精品解析：云南省昆明市五华区昆明理工大学附属中学2025-2026学年九年级上学期10月份阶段性调研数学试题

昆明理工大学附属中学2025-2026学年第一学期10月份阶段性调研 九年级数学试题卷 （全卷三个大题，共27个小题，共4页，考试时间120分钟） 一、选择题 1. 在数学史上，中国古代著作《九章算术》是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若公元前500年记作，则公元2025年记作（ ） A. B. 2025 C. 1525 D. 2525 2. 由开发的人工智能助手在全球范围内掀起了一股热潮，据国内产品榜统计数据，这款推理型AI聊天机器人在上线仅20天后，其日活跃用户数达22150000．将数据22150000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下面图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 若有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 一个八边形的内角和等于（ ） A. B. C. D. 7. “读万卷书，行万里路．”某校为了丰富学生的阅历知识，坚持开展课外阅读活动，学生人均阅读量从七年级的每年64万字增加到九年级的全年144万字．设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 若，，为二次函数图象上的三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点A，B，C在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 某中学举办的“唐风宋韵”诗词大赛中，八年级参赛的25名同学的成绩情况如图所示，这些成绩的众数和中位数分别是（ ） A. 98，97 B. 98，96 C. 96，98 D. 96，97 11. 如图，在平行四边形中，于点，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 12. 一元二次方程的根为（ ） A. B. C. 或 D. 或 13. 按一定规律排列的多项式：，第个多项式是（ ） A. B. C. D. 14. 如图，A，B，C，D是上的四点，且，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 不能确定 15. 如图是二次函数图象的一部分，对称轴是直线．关于下列结论：①；②；③；④；⑤方程的两个根为，，其中正确的结论有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题 16. 若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0无实数根，则实数k的取值范围是________． 17. 某校为了解八年级学生上学的交通方式，刘老师在八年级800名学生中随机抽取了60名进行问卷调查，并将调查结果制作成如下统计表，估计该年级学生乘坐公交车上学的人数约有_____人． 交通方式 公交车 自行车 步行 私家车 其他 人数（人） 18. 使用生日作为密码已经成为历史，利用因式分解可以生成密码：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序就可以形成密码，例如多项式，将其分解因式为．若取，则有，其中12，17，13分别为因式码．将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码121317．当然也可以取另外一些适当的数字，得出新的密码．已知多项式，当取，时，用上述方法生成的密码是___________． 19. 已知，则的值为________． 三、解答题 20. 计算：． 21. 如图，．求证：． 22. “卡皮巴拉”以呆萌的形象、深受大家喜欢．某商场第一次用元购进一批“卡皮巴拉”玩偶，很快售完；该商场第二次购进该“卡皮巴拉”玩偶时，进价提高了，同样用元购进的数量比第一次少件，求第一次购进的“卡皮巴拉”玩偶每件的进价是多少钱? 23. 扎染文化是我国传统文化的重要组成部分，扎染文化的发展带动了旅游相关产业的发展，电视剧去有风的地方的热映不仅推动了云南大理旅游业的热潮，也增进了人们对扎染文化的了解，云南大理某扎染坊第一次用元购进甲、乙两种布料共件，其中两种布料的成本价和销售价如表： 单价 类别 成本价元件 销售价元件 甲种布料 乙种布料 （1）该扎染坊第一次购进甲、乙两种布料各多少件？ （2）因热销，第一次购进的布料全部售完，该扎染坊第二次以相同的成本价购进甲、乙两种布料共件．若此次购进甲种布料的数量不超过乙种布料的数量的倍，且以相同的销售价全部售完这批布料，设第二次购进甲种布料件，第二次销售完后获得的利润为元，试问第二次以何种进货方案，才能使第二次销售完后获得的利润最大？最大利润是多少元？ 24. 如图，四边形是菱形，对角线相交于点O，， （1）求证：四边形是矩形； （2）若四边形的周长为18，菱形的面积为33，求平行线与间的距离． 25. 已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m2＝0． （1）求证：该方程有两个不相等的实数根； （2）若该方程的两个实数根x1，x2满足，求m的值． 26. 如图，为的直径，点C为的中点，交直线于D点． （1）求证：； （2）若，求的直径． 27. 定义：若函数在上的最大值记为，最小值记为且满足，则称函数是在上的“极差函数”． 已知函数． （1）求证：函数与轴有两个不同的交点； （2）若函数是在上的“极差函数”，且存在整数、，使得，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昆明理工大学附属中学2025-2026学年第一学期10月份阶段性调研 九年级数学试题卷 （全卷三个大题，共27个小题，共4页，考试时间120分钟） 一、选择题 1. 在数学史上，中国古代著作《九章算术》是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若公元前500年记作，则公元2025年记作（ ） A. B. 2025 C. 1525 D. 2525 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正数和负数，正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案． 【详解】解：若公元前500年记作，则公元2025年记作2025， 故选：B． 2. 由开发的人工智能助手在全球范围内掀起了一股热潮，据国内产品榜统计数据，这款推理型AI聊天机器人在上线仅20天后，其日活跃用户数达22150000．将数据22150000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据科学记数法的方法进行解题即可．本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，为正整数，确定a与n的值是解题的关键． 【详解】解：依题意，将数据22150000用科学记数法表示为， 故选：B． 3. 下面图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的识别，根据将一个图形绕一个点旋转得到的图形与原图形重合的图形叫中心对称图形直接辨别即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， A选项图形不是中心对称图形，不符合题意， B选项图形不是中心对称图形，不符合题意， C选项图形不是中心对称图形，不符合题意， D选项图形是中心对称图形，符合题意， 故选：D． 4. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是合并同类项，同底数幂的乘法与除法，幂的乘方与积的乘方，根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法与除法法则，幂的乘方与积的乘方法则对各选项进行逐一计算即可． 【详解】解：A、和不是同类项，不能合并，故此选项不合题意； B、，故此选项不合题意； C、，故此选项不合题意； D、，故此选项符合题意． 故选：D． 5. 若有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，即二次根式中的被开方数是非负数．根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】解：二次根式有意义， ，解得． 故选：A． 6. 一个八边形的内角和等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和．根据多边形内角和定理求解即可． 【详解】解：由多边形的内角和公式得：， 故选∶B． 7. “读万卷书，行万里路．”某校为了丰富学生的阅历知识，坚持开展课外阅读活动，学生人均阅读量从七年级的每年64万字增加到九年级的全年144万字．设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，增长率问题，一般用增长后的量增长前的量增长率），如果设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为，根据题意即可列出方程求解． 【详解】解：设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为， 根据题意得． 故选：A． 8. 若，，为二次函数图象上的三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数比较函数值大小，二次函数的增减性和对称性，求出抛物线的对称轴为直线，然后根据二次函数的增减性和对称性解答即可． 【详解】抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴当，随的增大而减少， ∵关于直线的对称点是， 且， ∴． 故选：B． 9. 如图，点A，B，C在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理．同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．据此求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：A． 10. 某中学举办的“唐风宋韵”诗词大赛中，八年级参赛的25名同学的成绩情况如图所示，这些成绩的众数和中位数分别是（ ） A. 98，97 B. 98，96 C. 96，98 D. 96，97 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中位数和众数，根据中位数和众数的定义进行求解即可． 【详解】解：由图可知：98出现的次数最多，故众数为98， 按照从大到小的顺序，第13个数据为96，故中位数为96； 故选：B． 11. 如图，在平行四边形中，于点，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，直角三角形的两锐角互余．由平行四边形的性质证明，结合，得到，从而可得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ， ∵， ． ∴． 故选：B． 12. 一元二次方程的根为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程．利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解： ∴， 则， ∴或， 故选：C 13. 按一定规律排列的多项式：，第个多项式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了数字类规律探究，找出次数和系数变化的规律是解答本题的关键．根据所给多项式次数和系数总结出次数和系数变化的规律求解即可． 【详解】解：∵多项式的x项的次数依次为1，2，3，…， ∴第n个多项式的x项次数为n， ∵多项式的y项的系数依次为1，3，5，…， ∴第n个多项式的y项系数为， ∴第n个多项式为， 故选：A． 14. 如图，A，B，C，D是上的四点，且，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系．根据圆心角、弧、弦之间的关系得出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， ∴． 故选：B． 15. 如图是二次函数图象的一部分，对称轴是直线．关于下列结论：①；②；③；④；⑤方程的两个根为，，其中正确的结论有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与性质．由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：抛物线开口向下， ， ， ，，故④正确； ，故①错误； 抛物线与轴交于，点， ，故②正确； 方程的两个根为，，故⑤正确， 当时，，即，故③正确， 故正确的有②③④⑤，共4个． 故选：C． 二、填空题 16. 若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0无实数根，则实数k的取值范围是________． 【答案】k＞1. 【解析】 【详解】试题分析：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0无实数根，∴△=（-2）2-4×1×k=4-4k＜0，解得k＞1. 考点：一元二次方程根的判别式. 17. 某校为了解八年级学生上学的交通方式，刘老师在八年级800名学生中随机抽取了60名进行问卷调查，并将调查结果制作成如下统计表，估计该年级学生乘坐公交车上学的人数约有_____人． 交通方式 公交车 自行车 步行 私家车 其他 人数（人） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了用样本估计总体，用学校总人数乘样本中乘坐公交车上学的人数的比例，即可得出答案． 【详解】解：估计该年级学生乘坐公交车上学的人数为： （人）， 故答案为：． 18. 使用生日作为密码已经成为历史，利用因式分解可以生成密码：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序就可以形成密码，例如多项式，将其分解因式为．若取，则有，其中12，17，13分别为因式码．将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码121317．当然也可以取另外一些适当的数字，得出新的密码．已知多项式，当取，时，用上述方法生成的密码是___________． 【答案】4614 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用、代数式求值等知识点，正确进行因式分解是解题的关键．先把所给的代数式分解因式，然后分别求出三个因式的值，即可得出密码． 【详解】解：， 当取，时， ， ∴用上述方法生成的密码是4614． 故答案为：4614． 19. 已知，则的值为________． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，完全平方公式，利用整体代入的方法是解决问题的关键． 把已知等式两边除以m得到，再利用完全平方公式得出，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， ∴． 故答案为：11． 三、解答题 20. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，零指数幂和负整数指数幂，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．先进行乘方，零指数幂，负整数指数幂和去绝对值运算，再进行加减运算即可． 【详解】原式 ． 21. 如图，．求证：． 【答案】 证明：， 即． 在和中， ． 【解析】 【分析】根据已知条件得出，进而证明，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】略 【点睛】本小题考查等式的基本性质、全等三角形的判定与性质等基础知识，考查几何直观、推理能力等，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 22. “卡皮巴拉”以呆萌的形象、深受大家喜欢．某商场第一次用元购进一批“卡皮巴拉”玩偶，很快售完；该商场第二次购进该“卡皮巴拉”玩偶时，进价提高了，同样用元购进的数量比第一次少件，求第一次购进的“卡皮巴拉”玩偶每件的进价是多少钱? 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的应用，解题的关键是理解题意，找到等量关系，正确列出分式方程．设第一次购进的“卡皮巴拉”玩偶每件的进价为元，则第二次购进的“卡皮巴拉”玩偶每件的进价为元，根据“同样用了元，购进的数量比第一次少了件”列出方程，即可求解． 【详解】解：设第一次购进的“卡皮巴拉”玩偶每件的进价为元，则第二次购进的“卡皮巴拉”玩偶每件的进价为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是方程的解， 答：第一次购进的“卡皮巴拉”玩偶每件的进价为元． 23. 扎染文化是我国传统文化的重要组成部分，扎染文化的发展带动了旅游相关产业的发展，电视剧去有风的地方的热映不仅推动了云南大理旅游业的热潮，也增进了人们对扎染文化的了解，云南大理某扎染坊第一次用元购进甲、乙两种布料共件，其中两种布料的成本价和销售价如表： 单价 类别 成本价元件 销售价元件 甲种布料 乙种布料 （1）该扎染坊第一次购进甲、乙两种布料各多少件？ （2）因热销，第一次购进的布料全部售完，该扎染坊第二次以相同的成本价购进甲、乙两种布料共件．若此次购进甲种布料的数量不超过乙种布料的数量的倍，且以相同的销售价全部售完这批布料，设第二次购进甲种布料件，第二次销售完后获得的利润为元，试问第二次以何种进货方案，才能使第二次销售完后获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）扎染坊第一次购进甲种布料件，购进乙种布料件 （2）第二次购进甲种布料件，乙种布料件时获利最大，最大利润为元 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的应用和一元一次方程的应用，找到等量关系是解题的关键． （1）设扎染坊第一次购进甲种布料件，购进乙种布料件，根据题意列出二元一次方程组计算即可； （2）根据题意得到，求出即可得到答案． 【小问1详解】 解：设扎染坊第一次购进甲种布料件，购进乙种布料件， 根据题意得，， 解得， 答：扎染坊第一次购进甲种布料件，购进乙种布料件． 【小问2详解】 解：由题知：， 解得，， ， 即， ， 随的增大而增大， 当时，元， 此时，件， 答：第二次购进甲种布料件，乙种布料件时获利最大，最大利润为元． 24. 如图，四边形是菱形，对角线相交于点O，， （1）求证：四边形是矩形； （2）若四边形的周长为18，菱形的面积为33，求平行线与间的距离． 【答案】（1） 证明：四边形是菱形， ， ， ， 又， ， 四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定与性质、菱形的性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． （1）利用菱形的对角线互相垂直结合平行线的性质、垂直的定义得出，根据“三个角是直角的四边形是矩形”即可得证； （2）根据勾股定理可以求得的长，再根据菱形的面积=底高，即可求得平行线与间的距离． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形的周长为18，四边形是矩形， ， 菱形的面积为33， ， 即， ， ， ， ， ， ， 四边形是菱形， ， 设平行线与间的距离为x， 则， 即， 解得， 即平行线与间的距离为 25. 已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m2＝0． （1）求证：该方程有两个不相等的实数根； （2）若该方程的两个实数根x1，x2满足，求m的值． 【答案】（1）∵在方程中， △=（﹣4）2﹣4×1×（﹣m2）=16+4m2＞0， ∴该方程有两个不等的实根； （2） 【解析】 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=16+4m2＞0，由此可证出该方程有两个不等的实根； （2）根据根与系数的关系可得 ①、②，结合③，可求出、的值，将其代入③中即可求出m的值． 【详解】解：（1） 略 （2）解：∵该方程的两个实数根分别为、， ∴ ①、②． ∵③， ∴将①②代入③得，， 解得． 【点睛】本题考查根的判别式、根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式、根与系数的关系． 26. 如图，为的直径，点C为的中点，交直线于D点． （1）求证：； （2）若，求的直径． 【答案】（1） 证明：连接，如图， ∵为的直径， ∴，即， ∵点C为的中点， ∴， ∴， ∴； （2）5 【解析】 【分析】（1）证明，即可得出结论； （2）设交于点T，证明四边形是矩形，设，利用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设交于点T，如图， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 设， 则， ∴， ∴，即的直径为5； 【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，矩形的判定和性质, 勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题． 27. 定义：若函数在上的最大值记为，最小值记为且满足，则称函数是在上的“极差函数”． 已知函数． （1）求证：函数与轴有两个不同的交点； （2）若函数是在上的“极差函数”，且存在整数、，使得，求的值． 【答案】（1） 证明：∵函数：， ∴， ∵， ∴， 故函数与轴有两个不同的交点； （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程、二次函数的性质、二次函数的最值，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）求出，即可得证； （2）由题意可得抛物线的对称轴为直线，结合，可得，从而可得当时，随着的增大而增大，推出当时，取得最大值，当时，取得最小值，根据，求出，再由，得出方程，解方程即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴当时，随着的增大而增大， ∴当时，取得最大值，当时，取得最小值， ∴， ∵，为整数，， ∴， ∵， ∴， 解得：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $