15.1 图形的轴对称（高效学习手册）-【名师学案】2025-2026学年新教材八年级上册数学分层进阶学习法（人教版2024）

第十五章 轴对称 15.1图形的轴对称 15.1.1 轴对称及其性质 名师讲坛 堂清练习 1.下列图形不是轴对称图形的是 01要点领悟 1.轴对称图形：(1)对称轴是一条 直线，而不是射线或线段； (2)一个轴对称图形的对称轴 2.【新课标·传统文化】书法是我国特有的优秀传 可以有一条，也可以有多条，还 可以有无数条. 统文化，其中篆书具有象形特征，充满美感.下列 2.理解成轴对称的定义应抓住以 “福”字的四种篆书图案中，可以看作轴对称图形 下三点： 的是 (1)两个图形；(2)一条直线； (3)一个图形沿着这条直线折 菌福 聊 叠后和另一个图形完全重合. 对称轴 A B 3.正方形的对称轴有 一个图形 另 一个图形 A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 两个图形成轴对称 4.如图，Rt△ABC关于直线MN 02方法技巧 的对称点分别为A',B,C',其中 轴对称的图形的判断方法：可以 ∠A=90°，AB=6cm,AC= 先试着画对称轴，通过观察对称 8cm,B'C=10cm,则BC= 轴两旁的部分能否互相重合来判 cm,A'C= 定，找对称轴时要多角度观察图 cm,S△A'B'c'= cm2, 形和对折图形. 5.如图，四边形ABCD与四边形EFGH关于直线 03典例导学 MN对称，∠B=125°，∠A+∠D=155°，AB= 【例】如图，在2×2 3 cm,EH=4 cm 的正方形格纸中，有 (1)EF= cm,AD=cm; 一个以格点为顶点 (2)∠G的度数为 的△ABC,在格纸中 (3)连接BF,线段BF与直线MN有什么关系？ 能画出与△ABC成轴对称且也 以格点为顶点的三角形（不包括 △ABC本身)，这样的三角形共 有 个 15 15.1.2线段的垂直平分线 第1课时 线段的垂直平分线的性质和判定 名师讲坛 堂清练习 1.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AC于点 01要点领悟 P.已知PA=5,则线段PB的长度为 () 1.线段的垂直平分线必须满足两 A.8 B.7 C.6 D.5 个条件：(1)经过这条线段的中 点；(2)垂直于这条线段，两者 缺一不可. 2.线段的垂直平分线是直线 E D 第1题图 第2题图 第3题图 3.线段的垂直平分线的性质拓 展：三角形三边的垂直平分线 2.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE交AC 相交于一点，这点到三角形三 于D.如果AC=5cm,BC=4cm,那么△DBC的 个顶点的距离相等. 周长是 02方法技巧 A.6 cm B.7 cm C.8 cm D.9 cm 线段的垂直平分线的性质和 3.下列各命题的逆命题不成立的是 ( 判定的应用主要以三角形或四边 A.两直线平行，同旁内角互补 形为背景，结合三角形重要线段 B.若两个数的绝对值相等，则这两个数也相等 考查，解题时需要应用线段的垂 C.对顶角相等 直平分线的性质等量代换。 D.如果a2=b,那么a=b 03典例导学 4.命题“全等三角形的对应边相等”的逆命题是 【例】如图，△ABC中，边AB,BC 的垂直平分线交点P,求证：点P ,此逆命题是 在边AC的垂直平分线上. 命题.（填“真”或“假”） 5.如图，在△ABC中，AB>AC,AB=8,BC的垂直 平分线DE分别交AB,BC于点E和点D, △AEC的周长为13，求AC的长. 16 第2课时 作轴对称的图形的对称轴 名师讲坛 堂清练习 1.如图，长方形是轴对称图形，对称轴可以是() 01要点领悟 A.ti B.l2 C.ls D.l 作对称轴的依据：如果一个图形 是轴对称图形或两个图形成轴对 称，其对称轴就是 的垂直平分线： 02方法技巧 第1题图 第2题图 第3题图 作对称轴的方法： 2.如图，根据尺规作图的痕迹，可判断AD一定为 (1)利用“对应点所连的线段 △ABC的 () 被对称轴垂直平分”画对称轴； A.角平分线 B.中线 C.高线 D.无法确定 3.如图，正五边形ABCDE是轴对称图形，连接 BE,作BE的 1,则直线1是正五 (2)利用“不平行的对应线段 边形ABCEE的对称轴. 所在直线相交，且交点在对称轴 上”画对称轴。 4.如图，下列三个图形都关于某条直线对称，请仅 03易错警示 用无刻度的直尺画出它们的对称轴 易错点角平分线和线段垂直平 分线性质混淆 【例】如图，某地为了促进旅游业 的发展，打算在AB,BC两条公路 之间修建一个临时服务点P,要 求这个服务点到两条公路的距离 5.如图，直线m表示一条公路，A,B表示两所大学， 相等，且到M,N两个景区的距离 也相等，请你帮忙找出服务点P 要在公路旁修建一个车站P使其到两所大学的 的位置.（保留作图痕迹即可） 距离相等，请在图上找出这点P A。 •B 17【典例导学】 解：图略.ASA 【堂清练习】 1.C2.①②③3.解：图略.4.解：图略.5.解：图略. 第5课时利用“H”判定两个直角三角形全等 【典例导学】 证明：：DE⊥AC,BF⊥AC,.△ABF,△CDE都是直角三角形.：AE=CF, +EP三CF+EP,即AP=CE,在R△ABF和R△CDE中，AB-CD, △ABF≌Rt△CDE(HL)..∠C=∠A,.AB∥CD 【堂清练习】 1.C2.C3.全等HL4.证明：(1).AD为△ABC的高，.△BDF和 △ADC都为直角三角形.在R△BDF和R1△ADC中，BF=CA,:R△BDF DF=DC, ≌Rt△ADC:(2):Rt△BDF≌Rt△ADC,∠DBF=∠DAC.:∠DAC+∠C =90°，.∠DBF+∠C=90°...∠BEC=90°..∴.BE⊥AC 14.3角的平分线 第1课时角的平分线的作法和性质 【典例导学】 14 【堂清练习】 1.22.122.5°3.解：图略.4.证明：AD平分∠BAC,DE⊥AB,∠C= 90°，∴.DE=DC,∠DEB=∠C=90°.在Rt△BDE和Rt△FDC中， IDB=DF:.Rt△BDE≌R△FDC(HL.FC=BE, DE-CD, 第2课时角的平分线的判定 【典例导学】 证明：：D是BC的中点，∴.BD=CD.·DE⊥AB,DF⊥AC,.∠BED=∠CFD ∠B=∠C, =90°.在△BDE和△CDF中， ∠BED=∠CFD,..△BDE≌△CDF(AAS).,. BD=CD, DE=DF.又.DE⊥AB,DF⊥AC,∴.AD平分∠BAC 【堂清练习】 1.C2.33.①②③4.35.解：图略， 第十五章 轴对称 15.1图形的轴对称 15.1.1轴对称及其性质 【典例导学】 3 【堂清练习】 1.D2.C3.D4.108245.(1)34(2)80°(3)解：直线MN垂直平 分线段BF」 15.1.2线段的垂直平分线 第1课时线段的垂直平分线的性质和判定 【典例导学】 证明：.点P在边AB的垂直平分线上，∴.PA=PB..点P在边BC的垂直平 分线上，.PB=PC.∴.PA=PC..点P在边AC的垂直平分线上 【堂清练习】 1.D2.D3.C4.对应边分别相等的两个三角形全等真5.解：DE垂 直平分BC,.BE=CE.△AEC的周长为13，.AC+AE+CE=AC+AE+ BE=AC+AB,..13=8+AC..AC=5. 第2课时作轴对称的图形的对称轴 【要点领悟】 任何一对对应点所连线段 【易错警示】 解：图略. 【堂清练习】 1.D2.B3.垂直平分线4.解：如图所示.5.解：如图，点P即为所求 离 第4题图 第5题图 15.2画轴对称的图形 第1课时画轴对称的图形 【要点领悟】 2.(1)每一点都是原图形上的某一点关于对称轴1的对称点(2)垂直平分 【易错警示】 解：如图所示.（答案不唯一） 【堂清练习】 1.C 2.B 3.(1)M,P,N (2)G,H,I GM DM HP EP IN FN (3)GH GI HI4.解：图略， 第2课时用坐标表示轴对称 【典例导学】 解：点A(a十b,b-2)与点B(⑤，一1)关于x轴对称，6-2=1，解得 a=2.（a-b)25=(2-3)25=-1. 1b=3. 【堂清练习】 1.A2.A3.B4.C5.-66.解：图略 15.3等腰三角形 15.3.1等腰三角形 第1课时等腰三角形的性质 【易错警示】 76°或40°70°或40 【堂清练习】 1.B2.D3.A4.2070°5.75°6.解：：AB=AD,∠BAD=20°，∴.∠B =∠ADB=180°∠BAD=80.:AD=CD,:∠DAC=∠C又：∠ADB= 2 ∠DAC+∠C=80°，∴.2∠C=80°.解得∠C=40°. 第2课时等腰三角形的判定 【典例导学】 78 【堂清练习】 1.B2.等腰3.124.等腰4cm5.246.等边对等角∠2∠B∠2 等角对等边 15.3.2等边三角形 第1课时等边三角形的性质与判定 【典例导学】 C 【堂清练习】 1.D2.B3.30°4.证明：：△ABO是等边三角形，∴.∠A=∠B=∠AOB= 60°.CD∥AB,∠D=∠B=60°，∠C=∠A=60°.又∠AOB=∠COD=60°， ∴.∠D=∠C=∠COD=60°.△OCD是等边三角形. 第2课时含30°角的直角三角形的性质 【典例导学】 8 【堂清练习】 1.D2.B3.C4.25cm25.解：CD是△ABC的高，.∠BDC=90°.