第17讲 椭圆及其标准方程 讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第17讲椭圆及其标准方程 知识再现 一椭圆的定义 1、定义：平面内与两个定，点的F、E的距离之和等于常数（大于EF)的点的轨迹叫做 椭圆，这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半叫做半焦距。 2椭园定义的集合语言表示：P={MMF+MF,=2a,2a>FF,>0 3、对定义的理解：定义中条件2>F,F,>0不能少，这是根据三角形中的两边之和大于第 三边得出来的 其他形式：①当2a=FF时，其轨迹为线段FE；②当2a<FF时，其轨迹不存在 二椭圆的标准方程 1、椭圆标准方程的推导： (1)建立以经过，点F、F的直线为x轴，线段FF的垂直平分为y轴建立直角坐标系xO), 如图1. (2)椭圆可以看作是哪些，点的集合？用坐标如何表示？ 设点M(x,y)是椭圆上任一点，椭圆的焦距为2c（C>0)· 焦点F,F2的坐标分别是(-c,0),(C,0), 又设M与F,F2的距离的和等于常数2a. 由椭圆的定义，椭圆就是集合P=MIMF+MF,=2a} 因为|ME=Vx+c)2+y2,IME=Vx-c)2+y2 图1 所以Vx+c)2+y2+Vx-c2+y2=2a (3)遇到根式怎么办？两个根式在同一侧能不能直接平方？ (x+c)2+y2 =2a-v(x-c)2+y2 两边平方得(x+c)}2+y2=4a2-4aV(x-c)2+y2+(x-c)}+y2 整理得aV(x-c2+y2=a2-cx再平方并整理得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2) 画边同除以(@-c)行+y a2-c3=1 y2 畴虑a>c>0方0C>0,改说ac,洗方力 第1页共18页 2、椭圆的标准方程 类型 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 10 标准方程 x 7+6=1(a>b>0) y2 +=1(@心b>0) 焦点坐标 F(-c,0),F2(c,0) F(0,-c),F2(0,c) a,b,c的关系 a2=b2+c2 3、椭圆标准方程的求解 (1)利用待定系数法求椭圆标准方程的步骤 ①定位：确定焦点在那个坐标轴上， ②定量：依据条件及a2=b2+c2确定a,b,c的值； ③写出标准方程. (②)求精圆方程时，若设有者明焦点位置，茂所农方程为+上=10m>0,n>0,m≠： m n (3)当椭圆过两定，点时，常设椭圆方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0,且A≠B),将，点的 坐标代入，解方程组求得系数。 三点与椭圆的位置关系 1、根据椭圆的定义判断点P(x,)与椭圆的位置关系，有如下结论： MF+MF,<2a台，点P在椭圆内部； MF+MF,=2a台点P在椭圆上； ME+MF,>2a台点P在椭圆外部. 2、对于点P(x,y)与椭圆的位置关系，有如下结论： 点PK,)在精圆分台+会>1； .2 点Px)在椭圆内台之+<1： 点P,)在横圆上台9+台=西 a2 b2 第2页共18页 四椭圆的焦点三角形 1、定义：椭圆上一点与椭圆的两个焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形” 一般利用椭圆的定义、余弦定理和完全平方公式等知识，建立|AF|+|AF2|, |AF12+|AF22,|AF川AF2之间的关系，采用整体代入的方法解决焦点三角形的面积、 周长及角的有关问题.（设∠F1AF2为日） 2、两条性质 性质1：|AF|+|AF2|=2a,BF|+|BF2|=2a(两个定义) 拓展：△AF1F2的周长为AF|+|AF|+|FF2I=2a+2c △ABF1的周长为|AF+|AF2I+IBF|+IBF2|=4a 性质2：4c2=|E1F2|2=|AFI2+|AF2|2-2|AF川AF2Icos0(余弦定理). 题型一：椭圆定义 例1.如果动点M(x,川满足V2+(y-1+2+y+2=3,则点M(x,y)的轨迹是（) A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.线段 第3页共18页 例2.（多选)下列是真命题的是() A.已知定点F(-1,0),F(1,0),则满足PF+PF=√2的点P的轨迹为椭圆 B.已知定点F(-2,0),F,（2,0),则满足PF+PF,=4的，点P的轨迹为线段 C.到定点F(-3,0),F(3,0)距离相等的，点的轨迹为椭圆 D.若点P到定，点F(-4,0),F(4,0)的距离的和等于点M(5,3)到定点F(-4,0),F2(4,0)的距 离的和，则点P的轨迹为椭圆 例3F1,F2为椭圆号+号=1的两个焦点，P是椭圆上的点，PF=5,则PF=（) A.9 B.4 C.2 D.1 例4设D为脑园C:器+号=1上一点，F1,F2分别为左、右焦点，且PF引=3引PF2引， 则PF2=() A.昌 B.号 c.名 D.号 第4页共18页 变式训练 1,已知F,5分别是椭园M:+上=1的左、右焦，点，P为M上的一点，若PF=4PF, 255 则PF=() A.1 B.2 C.4 D.8 2已知椭园C:号+号=1，F,F2分别是精园C的焦点，过点F1的直线交精园C于A,B 两点，若|AB=4,则|AF2+|BF=() A.2 B.4 C.6 D.8 3.已知B,C是两个定点，BC=8,且△ABC的周长等于18，求这个三角形的项，点A的轨 迹方程. 题型二：求椭圆的标准方程 例5若椭圆焦，点在x轴上且经过，点-4,0)，焦距为6，则该椭圆的标准方程为() A后专1B后+号1c后后1 D.+1 167 168 716 第5页共18页 例6焦点在x轴上，中心为坐标原点，经这点(》0，可)则满回的标准方程为(） D.+y=1 23 4 创7过点6同L与描国号+苦-1有和同热驱的指回的标凉方程为() 1510 变式训练 1.焦点坐标为(0，-4)，(0,4)，且长半轴a=6的椭圆方程为（) A.器+品=1 R.0+需=1C.器+器=1 D 器+6=1 第6页共18页 2设精圆景+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为RF2,上项点为月.若 |BF2=|F1F2=4,则该椭圆的方程为() A.器+若=1B.器+苦=1C.器+若=1D.器+号=1 3,求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)a+c=4,a-c=2; (2)焦，点坐标为(0，-4)，(0,4，椭圆上任一，点到两个焦点的距离之和为10； ③)焦点在x轴上，a=4,且经过，点A2,V5; (④c=4,且经过，点P0,2V6) 题型三：椭圆方程的参数问题 例8若方程景+片=1表示捕圆C,则下面站论正确的是(） A.k∈(1,9) B.椭园C的焦距为2√2 C.若椭圆C的焦点在x轴上，则k∈(1,5)D.若椭圆C的焦点在x轴上，则k∈(5,9) 第7页共18页 例9.方程x2十ky2=2表示焦，点在x轴上的椭圆的一个充分但不必要条件是() A.k>0 B.1<k<2 C.k>1 D.0<k<1 变式训练 1已如36,62,4则方程号+后=1丁衣示很点在华上的不同横回的个数为 () A.9 B.8 C.7 D.6 2已知方程寸-1衣示根点在y轴上的箱园，剥实数k的取位范周为（) Γk+5'3-k A.(-5,3) B.(-5,-1) C.(-1,3) D.(3,+0) 题型四：，点与椭圆的位置关系 @10.已知橘圆C+a>b>0的焦点为，B,点P满足PP+PF>2a,则( A.点P在椭圆C外 B.点P在椭圆C内 C.点P在椭圆C上 D,点P与椭圆C的位置关系不能确定 第8页共18页 例11点1,1)与椭圆x+y =1的位置关系为() 259 A.点在椭圆上B.点在椭圆内 C.,点在椭圆外 D.不确定 图巴（多道）点4，在茄园+1的内部，则a的值可以是( A.√2 B.-1 C.1 D.√2 变式训练 1.(多递)已知直线1：mr+m心=4与园0：2+y=4相切，椭圆C:二+上=1，则（） 95 A.,点P(m,n)在圆O内 B.,点P(m,m)在圆O上 C.点P(m,n)在椭圆C内 D.点P(m,n)在椭圆C上 第9页共18页 2若点(32)在箱圆号+若=1上，则下列税法正倚的是（) 3 A.,点-3，-2)不在椭圆上 B.点3，-2)不在椭圆上 C.点(-3,2)在椭圆上 D.无法判断上述，点与椭圆的关系 题型五：椭圆的焦点三角形问题 例13，经过諧圆C:二+广=1的左焦点的直线交精圆C于4,8两点，5是精圆C的右焦点， 3616 则△ABF的周长为() A.24 B.12 C.36 D.48 第10页共18页 第17讲 椭圆及其标准方程 知识再现 一 椭圆的定义 1、定义：平面内与两个定点的、的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半叫做半焦距． 2、椭圆定义的集合语言表示： 3、对定义的理解：定义中条件不能少，这是根据三角形中的两边之和大于第三边得出来的． 其他形式：①当时，其轨迹为线段； ②当时，其轨迹不存在． 二 椭圆的标准方程 1、椭圆标准方程的推导： （1）建立以经过点、的直线为轴，线段的垂直平分为y轴建立直角坐标系，如图1． （2）椭圆可以看作是哪些点的集合？用坐标如何表示？ 设点是椭圆上任一点，椭圆的焦距为（＞0）.图1 焦点的坐标分别是， 又设M与的距离的和等于常数． 由椭圆的定义，椭圆就是集合P={M|} 因为， 所以 （3）遇到根式怎么办？两个根式在同一侧能不能直接平方？ 即 两边平方得 整理得 再平方并整理得 两边同除以得 考虑,应有，故设，就有． 2、椭圆的标准方程 3、椭圆标准方程的求解 （1）利用待定系数法求椭圆标准方程的步骤 ①定位：确定焦点在那个坐标轴上； ②定量：依据条件及确定的值； ③写出标准方程． （2） 求椭圆方程时，若没有指明焦点位置，设所求方程为； （3）当椭圆过两定点时，常设椭圆方程为，将点的坐标代入，解方程组求得系数． 三 点与椭圆的位置关系 1、根据椭圆的定义判断点与椭圆的位置关系，有如下结论： 点P在椭圆内部； 点P在椭圆上； 点P在椭圆外部． 2、对于点与椭圆的位置关系，有如下结论： 点在椭圆外； 点在椭圆内； 点在椭圆上； 四 椭圆的焦点三角形 1、定义：椭圆上一点与椭圆的两个焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”． 一般利用椭圆的定义、余弦定理和完全平方公式等知识，建立，，之间的关系，采用整体代入的方法解决焦点三角形的面积、周长及角的有关问题．（设为） 2、两条性质 性质1：，（两个定义） 拓展：的周长为 的周长为 性质2：（余弦定理）． 题型一：椭圆定义 例1.如果动点满足，则点的轨迹是（   ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．线段 【答案】D 【解析】方程表示 动点到定点的距离与它到定点的距离之和为3， 即， 所以点M的轨迹是线段．故选：D 例2.（多选）下列是真命题的是（    ） A．已知定点，则满足的点的轨迹为椭圆 B．已知定点，则满足的点的轨迹为线段 C．到定点距离相等的点的轨迹为椭圆 D．若点到定点的距离的和等于点到定点的距离的和，则点的轨迹为椭圆 【答案】BD 【解析】对于A，，根据椭圆定义，点的轨迹不存在，故A错误； 对于B，点的轨迹为线段，故B正确； 对于C，到定点距离相等的点的轨迹为线段的垂直平分线，故错误； 对于D，到定点的距离的和为，所以点的轨迹为椭圆，故D正确．故选：BD. 例3.，为椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且，则（    ） A．9 B．4 C．2 D．1 解析：椭圆中，，，为椭圆的两个焦点， ⸫，又，⸫故选：A. 例4.设P为椭圆C：上一点，，分别为左、右焦点，且，则（    ） A． B． C． D． 解析：根据P为椭圆C：上一点，则有， 又，所以，故选：B. 变式训练 1.已知分别是椭圆的左、右焦点，为上的一点，若，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【解析】因为，则，由椭圆的定义可知：， 又因为，解得：.故选：B. 2.已知椭圆，分别是椭圆C的焦点，过点的直线交椭圆C于A，B两点，若，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 解析：设椭圆的长半轴为，则， 由椭圆定义可得，，又， 所以.故选：D. 3.已知B，C是两个定点，，且的周长等于18．求这个三角形的顶点A的轨迹方程． 【答案】 解析：以过B，C两点的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，如图所示．    由，可知点．由的周长等于18．得， 因此，点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，但点A不在x轴上． 设椭圆的长轴长，短轴长，焦距分别为，则这个椭圆上的点与两焦点的距离之和， ，得，所以动点A的轨迹方程是. 题型二：求椭圆的标准方程 例5.若椭圆焦点在轴上且经过点，焦距为6，则该椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得椭圆焦点在轴上且经过点，焦距为6， 所以，，则，，椭圆的标准方程为.故选：B. 例6.焦点在x轴上，中心为坐标原点，经过点,.则椭圆的标准方程为（    ） A． B．1 C． D．1 【答案】A 【解析】由于椭圆焦点在x轴上，且经过点，所以， 设椭圆方程为，将代入椭圆可得，解得， 所以椭圆方程为，故选：A 例7.过点且与椭圆有相同焦距的椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【解析】由椭圆方程得两焦点坐标为，焦距为， 当所求椭圆的焦点在轴上时，设其标准方程为， 所以①， 又椭圆经过点，所以②， 联立①②解得，故所求椭圆的标准方程为. 当所求椭圆的焦点在轴上时，设其标准方程为， 所以③， 又椭圆经过点，所以④，联立③④解得， 故所求椭圆的标准方程为. 综上，所求椭圆的标准方程为或.故选：D. 变式训练 1.焦点坐标为，（0，4），且长半轴的椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 解析：因为，所以，而焦点在轴上，所以椭圆方程为． 故选：B． 2.设椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为B．若，则该椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 解析：由椭圆的几何性质，因为，可得， 所以，，则，所以椭圆的方程为.故选：A. 3，求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)，； (2)焦点坐标为，，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为10； (3)焦点在x轴上，，且经过点； (4)，且经过点. 【答案】(1)或(2)(3)(4)或 解析：（1）由题意，联立，解得： ， 则由椭圆的性质得：， 所以当椭圆的焦点落在轴上时，椭圆的标准方程为：； 当椭圆的焦点落在轴上时，椭圆的标准方程为：， 故椭圆的标准方程为：或. （2）由题意可得，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为，即， 又椭圆的两个焦点坐标为，，则，且焦点落在轴上， 所以由椭圆的性质得：， 故椭圆的标准方程为：. （3）因为椭圆的焦点在轴上，且， 所以可设椭圆的标准方程为， 又因为椭圆经过点， 所以，解得：， 故椭圆的标准方程为：. （4）因为，由椭圆的性质得，则， 所以可设椭圆的标准方程为或 又因为椭圆经过点， 所以或，解得：或， 所以，当时，椭圆的焦点落在轴上，此时椭圆的标准方程为：； 当时，椭圆的焦点落在轴上，此时椭圆的标准方程为：， 故椭圆的标准方程为：或. 题型三：椭圆方程的参数问题 例8.若方程表示椭圆，则下面结论正确的是（    ） A． B．椭圆的焦距为 C．若椭圆的焦点在轴上，则 D．若椭圆的焦点在轴上，则 解析：因方程表示椭圆，则有，，且，即，A错误； 焦点在轴上时，，解得，D错误，C正确； 焦点在轴上时，则，焦点在轴上时，，B错误. 故选：C. 例9.方程表示焦点在轴上的椭圆的一个充分但不必要条件是（    ） A． B． C． D． 解析：方程可变形为，表示焦点在轴上的椭圆，则有，解得.易知当时，，当时未必有， 所以是的充分但不必要条件.故选：B. 变式训练 1.已知,则方程可表示焦点在轴上的不同椭圆的个数为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】C 【解析】由题意可知，则有如下， ，共7种情况.故选：C 2.已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意,要使方程表示焦点在轴上的椭圆, 需满足，解得.故选：B. 题型四：点与椭圆的位置关系 例10.已知椭圆的焦点为，点满足，则（    ） A．点在椭圆外 B．点在椭圆内 C．点在椭圆上 D．点与椭圆的位置关系不能确定 【答案】A 【解析】若在椭圆上，则， ，点在椭圆外.故选：A. 例11.点与椭圆的位置关系为（    ） A．点在椭圆上 B．点在椭圆内 C．点在椭圆外 D．不确定 【答案】B 【解析】由于，所以在内，故选：B 例12.（多选）点在椭圆的内部，则的值可以是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】BC 【解析】由题意知，解得．故选：BC 变式训练 1.（多选）已知直线与圆相切，椭圆，则（    ） A．点在圆O内 B．点在圆O上 C．点在椭圆C内 D．点在椭圆C上 【答案】BC 【解析】由直线与圆相切，可知，圆心到直线的距离， 即，所以点在圆O上， 并且，所以圆在椭圆内，在椭圆内.故选：BC 2.若点在椭圆上，则下列说法正确的是（    ） A．点不在椭圆上 B．点不在椭圆上 C．点在椭圆上 D．无法判断上述点与椭圆的关系 【答案】C 【解析】点与点关于原点对称，点与关于轴对称， 点与关于轴对称，若点在椭圆上， 根据椭圆的对称性，，，三点都在椭圆上，故选：C 题型五：椭圆的焦点三角形问题 例13.经过椭圆的左焦点的直线交椭圆于两点，是椭圆的右焦点，则的周长为（    ） A．24 B．12 C．36 D．48 【答案】A 【解析】因为， 所以的周长为24．故选：A. 例14.设是椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，且，则的面积为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】B 【解析】由可得：， 则椭圆得长轴长为， ，可设，， 由题意可知，，，， ，△是直角三角形， 其面积．故选：B． 例15.设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【解析】因为椭圆，所以， 又因为，所以，即， 设，则①，且②， 由①②得到，即，所以，故选：B. 例16.已知椭圆的两个焦点，，点在椭圆上，且，则 ． 【答案】40 【解析】由题意可得， 在中，，由余弦定理， 得， 得，得， 所以．，故答案为：40． 变式训练 1.已知椭圆的左､右焦点分别为，点在椭圆上，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 解析：由，得，即， 所以，即. 由椭圆的定义知，, 所以的周长为. 故选：B. 2.已知，为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且，则的面积为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】B 解析：由椭圆可知， 故，结合， 可得，而， 故为等腰三角形，其面积为，故选：B 3.已知点为椭圆左右焦点，点P为椭圆C上的动点，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 解析：椭圆的焦点，设， ，所以， 由于，，所以的取值范围为.故选：A 4.（多选），是椭圆的两个焦点，A是椭圆上一点，是直角三角形，则的面积为（    ） A．9 B． C． D． 【答案】AB 解析：由得，不妨，，则， 当时，则 ①平方减去②得，∴， 当 (或者)时，，令，则，解得， 则，.故选：AB. 5.如图所示，已知椭圆的方程为，若点为椭圆上的点，且，求的面积．    【答案】 解析：由已知，得， 则，， 在中，由余弦定理，得， 所以， 由，得， 所以，化简解得， 所以的面积为 题型六：利用定义解决最值问题 例17.（多选）已知点为椭圆C：的左焦点，点P为C上的任意一点，点的坐标为，则下列正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最大值为7 C．的最小值为 D．的最大值为1 【答案】ABD 解析：依题意，，所以， 的最小值，即是的长，当点在位置时取到， 所以的最小值为，故A正确； 设椭圆的右焦点为，所以， 则当点在位置时取到最大值， 所以的最大值为，故B正确； 的最小值当在位置时取到， 即的最小值为，故C错误； 由， 则当点在位置时取到最大值， 所以的最大值为，故D正确.故选:ABD    例18．已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上任意一点，为圆：上任意一点，则的最小值为 . 【答案】 解析：由题意知为椭圆上任意一点，为圆：上任意一点，故，    故，当且仅当共线时取等号， 所以 ， 当且仅当共线时取等号， 而, 故的最小值为，故答案为： 例19．设是椭圆的左焦点，P为椭圆上任一点，点Q的坐标为，则的最大值为 . 【答案】11 解析：由题意可得，，所以, 因为，所以; 因为，所以.故答案为：11.    例20．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：上任意一点，则的最小值为 . 【答案】/ 解析：由题意椭圆C：，M为椭圆C上任意一， N为圆E：上任意一点，    故，当且仅当共线时等号成立， 故， 当且仅当共线时等号成立，而，故， 即的最小值为，故答案为： 变式训练 1．已知椭圆C：，，为椭圆的左右焦点．若点P是椭圆上的一个动点，点A的坐标为（2，1），则的范围为 ． 【答案】 解析：由椭圆标准方程可知， 又点P在椭圆上，根据椭圆定义可得，所以 所以 易知，当且仅当三点共线时等号成立； 又，所以； 即的范围为.故答案为： 2．椭圆，是左、右焦点，点，点为椭圆上一动点，则的最大值为 ，最小值为 ． 【答案】 / / 解析：椭圆，∴，∴. 如图所示，点在椭圆内部， ∵点为椭圆上的点，则，∴， ∵，又，∴， 即.故答案为：；    3．已知､是椭圆内的点，是椭圆上的动点，则的最大值为 ；最小值为 . 【答案】 / / 解析：由题意可得为椭圆右焦点，设左焦点为，在椭圆内， 则由椭圆定义， 于是. 当不在直线与椭圆交点上时，､､三点构成三角形， 于是， 而当在直线与椭圆交点上时， 在第一象限交点时，有， 在第三象限交点时有. 显然当在直线与椭圆第一象限交点时，有最小值，其最小值为 ； 当在直线与椭圆第三象限交点时，有最大值，其最大值为 . 故答案为：，.    题型七：与椭圆有关的轨迹问题 例21.已知三角形的周长为，且，，则顶点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为、，所以， 又因为的周长为，得， 由椭圆的定义可知：顶点的轨迹是一个以为焦点的椭圆的一部分， 且椭圆中， ，，即， 椭圆方程为， 因为时，三点共线，不能构成三角形． 顶点的轨迹方程为，故选：C． 例22.已知动圆M和圆：内切，并和圆：外切，则动圆圆心M的轨迹是（    ） A．直线 B．圆 C．焦点在轴上的椭圆 D．焦点在轴上的椭圆 【答案】C 【解析】设动圆的圆心的坐标为，半径为， 因为动圆与圆：内切，且与圆：外切， 可得， 所以, 根据椭圆的定义知，动点的轨迹是以为焦点的椭圆，且， 可得，则， 所以动点的轨迹方程为. 所以其轨迹为焦点在轴上的椭圆.故选：C. 例23.已知圆，定点为，M为圆C上一动点，点P是线段的中点，点N在上，点N不在x轴上，且满足，则点N的轨迹方程为 . 【答案】 【解析】根据已知得是的垂直平分线，则， 圆的圆心，半径为， 则， 因此点N的轨迹是以点为焦点，长轴长为的椭圆， 其中， 故点N的轨迹方程是．故答案为：． 例24.已知M为椭圆上的动点，过点M作x轴的垂线，D为垂足，点P满足，求动点P的轨迹E的方程（当点M经过椭圆与x轴的交点时，规定点P与点M重合．） 【答案】 【解析】由题意设，则，， 所以， 又因为，所以，解得， 由规定可知， 所以，即动点P的轨迹E的方程为. 变式训练 1.古希腊后期的数学家帕普斯在他的《数学汇编》中探讨了圆锥曲线的焦点和准线的性质：平面内到一定点和定直线的距离成一定比例的所有点的轨迹是一圆锥曲线．这就是圆锥曲线的第二定义或称为统一定义．若平面内一动点到定点和到定直线的距离之比是，则点的轨迹为（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】B 解：由题意得，整理得：， 所以点的轨迹为椭圆．故选：B． 2.已知是圆内异于圆心的一定点，动点满足：在圆上存在唯一点，使得，则的轨迹是（    ） A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 【答案】C 解析：，，点轨迹是以为直径的圆， 又在圆上且唯一，以为直径的圆与圆相内切， 设中点为，圆半径为， 由两圆内切且点在圆内可得：，， 点轨迹是以为焦点，为长轴长的椭圆， 以所在轴为轴，中点为坐标原点，可建立如图所示平面直角坐标系， 不妨设，，点轨迹为， 设，， 则，，点轨迹为椭圆. 故选：C. 3.如图，已知定圆A的半径为4，B是圆A内一个定点，且，P是圆上任意一点.线段BP的垂直平分线l和半径AP相交于点Q，当点P在圆上运动时，则点Q的轨迹是（    ）    A．面积为的圆 B．面积为的圆 C．离心率为的椭圆 D．离心率为的椭圆 【答案】D 解析：连接，因为线段BP的垂直平分线l和半径AP相交于点Q， 所以，因为， 所以， 所以点的轨迹是以为焦点，4为长轴长，焦距为2的椭圆， 所以椭圆的离心率为，故选：D    4.在中，已知点和点．若边，且满足，求顶点的轨迹方程． 【答案】 解析：根据正弦定理由， 所以顶点的轨迹是以和点为焦点的椭圆， 因此半焦距为，半长轴长为，所以半短轴长为， 所以该椭圆的方程为，设，点是三角形的顶点，所以 又因为，所以， 所以顶点的轨迹方程为.    5.如图，在圆上任取一点，过点向轴作垂线段，为垂足，求线段PD的中点M的轨迹方程.    【答案】 解析：设点M的坐标为，点P的坐标为， 则，. 因为点在圆上，所以. 把，代入上述方程，得. 即所求轨迹方程为. 点M的轨迹是长轴长为6，短轴长为3的椭圆. 第 1 页 共 24 页 学科网（北京）股份有限公司 $