第2章 对称图形-圆（知识串讲+知识梳理+真题训练）-2025-2026学年九年级数学上册高频考点题型归纳与满分必练（苏科版）

第2章 对称图形-圆 【考点1】圆的有关概念 【考点2】点与圆的位置关系 【考点3】垂径定理有关计算 【考点4】垂径定理的应用 【考点5】圆心角、弧、弦的关系 【考点6】确定圆的条件 【考点7】三角形的外接圆与外心 【考点8】利用圆周角定理求角度 【考点9】圆内接四边形的性质 【考点10】直线与圆的位置关系 【考点11】利用切线的性质求线段/角度 【考点12】切线的判定与性质 【考点13】切线长定理 【考点14】三角形的内切圆与内心 【考点15】正多边形和圆的综合应用 【考点16】弧长的有关运算 【考点17】圆锥的有关运算 知识点1 ：圆的定义及性质 圆的定义：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形 成的图形叫圆。这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径。 圆的表示方法：以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O。 圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。 确定圆的条件：1）圆心；2）半径。 备注：圆心确定圆的位置，半径长度确定圆的大小。 【补充】1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆； 2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆； 3）半径相等的圆叫做等圆。 圆的对称性：1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴； 2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 知识点2 ：圆的有关概念 弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的AB)。 直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。 备注：1）直径是同一圆中最长的弦。2）直径长度等于半径长度的2倍。 弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以为端点的弧记作，读作圆弧AB或弧AB。 等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。 劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。 知识点3 垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论1：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； 3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度； 2） 有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分 知识点4 垂径定理的应用 经常为未知数，结合方程于勾股定理解答 知识点5 ：确定圆的条件 不在同一直线上的三个点确定一个圆。 知识点6：三角形的外接圆与外心 1.三角形的外接圆 经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。 2.三角形的外心 三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。 知识点7 圆心角的概念 圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。 弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。 知识点8 圆角角的概念 圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。（即：圆周角=） 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。 在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径。 推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 知识点9 圆内接四边形 圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 即：在⊙中， ∵四边是内接四边形 ∴ 知识点10 直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 无交点； 2、直线与圆相切 有一个交点； 3、直线与圆相交 有两个交点； 知识点11 切线的性质与判定定理 1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵且过半径外端 ∴是⊙的切线 2、性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上三个定理及推论也称二推一定理： 即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。 知识点12切线长定理 切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 即：∵、是的两条切线 ∴；平分 知识点13 三角形的内切圆和内心 1、三角形的内切圆 与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。 2、三角形的内心 三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。 注意：内切圆及有关计算。 （1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。 （2）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，则内切圆的半径r= 。 （3）S△ABC=，其中a，b，c是边长，r是内切圆的半径。 （4）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。 如图，BC切⊙O于点B，AB为弦，∠ABC叫弦切角，∠ABC=∠D。 B O A D 知识点14 圆内正多边形的计算 （1）正三角形 在⊙中△是正三角形，有关计算在中进行：； （2）正四边形 同理，四边形的有关计算在中进行，： （3）正六边形 同理，六边形的有关计算在中进行， 知识点15 与正多边形有关的概念 1、正多边形的中心 正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。 2、正多边形的半径 正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。 3、正多边形的边心距 正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。 4、中心角 正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。 知识点16 正多边形的对称性 1、正多边形的轴对称性 正多边形都是轴对称图形。一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。 2、正多边形的中心对称性 边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。 3、正多边形的画法 先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。 知识点17：扇形的弧长和面积计算 扇形：（1）弧长公式：； （2）扇形面积公式： ：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积 注意：　 (1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即； (2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径； (3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量. (4)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的， 即； (5)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量. 知识点18：扇形与圆柱、圆锥之间联系 1、圆柱： （1）圆柱侧面展开图 = （2） 圆柱的体积： 2、圆锥侧面展开图 （1）= （2）圆锥的体积： 注意：圆锥的底周长=扇形的弧长（） 【考点1】圆的有关概念 1．下列命题是真命题的是（   ） A．长度相等的弧是等弧 B．圆中最长的弦是经过圆心的弦 C．一条弦把圆分成两条弧，分别是优弧和劣弧 D．平分弦的直径垂直于弦 2．如图，为的弦，，则等于（   ） A． B． C． D． 3．如图，都是的半径，交于点D．若，，则半径的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 4．如图，⊙的直径与弦的延长线交于点E．若则等于（   ） A． B． C． D． 【考点2】点与圆的位置关系 1．已知平面内有和点A，B，若半径为，线段，，则直线与的位置关系为（　　） A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切 2．如图，在边长为4的等边中，的半径为1，点P是边上的动点，过点P作的一条切线，Q为切点，则线段长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向平移，使与y轴相切，则平移的距离为（   ） A．1 B．1或5 C．3 D．3或5 4．如图，⊙O1的直径AB长度为12，⊙O2的直径为8，∠AO1O2＝30°，⊙O2沿直线O1O2平移，当⊙O2平移到与⊙O1和AB所在直线都有公共点时，令圆心距O1O2＝x，则x的取值范围是（　　） A．2≤x≤10 B．4≤x≤16 C．4≤x≤4 D．2≤x≤8 5．如图，半径的⊙M在轴上平移，且圆心M在x轴上，当⊙M与直线相切时，圆心M的坐标为（  ） A．(0，0) B．(2，0) C．（-6，0） D．(2，0) 或（-6，0） 【考点3】垂径定理有关计算 1．已知在⊙O中，半径，弦，且，，则与的距离为（     ）． A．7或17 B．7 C．7或12 D．12 2．如图，在中，是的弦，过点O作于点C，连接，若，，则的半径为 ． 3．如图，在中，圆心到的距离为，的半径为，则弦的长为 ． 【答案】24 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上定理． 根据垂径定理得出，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 由勾股定理得，， ∴， 故答案为：24． 4．已知P是内的一点，过点P的最长的弦长为，最短的弦为，则的长为 【答案】 【分析】本题综合考查了垂径定理和勾股定理．解此类题目要注意将圆的问题转化成三角形的问题再进行计算． 根据圆内最长的弦为直径，最短的弦是过点且与这条直径垂直的弦，由勾股定理和垂径定理求解即可． 【详解】解：如图， ∵圆内最长的弦为直径，最短的弦是过点且与这条直径垂直的弦， ∴，，， ∴，， 由勾股定理得：， 故答案为：． 【考点4】垂径定理的应用 1．如图，圆弧形桥拱的跨度米，拱高米，则拱桥的半径为（　　） A．6.5米 B．9米 C．13米 D．15米 2．如图，现有圆形木材埋在墙壁里，不知大小，将它锯下测得深度为寸，锯长为寸，则圆材的半径为 寸． 3．小明不小心把妈妈的圆形玻璃镜面打碎了，他拿着如图所示的残缺镜面请工人师傅配同样大小的镜面，聪明的工人师傅在图纸上用尺规作图的方法确定了残缺镜面所在圆的圆心和半径，并还原了整个圆形镜面，请你完成这个尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）． 4．晨晨在学习了圆的有关性质后，想利用所学知识测量家中盛汤用的碗口的直径．以下是他的测量方案和相关数据： 测量主题 测量碗口的直径 测量工具 一张矩形纸条和刻度尺 测量方案 将纸条拉直并紧贴碗口，纸条的上下边沿分别与碗口相交于，，，四点，分别测量出纸条的宽度、纸条的上下边沿与碗口相交的线段长度 实物图及测量示意图 测量说明 CD为纸条上沿与碗口相交的线段，为纸条下沿与碗口相交的线段，测量时纸条处于拉直状态且纸条和碗均未发生移动 测量数据 ，，纸条宽度． 请你根据上述方案和数据计算出碗口直径． 【考点5】圆心角、弧、弦的关系 1．如图，和是上的两条弦，圆心O到它们的距离分别为和，若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆分别交、于点D、点E，则弧的度数为（　　） A． B． C． D． 3．如图，是的直径，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在以为圆心的半圆中，是直径，点是弧的中点，连接，平分交于点，连接，则的度数是（ ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，，以点为圆心，为半径的圆交于点，交于点，则的度数为 ． 6．如图，在中，已知，则弧的度数是 ． 【考点6】确定圆的条件 1．如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．如图是一块被打碎的圆形玻璃，若想要去店里配到一块与原来大小一样的圆形玻璃，应该带去店里的碎片是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 3．已知，，三点可以确定一个圆，则以下点坐标不满足要求的是（    ） A． B． C． D． 4．已知，经过A，B两点作圆，则所作的圆的半径最小是 ． 5．若过平面直角坐标系中的三个点、、能确定一个圆，则 ． 【考点7】三角形的外接圆与外心 1．三角形的外心就是三角形外接圆圆心，是三角形（   ） A．三边上的高线的交点 B．三边中线的交点 C．三边垂直平分线的交点 D．三个内角平分线的交点 2．如图，直角坐标系中，经过A，B，C三点的圆，圆心为M，则点M的坐标为（　　） A． B． C． D． 3．如图，已知．    (1)用直尺和圆规作的外接圆（保留作图的痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若的半径为5，点到的距离为3，求的长． 【考点8】利用圆周角定理求角度 1．如图，点A，B，C在上，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．如图，线段为的直径， ．若，与的延长线交于F，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．如图，已知是的直径，是弦，若，则等于（   ） A． B． C． D． 4．如图，A、B、C是上的点，是圆的直径，在延长线上取一点D，使，连接，则为（   ） A． B． C． D． 5．如图，内接于，点B是的中点，是的直径，若，，则的长为（　　） A．4 B． C． D． 【考点9】圆内接四边形的性质 1．如图，点B，C，D在上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，四边形是的内接四边形，平分，点是劣弧的中点．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．如图，四边形内接于，如果它的一个外角，那么（   ） A． B． C． D． 4．如图，内接于，连接、，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，是四边形的外接圆，过点B作，交于点E．若，则的度数为 ． 【考点10】直线与圆的位置关系 1．如图用的是“日晷饮水计时，晷头红照雨衡前”这一景，图中的江面和太阳可看成直线和圆，则它们的位置关系为（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．平行 2．已知的半径为，圆心O到直线l的距离为3cm，直线l与的位置关系是（      ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 3．在中，，，以为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的是（    ） A．点在内 B．点在上 C．直线与相切 D．直线与相离 4．如图，在中，，，是边上的高，，若圆是以点为圆心，为半径的圆，那么圆与直线的关系是（　　） A．相切 B．相离 C．相交 D．不能确定 5.设的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，并且方程无实数根，则直线l与的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 【考点11】利用切线的性质求线段/角度 1．（2025·河南平顶山·模拟预测）如图，以为直径的半圆交于点，已知与相切于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·甘肃张掖·模拟预测）如图所示，、分别与相切于、两点，点为上一点，连接、，若，则的度数为(　　　) A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·天津·阶段练习）如图，分别与相切于三点．且，，则的长为（   ） A．5 B． C． D． 【考点12】切线的判定与性质 1．如图，是的直径，切⊙于点，点是上的一点，且，． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，求弦及，的长． 2．如图，点在上，过点，分别与交于，过作于． (1)求证：是的切线； (2)若与相切于点，求的半径． 3．如图，为的直径，C为上一点，点D为的中点，过点C作的切线交的延长线于点E，交的延长线于点F，连接． (1)求证∶与相切； (2)若，，求的半径r． 4．如图，在四边形中，平分．点 O在上，以点O为圆心，为半径，作经过点D，与相切于点B，延长线交于点 E，交于点 F，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 5．如图，以点O为圆心，长为直径作圆，在上取一点C，延长至点D，连接，，过点A作交的延长线于点E． (1)求证：是的切线 (2)若，，则的长 6．如图，为的一条弦，切于点，直线交于点E，交于点C． (1)求证：是的切线； (2)若 交直线于点D，交于另一点F． ①求证：； ②若，求的半径． 【考点13】切线长定理 1．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）如图，的半径为1，，是的两条切线，切点分别为A，B．连接，，，，若，则的周长为（   ） A． B． C．6 D．3 2．（24-25九年级下·四川成都·阶段练习）如图，射线，切于点A，B，直线切于点C，交于点D，交于点E，若的周长是，则的长是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏宿迁·三模）如图，为的内切圆，，，，点，分别为，上的点，且为的切线，则的周长为 ． 4．（2025·黑龙江大庆·二模）如图，在四边形中，，，分别与扇形切于点，．若，，则的长为 ． 【考点14】三角形的内切圆与内心 1．如图，边长为a的正三角形的内切圆半径是（    ） A． B． C． D． 2．如图，的内切圆与、、分别相切于点、、，且，的周长为14，则的长为 ． 3．如图所示的是周长为的三角形纸片，小刚想用剪刀剪出它的内切圆，他先沿着与相切的剪下了一个三角形纸片．若，则三角形纸片的周长为 ． 【考点15】正多边形和圆的综合应用 1．如图，正方形内接于，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，若，连接、，则（　　） A． B． C． D． 3．如图，边长为1的正六边形放置于平面直角坐标系中，边在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形绕坐标原点O逆时针旋转，每次旋转，那么经过2025次旋转后，顶点D的坐标为（   ）    A． B． C． D． 4．如图，正六边形螺帽的边长为4，则这个螺帽的面积是（   ） A． B．6 C．24 D．12 5．中国体育代表团在巴黎奥运会上取得了优异的成绩，图1是2024年巴黎奥运会的一枚金牌，金牌正中间镶嵌了一块来自埃菲尔铁塔的正六边形铁块．这个正六边形铁块的示意图如图2所示，已知该正六边形的周长约，则该正六边形铁块的外接圆的半径为 ． 【考点16】弧长的有关运算 1．如图（1）是博物馆屋顶的图片，屋顶由图（2）中的瓦片构成，瓦片横截面如图（3）所示，是以点为圆心， 为半径的弧，弦的长为，则的长是（    ） A． B． C． D． 2．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点O是这段弧所在圆的圆心，B为上的一个点，于点D．若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．物理实验课上，分组研究“定滑轮可以改变用力的方向，但不能省力”的课题时，小丽发现重物上升时，滑轮上点的位置在不断改变．已知滑轮的半径为，当滑轮上点转过的度数为时，重物上升了（  ） A． B． C． D． 4．如图，点，，是上的点，且，的半径为2，则此阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 5．一把折扇打开后，如图，小扇形的半径为，弧长为，大扇形的半径为，扇面的宽度为，则扇面的面积（阴影部分）是 （结果保留）． 【考点17】圆锥的有关运算 1．（2025·河北沧州·模拟预测）已知某建筑物的顶端为圆锥形（如图），为了美观，要在圆锥形建筑上装饰一条灯带，灯带自处开始绕侧面一周又回到点，若这个圆锥形建筑物的底面周长为，母线的长为，则这条灯带的最短长度是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·江苏宿迁·三模）一个圆锥的侧面积是，它的底面半径是3，则它的母线长等于 ． 3．（2025·山西朔州·三模）如图，数学课上，老师让同学们从卡纸上剪下一个扇形，它可以折成一个底面半径为，高为的圆锥体，那么这个扇形的圆心角的度数是 ． 4．（24-25九年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，圆锥的底面半径，高，则该圆锥的侧面积等于 ． 5．综合与实践 问题情境：如图1，将一个圆心角为、半径为R 的扇形，可制作成圆锥（如图2），圆锥的底面半径为r，点A与点重合，工人在制作圆锥形物品时，通常要先确定扇形圆心角度数，再度量裁剪材料． (1)探索尝试：图1中，圆锥侧面扇形的弧长与圆锥底面周长_____（填“相等”或“不相等”）． (2)解决问题：为操作简便，工人希望能简洁求 n的值，请用含 r， R的式子表示 n； (3)拓展延伸： 图 3是一种纸质圆锥形生日帽，，C是中点，现要从点A到点 C再到点A之间拉一装饰彩带（如图4），求彩带长度的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 对称图形-圆 【考点1】圆的有关概念 【考点2】点与圆的位置关系 【考点3】垂径定理有关计算 【考点4】垂径定理的应用 【考点5】圆心角、弧、弦的关系 【考点6】确定圆的条件 【考点7】三角形的外接圆与外心 【考点8】利用圆周角定理求角度 【考点9】圆内接四边形的性质 【考点10】直线与圆的位置关系 【考点11】利用切线的性质求线段/角度 【考点12】切线的判定与性质 【考点13】切线长定理 【考点14】三角形的内切圆与内心 【考点15】正多边形和圆的综合应用 【考点16】弧长的有关运算 【考点17】圆锥的有关运算 知识点1 ：圆的定义及性质 圆的定义：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形 成的图形叫圆。这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径。 圆的表示方法：以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O。 圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。 确定圆的条件：1）圆心；2）半径。 备注：圆心确定圆的位置，半径长度确定圆的大小。 【补充】1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆； 2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆； 3）半径相等的圆叫做等圆。 圆的对称性：1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴； 2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 知识点2 ：圆的有关概念 弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的AB)。 直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。 备注：1）直径是同一圆中最长的弦。2）直径长度等于半径长度的2倍。 弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以为端点的弧记作，读作圆弧AB或弧AB。 等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。 劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。 知识点3 垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论1：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； 3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度； 2） 有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分 知识点4 垂径定理的应用 经常为未知数，结合方程于勾股定理解答 知识点5 ：确定圆的条件 不在同一直线上的三个点确定一个圆。 知识点6：三角形的外接圆与外心 1.三角形的外接圆 经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。 2.三角形的外心 三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。 知识点7 圆心角的概念 圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。 弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。 知识点8 圆角角的概念 圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。（即：圆周角=） 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。 在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径。 推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 知识点9 圆内接四边形 圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 即：在⊙中， ∵四边是内接四边形 ∴ 知识点10 直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 无交点； 2、直线与圆相切 有一个交点； 3、直线与圆相交 有两个交点； 知识点11 切线的性质与判定定理 1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵且过半径外端 ∴是⊙的切线 2、性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上三个定理及推论也称二推一定理： 即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。 知识点12切线长定理 切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 即：∵、是的两条切线 ∴；平分 知识点13 三角形的内切圆和内心 1、三角形的内切圆 与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。 2、三角形的内心 三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。 注意：内切圆及有关计算。 （1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。 （2）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，则内切圆的半径r= 。 （3）S△ABC=，其中a，b，c是边长，r是内切圆的半径。 （4）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。 如图，BC切⊙O于点B，AB为弦，∠ABC叫弦切角，∠ABC=∠D。 B O A D 知识点14 圆内正多边形的计算 （1）正三角形 在⊙中△是正三角形，有关计算在中进行：； （2）正四边形 同理，四边形的有关计算在中进行，： （3）正六边形 同理，六边形的有关计算在中进行， 知识点15 与正多边形有关的概念 1、正多边形的中心 正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。 2、正多边形的半径 正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。 3、正多边形的边心距 正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。 4、中心角 正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。 知识点16 正多边形的对称性 1、正多边形的轴对称性 正多边形都是轴对称图形。一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。 2、正多边形的中心对称性 边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。 3、正多边形的画法 先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。 知识点17：扇形的弧长和面积计算 扇形：（1）弧长公式：； （2）扇形面积公式： ：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积 注意：　 (1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即； (2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径； (3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量. (4)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的， 即； (5)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量. 知识点18：扇形与圆柱、圆锥之间联系 1、圆柱： （1）圆柱侧面展开图 = （2） 圆柱的体积： 2、圆锥侧面展开图 （1）= （2）圆锥的体积： 注意：圆锥的底周长=扇形的弧长（） 【考点1】圆的有关概念 1．下列命题是真命题的是（   ） A．长度相等的弧是等弧 B．圆中最长的弦是经过圆心的弦 C．一条弦把圆分成两条弧，分别是优弧和劣弧 D．平分弦的直径垂直于弦 【答案】B 【分析】本题考查了命题，圆中的有关概念，熟练掌握圆的概念和性质是解题的关键。 根据圆的概念和性质分析即可． 【详解】解：A．在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故原说法错误，是伪命题，不符合题意； B．圆中最长的弦是经过圆心的弦，说法正确，是真命题，符合题意； C．一条弦（非直径）把圆分成两条弧，分别是优弧和劣弧，故原说法错误，是伪命题，不符合题意； D．平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故原说法错误，是伪命题，不符合题意； 故选：B． 2．如图，为的弦，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题重点考查了圆的基本性质、等腰三角形的性质，并且利用三角形的内角和定理求解角的度数，难度不大．根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ， ∵， ∴， 故选：A． 3．如图，都是的半径，交于点D．若，，则半径的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理以及圆的基本性质．根据等腰三角形的性质得出，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：∵， ∴点为的中点， ∵， ∴， 由勾股定理得，， 故选：D． 4．如图，⊙的直径与弦的延长线交于点E．若则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等腰三角形的性质，掌握三角形外角的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．连接，根据等腰三角形的性质证明，利用三角形外角的性质得到，再由等腰三角形的性质得到，从而计算的度数即可． 【详解】解：如图，连接． ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：A． 【考点2】点与圆的位置关系 1．已知平面内有和点A，B，若半径为，线段，，则直线与的位置关系为（　　） A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切 【答案】D 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，正确的理解题意是解题的关键． 根据直线与圆的位置关系，直线和圆相交，；直线和圆相切，；直线和圆相离，（圆的半径为r，圆心到直线的距离为d）求解． 【详解】解：由题意知， ∵的半径为，线段，， ∵点A到圆心O的距离，大于圆的半径， ∴点A在圆的外部， ∵点B到圆心O的距离，等于圆的半径， ∴点B在圆上， ∵点A在圆外，点B在圆上， ∴直线会与圆O相交或相切． 故选：D． 2．如图，在边长为4的等边中，的半径为1，点P是边上的动点，过点P作的一条切线，Q为切点，则线段长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等边三角形的性质、切线的性质、勾股定理、垂线段最短等知识，连接，作于点F，由等边三角形的性质得，则，所以，由切线的性质得，则，可知当的值最小时则的值最小，所以当时，，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接，作于点F，则， ∵是边长为4的等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵与相切于点Q，， ∴， ∴， ∴， ∵，且当的值最小时则的值最小， ∴当时，， 故选：B． 3．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向平移，使与y轴相切，则平移的距离为（   ） A．1 B．1或5 C．3 D．3或5 【答案】B 【分析】本题考查了平移的性质，直线与圆的位置关系，解题关键是掌握当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径．分两种情况讨论：位于轴左侧和位于轴右侧，根据平移的性质和圆的切线的性质分别求解，即可得到答案． 【详解】解：的圆心P的坐标为， ， 的半径为2， ， ，， 当位于轴左侧且与轴相切时，平移的距离为1， 当位于轴右侧且与轴相切时，平移的距离为5， 平移的距离为或， 故选：B． 4．如图，⊙O1的直径AB长度为12，⊙O2的直径为8，∠AO1O2＝30°，⊙O2沿直线O1O2平移，当⊙O2平移到与⊙O1和AB所在直线都有公共点时，令圆心距O1O2＝x，则x的取值范围是（　　） A．2≤x≤10 B．4≤x≤16 C．4≤x≤4 D．2≤x≤8 【答案】D 【分析】由题意得出点O2在点O1的右侧，⊙O2与⊙O1和AB所在直线都有公共点时，O1O2的最大值和最小值，分别画出图形求解得出x的取值范围，根据对称性可得点O2在点O1的左侧时的结论． 【详解】解：当点O2在点O1的右侧时， 当⊙O2向左移动到与直线AB相切时，如图1所示，设切点为M， 则O2M=4， 又∵∠AO2O1=30°， ∴O1O2=2•O2M=8， 当⊙O2继续向左移动到与⊙O1内切时，如图2所示，此时O1O2=6-4=2， 所以当⊙O2平移到与⊙O1和AB所在直线都有公共点时，2≤x≤8； 故选：D． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、平移的性质，求出符合条件的x的最大值和最小值是解决问题的关键． 5．如图，半径的⊙M在轴上平移，且圆心M在x轴上，当⊙M与直线相切时，圆心M的坐标为（  ） A．(0，0) B．(2，0) C．（-6，0） D．(2，0) 或（-6，0） 【答案】D 【分析】根据题意，进行分情况讨论，分别为圆位于直线右侧并与直线相切和位于直线左侧并于直线相切两种情况，进而根据相切的性质及等腰直角三角形的相关性质进行求解即可得解． 【详解】①当圆位于直线右侧并与直线相切时，连接MA，如下图所示： ∵ ∴，，是等腰直角三角形， ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴⊙M与直线AB相切于点A ∵ ∴ ∴圆心M的坐标为； ②当圆位于直线左侧并与直线相切时，过点M作于点C，如下图所示： ∵⊙M与直线AB相切， ∴ 根据直线AB的解析式：可知 ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵ ∴圆心M的坐标为， 综上所述：圆心M的坐标为或， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，等腰直角三角形的性质及动圆问题，熟练掌握相关几何求解方法并进行分类讨论是解决本题的关键． 【考点3】垂径定理有关计算 1．已知在⊙O中，半径，弦，且，，则与的距离为（     ）． A．7或17 B．7 C．7或12 D．12 【答案】A 【分析】本题考查圆中两条平行线间的距离，解题的关键是根据勾股定理分别求出两弦的弦心距，分两弦在圆的同侧和异侧进行讨论．由勾股定理，垂径定理，分两种情况讨论，即可求解． 【详解】解：当在点的两侧，作于M，延长交于N，连接， ，，， 则， ， ，， ， 此时弦与的距离为17； 当在点O的同侧，作于Q，交于P，连接， 同理，， ，， ， 此时弦与的距离为7， 弦与的距离为17或7． 故选：A． 2．如图，在中，是的弦，过点O作于点C，连接，若，，则的半径为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识点，熟知垂直于弦的直径平分弦是解题的关键． 先根据垂径定理求出的长，再运用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵是的弦，于点C，， ， ， ． 故答案为：． 3．如图，在中，圆心到的距离为，的半径为，则弦的长为 ． 【答案】24 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上定理． 根据垂径定理得出，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 由勾股定理得，， ∴， 故答案为：24． 4．已知P是内的一点，过点P的最长的弦长为，最短的弦为，则的长为 【答案】 【分析】本题综合考查了垂径定理和勾股定理．解此类题目要注意将圆的问题转化成三角形的问题再进行计算． 根据圆内最长的弦为直径，最短的弦是过点且与这条直径垂直的弦，由勾股定理和垂径定理求解即可． 【详解】解：如图， ∵圆内最长的弦为直径，最短的弦是过点且与这条直径垂直的弦， ∴，，， ∴，， 由勾股定理得：， 故答案为：． 【考点4】垂径定理的应用 1．如图，圆弧形桥拱的跨度米，拱高米，则拱桥的半径为（　　） A．6.5米 B．9米 C．13米 D．15米 【答案】C 【分析】此题主要考查了勾股定理以及垂径定理的应用．注意构造由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形进行有关的计算． 根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在所在的直线上，设圆心是，连接．根据垂径定理和勾股定理求解． 【详解】解：根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在所在的直线上， 设圆心是，连接． 根据垂径定理，得米， 设圆的半径是米，根据勾股定理， 得， 解得． 故选：C． 2．如图，现有圆形木材埋在墙壁里，不知大小，将它锯下测得深度为寸，锯长为寸，则圆材的半径为 寸． 【答案】13 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题关键．设圆形木材的圆心为，连接，，先根据垂径定理可得寸，再设圆材的半径为寸，则寸，寸，在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：如图，设圆形木材的圆心为，连接，， 由题意得：点共线，， ∴， ∴（寸）， 设圆材的半径为寸，则寸， ∵深度为寸， ∴寸， 在中，，即， 解得， 即圆材的半径为13寸， 故答案为：13． 3．小明不小心把妈妈的圆形玻璃镜面打碎了，他拿着如图所示的残缺镜面请工人师傅配同样大小的镜面，聪明的工人师傅在图纸上用尺规作图的方法确定了残缺镜面所在圆的圆心和半径，并还原了整个圆形镜面，请你完成这个尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】见解析 【分析】本题考查作图—复杂作图，垂径定理等知识，作弦，，作线段，的垂直平分线，交于点，连接即可，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 【详解】解：如图，圆心为点，半径为． ． 4．晨晨在学习了圆的有关性质后，想利用所学知识测量家中盛汤用的碗口的直径．以下是他的测量方案和相关数据： 测量主题 测量碗口的直径 测量工具 一张矩形纸条和刻度尺 测量方案 将纸条拉直并紧贴碗口，纸条的上下边沿分别与碗口相交于，，，四点，分别测量出纸条的宽度、纸条的上下边沿与碗口相交的线段长度 实物图及测量示意图 测量说明 CD为纸条上沿与碗口相交的线段，为纸条下沿与碗口相交的线段，测量时纸条处于拉直状态且纸条和碗均未发生移动 测量数据 ，，纸条宽度． 请你根据上述方案和数据计算出碗口直径． 【答案】直径为 【分析】本题主要考查垂径定理、勾股定理、矩形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先过O点作交于点E，延长交于点F．结合垂径定理得，，再根据勾股定理列式，因为半径相等得，解得，即可作答． 【详解】解：如图所示，假设O点为圆心所在位置． 过O点作交于点E，延长交于点F．连接 由矩形纸条可得， ∵ ∴，即E，O，F三点共线, ∵纸条宽度． ∴ ∵，，， ∴， 设， 则， 则 ∵半径相等， ∴ ∴ 解得， ∴, 答：碗口直径为 【考点5】圆心角、弧、弦的关系 1．如图，和是上的两条弦，圆心O到它们的距离分别为和，若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了弧、弦和圆心角之间的关系，垂径定理，勾股定理，由弧与弦之间的关系可得，据此可判断A；根据垂径定理可判断B；根据勾股定理可判断C；根据弦与圆心角之间的关系和垂径定理可判断D． 【详解】解：A、∵和是上的两条弦，且， ∴，原说法错误，不符合题意； B、∵和是上的两条弦，圆心O到它们的距离分别为和， ∴， ∵， ∴，原说法错误，不符合题意； C、在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴，原说法错误，不符合题意； D、∵和是上的两条弦，且，圆心O到它们的距离分别为和， ∴，， ∴，原说法正确，符合题意； 故选：D． 2．如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆分别交、于点D、点E，则弧的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆心角，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握圆心角的定义；先求出，再根据等腰三角形的性质求出，即为弧的度数，即可得解． 【详解】解：， ， ， ， ， 弧的度数为， 故选：． 3．如图，是的直径，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了弧与圆心角的关系，根据已知得出，进而根据，即可求解． 【详解】解：∵是的直径，， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 4．如图，在以为圆心的半圆中，是直径，点是弧的中点，连接，平分交于点，连接，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理,圆心角、弧、弦的关系和圆周角定理,等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题的关键． 先利用垂径定理的推论得到，再根据角平分线的定义得到，则根据圆周角定理得到，然后根据等腰三角形的性质得到的度数． 【详解】解：点是弧的中点， ， ， 平分， ， ， ， ． 故选：B． 5．如图，在中，，，以点为圆心，为半径的圆交于点，交于点，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系．连接，如图，先根据三角形内角和计算出，再根据等腰三角形的性质由得到，然后再利用三角形内角和计算出，最后根据圆心角的度数等于它所对的弧的度数求解． 【详解】解：连接，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为， 故答案为：． 6．如图，在中，已知，则弧的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求弧的度数． 根据等边对等角求出的度数即可． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴弧的度数是． 故答案为：． 【考点6】确定圆的条件 1．如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】找出不在同一条直线上的三个点的所有组合，即可解决问题． 【详解】解：过以下三点可以画出一个圆：、、；、、；、、；、、；、、；、、． ∴最多可画出圆的个数为个． 故选：． 【点睛】本题考查确定圆的条件，掌握不共线三点确定一个圆是解题的关键． 2．如图是一块被打碎的圆形玻璃，若想要去店里配到一块与原来大小一样的圆形玻璃，应该带去店里的碎片是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题考查了确定圆的条件，根据不在一条直线上三点确定一个圆即可解得，解题的关键是熟练掌握圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心． 【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，只要有一段弧，即可确定圆心和半径， ∴小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是， 故选：B． 3．已知，，三点可以确定一个圆，则以下点坐标不满足要求的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】考查了确定圆的条件及一次函数图象与点的关系，解题的关键是了解“不在同一直线上的三点确定一个圆”，难度不大．利用待定系数法求出直线的解析式，再把每点代入函数解析式，根据不在同一直线上的三点能确定一个圆，由于在直线上，可知答案． 【详解】解：设直线的解析式为， ， 解得， ， A、当，，故不在直线上，根据不在同一直线三点确定一个圆得与，可以确定一个圆，故本选项不符合题意； B、当，，同理，故本选项不符合题意； C、当，，故在直线上，故不能确定一个圆，故本选项符合题意； D、，，同理，故本选项不符合题意． 故选：C． 4．已知，经过A，B两点作圆，则所作的圆的半径最小是 ． 【答案】2 【分析】本题考查的是确定圆的条件，熟知经过线段最小的圆即为以AB为直径的圆是解答此题的关键． 经过线段最小的圆即为以为直径的圆，求出半径即可． 【详解】解：根据题意得：经过线段最小的圆即为以为直径的圆，则此时半径为． 故答案为：2． 5．若过平面直角坐标系中的三个点、、能确定一个圆，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，圆的确定，根据不在同一直线的三个点确定一个圆，得到当点不在直线上，三个点确定一个圆，进行求解即可． 【详解】解：∵、， ∴设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， ∴当时，， ∴当时，平面直角坐标系中的三个点、、能确定一个圆， 故答案为：4 【考点7】三角形的外接圆与外心 1．三角形的外心就是三角形外接圆圆心，是三角形（   ） A．三边上的高线的交点 B．三边中线的交点 C．三边垂直平分线的交点 D．三个内角平分线的交点 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外心，三角形的外心就是三角形外接圆的圆心，就是三角形的三边的垂直平分线的交点． 【详解】解：三角形的外心就是三角形外接圆圆心， 角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等， 到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上， 三角形的外心就是三角形的三边的垂直平分线的交点． 故选： C． 2．如图，直角坐标系中，经过A，B，C三点的圆，圆心为M，则点M的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理、坐标与图形． 由网络可得出线段和的垂直平分线的交点，这个交点即为圆心M，进而可得点M的坐标． 【详解】解：如图，作线段和的垂直平分线，它们的交点为圆心M，则点M坐标为， 故选：C 3．如图，已知．    (1)用直尺和圆规作的外接圆（保留作图的痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若的半径为5，点到的距离为3，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题考查尺规作图，垂径定理，勾股定理三角形的外接圆与外心等知识， （1）作线段，的垂直平分线交点为，点即为的外接圆的圆心； （2）作于利用勾股定理求出，再利用垂径定理可得，求出即可． 【详解】（1）解：如图，作线段，的垂直平分线交点为，点即为的外接圆的圆心；    （2）解：作于． 在中，，， ， ， ， ． 【考点8】利用圆周角定理求角度 1．如图，点A，B，C在上，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键，根据圆周角定理计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 2．如图，线段为的直径， ．若，与的延长线交于F，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据等弧对等角求出，再利用圆内接四边形对角互补求出，最后利用三角形内角和定理即可得到答案． 本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握这些知识点是解题关键． 【详解】解：如图，连接， ∵ ， ∴， ∵四边形是圆的内接四边形， ∴， 又∵， ∴， 同理， ∴， 故选：A． 3．如图，已知是的直径，是弦，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理和等腰三角形的性质． 根据圆周角定理得到，，进而得到，再根据等边对等角作答即可． 【详解】是的直径， ， ∵， ∴， ． 又∵ ∴ 故选：D． 4．如图，A、B、C是上的点，是圆的直径，在延长线上取一点D，使，连接，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，等腰三角形的性质，根据题意可得，再利用等腰三角形的性质即可解答． 【详解】解：是圆的直径， ， ， ， ， 故选：C． 5．如图，内接于，点B是的中点，是的直径，若，，则的长为（　　） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理，直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 连接，则，由是的直径，得，而，则，由点B是的中点，得，则，由，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接，则， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵点B是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【考点9】圆内接四边形的性质 1．如图，点B，C，D在上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先根据圆内接四边形的性质得到，根据，可求得，，再利用圆周角定理求得． 【详解】解：如图，在所对的弧上任取一点，连结，， 则四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴， 故选：D． 2．如图，四边形是的内接四边形，平分，点是劣弧的中点．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用圆内接四边形的性质求出的度数，再由角平分线的定义得出的度数，最后根据弧中点的性质得到与的关系，进而求出的度数．本题主要考查了圆内接四边形的性质、角平分线的定义以及弧与圆周角的关系，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵ 四边形是的内接四边形， ∴ ∵ 平分 ∴ ∵ 点是劣弧的中点 ∴ ∴ ． 故选：B． 3．如图，四边形内接于，如果它的一个外角，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的性质，圆周角定理是解题的关键．根据圆内接四边形的性质可得，从而得到，再由圆周角定理，即可求解． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 4．如图，内接于，连接、，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、圆内接四边形的性质是解题的关键．根据圆周角定理求出，再根据圆内接四边形的性质求出． 【详解】解：由圆周角定理得：， 四边形为内接四边形， ， ， 故选：C． 5．如图，是四边形的外接圆，过点B作，交于点E．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质、平行线的性质，先根据圆内接四边形的性质求出，再根据平行线的性质即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵是四边形的外接圆， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【考点10】直线与圆的位置关系 1．如图用的是“日晷饮水计时，晷头红照雨衡前”这一景，图中的江面和太阳可看成直线和圆，则它们的位置关系为（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．平行 【答案】C 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题关键．根据直线与圆有两个交点，则直线与圆相交，由此即可得． 【详解】解：由图可知，图中的江面和太阳的位置关系为相交， 故选：C． 2．已知的半径为，圆心O到直线l的距离为3cm，直线l与的位置关系是（      ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查直线与圆的位置关系，解题的关键是掌握当，则直线与圆相离，当，则直线与圆相切，当，则直线与圆相交．利用直线与圆的位置关系即可求解． 【详解】解：的半径r为，圆心O到直线l的距离d为， ， 直线l与的位置关系是相离， 故选：A． 3．在中，，，以为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的是（    ） A．点在内 B．点在上 C．直线与相切 D．直线与相离 【答案】C 【分析】本题考查点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，等腰三角形的性质，熟练掌握点与圆的位置关系和直线与圆的位置关系是解题的关键，过点作于，利用等腰三角形的性质得到，则利用勾股定理可求出，然后根据点与圆的位置关系的判定方法对选项A、B进行判断，根据直线与圆的位置关系对C、D进行判断即可得到答案． 【详解】解：过点作于，如图， ∵ ∴， 在中，， ∵， ∴点在外，则A不符合题意； ∵， ∴点在外，则B不符合题意； ∴，， ∴直线与相切， 则C符合题意；D不符合题意； 故选：C． 4．如图，在中，，，是边上的高，，若圆是以点为圆心，为半径的圆，那么圆与直线的关系是（　　） A．相切 B．相离 C．相交 D．不能确定 【答案】B 【分析】此题考查了勾股定理、直线与圆的位置关系、含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握直线与圆的位置关系是关键．过点D作于点H，求出，由即可得到结论． 【详解】解：过点D作于点H， ∵在中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴则圆与直线的关系是相离． 故选：B． 5.设的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，并且方程无实数根，则直线l与的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，一元二次方程根的判别式；点O到直线a的距离为d，若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．由方程无实数根，求出，从而得出答案． 【详解】解：∵点O到直线l距离是方程无实数根， ∴， ∴， ∴直线l与圆相交， 故选：C． 【考点11】利用切线的性质求线段/角度 1．（2025·河南平顶山·模拟预测）如图，以为直径的半圆交于点，已知与相切于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆的切线定理，直角三角形两锐角互余，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由圆周角定理可得出，再由圆的切线定理可得出，最后由直角三角形两锐角互余即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴． ∵以为直径的与相切于点A， ∴， ∴． 故选：B． 2．（2025·甘肃张掖·模拟预测）如图所示，、分别与相切于、两点，点为上一点，连接、，若，则的度数为(　　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，掌握切线的性质是解题的关键，先利用切线的性质得，再利用四边形的内角和计算出的度数，然后根据圆周角定理计算的度数． 【详解】连接、， ∵、分别与相切于、两点， ，， ， ， ， ． 故选：B． 3．（24-25九年级上·天津·阶段练习）如图，分别与相切于三点．且，，则的长为（   ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆的切线性质定理、角平分线的判定定理、平行线的性质，勾股定理等知识，熟练掌握圆的切线性质定理是解题关键．连接，先根据圆的切线性质定理可得，且，再根据角平分线的判定定理可得平分，平分，然后证出，利用勾股定理可得的长，最后利用三角形的面积公式求解即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵分别与相切于三点， ∴，且， ∴平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故选：D． 【考点12】切线的判定与性质 1．如图，是的直径，切⊙于点，点是上的一点，且，． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，求弦及，的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，证明即可．由三角形的内角和定理可得，由切线的性质可得，根据四边形的内角和为，结合已知条件可得，于是得证； （2）连接，根据切线长定理可得，由全等三角形的判定与性质可得，于是可得，由勾股定理可求得的长，最终利用等边三角形的判定与性质可得答案． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， ， 切于点， ， ， 四边形的内角和为， ， ， 又点是上的一点， 是的切线； （2）解：如图，连接， 、是的切线， ， 在和中， ， ， ， 在中，，， ， ， ，， 是等边三角形， ． 【点睛】本题主要考查了圆的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，切线的性质，垂线的性质，多边形的内角和，切线的判定，切线长定理，全等三角形的判定与性质，含角的直角三角形，勾股定理，等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相关知识点并能灵活运用是解题的关键． 2．如图，点在上，过点，分别与交于，过作于． (1)求证：是的切线； (2)若与相切于点，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）连接连接，由，，得，则，所以，即可证明是的切线； （2）连接连接，可证明四边形是正方形，则，设，则，由勾股定理得，求得半径r即可． 【详解】（1）证明：连接，则． ． ， ． ． ． ， ． ． 是的半径，且， 是的切线． （2）解：连接， 与相切于点， ． ． 四边形是矩形， ． 四边形是正方形． ． 设， ， ． ． ． 解得（不符合题意，舍去）． 故的半径为3． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、切线的判定与性质、正方形的判定与性质，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 3．如图，为的直径，C为上一点，点D为的中点，过点C作的切线交的延长线于点E，交的延长线于点F，连接． (1)求证∶与相切； (2)若，，求的半径r． 【答案】(1)证明见解析 (2)3 【分析】本题主要考查垂径定理、切线的判定和性质、全等三角形的判定和性质，掌握相关定理并能利用等面积法解决问题是关键． （1）连接，由垂径定理得，根据垂直平分线的性质可得，证明，利用全等三角形的性质可得即可； （2）先利用勾股定理求得，设，再根据等面积法列即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， 是的切线， ， 为的中点，， ，则垂直平分， ， ，， ， ， 与相切； （2）解：∵，， ， 由（1）可知，， ， 设， ， ， ， 解得， 故的半径为． 4．如图，在四边形中，平分．点 O在上，以点O为圆心，为半径，作经过点D，与相切于点B，延长线交于点 E，交于点 F，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)的长为 【分析】（1）连接，证明，得到，即可求证； （2）由，，可得垂直平分，，进而可得，即可求出，再利用勾股定理得到的长即可． 【详解】（1）如图，连接， ∵平分， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵与相切于点B， ∴， ∴， ∴，即， ∴是的切线； （2）∵，， ∴垂直平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点晴】本题主要考查了角平分线的定义，切线的性质和判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握圆的有关性质是解决此题的关键． 5．如图，以点O为圆心，长为直径作圆，在上取一点C，延长至点D，连接，，过点A作交的延长线于点E． (1)求证：是的切线 (2)若，，则的长 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查了切线的判定和性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；也考查了圆周角定理的推论，全等三角形的性质和判定，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）连接，如图，根据圆周角定理得到，即，求得，得到，根据切线的判定定理得到答案； （2）根据勾股定理得到，求得，根据切线的性质得到根据勾股定理即可得出结论． 【详解】（1）证明：连接，如图， 为直径， ，即， 又， ， ， ， 即， 是的半径， 是的切线； （2）解：连接， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：． 6．如图，为的一条弦，切于点，直线交于点E，交于点C． (1)求证：是的切线； (2)若 交直线于点D，交于另一点F． ①求证：； ②若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②5 【分析】（1）连接，．证明，推出即可解决问题． （2）①连接，想办法证明即可解决问题． ②利用勾股定理求出，设，在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题． 【详解】（1）证明：连接，． 是的切线， ， ， ，，， ， ， ， 是的切线； （2）①证明：连接． ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 即， ． ②解：，， ， ， ，，， ，设， 在中，， ， ， 的半径为5． 【点睛】本题属于圆综合题，考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 【考点13】切线长定理 1．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）如图，的半径为1，，是的两条切线，切点分别为A，B．连接，，，，若，则的周长为（   ） A． B． C．6 D．3 【答案】B 【分析】由切线的性质可得出，由切线长定理可得出，从而可判断为等边三角形，又易证，即可求出，从而可求出，进而可求出，最后由三角形周长公式求解即可． 【详解】解：∵，是的两条切线，切点分别为A，B， ∴，． ∵， ∴为等边三角形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为． 故选：B． 【点睛】本题考查切线的性质，切线长定理，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质．掌握从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等是解题关键． 2．（24-25九年级下·四川成都·阶段练习）如图，射线，切于点A，B，直线切于点C，交于点D，交于点E，若的周长是，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题重点考查切线长定理、三角形的周角等知识，推导出是解题的关键．由切线长定理得，，，而的周长是，可推导出，所以，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵射线，切于点A，B， ∴， ∵直线切于点C，交于点D，交于点E， ∴， ∵的周长是， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 3．（2025·江苏宿迁·三模）如图，为的内切圆，，，，点，分别为，上的点，且为的切线，则的周长为 ． 【答案】15 【分析】本题考查的是切线长定理，根据切线长定理，得，结合线段的和差关系得，再结合的周长转化为，由此得解．切线长定理图提供了很多等线段，分析图形时关键是要仔细探索，找出图形的各对相等切线长． 【详解】解：依题意，设、、、与的切点分别为W、、、，连接，如图所示： ∵为的内切圆，为的切线， ∴， ∵， ∴，， 则， ∵，， ∴， 则的周长， 故答案为：15． 4．（2025·黑龙江大庆·二模）如图，在四边形中，，，分别与扇形切于点，．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】此题考查了切线的性质定理，切线长定理，勾股定理，矩形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用及正确作出辅助线是解题的关键． 连接，作于点，则，，分别与扇形切于点，，，，得，，，，求得，再证明四边形是矩形，则，，由勾股定得理，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接，作于点，则， ∵，分别与扇形切于点，，，， ∴，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵，且， ∴， 解得：， 故答案为：． 【考点14】三角形的内切圆与内心 1．如图，边长为a的正三角形的内切圆半径是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求三角形内切圆半径，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，角平分线的判定定理，等边三角形的性质，设等边的内切圆圆心为O，与分别相切于D、E，连接，由切线的性质可得，再由可得平分，则，同理可得，则可证明，可得，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，设等边的内切圆圆心为O，与分别相切于D、E，连接， 由切线的性质可得， ∵， ∴平分， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴边长为a的正三角形的内切圆半径是， 故选：A． 2．如图，的内切圆与、、分别相切于点、、，且，的周长为14，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理得到，，，由的周长为14，可求的长． 【详解】解：与 ，，分别相切于点，，， ，，， 的周长为14， ， ， ． 故答案为：5． 3．如图所示的是周长为的三角形纸片，小刚想用剪刀剪出它的内切圆，他先沿着与相切的剪下了一个三角形纸片．若，则三角形纸片的周长为 ． 【答案】7 【分析】本题考查三角形的内切圆与内心，切线的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型. 设三角形与相切于，与相切于，根据切线长定理和三角形的周长公式即可得到结论． 【详解】解：设三角形与相切于点，与相切于点． 由题意，得． 三角形纸片的周长为，，， ∴三角形纸片的周长． 故答案为：． 【考点15】正多边形和圆的综合应用 1．如图，正方形内接于，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了正多边形和圆，根据正方形内接于即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴的度数， 故选：A． 2．如图，、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，若，连接、，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理．连接、，根据圆周角定理得到，即可得出答案． 【详解】解：如图，设正多边形的外接圆为，连接、， ∵， ∴． 故选：B． 3．如图，边长为1的正六边形放置于平面直角坐标系中，边在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形绕坐标原点O逆时针旋转，每次旋转，那么经过2025次旋转后，顶点D的坐标为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形和圆，规律型，点的坐标，坐标与图形变化-旋转，根据正六边形的性质及它在坐标系中的位置，求出点D的坐标，再根据旋转的性质以及旋转的规律求出旋转2025次后顶点D的坐标即可． 【详解】解：边长为1的正六边形放置于平面直角坐标系中，连接，如图，      ∴，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 由中，由勾股定理得：， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴点D的坐标为， ∵将正六边形绕坐标原点O逆时针旋转，每次旋转， ∴4次一个循环， ∵， ∴经过2025次旋转后，顶点D的坐标与第一次旋转后得到的的坐标相同， ∵过点作轴于P， ∴， 由旋转可知，， ∴， ∴， ∴，， ∵点在第二象限， ∴点的坐标为， ∴经过2025次旋转后，顶点D的坐标为， 故选：D． 4．如图，正六边形螺帽的边长为4，则这个螺帽的面积是（   ） A． B．6 C．24 D．12 【答案】C 【分析】本题主要考查了正多边形， 先画出图形，可知，再作，即可求出，然后根据勾股定理求出，进而求出答案. 【详解】解：设正六边形的中心O，一边是，则，作于点G， 可知是等边三角形，且正六边形是由6个等边三角形组成. 如图，在中，， ∴， ∴， 所以这个正六边形的面积. 故选：C. 5．中国体育代表团在巴黎奥运会上取得了优异的成绩，图1是2024年巴黎奥运会的一枚金牌，金牌正中间镶嵌了一块来自埃菲尔铁塔的正六边形铁块．这个正六边形铁块的示意图如图2所示，已知该正六边形的周长约，则该正六边形铁块的外接圆的半径为 ． 【答案】20 【分析】本题考查了正多边形与中心角，等边三角形的判定与性质，连接与交于点，证明为等边三角形，从而即可得到答案，正确把握正六边形的中心角，半径与边长的关系是解题的关键． 【详解】解：如图，连接与交于点，    ∵为正六边形， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵正六边形的周长约为， ∴， ∴， ∴该正六边形的外接圆半径长为， 故答案为：20． 【考点16】弧长的有关运算 1．如图（1）是博物馆屋顶的图片，屋顶由图（2）中的瓦片构成，瓦片横截面如图（3）所示，是以点为圆心， 为半径的弧，弦的长为，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的判定，求弧长，根据已知可得，则是等边三角形，进而根据弧长公式，即可求解． 【详解】解：依题意，， ∴是等边三角形． ∴． ∴的长为． 故选：D． 2．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点O是这段弧所在圆的圆心，B为上的一个点，于点D．若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据垂径定理求出的长和圆心角的度数，再Rt中利用勾股定理即可求出的值，最后利用弧长公式求解即可． 【详解】解：，点O是所在圆的圆心，， ，，， ． 设，则． 在中，由勾股定理，得， 解得（负值已舍去），即， ． 【点睛】本题考查的是垂径定理，勾股定理及弧长的计算公式，根据垂径定理得出的长和圆心角的度数，再由勾股定理求出半径是解答此题的关键，同时要熟记圆弧长度的计算公式． 3．物理实验课上，分组研究“定滑轮可以改变用力的方向，但不能省力”的课题时，小丽发现重物上升时，滑轮上点的位置在不断改变．已知滑轮的半径为，当滑轮上点转过的度数为时，重物上升了（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了弧长的计算，熟知弧长的计算公式是解题的关键．重物上升的高度就是点旋转转过的弧长，利用弧长公式进行计算即可解决问题． 【详解】解：滑轮的半径为， 滑轮上点A转过的度数为时，所对应的弧长为：， 重物上升了 故选：B． 4．如图，点，，是上的点，且，的半径为2，则此阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆周角定理，扇形的面积，熟练掌握圆周角定理和扇形面积公式是解题的关键．先利用圆周角定理得出，再利用扇形面积公式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 5．一把折扇打开后，如图，小扇形的半径为，弧长为，大扇形的半径为，扇面的宽度为，则扇面的面积（阴影部分）是 （结果保留）． 【答案】 【分析】本题考查了求扇形面积，弧长的计算，先根据小扇形的半径为，弧长为，求出的度数，根据列式代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：设， 根据题意可列方程为：， 解得：， 则， 大扇形的半径为，扇面的宽度为， ， 则 ．     故答案为：． 【考点17】圆锥的有关运算 1．（2025·河北沧州·模拟预测）已知某建筑物的顶端为圆锥形（如图），为了美观，要在圆锥形建筑上装饰一条灯带，灯带自处开始绕侧面一周又回到点，若这个圆锥形建筑物的底面周长为，母线的长为，则这条灯带的最短长度是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆锥的计算，首先求出圆锥底面的周长，再求出圆锥侧面的圆心角度数，最后运用勾股定理求出的长即可． 【详解】如图，扇形为圆锥的侧面展开图，连接． 圆锥形底面周长为，母线的长为， ．解得，即， ， ∴， 过点作于点， ． ． ∴，， ，垂直， ， ． 故这条灯带的最短长度为， 故选D． 2．（2025·江苏宿迁·三模）一个圆锥的侧面积是，它的底面半径是3，则它的母线长等于 ． 【答案】4 【分析】本题考查了圆锥的相关知识，熟知圆锥的侧面积公式是解题的关键； 根据圆锥的侧面积=底面周长×母线长建立方程求解即可． 【详解】解：设母线长为R，底面半径是3， ∴， 解得． 故答案为4． 3．（2025·山西朔州·三模）如图，数学课上，老师让同学们从卡纸上剪下一个扇形，它可以折成一个底面半径为，高为的圆锥体，那么这个扇形的圆心角的度数是 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了圆锥与扇形之间的关系，扇形的弧长，勾股定理；设圆锥的母线为，由勾股定理得，由弧长公式得，即可求解；理解圆锥与扇形之间的关系，掌握弧长公式是解题的关键． 【详解】解：设圆锥的母线为，这个扇形的圆心角， ， ， ， 解得：， 故答案为：． 4．（24-25九年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，圆锥的底面半径，高，则该圆锥的侧面积等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查圆锥的侧面积，熟练掌握圆锥的侧面积计算公式是解题的关键．根据底面半径和高利用勾股定理得，然后根据圆锥的侧面积计算公式可直接进行求解． 【详解】解：∵，， ∴ ∴圆锥的侧面积为 故答案为：． 5．综合与实践 问题情境：如图1，将一个圆心角为、半径为R 的扇形，可制作成圆锥（如图2），圆锥的底面半径为r，点A与点重合，工人在制作圆锥形物品时，通常要先确定扇形圆心角度数，再度量裁剪材料． (1)探索尝试：图1中，圆锥侧面扇形的弧长与圆锥底面周长_____（填“相等”或“不相等”）． (2)解决问题：为操作简便，工人希望能简洁求 n的值，请用含 r， R的式子表示 n； (3)拓展延伸： 图 3是一种纸质圆锥形生日帽，，C是中点，现要从点A到点 C再到点A之间拉一装饰彩带（如图4），求彩带长度的最小值． 【答案】(1)相等； (2)； (3) 【分析】本题主要考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数、勾股定理求最值等知识点，掌握圆锥的相关计算是解题的关键． （1）根据圆锥底面周长与其侧面展开图的弧长相等即可求解； （2）根据求解即可； （3）根据条件得出圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为，进而根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：由于圆锥的侧面的扇形的弧和底面圆的圆周重合，即圆锥侧面扇形的弧长与圆锥底面周长相等． 故答案为：相等． （2）解：由圆锥的底面周长等于侧面扇形的弧长，可得： 则：，即：． （3）解：如图： ∵， ∴， ∴， ∴圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为， ∴， ∵，C是中点， ∴， ∴在中，， ∴彩带长度的最小值为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $