12.1.2 定义、定理与证明（教学课件）数学新教材华东师大版八年级上册

该初中数学课件聚焦“定义、定理与证明”核心知识点，通过“旧知复习”辨析真命题假命题回顾基础，衔接“新知探究”构建定义、定理概念体系，形成从已有认知到新知的学习支架，助力学生逐步理解数学逻辑推理基础。 其特色在于以“合作学习”引导学生观察直线平行、代数式值猜想培养数学眼光，通过“典例分析”“变式训练”（如三角形内角和证明、补全推理过程）发展推理能力，依托规范证明步骤书写强化数学语言表达。结构涵盖章节导读、学习目标、分层练习与小结，既助教师高效备课，又能提升学生逻辑思维与规范表达能力。

12.1.2 定义、定理与证明 第12章 全等三角形 华师大版2024·八年级上册 章节导读 学 习 目 标 掌握定义、定理核心概念： 准确理解数学定义、公理、定理的本质区别 能举例说明命题的组成（题设与结论） 掌握常见定理 熟练运用平行线性质定理（同位角/内错角/同旁内角关系） 掌握三角形内角和定理及其推论 能够准确对命题进行证明 能完成基础几何命题的规范证明（如对顶角相等） 初步掌握反证法的逻辑框架 旧知复习 观察下面几个命题，哪些是真命题，哪些是假命题 (1)两点之间线段最短； (2)两点确定一条直线； (3)经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行； (4)两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行； (5)三角形的任意两边之和大于第三边； 一般地，能明确说明某一名称或术语的意 义的句子，叫作该名称或术语的定义 新知探究 基础定义 在数学中，有些命题可以从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据， 这样的真命题叫做定理。 定理的作用不仅在于它揭示了客观事物的本质属性，而且可以作为进一步确认其他命题真假的依据。 注意：定理是命题，命题不一定是定理，而且定理是真命题。 典例分析 例1 . 下列语句中，属于定理的是（       ） A．在直线AB上取一点E B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 C．内错角相等 D．同角的补角相等 D 解析：A、在直线AB上取一点E，不是命题，故不是定理 B、如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，命题是假命题，故不是定理 C、“内错角相等”缺少“两直线平行”，是假命题，故不是定理 D、同角的补角相等，是定理。 合作学习 通过观察，先猜想结论，再验证： 1. 如图所示，一组直线 a、b、c、d 是否互 相平行？ 2.当n=0、1、2、3、4、5时，代数式n2-3n+7的值分别是 7，5，5，7，11，17，它们都是质数，那么，命题“对于自然数 n，代数式 n2-3n+7的值都是质数”是真命题吗？ 同学们可以讨论一下 新知探究 通过实验、观察、归纳得到的结论可能正确，也可能不正确。因此，要判断一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理等，一步一步推得结论成立。这样的推理过程叫作证明 基础定义 思考 “证明三角形的内角和为180”．要求：已知和求证，并尝试证明． 新知探究 例2 . 证明三角形的内角和为180°．要求：根据题意画出图形，结合画出的图形写出已知和求证，并尝试证明． 已知：如图，△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180° 证明：过点A作EF∥BC，如图， ∵EF∥BC ∴∠B=∠1，∠C=∠2 ∵∠1+∠BAC+∠2=180° ∴∠A+∠B+∠C=180° 1 2 E F 变式训练 命题：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，画出图形，写出该命题的已知、求证，并证明． 已知：如图，a⊥b，a⊥c，求证：b∥c 证明：∵a⊥b，∴∠1=90°， ∵a⊥c，∴∠2=90°， ∴∠1=∠2 ∴b∥c 变式训练 求证：两个连续自然数（0除外）的积是偶数． 已知：n，n+1是两个连续的自然数，求证：n（n+1）是偶数 证明：当n是奇数时，n+1就是偶数 所以n（n+1）是偶数 当n是偶数时，n（n+1）是偶数 综上所述，n(n+1)是偶数。 即两个连续自然数的积是偶数。 典例分析 例3 补全下列推理过程： 如图，EF⊥BC，AD⊥BC，∠1=∠2，试说明DG∥BA． 解：∵EF⊥BC，AD⊥BC，（已知） ∴∠BFE=∠BDA=90°（垂线的定义） ∴EF∥AD（ ） ∴∠2=∠3（ ） ∵∠1=∠2（已知） ∴ （等量代换） ∴DG∥AB（ ） 同位角相等，两直线平行 两直线平行，同位角相等 ∠1=∠3 内错角相等，两直线平行 变式训练 补全下列推理过程： 如图，已知AB∥CE，∠A=∠E，试说明：∠CGD=∠FHB 两直线平行，内错角相等 解：∵AB∥CE（已知） ∴∠A=∠ADC（ ） ∵∠A=∠E（已知） ∴∠E=∠ADC（ ） ∴AD∥EF（ ） ∴∠CGD=∠GHE( ) ∵∠FHB=∠GHE( ) ∴∠CGD=∠FHB 等量代换 同位角相等，两直线平行 两直线平行，同位角相等 对顶角相等 课堂练习 1.下列语句中，属于定理的是（      ） A．在直线AB上取一点E B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 C．作射线AB D．同角的补角相等 D 2.下面关于公理和定理的说法正确的是（     ） A．公理是真命题，但定理不是 B．公理就是定理，定理也是公理 C．公理和定理都可以作为推理论证的依据 D．公理和定理都应经过证明后才能使用 C 课堂练习 3．下列正确的选项是（      ） A．命题“同旁内角互补”是真命题 B．“作线段AC”这句话是命题 C．“对顶角相等”是定义 D．说明命题“如果∠1+∠2=90°，那么∠1=∠2”是假命题的反例是∠1=70°，∠2=20° D 只有在两直线平行时成立 命题是可以判断真假的陈述句 定理 课堂练习 4．下列语句中是定义的是（      ） A．有一个角是锐角的三角形是锐角三角形 B．四边相等的四边形是正方形 C．相等的两个角是对顶角 D．用不等号表示数量之间关系的式子叫作不等式 D 5．下列语句中，属于定义的是_______，是命题的是_______．（请填写序号） ①三角形的内角和等于；②无限不循环小数称为无理数；③你的作业做完了吗？④天空真蓝啊！⑤对顶角不相等；⑥连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离． ②⑥ ①②⑤⑥ 课堂练习 6．证明：等角的补角相等． 已知：∠1=∠2，∠1+∠3=180°，∠2+∠4=180° 求证：∠3=∠4 证明：∵∠1=∠2，∠1+∠3=180°（已知） ∴∠2+∠3=180°（等量代换） ∴∠3=180°-∠2（等式的性质） ∵∠2+∠4=180°（已知） ∴∠4=180°-∠2（等式的性质） ∴∠3=∠4（等量代换） 课堂练习 7．如图，现有以下3个论断：①AB∥CD；②∠B=∠C；③∠E=∠F．请以其中2个论断为条件，另一个论断为结论构造命题． 解：命题1证明如下： ∵AB∥CD，∴∠B=∠CDF， ∵∠B=∠C，∴∠C=∠CDF, ∴CE∥BF，∴∠E=∠F (1)请写出所有的真命题； (2)请选择其中一个命题加以证明． 命题1：由①②得③ 命题2：由①③得② 命题3：由②③得① 课堂小结 基本概念 定义：对数学概念本质属性的确切描述（如"平行线：同一平面内永不相交的两条直线"）。 公理：公认的真命题，无需证明（如"两点确定一条直线"）。 定理：经过逻辑推理证明为真的命题。 感谢聆听! 高效备课·轻松学习 初 中 数 学 $