专题05 等可能条件下的概率重难点题型汇编（六大题型）-2025-2026学年九年级数学上册高频考点题型归纳与满分必练（苏科版）

专题05 等可能条件下的概率重难点题型汇编 【题型01： 概率的意义理解】......................................................................................................1 【题型02：根据概率公式计算】....................................................................................................2 【题型03：已知概率求数量】........................................................................................................3 【题型04：几何概率】...................................................................................................................4【题型05：列表法或树状图法求概率】........................................................................................6 【题型06：游戏的公平性】............................................................................................................8 【题型01： 概率的意义理解】 1．有一个经过特殊处理的骰子，这个骰子掷出2，3，4，5的概率仍然是，但掷出6的概率是掷出1的概率的两倍，则他掷出6的概率是（    ） A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（　　） A．若抽奖活动的中奖概率为，则抽奖50次必中奖1次 B．“信丰明天降雨的概率为0.6”，表示信丰明天一定降雨 C．成语“水中捞月”所描述的事件，是随机事件 D．自然现象中，“太阳东方升起”是必然事件 3．天气预报显示，某市明天降水概率是．对此信息，下列说法正确的是（   ） A．该市明天会有的面积降水 B．该市明天会有的时间降水 C．该市明天不会降水 D．该市明天降水的可能性比较小 4．下列说法正确的是（    ） A．做抛掷硬币的实验，如果没有硬币用图钉代替硬币，做出的实验结果是一致的 B．天气预报说明天下雨的概率是，也就是说明天下雨和不下雨的机会是均等的 C．抛掷一枚质地均匀的骰子，连续掷6次，其中必定有一次是一点 D．某种彩票中奖的概率是，因此买100张该彩票一定会中奖 5．甲种商品出现次品的可能性是，乙种商品出现次品的可能性是，则正确的说法是（   ） A．甲种商品的次品比乙种商品的次品多一些 B．甲种商品的次品比乙种商品的次品少一些 C．甲乙两种商品的次品一样多 D．甲乙两种商品的次品数不能确定 【题型02：根据概率公式计算】 1．在一个不透明的袋子里装有红球2个、黄球5个、黑球3个，这些球除颜色外都相同，从袋子中随机摸出一个小球，是红球的概率是（    ） A． B． C． D．不确定 2．嘉嘉掷一枚质地均匀的骰子，前三次抛掷的点数都是6，那么第四次抛掷的点数还是6的概率是（  ） A．0 B． C． D．1 3．有一枚硬币，每次抛出出现正反面的概率相等，已知，在之前的100次试验中，出现了80次正面和20次反面，则第101次出现正面的概率为（    ）． A． B． C． D． 4．长江是中华民族的母亲河，长江流域孕育出藏羌文化、巴蜀文化、荆楚文化、吴越文化等区域文化．若从上述四种区域文化中随机选一种文化开展专题学习，则选中“巴蜀文化”的概率是（    ） A． B． C． D． 5．小明外出游玩，带上棕色、蓝色、淡黄色3件上衣和蓝色、白色2条长裤，他任意拿出1件上衣和1条长裤正好是棕色上衣和蓝色长裤的概率是（    ） A． B． C． D． 【题型03：已知概率求数量】 1．在一个不透明的盒子里装有200个红、黄两种颜色的小球，这些球除颜色外其他完全相同，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球，记下颜色后再放回盒子，通过大量重复试验后发现，摸到黄球的频率稳定在，那么估计盒子中红球的个数为（   ） A．80 B．90 C．100 D．110 2．不透明袋中装有形状、大小相同的红球、黄球和蓝球共100个，小强通过多次摸球试验后，发现摸到三种球的频率如图所示，则估计袋中红球的数目为（    ） A．25 B．35 C．40 D．75 3．王东帮妈妈打印了一个收款二维码如图所示，该二维码的面积为，他在该二维码纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在白色区域的频率稳定在0.4左右，则据此估计此二维码中黑色区域的面积为（   ） A． B． C． D． 4．已知一个袋子中装有5个红球，个黑球，10个白球，这些球除颜色外其余都相同．若从袋子中摸出一个黑球和一个白球后（不放回），再摸出一个球是红球的概率为，则等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 5．一个盒子里有黑球个，白球若干，这些球除颜色外都相同．将盒子里的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回盒子里，不断重复这一过程，共摸了次球，发现有次摸到白球．则盒子中白球大约有（    ）． A．个 B．个 C．个 D．个 6．在一个不透明的袋子中，装有3个红球和若干个黑球，每个球除颜色外都相同，若从袋中任意摸出一个球是红球的概率为，则袋中黑球的个数为（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 【题型04：几何概率】 1．假如小蚂蚁在如下图所示的地砖上自由爬行，它最终停在黑色方砖上的概率是（    ） A． B． C． D． 2．某水果超市为了吸引顾客来店购物，设立了一个如图所示的可以自由转动的质地均匀的转盘，开展有奖购物活动，顾客购买商品满200元就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在“一袋苹果”的区域就可以获得一袋苹果；指针落在“一袋橘子”的区域就可以获得一袋橘子．转动转盘2次，苹果和橘子都获得的概率是（   ） A． B． C． D． 3．如图，转盘上有六个全等的区域，颜色分布如图，若指针固定不动，转动转盘，当转盘停止后，则指针对准红色区域的概率是（   ） A． B． C． D． 4．七巧板是我国古代的一项发明，被誉为 “东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形板、一块正方形板和一块平行四边形板组成．如图，在七巧板铺成的正方形地板上，一个小球自由滚动，则小球停留在阴影部分的概率为（    ）． A． B． C． D． 5．如图，一个正六边形转盘被分成6个全等的正三角形．任意旋转这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向阴影区域的概率是（　　） A． B． C． D． 6．如图，正方形的边长为2，阴影部分是正方形的内切圆．若在正方形内任取一点，则该点落在阴影部分的概率为（　　）    A． B． C． D． 7．连接正六边形不相邻的两个顶点，并将中间的六边形涂成灰色，制成如图所示的镖盘．将一枚飞镖任意投掷到镖盘上（落在镖盘上各点的机会相等），飞镖落在灰色区域的概率是（   ） A． B． C． D． 8．儿童节，乐乐的爸爸买了一个如图所示的圆形飞镖盘（飞镖盘被平均分成8个大小相同的扇形），若乐乐每次投掷飞镖都能扎中飞镖盘，则乐乐随机投掷一次飞镖，恰好扎中阴影部分的概率是（   ） A． B． C． D． 9．如图是一个可以自由转动的转盘，转动该转盘，当转盘停止时，指针落在蓝色区域的概率为（    ） A． B． C． D． 10．如图，在中，对角线，相交于点O，若在内随机取点，则点落在内的概率是（   ） A． B． C． D． 【题型05：列表法或树状图法求概率】 1．不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，两个小球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出的都是红球的概率是（　　）． A． B． C． D． 2．小张与小李相约去湖北省科技馆参观，某个展览馆有甲、乙两个入口，A，B，C 三个出口，那么小张恰好选择从甲入口进入，并从C出口走出的概率是（    ） A． B． C． D． 3．在学校科技宣传活动中，某校科技活动小组将2个标有“北斗”，1个标有“高铁”，1个标有“天眼”的小球（除标记外其他都相同）放入不透明的袋子中，小康从袋子中随机摸出1个球，记下标记的内容后（不放回）再从中摸出1个球，则小康两次摸出的球是“北斗”和“高铁”的概率是（    ） A． B． C． D． 4．钟祥一中高一新生某个寝室有四个人，每个人写一张贺卡，集中起来．然后每人从中拿出一张，则拿到的不是自己写的贺卡的概率是（   ） A． B． C． D． 5．围棋起源于中国，棋子颜色分黑白两种．在一个不透明的盒子中，装有1个黑色棋子和2个白色棋子，每个棋子除颜色外完全相同．从中随机摸出一个棋子，记下颜色后不放回，再从中随机摸出一个棋子，则两次摸到相同颜色的棋子的概率是（　　　） A． B． C． D． 6．旅客在某网站购高铁票，系统会随机分配座位．李某和张某打算购票，如图所示一排中座位编号为A，B，C，D，F，若系统已将两人分配到同一排，在同一排分配各个座位的概率一样． A B C 过道 D F (1)“分给李某座位A”是随机事件，这一事件的概率是________； (2)试用列表法或画树状图法求分给这两人相邻座位（过道两侧座位C，D算相邻）的概率． 7．山下湖·世界珍珠大会在浙江省诸暨市开幕，澳白、南阳金珠、大溪地黑珍珠、Akoya是目前最热销的珍珠种类，现有四张正面印有这四种珍珠的不透明卡片，依次记为A，B，C，D，这四张卡片除正面图案不同外，其余均相同，将这四张卡片背面向上洗匀，小张从中随机抽取进行珍珠品类调研． (1)若随机抽取一张，求抽到卡片A的概率； (2)若小张随机抽取一张，记录后放回，搅匀，再抽取一张，用画树状图或列表的方法求两次抽取的卡片中，一张是A，一张是B的概率． 8．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，中国古老的汉族传统民间艺术之一．它历史悠久，风格独特，深受大家的喜爱．为了迎接2025蛇年新年，小慧向妈妈学习剪纸，装饰门窗烘托节日气氛．如图，现有4张背面完全一样的剪纸画卡片，将这4张卡片背面向上洗匀后放在桌面上． (1)从中随机抽取1张卡片，抽到的卡片上的图案是中心对称图形的概率为______； (2)若从中随机抽取1张卡片后不放回，再随机抽取1张，请用画树状图或列表的方法，求两次所抽取的卡片恰好都是轴对称图形的概率． 【题型06：游戏的公平性】 1．有甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有两个相同的球，它们分别写有数，2；乙口袋中装有三个相同的球，它们分别写有数．小明和小刚进行摸球游戏，规则如下：先从甲口袋中随机取出一个球，其上的数记为；再从乙口袋中随机取出一个球，其上的数记为． (1)利用列表或树状图的方法表示此游戏所有可能出现的结果； (2)若，小明胜；若，为平局；若，小刚胜．此游戏的规则对双方公平吗？试说明理由． 2．如图，现有一个转盘被分成六等份．分别标有数字1，2，3，4，5，6，自由转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．（指向分界线时重新转动） (1)随机转动转盘一次，转出的数字是5的概率是_____． (2)小明和小亮一起做游戏，转动转盘一次，若转出的数字是3的倍数，则小明获胜，不是3的倍数，则小亮获胜．这个游戏对双方公平吗？请判断并说明理由． 3．“石头、剪刀、布”的游戏古老而简单，早在汉朝时期就开始流行．甲同学、乙同学和丙同学约定游戏规则如下：由甲同学和乙同学玩“石头、剪刀、布”游戏，如果两人的手势相同，那么丙同学获胜；否则，按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则决定甲同学和乙同学中的获胜者．假设甲同学和乙同学每次出这三种手势的可能性相同． (1)用树状图或列表法求出丙同学获胜的概率； (2)你认为这个游戏对三人公平吗？为什么？ 4．如图，一个可自由转动的转盘被平均分成12等份，分别标有1~12这12个数字．转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．（若指针恰好指在分割线上，则重转） (1)转动一次转盘，分别求出转出的数字是偶数和奇数的概率； (2)小浩和小宇一起玩游戏，若转出的数字是2的倍数，小浩获胜；若转出的数字是3的倍数，小宇获胜．这个游戏对双方公平吗？说明理由． 5．如图，两个可自由转动的转盘，转盘A被分成3等份，转盘B被分成2等份，转盘A上的数字分别是1，2，3，转盘B上的数字分别是1，2．小智与小慧两名同学用这两个转盘做游戏，游戏规则如下：同时用力转动A，B两个转盘．两个转盘停止后，将指针所指区域的两数相乘（当指针落在两个扇形的交线上时，重新转动转盘），若积为2的倍数，则小智获胜；否则，小慧获胜 (1)请用画树状图或列表的方法，求小智获胜的概率； (2)这个游戏规则对双方公平吗？请说明理由． 6．小明和小亮玩游戏，小明有一个质地均匀的骰子（如图1，六个面上分别刻有，，，，，个小圆点的小正方体），小亮有个小球，小球上分别标有数字、、（小球除数字不同外其余均相同），将其放入一个不透明的布袋中（如图2）搅匀． (1)小亮从布袋中随机摸出一个小球，记下数字后再将小球放回布袋中搅匀，这样重复摸了次小球，其中有次摸出的小球上的数字是，则摸出的小球上的数字是的频率是 ； (2)小明掷一次骰子，骰子朝上一面的点数记作小明掷出的数，小亮从布袋中随机摸出一个小球，小球上的数字记作小亮摸出的数，谁的数大，谁就获胜．这个游戏规则对两人公平吗？请利用列表或画树状图的方法进行说明． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 等可能条件下的概率重难点题型汇编 【题型01： 概率的意义理解】......................................................................................................1 【题型02：根据概率公式计算】....................................................................................................3 【题型03：已知概率求数量】........................................................................................................5 【题型04：几何概率】...................................................................................................................8【题型05：列表法或树状图法求概率】........................................................................................14 【题型06：游戏的公平性】............................................................................................................21 【题型01： 概率的意义理解】 1．有一个经过特殊处理的骰子，这个骰子掷出2，3，4，5的概率仍然是，但掷出6的概率是掷出1的概率的两倍，则他掷出6的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了概率的计算．根据这个骰子掷出2，3，4，5的概率仍然是，可得掷出1和6的概率之和，即可求解． 【详解】解：∵这个骰子掷出2，3，4，5的概率仍然是， ∴这个骰子掷出1和6的概率之和为， ∵掷出6的概率是掷出1的概率的两倍， ∴他掷出6的概率是． 故选：D 2．下列说法正确的是（　　） A．若抽奖活动的中奖概率为，则抽奖50次必中奖1次 B．“信丰明天降雨的概率为0.6”，表示信丰明天一定降雨 C．成语“水中捞月”所描述的事件，是随机事件 D．自然现象中，“太阳东方升起”是必然事件 【答案】D 【分析】此题考查的是概率意义的理解，必然事件、确定事件、随机事件、不可能事件的判断，掌握必然事件、确定事件、随机事件、不可能事件的定义是解此题的关键．根据必然事件、确定事件、随机事件、不可能事件的定义逐一分析即可． 【详解】解：A．若抽奖活动的中奖概率为，抽奖50次不一定中奖1次，故该选项不符合题意； B．“信丰明天降雨的概率为0.6”,表示该地明天降雨是随机事件，故该选项不符合题意； C．成语“水中捞月”所描述的事件，是不可能事件，故该选项不符合题意； D．自然现象中，“太阳东方升起”是必然事件，故该选项符合题意； 故选D 3．天气预报显示，某市明天降水概率是．对此信息，下列说法正确的是（   ） A．该市明天会有的面积降水 B．该市明天会有的时间降水 C．该市明天不会降水 D．该市明天降水的可能性比较小 【答案】D 【分析】本题主要考查了概率的意义，根据概率的意义可知，明天下雨的概率为，表示下雨的可能性较小，但并不代表一定会下雨或具体区域、时间的分布，据此可得答案． 【详解】解；∵概率只表示事件发生的可能性的大小， ∴降水概率表示出现降水的可能性较小． 故选D． 4．下列说法正确的是（    ） A．做抛掷硬币的实验，如果没有硬币用图钉代替硬币，做出的实验结果是一致的 B．天气预报说明天下雨的概率是，也就是说明天下雨和不下雨的机会是均等的 C．抛掷一枚质地均匀的骰子，连续掷6次，其中必定有一次是一点 D．某种彩票中奖的概率是，因此买100张该彩票一定会中奖 【答案】B 【分析】本题主要考查了概率的概念，根据概率的意义逐项排查即可． 【详解】解：A. 做抛掷硬币的实验，如果没有硬币用图钉代替硬币，做出的实验结果不一致的，原说法错误； B. 天气预报说明天下雨的概率是，也就是说明天下雨和不下雨的机会是均等的，说法正确； C. 抛掷一枚质地均匀的骰子，连续掷6次，其中不一定有一点，原说法错误； D. 某种彩票中奖的概率是，因此买100张该彩票不一定会中奖，原说法错误； 故选：B． 5．甲种商品出现次品的可能性是，乙种商品出现次品的可能性是，则正确的说法是（   ） A．甲种商品的次品比乙种商品的次品多一些 B．甲种商品的次品比乙种商品的次品少一些 C．甲乙两种商品的次品一样多 D．甲乙两种商品的次品数不能确定 【答案】D 【分析】本题考查概率的意义，理解事件发生概率的意义是解题的关键．根据概率的意义即可解答． 【详解】解：甲、乙两种商品的总数目不确定，则次品数就不能确定． 故选：D． 【题型02：根据概率公式计算】 1．在一个不透明的袋子里装有红球2个、黄球5个、黑球3个，这些球除颜色外都相同，从袋子中随机摸出一个小球，是红球的概率是（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】C 【分析】本题考查了概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率为；袋子里一共有10个球，其中红球有2个，据此可解答. 【详解】解：∵袋子里一共有个球，其中红球有2个， ∴摸出红球的概率是. 故选：C. 2．嘉嘉掷一枚质地均匀的骰子，前三次抛掷的点数都是6，那么第四次抛掷的点数还是6的概率是（  ） A．0 B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了求概率，熟记概率公式是解题关键． 直接利用简单事件的概率公式求解即可得． 【详解】解：因为掷一枚质地均匀的骰子共有6种等可能的结果， 所以第四次抛掷的点数还是6的概率是． 故选：B． 3．有一枚硬币，每次抛出出现正反面的概率相等，已知，在之前的100次试验中，出现了80次正面和20次反面，则第101次出现正面的概率为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查概率公式，掌握概率公式是解题的关键． 因为硬币有两面，故每一面出现的概率都是，由此即可得到答案． 【详解】解：∵硬币有两面， ∴每一面出现的概率都会是， 故第101次出现正面的概率为． 故选：D． 4．长江是中华民族的母亲河，长江流域孕育出藏羌文化、巴蜀文化、荆楚文化、吴越文化等区域文化．若从上述四种区域文化中随机选一种文化开展专题学习，则选中“巴蜀文化”的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查概率，根据概率公式直接计算即可，掌握概率计算公式是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，从四种区域文化中随机选一种文化开展专题学习，共有种结果，其中选中“巴蜀文化”的结果只有种， ∴选中“巴蜀文化”的概率是， 故选：． 5．小明外出游玩，带上棕色、蓝色、淡黄色3件上衣和蓝色、白色2条长裤，他任意拿出1件上衣和1条长裤正好是棕色上衣和蓝色长裤的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查概率，列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可．情况较少可用列举法求概率，采用列举法解题的关键是找到所有存在的情况．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：从棕色、蓝色、淡黄色的3件上衣和蓝色、白色2条长裤中，任意拿出1件上衣和1条长裤， 共有种可能，正好是棕色上衣和蓝色长裤的有1种， ∴他任意拿出1件上衣和1条长裤正好是棕色上衣和蓝色长裤的概率， 故选：C． 【题型03：已知概率求数量】 1．在一个不透明的盒子里装有200个红、黄两种颜色的小球，这些球除颜色外其他完全相同，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球，记下颜色后再放回盒子，通过大量重复试验后发现，摸到黄球的频率稳定在，那么估计盒子中红球的个数为（   ） A．80 B．90 C．100 D．110 【答案】D 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量，大量反复试验下频率的稳定值即为概率值，则摸到黄球的概率为，再根据概率计算公式求出黄球的个数即可求出红球的个数． 【详解】解：∵过大量重复试验后发现，摸到黄球的频率稳定在， ∴摸到黄球的概率为， ∴盒子中黄球的个数为（个）， ∴盒子中红球的个数为（个）， 故选：D． 2．不透明袋中装有形状、大小相同的红球、黄球和蓝球共100个，小强通过多次摸球试验后，发现摸到三种球的频率如图所示，则估计袋中红球的数目为（    ） A．25 B．35 C．40 D．75 【答案】A 【分析】本题主要考查了通过频率求频数，解题的关键是掌握频数和频率的关系． 利用频数和频率的关系进行求解即可． 【详解】解：估计袋中红球的数目为（个）， 故选：A． 3．王东帮妈妈打印了一个收款二维码如图所示，该二维码的面积为，他在该二维码纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在白色区域的频率稳定在0.4左右，则据此估计此二维码中黑色区域的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查用频率估计概率．由题意可知点落在白色区域的概率为0.4，求出白色区域的面积，进而求出黑色区域的面积． 【详解】解：∵点落在白色区域的频率稳定在0.4左右， ∴点落在白色区域的概率在0.4左右， ∴白色区域的面积为， ∴黑色区域的面积为． 故选：C． 4．已知一个袋子中装有5个红球，个黑球，10个白球，这些球除颜色外其余都相同．若从袋子中摸出一个黑球和一个白球后（不放回），再摸出一个球是红球的概率为，则等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【分析】本题考查概率的计算，解题的关键是根据概率公式列出方程求解． 先确定摸出一个黑球和一个白球后剩余球的总数以及红球的数量，再根据概率公式列方程求解． 【详解】解：袋子中原本有5个红球，个黑球，10个白球，那么球的总数是个， 摸出一个黑球和一个白球后（不放回），此时剩余球的总数为个，红球的数量始终是5个， 已知再摸出一个球是红球的概率为， 根据概率公式，可得． 解得：． 故选：B． 5．一个盒子里有黑球个，白球若干，这些球除颜色外都相同．将盒子里的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回盒子里，不断重复这一过程，共摸了次球，发现有次摸到白球．则盒子中白球大约有（    ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是用频率估计概率、已知概率求数量，解题关键是熟练掌握用频率估计概率． 依题得摸到白球的概率，设该盒子里有个白球，列方程求解即可． 【详解】解：依题得，摸了次球，摸到白球的概率为， 设该盒子里有个白球， ， 解得， 经检验，是分式方程的解， 即该盒子里有个白球． 故选：． 6．在一个不透明的袋子中，装有3个红球和若干个黑球，每个球除颜色外都相同，若从袋中任意摸出一个球是红球的概率为，则袋中黑球的个数为（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 【答案】B 【分析】本题考查概率公式．根据题意和题目中的数据，可以列出算式，然后计算即可． 【详解】解：由题意可得， 黑球的个数为： ， 故选：B． 【题型04：几何概率】 1．假如小蚂蚁在如下图所示的地砖上自由爬行，它最终停在黑色方砖上的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了几何概率，熟记概率公式是解此题的关键．用黑色区域面积除以全面积即可求解， 【详解】解：把小正方形边长设为， 则黑色区域面积为，大正方形面积， ∴它最终停在黑色方砖上的概率为， 故选：C． 2．某水果超市为了吸引顾客来店购物，设立了一个如图所示的可以自由转动的质地均匀的转盘，开展有奖购物活动，顾客购买商品满200元就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在“一袋苹果”的区域就可以获得一袋苹果；指针落在“一袋橘子”的区域就可以获得一袋橘子．转动转盘2次，苹果和橘子都获得的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列表法或画树状图法求概率，可以看成有2袋苹果，1袋橘子，画树状图进而可得答案． 【详解】解：转动转盘1次，获得一袋橘子的概率为，获得一袋苹果的概率为，可以看成有2袋苹果，1袋橘子，画树状图如下： ∴转动转盘2次，共9种情况，其中苹果和橘子都获得的有4种情况， ∴转动转盘2次，苹果和橘子都获得的概率是， 故选：D． 3．如图，转盘上有六个全等的区域，颜色分布如图，若指针固定不动，转动转盘，当转盘停止后，则指针对准红色区域的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了简单的概率的求法，掌握概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键；直接利用概率公式计算即可． 【详解】解：所有等可能的结果共有6种，其中指针对准红色区域的结果共有2种， 指针对准红色区域的概率为， 故选：． 4．七巧板是我国古代的一项发明，被誉为 “东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形板、一块正方形板和一块平行四边形板组成．如图，在七巧板铺成的正方形地板上，一个小球自由滚动，则小球停留在阴影部分的概率为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了几何概率，关键是设小正方形板的边长，来求解出空白地板和整体正方形地板面积，由于小球不是落在空白区域就是阴影区域，利用减去小球落在空白区域的概率，即可得出结论． 【详解】解：如下图所示，可设小正方形④的边长为， 等腰直角三角形③和⑤相同，且直角边长为， ③与⑤面积和为， 等腰直角三角形⑦面积等于③与⑤的和， ⑦面积为， 等腰直角三角形①和②，直角边长为， ①与②的面积和为， 铺成的正方形地板面积为①面积的倍，即为． 得到空白图形①、②、③、⑤和⑦的面积和为与整体面积的比为， 小球停留在阴影部分的概率为． 故选：． 5．如图，一个正六边形转盘被分成6个全等的正三角形．任意旋转这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向阴影区域的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了几何概率．用到的知识点为：概率相应的面积与总面积之比．确定阴影部分的面积在整个转盘中占的比例，根据这个比例即可求出转盘停止转动时指针指向阴影部分的概率． 【详解】解：如图：转动转盘被均匀分成6部分，阴影部分占1份，转盘停止转动时指针指向阴影部分的概率是． 故选：D． 6．如图，正方形的边长为2，阴影部分是正方形的内切圆．若在正方形内任取一点，则该点落在阴影部分的概率为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了几何概率，用圆的面积除以正方形的面积即可得解，解题的关键是熟练掌握几何概率求法． 【详解】解：∵正方形的边长为2， ∴圆的半径为1， ∴若在正方形内任取一点，则该点落在阴影部分的概率为， 故选：A． 7．连接正六边形不相邻的两个顶点，并将中间的六边形涂成灰色，制成如图所示的镖盘．将一枚飞镖任意投掷到镖盘上（落在镖盘上各点的机会相等），飞镖落在灰色区域的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了概率的求解，解决本题的关键是根据已知条件求出阴影面积以及总的面积. 分别利用面积公式求出阴影部分的面积以及正六边形的面积，再根据概率公式进行求解即可. 【详解】解：如图，令， 则， 将一枚飞镖任意投掷到镖盘上，P（飞镖落在灰色区域）． 8．儿童节，乐乐的爸爸买了一个如图所示的圆形飞镖盘（飞镖盘被平均分成8个大小相同的扇形），若乐乐每次投掷飞镖都能扎中飞镖盘，则乐乐随机投掷一次飞镖，恰好扎中阴影部分的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了几何概率．熟练掌握几何概率是解题的关键．根据阴影部分的面积占圆面积的即可求解． 【详解】解：由题意知，阴影部分的面积占圆面积的， ∴恰好扎中阴影区域的概率是， 故选：D． 9．如图是一个可以自由转动的转盘，转动该转盘，当转盘停止时，指针落在蓝色区域的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了几何概率：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．用蓝色区域的圆心角除以周角可得到指针落在蓝色区域的概率． 【详解】解：∵蓝色区域的圆心角为， ∴指针落在蓝色区域的概率是， 故选：A． 10．如图，在中，对角线，相交于点O，若在内随机取点，则点落在内的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了几何概率，平行四边形的性质，关键是求出的面积与平行四边形的面积之比．先根据平行四边形的性质得出，求出的面积与的面积之比，即可得出点落在内的概率． 【详解】解：∵在平行四边形中，， ∴的面积占面积的， ∴点落在内的概率为， 故选：C． 【题型05：列表法或树状图法求概率】 1．不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，两个小球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出的都是红球的概率是（　　）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了运用列表法与树状图法求概率，根据题意正确画出树状图是解题的关键． 先根据题意画出相应的树状图，即可确定所有等可能结果数以及满足题意的结果数，再运用概率公式求解即可． 【详解】解：树状图如下所示， 由上可得，一共有4种等可能性，其中两次摸球摸到的小球都是红球的可能性有1种， ∴两次摸出的都是红球的概率是． 故选A． 2．小张与小李相约去湖北省科技馆参观，某个展览馆有甲、乙两个入口，A，B，C 三个出口，那么小张恰好选择从甲入口进入，并从C出口走出的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 画树状图，共有6种等可能的结果，其中小张恰好选择从甲入口进入，C出口走出的结果有1种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中小张恰好选择从甲入口进入，C出口走出的结果有1种， ∴小张恰好选择从甲入口进入，C出口走出的概率为， 故选：C． 3．在学校科技宣传活动中，某校科技活动小组将2个标有“北斗”，1个标有“高铁”，1个标有“天眼”的小球（除标记外其他都相同）放入不透明的袋子中，小康从袋子中随机摸出1个球，记下标记的内容后（不放回）再从中摸出1个球，则小康两次摸出的球是“北斗”和“高铁”的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用列举法求概率，熟练掌握列举法是解题关键．将2个标有“北斗”，1个标有“高铁”，1个标有“天眼”的小球依次记为，画出树状图，找出小康两次摸出的球的所有等可能的结果，再找出小康两次摸出的球是“北斗”和“高铁”的结果，然后利用概率公式计算即可得． 【详解】解：将2个标有“北斗”，1个标有“高铁”，1个标有“天眼”的小球依次记为，画出树状图如下： 由图可知，小康两次摸出的球共有12种等可能的结果，其中，小康两次摸出的球是“北斗”和“高铁”的结果有4种， 则小康两次摸出的球是“北斗”和“高铁”的概率是， 故选：A． 4．钟祥一中高一新生某个寝室有四个人，每个人写一张贺卡，集中起来．然后每人从中拿出一张，则拿到的不是自己写的贺卡的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等可能事件的概率的求法，是概率中的基本题型．本题要先求出总的取法，再求出所抽取的都不是自己所写的贺卡的种数，再用等可能事件的概率公式求解即可． 【详解】解：如图，记甲、乙、丙、丁四人写的贺卡为， ∴四张贺卡四人来取，总的取法有种， 四人所抽取的都不是自己所写的贺卡的种数为， 四人所抽取的都不是自己所写的贺卡的概率是：； 故答案为：． 5．围棋起源于中国，棋子颜色分黑白两种．在一个不透明的盒子中，装有1个黑色棋子和2个白色棋子，每个棋子除颜色外完全相同．从中随机摸出一个棋子，记下颜色后不放回，再从中随机摸出一个棋子，则两次摸到相同颜色的棋子的概率是（　　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及两次摸到相同颜色的棋子的结果数，再利用概率公式可得出答案． 本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 【详解】解：列表如下： 黑 白 白 黑 黑，白 黑，白 白 白，黑 白，白 白 白，黑 白，白 共有6种等可能的结果，其中两次摸到相同颜色的棋子的结果有2种， 两次摸到相同颜色的棋子的概率为 故选：A 6．旅客在某网站购高铁票，系统会随机分配座位．李某和张某打算购票，如图所示一排中座位编号为A，B，C，D，F，若系统已将两人分配到同一排，在同一排分配各个座位的概率一样． A B C 过道 D F (1)“分给李某座位A”是随机事件，这一事件的概率是________； (2)试用列表法或画树状图法求分给这两人相邻座位（过道两侧座位C，D算相邻）的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查事件的分类，树状图求概率： （1）根据事件的分类进行判断，概率公式进行计算即可； （2）画出树状图，再利用概率公式进行计算即可． 【详解】（1）解：“分给李某座位A”是随机事件； 分给李某座位有5种等可能情况，其中分给李某座位A的概率为； （2）根据题意画树状图如下：    共有种等可能情况，其中相邻座位的情况数有种， ∴分给李某和张某相邻座位（过道两侧座位C，D算相邻）的概率是． 7．山下湖·世界珍珠大会在浙江省诸暨市开幕，澳白、南阳金珠、大溪地黑珍珠、Akoya是目前最热销的珍珠种类，现有四张正面印有这四种珍珠的不透明卡片，依次记为A，B，C，D，这四张卡片除正面图案不同外，其余均相同，将这四张卡片背面向上洗匀，小张从中随机抽取进行珍珠品类调研． (1)若随机抽取一张，求抽到卡片A的概率； (2)若小张随机抽取一张，记录后放回，搅匀，再抽取一张，用画树状图或列表的方法求两次抽取的卡片中，一张是A，一张是B的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了简单地概率公式，画树状图法求概率，熟练掌握公式是解题的关键． （1）利用简单地概率公式计算即可； （2）用列表的方法解答即可． 【详解】（1）解：共有4种等可能的结果，A有1种， 故抽到卡片的概率为． （2）解：根据题意，列表如下： A B C D A B C D 由图可知，共有16种等可能的结果，其中恰好选中A和B的有2种， ∴两次恰好选中和的概率． 8．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，中国古老的汉族传统民间艺术之一．它历史悠久，风格独特，深受大家的喜爱．为了迎接2025蛇年新年，小慧向妈妈学习剪纸，装饰门窗烘托节日气氛．如图，现有4张背面完全一样的剪纸画卡片，将这4张卡片背面向上洗匀后放在桌面上． (1)从中随机抽取1张卡片，抽到的卡片上的图案是中心对称图形的概率为______； (2)若从中随机抽取1张卡片后不放回，再随机抽取1张，请用画树状图或列表的方法，求两次所抽取的卡片恰好都是轴对称图形的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了列表法与树状图法、概率公式、中心对称图形、轴对称图形等知识点，掌握列表法和树状图法求概率是解题的关键． （1）先判断其中的中心对称图形，再根据概率公式求解即得答案； （2）先画出树状图得到所有可能的情况，再判断两次都是轴对称图形的情况，然后根据概率公式计算即可． 【详解】（1）解：中心对称图形的卡片是C，所以从中随机抽取1张卡片，卡片上的图案是中心对称图形的概率为． 故答案为：． （2）解：轴对称图形的卡片有B和C， 根据题意画树状图如下： 由树状图知，共有12种等可能结果，其中两次所抽取的卡片恰好都是轴对称图形的有2种结果， 则两次所抽取的卡片恰好都是轴对称图形的概率为． 【题型06：游戏的公平性】 1．有甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有两个相同的球，它们分别写有数，2；乙口袋中装有三个相同的球，它们分别写有数．小明和小刚进行摸球游戏，规则如下：先从甲口袋中随机取出一个球，其上的数记为；再从乙口袋中随机取出一个球，其上的数记为． (1)利用列表或树状图的方法表示此游戏所有可能出现的结果； (2)若，小明胜；若，为平局；若，小刚胜．此游戏的规则对双方公平吗？试说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)不公平，理由见解析 【分析】本题主要考查列表法或树状图法求概率，概率的应用； （1）根据题意列树状图求解即可； （2）根据题意得到共有2种结果；共有3种结果；分别求出概率，分析结果即可． 【详解】（1）解：树状图如下： 此游戏共有6种结果． （2）解：不公平，理由如下： 根据树状图可知： 共有2种结果； 共有3种结果； ∴小明胜的概率为，小刚胜的概率为； 小刚胜的概率大； ∴游戏的规则对双方不公平． 2．如图，现有一个转盘被分成六等份．分别标有数字1，2，3，4，5，6，自由转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．（指向分界线时重新转动） (1)随机转动转盘一次，转出的数字是5的概率是_____． (2)小明和小亮一起做游戏，转动转盘一次，若转出的数字是3的倍数，则小明获胜，不是3的倍数，则小亮获胜．这个游戏对双方公平吗？请判断并说明理由． 【答案】(1)； (2)不公平，理由见解析． 【分析】本题考查了简单的概率公式及游戏公平性的判断，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据简单的概率公式求解即可； （2）根据题意，转出的数字是的倍数只有两个，不是的倍数有四个，从而判断得出答案． 【详解】（1）解：随机转动转盘一次，转出的数字是5的概率是， 故答案为：； （2）解：不公平，理由如下： 转盘中的倍数有和两个数，而不是的倍数有共四个数， ∴小明获胜的概率为：，小亮获胜的概率为：， ∵， ∴这个游戏对双方不公平． 3．“石头、剪刀、布”的游戏古老而简单，早在汉朝时期就开始流行．甲同学、乙同学和丙同学约定游戏规则如下：由甲同学和乙同学玩“石头、剪刀、布”游戏，如果两人的手势相同，那么丙同学获胜；否则，按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则决定甲同学和乙同学中的获胜者．假设甲同学和乙同学每次出这三种手势的可能性相同． (1)用树状图或列表法求出丙同学获胜的概率； (2)你认为这个游戏对三人公平吗？为什么？ 【答案】(1) (2)公平，理由见解析． 【分析】此题考查了游戏公平性、列表法与树状图法以及概率公式，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． （1）列表得出共有9种等可能的结果，其中两人的手势相同的结果有3种，再由概率公式求解即可； （2）求出甲同学获胜的概率和乙同学获胜的概率，再比较即可得出结论． 【详解】（1）解：列表如下： 石头 剪刀 布 石头 （石头，石头） （剪刀，石头） （布，石头） 剪刀 （石头，剪刀） （剪刀，剪刀） （布，剪刀） 布 （石头，布） （剪刀，布） （布，布） 共有9种等可能的结果，其中两人的手势相同的结果有3种， ∴丙同学获胜的概率； （2）这个游戏对三人公平，理由如下： 由（1）可知，丙同学获胜的概率为，甲同学获胜的结果有3种，乙同学获胜的结果有3种， ∴甲同学获胜的概率＝乙同学获胜的概率， ∴甲同学获胜的概率＝乙同学获胜的概率＝丙同学获胜的概率， ∴这个游戏对三人公平． 4．如图，一个可自由转动的转盘被平均分成12等份，分别标有1~12这12个数字．转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．（若指针恰好指在分割线上，则重转） (1)转动一次转盘，分别求出转出的数字是偶数和奇数的概率； (2)小浩和小宇一起玩游戏，若转出的数字是2的倍数，小浩获胜；若转出的数字是3的倍数，小宇获胜．这个游戏对双方公平吗？说明理由． 【答案】(1)转出的数字是偶数的概率为，转出的数字是奇数的概率为 (2)这个游戏对双方不公平，见解析 【分析】此题考查了概率的有关求解，熟练掌握概率的求解公式是解题的关键． （1）根据概率公式求解即可； （2）根据概率公式计算出两个人获胜的概率，然后比较即可． 【详解】（1）解：这12个数字中，偶数有2，4，6，8，10，12共6个， 奇数有1，3，5，7，9，11共6个， 所以转出的数字是偶数的概率为， 转出的数字是奇数的概率为； （2）不公平. 理由：这12个数字中，是2的倍数的有2，4，6，8，10，12共6个， 是3的倍数的有3，6，9，12共4个， 所以小浩获胜的概率是，小宇获胜的概率是， 因为，所以这个游戏对双方不公平． 5．如图，两个可自由转动的转盘，转盘A被分成3等份，转盘B被分成2等份，转盘A上的数字分别是1，2，3，转盘B上的数字分别是1，2．小智与小慧两名同学用这两个转盘做游戏，游戏规则如下：同时用力转动A，B两个转盘．两个转盘停止后，将指针所指区域的两数相乘（当指针落在两个扇形的交线上时，重新转动转盘），若积为2的倍数，则小智获胜；否则，小慧获胜 (1)请用画树状图或列表的方法，求小智获胜的概率； (2)这个游戏规则对双方公平吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)游戏规则对双方不公平，见解析 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断以及列表法与树状图法求概率．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可； （2）求出双方获胜的概率进行比较即可． 【详解】（1）解：列表如下： 1 2 3 1 1 2 3 2 2 4 6 ∴共有6种等可能的情况，两个数的积为2的倍数的情况有4种， ∴(小智获胜)； （2）解：游戏规则对双方不公平． ∵(小智获胜)，(小慧获胜)， 而， 这个游戏规则对双方不公平． 6．小明和小亮玩游戏，小明有一个质地均匀的骰子（如图1，六个面上分别刻有，，，，，个小圆点的小正方体），小亮有个小球，小球上分别标有数字、、（小球除数字不同外其余均相同），将其放入一个不透明的布袋中（如图2）搅匀． (1)小亮从布袋中随机摸出一个小球，记下数字后再将小球放回布袋中搅匀，这样重复摸了次小球，其中有次摸出的小球上的数字是，则摸出的小球上的数字是的频率是 ； (2)小明掷一次骰子，骰子朝上一面的点数记作小明掷出的数，小亮从布袋中随机摸出一个小球，小球上的数字记作小亮摸出的数，谁的数大，谁就获胜．这个游戏规则对两人公平吗？请利用列表或画树状图的方法进行说明． 【答案】(1) (2)不公平，理由见解析 【分析】本题考查了求频率，画树状图求概率，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据频率等于频数除以总数，即可求解； （2）画出树状图或列表可知共有种情况，分别算出两个人获胜的概率，如果相等则说明游戏公平，不相等，说明不公平． 【详解】（1）解：小亮随机摸球次，其中次摸出的小球上的数字是， 故摸出的小球上的数字是的频率是． 故答案为：． （2）解：画树状图如下： 由上图可知共有种等可能的结果，其中小明获胜的结果数有种，小亮获胜的结果数有种， 故小明获胜的概率为：，小亮获胜的概率为：， ∵， ∴这个游戏规则对两人不公平． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $