14.3 第2课时 角的平分线的判定-【名师学案】2025-2026学年新教材八年级上册数学分层进阶学习法（人教版2024）

第2课时 角的平分线的判定 知识储备 1.角的内部到角两边距离相等的，点在 线上。 2.三角形的三条角平分线相交于三角形 一点，且该点到三角形 的距离相等 01基础练 @稻必备知识梳理一 知识点二三角形的角平分线 知识点一 角的平分线的判定 3.在三角形中，到三边距离相等的点是() 1.(1)【新课标·补充解题过程】如图，点P是 A.三条中线的交点 ∠AOB内的任意一点，过点P作PD⊥OA B.三条角平分线的交点 于点D,PE⊥OB于点E,连接OP,若PD= C.三条高线的交点 PE,则OP是∠AOB的 D.内部任意一点 符号语言表示为： 4.如图，在△ABC中，D为三个内角平分线的 .PD⊥OA,PE⊥OB, 交点，过点D作BC的垂线，垂足为E,若 PD=PE, S△ABC=24,DE=4,则△ABC的周长为 .OP是∠AOB的 .∠POD= (2)【T1(1)变式】如图，PM OA,PNLOB. 若PM=PN,∠BOC=30°，则∠AOB的度数 第4题图 第5题图 为 5.(2024·柳州期中)如图，△ABC的三边AB, AC,BC的长分别为4,6,8，其三条角平分线 将△ABC分成三个三角形，则S△OAB：S△OAG :S△oBc= 入B 知识点三角的平分线的实际应用 第1(2)题图 第1(3)题图 6.【教材P59复习题T8变式】如图是某景区的 (3)【T1(1)变式·逆向思维】如图，PM⊥AB 三条小路AB,BC,AC,现计划在三条小路围 于M,PN⊥AC于N,PM=3,当PN= 成的三角形区域内建立一个纪念品商店，并 时，点P在∠BAC的平分线上. 且要求该纪念品商店到三条小路的距离相 2.如图，DE⊥AB交AB的延长线于点E,DF 等.请你用尺规作出纪念品商店的位置.（保 ⊥AC于点F,且BE=CF,DB=DC 留作图痕迹，不写作法) 求证：AD是∠BAC的平分线， 35 入年级数学·上册 易错点○因考虑问题不全面而漏解 03素养练 净牵科水是培直一 7.【教材P59复习题T8拓展】直线 10.(教材P53习题T8变式) 一材多题 1,l2,13表示三条两两相互交叉 如图，四边形ABDC中，∠D=∠B=90°，点 的公路，现在拟建一个货物中转 O为BD的中点，且OA平分∠BAC.求证： 站，要求它到三条公路的距离都相等，则可供 (1)OC平分∠ACD: 选择的地址有 ( (2)OA⊥OC; A.1处B.2处 C.3处D.4处 (3)AB+CD=AC. 【点拨】三角形两外角平分线的交点到三角形三边所 在直线的距离也相等.该货物中转站可能在三条公 路围成的三角形内，也可在此三角形外 02综合练 关健能力提升一 8.(2024·衡水期中)如图，在四边形ABCD 中，AB=CD,BA和CD的延长线相交于点 E.若存在点P,使得S△PAB=S△PCD,则满足 此条件的点P A.有且只有1个 B.有且只有2个 C.组成∠E的平分线 D.组成∠E平分线所在的直线 与∠E的邻补角的平分线所在的直线（点 E除外) 9.【教材P51练习T2变式】如图，∠ABC的平 分线与△ACB的外角∠ACM的平分线相交 于点D,连接AD (1)求证：AD是△BAC的外角∠CAN的平 分线； 解题妙招 (2)若∠ABC=50°，则∠ADC= 三角形内、外角平分线 (1)要证明一条射线是一个角的平分线，就是 证明这条射线上的某点到这个角两边的距离相 等.如T2,T9(1),T10(1). (2)三角形三个内角的平分线的交点到三角 形三边的距离相等，三角形的面积等于三角形的周长 乘以该交点到一边的距离，再乘以2如T4,T5, (3)三角形一个内角平分线与一个外角平分 线的交点到三角形三边的距离相等，如T9. 助学助款优质高数36微专题三 1.152.23.304.(1)6(2)8 第2课时角的平分线的判定 知识储备 1.角的平分2.内三边 基础练综合练素养练 1.(1)平分线平分线∠POE(2)60°(3)32.证明：：DE⊥AB,DF⊥ AC·∠BED=∠DFC=90.在Rt△DEB和Rt△DFC中，{DBC:R △DEB≌Rt△DFC(HL)..DE=DF.又.DE⊥AB,DF⊥AC,∴.AD是∠BAC 的平分线.3.B4.125.2:3:46.略7.D8.D9.(1)证明：过点D分 别作DE⊥AB,DG⊥AC,DF⊥BC,垂足分别为E,G,F.又：BD平分∠ABC, CD平分∠ACM,.DE=DF,DG=DF.∴.DE=DG.∴.AD平分∠EAC,即AD 是△BAC的外角∠CAN的平分线.(2)65°10.证明：(1)过点O作OE⊥AC 于点E.,OA平分∠BAC,∠B=∠AEO=90°，.OE=OB.:点O为BD的中 点，.OB=OD,.OE=OD.又∠CEO=∠D=90°，.∴.点O在∠ACD的平分线 上.∴.OC平分∠ACD;(2)由(1)可知∠AOB=∠AOE,∠COE=∠COD,. ∠AOC= Z∠B0E+克∠D0E=号×180=90，∴0A10C,(3)在R△A0B 和△AOE中，8-8R△AOR△AORHL.AE一AB.月可 证Rt△EOC≌Rt△DOC,.EC=DC,,.AE+CE=AB+CD,即AC=AB+CD 重点强化专题（一）构造全等三角形的常用辅助线 1.证明：过点P作PH⊥BA于H,PG⊥BC于G.则∠PHD=∠PGB=∠PGC =90°.BP平分∠ABC,PH⊥BA,PG⊥BC,.PH=PG.在Rt△PDH和Rt △PEG中，PHE:△PDH≌R△PEG(H,∠PDH=∠PEG ∠PDB+∠PDH=180°，∴.∠PDB+∠PEB=180°.2.证明：在BC上取点F, 使BF-BA.连接DR.:BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD=号∠ABC=20. ∴.∠ADB=180°-∠A-∠ABD=60°.在△ABD和△FBD中， (AB=FB, ∠ABD=∠CBD,.△ABD≌△FBD(SAS).∴.∠ADB=∠FDB=60°，AD= BD=BD, DF.又AD=DE,∠FDC=180°-∠ADB-∠BDF=60°，∴.DF=DE,∠FDC= (FD=ED. ∠ADB=∠EDC=6O°.在△FCD和△ECD中，{∠FDC=∠EDC,∴.△FCD≌ DC=DC. △ECD(SAS)..EC=FC..BC=BF+CF=BA+EC.3.(I)证明：延长AD 至E,使ED=AD,连接CE.AD是△ABC的中线，∴.BD=CD.在△ABD和 BD-CD, △ECD中，∠ADB=∠EDC,.∴.△ABD≌△ECD(SAS)...AB=EC.在△ACE AD=ED, 中，AC+EC>AE,.AC+AB>2AD;(2)在△ACE中，AC-CE<AE<AC+ CE,.AC-AB-2AD-AC+AB.AD5AD<6. 4.证明：延长CE至F,使EF=CE,连接DF.CE是△ACD的中线，∴AE= (AE-DE, DE.在△ACE和△DFE中， ∠AEC=∠DEF,.∴.△ACE≌△DFE(SAS) CE=FE, ∠A=∠ADF,AC=DF.∴.AC∥DF..∠CDF=180°-∠ACD.:∠BDC= 180°-∠ADC,∠ACD=∠ADC,∴.∠CDF=∠BDC.'BD=AC,AC=DF, (CD=CD, DF=BD.在△BCD和△FCD中，∠BDC=∠CDF,∴.△BCD≌△FCD(SAS). BD=FD, ∴BC=CF=2CE,即CE=BC5.【初步探索】EF=BE+DF【拓展延伸】 解：上述结论仍然成立，理由如下：延长FD至H,使DH=BE,连接AH.,∠B +∠ADC=180°，∠ADC+∠ADH=180°，.∠B=∠ADH.在△ABE和