重难点专题02圆的有关计算（扇形、圆锥、不规则图形、动态问题）（专项训练）数学人教版九年级上册

重难点专题02圆的有关计算（扇形、圆锥、不规则图形、动态问题） 重难点一 弧长的有关计算 弧长公式中已知两个量，可求第三个量： 从弧长公式中可以看出，孤长、扇形圆心角的度数n°、扇形的半径R这三个量中，只要知道其中的任 意两个量，即可求出第三个量，可简记为“知二求一” 1．如图，四边形内接于，，连接，，若的半径为6，则劣弧的长为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在扇形中，，半径，是上一点，连接，是上一点，且，连接，若，则的长是（    ） A． B． C． D． 3．如图，为的直径，点C在外，的平分线与交于点D，． (1)与有怎样的位置关系？请说明理由； (2)若，求长． 4．如图，在中，是直径，D是的中点，连接、． (1)求证：； (2)若，，求的长（结果保留）． 重难点二 扇形面积的有关计算 根据条件，灵活选择公式计算扇形面积 (1)当已知半径R和圆心角的度数n°求扇形的 面积时，选用公式S= (2)当已知半径R和弧长l求扇形的面积时，选用公式S=lR. 5．如图，点，，是上的点，且，的半径为2，则此阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 6．习近平总书记强调，中华优秀传统文化是中华民族的根和魂，乐陵市某学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，小慧同学制作了一把扇形纸扇．如图，，，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角，现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为（   ）． A． B． C． D． 7．如图，是的直径，弦于点E，连接． (1)求证：； (2)若，求阴影部分的面积． 8．如图，对折边长为4的正方形纸片，为折痕，以点为圆心，为半径作弧，分别交、于、两点，则扇形的面积为 ． 重难点三 不规则图形的面积的计算 求不规则图形的面积的常用策略 (1)通过“割”“补”“拼”“凑”等方法将不规则图形的面积转化为几个规则图形面积的和或差的形式. (2)通过等积代换的方法将不规则图形的面积转化成规则图形的面积. 9．如图，是的直径，弦，，，则（   ） A．π B．2π C．π D．π 10．如图，在中，，以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点D，交于点C，以点B为圆心，的长为半径画弧，交于点E，交于点F，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 11．如图，是的直径，是的切线，切点为，交于点，点是的中点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，，，求图中阴影部分的面积． 12．如图1，在菱形中，，是的外接圆，E是上一动点，连接并延长交于M，连接并延长交于N， (1)求证：是的切线； (2)如图2，当E是中点时，求图中阴影部分面积； (3)当时，求的长． 13．如图，已知的半径为5，都是的直径，，弦与直径相交于点F，过点E作的切线，交的延长线于P，连接． (1)求证：； (2)当时，求线段的长； (3)当四边形为菱形时，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和）． 重难点四 扇形的动态问题 解决与动点运动路径有关的问题时，找准动点的运动轨迹是成功解题的关键.一般地，某动点绕一定 点以某一定长为半径旋转，动点运动的轨迹为扇形的弧 14．如图，已知所在圆的半径为5，弦的长8，点P是中点，绕点A逆时针旋转后得到，两位同学提出了相关结论： 嘉嘉：的长为；琪琪：扫过的面积为 下列论正确的是（    ） A．两人都错 B．嘉嘉对，琪琪错 C．嘉嘉错，琪琪对 D．两人都对 15．如图，是的直径，，是上半圆的中点，是下半圆上一个动点，过点作的垂线，垂足为，则点从点运动到点的过程中，点运动的路径长是（    ） A． B． C． D． 16．曲柄连杆机构是发动机的主要运动机构，其功能是将活塞的往复运动转变为曲轴的旋转运动，从而驱动汽车车轮转动，其结构示意图如图所示，当活塞在汽缸内往复运动时，通过连杆带动曲轴做圆周运动．静止时，活塞处于点处，且三点共线，当活塞运动到点处时，完成一次进气过程，已知，且完成一次进气过程，扫过的扇形面积为，则完成一次进气过程中，点运动的路径长为 mm． 17．如图，将绕点旋转得到，已知，则线段扫过的图形面积为 ． 18．如图，半圆的直径，弦，弦在半圆上滑动，点C从点A开始滑动，到点D与点B重合时停止滑动，若M是的中点，则在整个滑动过程中线段扫过的面积为 ． 重难点五 圆锥的有关计算 圆锥的高、底面圆的半径、母线可构成直角三角形，所以涉及圆锥高的问题，一般要通过这一直角三 角形来求解 19．如图是小雨学习时使用的圆锥形台灯灯罩的示意图，已知圆锥底面圆半径为，圆锥母线长为，则围成这个灯罩的铁皮的面积是（不考虑缝隙等因素）（　　） A． B． C． D． 20．已知圆锥的底面半径为，高为，则该圆锥的侧面积为 （结果保留）． 21．在数学实验课上，小莹将含角的直角三角尺分别以两个直角边为轴旋转一周，得到甲、乙两个圆锥，并用作图软件Geogebra画出如下示意图 小亮观察后说：“甲、乙圆锥的侧面都是由三角尺的斜边旋转得到，所以它们的侧面积相等．” 你认同小亮的说法吗？请说明理由． 重难点六 圆锥的侧面展开图的有关计算 圆锥与其侧面展开图（扇形）常用的三个等量关系 (1)侧面展开图（扇形）的弧长=圆锥底面圆的周长 (2)侧面展开图（扇形）的面积=圆锥的侧面积： (3)侧面展开图（扇形）的半径=圆锥的母线长 22．若一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，则这个圆锥侧面展开图的圆心角等于（   ） A． B． C． D． 23．某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径，母线．制作这种外包装需要用如图扇形材料，将扇形围成圆锥时，，恰好重合，则的大小是 ． 24．一个水平放置的圆锥的主视图为底边长、腰长的等腰三角形，试求： (1)该圆锥的侧面积． (2)圆锥的侧面展开图的扇形的圆心角度数． 重难点七 圆锥中最短路径的计算 空间距离转化到平面上来解解决与空间图形有关的最短距离问题时，可以先将空间立体图形转化为平面图形，并利用平面图形中“两点之间，线段最短”画出线段（路径），再借助勾股定理等求解 25．如图，已知点C为圆锥母线的中点，为底面圆的直径，，，一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从A点爬到C点，则蚂蚁爬行的最短路程为（    ） A．5 B． C． D． 26．如图,已知圆锥的底面半径是2,母线长是6. （1）求这个圆锥的高和其侧面展开图中∠ABC的度数； （2）如果A是底面圆周上一点,从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点,求这根绳子的最短长度. 27．【综合与实践】 主题：制作圆锥形生日帽． 素材：一张圆形纸板、装饰彩带． 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽， (1)现在需要制作一个，的生日帽，请帮忙计算出所需扇形纸板的圆心角度数； (2)为了使（1）中所制作的生日帽更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），求彩带长度的最小值． 一、单选题 1．将如图所示的图形绕虚线所在直线旋转一周形成的几何体的侧面积是（　　） A． B． C． D． 2．如图，是的外接圆， ，，则的长是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，以为直径的交于点，若点恰好为的中点，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 4．如图，在圆心角为直角的扇形中，分别以、为直径作两个半圆．向直角扇形内随机取一点，则该点刚好来自阴影部分的概率是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在正方形中，和交于点，过点的直线交于点（不与，重合），交于点．以点为圆心，为半径的圆交直线于点，．若，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 6．如图，有一圆形纸片，其圆心为，弦，将纸片沿，折叠交于点，若的半径为1，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 7．如图，扇形中，点C在弧上，连接，P为中点，若，点C沿弧从点B运动到点A的过程中，点P所经过的路径长为，则的长为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 8．如图，由四段相等的圆弧组成的双叶花，每段圆弧都是四分之一圆周，，则这朵双叶花的面积为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．若圆锥的底面半径，高，则它的侧面展开图中扇形的圆心角是 度． 10．如图，菱形的边长为，，弧是以点A为圆心，长为半径的弧，弧是以点B为圆心，长为半径的弧，则阴影部分的面积为 ． 11．如图，在中，，以点为圆心、为半径画弧交． 于点，连接，若，则图中弧的长为 ，阴影部分的面积是 ． 12．如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD．以点F为圆心，FE长为半径画弧，恰好经过小正方形的顶点G．若AB＝5，且每个直角三角形的两直角边之和为7，则的长为 ． 三、解答题 13．如图，内接于，是的直径．直线l与相切于点A，在l上取一点D使得，线段，的延长线交于点E． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积（结果保留π）． 14．如图，在中，，，的垂直平分线交于点O，以O为圆心，为半径作． (1)求证：是⊙O的切线； (2)若的半径为4，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和π）． 15．装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以为直径的半圆，如图1和图2所示，为水面截线，为台面截线，． 计算：在图1中，已知，作于点． (1)求的长． 操作：将图1中的水槽沿向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当时停止滚动．如图2．其中，半圆的中点为与半圆的切点为，连接交于点．探究：在图2中． (2)操作后水面高度下降了多少？ (3)连接并延长交于点，求线段与的长度，并比较大小． 16．如图，四边形内接于，为直径，过点C作于点E，连接． (1)求证：； (2)如图2，若是的切线，，，连接，判断四边形的形状并说明理由，且求出阴影部分的面积． 17．如图，是的直径，为上一点，为弧的中点，过点作于点，交过点的切线于点，交弦于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求弧的长． 18．综合与实践 主题：制作圆锥形生日帽． 素材：一张圆形纸板、装饰彩带． 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽． 在制作好的生日帽中，，，C是的中点，现要从点A到点C再到点A之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题02圆的有关计算（扇形、圆锥、不规则图形、动态问题） 重难点一 弧长的有关计算 弧长公式中已知两个量，可求第三个量： 从弧长公式中可以看出，孤长、扇形圆心角的度数n°、扇形的半径R这三个量中，只要知道其中的任 意两个量，即可求出第三个量，可简记为“知二求一” 1．如图，四边形内接于，，连接，，若的半径为6，则劣弧的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了弧长的计算，圆内接四边形的性质以及圆周角定理，先根据圆内接四边形的性质得，再由得，然后根据圆周角定理求得的度数，最后根据弧长公式求解． 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴则劣弧的长为：． 故选：C． 2．如图，在扇形中，，半径，是上一点，连接，是上一点，且，连接，若，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了弧长公式，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质；连接，根据，，易证是等腰三角形，再根据，推出是等边三角形，得到，即可求出，再根据弧长公式计算即可． 【详解】解：连接， ，， ， 是等腰三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 故选：C． 3．如图，为的直径，点C在外，的平分线与交于点D，． (1)与有怎样的位置关系？请说明理由； (2)若，求长． 【答案】(1)相切，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了圆的切线的判定，弧长公式. （1）连接，只需证明即可； （2）由（1）中的结论可得，可求得的圆心角度数，再利用弧长公式求得结果即可． 【详解】（1）解：相切．理由如下： 连接， ∵是的平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴与相切； （2）解：若，可得， ∴， 又∵， ∴， ∴的长． 4．如图，在中，是直径，D是的中点，连接、． (1)求证：； (2)若，，求的长（结果保留）． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，求弧长，三角形内角和定理： （1）根据直径所对的圆周角是直角得到，则，由垂径定理得到，则，由此即可证明； （2）如图所示，连接，由圆周角定理得到，则由垂径定理可得，可得，据此利用弧长公式求解即可． 【详解】（1）证明：如图，记，的交点为， ∵是直径， ∴， ∴， ∵D是的中点，是直径， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的长度． 重难点二 扇形面积的有关计算 根据条件，灵活选择公式计算扇形面积 (1)当已知半径R和圆心角的度数n°求扇形的 面积时，选用公式S= (2)当已知半径R和弧长l求扇形的面积时，选用公式S=lR. 5．如图，点，，是上的点，且，的半径为2，则此阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆周角定理，扇形的面积，熟练掌握圆周角定理和扇形面积公式是解题的关键．先利用圆周角定理得出，再利用扇形面积公式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 6．习近平总书记强调，中华优秀传统文化是中华民族的根和魂，乐陵市某学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，小慧同学制作了一把扇形纸扇．如图，，，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角，现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，熟知扇形面积的计算公式是解题的关键． 将山水画所在纸面的面积转化为大小两个扇形的面积之差即可解决问题． 【详解】解：由题意得：，， ∴山水画所在纸面的面积为， 故选：． 7．如图，是的直径，弦于点E，连接． (1)求证：； (2)若，求阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由垂径定理求得，利用半径相等求得，据此可证明结论成立； （2）利用垂径定理求得，求得，在中，利用正弦函数的定义求得，然后利用扇形面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵是的直径，弦， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵是的直径，弦， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，有，， ∴， ∴阴影部分的面积． 【点睛】本题考查的是扇形面积公式、垂径定理、圆周角定理，解直角三角形，掌握扇形面积公式是解题的关键． 8．如图，对折边长为4的正方形纸片，为折痕，以点为圆心，为半径作弧，分别交、于、两点，则扇形的面积为 ． 【答案】 【分析】连接，由折叠的性质可得，，再结合，可得，由正方形的性质可得，，，进而可证得四边形和是矩形，于是可得，，则，利用可证得，于是可得，再结合，即，可证得四边形是平行四边形，于是可得，进而可得，由此可证得是等边三角形，于是可得，然后根据扇形的面积公式即可求出扇形的面积． 【详解】解：如图，连接， 由折叠的性质可得：，， 又， ， 四边形是正方形， ，，， 四边形和是矩形， ，， ， 在和中， ， ， ， 又，即， 四边形是平行四边形， ， ， 是等边三角形， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了折叠问题，正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，求扇形面积等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 重难点三 不规则图形的面积的计算 求不规则图形的面积的常用策略 (1)通过“割”“补”“拼”“凑”等方法将不规则图形的面积转化为几个规则图形面积的和或差的形式. (2)通过等积代换的方法将不规则图形的面积转化成规则图形的面积. 9．如图，是的直径，弦，，，则（   ） A．π B．2π C．π D．π 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理、圆周角定理，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，扇形面积的计算等知识，求出，，得出，所以． 【详解】解：如图，， ∵是直径， ∴， 又∵ ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴ ∴，， ∵，， ∴， ∴ 故选：D． 10．如图，在中，，以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点D，交于点C，以点B为圆心，的长为半径画弧，交于点E，交于点F，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查扇形面积的计算及勾股定理，将不规则图形的面积转化为规则图形的面积来进行求解．先根据直角三角形中的勾股定理求得，再将求不规则的阴影部分面积转化为求规则图形的面积：，将相关量代入求解即可． 【详解】解：根据题意可知，则， 设，， ， ，即， ， 故选：D． 11．如图，是的直径，是的切线，切点为，交于点，点是的中点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了切线的判定和性质、全等三角形的判定和性质、扇形面积公式等知识． （1）证明，得到，得到，又由为的半径即可证明结论； （2）证明四边形为正方形，根据图中阴影部分的面积正方形的面积扇形的面积即可求出答案． 【详解】（1）证明：连接、，如图， 是的切线， ， ， 点是的中点，点为的中点， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ． ， ， 为的半径， 为的切线； （2）由（1）可知与是直角三角形 ∵， 则，， 四边形为正方形， 则图中阴影部分的面积正方形的面积扇形的面积． 12．如图1，在菱形中，，是的外接圆，E是上一动点，连接并延长交于M，连接并延长交于N， (1)求证：是的切线； (2)如图2，当E是中点时，求图中阴影部分面积； (3)当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接，证明是等边三角形，可得，然后根据是的外接圆，可得，从而得到，即可求证； （2）连接，设交于点F，根据垂径定理和圆周角定理可得，，从而得到，再根据图中阴影部分面积为，即可求解； （3）过点M作于点H，证明，可得，可证明，从而得到，然后在中，解直角三角形可得，，从而得到，再利用勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵是的外接圆， ∴垂直平分， ∴， ∴， 即， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：如图，连接，设交于点F， 由（1）得：是等边三角形，， ∴， ∵E是中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴图中阴影部分面积为； （3）解：如图，过点M作于点H， ∵四边形是的内接四边形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆的综合题，涉及了切线的判定，圆内接四边形的性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，垂径定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握切线的判定，圆内接四边形的性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，垂径定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键． 13．如图，已知的半径为5，都是的直径，，弦与直径相交于点F，过点E作的切线，交的延长线于P，连接． (1)求证：； (2)当时，求线段的长； (3)当四边形为菱形时，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和）． 【答案】(1)见解析 (2)8 (3) 【分析】（1）根据切线的性质和圆周角定理得到，，继而由互余关系以及等边对等角即可证明； （2）由垂径定理可得，然后由互余关系证明，则，即可求解； （3）可得为等边三角形，解求出，再由割补法求解阴影部分面积． 【详解】（1）解：∵切于点E， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即； （2）解：∵，是直径， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵四边形为菱形， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质，解直角三角形，垂径定理，等边三角形的判定与性质，菱形的性质，扇形面积公式等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 重难点四 扇形的动态问题 解决与动点运动路径有关的问题时，找准动点的运动轨迹是成功解题的关键.一般地，某动点绕一定 点以某一定长为半径旋转，动点运动的轨迹为扇形的弧 14．如图，已知所在圆的半径为5，弦的长8，点P是中点，绕点A逆时针旋转后得到，两位同学提出了相关结论： 嘉嘉：的长为；琪琪：扫过的面积为 下列论正确的是（    ） A．两人都错 B．嘉嘉对，琪琪错 C．嘉嘉错，琪琪对 D．两人都对 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，扇形面积，令所在圆的圆心为点O，连接，与相交于点Q，根据垂径定理得出，，设，则，根据勾股定理，建立方程，求出，则，即可判断嘉嘉的结论；由旋转的性质得出，再根据扇形面积公式，即可求出扫过的面积，即可判断淇淇的结论． 【详解】解：令所在圆的圆心为点O，连接，与相交于点Q， ∵点P是中点， ∴，， 设，则， 根据勾股定理可得：， 即， 解得：（舍去）， ∴， ∴，故嘉嘉对； ∵绕点A逆时针旋转后得到， ∴， ∴扫过的面积，故琪琪错； 故选：B． 15．如图，是的直径，，是上半圆的中点，是下半圆上一个动点，过点作的垂线，垂足为，则点从点运动到点的过程中，点运动的路径长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，由是上半圆的中点可得，利用勾股定理得到，由可得点在以为直径的圆上运动，点的运动轨迹为一个半圆，求出半圆的弧长即可求解，根据圆周角定理确定出点运动轨迹为一个半圆是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵是上半圆的中点， ∴， ∴， ∵是的直径，， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴点在以为直径的圆上运动， ∵点从点运动到点， ∴点的运动轨迹为一个半圆， ∴点运动的路径长是， 故选：． 16．曲柄连杆机构是发动机的主要运动机构，其功能是将活塞的往复运动转变为曲轴的旋转运动，从而驱动汽车车轮转动，其结构示意图如图所示，当活塞在汽缸内往复运动时，通过连杆带动曲轴做圆周运动．静止时，活塞处于点处，且三点共线，当活塞运动到点处时，完成一次进气过程，已知，且完成一次进气过程，扫过的扇形面积为，则完成一次进气过程中，点运动的路径长为 mm． 【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积和弧长的求法：设与交于点，完成一次进气过程，扫过的扇形为扇形，设根据扇形面积公式求出n，再根据弧长计算方法计算出弧长即可． 【详解】解：如图， 设与交于点，完成一次进气过程，扫过的扇形为扇形， 设 完成一次进气过程，扫过的扇形面积为 ，解得 ， 由题意得，完成一次进气过程，点运动的路径即为， 点运动的路径长为． 故答案为：． 17．如图，将绕点旋转得到，已知，则线段扫过的图形面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了扇形面积的计算和阴影部分的面积．由旋转可得，，进而得到，据此解答即可求解． 【详解】解：∵是绕点旋转得到的， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴线段扫过的图形面积为， 故答案为：． 18．如图，半圆的直径，弦，弦在半圆上滑动，点C从点A开始滑动，到点D与点B重合时停止滑动，若M是的中点，则在整个滑动过程中线段扫过的面积为 ． 【答案】π 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，垂径定理，图形扫过的面积等知识，确定点M的运动路径是关键．首先确定是直角三角形，可得为定长，可确定点M的运动路径即可求得结果． 【详解】解：如左图，连接， ∵M是的中点， ∴，； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； 当点C在A点时，则点D是的中点E；当点C运动到的中点E时，点D与点B重合，如右图， ∴点M的运动路径是以O为圆心，2为半径的一段，且圆心角， ∵分别是的中点， ∴， ∴， ∴扫过的阴影部分的面积等于扇形的面积， ∴扫过的面积为为：， 故答案为：． 重难点五 圆锥的有关计算 圆锥的高、底面圆的半径、母线可构成直角三角形，所以涉及圆锥高的问题，一般要通过这一直角三 角形来求解 19．如图是小雨学习时使用的圆锥形台灯灯罩的示意图，已知圆锥底面圆半径为，圆锥母线长为，则围成这个灯罩的铁皮的面积是（不考虑缝隙等因素）（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求圆锥的侧面积，解题的关键是理解扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，然后根据扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：灯罩的铁皮的面积是， 故选：A． 20．已知圆锥的底面半径为，高为，则该圆锥的侧面积为 （结果保留）． 【答案】 【分析】本题考查了扇形面积的计算，理解圆锥侧面展开图，掌握扇形面积的计算是解题的关键． 根据题意可得底面圆的周长即为扇形弧长，运用勾股定理得到母线长，运用扇形面积公式“弧长与母线长的乘积的一半”即可求解． 【详解】解：圆锥的底面半径为，高为， ∴底面圆的周长为，母线长为， ∴侧面扇形的面积为， 故答案为： ． 21．在数学实验课上，小莹将含角的直角三角尺分别以两个直角边为轴旋转一周，得到甲、乙两个圆锥，并用作图软件Geogebra画出如下示意图 小亮观察后说：“甲、乙圆锥的侧面都是由三角尺的斜边旋转得到，所以它们的侧面积相等．” 你认同小亮的说法吗？请说明理由． 【答案】不认同，理由见详解 【分析】根据圆锥的侧面面积公式进行比较即可得到答案． 【详解】解：甲圆锥的底面半径为BC，母线为AB，， 乙圆锥的底面半径为AC，母线为AB，， ∵， ∴， 故不认同小亮的说法． 【点睛】本题考查圆锥的侧面面积，解题的关键是熟知圆锥侧面面积的计算公式． 重难点六 圆锥的侧面展开图的有关计算 圆锥与其侧面展开图（扇形）常用的三个等量关系 (1)侧面展开图（扇形）的弧长=圆锥底面圆的周长 (2)侧面展开图（扇形）的面积=圆锥的侧面积： (3)侧面展开图（扇形）的半径=圆锥的母线长 22．若一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，则这个圆锥侧面展开图的圆心角等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，这个圆锥侧面展开图的圆心角为，先利用扇形的面积公式表示出圆锥的侧面积，则，所以，然后利用弧长公式得到，然后解n的方程即可． 【详解】解：设圆锥的母线长为R，底面圆的半径为r，这个圆锥侧面展开图的圆心角为， ∵圆锥的侧面积是底面积的3倍， ∴， ∴， ∵， 即 ∴， 即这个圆锥侧面展开图的圆心角等于120°． 故选：B． 23．某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径，母线．制作这种外包装需要用如图扇形材料，将扇形围成圆锥时，，恰好重合，则的大小是 ． 【答案】/度 【分析】本题考查的是求解圆锥的展开图的扇形的圆心角的大小，先求解底面圆的周长，再利用弧长公式建立方程求解圆心角即可． 【详解】解：∵圆锥的底面圆直径， ∴底面周长为：， ∵母线， ∴， 解得：， ∴， 故答案为： 24．一个水平放置的圆锥的主视图为底边长、腰长的等腰三角形，试求： (1)该圆锥的侧面积． (2)圆锥的侧面展开图的扇形的圆心角度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据圆锥的主视图为底边长、腰长的等腰三角形，可以得出圆锥底面半径为，母线长为，再用圆锥侧面积公式计算即可； （2）先计算出圆锥底面周长，圆锥侧面展开图的扇形弧长，再用弧长公式计算出圆锥的侧面展开图的扇形的圆心角度数． 【详解】（1）解：∵圆锥的主视图为底边长、腰长的等腰三角形， ∴圆锥底面半径为，母线长为， ∴， （2）圆锥侧面展开图的扇形弧长=圆锥底面周长=， ∴，解得：， ∴圆锥的侧面展开图的扇形的圆心角度数为． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，解决本题的关键是要掌握圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 重难点七 圆锥中最短路径的计算 空间距离转化到平面上来解解决与空间图形有关的最短距离问题时，可以先将空间立体图形转化为平面图形，并利用平面图形中“两点之间，线段最短”画出线段（路径），再借助勾股定理等求解 25．如图，已知点C为圆锥母线的中点，为底面圆的直径，，，一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从A点爬到C点，则蚂蚁爬行的最短路程为（    ）    A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，先根据直径求出底面周长，根据底面周长等于展开后扇形的弧长可求出圆锥的侧面展开后的圆心角，可得是等边三角形，即可求解． 【详解】解：连接，如图所示，    ∵为底面圆的直径，， 设半径为r, ∴底面周长， 设圆锥的侧面展开后的圆心角为， ∵圆锥母线， 根据底面周长等于展开后扇形的弧长可得：， 解得：， ∴， ∵半径， ∴是等边三角形， 在中，， ∴蚂蚁爬行的最短路程为， 故选：B． 【点睛】本题考查平面展开—最短路径问题，圆锥的侧面展开图是一个扇形。扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，化曲面为平面，用三角函数求解． 26．如图,已知圆锥的底面半径是2,母线长是6. （1）求这个圆锥的高和其侧面展开图中∠ABC的度数； （2）如果A是底面圆周上一点,从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点,求这根绳子的最短长度. 【答案】（1）∠ABC=120°；（2）这根绳子的最短长度是. 【分析】（1）根据勾股定理直接求出圆锥的高，再利用圆锥侧面展开图弧长与其底面周长的长度关系，求出侧面展开图中∠ABC的度数即可； （2）首先求出BD的长，再利用勾股定理求出AD以及AC的长即可． 【详解】 (1)圆锥的高= 底面圆的周长等于：2π×2=， 解得：n=120°； (2)连结AC,过B作BD⊥AC于D,则∠ABD=60°. 由AB=6，可求得BD=3， ∴AD═， AC=2AD=， 即这根绳子的最短长度是. 【点睛】此题主要考查了圆锥的计算、勾股定理、平面展开-最短路径问题．得到圆锥的底面圆的周长和扇形弧长相等是解决本题的突破点． 27．【综合与实践】 主题：制作圆锥形生日帽． 素材：一张圆形纸板、装饰彩带． 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽，       (1)现在需要制作一个，的生日帽，请帮忙计算出所需扇形纸板的圆心角度数； (2)为了使（1）中所制作的生日帽更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），求彩带长度的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数，勾股定理求最值问题，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据扇形的两个面积公式可得，再代入求解即可； （2）连接，过点P作，线段就是彩带长度的最小值，根据等腰三角形性质及解直角三角形即可求解． 【详解】（1），， ， ， 扇形纸板的圆心角度数为； （2）如图所示．连接，过点P作，线段就是彩带长度的最小值， 由（1）得， , 彩带长度的最小值为． 一、单选题 1．将如图所示的图形绕虚线所在直线旋转一周形成的几何体的侧面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆锥体，扇形的面积，勾股定理，解题的关键是掌握扇形和弧长关系的面积公式． 利用勾股定理求出圆锥体的母线，利用扇形面积和弧长关系的公式进行求解即可． 【详解】解：该图形旋转一周得到的是圆锥体， ∴由勾股定理得出圆锥体的母线长为， ∴圆锥体的侧面积为， 故选：D． 2．如图，是的外接圆， ，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，弧长公式，勾股定理，解题的关键是熟记弧长公式． 连接，圆周角定理得到，再由勾股定理求出半径，然后由弧长公式求解即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的长是：， 故选：D． 3．如图，在中，，，以为直径的交于点，若点恰好为的中点，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理及其推论、等腰三角形的判定和性质以及扇形的面积公式，证明是等腰三角形，求出的度数是解题的关键． 首先证明是等腰三角形，求出，然后根据圆周角定理求出，再利用扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：连接，如图所示， 是直径， ，即， 为的中线， 是等腰三角形， ， ， ， 半径为2， ， 故选：B． 4．如图，在圆心角为直角的扇形中，分别以、为直径作两个半圆．向直角扇形内随机取一点，则该点刚好来自阴影部分的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设扇形的半径为r，则扇形的面积为，根据将下面的阴影正好平分两部分，且这两部分绕点C旋转后正好可以与、上方的空白部分重叠，求出阴影部分的面积为：，然后求出概率即可． 【详解】解：设扇形的半径为r，则扇形的面积为，记以、为直径的两个半圆的另一个交点为，    如图，连接，，，， ∵，， ∴， ∵点C在半圆上， ∴， ∴在上，， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴将下面的阴影正好平分为两部分，且这两部分绕点C旋转后正好可以与、上方的空白部分重叠， ∴阴影部分的面积为：， ∴在扇形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为：， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了求几何概率，扇形面积的计算，等腰三角形的判定和性质，直径所对的圆周角为直角，三角形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，求出阴影部分的面积． 5．如图，在正方形中，和交于点，过点的直线交于点（不与，重合），交于点．以点为圆心，为半径的圆交直线于点，．若，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由四边形是正方形，得，，，所以，，以为圆心，为半径作弧，可得，，所以，然后通过勾股定理得，最后由即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∴，， 如图，以为圆心，为半径作弧， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，扇形面积，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 6．如图，有一圆形纸片，其圆心为，弦，将纸片沿，折叠交于点，若的半径为1，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理、解直角三角形、求弧长、圆周角定理，作于点，连接，则，解直角三角形得出，从而求出，再由圆周角定理可得，最后由阴影部分的面积计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作于点，连接， 依题意可得， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴阴影部分的面积， 故选：A． 7．如图，扇形中，点C在弧上，连接，P为中点，若，点C沿弧从点B运动到点A的过程中，点P所经过的路径长为，则的长为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了动点的运动轨迹问题，根据定弦定角确定圆所在的位置，以及等腰三角形的性质，中位线的性质，弧长公式等，熟练掌握这些公式和性质是解题的关键． 连接，易得，点P是在以点的中点D为圆心，为半径的圆上运动，再由弧长公式求出的半径，即可得出的长度． 【详解】解：连接， ， 为等腰三角形， 为中点， ， 即， 点P是在以点的中点D为圆心，为半径的圆上运动，如图所示： 当点C运动到点A的时候，点P到达点的位置， 点P所经过的路径为， 连接， 为 中点，为中点， ， ，， ， ， 即， 故选：A ． 8．如图，由四段相等的圆弧组成的双叶花，每段圆弧都是四分之一圆周，，则这朵双叶花的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了扇形面积计算，连接，根据，求出，再求出，得出，即可得出答案． 【详解】解：如图，是周长的四分之一，连接， 由题意知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 二、填空题 9．若圆锥的底面半径，高，则它的侧面展开图中扇形的圆心角是 度． 【答案】288 【分析】本题考查圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长． 首先利用勾股定理求得圆锥的母线长，从而得圆锥的底面周长，就是圆锥的侧面展开图的弧长，利用弧长公式可得圆锥侧面展开图的角度，把相关数值代入即可求解． 【详解】解：∵圆锥的底面圆半径为，圆锥高， 圆锥的母线长为， 圆锥的底面周长为， 设圆锥的侧面展开的扇形圆心角为， ， 解得． 故答案为：288． 10．如图，菱形的边长为，，弧是以点A为圆心，长为半径的弧，弧是以点B为圆心，长为半径的弧，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了扇形的面积计算，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理．连接，过点D作于点E，证明是等边三角形，可得，，从而得到，再由阴影部分的面积为，即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点D作于点E， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为 ． 故答案为：． 11．如图，在中，，以点为圆心、为半径画弧交． 于点，连接，若，则图中弧的长为 ，阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰直角三角形、平行四边形的性质、扇形的面积公式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 过点D作于点F，根据弧长公式可求出弧的长；根据等腰直角三角形的性质求得，从而求得，最后由结合扇形面积公式、平行四边形面积公式、三角形面积公式解题即可． 【详解】解：如图，过点D作于点F， ∵，， ∴是等腰直角三角形，， ∴弧的长为，，， ∴ ． 故答案为：； 12．如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD．以点F为圆心，FE长为半径画弧，恰好经过小正方形的顶点G．若AB＝5，且每个直角三角形的两直角边之和为7，则的长为 ． 【答案】 【分析】此题考查了勾股定理、弧长公式等知识．设，则，根据勾股定理求出或，根据小正方形的边长即为每个直角三角形的两直角边之差，得到正方形的边长为，利用弧长公式即可求出答案． 【详解】解：∵每个直角三角形的两直角边之和为7， ∴设，则． 在中，由勾股定理可得到， ， 解得或． 由题图可知，小正方形的边长即为每个直角三角形的两直角边之差， ∴正方形的边长为， ∴的长为 故答案为： 三、解答题 13．如图，内接于，是的直径．直线l与相切于点A，在l上取一点D使得，线段，的延长线交于点E． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积（结果保留π）． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据切线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，于是得到结论； （2）根据圆周角定理得到，根据等边三角形的性质得到，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接， ∵直线l与相切于点A， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴直线是的切线； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积 ． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键． 14．如图，在中，，，的垂直平分线交于点O，以O为圆心，为半径作． (1)求证：是⊙O的切线； (2)若的半径为4，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和π）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接．由中垂线的性质得出，由等腰三角形的性质得出．求出，则可得出答案； （2）求出，，由扇形的面积公式可得出答案． 【详解】（1）证明：如图所示，连接． 是的垂直平分线， ． 点在上． ，， ． ， ． ． 即， 是的切线． （2）解：， ． ， 在中，， ． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，线段垂直平分线的性质，扇形的面积公式，解直角三角形，熟练掌握切线的判定与性质和相关公式是解题的关键． 15．装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以为直径的半圆，如图1和图2所示，为水面截线，为台面截线，． 计算：在图1中，已知，作于点． (1)求的长． 操作：将图1中的水槽沿向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当时停止滚动．如图2．其中，半圆的中点为与半圆的切点为，连接交于点．探究：在图2中． (2)操作后水面高度下降了多少？ (3)连接并延长交于点，求线段与的长度，并比较大小． 【答案】(1) (2) (3)；， 【分析】（1）连接，利用垂径定理计算即可； （2）由切线的性质证明进而得到，利用锐角三角函数求，再与（1）中相减即可； （3）由半圆的中点为得到，得到分别求出线段与的长度，再相减比较即可． 【详解】（1）解：连接， ∵为圆心，于点，， ∴， ∵， ∴， ∴在中， ． （2）解：∵与半圆的切点为， ∴ ∵ ∴于点， ∵，， ∴， ∴操作后水面高度下降高度为： ． （3）解：∵于点， ∴， ∵半圆的中点为， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理、圆的切线的性质、求弧长和解直角三角形的知识，解答过程中根据相关性质构造直角三角形是解题关键． 16．如图，四边形内接于，为直径，过点C作于点E，连接． (1)求证：； (2)如图2，若是的切线，，，连接，判断四边形的形状并说明理由，且求出阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是菱形，理由见解析； 【分析】（1）先判断出，再用等角的余角相等，即可得出结论； （2）先判断出，再判断出，进而得出四边形是平行四边形，即可得出四边形是菱形，先求出，，再用面积的和，即可得出结论． 此题是圆的综合题，主要考查了同角的余角相等，切线的性质，菱形的判定，扇形的面积公式，判断出是解本题的关键． 【详解】（1）证明：四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ， 为的直径， ， ， ， ， ， ； （2）解：四边形是菱形， 理由如下： ， ， 是的切线， ， ， ， ， 由（1）知，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 是菱形， ， 由（1）知， ， ， ， ， 在中，， ， ， ，与围成阴影部分的面积为 ． 17．如图，是的直径，为上一点，为弧的中点，过点作于点，交过点的切线于点，交弦于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求弧的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）要证，需通过切线性质、弧中点性质以及直角三角形的角的关系，证明． （2）要求弧的长，先根据和弧中点性质得出相关弧的度数，再结合圆的半径，利用弧长公式计算． 【详解】（1）解：连接 ∵ 是的切线 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ； （2）解：连接， ∵ 为弧的中点 ∴ ∵ ， ∴， ∴ ∴ ∵ 是的直径， ∴ 的半径， ∴ 所对的圆心角 ∴弧的长为 【点睛】本题主要考查了圆的切线性质、等腰三角形性质、弧长公式等知识，熟练掌握圆的相关性质和弧长公式是解题的关键． 18．综合与实践 主题：制作圆锥形生日帽． 素材：一张圆形纸板、装饰彩带． 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽． 在制作好的生日帽中，，，C是的中点，现要从点A到点C再到点A之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数，勾股定理求最值问题，掌握以上知识是解题的关键．根据条件得出圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为，进而根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴． ∴圆锥的侧面展开后得到的扇形圆心角为，如图所示． ∴． ∵， ∴． ∴在中，由勾股定理得． ∴彩带长度的最小值为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $