专题11 全等三角形模型之角平分线模型（全等）（几何模型讲义）数学人教版2024八年级上册

专题11 全等三角形模型之角平分线模型（全等） 角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，本专题就角平分线的几类全等模型作相应的总结，需学生反复掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 5 模型运用 7 模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直） 7 模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直） 10 模型3.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等） 13 18 角平分线的概念最早可追溯至古希腊数学家欧几里得的《几何原本》，其中详细描述了角平分线的尺规作图方法。欧几里得通过构造全等三角形证明了角平分线的性质，奠定了现代几何学的基础‌。现代数学教育工作者根据角平分线的对称轴总结三类辅助线的添加方法，即：1）角平分线垂两边（角平分线+外垂直）；2）角平分线垂中间（角平分线+内垂直）；3）角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等）。 （24-25七年级下·山东青岛·期末） 【模型解读】角平分线在数学中都占据着重要的地位，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法． 【模型证明】常见模型1 条件：如图，为的角平分线，，垂足为点A，，垂足为点B．结论：，． 常见模型2 条件：如图，在中，，为的角平分线，过点，垂足为点E． 结论：，且（当是等腰直角三角形时，有）． 常见模型3 条件：如图，是的角平分线，． 结论：． 根据模型3的条件，请证明上述结论． 【模型运用】如图，，分别为和的平分线，，则，，的数量关系是 ． 【解决问题】如图，是一个四边形人工湖，，米，米，甲、乙两人同时从点C出发，甲沿方向以2米/秒的速度前进，乙沿方向以1米/秒的速度前进，30秒后，甲、乙分别到达E，F处，此时测得，，此时甲、乙两人的距离为 米． 【答案】模型证明：见解析；模型运用：；解决问题：50 【详解】模型证明：证明：如图，作于，于，则， ∵是的角平分线，∴，∵，∴，∴； 模型运用：如图，在上截取点，使得，连接， ∵平分，∴，∵，，∴，∴， ∵，∴，∵，∴， ∵平分，∴，∵，∴，∴， ∵，∴；故答案为：； 解决问题：由题意可得：米，米，米，米， ∴米，米， 如图，延长至点，使得，连接， ∵，，∴， ∵，，∴，∴米，，， ∵，， ∴，∴，∴， ∴米，即此时甲、乙两人的距离为米．故答案为：50． （24-25七年级下·山东泰安·期末）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分，点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可证得，则．(1)上述情境中证明三角形全等的依据是__________； (2)如图2，已知点为内一点，平分，，求证：． (3)如图3，一块肥沃的土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，他进行了如下操作：①作的平分线；②再过点作交于点．已知米，米，面积为20平方米，求划出的的面积． 【答案】(1)(2)见解析；(3)平方米． 【详解】（1）解：平分，，， 又，，故答案为：； （2）解：如图，延长交于点， 平分，，，， 又，，，，， ，，； （3）解：①如图，延长交于点， 同理可证，，，米， 和是等高三角形，米，， 面积为20平方米，平方米，平方米， 答：划出的的面积为平方米． 1)角平分线垂两边（角平分线+外垂直）模型 图1 图2 图3 条件：如图1，为的角平分线，于点A，于点B. 结论：、≌. 证明：∵为的角平分线，，， ∴，∠CBO=∠CAO=90°，∵，∴≌（HL） 常见模型1（直角三角形型） 条件：如图2，在中，，为的角平分线，过点D作. 结论：、≌.（当是等腰直角三角形时，还有.） 证明：∵，为的角平分线，， ∴，∠AED=∠ACD=90°，∵，∴≌（HL） 常见模型2（邻等对补型） 条件：如图3，OC是∠AOB的角平分线，AC=BC，过点C作CD⊥OA、CE⊥OB。 结论：①；②；③. 证明：∵OC是∠AOB的角平分线，CD⊥OA、CE⊥OB， ∴，∠CDA=∠CEB=90°，AC=BC，∴≌（HL），∴，∠CAD=∠CBE； ∵，∴，∴， 同图1中的证法易得：≌（HL），∴， ∴， 2）角平分线垂中间（角平分线+内垂直）模型 图1 图2 图3 条件：如图1，为的角平分线，， 结论：△AOC≌△BOC，是等腰三角形，是三线合一等。 证明：∵为的角平分线，∴∠COA=∠COB， ∵，∠BCO=∠ACO=90°，∵，∴△AOC≌△BOC（ASA）， ∴，∴是等腰三角形，∵，∴是三线合一。 条件：如图2，为的角平分线，，延长BA，CE交于点F. 结论：△BEC≌△BEF，是等腰三角形、BE是三线合一等。 证明：同图1的证法， 3）角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等）模型 图1 图2 条件：如图1，为的角平分线，A为任意一点，在上截取，连结. 结论：≌，CB=CA。 证明：∵为的角平分线，∴∠COA=∠COB， ∵，，∴△AOC≌△BOC（SAS），∴CB=CA。 条件：如图2，BE、CE分别为和的平分线，，在上截取，连结。 结论：≌，≌，AB+CD=BC。 证明：∵BE为的平分线，∴∠ABE=∠FBE=， ∵，，∴≌（SAS），∴∠AEB=∠FEB， ∵，∴∠ABC+∠BCD=180°，∵CE为的平分线，∴∠FCE=∠DCE=， ∴∠EBC+∠BCE=+=90°，∴∠FEC+∠FEB=90°，∠AEB+∠CED=90°， ∴∠FEC=∠CED，∵EC=EC，∴≌，∴FC=DC，∴AB+CD=BF+FC=BC。 模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直） 例1（24-25八年级上·湖北十堰·期末）如图，以的顶点O为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点M，N，分别以M，N为圆心，以大于长为半径，两条弧交于点P，作射线，点C是上一点，于点F，点D，E分别在，上．已知，，，则的长度为（    ） A．5 B． C．6 D． 【答案】A 【详解】解：根据题意可得，为的角平分线，过点C作与点P， ∵，，∴， 在和中， ，∴，∴， 在和中， ，∴， ∴，∴，设，则，解得：， ∴，故选：A． 例2（24-25八年级上·浙江·专题练习）如图，中，、的角平分线、交于点P，下列结论：①平分；②；③若点M、N分别为点P在、上的正投影，则；④．其中正确的是（    ） A．只有①②③ B．只有①③④ C．只有②③④ D．只有①③ 【答案】B 【详解】解：如图，过点P作，，，垂足分别为M、N、D， ①∵平分，平分，∴，， ∴，∴点P在的角平分线上，故①正确； ②∵，，∴， ∴，由图可知，∴错误，故②错误； ③在与中，，∴，∴， 同理可得，∴，∴，故③正确； ④∵平分，平分，∴，， ∴，故④正确．综上所述，①③④正确．故选：B． 例3（24-25八年级上·安徽·期中）如图，四边形中，，点为的中点，且平分．(1)求证：平分；(2)求证：；(3)猜想、与的关系，并说明理由． 【答案】(1)详见解析(2)详见解析(3)，理由见解析 【详解】（1）证明：如图，过点作于， 又∵，平分，∴， ∵点为的中点，∴，∴， 又∵，∴平分； （2）证明：在和中，，∴， ∴，， 在和中，，∴， ∴，， ∴，∴； （3）解：，理由如下：∵，∴， ∵，∴，∵，∴． 例4（24-25八年级上·山西临汾·阶段练习）【教材呈现】下面是华师版八年级上册数学教材96页的部分内容：已知：如图，是的平分线，点是上的任意一点．，，垂足分别为点和点．求证：．    分析：图中有两个直角和，只要证明这两个三角形全等，便可证得． (1)【问题解决】请根据教材分析，结合图①写出证明过程． (2)【类比探究】如图②，是的平分线，是上任意一点，点M、N分别在、上，连接和，若，求证：． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【详解】（1）证明：，，， 是的平分线，， 在和中，，，； （2）证明：如图②，过点作于，于，    是的平分线，，，， ，，， 在和中，，，． 模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直） 例1（24-25八年级上·重庆沙坪坝·开学考试）如图，点D在内部，平分，且，连接．若的面积为2，则的面积为 ． 【答案】4 【详解】延长交于点， ，，平分，， 在和中，．∴，， ，，．故答案为：4． 例2（24-25广东清远·八年级统考期末）如图，在中，，，是的平分线，过点作，交的延长线于点若，则的长为 .    【答案】 【详解】解：延长、交于点，如图，∵，∴．    ∵平分，∴，∴，∴， ∵，∴， ∵中，，，∴， ∴÷，，∴， ∵在和中，，∴（）， ∴，∴，故答案为：． 例3（24-25湖北黄冈·八年级校考期中）如图， 中， 是 的角平分线， ；若的最大值为，则长为 ． 【答案】 【详解】解：延长和相交于点，如图： ∵ 是 的角平分线∴ ∵ ∴ ， 当时， 有最大值；此时，即： 例4（24-25七年级下·陕西西安·期末）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可证得，则，． 【问题提出】（1）如图，在中，平分，于点，若，，通过上述构造全等的办法，求的度数； 【问题探究】（2）如图，在中，，，平分，，垂足在的延长线上，试探究和的数量关系； 【问题解决】（3）如图是一块肥沃的土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，他进行了如下操作： 作的平分线；再过点作交于点 已知米，米，面积为平方米，求划出的的面积． 【答案】（）；（），理由见解析；（）． 【详解】（）如图， 延长交于点，由已知可知，∴， ∵，∴； （），证明如下：如图，延长交于点，则， ∵，∴，∵，∴， 又∵，∴，∴，由已知可知，，∴； （）如图，延长交于，由已知可知，，，∴， ∵，∴，∴． 模型3.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等） 例1（24-25山东·八年级专题练习）如图，在中，，和的平分线、相交于点，交于点，交于点，若已知周长为，，，则长为（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【详解】解：如图，在上截取，连接 平分，平分，， ，，，，， 在和中，，， ，，， 在和中，，， ，， 周长为，，， ，．故选：B． 例2（24-25四川广元·八年级校考阶段练习）如图，AD是△ABC的角平分线，H，G分别在AC，AB上，且HD＝BD．（1）求证：∠B与∠AHD互补；（2）若∠B+2∠DGA＝180°，请探究线段AG与线段AH、HD之间满足的等量关系，并加以证明． 【答案】（1）见解析；（2）AG＝AH+HD，证明见解析 【详解】证明：（1）在上取一点，使得，连接 ∵ ∴∴， ∵∴∴ ∵∴ 即与互补． （2）由（1） ∵ ∴ 又∵ ∴即 ∴∴∵∴． 例3（24-25八年级下·四川绵阳·开学考试）在四边形中，是钝角，，对角线平分．(1)如图1，求证：；(2)如图2，若，求的度数； (3)如图3，当时，请判断、与之间的数量关系？并加以证明． 【答案】(1)证明见解析(2)(3)，证明见解析 【详解】（1）证明：如图，在上取点，使得，连接， ∵对角线平分，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，，∴，∴，∴． （2）解：如图，延长至点，使得，连接， ∵，，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，，∴，∴，∴是等边三角形， ∴，∴． （3）解：，证明如下：如图，延长至点，使得，连接， 由（2）已证：，∴， ∵对角线平分，，∴， ∴是等边三角形，∴，又∵，，∴． 例4（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）（1）如图1，射线平分，在射线，上分别截取线段．；使；在射线上任取一点D，连接，．则与的数量关系为______． （2）如图2，在中，，平分，求证：； （3）如图3，在四边形中，，，，C为边中点，若平分，平分，，求的值． 【答案】（1）（2）详见解析（3） 【详解】（1）证明：射线平分，， 又，，，，故答案为：； （2）证明：在上截取，连接，如图2所示： 平分，，又，， ，，，，，， 又，，，，， ，； （3）解：在上取点，使，连接，在上取点，使，连接，如图3所示： 是边的中点，，， 平分，，又，， ，，．同理可证：， ，，，，， ，，， ，是等边三角形，，． 1．（24-25八年级下·广东深圳·阶段练习）如图所示，在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E．若AB＝8，则△DEB的周长为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【详解】解：∵DE⊥AB，∠C＝90°∴∠C＝∠AED＝90°，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠EAD， 在△ACD和△AED中，∵，∴△ACD≌△AED（AAS）， ∴AC＝AE，CD＝DE，∴BD+DE＝BD+CD＝BC＝AC＝AE， BD+DE+BE＝AE+BE＝AB＝8，∴△DEB的周长为8．故选：B． 2．（24-25八年级下·山东淄博·期中）如图，在等腰中，的角平分线交于点D，过点D分别作，垂足分别是点，下列结论：①；②；③点E是的中点；④．其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【详解】解：①是的角平分线，，，选项①正确； ②，，． ，，选项②正确． ③，，垂直平分，选项③正确． ④，，． 又，，选项④正确．综上，①②③④正确．故选：D． 3．（24-25八年级上·北京·期中）如图，的平分线与的平分线相交于点P，作，垂足为E．若，则点P到的距离与到的距离之和为（   ） A．3 B．5 C．6 D．不能确定 【答案】C 【详解】解：如图，过点作，交于，交于， ，，， 是的平分线，，，， 是的平分线， ，，， 点到的距离与到的距离之和为．故选：C． 4.（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则下列说法中正确的个数是（ ） ①是的平分线；②；③点在的垂直平分线上；④． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由作图可知：是的平分线，故说法正确； ，，， ，，故说法正确； 过点作于点， ，∴，点在的垂直平分线上，故说法正确； 是的平分线，，， 在和中≌，， 在和中≌，， ，，故说法正确．正确的说法有个，故选：D． 5．（24-25七年级下·上海宝山·期中）如图，已知的面积为，为的角平分线，垂直于点，则的面积为 ． 【答案】4 【详解】解：延长交于E， ∵垂直的平分线于P，，又知，， ∴在与中，，∴， ∴，，∴和等底同高，∴， 设的面积为m，∴， ∴．故答案为：4． 6．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）在中，已知，的平分线与的平分线相交于点O，的平分线交于F，则： （1）的度数是 ．（2）若，，则的长是 ． 【答案】 /60度 9 【详解】解：（1）∵在中，，∴， ∵的平分线与的平分线相交于点O，∴， ∴， ∴，故答案为：； （2）∵平分，∴， 又∵，∴，∴，同理， ∵，，∴，即， ∴，故答案为：9． 7．（24-25·浙江宁波·八年级校考期中）如图，△ABC的面积为16，∠PBC与∠PAB互余，AP⊥BP，则△PBC的面积 ． 【答案】8 【详解】解：如图，延长AP交BC于D，∵AP⊥BP，∴∠ABP+∠PAB=90°， 又∵∠PBC与∠PAB互余，∴∠ABP=∠PBC，即BP为∠ABC的角平分线， 又∵AP⊥BP，∴AP=DP，∴=，=， ∴故答案为：8 8．（24-25八年级下·辽宁本溪·阶段练习）如图，中，是中线，是角平分线，垂直于点F，，，则的长是 ．    【答案】2 【详解】解：延长交于点G，    ∵平分，∴，∵垂直，∴， ∵在和中，，∴，∴， 又∵点D是中点，∴是的中位线， ∴．故答案为：2． 9．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，是角平分线，E，F分别为上的点，且．与有何数量关系？请说明理由． 【答案】，理由见详解 【详解】，理由如下：过点D分别作于点M，于点N，如图， ∴，∵是角平分线，∴， ∵，，∴ 在和中，∵∴，∴ 10．（24-25八年级上·北京海淀·期末）如图，在中，，，D是上一点，交延长线于点E，且，求证：是的角平分线． 【答案】见解析 【详解】如图，延长、交于点F．∵，∴， 又，∴，∴， 在和中，，∴，∴． 又，∴，∴，∵，∴是线段的垂直平分线，∴， ∴，∴是的角平分线． 11．（24-25湖北鄂州·八年级统考期中）在△ABC中，AC＞AB，AD是△ABC的角平分线． （1）如图1，求证AC－AB＞CD－BD； （2）如图2，若AB＝3，AC＝4，BC＝5，∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，求DC的长． 【答案】（1）证明见祥解（2）． 【详解】（1）证明：在AC上截取AE=AB，连接DE， ∵AD是△ABC的角平分线，，∴∠BAD=∠DAE， 在△ABD和△AED中，，∴△ABD≌△AED（SAS），∴BD=ED， ∴EC＞DC-DE即AC-AB＞CD-BD； （2）解：过D作DF⊥AB于F，DG⊥AC，过A作AH⊥BC， ∵AD为∠BAC的平分线，DF⊥AB，DG⊥AC，∴DF=DG， ∴S△ABD=，S△ACD=，∴S△ABD:S△ACD ==3:4， ∴S△ABD=，S△ACD=，∴：=BD：CD=3:4， ∵BC=5，即BD+CD=BC=5，∴，∴． 12．（24-25广东·九年级期中）如图，在中，，， （1）如图1,平分交于点，为上一点，连接交于点． （i）若，求证：垂直平分；（ii）若,求证：．（2）如图2，平分交于点，，垂足在的延长线上，试判断线段和的数量关系，并说明理由． （3） 如图3，为上一点，，，垂足为，与交于点，写出线段和的数量关系．（不要求写出过程） 【答案】（1）（ⅰ）见解析；（ⅱ）见解析；（2）BD＝2CE，理由见解析；（3）CE＝FD． 【详解】（1）（ⅰ）证明：∵AB＝BF，BD平分∠ABC， ∴BE⊥AF，AE＝EF，即BD垂直平分AF； （ⅱ）证明：过点C作CM⊥AF交AF的延长线于点M，如图1， ∵∠BAC＝90°，AF⊥BD，∴∠ABE+∠BAE=90°，∠CAM+∠BAE=90°，∴∠CAM＝∠ABE， 在△ABE和△CAM中，，∴△ABE≌△CAM（AAS），∴AE＝CM， ∵AF⊥BD，AF⊥CM，∴BD∥CM，∴∠FCM＝∠CBD， ∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴∠FCM＝∠ABD，∴∠FCM＝∠EAD， 在△AED和△CMF中，，∴△AED≌△CMF（ASA），∴AD＝CF； （2）解：BD＝2CE．理由如下：如图2，延长BA、CE相交于点F，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD， 在△BCE和△BFE中，，∴△BCE≌△BFE（ASA），∴CE＝EF， ∵∠BAC＝90°，CE⊥BD，∴∠ACF+∠F＝90°，∠ABD+∠F＝90°，∴∠ABD＝∠ACF， 在△ABD和△ACF中，，∴△ABD≌△ACF（ASA），∴BD＝CF， ∵CF＝CE+EF＝2CE，∴BD＝2CE． （3）解：CE＝FD．过点F作FG∥BA，交AC于H，交CE的延长线于点G，如图3， ∵FG∥AB，∠EFC＝∠B，∴∠EFC＝∠GFE，又∵CE⊥FE，∴∠CEF＝∠GEF＝90°， 在△CEF和△GEF中，，∴△CEF≌△GEF（ASA），∴CE＝GE，即CE＝CG， ∵FG∥AB，∠A＝90°，AB＝AC，∴∠CHG＝∠DHF＝90°，CH＝FH． 又∵∠GCH＝∠DFH，∴△CGH≌△FDH（ASA），∴CG＝DF．∴CE＝FD． 13．（24-25北京九年级专题练习）在四边形中，是边的中点． （1）如图（1），若平分，，则线段、、的长度满足的数量关系为______；（直接写出答案）；（2）如图（2），平分，平分，若，则线段、、、的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明． 【答案】（1）AE＝AB＋DE；（2）AE＝AB＋DE＋BD，证明见解析． 【详解】解：（1）如图（1），在AE上取一点F，使AF＝AB．∵AC平分∠BAE，∴∠BAC＝∠FAC． 在△ACB和△ACF中，∴△ACB≌△ACF（SAS）．∴BC＝FC，∠ACB＝∠ACF． ∵C是BD边的中点，∴BC＝CD．∴CF＝CD． ∵∠ACE＝90°，∴∠ACB＋∠DCE＝90°，∠ACF＋∠ECF＝90°．∴∠ECF＝∠ECD． 在△CEF和△CED中，∴△CEF≌△CED（SAS）．∴EF＝ED． ∵AE＝AF＋EF，∴AE＝AB＋DE．故答案为：AE＝AB＋DE； （2）AE＝AB＋DE＋BD． 证明：如图（2），在AE上取点F，使AF＝AB，连结CF，在AE上取点G，使EG＝ED，连结CG． ∵C是BD边的中点，∴CB＝CD＝BD．∵AC平分∠BAE，∴∠BAC＝∠FAC． 在△ACB和△ACF中，∴△ACB≌△ACF（SAS）．∴CF＝CB，∠BCA＝∠FCA． 同理可证：△ECD≌△ECG∴CD＝CG，∠DCE＝∠GCE．∵CB＝CD，∴CG＝CF． ∵∠ACE＝120°，∴∠BCA＋∠DCE＝180°−120°＝60°．∴∠FCA＋∠GCE＝60°．∴∠FCG＝60°． ∴△FGC是等边三角形．∴FG＝FC＝BD．∵AE＝AF＋EG＋FG，∴AE＝AB＋DE＋BD． 14．（24-25江苏·八年级专题练习）在△ABC中，AD为△ABC的角平分线，点E是直线BC上的动点． （1）如图1，当点E在CB的延长线上时，连接AE，若∠E＝48°，AE＝AD＝DC，则∠ABC的度数为 　 　． （2）如图2，AC＞AB，点P在线段AD延长线上，比较AC+BP与AB+CP之间的大小关系，并证明． （3）连接AE，若∠DAE＝90°，∠BAC＝24°，且满足AB+AC＝EC，请求出∠ACB的度数（要求：画图，写思路，求出度数）． 【答案】（1）；（2），见解析；（3）44°或104°；详见解析． 【详解】解：（1）∵AE＝AD＝DC，∴，， ∵，，∴， ∵AD为△ABC的角平分线，即， ∴；∴ （2）如图2，在AC边上取一点M使AM=AB，连接MP， 在和中， ，∴（SAS），∴， ∵，，∴，∴； （3）如图，点E在射线CB延长线上，延长CA到G，使AG=AB， ∵AB+AC＝EC，∴AG+AC＝EC，即，∴， 设，则； 又∠BAC＝24°，AD为△ABC的角平分线，∴， 又∵，∴，，∴， 在和中， ，∴（SAS），∴， 又∵，∴，解得：，∴； 当点E在BD上时，∠EAD＜90°，不成立；当点E在CD上时，∠EAD＜90°，不成立； 如图，点E在BC延长线上，延长CA到G，使AG=AB， ∵AB+AC＝EC，∴AG+AC＝EC，即，∴，设，则； 又∵∠BAC＝24°，AD为△ABC的角平分线，∴， 又∵，∴，，∴， 在和中， ，∴（SAS）， ∴，∴，解得：，∴．∴∠ACB的度数为44°或104°． 15．（24-25河北·八年级校考期末）定理的回顾与应用： (1)填空：角平分线的性质定理：角平分线上的点到 　 　． 符号语言：∵如图1，为上的平分线，且 　 　，∴　 　． (2)解答：已知：如图2，，为的平分线，以点为顶点的与角的两边相交于点、 ，且．求证：． (3)作图：根据以上种情况，再次寻找其它情况，点 P为的平分线上的点，请你用尺规作图3，分别在角的两边上找点、，使得（要求保留作图痕迹，不写作法） (4)思考：如图4，为的平分线，以点为顶点的与角的两边相交于点、，当与有怎样的数量关系时，．（只写数量关系，不必证明） 【答案】(1)角两边的距离相等；，(2)见解析(3)见解析(4) 【详解】（1）解：定理直接得出结果：角两边的距离相等；，； （2）证明：证明：如图1， 作于，作于，， 平分，， 在四边形中，，， ， ，，， ，（ASA）； （3）证明：如图2，作射线，交于，作，反向延长，交于，则；, （4）解：如图3，当和互补时，，理由如下： 作于，作于，， 平分，，在四边形中，， ，，， ，，(ASA) ． 16．（24-25八年级上·江西南昌·期末）如图，在中，，是的角平分线. (1)当时，求的度数；(2)当时，求证：. 【答案】(1)(2)见解析 【详解】（1）延长至，使，连接，则． ，．平分，． ，，． 设，则，.∵，． 在中，，，解得，； （2）∵，且，， 在BC上截取，连接DF．平分，． ，，， ，，，，． 17．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）角平分线的轴对称性可以为解题提供思路和方法：    (1)如图1，在的两边上取两点A、B，使，点P为角平分线上任意一点，连接、，根据角的轴对称性易得______； (2)如图2，中，，求证：． 证明：作的平分线交边于点D，在边上截取，连接．（请完成证明） (3)如图3，在中，，为的角平分线，写出、、之间的数量关系并说明理由． 【答案】(1)(2)见解析(3)，理由见解析 【详解】（1）解：∵角关于角平分线所在的直线对称，， ∴点A、B关于直线对称，∴；故答案为：； （2）证明：作的平分线交边于点D，在边上截取，连接，则：，       又，∴，∴， ∵是的一个外角，∴，∴； （3）；理由如下：在上截取，连接， ∵平分，∴，∵，∴，∴，， ∵，∴，∴， ∴，∴，∴. 18．（24-25七年级下·广东深圳·期末）在学习七下课本121页“三线合一”时罗老师在课堂上进行了探究式教学．    (1)【问题原型】定理：等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．如图，在中，平分．根据图形1用几何语言写出该定理 ①∵，平分，∴ ， ； ②在中，的周长为32，的周长为23，则的长为 ．    (2)【问题提出】罗老师提出：当三角形的一条角平分线恰好也是这个三角形的中线时，这个三角形是等腰三角形吗？经过小组合作探究后罗老师发现了同学们有以下两种解题思路，请任选其中一种，完成命题的证明． 已知：在中，平分，且点D是的中点．求证：． 方法一：如图2，延长到点E，使， 连接． 方法二：如图3，过点D分别作的垂线， 垂足分别为E，F． (3)【拓展延伸】如图4，在中，平分，点E为中点，与相交于点F，过点B作交延长线于点H，设的面积分别为，若，试求的最大值． 【答案】(1)，；；(2)证明见解析；(3)的最大值为． 【详解】（1）解：如图：             ∵，平分，∴，，故答案为：，； 设，，，∵的周长为32，∴，∴， ∵的周长为23，∴，∴，故答案为：． （2）证明：方法一：如图2， 延长到点E，使， 连接， ∵点D是的中点，∴， 在和中，∵，∴，∴，， ∵平分，∴，∴，∴，∴； 方法二：如图3，过点D分别作的垂线， 垂足分别为E，F， ∵平分，，∴， 在和中，，∴，∴， ∵点D是的中点，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴； （3）解：延长交的延长线为点，如图： ∵平分，∴，∵，∴， 在和中，∵，∴，∴， ∵，∴，∵的面积分别为，∴， ∵点E为中点，∴，∵，∴， ∴， 当以为底边， 为高时，有最大值，即有最大值， ∴的最大值为：，∴的最大值为． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 全等三角形模型之角平分线模型（全等） 角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，本专题就角平分线的几类全等模型作相应的总结，需学生反复掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 5 模型运用 7 模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直） 7 模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直） 10 模型3.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等） 13 18 角平分线的概念最早可追溯至古希腊数学家欧几里得的《几何原本》，其中详细描述了角平分线的尺规作图方法。欧几里得通过构造全等三角形证明了角平分线的性质，奠定了现代几何学的基础‌。现代数学教育工作者根据角平分线的对称轴总结三类辅助线的添加方法，即：1）角平分线垂两边（角平分线+外垂直）；2）角平分线垂中间（角平分线+内垂直）；3）角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等）。 （24-25七年级下·山东青岛·期末） 【模型解读】角平分线在数学中都占据着重要的地位，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法． 【模型证明】常见模型1 条件：如图，为的角平分线，，垂足为点A，，垂足为点B．结论：，． 常见模型2 条件：如图，在中，，为的角平分线，过点，垂足为点E． 结论：，且（当是等腰直角三角形时，有）． 常见模型3 条件：如图，是的角平分线，． 结论：． 根据模型3的条件，请证明上述结论． 【模型运用】如图，，分别为和的平分线，，则，，的数量关系是 ． 【解决问题】如图，是一个四边形人工湖，，米，米，甲、乙两人同时从点C出发，甲沿方向以2米/秒的速度前进，乙沿方向以1米/秒的速度前进，30秒后，甲、乙分别到达E，F处，此时测得，，此时甲、乙两人的距离为 米． （24-25七年级下·山东泰安·期末）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分，点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可证得，则．(1)上述情境中证明三角形全等的依据是__________； (2)如图2，已知点为内一点，平分，，求证：． (3)如图3，一块肥沃的土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，他进行了如下操作：①作的平分线；②再过点作交于点．已知米，米，面积为20平方米，求划出的的面积． 1)角平分线垂两边（角平分线+外垂直）模型 图1 图2 图3 条件：如图1，为的角平分线，于点A，于点B. 结论：、≌. 证明：∵为的角平分线，，， ∴，∠CBO=∠CAO=90°，∵，∴≌（HL） 常见模型1（直角三角形型） 条件：如图2，在中，，为的角平分线，过点D作. 结论：、≌.（当是等腰直角三角形时，还有.） 证明：∵，为的角平分线，， ∴，∠AED=∠ACD=90°，∵，∴≌（HL） 常见模型2（邻等对补型） 条件：如图3，OC是∠AOB的角平分线，AC=BC，过点C作CD⊥OA、CE⊥OB。 结论：①；②；③. 证明：∵OC是∠AOB的角平分线，CD⊥OA、CE⊥OB， ∴，∠CDA=∠CEB=90°，AC=BC，∴≌（HL），∴，∠CAD=∠CBE； ∵，∴，∴， 同图1中的证法易得：≌（HL），∴， ∴， 2）角平分线垂中间（角平分线+内垂直）模型 图1 图2 图3 条件：如图1，为的角平分线，， 结论：△AOC≌△BOC，是等腰三角形，是三线合一等。 证明：∵为的角平分线，∴∠COA=∠COB， ∵，∠BCO=∠ACO=90°，∵，∴△AOC≌△BOC（ASA）， ∴，∴是等腰三角形，∵，∴是三线合一。 条件：如图2，为的角平分线，，延长BA，CE交于点F. 结论：△BEC≌△BEF，是等腰三角形、BE是三线合一等。 证明：同图1的证法， 3）角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等）模型 图1 图2 条件：如图1，为的角平分线，A为任意一点，在上截取，连结. 结论：≌，CB=CA。 证明：∵为的角平分线，∴∠COA=∠COB， ∵，，∴△AOC≌△BOC（SAS），∴CB=CA。 条件：如图2，BE、CE分别为和的平分线，，在上截取，连结。 结论：≌，≌，AB+CD=BC。 证明：∵BE为的平分线，∴∠ABE=∠FBE=， ∵，，∴≌（SAS），∴∠AEB=∠FEB， ∵，∴∠ABC+∠BCD=180°，∵CE为的平分线，∴∠FCE=∠DCE=， ∴∠EBC+∠BCE=+=90°，∴∠FEC+∠FEB=90°，∠AEB+∠CED=90°， ∴∠FEC=∠CED，∵EC=EC，∴≌，∴FC=DC，∴AB+CD=BF+FC=BC。 模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直） 例1（24-25八年级上·湖北十堰·期末）如图，以的顶点O为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点M，N，分别以M，N为圆心，以大于长为半径，两条弧交于点P，作射线，点C是上一点，于点F，点D，E分别在，上．已知，，，则的长度为（    ） A．5 B． C．6 D． 例2（24-25八年级上·浙江·专题练习）如图，中，、的角平分线、交于点P，下列结论：①平分；②；③若点M、N分别为点P在、上的正投影，则；④．其中正确的是（    ） A．只有①②③ B．只有①③④ C．只有②③④ D．只有①③ 例3（24-25八年级上·安徽·期中）如图，四边形中，，点为的中点，且平分．(1)求证：平分；(2)求证：；(3)猜想、与的关系，并说明理由． 例4（24-25八年级上·山西临汾·阶段练习）【教材呈现】下面是华师版八年级上册数学教材96页的部分内容：已知：如图，是的平分线，点是上的任意一点．，，垂足分别为点和点．求证：．    分析：图中有两个直角和，只要证明这两个三角形全等，便可证得． (1)【问题解决】请根据教材分析，结合图①写出证明过程． (2)【类比探究】如图②，是的平分线，是上任意一点，点M、N分别在、上，连接和，若，求证：． 模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直） 例1（24-25八年级上·重庆沙坪坝·开学考试）如图，点D在内部，平分，且，连接．若的面积为2，则的面积为 ． 例2（24-25广东清远·八年级统考期末）如图，在中，，，是的平分线，过点作，交的延长线于点若，则的长为 .    例3（24-25湖北黄冈·八年级校考期中）如图， 中， 是 的角平分线， ；若的最大值为，则长为 ． 例4（24-25七年级下·陕西西安·期末）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可证得，则，． 【问题提出】（1）如图，在中，平分，于点，若，，通过上述构造全等的办法，求的度数； 【问题探究】（2）如图，在中，，，平分，，垂足在的延长线上，试探究和的数量关系； 【问题解决】（3）如图是一块肥沃的土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，他进行了如下操作： 作的平分线；再过点作交于点 已知米，米，面积为平方米，求划出的的面积． 模型3.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等） 例1（24-25山东·八年级专题练习）如图，在中，，和的平分线、相交于点，交于点，交于点，若已知周长为，，，则长为（   ） A． B． C． D．4 例2（24-25四川广元·八年级校考阶段练习）如图，AD是△ABC的角平分线，H，G分别在AC，AB上，且HD＝BD．（1）求证：∠B与∠AHD互补；（2）若∠B+2∠DGA＝180°，请探究线段AG与线段AH、HD之间满足的等量关系，并加以证明． 例3（24-25八年级下·四川绵阳·开学考试）在四边形中，是钝角，，对角线平分． (1)如图1，求证：；(2)如图2，若，求的度数； (3)如图3，当时，请判断、与之间的数量关系？并加以证明． 例4（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）（1）如图1，射线平分，在射线，上分别截取线段．；使；在射线上任取一点D，连接，．则与的数量关系为______． （2）如图2，在中，，平分，求证：； （3）如图3，在四边形中，，，，C为边中点，若平分，平分，，求的值． 1．（24-25八年级下·广东深圳·阶段练习）如图所示，在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E．若AB＝8，则△DEB的周长为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 2．（24-25八年级下·山东淄博·期中）如图，在等腰中，的角平分线交于点D，过点D分别作，垂足分别是点，下列结论：①；②；③点E是的中点；④．其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 3．（24-25八年级上·北京·期中）如图，的平分线与的平分线相交于点P，作，垂足为E．若，则点P到的距离与到的距离之和为（   ） A．3 B．5 C．6 D．不能确定 4.（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则下列说法中正确的个数是（ ） ①是的平分线；②；③点在的垂直平分线上；④． A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·上海宝山·期中）如图，已知的面积为，为的角平分线，垂直于点，则的面积为 ． 6．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）在中，已知，的平分线与的平分线相交于点O，的平分线交于F，则： （1）的度数是 ．（2）若，，则的长是 ． 7．（24-25·浙江宁波·八年级校考期中）如图，△ABC的面积为16，∠PBC与∠PAB互余，AP⊥BP，则△PBC的面积 ． 8．（24-25八年级下·辽宁本溪·阶段练习）如图，中，是中线，是角平分线，垂直于点F，，，则的长是 ．    9．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，是角平分线，E，F分别为上的点，且．与有何数量关系？请说明理由． 10．（24-25八年级上·北京海淀·期末）如图，在中，，，D是上一点，交延长线于点E，且，求证：是的角平分线． 11．（24-25湖北鄂州·八年级统考期中）在△ABC中，AC＞AB，AD是△ABC的角平分线． （1）如图1，求证AC－AB＞CD－BD； （2）如图2，若AB＝3，AC＝4，BC＝5，∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，求DC的长． 12．（24-25广东·九年级期中）如图，在中，，， （1）如图1,平分交于点，为上一点，连接交于点． （i）若，求证：垂直平分；（ii）若,求证：．（2）如图2，平分交于点，，垂足在的延长线上，试判断线段和的数量关系，并说明理由． （3） 如图3，为上一点，，，垂足为，与交于点，写出线段和的数量关系．（不要求写出过程） 13．（24-25北京九年级专题练习）在四边形中，是边的中点． （1）如图（1），若平分，，则线段、、的长度满足的数量关系为______；（直接写出答案）；（2）如图（2），平分，平分，若，则线段、、、的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明． 14．（24-25江苏·八年级专题练习）在△ABC中，AD为△ABC的角平分线，点E是直线BC上的动点． （1）如图1，当点E在CB的延长线上时，连接AE，若∠E＝48°，AE＝AD＝DC，则∠ABC的度数为 　 　． （2）如图2，AC＞AB，点P在线段AD延长线上，比较AC+BP与AB+CP之间的大小关系，并证明． （3）连接AE，若∠DAE＝90°，∠BAC＝24°，且满足AB+AC＝EC，请求出∠ACB的度数（要求：画图，写思路，求出度数）． 15．（24-25河北·八年级校考期末）定理的回顾与应用： (1)填空：角平分线的性质定理：角平分线上的点到 　 　． 符号语言：∵如图1，为上的平分线，且 　 　，∴　 　． (2)解答：已知：如图2，，为的平分线，以点为顶点的与角的两边相交于点、 ，且．求证：． (3)作图：根据以上种情况，再次寻找其它情况，点 P为的平分线上的点，请你用尺规作图3，分别在角的两边上找点、，使得（要求保留作图痕迹，不写作法） (4)思考：如图4，为的平分线，以点为顶点的与角的两边相交于点、，当与有怎样的数量关系时，．（只写数量关系，不必证明） 16．（24-25八年级上·江西南昌·期末）如图，在中，，是的角平分线. (1)当时，求的度数；(2)当时，求证：. 17．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）角平分线的轴对称性可以为解题提供思路和方法：    (1)如图1，在的两边上取两点A、B，使，点P为角平分线上任意一点，连接、，根据角的轴对称性易得______； (2)如图2，中，，求证：． 证明：作的平分线交边于点D，在边上截取，连接．（请完成证明） (3)如图3，在中，，为的角平分线，写出、、之间的数量关系并说明理由． 18．（24-25七年级下·广东深圳·期末）在学习七下课本121页“三线合一”时罗老师在课堂上进行了探究式教学．    (1)【问题原型】定理：等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．如图，在中，平分．根据图形1用几何语言写出该定理 ①∵，平分，∴ ， ； ②在中，的周长为32，的周长为23，则的长为 ．    (2)【问题提出】罗老师提出：当三角形的一条角平分线恰好也是这个三角形的中线时，这个三角形是等腰三角形吗？经过小组合作探究后罗老师发现了同学们有以下两种解题思路，请任选其中一种，完成命题的证明． 已知：在中，平分，且点D是的中点．求证：． 方法一：如图2，延长到点E，使， 连接． 方法二：如图3，过点D分别作的垂线， 垂足分别为E，F． (3)【拓展延伸】如图4，在中，平分，点E为中点，与相交于点F，过点B作交延长线于点H，设的面积分别为，若，试求的最大值． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $