12.1.2 定义、定理与证明（导学案）-2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

该初中数学导学案聚焦“定义、定理与证明”核心内容，通过知识链接回顾命题概念及分类，新知预习填写基本事实，搭建旧知到新知的学习支架，帮助学生明确三者概念及逻辑联系。 特色在于强化概念辨析与证明规范，以探究例题和标准四步法培养推理意识，分层练习提升应用能力，合作探究引导主动思考，助力学生形成严谨逻辑和规范表达的数学思维。

2 定义、定理与证明 13.2 定义、定理与证明 导学案（华东师大版八年级上册） 一、学习目标 1. 掌握定义、基本事实、定理的核心概念，清晰辨析三者的区别与联系，熟记几何基础概念的规范表述。 2. 理解几何证明的意义，熟练掌握几何证明的标准步骤与书写规范，树立严谨的逻辑推理意识。 3. 能依托定义、基本事实、定理完成简单几何证明，做到推理有据、步骤完整、逻辑通顺。 4. 掌握真假命题的判定方法，明确证明真命题、举反例证假命题的核心思路。 二、学习重难点 重点：定义、基本事实、定理的概念区分；几何证明的规范书写格式与推理依据。 难点：构建严谨的几何推理逻辑，精准选用对应依据完成证明，规避逻辑漏洞。 三、自主预习 基础梳理 1. 定义：对数学中名称、术语的含义进行精准描述和明确规定的语句。定义是对概念的精准界定，可直接作为推理、判定的依据。例如：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。 2. 基本事实（公理）：经过长期实践验证、公认正确、无需推理证明的真命题。它是几何推理的原始基础，是推导定理的根本依据。常用基本事实：两点确定一条直线；两点之间线段最短；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。 3. 定理：通过定义、基本事实或已知定理，经过严谨推理证实的真命题。定理可直接用于几何证明和计算，具有通用性。定理一定是真命题，但真命题不一定是定理。例如：对顶角相等、两直线平行，同位角相等。 4. 证明：从已知条件出发，结合定义、基本事实、定理，通过一步步逻辑推理，验证命题真假的全过程。几何证明的核心要求：每一步推理都有依据，因果对应、条理清晰、格式规范。 四、课堂探究 核心突破 探究一：三大概念精准辨析 例题：判断下列语句所属类型：①两点之间线段最短；②含有未知数的等式叫做方程；③两直线平行，内错角相等。 解析：①为基本事实，无需证明；②为定义，界定概念含义；③为定理，需推理证明。小结：定义“定概念”、基本事实“不证明”、定理“可证明、可通用”。 探究二：几何证明标准步骤 标准四步法：第一步，审题，明确已知条件和求证结论；第二步，梳理推理思路，找准对应依据；第三步，规范书写证明过程，步步标注依据；第四步，检查逻辑完整性与严谨性。 典型例题：求证：对顶角相等。 已知：直线AB、CD相交于点O。 求证：∠AOC=∠BOD。 证明：∵∠AOC+∠AOD=180°，∠BOD+∠AOD=180°（平角的定义），∴∠AOC=∠BOD（同角的补角相等）。 探究三：命题真假判定规则 真命题：必须经过严谨推理证明，依托正规依据推导成立；假命题：无需完整证明，只需举出一组符合题设、但不满足结论的反例，即可判定为假。 五、当堂基础练习 1. 下列说法正确的是（ ） A. 定理一定是真命题 B. 真命题一定是定理 C. 基本事实需要证明 D. 定义不可作为推理依据 2. 写出“平行线”的定义，并列举一条平行线相关定理。 3. 完整书写证明过程：求证“同角的余角相等”。 六、课堂小结 本节课核心掌握三组对应关系：定义界定概念、用于判定；基本事实为推理本源、无需证明；定理为推导结论、可直接通用。同时熟练掌握几何证明的规范书写，牢记“步步有依据、句句有逻辑”的推理原则，学会用证明证真命题、用反例证假命题，为后续复杂几何推理筑牢基础。 七、课后作业 1. 整理笔记，分别列举3个基本事实、3个几何定理、2个数学定义； 2. 规范证明：两直线平行，内错角相等，完整书写步骤及推理依据。 自主学习 一、知识链接 1.什么是命题?命题的结构是什么? 2.命题如何分类?如何证明一个命题是假命题? 二、新知预习 填写下列命题： （1）两点确定 条直线； （2）两点之间， 最短； （3）过直线外一点，有且只有 条直线与这条直线平行； （4）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线 ； 思考：这些命题都是真命题吗？我们一般都怎么使用它们？ 合作探究 一、探究过程 探究点1：定义 【概念提出】对数学进行清晰、明确的描述，作出明确的规定，就是它们的定义. 例1 “在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”这个句子是（　　） A．定义 B．命题 C．公理 D．定理 探究点2：定理 【概念提出】从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做_______. 问题 我们学过哪些定理？请写出定理的名称. 例2 下列命题中，属于基本事实的是 （填序号）. ①同角的余角相等；②n边形的内角和为（n-2）×180°；③两条直线垂直于同一条直线，则这两条直线垂直. 探究点3：证明 问题 前面我们学过举反例来说明假命题不成立，那么怎么判断一个命题是否正确呢？ 【要点归纳】根据条件、定义以及基本事实、定理等，经过演绎推理，来判断一个命题是否正确，这种推理的过程叫做证明. 像这样用文字叙述的命题的证明，应当按照下列步骤进行： 第一步，依据题意画图，将文字语言转换为符号（图形）语言. 第二步，根据图形写出已知、求证. 第三步，根据基本事实、已有定理进行证明. 例3 已知：如图,AB⊥BC，BC⊥CD，且∠1=∠2，求证：BE∥CF.C A B D E F 1 2 证明：∵AB⊥BC，BC⊥CD，（已知） ∴ = =90°.（ ） ∵∠1=∠2（已知），，来源:学§科§网Z§X§X§K] ∴ = （等式的性质）. ∴BE∥CF（ ）. 【归纳总结】从结论逆推进行分析得出条件，反过来的过程就是证明结论的过程． 【针对训练】求证：直角三角形的两个锐角互余． 二、课堂小结 1.我们用不同的语句来说明数学名词各自所包含的确切意义叫作 . 2.在长期实践中总结出来为真命题的命题叫做 . 3.从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做 . 4.根据条件、定义以及基本事实、定理等，经过演绎推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做 . 当堂检测 1.下列说法错误的是( 　) A．定理是真命题 B．基本事实是真命题 C．证明是真命题 D．假命题是命题 2．命题“经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”是(　 　) A．定义 B．定理 C．基本事实 D．定义 3.如图，下面证明正确的是( ) A．因为AB∥CD，所以∠1=∠3 B．因为∠2=∠4，所以AB∥CD C．因为AE∥CF，所以∠2=∠4 D．因为∠1=∠3，所以AE∥CF 第3题图 第4题图 4.如图，完成下列证明过程. ①∵∠1=∠2(已知)，∴ ∥ ( )． ②∵∠3=∠4(已知)，∴ ∥ ( )． ③∵ + =180°，∴AB∥CD． 5.如图，在△ABC中，D，E，F分别为AB，AC，BC上的点，且DE∥BC，EF∥AB．求证： ∠ADE=∠EFC． 6.证明：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．（提示：过C作CE∥AB） 参考答案 自主学习 一、知识链接 （1）表示判断的语句叫做命题.命题由“条件”和“结论”两部分组成. （2）命题分为“真命题”和“假命题”两类.要判断一个命题是假命题，只要举出一个例子，说明该命题不成立，即只要举出一个符合该命题条件而不符合该命题结论的例子就可以了. 二、新知预习（1）一 （2）线段 （3）一 （4）平行 合作探究 一、探究过程 探究点1： 例1 A 探究点2： 【概念提出】定理 例2 ①② 探究点3： 例3 ∠ABC ∠BCD 垂直的定义 ∠EBC ∠FCB 内错角相等，两直线平行 【针对训练】 已知：在△ABC中，∠C＝90°． 求证：∠A与∠B互余． 证明：如图， ∵∠A+∠B+∠C＝180°，且∠C＝90°, ∴∠A+∠B＝90°. ∴∠A与∠B互余. 二、课堂小结 定义 基本事实 定理 证明 当堂检测 1.C 2.C 3.B 4.①AD BC 内错角相等，两直线平行 ②AB CD 内错角相等，两直线平行 ③∠ABC ∠BCD(或∠BAD ∠ADC) 5.证明： ∵DE∥BC(已知)，∴∠ADE=∠B (两直线平行，同位角相等)． 又∵EF∥AB(已知)，∴∠EFC=∠B(两直线平行，同位角相等)．∴∠ADE=∠EFC(等量代换)． 6.已知：如图，∠ACD是△ABC的外角． 求证：∠ACD＝∠A＋∠B. 证明：过C作CE∥AB，∴∠ACE＝∠A(两直线平行，内错角相等)， ∠ECD＝∠B(两直线平行，同位角相等).∵∠ACD＝∠ACE＋∠DCE(已知)， ∴∠ACD＝∠A＋∠B(等量代换)． 学科网（北京）股份有限公司 $