由． 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）；；（Ⅲ）在乙商场购物的实际花费少，见解析 【分析】（I）对于甲商场直接按9折计算即可完成填空，对于乙商场，不超过100元的商品按原价填写即可，对于230元的商品，超过100元的部分为130元，这部分按8折计算即可； （II）对于甲商场直接按9折计算即x的90%，对于乙商场分x≤100和x>100两种情况分别写出函数解析即可； （III）计算出，当x>220时，根据式子即可作出判断． 【详解】（Ⅰ） 商品原价（元） 50 80 130 230 … 甲商场实际购物金额（元） 45 72 117 207 … 乙商场实际购物金额（元） 50 80 124 204 … （Ⅱ）根据题意，得； 当时，； 当时，． 即 （Ⅲ）当时，有，． ∴． 记．当时，，解得． ∴当商品原价为200元时，在甲、乙两家商场购物的实际花费一样多． ∵， ∴y随x的增大而增大． ∴当，即时，有， ∴． 即在乙商场购物的实际花费少． 【点睛】本题是一次函数在商品销售中的应用问题，考查了一次函数的解析式的确定、一次函数图象的性质，解题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解决问题，注意分类． 五、函数基础知识 43．在测浮力的实验中，小明将一块受重力为的长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里，弹簧测力计的示数拉力与石块下降的高度之间的关系如图所示，温馨提示：当石块位于水面上方时，；当石块入水后，，则以下说法正确的是（   ） A．当石块下降时，此时石块在水里 B．当时，拉力与之间的函数表达式为 C．当时，此时石块完全浸入水中 D．当时，此时石块所受浮力不变 【答案】D 【分析】本题主要考查动点问题的函数图象、一次函数的应用等知识点，采用数形结合的思想解决函数图象问题是解决本题的关键． 结合所给函数图象以及一次函数的相关知识逐个选项分析判断即可解答． 【详解】解：从图象看，石块在下降时拉力不发生变化，对应的拉力为， 当时，此时石块还在水面上方，故A选项错误，不符合题意； 当时，设函数解析式为， ， 解得：， 拉力与之间的函数表达式为，故B选项错误，不符合题意； 从图象看：当时，石块所受的拉力为，拉力开始不变，此时石块完全浸入水中，故C选项错误，不符合题意； 当时，石块所受的拉力不变， 石块的重力为，， 石块所受浮力不变，故选项D正确，符合题意． 故选：D． 44．如图1，点P从的顶点B出发，沿匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则的面积是（   ） A． B．10 C．12 D．15 【答案】C 【分析】本题考查动点问题的函数图象、勾股定理等知识点，结合图象求出与的长度是解题的关键． 根据图象可知点P在上运动时，此时不断增大，而从C向A运动时，先变小后变大，从而可求出与的长度． 【详解】解：根据图象可知点P在上运动时，此时不断增大， 由图象可知：点P从B向C运动时，的最大值为5，即， 由于M是曲线部分的最低点，此时最小，即，， ∴由勾股定理可知，此时， 由于图象的曲线部分是轴对称图形， ∴， ∴， ∴的面积为：． 故选：C． 45．在一条沿山而建的游览路线上依次有三处观景台，小方从处徒步前往处，同时小圆从处骑车前往处，到达处后休息1分钟，然后立即折返（折返时间忽略不计）按原路原速前往处，结果小圆比小方早2分钟到达处，两人均匀速运动，如图是两人距处路程（米）与时间（分钟）之间的函数图象．根据上述信息，下列说法错误的是（   ） A．小方的速度为米/分钟 B．小圆的速度为300米/分钟 C．线段所在直线函数解析式为 D．出发分钟或分钟后，两人之间路程相距200米 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的应用、路程速度时间的关系等知识，利用速度路程时间，找准小方、小圆的路程和时间，可求出小方、小圆的速度；得出点G的坐标，设直线的解析式为：，将F，G的坐标代入，求解方程组即可得线段所在直线函数解析式；两人之间路程相距200米，根据题意可知存在三种情况，然后分别计算即可． 【详解】解：根据题意可知，， ∴小圆的速度为：（米/分钟）， 故选项B正确； ∴小圆从B地到C地用时：（分钟）， ∴， ∴， ∴小方的速度为（米/分钟）， 故选项A正确； 设线段所在直线函数解析式为， 将、代入， 得， 解得， ∴线段所在直线函数解析式为， 故选项C正确； 由题意可知，相距300米，相距900米， ∵，， ∴直线的解析式为：， ∵， ∴直线的解析式为：， 当时，小方从处徒步前往处，同时小圆从处骑车前往处，即小方、小圆朝相反方向走， ∴令， 解得， ∵当时，小方从处徒步前往处，小圆从处往处骑行， ∴， 解得（不合题意，舍去）， ∵当时，小方从继续徒步前往处，小圆从处往处骑行， ∴或， 解得或． 综上，出发分钟或分钟或分钟后，两人之间的路程相距200米， 故选项D错误． 故选：D． 六、一元一次方程 46．如图1，直角为一张硬纸板，，，要在距离A点的点E处粘一条垂直于的彩带，该如何求彩带的长度？ 【方法简介】设的长度为，由等面积法可得方程：，解方程求得x的值，从而求得的长． 请依据此方法解答下列问题： （1）请直接写出上述方程中x的值：________． 【方法应用】 （2）如图2，在平面直角坐标系中，已知，，线段交y轴于点C．请利用等面积法求出点C的坐标． 【应用拓展】 （3）如图3，在（2）的条件下，延长交x轴于点D，连接． ①求出点D的坐标； ②点P为直线上一点，连接，若，请直接写出点P的坐标． 【答案】（1）；（2）点C的坐标为；（3）①；②点P的坐标为或． 【分析】本题考查坐标与图形，熟练掌握等积法求线段的长，是解题的关键： （1）直接解方程即可； （2）作轴于点F，作轴于点E，设，利用等积法进行求解即可； （3）①作轴于点F，作轴于点E，设，等积法求出点的坐标即可；②作轴于点F，作轴于点G，设点P的纵坐标为，分点P在线段上和点P在射线上，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：（1）∵， 解得：； （2）作轴于点F，作轴于点E， ，， ，，，， 设， 由题意得， 整理得， 解得； 点C的坐标为； （3）①作轴于点F，作轴于点E，设， 由题意得， 解得， ， 点D的坐标为． ②作轴于点F，作轴于点G，设点P的纵坐标为， 当点P在线段上时， ， ，即， ，此时， 设，由题意得， 解得， ， 点P的坐标为； 当点P在射线上时，作轴于点H，作交的延长线于点Q， ，， ， ， ， 设， ，， 由题意得， 解得：， ， 点P的坐标为； 综上，点P的坐标为或． 47．一列动车从甲地开往乙地，一列普通列车从乙地开往甲地，两车同时出发，设普通列车行驶的时间为（单位：）．两车之间的距离为（单位：）．图中的折线表示与之间的函数关系．下列结论：；普通列车出发与动车相遇；普通列车行驶时，动车到达终点乙地；经过或两车相距，其中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数图像的应用，熟练掌握图像相关数据是解题的关键. 折线分三段：第一段两车相向而行，第二段背向而行至动车到达乙地，第三段普通列车行至甲地（动车停止）． ①t时刻是相遇后两车相距180千米的时刻，用3小时加两车共行驶180千米的时间即可. ②初始时刻，即为两地距离，相遇时两车距离为0，由图像得到相遇时刻； ③全程除以动车速度即为动车到达终点时间； ④设经过，两车相距，列方程解答验证是否是或． 【详解】解：由图象可得， 普通列车的速度为：， 动车的速度为：， ，故正确，符合题意； 普通列车出发与动车相遇，故正确；符合题意； ， 即普通列车行驶时，动车到达终点乙地，故错误，不符合题意； 设经过，两车相距， 相遇前：，得； 相遇后：，得； 即经过或两车相距，故正确，符合题意； 故选：B． 七、二次根式 48．直线满足式子有意义，则与在同一平面直角坐标系中的图像是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数图像的性质和二次根式有意义的条件，根据的正负一一判断即可； 【详解】解：根据二次根式有意义的条件确定的取值范围 ，被开方数， ∴， ∴直线的图象与轴交于负半轴或原点；故选项A错误； 选项B和D中 ∵直线的图象可以看出直线从左到右上升，y随x的增大而增大， ∴， ∴直线的图象与轴交于正半轴， 而当时，， ∴可为正也可为负； 若为正时，的绝对值大于的绝对值， 故选项D正确； 若为负时，的绝对值小于的绝对值， ∴选项B错误； 选项C中， ∵直线的图象可以看出直线从左到右下降，y随x的增大而减小， ∴， 而当时，， ∴， ∴直线经过一、三、四象限，故选项C错误； 故选项为： D. 八、实数 49．仔细观察图，认真分析各式，然后解答问题： ，， ，， ，， (1)请用含有（是正整数）的等式表示上述变化规律； (2)推算出的值； (3)求出的值． 【答案】(1)，（是正整数）； (2)； (3)． 【分析】此题考查了勾股定理、算术平方根，数字规律，掌握知识点的应用是解题的关键． （）此题要利用直角三角形的面积公式，观察上述结论，会发现，第个图形的一直角边就是，然后利用面积公式可得； （）由上述，，根据规律可知； （）的值就是把面积的平方相加就可． 【详解】（1）解：，； ，； ，； ； ∴，（是正整数）； （2）解：∵， ， ， ， ， ∴， ∴； （3）解： ， 即：． 50．【阅读理解】大家知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 【解决问题】 (1)的整数部分是 ，小数部分是 ； (2)若，其中是整数，且，求的相反数； (3)已知的小数部分是，的小数部分是，求的值． 【答案】(1)4， (2) (3)1 【分析】本题主要考查了无理数的估算． （1）先估算的大小，然后求出其整数部分和小数部分即可； （2）先估算的大小，再根据不等式的性质估算的大小，求出整数部分x和小数部分y，从而求出的值，再求出它的相反数即可； （3）先估算和的大小，再根据不等式的性质估算和的大小，分别求出小数部分和，从而求出的值． 【详解】（1）解：∵，即， ∴的整数部分是4，小数部分， 故答案为：4，； （2）解：∵，即， ∴，， ∴的整数部分是10，小数部分是：， ∵，其中是整数，且， ∴，， ∴， ∴的相反数为：； （3）解：∵，即， ∴，，即， ∴，即， ∵的小数部分是，的小数部分是， ∴，， ∴． 51．【阅读理解】在数学学习中，我们常常借助由边长为的小正方形组成的网格来解决问题，并把由格点（小正方形的顶点）组成的正方形成为格点正方形．图①是由四个边长为的小正方形组成的网格，容易发现格点正方形ABCD的面积为，则这个格点正方形的边长为． 【问题解决】 (1)图②是由个小正方形网格组成的图形，那么格点正方形的面积为______，边______； (2)在由个小正方形网格组成的图③中，画出边长为的格点正方形． 【答案】(1)； (2)作图见解析 【分析】本题考查作图—应用与设计作图，算术平方根的应用，等积变换， （1）利用割补法求出正方形的面积，再利用开平方运算求解，即可解题； （2）根据题意，并结合（1）方法分析，再画出图形即可； 利用数形结合的思想解决问题是解题的关键． 【详解】（1）解：∵正方形的面积为：， ∴格点正方形的边：， 故答案为：；； （2）如图，取格点、、、，再顺次连接， ∵正方形的面积为：， ∴格点正方形的边长为， 则正方形即为所作． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中复习压轴题汇编 范围：第一章-第四章 一、三角形 1．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则 ． 2．问题背景： 在中，、、三边的长分别为、、，求这个三角形的面积． 小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），然后在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处，，，），如图①所示．这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．这种求面积的方法叫做构图法． (1)请你将的面积直接填写在横线上：______． (2)思维拓展：若三边的长分别为、、，请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的，并求出它的面积． (3)探索创新：若三边的长分别为、、（，，且），求这个三角形的面积． (4)直接写出当x为何值时，函数有最小值，最小值是多少？ 3．如图，有一圆柱形下水管道紧靠墙竖直安放，墙为长方形，，，该管道底面是周长为的圆，一只蚂蚁从点A爬过管道到达C，则需要走的最短路程是 ． 4．如图所示，等腰三角形的底边为，腰长为，一动点P在底边上从点B向点C以的速度移动，请你探究：当P运动 秒时，P点与顶点A的连线与腰垂直． 5．如图，分别以直角三角形的三边作三个半圆，且，则等于（    ） A．65 B．45 C．55 D．35 6．数学史上有一个著名的希波克拉底月牙问题，如图，在中，分别以各边为直径作半圆，当，时，阴影部分的面积为（    ） A．4 B． C． D．8 7．某数学兴趣小组学完勾股定理后，类比“赵爽弦图”将八个全等的直角三角形拼接构造成如图所示的弦图，图中正方形，正方形，正方形的面积分别记为，，，若，则的长是（ ） A． B． C． D． 8．在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门去阃（）一尺，不合二寸，问门广几何．”大意是说：如图，推开两扇门（和），门边缘D，C两点到门槛的距离为1尺（1尺寸），两扇门间的缝隙为2寸，，那么门的宽度即的长为 寸． 9．如图，在中，，分别以、、为边向上作正方形、正方形、正方形，点E在上，若，，则图中阴影的面积为 ． 10．等腰中，，，点A、点B分别是y轴、x轴上两个动点，直角边交x轴于点D，斜边交y轴于点E． (1)如图(1)，已知点C的横坐标为，直接写出点A的坐标； (2)如图(2)，当等腰运动到使点D恰为中点时，连接，求证:； (3)如图(3)，若点A在x轴上，且，点B在y轴的正半轴上运动时，分别以为直角边在第一、二象限作等腰直角和等腰直角，连接交y轴于点P，问当点B在y轴的正半轴上运动时，的长度是否变化？若变化，请说明理由；若不变化，请求出的长度． 11．如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为 ． 二、代数式 12．如图，过点P作且，得；再过点P1作且，得；又过点P2作且，得…依此法继续作下去，得等于（   ） A． B． C． D． 13．数学实验室： 制作4张全等的直角三角形纸片（如图1），把这4张纸片拼成以弦长c为边长的正方形构成“弦图”（如图2），古代数学家利用“弦图”验证了勾股定理． 探索研究： （1）小明将“弦图”中的2个三角形进行了运动变换，得到图3，请利用图3证明勾股定理； 数学思考： （2）小芳认为用其它的方法改变“弦图”中某些三角形的位置，也可以证明勾股定理．请你想一种方法支持她的观点（先在备用图中补全图形，再予以证明）． 14．已知的平方根是，的立方根是3，的整数部分是． (1)求的平方根； (2)以、为两边的直角三角形的第三边的长度是多少？ 15．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简，，．以上这种化简的方法叫做分母有理化． (1)化简 ； (2)请化简； (3)计算的值． 16．如图，，，，，都是等腰直角三角，点，，，均在轴正半轴上，直角顶点，，，均在直线上．设，，，的面积分别为，，，，，依据图形所反映的规律， ． 三、平面直角坐标系 17．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标，纵坐标均为整数的点．其顺序按图中“”方向依次排列：根据这个规律，第2020个点的坐标为（   ）． A． B． C． D． 18．长为8、宽为4的长方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，动点P从点出发，沿所示的箭头方向运动，到点时记为第一次反弹，以后每当碰到长方形的边时记一次反弹，反弹时反射角等于入射角，那么点P第2025次反弹时碰到长方形边上的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 19．如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发，第1次运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点．按这样的运动规律，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 20．如图，平面直角坐标系中，向上运动个单位至处，然后向左运动个单位到处，再向下运动个单位到处，再向右运动个单位至处，再向上运动个单位至处，，如此继续运动下去，则的坐标为（ ） A．B． C． D． 21．正方形，，，…按如图所示的方式放置，点，，，…和点，，，…分别在直线和轴上，则点的纵坐标是 ． 22．在平面直角坐标系中，已知点P和直线，，点P关于直线，“和距离”的定义如下：若点P到直线，的距离分别为，，则称为点P关于直线，的“和距离”，记作d．特别地，当点P在直线上时，；当点P在直线上时，． (1)在点，，中，关于x轴和y轴的“和距离”为3的点是______； (2)若P是直线上的动点，则点P关于x轴和y轴的“和距离”d的最小值为______； (3)已知点，，，点P是边上的动点，直接写出点P关于x轴和直线的“和距离”d的取值范围． 四、一次函数 23．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与轴，轴分别交于点A，B，与函数的图象交于点．    (1)求m和的值； (2)函数的图象与x轴交于点D，点E从点D出发沿方向，以每秒2个单位长度匀速运动到点A（到A停止运动）．设点E的运动时间为t秒． ①当的面积为6时，求t的值； ②在点E运动过程中，是否存在t的值，使为直角三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 24．如图，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，在x轴上作一点C，使得是以为腰作等腰三角形，则点C的坐标为 ． 25．如图，点A，B，C在一次函数的图象上，它们的横坐标依次，1，2，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是（   ） A．3 B． C． D． 26．如图，一次函数的图象与x轴、y轴交点分别为A、B两点，M是上一点，沿直线对折，使B刚好落到x轴上的处，则点M的坐标是 ． 27．如图，直线：与轴，轴分别交于，两点，点坐标为，连接，，点是线段上的一动点． (1)______；______； (2)求的面积； (3)将沿直线翻折，点的对应点为，若为直角三角形，求线段的长． 28．（1）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于两点，在轴上找一点，连接，使得是等腰三角形，直接写出此时点的坐标； （2）如图，在平面直角坐标系中，点，射线轴，直线交线段于点，交轴于点，是射线上一点．若存在点，使得恰为等腰直角三角形，求的值． 29．如图，已知直线分别与轴，轴交于，两点，直线：交于点． (1)求，两点的坐标； (2)如图1，点是线段的中点，连接，点是射线上一点，当，且时，在轴上找一点，当的值最小时，求出的面积； (3)如图2，若，过点作，交轴于点，此时在轴上是否存在点，使，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 30．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴，轴于，两点，直线分别与轴正半轴，轴正半轴交于点，两点，且，． (1)直接写出点的坐标为______； (2)求出直线的解析式； (3)如图2，点为线段的中点，点为直线上一点，点为坐标系内一点，若以，，，为顶点且为边的四边形为矩形时，请求出点的坐标． 31．在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于两点．点是直线上的动点，定义：直线为直线关于点的关联直线． (1)当时，直线的关联直线为______； (2)如图1，在直线上求点P，使得； (3)①试证明直线经过定点M，并求出M点的坐标； ②如图2，已知点关于直线的对称点为Q，连接，当时，求点A的坐标． 32．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴相交于两点，直线分别与轴正半轴，轴相交于两点，与直线相交于点． (1)求点的坐标及的度数； (2)当是以为腰的等腰三角形时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，将线段进行平移得到线段，其中点的对应点分别为点，且点在的内部，连接，当时，求的周长的最小值． 33．如图1，已知函数与x轴交于点C，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称． (1)求直线的函数解析式； (2)设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线于点P，交直线于点Q． ①若的面积为，求点M的坐标； ②连接，如图2，若，求点P的坐标． 34．如图1， 直线的解析式为， 直线经过点，，且，交于点A， (1)求直线的表达式；观察图像，当直线在x轴上方时，直接写出自变量x的取值范围 (2)直线，的交点A的坐标 (3)若直线 与线段有交点，直接写出比例系数k满足的取值范围 (4)若直线上存在一动点E，使得，直接写出点E的坐标 35．在平面直角坐标系中，对于任意两点，定义如下：点M与点N的“直角距离”为，记作． 例如：点与的“直角距离”． (1)已知点，则在这四个点中，与原点O的“直角距离”等于1的点是； (2)如图，已知点，根据定义可知线段上的任意一点与原点O的“直角距离”都等于1．若点P与原点O的“直角距离”．请在图中将所有满足条件的点P组成的图形补全； (3)已知点是x轴上的一个点，若直线上存在点D，满足，求k的取值范围． 36．如图，直线与x轴、y轴分别交于点、，且与直线相交于点，已知直线经过点，且与轴交于点． (1)求点、的坐标以及直线的解析式； (2)若为直线上一动点，，求点的坐标； (3)点在直线上，当时，求所有符合条件的点的坐标． 37．如图，直线与x轴、y轴分别交于点A，B．C，D分别为线段上的两个动点，点P的坐标为，则的周长的最小值为 ． 38．在平面直角坐标系中，，，连接交y轴于C． (1)求出点C的坐标； (2)如图1，点P是y轴上一点，且三角形的面积为8，求点P的坐标； (3)如图2，直线交x轴于，将直线平移经过点A交y轴于E，点在直线上，且，直接写出点Q横坐标x的值． 39．如图，过点的直线与坐标轴相交于、两点，已知点是第二象限的点，设的面积为．    (1)写出与之间的函数关系，并写出的取值范围； (2)当的面积为时，求出点的坐标； (3)在（2）的条件下，坐标轴上是否存在点，使得与、、中任意两点形成的三角形面积也为，若存在，请直接写出点的坐标． 40．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，将绕点O顺时针旋转得（点A与点C对应，点B与点D对应），直线交直线于点G．    (1)求直线的解析式； (2)点P为y轴上一动点，若，求点P的坐标； (3)如图2，直线，交x轴，y轴于F，E两点，点N为平面直角坐标系内一点．若以A，E，F、N为顶点的四边形为菱形，请直接写出所有符合条件的点N的坐标． 41．如图，直线l1：y＝x﹣4与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l2：y＝kx+b与x轴交于点C（1，0），与y轴交于点D（0，2），直线l1，l2交于点E． (1)求直线l2的函数表达式； (2)试说明CD＝CE． (3)若P为直线l1上一点，当∠POB＝∠BDE时，求点P的坐标． 42．甲、乙两家商场平时以同样的价格出售相同的商品新冠疫情期间，为了减少库存，甲、乙两家商场打折促销甲商场所有商品按9折出售，乙商场对一次购物中超过100元后的价格部分打8折． （Ⅰ）根据题意，填写下表： 商品原价（元） 50 80 130 230 … 甲商场实际购物金额（元） 45 117 … 乙商场实际购物金额（元） 50 124 … （Ⅱ）设商品原价为x元，在甲、乙两个商场实际购物金额分别为元，元，分别写出，关于x的函数解析式； （Ⅲ）当时，在哪家商场购物的实际花费少？请说明理由． 五、函数基础知识 43．在测浮力的实验中，小明将一块受重力为的长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里，弹簧测力计的示数拉力与石块下降的高度之间的关系如图所示，温馨提示：当石块位于水面上方时，；当石块入水后，，则以下说法正确的是（   ） A．当石块下降时，此时石块在水里 B．当时，拉力与之间的函数表达式为 C．当时，此时石块完全浸入水中 D．当时，此时石块所受浮力不变 44．如图1，点P从的顶点B出发，沿匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则的面积是（   ） A． B．10 C．12 D．15 45．在一条沿山而建的游览路线上依次有三处观景台，小方从处徒步前往处，同时小圆从处骑车前往处，到达处后休息1分钟，然后立即折返（折返时间忽略不计）按原路原速前往处，结果小圆比小方早2分钟到达处，两人均匀速运动，如图是两人距处路程（米）与时间（分钟）之间的函数图象．根据上述信息，下列说法错误的是（   ） A．小方的速度为米/分钟 B．小圆的速度为300米/分钟 C．线段所在直线函数解析式为 D．出发分钟或分钟后，两人之间路程相距200米 六、一元一次方程 46．如图1，直角为一张硬纸板，，，要在距离A点的点E处粘一条垂直于的彩带，该如何求彩带的长度？ 【方法简介】设的长度为，由等面积法可得方程：，解方程求得x的值，从而求得的长． 请依据此方法解答下列问题： （1）请直接写出上述方程中x的值：________． 【方法应用】 （2）如图2，在平面直角坐标系中，已知，，线段交y轴于点C．请利用等面积法求出点C的坐标． 【应用拓展】 （3）如图3，在（2）的条件下，延长交x轴于点D，连接． ①求出点D的坐标； ②点P为直线上一点，连接，若，请直接写出点P的坐标． 47．一列动车从甲地开往乙地，一列普通列车从乙地开往甲地，两车同时出发，设普通列车行驶的时间为（单位：）．两车之间的距离为（单位：）．图中的折线表示与之间的函数关系．下列结论：；普通列车出发与动车相遇；普通列车行驶时，动车到达终点乙地；经过或两车相距，其中正确的是（ ） A． B． C． D． 七、二次根式 48．直线满足式子有意义，则与在同一平面直角坐标系中的图像是（   ） A． B． C． D． 八、实数 49．仔细观察图，认真分析各式，然后解答问题： ，， ，， ，， (1)请用含有（是正整数）的等式表示上述变化规律； (2)推算出的值； (3)求出的值． 50．【阅读理解】大家知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 【解决问题】 (1)的整数部分是 ，小数部分是 ； (2)若，其中是整数，且，求的相反数； (3)已知的小数部分是，的小数部分是，求的值． 51．【阅读理解】在数学学习中，我们常常借助由边长为的小正方形组成的网格来解决问题，并把由格点（小正方形的顶点）组成的正方形成为格点正方形．图①是由四个边长为的小正方形组成的网格，容易发现格点正方形ABCD的面积为，则这个格点正方形的边长为． 【问题解决】 (1)图②是由个小正方形网格组成的图形，那么格点正方形的面积为______，边______； (2)在由个小正方形网格组成的图③中，画出边长为的格点正方形． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $