第13章 三角形 学业质量评价-【名师学案】2025-2026学年新教材八年级上册数学分层进阶学习法（人教版2024）

888 ●●C ●●C 八年级数学·上册 ●●● ●●● ●●● 00● 第十三章学业质量评价 000 ●●0 ●●● 时间：120分钟 满分：120分 ●●● ●●● ●●● ●●0 ●●● 题号 二 三 合计 ●●0 ●●● ●●● 得分 ●●● ●●● ●●● ●●0 ●●Q 、选择题（每小题3分，共30分） 1.我国建造的港珠澳大桥全长55公里，集桥、岛、隧于一体，是世 界上最长的跨海大桥.如图，这是港珠澳大桥中的斜拉索大桥，那么 你能推断出斜拉索大桥中运用的数学原理是 A.三角形的不稳定性 B.三角形的稳定性 C.四边形的不稳定性 D.四边形的稳定性 2.下列各组数中，不可能成为一个三角形的三边长的是 A.2,3,4 B.2,5,7 C.4,5,8 D.6,8,10 3.如图，△ABC中BC边上的高是 ( A.AE B.BD C.BE D.CF D 第3题图 第4题图 4.课堂上，老师把教学用的两块三角板叠放在一起，得到如图所示 的图形，其中三角形的个数为 () ●●● ●●● ●●● A.2 B.3 C.5 D.6 ●●● ●●● ●●● ●●● 5.满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是 ●●● ●●● ●●● A.∠A+∠B=∠C B.∠A-∠B=∠C ●●● ●●● ●●● C.∠A:∠B:∠C=1：2:3 D.∠A=∠B=3∠C o●a ●●0 ●●● 6.过某个多边形一个顶点的所有对角线，将此多边形分成7个三 ●●0 e●d ●●a ●●0 角形，则此多边形的边数为 () ●●0 ●●0 ●●0 A.10 B.9 C.8 D.7 第十三章第1页（共6页） 7.如图，在锐角三角形ABC中，CD,BE分别是 AB,AC边上的高，且CD,BE相交于点P.若∠A =50°，则∠BPC的度数是 ( A.50 B.90° C.100° D.130° 8.如图，在5×4的方格纸中，每个小正方形的边长为1，点O,A,B 在方格纸的交点（格点）上.建立如图所示的平面直角坐标系，在 第四象限内的格点中找点C,使△ABC的面积为3，则这样的点 C共有 () A.4个 B.5个 C.2个 D.3个 9.如图，∠ACB=90°，CD LAB于D,下列结论错误的是() A.图中有三个直角三角形 B.∠BCD=∠A C.∠ACD=∠BCD D.∠ACD和∠B都是∠A的余角 VA A D 第8题图 第9题图 第10题图 10.如图，∠ABD和∠ACD的平分线相交于点P,若∠A=48°， ∠D=10°，则∠P的度数是 () A.19 B.20° C.22° D.25° 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.如图，∠ACD是△ABC的外角，若∠ACD=110°，∠A=60°，则 ∠B等于 第11题图 第12题图 第13题图 12.如图，已知BD是△ABC的中线，点E是BC的中点，△ABC 的面积是6cm,则△BDE的面积是 13.如图，这是叠放在一起的两张长方形卡片，图中有∠1，∠2， ∠3，则其中一定相等的是 14.已知等腰三角形的一边为6cm,另一边为7cm,则它的周长为 15.已知AD是△ABC的高，且∠ACD=30°，∠ABD=40°，则 ∠BAC= 第十三章第2页（共6页） 三、解答题（共75分）】 16.(6分)在△ABC中，BC=8,AB=1. (1)若AC的长是整数，求AC的长； (2)已知BD是△ABC的中线，则△BCD与△ABD的周长之 差是多少？ 17.(6分)如图，在△ABC中. (1)画出BC边上的高AD和中线AE; (2)若∠B=30°，∠ACB=130°，求∠BAD和∠CAD的度数. 18.(6分)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CE⊥AB,F为边BC 上一点，连接AF,交CE于点G,∠CGF=∠CFG. 求证：AF平分∠BAC. 第十三章第3页（共6页） 19.(8分)如图，经测量，B处在A处的南偏西57°的方向，C处在A 处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东82°方向，求∠C的 度数. 北↑D 南 20.(8分)如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1=∠2，∠3 ∠4，∠BAC=120°，求∠DAC的度数. 44 21.(8分)如图，在△ABC中，AE是角平分线，AD是高，∠C 40°，∠B=70°，DF⊥AE,垂足为F. (1)求∠CAE的度数； (2)求∠ADF的度数. B DE 2 第十三章第4页（共6页） 22.(10分)在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的3倍， 这样的三角形我们称之为“三倍角三角形”.例如，三个内角分 别为120°，40°，20°的三角形是“三倍角三角形”. (1)△ABC中，∠A=35°，∠B=40°，△ABC是“三倍角三角形” 吗？为什么？ (2)若△ABC是“三倍角三角形”，且∠B=30°，求△ABC中最 小内角的度数、 23.(11分)(1)如图，在三角形纸片ABC中，∠A=64°，∠B=76°， 将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内部，折痕为MN.如 果∠1=17°，求∠2的度数； (2)小明在(1)的解题过程中发现∠1+∠2=2∠C,小明的这个 发现对任意的三角形都成立吗？请说明理由， 第十三章第5页（共6页） 24.(12分)【建立模型】如图1，在∠A内部有一点P,连接BP、 CP,求证：∠P=∠1+∠A+∠2； 【尝试应用】如图2，利用上面的结论，直接写出五角星中，∠A +∠B+∠C+∠D+∠E= 度； 【拓展创新】如图3，将五角星截去一个角后多出一个角，求∠A +∠B+∠C+∠D+∠E+∠G的度数； 【提升思维】如图4，将五角星的每个角都截去，则一共得到10 个角，则这10个角的和∠A十∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+ ∠G+∠H+∠I+∠J的度数是 度 灯黄好 第十三章第6页（共6页）242.2(2a+b+2b+a)=78,即a2+b2=121,a+b=13..(a+b)2-2ab=a2+ b,∴.ab=24...空白部分的面积为5ab=120.答：图中空白部分的面积为120 cm.19.解：(1)x2+2y-2xy+4y+4=0,x2-2xy+y+y+4y+4=0.(x -y)2+(y+2)2=0..x-y=0,y十2=0，解得x=-2,y=-2;(2).a2+b= 10a+8b-41,..a2-10a+25+b2-8b+16=0,即(a-5)2+(b-4)2=0.a-5= 0,b-4=0.解得a=5,b=4.:c是△ABC中最长的边，.5≤c<9. 期末复习（四）分式 重难点突破 【例A【例2】原式-t》-当m=2 m (m+1)2 时，原式=安【例30 对点训练 1C2.C3A4.-35.6解：原式=a+Da,)4a-0: 1 a-1 a-1-1_a2-1-4a+5.a(a-1D-a-2).aa-=a(a-2)=d2-2a:a a(a-1) a-1 a-21 a-1 a-2 ≠0，且a≠1且a≠2，∴.a=-2.当a=-2时，原式=a2-2a=(-2)2-2×(- 2)=8.7.a<1且a≠08.解：(1)150(2)他不能在上课前赶回学校，理由如 下：由(1)得，小刚跑步的平均速度为150米/分，则小刚跑步所用时间为1800： 150=12(分)，骑自行车所用时间为12一4.5=7.5（分）.在家取作业本和取自 行车共用了3分钟，∴.小刚从开始跑步回家到赶回学校需要12十7.5+3=22.5 (分).22.5>20，.小刚不能在上课前赶回学校. 备考集训 1.D2.D3.C4.B5.D6.A7.B8.C9110.5L2 2号15214空+0=615.1：原式=2yy-岁 (②)解：原式-·是号m+316.1)解：方帮两边乘2x十5”2》. 得10x-4+10x+25=10x+21x-10.解得x=子检验：当x=号时，(2x+ 7 5)(5x-2)≠0.∴原分式方程的解为x=3.(2)解：两边同乘以(x+2)(x-2) 得：x(x十2)-x2+4=8,x2+2x-x+4=8,2x=4,解得：x=2,检验：当x=2 时，x-4=0,·原分式方程无解.17.解：原式=3x+3xy十-型. （x-y)(x+y) x-y)(x+y=2x(2x+》.x-》(x+卫=2(2.x+yW.:2x+y-3=0, (x-y)(x+y) ∴.2x+y=3.当2x+y=3时，原式=2(2x+y)=2×3=6.18.解：(1)设乙队 单独完成这项工程需要x天，则甲队单独完成这项工程需要子x天.根据题意， 得”+30（士+）=1.解得x=90.经检验，x=90是原方程的根，子x=60. 3x3x 答：甲、乙两队单独完成这项工程分别需60天和90天.(2)设甲、乙两队合作完 成这项工程需要y天，（品十）y=1.解得y=36,需要施工费用：36×8.4十5. 6)=504(万元).504>500.∴.工程预算的施工费用不够用，需追加预算4万元 第二部分质量评价步步高 第十三章学业质量评价 1.B2.B3.A4.C5.D6.B7.D8.D9.C10.A11.50°12.1.5 cm13.∠2与∠314.19cm或20cm15.110°或10°16.解：(1)由题意，得 BC-AB<AC<BC+AB,.7<AC<9.∴.AC的长是整数，∴.AC=8;(2)BD 是△ABC的中线，AD=CD.则△BCD与△ABD的周长之差为(BC+BD十 CD)-(AB+AD十BD)=BC-AB=7.17.解：(1)图略.(2)AD是高， ∠ADB=90°，在Rt△ABD中，∠BAD=90°-∠B=60°，在△ABC中，∠BAC= 180°-∠B-∠ACB=20°，∠CAD=∠BAD-∠BAC=40°.18.证明：：CE ⊥AB,.∠AEC=90°..∠AGE+∠GAE=90°.，∠ACB=90°，.∠CAF+ ∠CFG=90°.∠CGF=∠CFG=∠AGE,..∠CAF=∠EAG.即AF平分 ∠BAC.19.解：由题意，知∠BAE=57°，∠CAE=15°，∠DBC=82°..BD∥ AE,.∠DBA=∠BAE=57°..∠ABC=∠DBC-∠DBA=82°-57°=25°.在 △ABC中，∠BAC=∠BAE+∠CAE=57°+15°=72°，∴.∠C=180°-∠ABC- ∠BAC=180°-25°-72°=83°.20.解：设∠1=∠2=x,则∠3=∠4=2x.在 △ABC中，∠BAC+∠B+∠C=180°，即120°+x+2x=180°，解得x=20°.∴. ∠DAC=∠BAC-∠1=120°-20°=100°.21.解：(1)：∠C=40°，∠B=70°， :∠BAC=180-(∠C+∠B)=70.:AE是∠BAC的平分线，∠CAE= ∠BAC=35°.(2)，AD是△ABC的高，.∠CAD=90°-∠C=50°..∠DAE= ∠CAD-∠CAE=15°.DF⊥AE,∴.∠ADF=90°-∠DAE=75°.22.解： (1)△ABC是“三倍角三角形”，理由如下：，∠A=35,∠B=40°，.∠C=180 -35°-40°=105°=35°×3.∴.△ABC是“三倍角三角形”；(2)∠B=30°， ∠A十∠C=150°.设最小的角为x,①当30°=3x时，x=10°，.最小内角为10°， ②当x+3x=150时，x=37.5°，30°<37：5°，∴.最小内角为30°；③30°×3=90°， 180°-30°-90°=60°，∴最小内角为30°.答：△ABC中最小内角为10°或30° 23.解：(1)：△ABC中，∠A=64°，∠B=76°，∠C=180°-∠A-∠B=180° 64-76°=40.：∠1=17，∠CNM=180°2∠⊥=81.5.在△CMN中， 2 ∠CMN=180°-∠C-∠CNM=180°-40°-81.5°=58.5°，∴.∠2=180°-2 ∠CMN=180°-2×58.5°=63°.(2)成立.理由如下：由题意可知，2∠CNM+ ∠1=180°，2∠CMN+∠2=180°，∴.2（∠CNM+∠CMN)+∠1+∠2=360°. ∠C+∠CNM+∠CMN=180°，.∠CNM+∠CMN=180°-∠C.∴.2(180° ∠C)=360°-（∠1+∠2）..∠1+∠2=2∠C.24.【建立模型】证明：延长BP 交AC于点M,由三角形外角性质得：∠BPC=∠1+∠PMC,∠PMC=∠A+ ∠2，.∠BPC=∠1+∠A+∠2.【尝试应用】180【拓展创新】解：延长CA与 DG的延长线相交于点K.:∠CAG=180°-∠KAG,∠DGA=180°-∠KGA, ∴.∠CAG+∠DGA=360°-（∠KAG+∠KGA).在△KAG中，∠KAG+ ∠KGA=180°-∠K,.∠CAG+∠DGA=360°-(180°-∠K)=180°+∠K.由 【尝试应用】得：∠K+∠B+∠C+∠D+∠E=180°，∴.∠CAG+∠B+∠C+ ∠D+∠E+∠DGA=∠CAG+∠DGA+∠B+∠C+∠D+∠E=180°+∠K+ ∠B+∠C+∠D+∠E=180°+180°=360°.【提升思维】1080 第十四章学业质量评价 1.B2.C3.A4.B5.D6.D7.C8.D9.C10.C11.512.70° 13.AC=BC14.35°15.①②③16.解：图略.17.(1)证明：△ABC≌ △CDE,.∠BAC=∠DCE.∴.AB∥CE;(2)解：.△ABC≌△CDE,∴.CD=AB =12,AC=CE=7..∴.AD=CD-AC=12-7=5. I∠A=∠B, 18.证明：：AC=BD,∴AD=BC.在△ADE和△BCF中，AD=BC, ∠ADE=∠BCF △ADE≌△BCF(ASA).∴.DE=CF.19.解：选②BC=DE.证明如下： ∠1=∠2，∠COE=∠1+∠E=∠2+∠C,∴.∠E=∠C.在△ADE和△ABC (AE=AC, 中，/E=/C,.△ADE≌△ABC(SSS).20.(1)证明：/ACD=/A+ DE=BC, ∠B=∠ACE+∠ECD,∠ACE=∠B,∴∠A=∠ECD.在△ABC和△CDE中， ∠B=∠D, ∠A=∠ECD,.∴.△ABC≌△CDE(AAS).(2)521.证明：(1)在△ADC和 BC=DE, (AB-=AD. △ABC中，BC=DC,.△ABC≌△ADC(SAS),∴.∠DAC=∠BAC,即AC平 AC-AC. AD-AB, 分∠BAD;(2)在△ADE和△ABE中，{∠DAC=∠BAE,∴.△ADE≌△ABE AE-AE. (SAS),BE=DE.22.证明：过点E作EF⊥AB于点F,EG⊥AD于点G, EH⊥CD于点H.又.AE平分∠BAD,DE平分∠ADC,∴.EF=EG=EH, ∠BFE=∠CHE, ∠BFE=∠CHE=90°.在△BEF和△CEH中， ∠B=∠C, .△BEF≌ EF=EH,