第14章 全等三角形 大单元整合与素养提升-【名师学案】2025-2026学年新教材八年级上册数学分层进阶学习法（人教版2024）

第十四章大单元整合与素养提升 01典例导航 3.如图，AB∥CF,E为DF的中点，若AB= 7cm,CF=5cm,则BD是 () 【例】(2024·遵义期中)如图，在△ABC中，∠C A.2 cm B.2.5 cm C.3 cm D.3.5 cm =90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E, F在AC上，BD=DF,求证： (1)CF=EB; (2)AB-AF+2EB. B 第3题图 第4题图 4.【新中考·条件开放】如图，已知∠1=∠2， AC=AE,不添加任何辅助线，再添加一个合 适的条件： ,使 △ABC≌△ADE. 5.(中考·重庆)如图，在Rt△ABC中，∠BAC =90°，AB=AC,点D为BC上一点，连接 AD.过点B作BE⊥AD于点E,过点C作 CF⊥AD交AD的延长线于点F.若BE=4, CF=1,则EF的长度为 02考点过关 o C 第5题图 第6题图 考点一 全等三角形的性质与判定 6.△ABC在平面直角坐标系中如图所示，AC 1.已知图中的两个三角形全等，则∠α的度数是 BC,∠ACB=90°，A(0,3),C(1,0),则点B 的坐标为 A.72° B.60° C.58° D.50° 7.如图，AD∥BC,∠BAD=90°，以点B为圆 心，BC长为半径画弧，与射线AD相交于点 E,连接BE,过C点作CFBE,垂足为F.不 添加辅助线，找出图中与BF相等的线段，然 第1题图 第2题图 后再加以证明. 2.如图，点E、点F在BC上，BE=CF,∠B= (1)结论：BF= ∠C,添加一个条件，不能证明△ABF≌ (2)写出证明过程. △DCE的是 () A.∠A=∠D B.∠AFB=∠DEC C.AB=DC D.AF-DE 41八年极数学·上册 03素养提升 11.(2024·大庆期中)如图1，在Rt△ABC中. ∠BAC=90°，AB=AC,D为△ABC内 点.∠EAD=90°，且AE=AD,连接CE,BD 的延长线与CE交于点F. (I)求证：BD=CE,BD⊥CE; (2)如图2，连接AF,DC,已知∠BDC= 135°.判断AF与DC的位置关系，并说 明理由. 考点二全等三角形的实际应用 8.如图是一个工业开发 D 区局部的设计图，河的 图1 图2 同一侧有两个工厂A 和B,AD,BC的长表 示两个工厂到河岸的距离，其中E是进水 口，D,C为两个排污口.已知AE=BE, ∠AEB=90°，AD⊥DC,BC⊥DC,点D,E,C 在同一直线上，AD=150米，BC=350米，则 两个排污口之间的水平距离D℃是米. 考点三角的平分线的性质与判定 9.如图，在△ABC中，AB=9,AC=3,BC=7, 点D在边BC上，点D到边AB,AC的距离相 等，且AE=AC,则△BDE的周长等于() A.10 B.13 C.16 D.19 第9题图 第10题图 10.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，以顶点C 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC,BC 于点E,F,再分别以点E,F为圆心，大于 号EP的长为半径画弧，两孤交丁点P,作射 线CP交AB于点D.若BD=3,AC=10,则 △ACD的面积是 助学助教优质高效42(AB-AD △ADH中，{∠B=∠ADH,∴.△ABE≌△ADH(SAS)..∠BAE=∠DAH, BE=DH. AE=AH.'∠EAF=2∠BAD,·∠BAE+∠DAF=2∠BAD.'∠DAH+ ∠FAD= ∠BAD=∠FAH又：∠EAF=号∠BAD∠EAF=∠FAH.在 AE-AH, △AEF和△AHF中，∠EAF=∠FAH,.∴.△AEF≌△AHF(SAS)..EF= AF=AF, FH=DF+DH=DF+BE.∴上述结论仍然成立. 数学活动（二）用全等三角形证明拼图猜想 活动一：平行垂直1.(1)①有一组对角相等②一条对角线垂直平分另一条 对角线(2)证明：由“筝形”的定义可知，AB=AD,BC=DC.又：AC=AC, △ABC≌△ADC(SSS).∴.∠ABC=∠ADC,∠BAC=∠DAC..△ABO≌ △ADO,.∴.OB=OD,∠AOB=∠AOD.又.∠AOB+∠AOD=180°，.∴.∠AOB =∠AOD=90°，即AC垂直平分BD.2.证明：在筝形ABCD中，：△ABC≌ △ADC,ACLBD,BO=D0..“筝形”ABCD的面积S=2XS△c=2X2AC B0-号AC·BD.(1)筝形两组邻边相等(2)筝形至少一组对角相等 (3)筝形的一条对角线平分一组对角，并且垂直平分另一条对角线(4)筝形的 面积等于两对角线乘积的一半3.634.(1)证明：，∠BAC=∠DAC,∠BCA =∠DCA,AC=AC...△ABC≌△ADC(ASA)...AB=AD,BC=DC..四边形 ABCD是筝形.(2)8 综合与实践（二）测量河流宽度 任务1：(1)BC任务2：解：(2)第二小组的方案可行，理由如下：，O是BE中 点，.OB=OE.:AB⊥BE,EF⊥BE,∴∠ABO=∠FEO=90°.在△ABO和 [∠ABO=∠FEO, △FEO中，3BO=EO, ∴.△ABO≌△FEO(ASA),.EF=AB..河宽 ∠AOB=∠FOE. AB的长度就是线段EF的长度.任务3：观测者从B点向正西 走到C点，使用测量角度的仪器测得∠BCD=∠ACB=65°，CD 交AB延长线于D.如图：只要测出BD的长，就能推算出河宽 AB长，理由如下：AB⊥BC,.∠ABC=∠DBC=90°.在 ∠ABC=∠DBC, △ABC和△DBC中， BC=BC, .△ABC≌△DBC ∠ACB=∠BCD. (ASA).∴.BD=AB..河宽AB的长等于线段BD的长. 第十四章大单元整合与素养提升 典例导航 证明：(I):AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB,DC⊥AC,.DE=DC.在Rt △CDF和R△EDB中，CDE,R△CDP2R△EDB(H)..CP=EB (2)在R△ADC与Rt△ADE中，AD_AD,R△ADC≌Rt△ADE(HL). .'.AC=AE...AB=AE+BE-AC+EB-AF+CF+EB-AF+2EB. 考点过关 1.A2.D3.A4.AB=AD(答案不唯一)5.36.(4,1)7.(1)AE (2)证明：根据题意，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与射线AD相交于点E, .BE=BC.:CF⊥BE,∴.∠CFB=90°.又∠BAD=90°，.∠BAD=∠CFB =90°.：AD∥BC,∴.∠AEB=∠FBC.在△ABE和△FCB中， 「∠BAE=∠CFB, ∠AEB=∠FBC,.△ABE≌△FCB(AAS)..∴.AE=BF.8.5009.B BE=BC, 10.15 素养提升 11.(1)证明：设AC与BF交于O点，：∠BAC=90°，∠EAD=90°，∠BAC= AB=AC, ∠DAE..∴.∠BAD=∠CAE.在△ABD和△ACE中， ∠BAD=∠CAE AD-AE, 19 .△ABD≌△ACE(SAS)..∴.BD=CE,∠ABD=∠ACE.又.'∠AOB=∠COF .∠BFC=∠BAC=90°.BD⊥CE;(2)解：AF∥CD,理由如下：过点A作AG⊥ BF于G,AH⊥CE于H,由(1)知△ABD≌△ACE,∠BFE=90°..BD=CE,SAABD S△aE..AG=AH.又：AG⊥BF,AH⊥CE,∴.AF平分∠BFE..∠AFE=∠BFA= 2∠BFE=45.∠BDC=135,.∠FDC=45..∠AFD=∠FDC∴.AF∥CD 第十五章轴对称 15.1图形的轴对称 15.1.1轴对称及其性质 知识储备 1.互相重合对称轴2.重合对称轴对称点3.中点垂直4.垂直平分线 基础练综合练素养练 1.C2.解：(1)(3)是轴对称图形，画图略.3.B4.C5.B6.90°6 7.300°，8.解：EM=DM,理由如下：.△ABM和△ACM关于AM所在的直线 ∠B=∠C 对称，∠B=∠C,BM=CM.在△BME和△CMD中，{BM=CM, ∠BME=/CMD △BME≌△CMD(ASA)..EM=DM.9.D10.52°11.6cm12.解： (1)∠D(2)3(3)∠BAC=108°，∠BAE=30°，∴.∠CAE=∠BAC ∠BAE=78.由轴对称的性质，得∠EAM=∠CAM,.∠EAM=?∠CAE= 39°.13.(1)证明：.四边形ABCD是长方形，.AD=BC.∠D=∠B=∠DCB =90°.根据折叠的性质得：GC=AD,∠G=∠D=∠GCE=90°，.GC=BC,∠G =∠B..∠GCF+∠ECF=90°，∠BCE+∠ECF=90°，∴.∠GCF=∠BCE, ∴.△FGC≌△EBC(ASA);(2)解：由折叠性质得S西边形GF=Sw边形EADF.,△FGC ≌△EBC,小SAx=S△BmC,.S边形maF=S时形rCB=乞S张方形CD··AB=8,AD =4..S长方形AD=8X4=32..S四边形Gr=16. 15.1.2线段的垂直平分线 第1课时线段的垂直平分线的性质和判定 知识储备 1.相等2.垂直平分 基础练综合练素养练 1.(1)5(2)C2.(1)D(2)6cm3.证明：直线1是线段AB的垂直平分 线，点C,D在直线l上，∴.CA=CB,AD=BD.在△ACD和△BCD中， (AC=BC, AD=BD,.△ACD≌△BCD(SSS)..∠CAD=∠CBD.4.D5.证明： CD=CD, AB=AC,∴.点A在线段BC的垂直平分线上.OB=OC,∴点O在线段BC 的垂直平分线上.两点确定一条直线，直线AO是BC的垂直平分线.6.A 7.B8.解：(1)如果a=b,那么a=b.成立；(2)三条边对应相等的两个三角 形全等.成立，9.C10.14cm11.证明：连接BC,AB=AC,DB=DC, ∴点A,D均在线段BC的垂直平分线上.又两点确定一条直线，∴.AD是线段 BC的垂直平分线.，E在直线AD上，∴.BE=CE.12.证明：(I)连接BE,CE. DE垂直平分BC,∴.BE=CE.,AE平分∠BAC,EG⊥AC,EF⊥AB,.EF= EG,∠F=∠CGE=90°..∴.Rt△BFE≌Rt△CGE,.BF=CG;(2)在Rt△AFE和 Rt△AGE中，EF=EG,AE=AE,∴.Rt△AFE≌Rt△AGE..AF=AG.∴.AB十 AC=AB+AG+CG=AB+AG+BF=AF+AG=2AF. 第2课时作轴对称的图形的对称轴 知识储备 垂直平分线 基础练综合练素养练 1.D2.解：如图，直线1即为所求.3.解：如图所示.4.解：如图所示。 4(D) 图2 第2题图 第3题图 20